phÂn tÍch Ứng xỬ phi tuyẾn dẦm composite chỊu tÁc...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

LÊ NGỌC TRƯỜNG

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN DẦM COMPOSITE

CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ

CÔNG NGHIỆP - 60580208

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

LÊ NGỌC TRƯỜNG

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN DẦM COMPOSITE

CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ

CÔNG NGHIỆP - 60580208

Hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2017

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai

công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 02 năm 2017

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Lê Ngọc Trường

iii

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Phòng Đào tạo Sau đại học,

Khoa Xây dựng và Cơ học ứng dụng đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức

trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cùng sự kính trọng

sâu sắc đến với Thầy PGS.TS Nguyễn Trung Kiên và Thầy NCS. Nguyễn Ngọc

Dương về sự tận tâm hướng dẫn, cung cấp các tài liệu và thông tin cần thiết để tôi

hoàn thành luận văn thạc sĩ này.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình và bạn

bè trong suốt thời gian qua.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 02 năm 2017

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Lê Ngọc Trường

iv

TÓM TẮT

Trong luận văn này, ứng xử phi tuyến của dầm Composite chịu tải trọng điều

hòa di động được phân tích dựa trên lý thuyết dầm Timosenko và quan hệ biến dạng

chuyển vị phi tuyến Von-Karman. Phương trình động lực học của dầm được thiết

lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện

biên thoả mãn hệ số nhân tử Lagrange. Phương pháp Newmark - β được sử dụng để

giải phương trình động lực học. Ảnh hưởng của biến dạng lớn, vận tốc di chuyển

của tải trọng, tần số lực kích thích, số lớp, hướng sợi, tỉ số giữa chiều dài và chiều

cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm được khảo sát chi tiết để rút ra những

kết luận hữu ích.

v

ABSTRACT

In this study, nonlinear dynamic of a Laminated Composite beam under a

moving harmonic load has been performed by using Timoshenko beam theory with

the Von-Karman’s nonlinear strain–displacement relationships. The governing

equation of motion of the beam is derived based on Hamilton principle expressed as

Lagrange’s equations with specific boundary conditions satisfied with Lagrange’s

multipliers. Newmark- � method is used for solving the governing equation of

motion. The effects of large deformation, velocity of moving load, excitation

frequency, number of layers, fibre orientation, span-to-depth ratio on displacements

and internal forces of the beam have been examined thoroughly to draw some useful

conclusions.

vi

MỤC LỤCTrang tựa TRANG

Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Tóm tắt iv

Abstract v

Mục lục vi

Danh sách các hình vii

Danh sách các bảng viii

Danh sách các kí hiệu ix

Chương 1. TỔNG QUAN 1

1.1. Tổng quan 1

1.2. Vật liệu Composite 2

1.3. Tổng quan tình hình nghiên cứu 5

1.4. Mục tiêu của đề tài 13

1.5. Phương pháp nghiên cứu 15

1.6. Tính mới của đề tài 16

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 18

2.1. Nguyên tắc chuyển trục tọa độ 18

2.2. Chuyển vị, biến dạng và ứng suất 21

2.3. Thiết lập phương trình chuyển động 23

2.4. Lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức 24

2.5. Lời giải xấp xỉ bằng hàm lượng giác 29

2.6. Phương pháp Newmark -�� 31

2.7. Kết luận 34

Chương 3. VÍ DỤ SỐ 18

3.1. Giới thiệu 35

vii

3.2. Khảo sát độ hội tụ 35

3.2.1. Bài toán 1: Khảo sát ảnh hưởng của bậc đa thức và hàm lượng giác 35

3.2.2. Bài toán 2: Khảo sát ảnh hưởng số bước thời gian tính toán 37

3.3. So sánh các nghiên cứu khác 38

3.3.1. Bài toán 3: Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite 38

3.3.2. Bài toán 4: Xác định tần số dao động của lớp sợi đối xứng dầm Composite

với hướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau 40

3.4. Khảo sát các tham số nghiên cứu 40

3.4.1. Bài toán 5: Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số lực kích thích đến chuyển vị

lớn nhất tại giữa nhịp 41

3.4.2. Bài toán 6: Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc di chuyển không thứ

nguyên của tải trọng điều hòa đến chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp nhằm tìm ra

giá trị vận tốc cực hạn 44

3.4.3. Bài toán 7: Khảo sát sự ảnh hưởng của tỉ số L/h đến ứng xử của dầm 48

3.4.4. Bài toán 8: Khảo sát sự ảnh hưởng của chuyển vị và nội lực của dầm tại một

khoảng thời gian nhất định theo các trường hợp vận tốc khác nhau 51

Chương 4. KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

PHỤ LỤC 62

viii

DANH SÁCH CÁC HÌNH

HÌNH TRANG

Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực y tế 1

Hình 1.2: Ứng dụng vật liệu composite trong chi tiết động cơ và phản lực 1

Hình 1.3: Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng 2

Hình 1.4: Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi 2

Hình 1.5: Vật liệu composite từ nhiều phân tử 3

Hình 1.6: Vật liệu composite theo tự nhiên hình thành 3

Hình 1.7: Mô hình lý thuyết biến dạng của dầm 3

Hình 1.8: Dầm composite chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động P(t) 5

