pertemuan 9

Pertemuan 9

Chapter 44.1. The Basics of Counting

4.2. The Pigeonhole Principle

4.3. Skip

4.4. Skip

4.5. Skip

4.6. Skip

The Basics of Counting

sub-bab 4.1

Prinsip dasar:

Dua macam cara menghitung (counting)

1. Aturan Perkalian

The Product Rule

2. Aturan Penambahan

The Sum Rule

Aturan PerkalianSebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya).

Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n1 cara,

subproses-2 dapat diselesaikan dalam n2 cara,

……………..

subproses-p dapat diselesaikan dalam np cara,

maka ada

(n1) (n2) …..… (np)

cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Rule of Product Percobaan 1 p kemungkinan Percobaan 2 q kemungkinan Maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan Maka terdapat p x q kemungkinan P x q jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr

simultan

Restauran menyediakan 5 makanan : nasi goreng, roti, soto, sate, sop dan 3 jenis minuman : susu, kopi, teh. Jika setiap orang boleh memesan 1 makan dan 1 minum, berapakah kemungkinan pasangan makanan dan minuman dpt di pesan ?

Pasangan makanan yang dapat di pesan

Nasi goreng

Roti

Soto

Sate

Sop

Susu

kopi

teh

Susu

kopi

teh

Susu

kopi

teh

Susu

kopi

teh

Susu

kopi

teh

Pasangan makanan yang dapat di pesan Nasi goreng

Susu Kopi The

roti Susu Kopi teh

soto Susu Kopi teh

sate Susu Kopi teh

sop Susu Kopi teh

Pasangan makanan yang dapat di pesan : 15 pasang

Orang harus memilih makanan dan minuman,

Sehingga dengan mengg aturan perkalian, makanan dan minuman yang di pesan adalah 15 pasang

Ex: kursi di aula akan di beri nomor :

Diawali huruf Diikuti dengan bil yang tidak lebih dari 50 ( < 50) Ex : A 14 , B 18

Berapa jumlah max kursi yang dapat dinomeri Jawab :

Kemungkinan huruf 26 Angka kurang dari 50

Huruf kiri 0 1 2 3 4 Huruf kanan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Jadi jumlah maksimum kursi yang dinomori 26 x 5 x 10 = 1300

A

B

0

1

2

3

4

0

1

....

9

0

1

....

9

Idem

Contoh: lihat Example 1

Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100.

n1 = 26, n2 = 100,

maka ada 2600 nomor kursi:

A001 A002 … A100

B001 B002 … B100

C001 C002 … C100

… …

Z001 Z002 … Z100

Contoh: lihat Example 7Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX

di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9

NXX : 8 x 10 x 10 XXXX : 10 x 10 x 10 x 10 200, 201, …, 299 0000 …

9999300, 301, …, 399

………900, 901, …, 999

Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089

Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) = 6.400.000.000 nomor telepon

Aturan PenambahanSebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu yang sama.

Jika ada n1 cara-1,

n2 cara-2,

……………..

np cara-p,

maka ada

n1 + n2 + …..… + np

kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Rule of Sum Percobaan 1 p kemungkinan Percobaan 2 q kemungkinan Maka jika percobaan 1 atau 2 dilakukan Maka terdapat p + q kemungkinan P + q jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr

tidak simultan


Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa.

Jurusan Matematika punya 37 dosen

dan 83 mahasiswa.

n1 = 37, n2 = 83

Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat mewakili jurusan Matematika.

