perieqìmena - university of creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef7.pdf · kef laio 7...

Perieqìmena

7 Strobilismìc se Anixwdik Ro 17.1 Eisagwg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

7.1.1 Grammèc, epifneiec kai swl nec strobilismoÔ . . . . . . . . . . . . . . 17.2 PedÐo strobilismoÔ kai kukloforÐa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 ExÐswsh metabol c strobilismoÔ swmatidÐou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.4 Jewr mata Helmholtz kai strìbiloi se anixwdik ro . . . . . . . . . . . . . 97.5 PedÐo taqÔthtac apì phgèc strobilismoÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.6 Dianusmatikì dunamikì taqÔthtac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7 PedÐo taqÔthtac gia leptèc grammèc strobilismoÔ. . . . . . . . . . . . . . . . 157.8 Didistath ro kai monoaxonikìc strobilismìc. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.8.1 EleÔjeroc strìbiloc me pur na (Montèllo Rankine) . . . . . . . . . . 187.9 Epifneia strobilismoÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.9.1 Epifneia strobilismoÔ se ro shmeÐou hremÐac. . . . . . . . . . . . . . 217.9.2 Epifneia strobilismoÔ me omogen isqÔ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.9.3 Kulindrik epifneia strobilismoÔ me omogen isqÔ. . . . . . . . . . . . 227.9.4 Kulindrik epifneia strobilismoÔ me metaballìmenh isqÔ. . . . . . . . 22

7.10 Axosummetrik ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.10.1 Axosummetrikìc strìbiloc (Hill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.11 Mìnimoc strìbiloc Burgers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.11.1 KÔria qarakthristik anemostrìbilou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.12 AlhllepÐdrash dÔo eujÔgrammwn strobÐlwn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.12.1 AlhllepÐdrash dÔo kuklik¸n strobÐlwn. DaktulÐdia kapnoÔ. . . . . . 337.12.2 Strobilismìc kai sunart seic reÔmatoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

i

ii PERIEQ'OMENA

Keflaio 7

Strobilismìc se Anixwdik Ro

7.1 Eisagwg

O anagn¸sthc ja dierwthjeÐ giatÐ epanerqìmaste sthn ènnoia tou strobilismoÔ kai mlistaafier¸noume èna nèo keflaio. Kai logik diìti fainomenik oi perissìterec efarmogèc ro¸nanafèrontai sth metafor reustoÔ kai ìqi tìso sthn topik peristrof twn swmatidÐwn toureustoÔ. 'Opwc eÐdame sto Kef. 3, ìmwc, gia èna asumpÐesto reustì eÐnai o strobilismìcpou kajorÐzei to pedÐo taqÔthtac. EpÐshc eÐdame ìti akìmh kai ìtan o arijmìc Reynoldc eÐnaishmantikìc kont se mia epifneia dhmiourgeÐtai èna leptì oriakì str¸ma me strobilismì poupaÐzei rìlo sthn ro (Sq. 7.1a). Mlista sto antÐjeto kro, sthn erpustik ro gÔrw apì miasfaÐra to oriakì str¸ma ekteÐnetai se ìlo to q¸ro, an kai pèftei aktinik san 1

r2(Sq. 7.1b).

All kai gia meglo arijmì Reynoldc xanabrÐskoume mprost mac ton strobilismì, eÐte lìgwtou fainomènou tou diaqwrismoÔ lìgw antistrof c thc bajmÐdac thc pÐeshc, eÐte sthn akraÐaperÐptwsh thc tÔrbhc (Sq. 7.1g). EÐdame epÐshc ìti to ix¸dec sthn epifneia swmtwn dÐneiperistrof sta swmatÐdia tou reustoÔ en¸ to ix¸dec sto reustì diaqèei ton strobilismì makriapì epifneiec kai epomènwc gia meglec epifneiec ta fainìmena strobilismoÔ gÐnontai polÔèntona. All kai an akìmh jewr soume ìti to reustì eÐnai anixwdikì kai eÐmaste makri apìepifneiec èqoume thn dunatìthta na eisgoume strobÐlouc oi opoÐoi sÔmfwna me to je¸rhmaKelvin kratoÔn ton entopismì touc kai sumperifèrontai san swmatÐdia. Mlista ìtan oistrìbiloi apomakrunjoÔn apì epifneiec kinoÔntai sÔmfwna me thn anixwdik ro , en¸ mporeÐkaneÐc na melet sei kai thn allhlepÐdrash touc. Sto parìn loipìn keflaio ja d¸soume kurÐwcèmfash ston strobilismì se sqedìn anixwdik ro , kai ja af soume gia argìtera to prìblhmatwn oriak¸n strwmtwn. O lìgoc den eÐnai mìno ìti èqoume shmantikèc efarmogèc, all kaidiìti se èna polÔploko prìblhma h swst diadikasÐa anlushc apaiteÐ na to spsoume seepimèrouc mikr kai apl b mata. Mèroc thc poluplokìthtac eÐnai ìti den uprqoun eÔkoloikanìnec me touc opoÐouc mporoÔme na ktÐsoume sthn fusik katanìhsh twn problhmtwn aut¸n.Ja qreiasteÐ arket upomon kai melèth epimèrouc peript¸sewn. Iswc tìte na mporoÔme namil soume gia katanìhsh twn polÔplokwn fusik¸n diergasi¸n.

7.1.1 Grammèc, epifneiec kai swl nec strobilismoÔ

H gramm strobilismoÔ eÐnai mÐa kampÔlh ston ìgko tou ugroÔ thc opoÐac h efaptomènh sekje shmeÐo eÐnai parllhlh ston strobilismì ~ζ. Autì eÐnai akrib¸c anlogo me thn gramm ro c kai thn taqÔthta ro c1. `Olec oi grammèc strobilismoÔ pou dièrqontai apì mÐa kampÔlh,

1Den prèpei na sugqèoumai thn ènnoia tou xona tou strobÐlou, ìpwc sto pardeigma tou eleÔjerou

strobÐlou (dec 2.7), me aut thc gramm c strobilismoÔ. Sthn pr¸th perÐptwsh èqoume mÐa gramm ìpou o

1

2 KEF'ALAIO 7. STROBILISM'OS SE ANIXWDIK'H RO'H

kef7-001.jpg

Sq ma 7.1: Sq ma 7.1 (a) Oriakì str¸ma gia ro gÔrw apì sfaÐra (Re > 1). (b) Apeiro

oriakì str¸ma gia erpustik ro gÔrw apì sfaÐra (Re 1). (g) Diaqwrismìc sto pÐsw

mèroc thc sfaÐrac kai turb¸dhc ro gia Re 1.

apoteloÔn mÐa epifneia strobilismoÔ, en¸ to sÔnolo twn gramm¸n pou dièrqontai apì mÐaepifneia apoteloÔn èna swl na strobilismoÔ. P.q. gia to pardeigma 1 (Kef. 2.7) o stro-bilismìc eÐnai ~ζ = ωez kai epomènwc oi grammèc strobilismoÔ eÐnai parllhlec ston z-xona mestajer puknìthta se ìlo ton q¸ro. Ta epÐpeda strobilismoÔ eÐnai kulindrikèc epifneiec, en¸oi swl nec eÐnai kulindrikoÐ swl nec. Se kje shmeÐo de eÐnai kjeta stic grammèc ro c. Giato pardeigma 2 ìlec oi grammèc strobilismoÔ eÐnai sumpuknwmènec pnw ston z-xona. Enìmwc dieurÔnoume ton pur na na èqei aktÐna a entìc tou opoÐou o strobilismìc eÐnai stajerìc(montèllo Rankine) tìte oi grammèc strobilismoÔ eÐnai isokatanemhmènec sthn epifneia toukÔklou a kai den orÐzontai sto exwterikì tou kÔklou. `Etsi loipìn en¸ to montèllo Rankinebelti¸nei to montèllo tou strobÐlou qwrÐc pur na, h asunèqeia stic grammèc strobilismoÔ up-odhl¸nei mÐa adunamÐa kai ìpwc eÐnai anamenìmeno ja perimèname mia "diqush twn gramm¸n procta èxw. Tic sunj kec pou mporeÐ na sumbeÐ autì ja diereun soume argìtera. Sto pardeigma3 oi grammèc strobilismoÔ eÐnai parllhlec ston z-xona kai efìson ∂u/∂z =stajer èqounstajer puknìthta. Oi grammèc strobilismoÔ stic parapnw peript¸seic eÐnai eujeÐec grammèc.Argìtera ja melet soume to montèllo strobÐlou tou Hill ìpou h ro eÐnai pio polÔplokh en¸oi grammèc strobilismoÔ eÐnai kleistèc kampÔlec.

Ena oratì pardeigma kleistoÔ swl na strobilismoÔ eÐnai ta daqtulÐdia kapnoÔ apì thnèxodì touc apì to stìma tou kapnist . Sthn perÐptwsh aut mlista to daqtulÐdi metakineÐtaisto q¸ro kjeta sto epÐpedì tou, sÔmfwna me to je¸rhma Kelvin. An kai sthn prxh hdiqush stroform c lìgw tou ix¸douc. Mlista prèpei na tonÐsoume ìti ex orismoÔ oi grammècstrobilismoÔ prèpei na eÐnai kleistèc, ektìc an katal goun se epifneiec.

7.2 PedÐo strobilismoÔ kai kukloforÐa

Opwc eÐdame sto Kef. 3 o strobilismìc

~ζ = ~∇× ~u (7.1)

eÐnai dianusmatikì pedÐo kai san tètoio orÐsame se analogÐa me to pedÐo taqÔthtac tic grammècstrobilismoÔ oi opoÐec eÐnai efaptìmenec se kje shmeÐo sto dinusma tou strobilismoÔ kaj¸ckai touc swl nec strobilismoÔ (Sq ma 2.18). san to sÔnolo twn gramm¸n strobilismoÔ poudièrqontai mèsw miac kleist c kampÔlhc C. To mègejoc thc diatom c tou swl na eÐnai mÐaèndeixh thc puknìthtac twn gramm¸n strobilismoÔ kai epomènwc tou megèjouc tou strobil-

strobilismìc èqei mÐa idiìmorfh sumperifor (ìpwc p.q. o peiroc strobilismìc ston xona tou eleÔjerou

strobÐlou) Suqn anaferìmaste kai stìn pur na tou strobÐlou, dhl. thn perioq ìpou èqoume meglh

puknìthta gramm¸n strobilismoÔ. Stìn pur na èqoume shmantikì strobilismì, o opoÐoc pèftei shmantik èxw

apì autìn.

7.2. PED'IO STROBILISMO'U KAI KUKLOFOR'IA 3

ismoÔ. Ja doÔme argìtera ìti uprqoun roèc pou gÐnontai pio eÔkola katanohtèc ìtan qrhsi-mopoi soume t n ènnoia tou strobilismoÔ. Mia shmantik kai qr simh idiìthta twn gramm¸nstrobilismoÔ eÐnai ìti pnta sqhmatÐzoun kleistèc kampÔlec ìpwc oi grammèc tou magnhtikoÔpedÐou. Autì sumbaÐnei giatÐ o strobilismìc, apì ton orismì tou eÐnai mh apoklÐnon pedÐo,dhlad

~∇ · ~ζ = 0 (7.2)

`Etsi loipìn anexrthta apì thn morf thc ro c oi swl nec strobilismoÔ kleÐnoun ston eautìtouc kai den qnontai se kpoio shmeÐo, ektìc an uprqoun ìria, ìpwc p.q. sumbaÐnei me ticgrammèc strobilismoÔ enìc anemostrìbilou pou telei¸noun sto èdafoc. Apì kje shmeÐo pernmìno mia gramm strobilismoÔ ektìc apì ta shmeÐa ìpou o strobilismìc mhdenÐzetai, diìti tìteden orÐzetai kateÔjunsh. O mhdenismìc thc apìklishc me to je¸rhma Gauss shmaÐnei ìti h ro tou strobilismoÔ mèsw miac kleist c epifneiac eÐnai mhdèn∫

V

~∇ · ~ζdV =∮S

~ζ · d~S = 0 (7.3)

ìpou S eÐnai mia kleist epifneia pou perikleÐei ton ìgko V . En t¸ra epilèxoume èna swl nastrobilismoÔ (dec sq ma ), tìte epeid ta pla"in toiq¸mata den suneisfèroun sto epifaneiakìolokl rwma, èqoume ìti ∫

S1

~ζ · dS = −∫S2

~ζ · dS (7.4)

ìpou S1 kai S2 eÐnai oi diatomèc sta dÔo kra. H sqèsh aut mac lèei ìti ζ1S1 = ζ2S2, dhlad ìti oi mèsec timèc tou strobilismoÔ stic dÔo apènanti diatomèc tou swl na eÐnai antistrìfwcanlogec twn antÐstoiqwn epifanei¸n.

Mia ektÐmhsh gia ton strobilismì dÐnetai apì thn kukloforÐa

Kc =∮C~u · d~r (7.5)

ìpou C eÐnai mÐa kleist kampÔlh kai me to je¸rhma grafeÐ kai wc

Kc =∮C~u · d~r =

∫A

~∇× ~u · d ~A =∫A

~ζ · d ~A (7.6)

ìpou A eÐnai mia apl sundedemènh epifneia (ìqi aparaÐthta epÐpedh ) pou èqei san ìrio thnkleist kampÔlh C. H kateÔjunsh thc kajètou sthn epifneia eÐnai proc ta pnw ìtan toepikampÔlio olokl rwma gÐnetai dexiìstrofa (Sq. 7.2 ). Etsi h kukloforÐa se mia kleist kampÔlh eÐnai Ðsh me thn ro strobilismoÔ mèsw thc perikleiìmenhc epifneiac. Na tonÐsoumede ìti to apotèlesma autì isqÔei gia ìlec tic kampÔlec epifneiec pou perikleÐei h kampÔlh C.En jewr soume ton swl na strobilismoÔ pou orÐzetai apì thn kampÔlh C tìte h kukloforÐaeÐnai stajer kat m koc tou swl na. Opwc gia thn perÐptwsh mìnimhc ro c o rujmìc ro cìgkou mèsw swl na ro c eÐnai stajerìc, ètsi kai o rujmìc ro c strobilismoÔ ston swl nastrobilismoÔ eÐnai stajerìc. Etsi kat m koc enìc leptoÔ swl na strobilismoÔ o strobilis-mìc metablletai antistrìfwc anloga me thn diatom tou swl na sto antÐstoiqo shmeÐo.

