pertemuan 8

INTEGRATION

• Pengertian Integral Calculus• Aturan Trapezoidal• Aturan Simpson 1/3• Integrasi Romberg• Aturan Gauss-Quad• Mengintegrasikan Fungsi Diskrit

INTEGRATION Definisi Integrasi adalah menggabungkan bagian-bagian sehingga mereka bekerja

bersama-sama atau bentuk keseluruhan. Secara matematis, integrasi berguna untuk menemukan daerah di bawah kurva dari satu titik ke titik lain. Hal ini diwakili oleh :

dimana simbol adalah tanda integral, dan a dan b adalah batas bawah dan batas atas integrasi, fungsi f adalah integran dari integral, dan x adalah variabel integrasi. Gambar 1 merupakan demonstrasi grafis dari konsep.

PENGERTIAN INTEGRASI Pendekatan terhadap integral• Pendekatan terhadap integral

• Metode ini memotong interval [a, b] menjadi sebuah partisi dengan subinterval

n yang sama panjang

untuk i = 0, 1, 2, …, n• Algoritma: bagaimana mendapatkan supremum dan infimum dari f(x) pada setiap interval• Pendekatan integrasi:

• Error:

ATURAN TRAPEZOIDA• Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0ii

b

a

xfxf2h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

L(x)

Aturan TrapesiumAturan Trapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2h

xfxf2hxfxf

2hxfxf

2h

dxxfdxxfdxxfdxxf n

1n

2

1

1

0

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

nabh

ATURAN Trapezoida

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.21

.21

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffffhffhL

1210

1

01 2...22

221

n

n

ii fffhL

1

10 2

2

ATURAN TRAPEZOIDA

• Definisikan y=f(x)• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)• Tentukan jumlah pembagi n• Hitung h=(b-a)/n• Hitung

n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Aturan Simpson 1/3Aturan Simpson 1/3

• Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0ii

b

a

xfxf4xf3h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

1 xx0 xx

1 xxh

dxd h

xx 2

abh

2ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xfxxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

21202

10

12101

200

2010

21

,,

,,

)())(())((

)())(())(()(

))(())(()(

)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L


)()()()()()()( 212

0 xf2

1xf1xf2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

21

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxfξξhxf

dξξξhxfdξξ(hxf

dξξξhxfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3hdxxf


11

Integrasi RombergMetode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi

Richardson, untuk memperoleh nilai integral yang semakin baik, perlu diketahui bahwa setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan

menaikkan orde galat pada hasil solusinya sebesar dua.

14

II4I

1k1kj,1k1,j

1k

kj,

3333

j1jj,11,1j1j,211,2j12

j,2hIh4II4I

14

II4I

12

Dengan: k (> 1) adalah leveel integrasi (k = 1 berhubungan dengan aturantrapezoidal yang asli).

j (≥ 1) membedakan antara perkiraan yan lebih (j+1) dan kurang (j) akurat.

Ekstrapolasi Richardson’s adalah kasus khusus dan paling sederhanaalgoritma integrasi romberg dengan k = 2, misal.,

12

Integrasi Romberg14

II4I 1k

1kj,1k1,j1k

kj,

640533115

6

15

6

11616

.

3

0.1728-1.06884-3

1.0688-1.4848413

I-4I-

3I-4I

1II

I

1,12,12,13,1

1,22,21,3

Contioh I1,3

k = 1 k = 2 k = 3 k = 4

j = 1 2

j = 1 2 3

j = 1 2 3 4

I1, 2

I1, 3

I1, 4

I2, 3

I2, 2

I3, 2

Metode Integrasi Gauss

• Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :– H sama– Luas dihitung dari a sampai b

• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.


• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida

• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(1

1

h

ffffhdxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI


• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

3322

311

1

1

2222

211

1

12211

1

121

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

31

31

1

21

21

xx

cc

Mengintegrasikan Fungsi DiskritMetode Spline

Pernyataan MasalahKecepatan ke atas sebuah roket dinyatakan dalam sebuah fungsi waktu. Dengan menggunakan splines kuadrat, tentukan jarak yang ditempuh antara t = 11 dan t= 16 detik.

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Data dan Plott v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Solusi

,)( 112

1 ctbtatv 100 t,22

22 ctbta 1510 t

,332

3 ctbta 2015 t,44

24 ctbta 5.2220 t

,552

5 ctbta 305.22 t

Jarak dari Kecepatan,704.22)( ttv 100 t

,88.88928.48888.0 2 tt 1510 t,61.14166.351356.0 2 tt 2015 t,55.554956.336048.1 2 tt 5.2220 t,13.15286.2820889.0 2 tt 305.22 t

16

11

)(1116 dttvSS

Jarak dari Kecepatan

,88.88928.48888.0 2 tttv 1510 t,61.14166.351356.0 2 tt 2015 t

16

11

15

11

16

15

)()()(1116 dttvdttvdttvSS

16

15

2

15

11

2

)61.14166.351356.0(

)88.88928.48888.0(

dttt

dttt

m9.1595

Mengintegrasikan Fungsi Diskrit Metode Regresi

Kecilkan trunnion Fit ke Hub

Apakah Kontraksi ini cukup?

Besarnya kontraksi diperlukan dalam trunnion adalah 0,015 "atau lebih.

Bagaimana kita menemukan kontraksi ?

T(oF) α (μin/in/oF)

-340 2.45-300 3.07-220 4.08-160 4.72-80 5.430 6.00

40 6.2480 6.47

dTTDDc

a

T

T

)(

Ta = 80oFTc = -108oFD = 12.363"

Model Regresi

TDD

T(oF) α (μin/in/oF)

-340 2.45-300 3.07-220 4.08-160 4.72-80 5.430 6.00

40 6.2480 6.47

Perkiraan Kontraksi

0150.6101946.6102278.1 325 TT

Menghitung Kontraksi

dTTDDc

a

T

T

)(

0150.6101946.6102278.1 325 TT

dTTT 6108

80

325 10)0150.6101946.6102278.1(363.12

Ta = 80oF, Tc = -108oF, D = 12.363"

"0137.0

Besarnya kontraksi diperlukan dalam trunnion adalah 0,015 "atau lebih.

pertemuan 8

Documents