persamaan a sin x+ b cos x.pdf
TRANSCRIPT
1
r
FUNGSI F(X)= A COS X + B SIN X MENJADI F(X)= K COS (X-A) DAN
PENGGUNAANNYA
1. Fungsi f(x)= a cos x + b sin x dan Penggunaannya
Dalam ilmu fisika ataupun ilmu terapan lainnya. Kita sering menjumpai perumusan masalah
dapat disajikan dengan menggunakan fungsi trigonometri yang berbentuk : f(x) = a cos + b sin
,dengan a dan b merupakan bilangan real yang tidak nol. Pada gambar diperlihatkan dengan sebuah
motor bakar. Rongga silinder dan piston motor bakar mampu menggerakkan roda melalui engkol
penghubung.
.
Kita ingin mengamati gerak titik P yang terletak pada pinggir roda (perhatikan gambar di
atas) misalkan: roda itu berputar melalui sumbu M dengan kecepatan sudut konstan sebesar
radian/detik. Pada waktu t=0. Titik P berada di dengan besar < = . setelah t detik
kemudian,titik P menemu sudut = . Dengan demikian besar < = ( + ).Jika P adalah proyeksi titik P pada garis tengah AB<maka MP = r cos ( + )dengan
menyatakan panjang jari-jari roda. Dengan menggukan rumus trigonometri jumlah dua sudut. MP = r
cos ( + ) dapat dijabarkan sebagai berikut :
MP = r cos ( + )MP = r cos cos − sin sin
Oleh kerena r dan konstan,maka r cos dan r sin juga konstan. Kita misalkan : r cos = dan –
r sin = ,maka diperoleh :
MP = a cos + sinSelanjutnya,dengan mengganti sudut dengan sudut . MP menjadi :
MP = a cos + sin
ppo
BA
piston
Rongga silinder
M
Engkolpenghubung
roda
busi r
2
Jadi,gerak titik P pada pinggir roda yang diproyeksikan ada garis tengah AB dapat dis ajikan
dengan menggunakan fungsi trigonometri yang berbentuk :f(x) = a cos + . Suatu benda
yang dapat disajikan dengan fungsi seperti itu disebut sebagai gerak selaras,gerak periodik.
Dari uraian diatas memberikan petunjuk kepada kita bahwa fungsi f(x) =a cos + sinperlu untuk dipelajari. Sebagai langkah awal kita akan mempelajari cara mengubah fungsi f(x) = a cos+ sin kedalam bentuk f(x) = k cos (x- ) .
2. Menyatakan bentuk a cos + b sin ke dalam bentuk k cos (x-a)F(x) = a cos + b sin dapat diubah ke dalam bentuk k cos (x-a) , dengan k suatu tetapan
dan 0≤ ≤ 360. Nilai-nilai k dan ditentukan oleh nilai-nilai a dan b dengan proses sebagai
berikut :
a cos + b sin = (cos cos + sin sin )↔ a cos + b sin = cos cos + sinDari persamaan diatas, koefisien cos di ruas kiri harus sama dengan koefisien cos di
ruas kanan begitu pula untuk koefisien sin . Dengan demikian, kita mendapatkan hubungan :
Cos = ..........(1)
Sin = ..........(2)
Tentukan nilai k :
Pengerjaan jumlah kuadrat pada persaman (1) dan (2), di peroleh:+ = +( + ) = += + , sebab ( + = 1k =√ + ,diambil k > 0
3
Tentukan besar
Membagi persamaan (2) dengan persamaan (1).
=
tan =
Tentukan uraian diatas, kita dapat menyimpulkan :cos + sin = cos ( − ) ,berlaku hubungan
k = √ + dan tan =Dari berbagai kemungkinan tanda a dan b,kuadran dari dapat di tetapkan tabel sebagai
berikut :
Tanda a,b tan Kuadran> 0, > 0 > 0 > 0 I< 0, > 0 < 0 < 0 II< 0, < 0 > 0 > 0 III> 0, < 0 < 0 < 0 IV
Dari tabel diatas jelas bahwa kuadran dari sudut sama dengan kuadran dari koordinat titik
(a,b).
