1

Persamaan diferensial Legendre

(1)

Parameter pada (1) adalah bilangan rill yang diberikan. Setiap penyelesaian dari (1)

dinamakan fungsi Legendre.

Dengan membagi (1) dengan 1 2, maka diperoleh bentuk standar (8), Pasal

4.2 yaitu + + = () dengan =2

(12) ; =

(+1)

(12) dan

= 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada = 0.

Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

(2)

=

=0

= 1 &

=1

= ( 1)2

=2

Substitusikan dan turunan-turunannya ke dalam (1) dan nyatakan konstanta ( + 1)

dengan , maka kita memperoleh

(1 2) 1 2 2

1 + = 0

=0

=1

=2

Dengan menuliskan pernyataan pertama sebagai dua deret yang terpisah, maka kita

memperoleh persamaan

(1*)

1 2 ( 1)

2

=1

+ = 0

=0

=2

=2

1 2 2 + + 1 = 0

2

Yang jabarannya dituliskan

2.12 + 3.23 + 4.342 + + + 2 + 1 +2

+

2.122 1

2.11 2.222 2

0 + 1 + 22 + +

+ = 0

Karena ini harus merupakan suatu identitas dalam apabila (2) merupakan

penyelesaian dari (1), maka jumlah koefisien-koefisien dari setiap pangkat haruslah

nol ; karena = ( + 1), ini memberikan

(3a)

2. 2 + + 1 0 = 0 0

6. 3 + 2 + + 1 1 = 0 1

Dan umumnya, jika = 2, 3, ,

(3b)

+ 2 + 1 +2 + 1 2 + + 1 = 0

Sekarang pernyataan dalam kurung [ ... ] dapat dituliskan menjadi

1 2 + + 1 = 2 + 2 + 2 + = 2 + 2 +

= + 1 + + 1 = ( + + 1)

Sehingga dapat dituliskan menjadi

+ 2 + 1 +2 + + + 1 = 0

+ 2 + 1 +2 = + + 1

Jadi dari (3) diperoleh

(4)

+2 = + + 1

+ 2 + 1 ( = 0,1, )

3

Ini disebut hubungan rekursi (recurtion relation) atau rumus rekursi (recurtion

formula). Rumus ini memberikan untuk setiap koefisien dinyatakan dalam koefisien

kedua yang mendahuluinya, kecuali 0 dan 1 yang merupakan konstanta sebarang.

Kita peroleh secara berurutan

2 = ( + 1)

2!

4 = 2 + 3

4.32

= 2 + 1 ( + 3)

4!0

3 = 1 ( + 2)

3!1

5 = 3 + 4

5.43

= 3 1 + 2 ( + 4)

5!1

dan seterusnya. Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam koefisien-koefisen pada

(2), kita memperoleh

=

=0

= 0 + 1 + 22 + 3

3 + 44 + 5

5 +

= 0 + 1 + 1

2!

2 1 + 2

3!1

3 + 2 + 1 + 3

4!0

4

+ 3 1 + 2 ( + 4)

5!1

5 +

= 0 1 + 1

2!2 +

2 + 1 + 3

4!4 +

+1 1 + 2

3!3 +

3 1 + 2 ( + 4)

5!1

5 +

4

Atau dapat dituliskan sebagai

(5)

= 01 + 12()

di mana

(6)

1 = 1 + 1

2!2 +

2 + 1 + 3

4!4 +

dan

(7)

2 = 1 + 2

3!3 +

3 1 + 2 ( + 4)

5!1

5 +

Deret ini konvergen untuk < 1. Karena (6) memuat hanya pangkat-pangkat genap

dari sedangkan (7) hanya memuat pengkat-pangkat ganjil dari , maka hasil bagi 1

2

bukan suatu konstanta, sehingga 1dan 2tidak sebanding, jadi merupakan penyelesaian

bebas linear. Sehingga (5) merupakan penyelesaian umum (1) pada selang 1 < < 1.