En parakolouj soume thn qronik exèlixh twn swmatidÐwn sthn kampÔlh C kai upologÐ-soume thn qronik metabol (ulik pargwgo) thc kukloforÐac sthn ulik kampÔlh, eÐdameìti katw apì orismènouc periorismoÔc (anixwdik ro ktl.) aut diathreÐtai kai ekfrzetaiapì to je¸rhma Kelvin. To je¸rhma autì eÐnai shmantikì diìti mac lèei ìti h mèsh tim toustrobilismoÔ enoc reustoÔ swmatidÐou gia anixwdik ro paramènei stajer , dhl. oi strì-biloi akoloujoÔn thn ro kai èqoun meglo qrìno zw c. Epeid ìmwc h kukloforÐa eÐnai


Sq ma 7.2: Sq ma 7.2 (a) KukloforÐa kai ro strobilismoÔ. H ro strobilismoÔ eÐnai Ðdia kai

gia tic dÔo epifneiec: (a) epÐpedh epifneia kai (b) kurt epifneia, pou orÐzontai apì thn Ðdia

kampÔlh C..

bajmwt posìthta kai mac dÐnei thn metabol gia mia mèsh tim , ja eÐqe endiafèron na doÔmepwc metablletai o strobilismìc (pou eÐnai dianusmatikì mègejoc) enìc stoiqei¸douc reustoÔswmatidÐou. Autì èqei kai praktikì endiafèron diìti o strobilismìc mac dÐnei thn gwniak taqÔthta peristrof c enìc reustoÔ swmatidÐou perÐ ton xon tou, en¸ o rujmìc metabol ctou kat thn kÐnhsh ja mac d¸sei kai thn gwniak epitqunsh. Aut apì thn arq diat rhshcthc stroform c sundèetai me tic ropèc twn exwterik¸n dunmewn pou askoÔntai s'èna reustìswmatÐdio. Oi ropèc autèc eÐnai dÔskolo na upologistoÔn gia èna makroskopikì paramor-f¸simo ìgko. EpÐshc eÐnai dÔskolo na upologÐsoume ton rujmì metabol c thc rop c adraneÐacoloklhr¸nontac pnw sto sÔsthma kai efarmìzontac to je¸rhma diat rhshc thc stroform c.Etsi ed¸ ja jewr soume èna swmatÐdio kai ja arqÐsoume apì tic exis¸seic diat rhshc thcorm c.

7.3 ExÐswsh metabol c strobilismoÔ swmatidÐou

Ja arqÐsoume apì thn genik perÐptwsh thc diat rhshc orm c se ixwdikì reustì, en¸ se pr¸thfsh ja epitrèyoume kai thn qwrik metabol thc puknìthtac. Pli ja jewr soume ìmwc ìti hpuknìthta tou swmatidÐou kat thn kÐnhsh eÐnai stajer pou mac epitrèpei na èqoume mhdenik apìklish tou pedÐou taqÔthtac. H perÐptwsh aut eÐnai gia puknìthta na exarttai apì thnpÐesh. PaÐrnontac ton strobilismì thc exÐswshc Navier − Stokes

D~u

Dt≡ ∂~u

∂t− ~u× (~∇× ~u) + ~∇(

12u2) = −1

ρ~∇P − 1

ρU + ν∇2~u, (7.7)

èqoume2

∂~ζ

∂t− ~∇× (~u× ~ζ) = −~∇× (

1ρ~∇P ) + ~∇× [ν(∇2~u)], (7.8)

ìpou qrhsimopoi same ton orismì tou strobilismoÔ kai to gegonìc ìti ~∇× (~∇f) = 0 gia kjesunrthsh f . O deÔteroc ìroc sthn arister pleur thc (7.8) mporeÐ na aplopoihjeÐ me thn

2Den mporoÔme na antallxoume thn seira twn telest¸n ~∇ me thn ulik pargwgo kajìson h deÔterh

eÐnai mh grammik sunrthsh thc taqÔthtac.

7.3. EX'ISWSH METABOL'HS STROBILISMO'U SWMATID'IOU 5

dianusmatik sqèsh

~∇× (~u× ~ζ) = (~ζ · ~∇)~u− (~u · ~∇)~ζ + ~u(~∇ · ~ζ)− ~ζ(~∇ · ~u) (7.9)

= (~ζ · ~∇)~u− (~u · ~∇)~ζ, (7.10)

ìpou qrhsimopoi same ìti ~∇·~u = 0 gia asumpÐesto swmatÐdio kai ~∇·~ζ = 0 diìti o strobilismìcenìc pedÐou den èqei apìklish. Ston ìro tou ix¸douc eÔkola apodeiknÔetai ìti mporoume naallxoume thn seir twn dÔo diaforik¸n telest¸n, ¸ste

~∇× (∇2~u) = ∇2(~∇× ~u) = ∇2(~ζ), (7.11)

Epeid ν = µρ prèpei na perilboume epÐshc ton ìro

1ρ2~∇ρ∇2~u.

Ed¸ ja jewr soume ìti o ìroc autìc eÐnai amelhtèoc gia mikrì ix¸dec. H bajmÐda thc puknìth-tac ìmwc mporeÐ na paÐxei shmantikì rìlo gia shmantik bajmÐda thc pÐeshc kai ton kratme.Autìc ja eÐnai idiaÐtera qr simoc ìtan ja melet soume diastrwmèna reust. SunoyÐzontac, hexÐswsh tou strobilismou se dianusmatik morf grfetai wc

∂~ζ

∂t+ (~u · ~∇)~ζ = (~ζ · ~∇)~u− ~∇× (

1ρ~∇P ) + ν(∇2~ζ), (7.12)

en¸ h i-sunist¸sa eÐnai3,

∂ζi∂t + uj

∂ζi∂xj

= ζj∂ui∂xj

+ εijk1ρ2

∂P∂xj

∂ρ∂xk

+ ν∇2ui︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸topik metafor tèntwma paragwg diqush

metabol strobilismoÔ strof strobilismoÔ ix¸douc

(7.13)

kai sth sunèqeia ja exhg soume to fusikì apotèlesma tou kje ìrou, ìpwc kai oi sunj kecktw apì tic opoÐec o kje ìroc eÐnai shmantikìc.

O ìroc me thn pÐesh grfetai

~∇× (1ρ~∇P ) = − 1

ρ2(~∇ρ)× (~∇P )) (7.14)

kai mac dÐnei ton rujmì metabol c tou strobilismoÔ lìgw anomoiogèneiac thc puknìthtac. EÐnaipolÔ shmantikìc se strwmatwmèna reust (me anomoiogen puknìthta) en¸ mhdenÐzetai gia thnperÐptwsh barotropikoÔ reustoÔ me ρ(P ) diìti h bajmÐda thc puknìthtac kai thc pÐeshc eÐnaiparllhlec. En den eÐnai parllhlec tìte mporoÔme na proume thn perÐptwsh ìpou eÐnaikjetec ìpwc sto Sq. ??. Ac jewr soume dÔo reust swmatÐdia, Ðdiou ìgkou, kat m koc thcbajmÐdac thc puknìthtac. H pÐesh askeÐ dunmeic s' aut ta swmatÐdia, antÐjetec proc thnbajmÐda pÐeshc. Oi antÐstoiqec epitaqÔnseic eÐnai antistrìfwc anlogec proc thn puknìthtakje swmatidÐou. Se sqèsh me to kèntro mzac twn dÔo swmatidÐwn (kat thn metatìpis touc)èqoume mia aristerìstrofh gwniak epitqunsh, pou odhgeÐ se metabol tou strobilismoÔ sthnkateÔjunsh mèsa sto qartÐ. Thn Ðdia kateÔjunsh mac deÐnei kai to exwterikì ginìmeno twn dÔo

3Sthn exÐswsh aut qrhsimopoioÔme to sumbolismì Einstein, ìpou o diplìc deÐkthc uponoeÐ jroisma wc

proc autì to deÐkth.


Sq ma 7.3: Sq ma 7.3 Digramma gia thn Ôparxh gwniak c epitqunshc lìgw anomoiogèneiac

sthn puknìthta.

Sq ma 7.4: Sq ma 7.4 Rujmìc metabol c tou strobilismoÔ kat m koc kai kjeta t c gramm c

strobilismoÔ.

bajmÐdwn. IsodÔnama ja mporoÔsame na poÔme ìti, se sqèsh me to kèntro mzac oi ropèc pouaskoÔntai sta dÔo swmatÐdia eÐnai diaforetikou mètrou kai kateÔjunshc. EÐnai diaforetikoÔmètrou diìti oi mzec apèqoun diaforetik apìstash apì to kèntro mzac. Sth sunèqeia jajewr soume mìno omogen puknìthta kai o ìroc autìc mazÐ me ton antÐstoiqo apì to ix¸decja touc paraleÐyoume.

Antikajistìntac tic (7.10), (7.11), (7.14) sthn (7.8) gia omogen puknìthta kai parathrìn-tac ìti o ìroc (~u · ~∇)~ζ eÐnai h metabol tou strobilismoÔ lìgw metaforc èqoume gia thn ulik pargwgo tou strobilismoÔ

D~ζ

Dt≡ ∂~ζ

∂t+ (~u · ~∇)~ζ = (~ζ · ~∇)~u+ ν∇2~ζ, (7.15)

ìpou o deÔteroc ìroc sto dexiì mèroc mac dÐnei thn diqush tou strobilismoÔ ìpwc eÐdamesto Kef. 6. O ìroc (~ζ · ~∇)~u eÐnai mh grammikìc wc proc thn taqÔthta kai to fusikì tounìhma ja prospaj soume na dìsoume sth sunèqeia. Edw na parathr soume ìti o ìroc autìcsuneisfèrei mìno se shmeÐa ìpou dh èqoume strobilismì. Den suneisfèrei se didistath ro ìpou h taqÔthta kai h bajmÐdec thc eÐnai kjetec me ton strobilismì.

Ac jewr soume thn gramm strobilismoÔ tou sq matoc 7.4 kai dÔo shmeÐa pou apèqoun dskat m koc thc gramm c. Se kje shmeÐo h taqÔthta mporeÐ na anaptuqjeÐ se sunist¸sec sthnkateÔjunsh thc gramm c strobilismoÔ kai kjeta sut , dhl.

~u = u‖eζ + u⊥e⊥ (7.16)

7.3. EX'ISWSH METABOL'HS STROBILISMO'U SWMATID'IOU 7

Sq ma 7.5: Sq ma 7.5 (a) Epim kunsh twn gramm¸n strobilismoÔ gia bajmÐda taqÔthtac kat

m koc thc y−sunist¸sac thc taqÔthtac. (b) Strof tou swl na strobilismoÔ lìgw bajmÐdac

thc xsunist¸sac thc taqÔthtac sthn ykateÔjunsh.

ìpou

eζ =~ζ

|ζ|(7.17)

kai e⊥ eÐnai ta antÐstoiqa monadiaÐa dianÔsmata. Tìte

(~ζ · ~∇)~u = (|ζ|eζ · ~∇)~u = |ζ|d~uds

= |ζ|(d~u‖ds

eζ +d~u⊥ds

e⊥

)(7.18)

O pr¸toc ìroc |ζ|d~u‖ds mac dÐnei ton rujmì aÔxhshc tou strobilismoÔ lìgw tent¸matoc thcgramm c strobilismoÔ. AntistoiqeÐ dhl. se metafor strobilismoÔ kat m koc thc gramm cstrobilismoÔ. Proupojètei thn Ôparxh strobilismoÔ sto shmeÐo all kai bajmÐda taqÔthtackat m koc thc gramm c strobilismoÔ. Sthn perÐptwsh aut en jewr soume èna swl nastrobilismoÔ tìte aÔxhsh tou strobilismoÔ kat m koc tou swl na sunepgetai kai stènematou swl na ¸te na diathrhjeÐ stajer h ro strobilismoÔ

O deÔteroc ìroc |ζ|d~u⊥ds proupojètei metabol thc kjethc sunist¸sac thc taqÔthtac katm koc thc gramm c ro c kai teÐnei na strèyei thn gramm strobilismoÔ. Sto Sq. 7.5 ana-paristoÔme sqhmatik thn epÐdrash pou èqei h bajmÐda taqÔthtac sthn diamìrfwsh swl nwnstrobilismoÔ. Sto (a) blèpoume ìti h bajmÐda taqÔthtac ∂v

∂y parllhla proc ton swl na stro-

bilismoÔ4 odhgeÐ se aÔxhsh tou strobilismoÔ proc ta pnw kai antÐstoiqo stènema tou swl na¸ste na diathreÐtai h ro strobilismoÔ kat m koc tou swl na.

Gia to apotèlesma autì axÐzei na d¸soume kai mi swmatidiak ermhneÐa. Epeid o strobilis-mìc sundèetai me thn topik peristrof swmatidÐwn, isodÔnama ja mporoÔsame na jewr soumethn stroform ~L enìc swmatidÐou to opoÐo gia eukolÐa epilègoume na eÐnai sfairikì. Epeid hgwniak taqÔthta peristrof c (ω) gÔrw apì kpoio xona eÐnai to 1

2 tou strobilismoÔ èqoume

~L =12I~ζ

ìpou I eÐnai h rop adraneÐac. Gia eukolÐa anaferìmaste sto Sq. 7.6. An paraleÐyoumeixwdikèc dunmeic tìte oi dunmeic thc pÐeshc sthn epifneiac (kjetec s' aut den dÐnounropèc sto sfairikì swmatÐdio kai epomènwc h stroform tou diathreÐtai kaj¸c to swmatÐdiokineÐtai. Eqoume loipìn

4Sthn epifneia tou swl na èqoume sqedisei kai thn taqÔthta


Sq ma 7.6: Sq ma 7.6 Digramma gia thn epim kunsh enìc swmatidÐou kaj¸c kineÐtai kat

m koc sugklinous¸n gramm¸n ro c kai tautìqrona peristrèfetai.

D~L

Dt= 0

h

ID~ζ

Dt= −~ζDI

Dt

kajìson oi kanìnec parag¸gishc isqÔoun kai gia thn ulik pargwgo. To dexiì mèroc ofeÐle-tai sthn metabol thc rop c adraneÐac lìgw thc metabol c tou sq matoc tou swmatidÐou.Ean h rop adraneÐac auxnei, tìte o strobilismìc ja meiwjeÐ. Etsi sthn perÐptwsh touSq. 7.6 èqoume thn kÐnhsh enìc reustoÔ swmatidÐou se mia ro me sugklÐnousec grammècro c. To swmatÐdio peristrèfetai gÔrw apì ton z−xona en¸ tautìqrona epitaqÔnetai sthnz−kateÔjunsh. Lìgw thc metabol c taqÔthtac kat m koc thc ro c, èqoume bajmÐda taqÔth-tac sth Ðdia kateÔjunsh, Perimènoume to swmatÐdio na epimhkunjeÐ san elleiyoeidèc ellat¸non-tac ètsi thn rop adraneÐac. Gia na diathrhjeÐ ìmwc h stroform tou swmatidÐou prèpei naauxhjeÐ o strobilismìc tou. Etsi h epim kunsh twn swmatidÐwn odhgeÐ se shmantik aÔxhshtou strobilismoÔ. Autì p.q. sumbaÐnei ston strìbilo thc mpanièrac ìtan arqÐsei na adeizei.Parìmoia fainìmena sumbaÐnoun kai me ton strobilismì tou magnhtikoÔ pedÐou. SugklÐnousecmagnhtikèc grammèc gÔrw apì grammèc reÔmatoc odhgoÔn se aÔxhsh tou reÔmatoc kat m koclìgw periorismoÔ tou kjeta. SugkrÐnontac thn teleutaÐa sqèsh me thn (7.15) gia ν = 0, oìroc sto dexiì thc mèroc, prèpei na antistoiqeÐ ston rujmì metabol c thc rop c adrneiac giato swmatÐdio pou perigryame.