Kahima dpt di pegang oleh angkatan 1997 atau 1998. Jika ada 45 angkatan 1997 dan 52 angkatan 1998, berapa cara memilih jabatan kahima

Jawab : Kahima dari angk. 1997 atau 1998 Kahima hanya satu, jadi caranya adalah

menggunakan + 45 + 52 = 97 cara

Kaidah X dan + dpt diperluas menjadi lebih dari 2 percobaan

Sehingga hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah : Perkalian p1 x p2 x p3 . . . pn Penjumlahan p1 + p2 + p3 . . . pn

Ex : Perpustakaan memp:

6 buku bhs inggris 8 buku bhs perancis 10 buku bhs jerman Masing-masing buku berbeda judul Bagaimana cara memilih :

3 buah buku, masing-masing dari bhs yang berbeda 1 buah buku sembarang bahasa

Jawaban : Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing-

masing dari tiap bahasa adalah : 6 x 8 x 10 = 480 cara

Jumlah cara memilih satu buah buku dari sembarang bahasa 6 + 8 + 10 = 24 cara

Password panjangya 6-8 digit. Boleh angka ataupun huruf. Tidak membedakan huruf besar dan kecil. Berapa banyak password yg dpt dibuat ?

Jawab : Banyak huruf 26 Banyak angka 10, jadi total 36 karakter

Jawab : Untuk password panjang 6 digit , jumlah

kemungkinan password : 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 6

=2.176.782.336 Untuk password panjang 7 digit , jumlah

kemungkinan password : 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 7

=78.364.164.096

Untuk password panjang 8 digit , jumlah kemungkinan password :

36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 8 =2.821.109.907.456

Sehingga jumlah total password adalah 2.901.650.833.888

Diagram pohon:

Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian.


Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ?

Daftar bit-string dengan panjang 4

0000 0100 1000 1100

0001 0101 1001 1101

0010 0110 1010 1110

0011 0111 1011 1111

0

1

1

10

0 0 0

0

111

00 0 001 111 01

Soal 48 halaman 312:

Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “000”

0000 0100 1000 1100

0001 0101 1001 1101

0010 0110 1010 1110

0011 0111 1011 1111

Gambarkan tree-nya.

Prinsip Rumah Merpati

(The Pigeonhole Principle)

sub-bab 4.2

Prinsip rumah merpati (the pigeonhole principle):

Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek

Obyek merpati (pigeons)

Kotak rumah merpati (pigeonholes)

Contoh: examples 1 – 3 halaman 313

1. Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada tanggal yang sama.

367 orang merpati

366 hari rumah merpati

2. Dari 27 kata ada dua kata yang dimulai dengan huruf yang sama.

27 kata merpati

26 huruf rumah merpati

3. Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ?

102 mahasiswa merpati

101 nilai (0..100) rumah merpati

Example 1: among any group of 367 people, there must be at least two people with the same birthday, because there are only 366 possible birthday

Example 2: If you have 6 classes from Monday to Friday, there must be at least one day on which you have at least two classes.

Bentuk umum prinsip rumah merpati

(the Generalized Pigeonhole Principle)

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek

Contoh :

10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang

N = 10, k = 6

Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang yang kosong, maka distribusinya sbb.:

1 1 2 2 2 2

Bentuk umum prinsip rumah merpati

(the Generalized Pigeonhole Principle)Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek

Bukti (dengan kontradiksi)

Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari N/k -1

maka total obyek tidak lebih dari k ( N/k -1)

k ( N/k – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena N/k < N/k + 1

k ( N/k – 1) < k (N/k) atau total obyek < N

Padahal total obyek = N

Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek (terbukti)

Contoh 5 & 6 halaman 315:

5. Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9 orang yang lahir pada bulan yang sama.

6. Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama. Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang.

A : 5 B : 5 C : 5 D : 5 E : 5 25 + 1

Jawab : N/5 = 6, è N/5 adalah pembulatan keatas, jadi N = 5.5 + 1 = 26

Soal 13 halaman 318

Lima angka dipilih dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Maka pasti ada sepasang angka yang jumlahnya 9

Rumah merpati (1+8)

(2+7)

(3+6)

(4+5)

Merpati 5 angka yang dipilih

Jadi 5/4 = 2 (sepasang angka) menghasilkan jumlah 9

pertemuan 9

Documents