Polinom Legendre

Dalam banyak penerapan, parameter dalam persamaaan Legendre merupakan

bilangan bulat tak negatif. Maka ruas kanan (4) adalah nol jika = , sehingga

+2 = 0, +6 = 0,

Jadi bilangan genap, 1() disederhanakan menjadi suatu polinom berderajat . Bila

bilangan ganjil, diperoleh hasil yang sama untuk 2(). Polinom-polinom ini,

dikalikan dengan suatu konstanta, disebut polinom Legendre. Karena polinom-polinom

itu dalam praktek, kita akan membahasnya lebih terinci. Untuk keperluan ini, kita

selesaikan (4) untuk , diperoleh

5

(8)

= + 2 ( + 1)

( + + 1)+2 ( 2)

Kita dapat menyatakan semua koefisien-koefisien yang tak-dihilangkan dalam koefisien

dari pangkat yang paling tinggi pada polinom. Koefisien mula-mula masih

sebarang. Biasanya kita mengambil = 1 jika = 0 dan

(9)

= 2 !

2(!)2=

1.3.5 (2 1)

! = 1,2,

Pengambilan ini dilakukan agar semua polinom ini mempunyai nilai 1 jika = 1.

(9*)

2 = 2 + 2 2 + 1

2 + 2 + 1 2+2 =

( 1)

2(2 1)

= 1 2 !

2 2 1 2 ! 2=

1 2 2 1 2 2 !

2 2 1 2 1 ! 1 2 !

yaitu

2 = 2 2 !

2 1 ! 2 !

Dengan cara yang sama,

4 = 4 + 2 ( 4 + 1)

4 ( + 4 + 1)4+2 =

2 ( 3)

4(2 3)2

= 2 ( 3)

4(2 3).

2 2 !

2 1 ! 2 !=

2 ( 3) 2 2 !

4(2 3)2 1 ! 2 !

= 2 3 2 2 2 3 (2 4)!

4 2 3 2 1 2 3 ( 4)! 2 !=

2( 1)

4. 2 2 ! 4 !

6

yaitu

4 = 2 4 !

22! 2 ! 4 !

Dengan cara yang sama pula

6 = 6 + 2 ( 6 + 1)

6 ( + 6 + 1)6+2 =

4 ( 5)

6(2 5)4

= 4 ( 5)

6(2 5).

2 4 !

22! 2 ! 4 !=

4 ( 5) 2 4 !

6(2 5)22! 2 ! 4 !

= 4 5 2 4 2 5 (2 6)!

6 2 5 22! 2 3 ! 4 5 ( 6)!

= 2 2 2 6 !

6. 22! 2 3 ! 6 !

yaitu

6 = 2 6 !

23! 3 ! 6)!

dan seterusnya. Umumnya jika 2 > 0,

(10)

2 = (1)

2 2 !

2! ! 2 !

Penyelesaian persamaan diferensial Legendre (1) yang dihasilkan disebut polinom

Legendre berderajat dan dinyatakan oleh (). Dan (10) diperoleh

(11)

= 1

2 2 !

2! ! 2 !

=0

2

= 2 !

2(!)2

2 2 !

21! 1 ! 2 !2 +

7

dimana =

2

(1)

2, yang merupakan suatu bilangan bulat.

Khususnya (Gambar 83).

(11)

0 = 1

2 =1

3(32 1)

4 =1

8(354 302 + 3)

1 =

3 =1

2(53 3)

5 =1

8(635 703 + 15)

dan seterusnya.

Ini disebut ortogonalitas polinom-polinom Legendre.

8

Contoh Soal:

Dengan menggunakan (11), akan dibuktikan dengan substitusi bahwa 0, , 5

memenuhi persamaan Legendre

Penyelesaian:

0 = 0 = 1

1 = 1 =

2 = 2 =1

3(32 1)

4 = 3 =1

8(354 302 + 3)

3 = 4 =1

2(53 3)

5 = 5 =1

8(635 703 + 15)

Daftar Pustaka

Kreyszic,Erwin. Advanced Engineering Mathematics.6th Edition 1993. United States :

John Wiley & Sons,Inc