Contoh soal :
Ubahlah bentuk cos + √3 sin ke dalam bentuk k cos (x- )Jawab :
cos + √3 sin = k cos (x- )↔ cos + √3 sin = cos . cos + sin . sinDiperoleh : k cos = 1 → = 1k sin = √3 → = √3
4
Nilai k :
k = √ + = (1) + (3) = 2Besarnya sudut :
tan = = √ = √3, dan terletak di kuadran I
↔ = 60∴ cos + √3 sin = 2 cos (x-60)3. Persamaan a cos + = C
Satu kegunaan dari pengubahan bentuk a cos + ke dalam bentuk k cos (x- )setalah untuk menentukan penyelesaian persamaan trigonometri yang berbentuk cos +
= C, dengan a,b, dan c bilangan-bilangan real yang tidak nol.
Mula-mula, bagian ruas kiripada persamaan itu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk k cos
(x- ) , dengan k = √ + dan tan = . kemudian dengan mengganti a cos +dengan k cos (x- ) , persamaan itu menjadi :
k cos (x- ) = C↔ cos (x- ) =
Oleh karena cos (x- ) nilainya antara -1 dan 1, maka agar persamaan cos (x- ) =
mempunyai penyelesaian, syaratnya adalah -1 ≤ ≤ 1.
-1 ≤ ≤ 1↔ − ≤ ≤ , ≥ 0↔ − + ≤ ≤ +Jadi, syarat persamaan a cos + = C mempunyai penyelesaian adalah :
5
− + ≤ ≤ +ǀcǀ ≤ √ +
Setelah bentuk a cos + = C diubah menjadi cos (x- ) = , maka penyelesaiannya
bsa dikerjakan sebagai berikut :
cos (x- ) = = cos , dengan cos =
↔ − = + . 360 atau − = − + . 360↔ = ( + ) + .360 atau = ( − ) + .360Contoh soal :
Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 360 yang memenuhi persamaan
cos – √3 = -1/
Jawab :
cos – √3 = k cos (x- )↔ cos – √3 = cos 0. cos 0 + sin 0. sin 0Diperoleh : k cos = 1k sin = −√3Nilai k :
k = (1) + (−√3) = 2Besarnya sudut :
tan = √ = −√3, dan terletak di kuadran IV
↔ = 300Persamaan cos – √3 = -1 dituliskan menjadi :
6
cos – √3 = 2 cos (x-300) = -1
↔ cos (x-300) = −↔ cos (x-300) = cos 120↔ − 300 = 120 + .360 atau − 300 = −120 + .360↔ = 420 + . 360 atau = 180 + . 360
k = -1 → = 60 k = 0 → = 180jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos – √3 = −1 adalah
Contoh soal:
Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ ≤ 360 yang memenuhi persamaan3 cos + 4 = 23 cos + 4 = cos ( − )⟺ 3 cos + 4 = cos + sinDiperoleh : cos = 3cos = 4Nilai , = (3) + (4) = 5Besarnya sudut :
tan = dan terletak di kuadran I
⟺ = 53, 1Persamaan 3 cos + 4 sin. = 2 dapat ditulis menjadi;3 cos + 4 = 5 cos ( − 53,1) = 2
⟺ cos( − 53,1) = 23
7
⟺ cos( − 53,1) = cos 66, 4⟺ − 53,1 = 66,4 + . 360 atau − 53,1 = −66,4 + . 360⟺ = 119,5 + . 360 atau = −13,3 + . 360= 0 ⟶ = 119,5 = 1 ⟶ = 346,7Jadi, nilai nilai x yang memenuhi persamaan 3 cos + 4 = 2 dalam interval0 ≤ ≤ 360 adalah = 119,5 dan = 346,7
4. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi ( ) = +Dengan mengingat bahwa bentuk cos + dapat diubah bentuk cos( −) . Maka fungsi trigonometri = ( ) = cos + dapat diubah ke dalam
bentuk = ( ) = cos( − ) dengan sebagai konstanta positif dan 0 ≤ ≤ 360 .Misalkan cos + = cos( − ) , maka dengan menguraikan ruas
kanan diperoleh:⟺ cos + = cos( − )⟺ cos + = {cos cos + sin }⟺ cos + = cos cos + sinDengan menyamakn koefisien cos sin diperoleh :cos = asin = b ..............(1)
Bila masing masing ruas dikuadratkan,maka:cos = a2
k sin = b2 +( + ) = a2 + b2
k = a2 + b2 atau = √ +
8
Dari persamaan (1) diperoleh tan = , sedangkan kwadran dari ditentukan dari
diagram dengan menentukan tanda dari cos sin atau tanda dari a dan b karena> 0.
