pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat

by Gisoesilo Abudi

Pengertian

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan

Bentuk Umum

ax2 + bx + c * 0

Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R

Tanda (*) adalah tanda pertidaksamaan yaitu :

<, >, ≤, dan ≥

Langkah-langkah Penyelesaian

a. Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas kanan sama dengan 0)

b. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut

c. Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval.

d. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x – 14 < 0 !

Penyelesaian.x2 + 5x – 14 < 0⇔ x2 + 5x – 14 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat)

⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)

⇔ x = -7 atau x = 2Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2

-7 2

Pengujian

Uji beberapa titik, misalnya :Sebelah kiri -7, diambil -10, maka :(-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif)Antara -7 dan 2, diambil 0, maka :(0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif)Sebelah kanan 2, diambil 3, maka :(3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif)Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <,

maka interval yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R}

-7 2(-) (+) (+)

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 !

Penyelesaian.9 - x2 ≥ 0 ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat)

⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar)

⇔ x = -3 atau x = 3Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3

-3 3

Pengujian

Uji beberapa titik, misalnya :Sebelah kiri -3, diambil -4, maka :9 - (-4)2 = – 7 (negatif)Antara -3 dan 3, diambil 0, maka :9 - (0)2 = 9 (positif)Sebelah kanan 3, diambil 4, maka :9 - (4)2 = -7 (negatif)Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥,

maka interval yang bertanda positif yang memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R}

-3 3(+) (-) (-)

Latihan

Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku paket Erlangga.

Jika kalian kelas x Kelompok BisMen kerjakan soal latihan halaman 63 no. 1 - 10

Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal latihan halaman 81 - 82 no. 4.

Selamat Mencoba

Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat

by Gisoesilo Abudi

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar

Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.• Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka : ⇔ D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 = 4ac• Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka : ⇔ x1 + x2 = - b/a ⇔ -x2 + x2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔ b = 0

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar

• Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka : ⇔ x1 . x2 = c/a ⇔ 1/x2 . x2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔ c = a

Kesimpulan :1. Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac2. Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 03. Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya

Misalkan : Menggunakan Perkalian FaktorJika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0

Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya :a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5b. -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian

a. -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0Jadi PK : x2 – x – 6 = 0

Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya

Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya.Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0

Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya :a. -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5b. -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian

a. -2 dan 3 Persamaan kuadratnya : ⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0Jadi PK : x2 – x – 6 = 0

Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain

Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain.

Contoh 1Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !

Penyelesaian.x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2

Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x1 + 5 dan β = x2 + 5, sehinggaα + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10

= 8 + 10 = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0

α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5

= x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = 2 + 5 . 8 + 25 = 67

Contoh 2Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) !PenyelesaianJika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka :α = p + 2 ⇔ p = α – 2β = q + 2 ⇔ q = β – 2Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka :

Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru

x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0

x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0

mx1 dan mx2

a(mx)2 + b(mx) + c = 0

0cm

xb

m

xa

2

0cm

xb

m

xa

2

21 x

mdan

x

m

m

xdan

m

x 21

Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

ContohSejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut !

PenyelesaianMisal jumlah siswa : xMasing-masing siswa membayar sebesar : (612.000 : x)Setelah 3 temannya masuk, maka {612.000 : (x + 3)}Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung.

sehi sehingga

⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0

⇔ x = -9 atau x = 6Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan

3x

612.000

x

612.00034.000

3x

18

x

181

pertidaksamaan kuadrat

Documents