pert 5 maksmin

8/18/2019 Pert 5 Maksmin

1/31

BA B II

M A KSIM UM & M INIM UM(A P L IKA SI TURUNA N)


2/31

Mak si mum dan Mi ni mum

Definisi 1.

MisalkanS adalahdomain fungsi f yang memuat

titikc.(i) f(c) ≥ f(x) ⇒ f(c) adalah nilai maksimum

(ii) f(c) ≤ f(x) ⇒ f(c) adalah nilai minimum

(iii)f(c) adalah nilai maksimum/nilai minimum⇒ f(c) adalah nilai ekstrim


3/31

Titik K ritis

T e o r e m a 1 .

f(c) adlhnilai ekstrim⇒ c haruslahmerupakan

titikkritis, yaituberupasalahsatudari :

(i) Titikujunginterval

(ii) Titikstasioner⇒

f ’(c) = 0(iii) Titiksingular ⇒ f ’(c) = tidakada


4/31

ProsedurMenghitung

NilaiMaksimumatauNilaiMinimumLangkah 1 .

Carilahtitik-titikkritisdari fungsi f

Langkah 2 .

Hitungnilai fungsi f padasetiaptitikkritis

Nilai fungsi f yang terbesar⇒Nilai Maksimum

Nilai fungsi f yang terkecil ⇒Nilai Minimum


5/31


6/31

(iii)Titiksingular

f ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya

Jadi, nilai maksimumnyaadalah6,25 dannilaiminimumnyaadalah-14


7/31

C o n t o h 2 .

Tentukannilai maksimumdanminimum darif(x) = -2x3+3x2 dari selang[-1/2, 2] !

Jawab:

(i) Titikujunginterval

x=-1/2 =-0,5⇒ f(-0,5) = -2(-0,5)3+3(-0,5)2

= -2(-0,125)+3(0,25)= 0,25 + 0,75 = 1

x=2 ⇒ f(2) = -2(2)3+3(2)2

= -2(8)+3(4)

= -16 + 12 = -4


8/31

(ii) Titikstasioner⇒f ’(x) = -6x2+6x = 0

-6x(x-1) = 0

-6x =0 atau x-1=0x =0 atau x =1

x=0 ⇒ f(0) = -2(0)3+3(0)2 = -2(0)+3(0)

= 0+0 = 0x=1 ⇒ f(1) = -2(1)3+3(1)2 = -2(1)+3(1)

= -2+3 = 1

(iii)Titiksingularf ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya

Jadi, nilai maksimumnyaadalah1 dannilai

minimumnyaadalah-4


9/31

Kemon ot on an

(i) Monotonnaik ⇔ x1< x2⇒ f(x1) f(x2)

(iii)Monotontakturun⇔ x1< x2⇒ f(x1) ≤ f(x2)(iv) Monotontaknaik ⇔ x1< x2⇒ f(x1) ≥ f(x2)

(v) Konstan ⇔ x1< x2⇒ f(x1) =f(x2)


10/31


11/31

(i) f ’(x) > 0 ⇒ f naik

(ii) f ’(x) < 0 ⇒ f turun

(iii) f ’(x) = 0 ⇒ f stasioner


12/31

Kecekungan

Misalkan f ’’(x) terturunkanduakali

(i) f ’’(x) > 0⇒ f cekungkeatas

(ii) f ’’(x) < 0⇒ f cekungkebawah


13/31

Cekung

ke atas

Cekung

ke

bawah

Gambar 3. Hubungan antara turunan pertama,

turunan kedua dan kecekungan

0)('

x f 0)(' x f

0)(' x f 0)(' x f 0)(" x f

0)(" x f


14/31

Menggambar Gr af i k F ungsi

Tentukandaerahasal dandaerahnilai fungsi

Untuk memberi visualisasi grafik fungsi yang

lebih teliti dan informasi mengenai perilakufungsi :

(i) Tentukantitik-titikkritisdannilai fungsititikkritis

(ii) Tentukanselangkemonotonan fungsi

(iii)Tentukanarahkecekunganfungsi


15/31

Contoh3.

Gambarlahgrafikfungsi f(x) = x2 – 6x + 9 ! Jawab:

(i) TitikKritis

a) Titikujunginterval→ (-∞, ∞)b) Titikstasioner

f ’(x) = 2x – 6 = 0

2x = 6x = 6/2 = 3

x=3 ⇒ f(3) = (3)2-6(3)+9 = 9-18+9= 0


16/31

c) Titiksingular

f ’(x) ada, makatdkadatitiksingularnya

(ii)Selangkemonotonan fungsi

Berarti terdapatselang(-∞,3) dan (3,∞)

Untuk selang(-∞,3)Pilihx = 0⇒ f ’(0) = 2(0)-6 = 0–6 = -6 < 0

(-∞,3) ⇒ f turun

Untukselang(3,∞)Pilihx = 4⇒ f ’(4) = 2(4) - 6 = 8–6 = 2 > 0

(3,∞) ⇒ f naik


17/31

(iii)Arahkecekunganfungsi

f ’(x) = 2x-6

f ’’(x) = 2 > 0

Jadi, f(x) = x2 – 6x + 9 cekungkeatas


18/31

f(x) = x2 – 6x + 9

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25


19/31

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) = x2 – 6x + 9


20/31

A p l i k asi T ur un an

Contoh4 :Sebuahtanggayang panjangnya5 m bersandar

padadindingtegak, danujungbawahnyaterletak

padalantai datar. Jikapadasaatujungatastanggaberada4 meter di ataslantai, kecepatanmeluncurnyaadalah3 meter/detik. Tentukan

kecepatan meluncur ujung tangga di lantai pada

saat itu!


21/31

J awab :


22/31

J awab :


23/31

J awab :


24/31

Contoh5 :


25/31


26/31

J awab :


27/31

J awab :


28/31

Contoh6 :

Sehelai kartonberbentukbujursangkardenganluas81 cm2. Padakeempatujung-

ujungkartontersebutdigunting

bujursangkar yang ukurannyasama.Selanjutnyakartontersebutdilipatkeatas

sehinggadiperolehsebuahkotaktanpatutup.

Tentukanvolume dos yang paling besar yangdapatdibuatdari kartontersebut!


29/31

L=81 cm2 9 cm

9 cm 9–2xx x

x

x

xx

xxx

x xx

xx x

x

9–2x

9–2x

9–2x

xx

x x

p = 9-2xl = 9-2x

t = x

Vol = V(x) = p x l x t = (9-2x)(9-2x)x

= (81-18x-18x+4x2)x

= 4x

3

-36x

2

+81x


30/31


31/31

Contoh7 :

Sebuah kebun berbentuk persegipanjang akan dipagari dengan kawatberduri. Pada bagian pojok kebun

terdapat tembok siku-siku sepanjang 4m dan 2 m, sehingga bagian tersebuttidak perlu dipagari . Tentukan luas

maksimum kebun yang dapat dipagarioleh 30 meter pagar kawat.

pert 5 maksmin

Documents