Hình 1.9: Những đối tượng cơ bản cần khảo sát của bài toán phần tử dầm 15

Hình 2.1: Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phương 18

Hình 2.2: Thuộc tính vật liệu trực hướng 19

Hình 2.3: Kích thước hình học của dầm composite 21

Hình 3.1a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo � khi P0= 1500; vp thay

đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 42

Hình 3.1b: Chuyển vị lớn nhất phi tuyến tại giữa nhịp theo � khi P0= 1500; vp thay

đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 42


đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác 43

Hình 3.2b: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp theo � khi P0= 1500; vp thay

đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác 43

Hình 3.3a: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ

nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 46

Hình 3.3b: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp theo hệ số vận tốc không thứ

nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 46

ix


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 47


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 47

Hình 3.5a: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=5 49

Hình 3.5b: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=10 49

Hình 3.5c: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=20 50

Hình 3.5d: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=25 50

Hình 3.6a: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm

(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 52

Hình 3.6b: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí giữa dầm

(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 52


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 53


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 53

Hình 3.8: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 54

Hình 3.8: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức. 54

Hình 3.9a: Dạng chuyển vị tuyến tính của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 55

Hình 3.9: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác. 55

x

DANH SÁCH CÁC BẢNG

BẢNG TRANG

Bảng 1.1 So sánh sự khác biệt của đề tài nghiên cứu và các đề tài khác 17

Bảng 2.1 Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm đa thức 26

Bảng 2.2 Hàm lượng giác tương ứng với điều kiện biên của dầm 30

Bảng 2.3 Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm lượng giác 30

Bảng 3.1 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm composite cross-ply theo N

với các điều kiện biên khác nhau 36

Bảng 3.2 Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply

theo N với các điều kiện biên khác nhau 36

Bảng 3.3 Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply

theo số bước thời gian tính toán (RL1) với các điều kiện biên khác nhau 37

Bảng 3.4 Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply

theo số bước thời gian tính toán (RL2) với các điều kiện biên khác nhau 38

Bảng 3.5 Hiệu ứng của hệ số L/H lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

cơ bản của dầm composite lớp sợi cross-ply đối xứng và không đối xứng 39

Bảng 3.6 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp

sợi đối xứng, góc sợi thay đổi 40

Bảng 3.7 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo � xấp xỉ bằng hàm lượng giác 41

Bảng 3.8 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo � xấp xỉ bằng hàm đa thức 41

Bảng 3.9 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp của dầm theo hệ số vận tốc không thứ

nguyên � 45

Bảng 3.10 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo tỉ số L/h 48

xi

DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU, ,u v w Chuyển vị theo phương x, y, z

x� Chuyển vị xoay quanh trục x

, , , ,; ; ;x x x xu v w � Đạo hàm của các chuyển vị theo x

,xx xx� � Ứng suất pháp tuyến và biến dạng dài theo phương x

,xz xz� Ứng suất tiếp và biến dạng cắt trong mặt phẳng xz

x Độ cong của dầm.

, ,U V K Năng lượng biến dạng, công thực hiện và động năng.

� Tổng năng lượng của toàn hệ

, , E� Hệ số Poisson, trọng lượng riêng, mô đun đàn hồi của vật liệu

, ,L h b Chiều dài, chiều cao và chiều rộng của dầm

,x zv v Vận tốc di chuyển của tải trọng theo phương x, phương z

� Tần số dao động tự nhiên của dầm

i� Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i

xN Lực dọc trục theo phương x

yM Momen uốn theo trục y trong mặt phẳng Oxy

zQ Lực cắt của dầm

ε σT ,T Ma trận chuyển trục từ hệ toạ độ địa phương sang tổng thể

, ,� � ijC Ứng suất, biến dạng và độ cứng của vật liệu trong hệ toạ độ địa

phương.' ' ', ,� � ijC Ứng suất, biến dạng và độ cứng của vật liệu trong hệ toạ độ

tổng thể.