Dengan demikian;
Nilai ditentukan oleh tanda aljabar pada a ( koefisien cos) dan b (koefisien sin),lihat tabel
berikut:
Tanda aljabarTan kuadran
A B
+ + + I
- + - II
- - + III
+ - - IV
Berdasarkan bentuk fungsi diatas, kita dapat menentukan nilai-nilai stationer (nilai
maksimum dan nilai minimum) dari fungsi trigonometri tersebut. Nilai-nilai stasioner yang
dimaksud itu adalah;
(1) Nilai maksimum= = √ 2 + Dicapai untuk cos( − )0 = 1cos( − )0 = 1 = cos 00 ⟺ − = . 360 ⟺ = + . 360
(2) Nilai minimum= − = −√ 2 + Dicapai untuk cos( − )0 = −1cos( − ) = −1 = cos 1800 ⟺ − = 180 + . 360 ⟺ = ( + 180) + . 360
cos + = cos( − ) dengan= √ + dan tan =( disebut kwadrannya dengan tanda a dan b)
9
Berdasarkan uraian diatas ,kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut.
Contoh soal:
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari tiap fungsi trigonometri berikut ini.1) = 2 + 32) = 4 − 33) = √3 cos. 2 + 2Jawab ;1) = 2 + 3 ; = 2; = 3= √ +
= (2) + (3)= √13= −√ +
= − (2) + (3)= −√13
2) = 4 − 3 ; = 4; = −3
cos( − ) = 1cos( − ) = −1
Fungsi trigonometri = ( ) = cos + = cos( − ) . Mempunyai nilai maksimum = √ + untuk
Mempunyai nilai minimum = −√ + untuk
10
= √ += (4) + (−3)= 5= −√ += − (4) + (−3)= −5
3) = √3 cos. 2 + 2 ; = √3; = 1= √ +
= (4) + (−3)= 5= −√ += − (4) + (−3)= −5
2. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum serta nilai-nilai x yang bersesuaian pada
fungsi trigonometri = ( ) = √3 cos − sin , 0 ≤ ≤ 360.Jawab ;
11
Bentuk √3 cos − sin ,dapat diubah menjadi 2 cos( − 330) . Sehingga fungsi =( ) = √3 cos − sin , dapat diubah menjadi = ( ) = 2 cos( − 330)Nilai maksimumnya = 2 dicapai untuk 2 cos( − 330) = 1cos( − 330) = 1 = 0⟺ − 330 = . 360⟺ = 330 + . 360= 0 ⟶ = 330Nilai minimumnya = −2 dicapai untuk cos( − 330) = −1cos( − 330) = −1 = cos. 180⟺ − 330 = 180 + . 360⟺ = 150 + . 360= −1 ⟶ = 150Jadi, fungsi trigonometri = ( ) = √3 cos − sin , 0 ≤ ≤ 360.mempunyai nilai maksimum 2 untuk x = 330 dan nilai minimum -2 untuk x = 150.
3. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi trigonometri= ( ) = √3 cos 2 + sin 2 untuk 0 ≤ ≤ 2πJawab;
Bentuk ( ) = √3 cos 2 + sin 2 dapat diubah menjadi 2 cos(2 − ), sehingga fungsi= ( ) = √3 cos 2 + sin 2 dapat diubah menjadi = ( ) = 2 cos 2 − .(a) Titik maksimum= 2 dicapai untuk cos 2 − = 1cos 2 − 6 = 1 = cos 0⟺ 2 − 6 = 2⟺ = 12 += 0 → = diperoleh titik maksimum ( , 2)= 1 → = diperoleh titik maksimum ( , 2)
12
Fungsi trigonometri = ( ) = cos + + . Mempunyai nilai maksimum = √ + + untuk
Mempunyai nilai minimum = −√ + + untuk
cos( − ) = 1cos( − ) = −1
(b) Titik minimum= −2 dicapai untuk cos 2 − = −1cos 2 − 6 = −1 = cos⟺ 2 − 6 = 2⟺ = 712 += 0 → = diperoleh titik minimum ( , 2)= 1 → = diperoleh titik minimum ( , 2)
Jadi, titik titik stasioner trigonometri = ( ) = √3 cos 2 + sin 2 untuk 0 ≤ ≤2π adalah; titik maksimum ( , 2) dan ( , 2) serta titik minimum ( , 2) dan( , 2)4. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi = ( ) = + +
Untuk fungsi trigonometri yang berbentun = ( ) = cos + + (a,b
dan c bilangan-bilangan real yang tidak nol), nilai nilai stasionernya dapat ditentukan dengan
cara mengubah fungsi ke dalam bentuk ;= ( ) = cos( − ) +c
Berdasarkan bentuk fungsi di atas, dapatlah ditetapkan bahwa
13
Contoh soal;
1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumu dari tiap fungsi trigonometri berikut
ini,1) = ( ) = 2 cos + 3 − 1.2) = ( ) = √7 cos − 5 − √3.3) = ( ) = −9 cos + 6 + √2.Jawab;1) = ( ) = 2 cos + 3 − 1; = 2; = 3; = −1
= + += (2) + (3) − 1= √13 − 1= − + += − (2) + (3) − 1= −√13 − 1
2) = ( ) = √7 cos − 5 − √3. ; = √7; = −5 ; = −√3= + +
= (√7) + (−5) − √3= √74 − √3
= − + += − (√7) + (−5) − √3
14
= −√74 − √33) = ( ) = −9 cos + 6 + √2. ; = −9; = 6; = √2= + +
= (−9) + (6) + √2= √117 + √2
= − + += − (−9) + (6) + √2= −√117 + √2
5. Menggambar Grafik Fungsi y= f(x) – a cos x° + b sin x°
Kita telah mengetahui bahwa fungsi trigonometri y= f(x) = a cos x° + b sin x° dapat
dinyatakan dalam bentuk y = f(x) = k cos (x – )0, dengan k = √ 2+ 2 dan tan ° = untuk
menggambar sketsa grafik fungsi y = f (x) = k cos (x - )° , diperlukan langkah – langkah
sebagai berikut.
a) Titik maksimum
Ymaksimum = √ + , dicapai untuk cos (x – )0 = 1b) Titik minimum
c) Yminimum= √ + , dicapai untuk cos (x – )0 = -1Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat .
1) Titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0( – )0 = 0 ↔ ( – )0 = 02) Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0= cos(0 – ) 0 ⟺ = cos 0
15
Titik – titik (x,y) yang diperoleh pada langkah (1) dan (2) di atas dilukiskan pada pada
sebuah bidang cartesius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang
mulus sehingga didapat sketsa grafik fungsi = f (x) = k cos (x - )°.Untuk mengetahui bagaimana cara menggambar sketsa grafik fungsi y= f(x) – a cos x° + b
sin x° yang diubah terlebi dahulu menjadi = ( ) = ( − )°.Contoh :
Gambarlah sketsa grafik trigonometri y= cos x° + √3 sin x°dalam interval 0 ≤ ≤ 360.