Sto Sq. 7.5 blèpoume epÐshc thn epÐdrash pou èqei h bajmÐda taqÔthtac ∂u∂y . Sthn

perÐptwsh aut h metabol thc strobilismoÔ eÐnai kjeth ston strobilismì. Autì faÐnetaian anaptÔxoume se sunist¸sec thn exÐswsh strobilismoÔ, p.q. gia ton rujmì metabol c thcx−sunist¸sac

DζxDt = ζx

∂ux∂x + ζy

∂ux∂y + ζz

∂ux∂z + ν∇2ux

tèntwma strof strof diqushstrobÐlou strobÐlou strobÐlou strobÐlou

(7.19)

Etsi sthn strof sthn x− kateÔjunsh suneisfèroun oi llec dÔo sunist¸sec strobilismoÔkai efìson fusik uprqoun kai oi antÐstoiqec bajmÐdec taqÔthtac apì thn (7.19).

An se kpoia qronik stigm o strobilismìc enìc sust matoc eÐnai mhdèn h (7.15) mac lèeiìti gia anixwdik ro o strobilismìc ja parameÐnei gia pnta mhdèn pou eÐnai se sumfwnÐa

7.4. JEWR'HMATA HELMHOLTZ KAI STR'OBILOI SE ANIXWDIK'H RO'H 9

Sq ma 7.7: Sq ma 7.7 En swmatÐdio me tic emfuteumènec grammèc strobilismoÔ se dÔo di-

aforetikèc qronikèc stigmèc gia anixwdik ro .

me to je¸rhma Kelvin. An èqoume strobilismì se entopismènh perioq ja parameÐnei mèsasthn perioq gia ixwdik ro , diìti didosh strobilismoÔ se kpoio shmeÐo proupojètei ìtisto shmeÐo autì uprqei strobilismìc. Etsi an upologÐsoume thn kukloforÐa gia mia diadrom pou arqik eÐnai mìno se astrìbilh perioq aut ja parameÐnei stajer kat thn kÐnhsh toureustoÔ. Etsi pli ikanopoieÐtai to je¸rhma Kelvin. En h ro eÐnai ixwdik , lìgw diqushcja èqoume metafor strobilismoÔ ektìc s¸matoc kai sth sunèqeia aut ja auxhjeÐ lìgw twnfainomènwn tent¸matoc kai strof c twn swl nwn ro c. Gia thn perÐptwsh aut gnwrÐzoumeìti den isqÔei to je¸rhma Kelvin.

Gia didistath ro me~u = [u(x, y, t), v(x, y, t), 0]

kai~ζ = [0, 0, ζz(x, y, t)]

èqoume

(~ζ · ~∇)~u = ζz∂~u

∂z= 0

kai gia m ixwdik ro

D~ζ

Dt= 0, gia didistath ro , kai ν = 0. (7.20)

Gia didistath ro enìc idanikoÔ reustoÔ upì thn epÐdrash diathrhtik¸n dunmewn, o stro-bilismìc gia kje reustì stoiqeÐo diathreÐtai kai h mình metabol ston strobilismì eÐnai hdiqush sthn perÐptwsh pou èqoume ix¸dec. IdiaÐtera gia mìnimh ro , èqoume (~u · ~∇)~ζ = 0, poumac lèei ìti o strobilismìc eÐnai stajerìc kat m koc thc gramm c ro c.

Se ìla ta parapnw upojètoume ìti eÐmaste se èna adraneiakì sÔsthma. En to sÔsthmmac peristrèfetai me gwniak taqÔthta ~Ω, to mìno pou qreizetai na knoume stic parapnwexis¸seic eÐnai na antikatast soume

~ζ → ~ζ + ~Ω peristrefìmeno sÔsthma (7.21)

7.4 Jewr mata Helmholtz kai strìbiloi se anixwdik ro

Gia thn perÐptwsh anixwdik c kai asumpÐesthc ro c mporoÔme na xanagryoume tic exis¸seic

~∇ · ~u = 0


Sq ma 7.8: Sq ma 7.8 Ro swmatidÐou me strobilismì kai epim kunsh lìgw sugklÐnontoc

swl na strobilismoÔ.

D~ζ

Dt≡ ∂~ζ

∂t+ (~u · ~∇)~ζ = (~ζ · ~∇)~u

H pr¸th sqèsh mac lèei ìti oi grammèc strobilismoÔ sqhmatÐzoun brìgqouc. H deÔterh maclèei ìti ta swmatÐdia reustoÔ metafèroun mazÔ touc kat thn ro tic grammèc strobilismoÔ(dèc Sq. 7.7). Oi dÔo autèc protseic eÐqan diatupwjeÐ apì ton Helmholtz kai fèrnoun toìnom tou. To shmantikì ìmwc eÐnai ìti autèc oi diatup¸seic mac deÐqnoun kai thn mèjodopou prèpei na akolouj soume gia na upologÐsoume mia tètoia ro . Ac upojèsoume ìti arqikgnwrÐzoume to pedÐo taqÔthtac ~u pantoÔ, tìte mporoÔme na upologÐsoume ton strobilismì~ζ = ~∇ × ~u thn Ðdia qronik stigm . Me bsh thn deuterh prìtash Helmholtz oi grammècstrobilismoÔ metafèrontai me thn taqÔthta ~u. Etsi gnwrÐzoume ton strobilismì thn epìmenhqronik stigm . Me ton nèo strobilismì mporoÔme na upologÐsoume to pedÐo taqÔthtac meolokl rwsh tou strobilismoÔ. Oi stajerèc olokl rwshc orÐzontai qrhsimopoiìntac kai tonperiorismì thc mhdenik c apìklishc. Sth sunèqeia epanalambnoume thn diadikasÐa. H mèjodocaut eÐnai ìpwc to prìblhma eèreshc tou magnhtikoÔ pedÐou an gnwrÐzoume ta reÔmata kai thntaqÔthta touc.

To fusikì nìhma twn sumperasmtwn touHelmholtz bgaÐnei me apl epiqeir mata. Ac jew-r soume èna swmatÐdio reustou me thn morf enìc stoiqei¸douc kulÐndrou kai xona parllhloproc tic grammèc strobilismoÔ (Sq. 7.8) kai epifneia A1. Se kpoia llh qronik stigm okÔlindroc èqei metatopisteÐ kai èqei epimhkunjeÐ kratìntac stajer puknìthta. Etsi h diatom tou èqei ellatwjeÐ (A2 < A1). Epeid ìmwc oi grammèc strobilismoÔ paramènoun proskollh-mènec sto swmatÐdio, auto shmaÐnei ìti metablletai h puknìthta touc (grammèc an epifneia)kai epomènwc to mètro tou strobilismoÔ (ζ1 → ζ2). Pollaplasizontac ìmwc me thn epifneiaja mac d¸sei ton Ðdio arijmì gramm¸n strobilismoÔ. Eqoume loipìn

A2ζ2 = A1ζ1

H sqèsh aut ìpwc ja doÔme amèswc eÐnai isodÔnamh me thn arq diat rhshc thc stroform ctou kulÐndrou kai eÐnai sÔmfwnh me to je¸rhma Kelvin gia thn diat rhsh thc kukloforÐac semia diadrom pou perikleÐei ton swl na ro c kai metatopÐzetai kat mkoc tou akoloujìntac thnro . Kat' arq n h stroform diathreÐtai diìti qwrÐc ix¸dec den èqoume efaptomenikèc dunmeic,en¸ oi dunmeic thc pÐeshc eÐnai kjetec sth epifneia kai dÐnoun mhdenikèc ropec. H stroform eÐnai anlogh thc rop c adraneÐac I ∼MR2 kai tou strobilismoÔ. H mza paramènei stajer kai h arq diat rhshc stroform c mac dÐnei

(MR22)ζ2 = (MR2

1)ζ1

pou eÐnai isodÔnamh me thn prohgoÔmenh sqèsh kaj¸c h diatom eÐnai anlogh thc aktÐnac stotetrgwno.

7.5. PED'IO TAQ'UTHTAS AP'O PHG'ES STROBILISMO'U 11

Sq ma 7.9: Sq ma 7.9 En kinoÔmeno daktulÐdi strobilismoÔ. (a) Oi grammèc strobilismoÔ,

(b) Diatom tou daktulÐou.

En epiplèon qrhsimopoi soume thn diat rhsh thc mzac gia asumpÐesto reustì èqoumekat thn metatìpish tou kulÐndrou δ`1δA1 = `2δA− 2. ApaleÐfontac ton lìgw twn diatom¸napì thn exÐswsh diat rhshc stroform c, èqoume

ζ1

ζ2=`1`2

. Etsi, èqoume aÔxhsh tou m kouc tou strobÐlou, kaj¸c to swmatÐdio reustoÔ kineÐtai katm koc tou swl na, en¸ tautìqrona peristrèfetai gÔrw apì to dinusma strobilismoÔ.

Ac jewr soume epÐshc thn kÐnhsh enìc daktulÐou strobilismoÔ (Sq. 7.9). O daktÔliockineÐtai kjeta stic grammèc strobilismoÔ me tic opoÐec sundèoume kai peristrofik ro gÔrwapì tic grammèc strobilismoÔ, ìpwc faÐnetai pio kajar sto (b). H taqÔthta sto pnw mèrocthc diatom c eÐnai kai h taqÔthta me thn opoÐa kineÐtai o daktÔlioc. Pli o daktÔlioc metafèreimazÐ tou tic grammèc strobilismoÔ. En de anaferìmaste se daktulÐouc kapnoÔ ston aèra autoÐdiarkoÔn arket ¸ra kai mìno lìgw tou ix¸douc diaqèontai.

Sta parapnw paradeÐgmata jewr same ìti dh uprqei strobilismìc sto sÔsthma kaisÔmfwna me thn exÐswsh strobilismoÔ gnwrÐzoume p¸c ja kinhjeÐ akolouj¸ntac to swmatÐ-dio. P¸c ìmwc eisgetai o strobilismìc autìc sth ro ; Gi autì prèpei na proume upìyh kaito ix¸dec. Ac jewr soume arqik èna kÔlindro bujismèno se nerì akÐnhto. Arqik èqoumemhdenikì strobilismì pantoÔ. Sth sunèqeia kinoÔme ton kÔlindro. Amèswc èqoume thn em-fnish strobilismoÔ sthn epifneia lìgw twn ixwdik¸n ikanopoiìntac thn oriak sunj kh mholÐsjhshc. O strobilismìc diaqèetai makri apì thn epifneia lìgw tou ix¸douc ston ìgko toureustoÔ kai tautìqrona metafèretai apì thn kinoÔmenh epifneia. To an o strobilismìc kaj¸capomakrÔnetai apì to kinoÔmeno s¸ma ja diaqujeÐ h ja sqhmatistoÔn entopismènoi strìbiloiautì exarttai ìpwc ja doÔme argìtera apì tic sunj kec ro c.

7.5 PedÐo taqÔthtac apì phgèc strobilismoÔ

Opwc eÐdame sto keflaio 3 me to je¸rhma Helmholz, en to pedÐo taqÔthtac mhdenÐzetai stopeiro, tìte to pedÐo taqÔthtac ofeÐletai se phgèc apìklishc h strobilismoÔ. Sthn perÐptwshpou reustì eÐnai asumpÐesto, tìte mhdenÐzetai h apìklish tou pedÐou taqÔthtac (~∇ · ~u = 0, kaign¸sh twn phg¸n strobilismoÔ (ìpou (~∇×~u 6= 0)) orÐzei apìluta to pedÐo taqÔthtac. Ena tè-toio pardeigma eÐnai o eleÔjeroc strìbiloc ìpou èqoume shmeiak phg peirou strobilismoÔ,pou qarakthrÐzetai apì thn kukloforÐa tou.

Opwc eÐdame sto keflaio astrìbilhc ro c (me ~∇×~u = 0), h apìklis tou pedÐou taqÔthtac(~∇·~u) kajorÐzei apìluta thn ro , ìpwc sthn perÐptwsh thc grammik c phg c pou qarakthrÐzetai


apì ton rujmì ro cQ. Sthn perÐptwsh de pou h ro tan kai asumpÐesth tìte h ro kajorÐzetaiapì to dunamikì taqÔthtac pou upakoÔei thn exÐswsh Laplace, kai orÐzetai apì tic oriakècsunj kec pou mporeÐ na perilambnoun kai shmeiakèc phgèc apìklishc. Gia thn perÐptwsh depou èqoume mÐa katanom phg¸n apìklishc h ro dÐnetai san upèrjesh apì ìlec tic phgèc.

T¸ra ja melet soume thn perÐptwsh ìpou mac dÐnetai h katanom tou strobilismoÔ toupedÐou taqÔthtac ~ζ(~r, t) = ~∇×~u, gia na exgoume thn taqÔthta ~u(~r, t). Ed¸ ja upojèsoume ìtito ugrì ekteÐnetai sto peiro kai to pedÐo strobilismoÔ ellat¸netai sto mhdèn kaj¸c r →∞¸c ζ ∼ k

r2+λìpou k > 0 kai 0 < λ < 1.

7.6 Dianusmatikì dunamikì taqÔthtac

En to pedÐo eÐnai mh apoklÐnon (~∇ · ~u = 0), tìte mporoÔme na qrhsimopoi soume5

~u = ~∇× ~A (7.22)

ìpou ~A(~r, t) eÐnai to dianusmatikì dunamikì taqÔthtac. EÐnai de profanèc ìti h taqÔthta ~uden metablletai an sto dunamikì ~A prosjèsoume thn klÐsh oiasd pote bajmwt c sunrthshcX, dhlad ~A → ~A + ~∇X. AntÐstrofa, ìmwc, an gnwrÐzoume to pedÐo taqÔthtac o orismìctou dianusmatikoÔ dunamikoÔ den eÐnai monos mantoc. Autì fusik den dhmiourgeÐ prìblhmadiìti to ~A eÐnai èna bohjhtikì dinusma kai den eÐnai mesa parathr simh posìthta. Sun jwcepibllontai kpoiec epiplèon sunj kec, ¸ste na epilèxoume mÐa apì tic pijanèc lÔseic. H piosuqn eÐnai

~∇ · ~A = 0 (7.23)

pou sthn hlektrodunamik onomzetai sunj kh metasqhmatismoÔ(bajmÐdac) Coulomb. Autìpnta mporeÐ na ikanopoihjeÐ me thn katllhlh epilog thc aujaÐrethc sunrthshc X.