1

Chương 1

TỔNG QUAN1.1. Tổng quan

Khi xã hội ngày càng phát triển thì nhu cầu của con người về những vật liệu

mới có các tính năng ưu việc ngày càng cao. Yêu cầu đặt ra là phải đảm bảo các

tính năng về kỹ thuật như: độ bền, dẻo, cứng…, về kinh tế như: mỏng, nhẹ… và

phải được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành kinh tế. Vật liệu composite là một

trong những loại vật liệu đáp ứng được nhu cầu đó của con người.

Ngày nay các cấu kiện kết cấu làm bằng vật liệu composite được ứng dụng

rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khác nhau. Ta có thể thấy được một số ứng dụng

của nó trong cuộc sống như y tế, sinh học, xây dựng, hàng không ...

Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu composite vào lĩnh vực y tế

http://www.kmm-noe.net

Hình 1.2: Ứng dụng vật liệu composite trong chi tiết động cơ và phản lực

http://www.soton.ac.uk

2

Hình 1.3: Ứng dụng vật liệu composite trong xây dựng

http://icci.vn/tin-tuc/ung-dung-vat-lieu-composite-trong-xay-dung.html

Để những vật liệu mới này được ứng dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật

nói chung và trong ngành xây dựng nói riêng, những ứng xử của nó cần được phân

tích, nghiên cứu chi tiết không những trong phòng thí nghiệm mà còn thông qua các

mô hình vật lý – mô phỏng các bài toán thực tế.

1.2 . Vật liệu Composite

Vật liệu composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác

nhau bao gồm vật liệu nền và sợi gia cường tạo nên một loại vật liệu mới có tính

năng ưu việt hơn so với từng thành phần vật liệu riêng lẽ. Vật liệu nền được cấu tạo

từ polyme, kim loại, gốm… Sợi gia cường được cấu tạo từ sợi polyme, các bon ....

� Phân loại composite:

� Phân loại theo cấu tạo:

- Composite cấu tạo từ các lớp sợi

Hình 1.4: Vật liệu composite cấu tạo từ các lớp sợi

3

- Composite cấu tạo từ nhiều phân tử.

Hình 1.5: Vật liệu composite từ nhiều phân tử

� Phân loại theo tự nhiên hình thành:

- Composite hữu cơ, composite vô cơ và composite khoáng vật .

Hình 1.6: Vật liệu composite theo tự nhiên hình thành

http://www.aujardin.info/img/img7/bambous.jpg

Nhu cầu nghiên cứu của vật liệu composite đã phát triển ra ba dạng lý thuyết:

Hình 1.7: Mô hình lý thuyết biến dạng của dầm [11]

4

Lý thuyết dầm cổ điển (CLPT) còn gọi là lý thuyết dầm Euler-Bernoulli

trong lý thuyết này mặt cắt trước và sau khi biến dạng đều vuông góc với trục trung

hoà vì đã bỏ qua hiệu ứng biến dạng cắt ngang nên ứng suất cắt bằng không ở bề

mặt trên và đáy của dầm do đó chỉ có thể áp dụng đối với dầm mỏng.

Lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) còn gọi là dầm Timoshenko

trong lý thuyết này mặt cắt sau khi biến dạng là một đường thẳng bậc nhất không

vuông góc với trục trung hoà vì có xét đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang bằng cách

đưa vào một hệ số chống cắt Ks nên có thể áp dụng cho trường hợp dầm dày.

Lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao (TSDT) còn gọi là dầm Reddy. Trong

lý thuyết này mặt cắt sau khi biến dạng là một đường cong bậc cao do chuyển vị

trong mặt phẳng tiết diện được biểu diễn dưới dạng hàm bậc cao trong suốt chiều

dày của dầm nên có sự dự đoán tốt hơn về đáp ứng của dầm laminate.

Trong thực tiễn cuộc sống đặc biệt là trong lĩnh vực xây dựng các công trình

giao thông như hệ thống đường ray xe lửa, tuyến đường metro, kết cấu cầu giao

thông… đã đặt ra nhiều vấn đề cần giải quyết về tải trọng di động cũng như ứng

dụng các vật liệu mới có tính năng ưu việt như composite vào các dạng kết cấu

trong thực tiễn. Đến nay đã có nhiều phân tích ứng xử tĩnh và động sử dụng các lý

thuyết dầm khác nhau cho cả bài toán tuyến tính và phi tuyến với các loại vật liệu

và hình dạng dầm khác nhau. Tuy vậy, ứng xử động phi tuyến của dầm composite

chịu tải trọng di động vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Tiếp nối với nghiên cứu

ứng xử của kết cấu dạng dầm làm bằng vật liệu composite. Đề tài này phân tích ứng

xử phi tuyến của dầm composite một nhịp chịu tải trọng điều hòa di động. Mô hình

vật lý của bài toán cho như sau:

5

Hình 1.8: Dầm composite chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di động P(t).