Jawab :
Bentuk y= cos x° + √3 sin x° dapat diubah menjadi 2 cos (x - 60 )°. Dengan demikian y=
cos x° + √3 sin x° dapat ditulis menjadi 2 cos (x - 60 )°.
1. Menentukan titik-titik stasioner
a) Titik maksimum
Ymaksimum = 2 dicapai untuk cos (x – 60 )0 = 1 x = 60
Titik maksimumnya adalah A (60,2)
b) Titik minimum
Yminimum= -2 dicapai untuk cos (x – 60 )0 = -1 x = 240
Titik minimumnya adalah B(240,-2)
2. Menentukan titik-tik potong dengan sumbu koordinat
a. Titik potong dengan sumbu koordinat X, diperoleh jika y = 0.
2 cos (x - 60 )° = 0 cos (x - 60 )° = 0 = cos 90°
X – 60 =90 + k . 360 atau X – 60 =90 + k . 360
X = 150 + k. 360 atau x = -30 +k. 360
K = C → x = 150 k = 1 x = 330
Titik=titik potongnya dengan sumbu X, diperoleh C(150,0) dan D(330,0).
b. Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika y = 0.
Y = 2 cos (x - 60 )° = 2 cos 60° = 21
2= 1`
Titik potong dengan sumbu Y adalah E(0,1).
16
3. Ttik-titik A (60,2), B(240,-2), C(150,0), D(330,0) dan E(0,1). Dilukiskan pada bidang
cartesius. Titik-titik tadi dihubungkan dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh
sketsa grafik fungsi
Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° perhatikan gambar berikut.
Grafik fungsi trigonometri y = Y = 2 cos (x - 60 )° dapat pula digambar dengan
menggunakan cara lain. Dengan cara ini grafik fungsi y= f(x) = 2 cos (x - 60 )° dapat
diperoleh melalui langkah-langkah berikut.
Mula-mula dilukis grafik fungsi Y = cos x ° perhatikan gambar (i)
Grafik fungsi y= Y = cos x° ditranslasi horisontal sejauh 60 satuan kekanan, sehingga kita
peroleh grafik funggsi Y = cos (x - 60 )°. Perhatikan gambar (ii)
Ordinat tiap titik pada grafik fungsi Y = cos (x - 60 )° dikalikan dua, diperoleh grafik fungsi
Y = 2 cos (x - 60 )°. Perhatikan gambar (iii).
x
y
330 360240 270150 1809060
A(60,2)
E(120,1)
D(330,0)C(150,0)
B(240,-2)
0
-2
-1
2
1
17
Untuk melukiskan grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° dapat dilakukan dengan cara :
Ubah fungsi yang bersangkutan kedalam salah satu bentuk berikut := ( – )°= cos( + ) °= ( – )°,= ( + )°fungsi (i) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke
kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k cos( − )°fungsi (ii) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke
kiri. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi( + )°fungsi (iii) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α
ke kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k( − )°
x
y
-2
(iii) Y = 2 cos (x - 60)°
(ii) Y = cos (x - 60 )°
(i) Y = cos x°
12330 360240 270150 18090600
-1
2
1
18
fungsi (iv) diperoleh dari grafik fungsi = ° yang ditranslasi horisontal sejauh α ke
kanan. Kemudian tiap ordinatnya dikalikan dengan k, sehingga diperoleh grafik fumgsi k sin( + )°perhatikan bahwa grafik-grafik yang diperoleh dari bentuk (i),(ii),(iii),atau (iv) haruslah
memberikan hasil yang sama. Sebab grafik-grafik itu merupakan grafik dari fungsi a cos( + )° + ( + )°. Untuk lebih jelasnya simak contoh berikut.