Stìqoc mac eÐnai na exgoume to dianusmatikì dunamikì apì thn katanom strobilismoÔ~ζ(~r, t). AntikajistoÔme gia to pedÐo taqÔthtac apì thn (7.22) sthn sqèsh gia ton strobilismìtou kai paÐrnoume

~ζ ≡ ~∇× ~u = ~∇× ~∇× ~A (7.24)

En de qrhsimopoi soume thn dianusmatik sqèsh

~∇× ~∇× ~A = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A

kai ton periorismì (7.23) èqoume

∇2 ~A = −~ζ (7.25)

5Ena antÐstoiqo prìblhma sthn hlektrodunamik eÐnai h eÔresh tou statikoÔ magnhtikoÔ pedÐou, ~B(~r),

pou eÐnai mh apoklÐnon, ìtan gnwrÐzoume thn katanom twn reumtwn, ~J(~r) sto q¸ro. Kai ekeÐ mporoÔme na

orÐsoume to antÐstoiqo dianusmatikì dunamikì ~A(~r. Ta apotelèsmata isqÔoun me thn antistoiqÐa

~∇ · ~B = 0, ~u→ ~B

~∇× ~B =4π

c~J(~r, t), ~ζ =

4π

c~J(~r, t).

7.6. DIANUSMATIK'O DUNAMIK'O TAQ'UTHTAS 13

pou eÐnai isodÔnamh me treic exis¸seic Poisson gia tic treic sunist¸sec tou ~A. Ètsi gia thnx1-sunist¸sa èqoume

A1(~r) =1

4π

∫V∞

ζ1(~r′)

|~r − ~r′|d~r′ (7.26)

ìpou to olokl rwma gÐnetai se ìlo ton ìgko tou ugroÔ, me antÐstoiqec sqèseic gia tic llecdÔo sunist¸sec, ¸ste

~A(~r) =1

4π

∫V∞

~ζ(~r′)

|~r − ~r′|d~r′ (7.27)

EÐnai eÔkolo na deÐxei kaneÐc ìti h (7.27) ikanopoieÐ ton periorismì ~∇ · ~A = 0, kajìson

~∇~r · ~A(~r) =1

4π

∫V∞

~∇~r ·(

~ζ(~r′)

|~r − ~r′|

)d~r′ =

= − 14π

∫V∞

~∇~r′·(

~ζ(~r′)

|~r − ~r′|

)d~r′ (7.28)

ìpou o deÐkthc sto ~∇~r ( ~∇~r′) dhl¸nei thn parag¸gish wc proc ~r ( ~r′) antÐstoiqa kai meta-trèyame thn ~∇r se ~∇r′ qrhsimopoi¸ntac ìti

~∇~r1

|~r − ~r′|= −~∇~r′

1

|~r − ~r′|(7.29)

kai to gegonìc ìti ~∇ · ~ζ = 0. Ac jewr soume ton peiro ìgko V∞ san to ìrio enìc ìgkou V0

me aktÐna R0 ìtan R0 →∞. Tìte èqoume

~∇~r · ~A = − limRo→∞

14π

∫V0

~∇~r′ ·[~ζ(~r′)

|~r − ~r′|

]d~r′ =

= − limR0→∞

14π

∫S0

ζn(~r′)

|~r − ~r′|dS′ (7.30)

ìpou metatrèyame to olokl rwma ston ìgko V0 se epifaneiakì olokl rwma sthn epifneiaS0 pou perikleÐei ton ìgko V0, qrhsimopoi¸ntac to je¸rhma Gauss. Sthn (7.30) ζn eÐnai hprobol tou strobilismoÔ kjeth sthn peribllousa epifneia S0, dhlad ~ζ · d~S′ ≡ ζndS

′.Sthn efarmog tou parapnw jewr matoc mporoÔme na èqoume kai epifneiec ìpou to dinusmastrobilismoÔ eÐnai asuneqèc, arkeÐ h kjeth sunist¸sa ζn na eÐnai suneq c6.

En t¸ra proume to ìrio R0 →∞ tìte lìgw thc sumperiforc stì peiro tou |~ζ| < kr2+λ

pnw sthn S0 èqoume

limR0→∞

∫S0

ζn(~r′)

|~r − ~r′|dS′ = 0 (7.31)

kai epomènwc deÐxame ìti isqÔei h upìjesh ~∇ · ~A = 0. Òlec oi parapnw sqèseic isqÔoun anjewr soume ìti o strobilismìc ( 6= 0) periorÐzetai se èna ìgko V ∗ pou perikleÐetai apì thnepifneia S∗, en tautìqrona upojèsoume ìti dia mèsw thc S∗ èqoume sunèqeia thc kjethcsthn epifneia sunist¸sac tou strobilismoÔ. Ètsi epeid èxw apì thn S∗ èqoume ~ζ = 0, lìgw

6Ja tan endiafèron na skefteÐ kaneÐc to hlektrostatikì anlogo.


Sq ma 7.10: Sq ma 7.10 Digramma gia to olokl rwma ston upologismì tou pedÐou taqÔthtac

apì ton strobilismì.

thc sunèqeiac ja èqoume kai ζn = 0 sthn epifneia S∗. Sthn perÐptwsh aut de, epeid ostrobilismìc ektìc S∗ eÐnai mhdèn, èqoume ìti to epifaneiakì olokl rwma sthn S∗ eÐnai Ðsokai antÐjeto me autì sthn peirh epifneia S∞, kai epomènwc pli isqÔei ìti ~∇ · ~A = 0.Tautìqrona to olokl rwma sthn (7.27) mporeÐ na perioristeÐ mìno ston ìgko ìpou èqoume mhmhdenikì strobilismì.

Apì thn (7.22) kai (7.27) mporoÔme na gryoume to pedÐo taqÔthtac

~u(~r) = ~∇~r ×1

4π

∫V∞

~ζ

|~r − ~r′|d~r′ =

=1

4π

∫V∞

[~∇~r

1|~r − ~r′|

]× ~ζd~r′ = 1

4π

∫V∞

~ζ(~r′)× n|~r − ~r′|2

d~r′ (7.32)

ìpou n = ~R/|~R| me ~R = ~r − ~r′ eÐnai to monadiaÐo dinusma pou en¸nei thn phg sto ~r′ toupedÐou taqÔthtac ro c (pou sthn prokeimènh perÐptwsh eÐnai o strobilismìc) me to shmeÐo ~rìpou upologÐzetai h epÐdrash thc phg c, en¸ h olokl rwsh gÐnetai gia ìlo ton ìgko ìpouèqoume phgèc. Stì Sq. 7.10 parousizoume èna bohjhtikì digramma gia ton upologismì twnoloklhrwmtwn sthn (7.32). Akìmh kai gia thn perÐptwsh gramm c strobilismoÔ sto epÐpedo toolokl rwma eÐnai arket polÔploko, kai mìno gia summetrikèc katanomèc strobilismoÔ gÐnetaianalutik. Sthn (7.32) qrhsimopoi same to gegonìc ìti to ~∇~r× ~ζ(~r′) = 0 kai th dianusmatik sqèsh

~∇× (f~ζ) = ~∇f × ~ζ + f ~∇× ~ζ

.Apì thn (7.32) blèpoume ìti to pedÐo taqÔthtac èqei suneisfor apì kje shmeÐo tou

reustoÔ me mh mhdenikì strobilismì. EÐnai to dianusmatikì jroisma ìlwn twn shmeÐwn kaih mègisth suneisfor eÐnai sthn sunist¸sa thc taqÔthtac kjethc ston strìbilo, en¸ densuneisfèrei sth taqÔthta parllhla ston strìbilo.

En o strobilismìc eÐnai periorismènoc sto q¸ro kai endiaferìmaste gia to pedÐo taqÔthtacarket èxw apì aut thn perioq tìte mporoÔme ìpwc kai gia to magnhtikì pedÐo na orÐsoumeto dÐpolo strobilismoÔ

~m =∫

(~r′ × ~ζ)d~r′ (7.33)

kai h posìthta sto olokl rwma eÐnai h puknìthta dipolik c rop c strobilismoÔ, to antÐstoiqo

7.7. PED'IO TAQ'UTHTAS GIA LEPT'ES GRAMM'ES STROBILISMO'U. 15

thc magn thshc gia reÔmata,

~M = ~r′ × ~J (7.34)

To antÐstoiqo dianusmatikì dunamikì gia to dÐpolo strobilismoÔ dÐnetai wc

~A(~r) =~m× ~r|~r|3

(7.35)

kai to pedÐo taqÔthtac

~u(~r) ≈ 3er(er · ~m)− ~m

|~r|3(7.36)

ìpou er eÐnai monadiaÐo dinusma sthn kateÔjunsh ~r. Kai aut h sqèsh isqÔei makri apì todÐpolo kai èxw apì thn perioq strobilismoÔ.

Oi parapnw sqèseic bgaÐnoun eÔkola an arqÐsoume apì to olokl rwma tou dianusmatikoÔdunamikoÔ sthn (7.27) kai anaptÔxoume ton paronomast wc

1

|~r − ~r′|≈ 1|~r|

+~r · ~r′

|~r|3+ · · · (7.37)

ìpou krat same mìno touc dÔo pr¸touc ìrouc. Oi upìloipoi ìroi perilambnoun polÔplokecgwniakèc sunart seic7 O pr¸toc ìroc den dÐnei suneisfor sto olokl rwma diìti ~∇ · ~ζ = 0 .O deÔteroc ìroc met apì kpoiec prxeic dÐnei to apotèlesma pou anafèrame.

7.7 PedÐo taqÔthtac gia leptèc grammèc strobilismoÔ.

Ac jewr soume thn perÐptwsh ìpou o strobilismìc eÐnai entopismènoc se mÐa kampÔlh C kaiqarakthrÐzetai apì thn kukloforÐa K, h opoÐa eÐnai stajer kat m koc tou n matoc gia miadiadrom gÔrw apì to n ma. Tìte mporoÔme na ekfrsoume ton strobilismì sto n ma wc

~ζ =K

δAet (7.38)

ìpou et eÐnai èna monadiaÐo dinusma efaptomenikì se kje shmeÐo tou n matoc, kai δA eÐnai hepifneia thc diatom c. Sthn perÐptwsh aut to olokl rwma ston ìgko thc (7.32) metatrèpetaise olokl rwma pnw sto n ma strobilismoÔ.

~u(~r) =K

4π

∫C

et(~r′)× n|~r − ~r′|2

ds′ (7.39)

ìpou pli to n eÐnai monadiaÐo dinusma apì thn phg proc to shmeÐo parat rhshc (dec Sq.7.11) kai ds′ eÐnai metatìpish kat m koc tou n matoc. H sqèsh aut mac jumÐzei ton nìmoBiot−Savart gia ton upologismì tou magnhtikoÔ apì ton strobilismì tou pou eÐnai to reÔmakat m koc enìc agwgoÔ. Me mia shmantik diafor ìti sthn perÐptwsh tou agwgoÔ eÐnaistajerìc sto q¸ro en¸ to n ma strobilismoÔ sto reustì akoloujeÐ thn ro tou reustoÔsÔmfwna me ta prohgoÔmena sumpersmata.

An kai sun jwc den èqoume mìno èna n ma strobilismoÔ, lìgw thc grammik c sqèshc metaxÔtaqÔthtac kai strobilismoÔ mporeÐ na epektajei se poll n mata me upèrjesh twn lÔsewn gia

7To anptugma dÐnetai sunart sei dianusmatik¸n sfairik¸n armonik¸n sunart sewn kai dÐnoun polupolik

anaptÔgmata. Leptomèreiec p.q. Jackson, Classical Electrodynamics.


Sq ma 7.11: Sq ma 7.11 Digramma gia to olokl rwma ston upologismì tou pedÐou taqÔthtac

gia ( a) èna n ma strobilismoÔ kai (b) kuklikì brìgqo strobilismoÔ.

kje n ma. En to n ma eÐnai periorismèno sto q¸ro kai endiaferìmaste gia to pedÐo taqÔthtactìte mporoÔme ìpwc kai gia to magnhtikì pedÐo na orÐsoume to dÐpolo strobilismoÔ gia ènabrìgqo

~m =K

2

∮C

(~r′ × et) (7.40)

kai anaferìmenoi sto Sq. 7.11b gia ton kleistì epÐpedo brìgqo h posìthta sto olokl rwmamac dÐnei to embadìn tou brìgqou. Etsi h magnhtik rop strobilismoÔ eÐnai kjeth sto brìgqokai proc ta pnw en¸ to mètro tou eÐnai

|~m| = K( embadìn) (7.41)

Uprqoun peript¸seic ìpou èqoume mia katanom parllhlwn nhmtwn strobilismoÔ (decSq. 7.12 ), pou isodunameÐ me mia epifneia strobilismoÔ. Sthn perÐptwsh aut h olokl rwshgÐnetai se ìlh thn epifneia twn nhmtwn kai to pedÐo taqÔthtac dÐnetai apì thn sqèsh

~u(~r) =1

4π

∫SK0

et(~r′)× n|~r − ~r′|2

dS′ (7.42)

ìpou K0 eÐnai h kukloforÐa an monda m kouc (isqÔc thc epifneiac strobÐlwn) kai mporeÐ nametablletai apì n ma se n ma. An ta n mata eÐnai peirou m kouc sthn z−kateÔjunsh, tìteto pedÐo taqÔthtac grfetai wc

~u(~r) =1

2π

∮CK0

ez × n|~r − ~r′|2

ds′ (7.43)

ìpou h kampÔlh C eÐnai h tom me to z−epÐpedo.H epifneia nhmtwn stobilismoÔ èqei shmantikèc efarmogèc sthn aerodunamik . To prìblhma

eisèrqetai sthn melèth twn didistatwn pterugÐwn. EkeÐ gia polÔ lept pterÔgia mporoÔme nata antikatast soume me mia epifneia strobÐlwn. Ac anaferjoÔme sth ro epÐshc gÔrw apìèna sma stì pÐsw mèroc enìc polÔ leptoÔ str¸matoc (Sq. 7.13). Oi taqÔthtec sto pnw kaiktw mèroc eÐnai diaforetikèc pou mac dÐnei mia asunèqeia sthn krh. En¸ ston ìgko thc ro cden uprqei strobilismìc, all sto epÐpedo thc asunèqeiac ta swmatÐdia èqoun kai peristrof .Autì sumbaÐnei se èna polÔ leptì str¸ma. Aut h ro eÐnai isodÔnamh me thn uparxh epifneiacstrobÐlwn sto epÐpedo asunèqeiac.

7.8. DIDI'ASTATH RO'H KAI MONOAXONIK'OS STROBILISM'OS. 17

Sq ma 7.12: Sq ma 7.12 Epifneia strobilismoÔ parllhlwn nhmtwn.

Sq ma 7.13: Sq ma 7.13 Roèc me diaforetikèc taqÔthtec pou en¸nontai sto pÐsw mèroc enìc

aiqmhroÔ s¸matoc.

7.8 Didistath ro kai monoaxonikìc strobilismìc.

En gènei o upologismìc tou pedÐou taqÔthtac gia trisdistath katanom strobilismoÔ eÐnaièna polÔploko upologistikì prìblhma. En ìmwc èqoume didistath ro , o strobilismìc eÐnaimonoaxonikìc en¸ gia summetrik katanom tou strobilismoÔ ta oloklhr¸mata eÐnai sqetikeÔkola. Sth sunèqeia loipìn ja parousisoume merik tètoia paradeÐgmata. Stìqoc maceÐnai na doÔme thn mèjodo sthn prxh all kai na antl soume apì ta antÐstoiqa probl matakatanom c reumtwn ston upologismì tou magnhtikoÔ pedÐou.

Fusik to pio aplì pardeigma eÐnai autì tou eujÔgrammou strobÐlou ìpou o strobilismìcmporeÐ na grafeÐ wc

~ζ = Kδ(~R)ez (7.44)

kai apì thn sqèsh () eÔkola brÐskoume to pedÐo taqÔthtac. Qrhsimopoiìntac thn gewmetrÐa tousq matoc 7.15, kai ton nìmo Biot-Savard me peristrofik summetrÐa, èqoume mìno efaptomenik sunist¸sa, Ðsh me

uφ(R) =K

4π

∫ +∞

−∞

s sin θs3

dz′ =K

2πR,

ìpou qrhsimopoi same ìti (dèc Sq. 7.14) s =√R2 + (z − z′)2. To pedÐo taqÔthtac eÐnai

anexrthto tou z. Etsi h ro eÐnai didistath kai h phg anafèretai suqn wc shmeiak .Gia na apofÔgoume ton apeirismì tou strobilismou ston xona mporoÔme na jewr soume tomontèllo Rankine tou eleÔjerou strobÐlou.


Sq ma 7.14: Sq ma 7.14 GewmetrÐa gia thn olokl rwsh kat m koc thc gramm c strobilismoÔ.

Sq ma 7.15: Sq ma 7.15 Strìbiloc Rankine. Aktinik katanom thc taqÔthtac kai tou stro-

bilismoÔ.

7.8.1 EleÔjeroc strìbiloc me pur na (Montèllo Rankine)

Sto pardeigma enìc eleÔjerou idanikoÔ strobÐlou, o strobilismìc eÐnai pantoÔ mhdèn ektìcapì thn eujeÐa sto ~R = 0. O mhdenismìc tou strobilismoÔ gia thn kajar kuklik ro ofeÐle-tai sthn exrthsh thc efaptomenik c sunist¸sac thc taqÔthtac uφ(R) antistrìfwc anlogaapì thn apìstash R apì ton xona tou strobÐlou. Aut ìmwc akrib¸c h exrthsh dhmiourgeÐprobl mata sto shmeÐo ~R = 0 ìpou o strobilismìc den orÐzetai. Gia na apofÔgoume aut thn duskolÐa ja prospaj soume na exetsoume thn perÐptwsh ìpou o pur nac tou strobÐlou,dhlad h perioq ìpou o strobilismìc den mhdenÐzetai eÐnai peperasmènoc kÔlindroc me aktÐnaa. Gia thn akrib morf tou pedÐou taqÔthtac mporeÐ na proume mÐa idèa an parathr soumeèna atmosfairikì strìbilo (upojètontac ìti h kjeth sunist¸sa thc taqÔthtac eÐnai amel-htèa). EkeÐ blèpoume ìti uprqei ènac pur nac aktÐnac a o opoÐoc peristrèfetai sqedìn sanstereì s¸ma me stajer gwniak taqÔthta Ω, en¸ gia megalÔterec aktÐnec gr gora teÐnei stoneleÔjero strìbilo qwrÐc pur na.

`Etsi loipìn o Rankine diatÔpwse to paraktw montèllo

uφ =K3

2πR, R > a (7.45)

uφ = ω0R =K3R

2πa2, R < a (7.46)

ìpou dialèxame thn gwniak taqÔthta ω0 tou pur na, ¸ste na èqoume sunèqeia thc taqÔthtacsthn epifneia R = a. H stajer K3 eÐnai h kukloforÐa gia mia kuklik troqi me aktÐnaR > a, kai eÐnai anexrthth thc aktÐnac, ìpwc ja perimèname kajìson gia R > a isqÔei hÐdia taqÔthta ìpwc kai gia ton shmeiakì strìbilo. AntÐjeta ìmwc gia kuklikèc troqièc sto

7.8. DIDI'ASTATH RO'H KAI MONOAXONIK'OS STROBILISM'OS. 19

eswterikì tou pur na exarttai apì thn aktÐna,

K =∮CR

~u · d~l =∫ 2π

0uφRdφ

=∫ 2π

0(ω0R)Rdφ = 2πω0R

2 , R < a (7.47)

kai èxw apì ton pur na èqoume

K =∫ 2π

0ω0a2

RRdφ = 2πω0a

2 ≡ K3 , R > a (7.48)

Prosèxte ìti parìlo pou o strobilismìc mhdenÐzetai gia R > a, èqoume peperasmènh kuklo-forÐa gia kuklik troqi pou perikleÐei ton kÔlindro aktÐnac a. Autì eÐnai katanohtì diìti anqrhsimopoi soume to je¸rhma Stokec gia na metatrèyoume to epikampÔlio olokl rwma thctaqÔthtac sthn (9) se epifaneiakì gia ton strobilismì tìte h kuklik epifneia perilambneikai perioqèc ìpou ~ζ 6= 0, (sthn pragmatikìthta ~ζ = 2ω0 =stajer se ìlo ton pur na). Ètsiloipìn to apotèlesma gia thn kukloforÐa tan anamenìmeno, dhlad gia R < a K = 2ω0(πR2)ìpou πR2 h epifneia entìc tou kÔklou CR. Ètsi loipìn ìlh h suneisfor sthn kukloforÐaproèrqetai apì ton pur na tou strobÐlou. Kje diadrom de pou den dièrqetai apì ton pur nadÐnei mhdenik kukloforÐa.

Apì to montèllo tou Rankine mporoÔme eÔkola na metaboÔme sto montèllo tou shmeiakoÔ(sthn pragmatikìthta eujÔgrammou) strobÐlou, an proume ta ìria a → 0 kai ω0 → ∞ all2πω0a

2 = K3 =stajer. Ètsi loipìn apofÔgame ton apeirismì thc taqÔthtac sto ~R = 0.Parìla aut ìmwc to montèllo Rankine den eÐnai apìluta ikanopoihtikì kajìson èqoumeasunèqeia sto R = a gia ton strobilismì pou eÐnai parathr simh posìthta. Autì antikatop-trÐzetai kai wc asunèqeia sthn pr¸th pargwgo tou uφ wc proc R (Sq ma 7.15 ).

Gia ton upologismì thc pÐeshc gia to exwterikì mèroc R > a qrhsimopoioÔme to je¸rhmaBernoulli me

P = −12ρ

(K

2πR

)2

, R > a

Ston pur na mporoÔme na qrhsimopoi soume thn exÐswsh Euler gia diat rhsh orm c, gia tonupologismì thc aktinik c bajmÐdac pÐeshc. Sthn sunèqeia oloklhr¸noume wc proc thn aktÐnakai h stajer pou prokÔptei upologÐzetai exis¸nontac me thn exwterik pÐesh sthn aktÐna a.Etsi

dP

dR= −ρaR = ρω0R

kai oloklhr¸nontac8

P =12ρ

(K

2πa2

)2

R2 + C, R < a

8Ja mporoÔsame pli na upologÐsoume thn pÐesh apì thn exÐswsh diat rhshc enèrgeiac all prèpei na

upologÐsoume kai to èrgo pou gÐnetai lìgw strobilismoÔ kaj¸c metakinoÔmaste aktinik. Etsi h diat rhsh

enèrgeiac gia R < a mac dÐnei

P = −1

2ρu2

φ +

∫ R

0

(~u× ~ζ) · d~R+ C

To olokl rwma gia to èrgo tou strobilismoÔ eÐnai(K

2πa2

)2

R2

en¸ h stajer C upologÐzetai ìpwc prohgoumènwc. To apotèlesma eÐnai to Ðdio me autì apì thn exÐswsh

orm c.


me

C = −ρ(K

2πa

)2

.

Etsi, èna epiplèon apotèlesma thc katanom c tou strobilismoÔ se mÐa kuklik epifneia aktÐnaca eÐnai, ìti kai h pÐesh ston xona R = 0 eÐnai peperasmènh kai Ðsh me

P (R = 0) = −ρ(K

2πa

)2

se sqèsh me thn pÐesh sto peiro. H mègisth bajmÐda pÐeshc eÐnai sthn epifneia tou pur natou strobÐlou (R = a) auxnei anloga thc kukloforÐac kai antistrìfwc anloga thc ak-tÐnac tou pur na. Autì shmaÐnei ìti n sthn perifèreia tou pur na, uparqei èstw kai mikr aktinik sunist¸sa thc taqÔthtac, aut topik ja enisqujeÐ kai ja èqoume epitqunsh reust¸nswmatidÐwn proc ton xona. Etsi èqei endiafèron na doÔme ton sundiasmì aktinik c ro c kaieleÔjerou strobÐlou .

Lìgw tou ix¸douc perimènoume ìti aut h asunèqeia exomalunetai en¸ epÐshc perimènoumediqush tou strobilismoÔ se megalÔterec aktÐnec. Apì thn exÐswsh diqushc strobilismoÔperimènoume ìti h aktÐna a metablletai me ton qrìno san a(t) ≈ 2

√2νt. Gia to nerì ν =

10−6m2/sec kai qreizetai 1 leptì gia na gÐnei h aktÐna perÐpou 1cm. Ston aèra èqoumeν ≈ 15 × 10−6m2/sec kai qreizetai 10 ¸rec gia na gÐnei h aktÐna 1m. Etsi h diqushtou strobilismoÔ eÐnai mia arg diadikasÐa kai mporeÐ suqn na paralhfjeÐ, idiaÐtera ìtanuprqoun èntona fainìmena tent¸matoc twn gramm¸n strobilismoÔ, ìpwc sumbaÐnei p.q. stonanemostrìbilo.

Epeid h diqush eÐnai polÔ arg o olikìc ìgkoc tou pur na enìc anemostrìbilou paramèneistajerìc. Etsi an to uyoc tou L auxhjeÐ kat thn qronik exèlixh, tìte h aktÐna a mei¸netai,ètsi ¸ste to ginìmeno La2 = stajer. H sqetik metabol touc dÐnetai apì thn sqèshda/dL = −a/(2L). Epeid ìmwc kai o olikìc strobilismìc (dhl. h kukloforÐa) paramèneistajerìc èqoume ω0a

2 = stajer , pou shmaÐnei ìti h gwniak taqÔthta ω0 metablletaianloga me to L. Autì shmaÐnei ìti metablletai h kinhtik enèrgeia tou strobÐlou. To èrgopou apaiteÐtai eÐnai autì pou gÐnetai apì thn pÐesh9 gia na èqoume epim kunsh kat L.

Eqontac upologÐsei thn pÐesh, H olik dÔnamh pou askeÐtai sthn epaf me to èdafoc eÐnai

∫ Rm

0P (2πR)dR =

ρK2

4π

[34

+ ln(Rma

)]ìpou Rm eÐnai h mègisth exwterik aktÐna. Autì epiblletai diìti alloi¸c h dÔnamh apeirÐzetaiall kai diìti suqn epiblletai apì oriakèc sunj kec.

To Ðdio apotèlesma ja broÔme an upologÐsoume thn kinhtik enèrgeia ston strìbilo m koucL kai sth sunèqeia paragwgÐsoume wc proc to m koc L. H kinhtik enèrgeia gia m koc L eÐnai

12ρ

∫ Rm

0u2φ(2πR)dR =

ρK2L

4π

[14

+ ln(Rma

)]ìpou pli bzoume mègisth aktÐna. ParagwgÐzontac wc proc L kai lambnontac upìyh ìtitautìqrona h aktÐna a metablletai10, èqoume thn dÔnamh pou upologÐsame prohgoumènwc.

9Ed¸ prèpei na afairèsoume kai to èrgo pou gÐnetai apì thn atmosfairik pÐesh sto pnw kro. All h

pÐesh pou upologÐzoume eÐnai se sqèsh me thn atmosfairik kai epìmènwc autì sunupologÐzetai.10Kai h gwniak taqÔthta ω0 metablletai all h kukloforÐa paramènei stajer .

7.9. EPIF'ANEIA STROBILISMO'U 21

7.9 Epifneia strobilismoÔ

7.9.1 Epifneia strobilismoÔ se ro shmeÐou hremÐac.

Upì to f¸c tou pedÐou strobilismoÔ, axizei na epanexetsoume to prìblhma dÔo antÐjetwnro¸n stajer c taqÔthtac (dèc Kef. 5.??) pou eÐnai epÐshc isodÔnamo me th ro stajer ctaqÔthtac kjeta se èna stsimo epÐpedo. H ro aut lègetai kai ro shmeÐou hremÐac mepedÐo taqÔthtac ~u = (−Ux,Uy). H ro me stajer taqÔthta U proseggÐzei to kjeto epÐpedo(x = 0), me elattoÔmenh taqÔthta kai h ro diaqwrÐzetai pnw h ktw apì ton x−xona,anloga me to prìshmo tou y. Ac jewr soume t¸ra ìti h sunj kh mh olÐsjhshc epiblletaipnw sto epÐpedo. Autì mporeÐ na epiteuqjeÐ an antikatast soume to epÐpedo me èna epÐpedostrobilismoÔ sto x = 0+ kai to eÐdwlì tou sto epÐpedo x = 0− me grammik puknìthtastrobilismoÔ (h kukloforÐac) K0 = Ωy. Kai stic dÔo peript¸seic h kjeth kai h parllhlhsunist¸sa thc taqÔthtac mhdenÐzetai pnw sto epÐpedo.