Contoh :
Fungsi trigonometri y = cos x° + sin x° dapat diubah ke dalam salah satu bentuk berikut:
a) Y = √2 cos (x – 45)° c) Y = √2 sin (x – 315)°
b) Y = √2 cos (x + 315)° d) Y = √2 cos (x + 45)°
Gambarlah sketsa grafik fungsi trigonometri y = cos x° + sin x° dalam interval 0 ≤ ≤360 dengan mengunakan bentuk fungsi a), b), c), dan d) di atas.
Jawab :
(a) Grafik fungsi Y = √2 cos (x – 45)°, diperoleh dari grafik = ° yang
digeser 45 satuan ke kanan. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik = ( – 45)° ini
akan dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 cos (x – 45)°.
(b) Grafik fungsi Y = √2 cos (x +315)°, diperoleh dari grafik = ° yang
digeser 315 satuan ke kiri. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = cos (x + 315)° ini
akan dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 cos (x + 315)°.
(c) Grafik fungsi Y = √2 sin (x – 315)°, diperoleh dari grafik Y = sin x° yang digeser
315 satuan ke kanan. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = sin (x – 315)° ini akan
dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 sin (x – 315)°.
(d) Grafik fungsi Y = √2 sin (x + 45)°, diperoleh dari grafik Y = sin x° yang digeser
45 satuan ke kiri. Pergeseran ini akan menghasilkan grafik Y = sin (x + 45)° ini akan
dikalikan √2 sehingga diperoleh grafik fungsi Y = √2 sin (x + 45)°.
19
grafik (i)
Grafik (ii)
√2
- √2
315 360225 270135 1809045
(ii) Y = cos (x - 45 )°
xType equation here.x
y
(ii) Y = √2 cos (x - 45 )°
0
-1
1
(i) Y = cos x°
√2
- √2315 360225 270135 1809045
(ii) Y = √2 cos (x + 315 )°
(ii) Y = cos (x + 315 )°
xType equation here.(i) Y = cos x°
x
y
0
-1
1
√2
- √2
90 315 360225 270135 18045
(ii) Y = sin (x + 45 )°
xType equation here.(ii) Y = √2 sin (x + 45 )°
x
y
0
-1
1
(i) Y = sin x°
20
Grafik (iii)
Grafik (iv)
Perhatikan bahwa sketsa grafik pada gambar ( i ),( ii ), (iii ) dan ( iv )mempunyai
bentuk yang sama yaitu menyatan grafik fungsi y = cos x° + sin x° .
Grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c
Sketsa grafik trigonometri yang berbentuk
y = f(x) = a cos x° + b sin x° + c dengan a, b dan c adalah bilangan real yang tidak nol dapat
diperoleh dari sketsa grafik fungsi y = f(x) = a cos x° + b sin x° yang ditraslasi vertikal
sejauh
(i) C satuan ke atas, jika c positif ; atau
(ii) C satuan ke bawah, jika c negatif.
Contoh :
Gambarkan sketsa grafik tiap fungsi trigonometri berikut dalam interval 0 ≤ ≤ 360
I. Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° +2
√2
- √2
315 360225 270135 1809045
(ii) Y = √2 sin (x - 315 )°
(ii) Y = sin (x - 315 )°
xType equation here.(i) Y = sin x°
x
y
0
-1
1
21
II. Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° - 1
Jawab :
Pada contoh sebelumnya kita sudah menggambar sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3
sin x° .
I. Sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° +2 diperoleh dari sketsa grafik
fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° yang ditranslasi vertikal sejauh 2 satuan ke
atas.
II. Sketsa grafik fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° - 1 diperoleh dari sketsa grafik
fungsi Y = f(x) = cos x° + √3 sin x° yang ditranslasi vertikal sejauh 1 satuan ke
bawah.
22
Daftar Pustaka
Bird john.2004.Matematika Dasar Teori dan Aplikasinya. Jakarta : erlangga
Kesumawati nila.2005. Trigonometri.-
Tampaomas husein.2006.Seribu Pena Matematika.Jakarta: Erlangga
Sukina.2006. Matematika. Jakarta: Erlangga