7.9.2 Epifneia strobilismoÔ me omogen isqÔ.

Ac jewr soume thn omogen katanom strobilismoÔ sto disthma [−d, d] ston x−xona. Hkatanom ja mporoÔse na èqei kai mikrì eÔroc sthn y kateÔjunsh. Thn antikajistoÔme ìmwcme katanom sto epÐpedo y = 0 kai isqÔ an monda m kouc sthn x-kateÔjunsh K0 pou orÐzetaiapì thn sqèsh

K0(x) = −∫ L

Lζz(x, y)dy

H x−sunist¸sa tou pedÐou taqÔthtac dÐnetai apì thn sqèsh (7.43)

u(x, y) = − 12π

limd→∞

∫ d

−d

y − y′

(x− x′)2 + (y − y′)2

K0(x′)dx′

v(x, y) =1

2πlimd→∞

∫ d

−d

x− x′

(x− x′)2 + (y − y′)2

K0(x′)dx′

En jewr soume omogen katanom me K0 stajer kai bloume y′ = 0, kai eisgoume thnmetablht ξ = x−x′

y èqoume

u(x, y) = −K0

2πlimd→∞

∫ (x+d)/y

(x−d)/y

1ξ2 + 1

dξ =

K0

2πlimd→∞

tan−1[(x− d)/y]− tan−1[(x+ d)/y]

v(x, y) = −K0

2πlimd→∞

∫ (x+d)/y

(x−d)/y

ξ

ξ2 + 1

dξ = −K0

4πlimd→∞

ln(ξ2 + 1)∣∣∣[(x+d)/y]

[(x−d)/y]

Sto ìrio peirou epipèdou d → ∞ gia thn x− sunist¸sa thc taqÔthtac èqoume anlogame to prìshmo tou y

u(x, y) = −K0

2, an y > 0

u(x, y) =K0

2, an y < 0

en¸ to olokl rwma gia thn y-sunist¸sa sto ìrio d → ∞ mhdenÐzetai lìgw summetrÐac seìlo ton q¸ro. Etsi h fusik eikìna pou èqoume gia thn ro eÐnai dÔo antÐjeta parllhlareÔmata stajer c ro c ìpwc faÐnetai sto Sq. 7.16. To pedÐo taqÔthtac eÐnai ìmoio me to


Sq ma 7.16: Sq ma 7.16 EpÐpedh epifneia strobilismoÔ omogenoÔc katanom c K0 = dK/dx.

magnhtikì pedÐo enìc epipèdou reÔmatoc. H asunèqeia eÐnai qarakthristik sumperifor giaepÐpeda strobilismoÔ peperasmènou h peirou eÔrouc. En to d eÐnai peperasmèno, perimènoumethn Ðdia asunèqeia sthn epifneia strobilismoÔ, all ektìc aut c ja èqoume sunèqeia. Hasunèqeia aut dÐnei peirh diatmhtik tsh pnw sto epÐpedo. Autì polÔ sÔntoma ja odhg seise exomlunsh thc asunèqeiac ¸ste pnw sto epÐpedo na mhdenÐzetai h x−sunist¸sa thctaqÔthtac. H metabol ìmwc pli ja gÐnei se èna polÔ mikrì eÔroc sthn y-kateÔjunsh sÔmfwname thn diqush tou strobilismoÔ makri apì thn epifneia. Etsi h lÔsh pou br kame eÐnaiikanopoihtik sqedìn pantoÔ ektìc apì mia mikr perioq gÔrw apì thn epifneia strobilismoÔ.

7.9.3 Kulindrik epifneia strobilismoÔ me omogen isqÔ.

Ac jewr soume kulindrik epifneia strobilismoÔ aktÐnac a, kai omogenoÔc katanom c thcgrammik c puknìthtac kukloforÐac

K0 =1a

dK

dφ.

O strobilismìc eÐnai sthn z−kateÔjunsh (dec Sq. 7.17). Lìgw kulindrik c summetrÐac denperimènoume na èqoume aktinik sunist¸sa thc taqÔthtac,

uR = 0, pantoÔ

Mèsa ston kÔlindro kai h efaptomenik sunist¸sa mhdenÐzetai. Gia kje kuklik diadrom stoeswterikì h kukloforÐa mhdenÐzetai (mhdèn strobilismìc) kai lìgw kulindrik c summetrÐac kaih taqÔthta prèpei na mhdenÐzetai

uφ = 0, R < a.

To Ðdio apotèlesma perimènoume kai gia mia kulindrik epifneia reÔmatoc. MporeÐ epÐshc nabgeÐ apì thn efarmog thc (7.43). Ektìc tou kulÐndrou pli mporoÔme na efarmìsoume thn(7.43), all ja protim soume eukolìtero drìmo. Pli èqoume kulindrik summetrÐa kai shmasÐaèqei h olik kukloforÐa, h opoÐa isoÔtai me 2πaK0. en¸ gia R > a den èqoume strobilismììpwc gia ton eleÔjero strìbilo. Eqoume

uφ =K0a

R, R > a

7.9.4 Kulindrik epifneia strobilismoÔ me metaballìmenh isqÔ.

Sthn prohgoÔmenh kulindrik epifneia bzoume katanom strobilismoÔ pou exarttai apì thngwnÐa φ me isqÔ

1a

dK

dφ= −2K0 sinφ

7.10. AXOSUMMETRIK'H RO'H 23

Sq ma 7.17: Sq ma 7.17 Kulindrik epifneia strobilismoÔ omogenoÔc katanom c.

Sq ma 7.18: Sq ma 7.18 Kulindrik epifneia strobilismoÔ me metaballìmenh puknìthta stro-

bilismoÔ

. Den èqoume pia kulindrik summetrÐa kai epomènwc èqoume kai aktinik sunist¸sa thc taqÔth-tac. An efarmìsoume thn (7.43) ja broÔme gia to pedÐo taqÔthtac ektìc kulÐndrou

uR(R,φ) = −K0

(a

R

)2

cosφ gia R > a

uφ(R,φ) = −K0

(a

R

)2

sinφ gia R > a

kai entìc kulÐndrou,uR(R,φ) = −K0 cosφ gia R < a

uφ(R,φ) = −K0 sinφ gia R < a

Oi grammèc ro c gia thn perÐptwsh aut dÐnontai sto Sq. 7.18 kai blèpoume ìti mèsa stonkÔlindro èqoume stajer ro apì dexi proc ta arister me taqÔthtaK0. Exw apì ton kÔlindroeÐnai Ðdio me autì pou dhmiourgoÔn èna eujÔgrammo dÐpolo ro c me kateÔjunsh ton −x xona.EÐnai de akrib¸c h ro gia èna stereì kÔlindro aktÐnac a pou kineÐtai apì dexi proc aristerme taqÔthta K0 (dec kef. 5).

7.10 Axosummetrik ro

Gia asumpÐesth ro se 2-D h sunrthsh ro c exasfalÐzei ìti mhdenÐzetai h apìklish tou pedÐoutaqÔthtac. Gia axosummetrik ro èqoume peristrofik summetrÐa wc proc φ. Sthn perÐptwshaut h taqÔthta sundèetai me thn sunrthsh reÔmatoc Stokes Ψ(R, z) wc

~u =(− 1R

∂Ψ∂z

, 0,1R

∂Ψ∂R

)(7.49)


Oi sqèseic autèc ja mporoÔsan na grafoÔn kai wc

~u = ~∇×(

ΨReφ

)

H eisagwg tou pargonta 1R gia kulindrikèc suntetagmènec, eÐnai ìti jèloume h sunrthsh

ro c na eÐnai stajer stic grammèc ro c ìpwc sumbaÐnei kai stic kartesianèc suntetagmènec.

kai o strobilismìc dÐnetai apì

~ζ =1R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

eR Reφ k

∂/∂R ∂/∂φ ∂/∂z

uR uφ uz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −

[1R

∂2Ψ∂z2− ∂

∂R

(1R

∂ψ

∂R

)]eφ (7.50)

to opoÐo grfetai en suntomÐa

~ζ = − 1R

(∆2Ψ)eφ (7.51)

ìpou o telest c

∆2 =∂2

∂z2+ r

∂

∂R

(1R

∂

∂R

)(7.52)

diafèrei apì thn Laplasian . Kai sthn perÐptwsh aut pou h ro eÐnai pnw se epÐpedo poudièrqetai apì ton z-xona, o strobilismìc eÐnai sto epÐpedo, dhlad sthn eφ-kateÔjunsh. Apìthn () blèpoume ìti o strobilismìc eÐnai h phg thc sunrthshc Ψ.

Gia mÐa axosummetrik ro ja mporoÔsame na qrhsimopoi soume kai sfairikèc suntetag-mènec me Ψ(r, θ), ¸ste

~u(r, θ) = ~∇×(

Ψr sin θ

eφ

)kai se suntetagmènec

ur =1

r2 sin θ∂Ψ∂θ

uθ = − 1r sin θ

∂Ψ∂r

Me thn epilog aut mporoÔme na deÐxoume ìti h sunrthsh Ψ eÐnai stajer kat m koc twngramm¸n ro c. Ontwc

(~u · ~∇)Ψ = ur∂Ψ∂r

+uθr

∂Ψ∂θ

= 0.

Gia mìnimh axosummetrik ro , h exÐswsh strobilismoÔ aplopoieÐtai wc

(~u · ~∇)(

ζzr sin θ

)= 0

7.10. AXOSUMMETRIK'H RO'H 25

7.10.1 Axosummetrikìc strìbiloc (Hill)

O strìbiloc autìc parousizetai sth stajer ro gÔrw apì mÐa sfairik reust mza, p.q.h ro aèra gÔrw apì stagìna neroÔ, an paraleÐyoume to ix¸dec. Dhl. h idèa eÐnai na an-tikatast oume th sfaÐra me sfairikì strìbilo, ètsi ¸ste na ikanopoioÔntai dÔo sunj kec

• H kjeth sunist¸sa taqÔthtac sthn sfairik epifneia mhdenÐzetai, ìpwc gia th steresfaÐra.

• H efaptomenik sunist¸sa thc taqÔthtac sthn epifneia thc sfaÐrac (aktÐna a) eÐnai Ðshme aut thc stere c sfaÐrac.

Apì ta prohgoÔmena sunepgetai ìti o sfairikìc strìbiloc den epirezei thn exwterik ro , h opoÐa paramènei astrìbilh. Stì eswterikì thc sfairik c epifneiac èqoume strobil-ismì o opoÐoc ikanopoieÐ thn thn exÐswsh strobilismoÔ. H lÔsh brÐsketai me thn eisagwg thc sunrthshc ro c Stokes, kai èqei arket b mata. Ed¸ ja protim soume na d¸soume toapotèlesma kai na analÔsoume th ro . Etsi gia ton strobilismì se kulindrikèc suntetagmènec((R,φ, z)), èqoume

~ζ = −BReφ, gia, R2 + z2 < a2

en¸ sto exwterikì thc sfairik c epifneiac o strobilismìc mhdenÐzetai. Oi grammèc strobil-ismoÔ dÐnontai apì thn R = stajer kai eÐnai kÔkloi sto epÐpedo z = stajer `Etsi loipìnèqoume axosummetrikì strobilismì entìc thc sfaÐrac me astrìbilh ro sto exwterikì thc. HantÐstoiqh taqÔthta ro c mporeÐ na brejeÐ qrhsimopoi¸ntac thn sunrthsh reÔmatoc Stokes,h opoÐa ikanopoieÐ thn exÐswsh (dec ..)

− 1R

∆2Ψl = ~ζ = −BReφ (7.53)

ìpou

∆2 =∂2

∂z2+ r

∂

∂R

(1R

∂

∂R

)pnw sthn sfaÐra aktÐnac a kai qwrÐc llh idiomorfÐa sto eswterikì thc. H lÔsh thc eÐnai11

H taqÔthta ro c se kulindrikèc suntetagmènec i th morf

~u = uR(R, z)eR + uz(R, z)k (7.54)

me

uR = − 1R

∂Ψ∂z

= −B5Rz, uz =

1R

∂Ψ∂R

= −B10

(a2 − z2)

kai oi antÐstoiqec grammèc reÔmatoc dÐnontai sto sq ma 7.19. H pÐesh upologÐzetai apì apìthn exÐswsh ormhc h apì thn genikeumènh exÐswsh diat rhshc enèrgeiac, pou perilambnei kaito èrgo lìgw strobilismoÔ. Etsi

P (R, z) = P0 +12ρB2

a2(2z2 −R2)−R2(z2 −R2)

Pnw sthn sfairik epifneia h pÐesh eÐnai anlogh tou z2 en¸ kat m koc tou z−xona èqeithn mègisth tim sthn tom z = ±a kai h opoÐa prèpei na isoÔtai me thn pÐesh sto shmeÐo

11Gia eukolÐa dÐnetai epÐshc se sfairikèc suntetagmènec

Ψ(r, θ) = −3

4Ur2

(1− r2

a2

)sin2 θ.


Sq ma 7.19: Sq ma 7.19 PedÐo taqÔthtac sfairikoÔ strobÐlou Hill.

hremÐac gia thn ro gÔrw apì stere sfaÐra. To shmeÐo autì eÐnai epÐshc shmeÐo hremÐac kaiapì to eswterikì. To ìti o strobilismìc eÐnai asuneq c sthn epifneia den eÐnai prìblhma,efìson den uparqei ix¸dec.

Sto exwterikì thc sfaÐrac h Ψ ikanopoieÐ ∆2Ψ = 0, kajìson o strobilismìc eÐnai mhdènekeÐ. Tautìqrona h lÔsh ikanopoieÐ kai tic sunj kec pou blame.

En upologÐsoume th ro strobbilismoÔ mèsw miac hmisfairik c diatom c, tìte h olik kukloforÐa eÐnai

Km =∫ π

0dθ

∫ a

0rdrζφ = −15U

2a2

∫ π

0dθ

∫ a

0drr2 sin θ = −5Ua,

ìpou h olokl rwsh ègine se sfairikèc suntetagmènec. Etsi, an paÐrname èna strìbilo Hillkai ton topojetoÔsame se akÐnhto reustì, o strìbiloc ja kinhjeÐ me taqÔthta Km/5a, ìpwckai sthn perÐptwsh tou daqtulidioÔ.

7.11 Mìnimoc strìbiloc Burgers.

O strìbiloc Rankine eÐnai mÐa beltÐwsh wc proc thn mìnimh ro enìc eleÔjerou strobÐlou(se 2-D), kajìson me thn katanom tou strobilismoÔ, apofeÔgoume afÔsikouc apeirismoÔc.To meionèkthm tou eÐnai ìti èqoume asunèqeia ston strobilismì. Fusik, eÐnai katanohtì,ìti h Ôparxh ix¸douc ja exwmalÔnei thn asunèqeia tou strobilismoÔ (dèc 6.12). Autì ìmwcdhmiourgeÐ èna sobarìtero prìblhma. To ix¸dec odhgeÐ kai se diqush tou strobilismoÔ,¸ste polÔ gr gora o strìbiloc ja exasjen sei kai h ro mac den eÐnai mìnimh. Autì loipìnpou mac endiafèrei, eÐnai na broÔme èna mhqanismì enÐsqushc tou strobilismoÔ ston pur na,¸ste na exisorropÐsoume thn diqus tou. Tètoio mhqanismì eÐdame ìtan suzht same thnexÐswsh diat rhshc tou strobilismoÔ. EÐdame ìti oi adraniakoÐ ìroi metaforc, oi opoÐoi denuprqoun lìgw summetrÐac sto montèllo Rankine, mporoÔn na odhg soun se "tèntwma twngramm¸n strobilismoÔ. Tautìqrona odhgoÔn kai se strof twn gramm¸n strobilismoÔ kaikat sunèpeia se metatìpish tou strobÐlou. Kai ta dÔo aut qarakthristik eÐnai epijumhtgia thn kataskeu enìc aploÔ montèllou anemostrìbilou. Eqei loipìn endiafèron na doÔme, nmporoÔme na sundisoume pr¸ta to tèntwma twn grammwn strobilismoÔ me thn diqush ¸stena èqoume mìnimh ro .

Uprqei èna tètoio pardeigma pou eÐnai akrib c lÔsh thc exÐswshc Navier− Stokes (gn-wst wc strìbiloc Burgers), pou perilambnei kai ta trÐa fainìmena. Autì gÐnetai prosjè-tontac aktinik sunist¸sa (uR) thc taqÔthtac proc ton xona tou strobÐlou. En ìmwcepijumoÔme asumpÐesth ro 12, ja prèpei na èqei dièxodo sthn z−kateÔjunsh (dec Sq. 7.??).Mia kai h efaptomenik taqÔthta uφ(R) den suneisfèrei sthn aÔxhsh ìgkou, oi dÔo sunist¸secuR kai uz ikanopoioÔn thn exÐswsh sunèqeiac

1R

∂

∂R(RuR) +

∂uz∂z

.

12EpijumoÔme na diathr soume thn summetrÐa wc prìc th gwnÐa φ.

7.11. M'ONIMOS STR'OBILOS BURGERS. 27

Sq ma 7.20: Sq ma 7.20. (a) Strìbiloc Burgers. (b) Metabol thc efaptomenik c taqÔthtac

uφ(R).

MÐa pijan lÔsh gia tic dÔo sunist¸sec eÐnai

uR = −12αR, uz = αz, (7.55)

ìpou α mÐa stajer. O ìroc pou mac endiafèrei sthn exÐswsh strobilismoÔ (~u · ~∇)~ζ me~ζ = ζz(R)ez aplopoieÐtai wc uR

∂ζz∂R ez kai odhgeÐ se metatìpish twn gramm¸n strobilismoÔ

proc ton zona. H z− sunist¸sa thc taqÔthtac me ton ìro (~ζ · ~∇)~u = ζz∂uz∂z ez teÐnei na

epimhkÔnei tic grammèc strobilismoÔc. Kai oi dÔo ìroi, èqoun san apotèlesma thn enÐsqushtou strobilismoÔ kont ston pur na, kai s' autì bo jhse h katllhlh epilog thc exrthshctou pedÐou taqÔthtac kai strobilismoÔ apì tic suntetagmènec.

Eqoume loipìn, gia to pedÐo taqÔthtac

~u(R, z) = −12αReR + uφ(R)eφ + αzez (7.56)

. Fusik apomènei na broÔme thn efaptomenik taqÔthta apì thn exÐswsh diat rhshc orm c, hisodÔnama mporoÔme na broÔme ton strobilismì ζz(R) apì thn exÐswsh diat rhshc strobilis-moÔ. Ta dÔo sundèontai wc

ζz(R) =1R

d

dR(Ruφ).

H exÐswsh strobilismoÔ gia to mìnimo pedÐo (7.55) èqei mìno z−sunist¸sa kai eÐnai

uR∂ζz∂R

+ ζz∂uz∂z

+ ν∇2ζz = 0

kai antikajistìntac gia tic sunist¸sec uR kai uz èqoume

−12αR

∂ζz∂R

+ αζz + ν1R

∂

∂R

(R∂ζz∂R

)= 0

Pollaplasizontac me R kai sundizontac touc dÔo pr¸touc ìrouc13 èqoume

−α d

dR

12R2ζz + ν

∂

∂R

(R∂ζz∂R

)= 0

13H epilog gia tic sunist¸sec uR kai uz apì thn exÐswsh sunèqeiac, bo jhse na sundisoume touc dÔo

ìrouc se koinì diaforikì kai na broÔme analutikèc lÔseic.


−α2Rζz + ν

∂ζz∂R

= 0

ìpou h stajer olokl rwshc mhdenÐsthke lìgw thc oriak c sunj khc gia ton strobilismìsto peiro. Ed¸ upojètoume ìti h efaptomenik taqÔthta sto peiro pèftei toulqiston san1R , en¸ kai h aktinik taqÔthta den suneisfèrei ston strobilismì sto peiro. Tautìqronalìgw thc sugkèntrwshc twn gramm¸n strobilismoÔ prìc ton xona èqoume gr gorh pt¸shsto peiro. Oloklhr¸nontac thn () èqoume gia ton strobilismì

~ζ(R) =αΓ4πν

e−αR2/4ν ez, (7.57)

en¸ eÔkola upologÐzetai ìti stajer olokl rwshc Γ, eÐnai h olik ro strobilismoÔ mèswenìc peirou epipèdou kjetou ston xona, dhl.∫

S

~ζd~S = 2π∫ ∞

0ζzRdR =

∫ ∞0

αΓ4πν

e−αR2/4νRdR = Γ,

all apì thn () faÐnetai ìti o strobilismìc eÐnai sugkentrwmènoc se mÐa aktÐna

R0 =√

4να.

Apì thn (7.57) me olokl rwsh, èqoume gia thn efaptomenik sunist¸sa thc taqÔthtac

uφ(R)Γ

2πR

(1− e−αR2/4ν

)O upologismìc thc pÐeshc èqei arketèc prxeic giatÐ prèpei na qrhsimopoi soume thn

exÐswsh Navier − Stokes. Perimènoume na eÐnai anexrthth thc gwnÐac φ, kai mporeÐ nagrafeÐ wc P (R, z) = F (R) +G(z). H exrthsh apì to Ôyoc eÐnai

G(z) = −12ρ(αz)2

, kai h antÐstoiqh dÔnamh an monda mzac eÐnai proc ta pnw (gia z > 0) kai auxnei me

to Ôyoc. H bajmÐda thc pÐeshc sthn aktinik kateÔjunsh eÐnai ∂P∂R = −ρ

[14α

2R− u2φ

R

], kai

h sunrthsh F (R) dÐnetai me th morf oloklhr¸matoc. Ed¸ ja dìsoume mìno ta ìria kontston xona kai sto peiro.

∂P

∂R=

−ρα2

[14 −

(Γ2π

)2]R R R0

−ρα2 14R R→∞

(7.58)

Etsi kont ston xona oi dunmeic eÐnai proc ton xona efìson h kukloforÐa eÐnai arketisqur kai èqoume aktinik ro . Makri èqoume dunmeic proc ta èxw lìgw thc aktinik c ro csto peiro.

SunoyÐzontac, na tonÐsoume ìti h lÔsh eÐnai mìnimh parìlo kai pou èqoume ix¸dec aut diathreÐtai ep' peiron14. Apì touc treÐc ìrouc sthn exÐswsh strobilismoÔ, o pr¸toc mac dÐneimetafor twn gramm¸n strobilismoÔ proc ton xona. Gia na gÐnei autì, apaiteÐtai aktinik bajmÐda tou strobilismoÔ. O ìroc autìc mac dÐnei mègisto rujmì aÔxhshc tou strobilismoÔ

14Mlista, n den eÐqame ix¸dec h aktinik ro odhgeÐ se suneq aÔxhsh tou strobilismoÔ kai h ro mac

den eÐnai mìnimh, opìte prèpei na èqoume kai thn topik metabol me to qrìno tou strobilismoÔ.

7.11. M'ONIMOS STR'OBILOS BURGERS. 29

Sq ma 7.21: Sq ma 7.21. (a) Sqhmatik eikìna anemostrìbilou (b) Metatìpish qwnÐou lìgw

aktinik c taqÔthtac.

sthn aktÐna R0, en¸ mhdenÐzetai ston xona kai sto peiro. O deÔteroc ìroc eÐnai h epim kunshtwn gramm¸n strobilismoÔ kai apaiteÐtai bajmÐda thc taqÔthtac sthn z−kateÔjunsh kai èqeithn mègisth tim ston xona. To jroisma twn dÔo ìrwn antistajmÐzei thn diqush. Oloi oiìroi pèftoun gr gora sto peiro, all autì epeteÔqjh eisgontac aktinik ro me apeirismìthc taqÔthtac gia R→∞. Autì ìmwc, eÔkola diorj¸netai n upojèsoume ìti h aktinik ro arqÐzei apì mÐa kulindrik epifneia peperasmènhc aktÐnac a R0 kai taqÔthta sthn epifneiauR(a) = −1

2αa. Autì ja mporoÔse na epiteuqjeÐ kai apì mÐa piì polÔplokh ro , h opoÐa ìmwckont sto strìbilo gÐnetai aktinik kai ellat¸netai. Lìgw thc gr gorhc pt¸shc tou strobil-ismoÔ, perimènoume ìti h sÔzeuxh thc polÔplokhc ro c makri apì ton strìbilo me ton strìbiloeÐnai amelhtèa. Kti tètoio sumbaÐnei kai sthn perÐptwsh enìc anemostrìbilou, ìpou h isqur bajmÐda pÐeshc kont ston xona dÐnei shmantik aktinik epitqunsh, ¸ste na èqoume shman-tik aktinik taqÔthta kont ston anemostrìbilo. Sto epìmeno keflaio ja anaferjoÔme stakÔria qarakthristik tou anemostrìbilou. Tìte ja doÔme mÐa llh adunamÐa tou strobÐlouBurgers. MÐa idiaiterìthta tou strobÐlou Burgerc eÐnai ìti, h aktÐna tou strobÐlou sundèetaime thn deutereÔousa aktinik ro (mèsw tou α), en¸ to pltoc thc efaptomenik c taqÔth-tac makri apì ton pur na tou strobÐlou, exarttai mìno apì thn kukloforÐa Γ. Otan ìmwcèqoume peristrof tou reustoÔ anmesa se dÔo epÐpeda, ìpwc sumbaÐnei kai st n atmìsfaira,tìte èqoume sÔzeuxh twn dÔo kai to prìblhma gÐnetai arket piì sÔnjeto, ¸sta na xefeÔgeianalutik c antimet¸pishc. En toÔtoic, to parìn montèllo eÐnai polÔ qr simo gia thn poiotik perigraf tou fainomènou tou anemostrìbilou.

7.11.1 KÔria qarakthristik anemostrìbilou

Oi anemostrìbiloi sun jwc sumbaÐnoun se kataigÐdec, pou eÐnai èna polÔploko kairikì fainì-meno. En toÔtoic sth sÔnjeth aut dom , oi anemostrìbiloi apoteloÔn sqedìn autodhmiourgoÔ-mena kai diathroÔmena fainìmena. PolÔ aploik mporoÔme na poÔme ìti ènac anemostrìbilocapoteleÐtai apì trÐa mèrh. MÐa peristrefìmenh st lh aèra me aktÐna mikrìterh apì misì qil-iìmetro. Kaj¸c anebaÐnoume se Ôyoc auxnei se aktÐna dhmiourgìntac èna qwnÐ pou katal geise èna nèfoc. To nèfoc kai h epèktas tou proc ta ktw san qwnÐ, eÐnai oratì diìti s' autìèqoume adiabatik ektìnwsh, pou odhgeÐ se yÔxh kai dhmiourgÐa stagonidÐwn, lìgw sumpÔkn-wshc. Oi orizìntiec taqÔthtec se anemostrìbilo mporeÐ na ftsei mèqri kai 200 km/hr. Apìjewrhtikèc ìmwc ektim seic kai parathr seic èqoume akìmh megalÔterec kjetec taqÔthteckat m koc tou xona. H for peristrof c tou sto bìreio hmisfaÐrio eÐnai dexiìstrofh haristerìstrofh, kai toÔto diìti lìgw thc mikr c distas c tou h yeudodÔnamh Coliolis denpaÐzei rìlo. En toÔtoic, h parathroÔmenh for peristrof c eÐnai dexiìstrofh kai toÔto diìtianaptÔssontai sun jwc se meglwn diastsewn kairik fainìmena, ìpou oi yeudodunmeicCoriolis paÐzoun rìlo kai to kuklwnikì sÔsthma èqei shmantik dexiìstrofh kukloforÐa.


AxÐzei na exetsoume thn dhmiourgÐa kai exèlixh enìc anemostrobÐlou ktw apì to prÐsmathc exÐswshc metabol c tou strobilismoÔ. En me kpoio trìpo dhmiourg soume èna strìbilopeperasmènou m kouc, tìte autìc den ja ektonwjeÐ an uprqei kat m koc tou xona toustrobÐlou ro me auxanìmenh kjeth sunist¸sa thc taqÔthtac me to Ôyoc. Autì mporeÐ naepiteuqjeÐ me isqur jermik reÔmata metaforc anÔywshc. Gi' autì suqn sumbaÐnoun ìtanèqoume yuqr aèria reÔmata pnw apì jerm epifneia thc g c, ìpwc sumbaÐnei to kalokaÐri.Aut, ìpwc exhg same sto montèllo Burgers, odhgoÔn se stènema kai epim kunsh15 toustrobÐlou. Tautìqrona sto pnw mèroc dhmiourgeÐtai lìgw thc ektìnwshc èna nèfoc, toopoÐo eÔkola akoloujeÐ th ro thc atmìsfairac kai metatopÐzetai eÔkola parasÔrontac kai toqwnÐ. Efìson de uprqei kjeth bajmÐda thc orizìntiac taqÔthtac tìte ja teÐnei na strèyeito qwnÐ kai h kÐnhsh aut metadÐdetai mèqri to str¸ma tou strobÐlou se epaf me to èdafoc.Tìte èqoume metatìpish me katastreptikèc sunèpeiec sth diadrom tou, kajìson ston pur natou strobìlou, ìpou ìloc o strobilismìc sugkentr¸netai me meglec taqÔthtec peristrof c,èqoume polÔ qamhlèc pièseic. H dÔnamh strobilismoÔ (~ζ · ~∇)~u apaiteÐ isqurì strobilismìen¸ arkeÐ isqur bajmÐda thc taqÔthtac. Autì shmaÐnei ìti, gia na eÐnai upologÐsimh, pr¸taapaiteÐtai h anptuxh tou strobÐlou kai met ja gÐnei h metatìpish tou strobÐlou. H bajmÐdataqÔthtac uprqei pnta lìgw thc sunj khc mh olÐsjhshc sthn epifneia thc g c kai thcÔparxhc oriakoÔ str¸matoc.

Tautìqrona, uyhl aktinik bajmÐda thc pÐeshc teÐnei na ton¸sei kai thn kjeth ro , kaj¸cèlkei suneq¸c jerm mza proc ton xona, pou diafeÔgei proc ta pnw, auxnontac suneq¸c tonstrobilismì. Etsi exhgeÐtai kai h ektÐmhsh ìti o anemostrìbiloc eÐnai mÐa ontìthta pou diathreÐ-tai gia meglo disthma. Fusik ìtan paÔsei èna apì ta aparaÐthta stoiqeÐa pou anafèrame kaih zw tou ja termatisteÐ. Tautìqrona, anaptÔssontai kai èntona fainìmena tÔrbhc ta opoÐabohjoÔn sthn isqur diqush tou strobilismoÔ. PrÐn to tèloc tou ìmwc èqei fèrei apÐsteuteckatastrofèc. Na tonÐsoume ìti oi mhqanismoÐ gèneshc kai exèlixhc twn anemostrìbilwn eÐnaiarket pio sÔnjetoi. ArkeÐ na parathr soume ìti oi hlektrikèc ekken¸seic sthn atmìsfairaapoteloÔn sunuprqonta fainìmena kai eÐnai polÔ pijanìn na epirezoun thn dhmiourgÐa touc.Ed¸ apl¸c prospaj same na dìsoume mÐa sunep eikìna pou perigrfei thn dunamik sumper-ifor twn. S' autì bo jhse kai to aplì montèllo Burgers, apì to opoÐo ìmwc den prèpei nadeqìmaste ìla ta sumpersmata.

.

7.12 AlhllepÐdrash dÔo eujÔgrammwn strobÐlwn

Sthn mèqri t¸ra melèth twn strobÐlwn, touc jewr same ìti o xonc touc eÐnai akÐnhtoc.EÐdame ìmwc (Kef. 5.12), ìti ènac strìbiloc me kukloforÐa K > 0pou brÐsketai se stajer ro , me taqÔthta U sthn x−kateÔjunsh aisjnetai dÔnamh me mètro ρUK sthn +y kateÔjunsh.Epomènwc perimènoume ìti ja epitaqunjeÐ sthn Ðdia kateÔjunsh efìson den askeÐtai exwterik dÔnamh gia na antistajmÐsei thn dÔnamhMagnus. To Ðdio ja sumbeÐ ìtan èqoume perissìterouctou enìc strobÐlouc. O kje strìbiloc aisjnetai dÔnamh lìgw tou pedÐou taqÔthtac ìlwntwn llwn strobÐlwn, ektìc tou dikoÔ tou.

Ac jewr soume dÔo parllhlouc eujÔgrammouc strobÐlouc, antÐjethc forc me kuklo-forÐa K se apìstash d ston y− xona (dèc Sq. 7.22). H taqÔthta pou pedÐou taqÔthtac enìcston llo eÐnai

U =K

2πd

15Iswc h epimÔkunsh gia èna peirou m kouc strìbilo mac akougìtan lÐgo perÐergo. Gia peperasmèno m koc

gÐnetai piì katanohtì. Se kje perÐptwsh anafèretai sthn metafor strobilismoÔ.

7.12. ALHLLEP'IDRASH D'UO EUJ'UGRAMMWN STROB'ILWN 31

sthn x−kateÔjunsh, kai epomènwc o xonac tou deÔterou strobÐlou ja kinhjeÐ me aut thntaqÔthta. O kje strìbiloc den dÐnei metaforik kÐnhsh ston eautì tou, diìti èqei mìnoefaptomenik taqÔthta. Thn Ðdia dÔnamh ja aisjanjeÐ kai o lloc strìbiloc kai ja kinhjeÐ methn Ðdia taqÔthta parllhla me ton prohgoÔmeno se apìstash d. H troqi sthn opoÐa kineÐtaio kje strìbiloc dÐnetai apì thn olokl rwsh thc

d~q

dt= Ui.

Sthn y−kateÔjunsh den èqoume metatìpish twn strobÐlwn. Autì shmaÐnei ìti h dÔnamhMagnus pou eÐnai elktik gia thn perÐptws mac, antistajmÐzetai apì thn apwstik dÔnamhmetaxÔ twn dÔo strobÐlwn. H dÔnamh Magnus èqei mètro

ρUK =ρK2

2πd,

ìpou antikatast same gia thn taqÔthta tou strobÐlou. H apwstik dÔnamh anmesa stoucdÔo strobÐlouc uprqei diìti ja protimoÔsan na apomakrunjoÔn ¸ste na elaqistopoi soun thnolik enèrgeia (kinhtik sthn perÐptws mac). Gia ton upologismì thc dÔnamhc aut c arkeÐ naupologÐsoume to èrgo gia na ellat¸soume thn apìstash twn dÔo strobÐlwn kat δd. AutìisoÔtai me thn metabol thc kinhtik c enèrgeiac. Kai diairìntac me δd èqoume thn dÔnamh. Toapotèlesma eÐnai autì pou upologÐsame prohgoumènwc kai epomènwc den ja epanalboume tonupologismì. Ja mporoÔsame ìmwc na to eÐqame mantèyei an ekmetalleuìmastan thn analogÐame thn dÔnamh anmesa se dÔo parllhlouc agwgoÔc antÐjetou reÔmatoc. H dÔnamh sthnperÐptwsh aut èqei mètro an monda m kouc tou agwgoÔ

µ0I2

2πd.

Qrhsimopoiìntac thn antistoiqÐa pou eÐdame sto Kef. 5, I → K kai µ0 → ρ èqoume giathn pwsh twn strobÐlwn ìti se mètro isoÔtai me thn dÔnamh Magnus. Na shmei¸soume ìti,en¸ h pwsh twn dÔo strobÐlwn uprqei kai gia stajeroÔc strobÐlouc, h dÔnamh MagnusapaiteÐ thn kÐnhsh tou strobÐlou. Etsi n af soume eleÔjerouc touc dÔo strobÐlouc, antÐ naapomakrunjoÔn, metatopÐzontai parllhla, lìgw thc leitourgÐac kai thc dÔnamhc Magnuc.

Sto endimeso epÐpedo pou qwrÐzei touc dÔo strobÐlouc, h taqÔthta ro c èqei mìno x−sunist¸sa.Etsi ja mporoÔsame na topojet soume èna lepto ulikì qwrÐc na epiresoume th ro . Autìproupojètei ìti to epÐpedo den dhmiourgeÐ ixwdikèc tseic. Sth sun jh perÐptwsh pou èqoumeix¸dec, to oriakì str¸ma pou dhmiourgeÐtai sthn epifneia eÐnai polÔ leptì se sÔgkrish methn apìstash d. Etsi an apomakrunjoÔme lÐgo apì to epÐpedo, to pedÐo ro c eÐnai to Ðdio. Etsito prìblhma thc ro c enìc strobÐlou parllhlou sthn epifneia, eÐnai isodÔnamo me autì twndÔo strobÐlwn qwrÐc to epÐpedo, efìson den pme polÔ kont sthn epifneia. En ìmwc tooriakì str¸ma eÐnai shmantikì, tìte ja èqoume stadiak apìsbesh tou strobilismoÔ all kaithc metaforik c kÐnhshc tou strobÐlou.

EÐdame ìti dÔo elejeroi strìbiloi antÐjethc forc kinoÔntai kjeta sto dinusma pou tasundèei. Ac doÔme t¸ra thn perÐptwsh pou oi dÔo strìbiloi èqoun thn Ðdia for. Tìte htaqÔthta pou dÐnetai se kje strìbilo apì to pedÐo tou llou eÐnai antÐjethc forc metaxÔtouc. San apotèlesma oi dÔo strìbiloi diagrfoun kuklik troqi, se diametrik antÐjetashmeÐa, gÔrw apì èna xona pou eÐnai sto kèntro thc apìstas c touc (Sq. 7.22b). H efap-tomenik taqÔthta eÐnai U = K

2πd kai h gwniak taqÔthta peristrof c K2πd2

.AxÐzei na parathr soume thn ro gia thn perÐptwsh dÔo antÐjetwn strobÐlwn, sto sÔsthma

pou kineÐtai mazÔ touc16. Gia to pedÐo taqÔthtac arkeÐ na sundisoume th ro dÔo akÐnhtwn

16Gia na broÔme th lÔsh sto arqikì sÔsthma knoume tic allagèc x→ x− Ut kai ~u→ ~u+ Ui.


kef7-022.jpg

Sq ma 7.22: Sq ma 7.22. (a) KÐnhsh dÔo strobÐlwn antÐjethc forc. (b) KÐnhsh dÔo

strobÐlwn Ðdiac forc. Diagrfoun kuklik troqi.

Sq ma 7.23: Sq ma 7.23. (a) KÐnhsh dÔo strobÐlwn Rankine antÐjethc forc.

strobÐlwn me mÐa stajer ro se antÐjeth kateÔjunsh me taqÔthta−U . To dunamikì taqÔthtackai h sunrthsh ro c eÐnai

Φ(x, y) = −Kx2πd− K

2π

tan−1 (y − d/2)

x− tan−1 (y + d/2)

x

Ψ(x, y) = −Ky2πd− K

2πln

√x2 + (y − d/2)2

x2 + (y + d/2)2

ìpou o pr¸toc ìroc antistoiqeÐ sthn stajer ro me taqÔthta −U . EÔkola epibebai¸noume,ìti sto kinoÔmeno sÔsthma, oi strìbiloi eÐnai akÐnhtoi, dhl, ~u(x = 0, y = ±d/2) = 0. TashmeÐa hremÐac sto kinoÔmeno sÔsthma anaforc eÐnai pnw sto diaqwristikì epÐpedo (y = 0)kai gia x = ±

√34d. Mlista èqoume epilèxei th stajer sth sunrthsh ro c ¸ste h tim thc

grammhc pou dièrqetai apì ta shmeÐa hremÐac eÐnai mhdèn. Etsi uprqei mÐa epifneia apokop c(Ψ(x, y) = 0), h opoÐa metafèretai mazÐ me touc strobÐlouc. En loipìn, eÐqame qrwmatÐsei toreustì sthn perioq aut , tìte sto arqikì sÔsthma anaforc, h qrwmatismnh perioq kineÐtaimazÐ me touc strobÐlouc.

San epèktash autoÔ tou probl matoc, mporoÔme na jewr soume dÔo kulindrikèc perioqècaktÐnac a me stajer katanom strobilismoÔ antÐjethc forc se kje mÐa, kai se apìstash twnaxìnwn metaxÔ touc d. Me lla lìgia èqoume dÔo strobÐlouc Rankine (Sq. 7.23). An jewr -soume thn taqÔthta ro c se kje perioq lìgw tou llou strobÐlou,aut den eÐnai omogen cse ìlh thn epifneia katanom c tou strobilismoÔ. Etsi ektìc apì thn metatìpish tou kèntroumzac ja èqoume kai peristrof gia kje strìbilo se antÐjeth for apì ton strobilismì tou.H elttwsh aut thc stroform c ja eÐnai mikrìterh ìso mikrìterh eÐnai h aktÐna a. En oidÔo strìbiloi Rankine èqoun Ðdio strobilismì, tìte ja èqoume thn kuklik kÐnhsh, ìpwc giashmeiakoÔc strobÐlouc, all tautìqrona ja èqoume kai antallag stroform c, diathr¸ntacstajer thn olik stroform (Sq. 7.24).

7.12. ALHLLEP'IDRASH D'UO EUJ'UGRAMMWN STROB'ILWN 33

Sq ma 7.24: Sq ma 7.24. KÐnhsh dÔo strobÐlwn Rankine Ðdiac forc. Diagrfoun kuklik

troqi all antallsoun kai stroform .

kef7-025.jpg

Sq ma 7.25: Sq ma 7.25. (a) DaqtulÐdi strobÐlou metatopÐzetai kjeta. (b)Digramma

taqÔthtacsto sÔsthma tou daqtulidioÔ.

7.12.1 AlhllepÐdrash dÔo kuklik¸n strobÐlwn. DaktulÐdia kapnoÔ.

Sth melèth twn grammik¸n strobÐlwn jewroÔme ìti to m koc eÐnai peiro. Kai toÔto epeid oigrammèc strobilismoÔ telei¸noun h stì peiro h se kpoia epifneia. To je¸rhma Helmholzepitrèpei kai mia trÐth dunatìthta pou eÐnai h sun jhc na kleÐnoun ston eautì touc sqhmatÐzon-tac kleistoÔc brìgqouc. Mia tètoia perÐptwsh eÐnai ta daktulÐdia strobilismoÔ, pou sun jwceÐnai gnwst apì to epikÐnduno spìr tou kapnÐsmatoc, all parathroÔntai kai se reust. Apl¸csthn perÐptwsh aut qreizetai mia apl kataskeu , h opoÐa ìmwc eÐnai akÐndunh. Kai stic dÔopeript¸seic apaiteÐtai gia thn parat rhsh o qrwmatismìc tou reustoÔ. Sthn perÐptwsh toukapnou, aut ofeÐletai sta swmatÐdia kapnoÔ pou metafèrontai se meglh puknìthta apì todaqtulÐdi strobilismoÔ.

Gia na katalboume thn kÐnhsh tou daqtulidioÔ arkeÐ na jumhjoÔme ta apotelèsmata giathn allhlepÐdrash dÔo parllhlwn strobÐlwn antÐjethc forc. An proume dÔo diametrikshmeÐa tou daktulidioÔ aut èqoun antiparllhlo strobilismì (dèc Sq. 7.27). San apotèlesmato daqtulÐdi kineÐtai kjeta ston eautì tou me taqÔthta U = K

4πb , ìpou b eÐnai h aktÐna toudaqtulidioÔ.

An dhmiourg soume dÔo tètoia daqtulÐdia parllhla metaxÔ touc (dèc Sq. 7.28) japarathr soume ìti ìqi mìno metatopÐzontai ìpwc an htan anexrthta, all èqoume mia en-diafèrousa diadikasÐa, pou exhgeÐtai me thn arq diat rhshc strobilismoÔ. Ac jewr soumeìti ta dÔo daqtulÐdia eÐnai arqik Ðdia. To pedÐo taqÔthtac tou daqtulidioÔ pou akoloujeÐteÐnei na aux sei thn aktÐna tou mprostinoÔ daqtulidioÔ kai fusik elatt¸sei thn taqÔthtapro¸jhshc. Tautìqrona to pÐsw mei¸nei thn aktÐna tou kai epomènwc auxnei thn taqÔthta touprolabaÐnontac to mprostinì kai dierqìmeno mèsa apì autì. St sunèqeia h diadikasÐa aut epanalambnetai (dec Sq. 7.30). H dieÔrunsh tou pr¸tou daqtulidioÔ faÐnetai sto Sq. 7.28kaj¸c h ro tou pÐsw daktulidioÔ teÐnei na metafèrei tic grammèc strobilismoÔ tou mprostinoÔproc ta èxw, en¸ to antÐjeto sumbaÐnei sto pÐsw, ìpou oi grammèc strobilismoÔ teÐnoun na


kef7-026.jpg

Sq ma 7.26: Sq ma 7.26. (a) ZeÔgoc parllhlwn daqtulidi¸n strobÐlou Stì sq ma faÐnetai

ìti to pÐsw daqtulÐdi teÐnei na metatopÐsei proc ta èxw th gramm strobilismoÔ kai epomènwc

na aux sei to mègejì tou.

metakinhjoÔn proc to kèntro.

7.12.2 Strobilismìc kai sunart seic reÔmatoc

EÐnai qr simo na doÔme pwc sundèetai o strobilismìc me tic sunart seic reÔmatoc ψ kai Ψ pouorÐsame prohgoumènwc.

i) Didistath ro Sthn perÐptwsh aut èqoume

~u = ~∇× (ψk) kai gia ton strobilismì

~ζ = ~∇× ~u = ~∇× [~∇× (ψ~k)] = ~∇[~∇ · (ψk)]−∇2(ψk) (7.59)

kai epeid

~∇ · (ψk) =∂

∂zψ(x, y) = 0

èqoume

~ζ = −(∇2ψ)k (7.60)

dhl. o strobilismìc eÐnai sthn z- kateÔjunsh kai eÐnai h phg thc sunrthshc reÔmatoc.

perieqìmena - university of creteph406.edu.physics.uoc.gr/files/kef7.pdf · kef laio 7...

Documents