1.3 . Tổng quan tình hình nghiên cứu

Kết cấu làm bằng vật liệu composite đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều

nhà khoa học trên thế giới cả trong lĩnh vực xây dựng thông qua việc phân tích ứng

xử của tấm và dầm composite. Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện phân tích ứng

xử tĩnh và ứng xử động của kết cấu bằng vật liệu composite. Một số luận văn thạc sĩ

ngành Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp cũng quan tâm nghiên cứu

vấn đề kết cấu chịu tải trọng chuyển động. Các nghiên cứu gần đây như:

Tâm [1] đã phân tích tần số dao động và lực ổn định của dầm composite sử

dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó phương trình chuyển động được rút

ra từ phương trình Lagrange. Lý thuyết sử dụng là lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

và lý thuyết Quasi-3D với nhiều điều kiện biên khác nhau. Kết quả số của luận văn

về phân tích tần số dao động và lực ổn định tới hạn được so sánh với kết quả của

các tác giả nghiên cứu khác. Phân tích hiệu ứng giữa sự thay đổi góc xoay của

hướng sợi, tỉ lệ chiều dài và chiều sâu của tiết diện dầm (L/h), tỉ lệ module đàn hồi

đối với lực ổn định tới hạn.

Phong [2] đã phân tích ứng xử phi tuyến của dầm phân lớp chức năng (FGM)

trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động trong đó dựa trên lý thuyết

dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von- Karman. Đặc

trưng của vật liệu FGM được giả thiết tuân theo quy luật lũy thừa với hệ số mũ k.

6

Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton

dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thõa mãn hệ số nhân Lagrange.

Giải phương trình động lực học sử dụng phương pháp Newmark. Các ví dụ số phân

tích ảnh hưởng của biến dạng lớn, sự phân phối vật liệu, vận tốc di chuyển của tải

trọng, tần số lực kích thích, hệ số nền đàn hồi Winkler, tỉ số giữa chiều dài và chiều

cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm.

Phương [3] đã phân tích ứng xử động lực học của dầm phân lớp chức năng

một nhịp chịu tải trọng di động có xét khối lượng vật chuyển động trong đó sử dụng

hai lý thuyết dầm Timoshenko và Reddy. Đặc trưng vật liệu phân lớp chức năng của

được mô tả bởi quy luật hàm lũy thừa theo chiều dày của dầm. Tải trọng di động

được mô hình bởi lực di động và khối lượng di động của vật thể với vận tốc là hằng

số và vận tốc biến đổi đều. Phương trình chuyển động của dầm được thiết lập bằng

nguyên lý năng lượng Hamilton với hàm dạng chuyển vị dạng đa thức bậc cao. Ảnh

hưởng của các thông số vật lý như khối lượng, vận tốc và gia tốc của tải trọng di

động, quy luật phân phối vật liệu, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện của dầm

đến chuyển vị và nội lực của dầm được khảo sát chi tiết. Ngoài ra các tác giả ngoài

nước cũng rất quan tâm đến đề tài này như :

Simsek và cộng sự [4] đã khảo sát dao động tự do và ứng xử động của dầm

phân lớp chức năng gối tựa đơn chịu tải trọng di động điều hòa trong đó phương

trình động lực học thu được bởi phương trình Larange sử dụng lý thuyết dầm Euler

– Bernoulli. Hàm dạng biểu diễn độ võng ngang và dọc trục của dầm theo hàm đa

thức. Các điều kiện biên gối tựa được thỏa mãn bằng các hệ số nhân Larange. Đặc

trưng vật liệu dầm thay đổi liên tục dọc theo bề dày dầm tuân theo quy luật hàm số

mũ và hàm e mũ. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng của đặc trưng vật liệu khác

nhau, vận tốc của tải trọng điều hòa di động, tần số lực kích thích đến ứng xử của

dầm được thảo luận.

Simsek [5] đã phân tích dao động của dầm phân lớp chức năng chịu khối

lượng di động sử dụng các lý thuyết dầm khác nhau trong đó sử dụng lý thuyết

7

Euler – Bernoulli, Timoshenko và lý thuyết biến dạng cắt bậc 3. Đặc trưng vật liệu

dầm thay đổi liên tục dọc theo bề dày dầm tuân theo quy luật hàm số mũ. Điều kiện

biên của gối tựa thỏa mãn hệ số nhân Larange. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng

của biến dạng cắt, hệ số phân phối vật liệu, vận tốc của khối lượng chuyển động,

lực quán tính, ảnh hưởng hướng tâm của khối lượng chuyển động đến độ võng động

lực học và ứng suất của dầm được thảo luận chi tiết. Để kiểm chứng các kết quả, độ

võng động của dầm chịu khối lượng chuyển động và được so sánh với các nghiên

cứu trước so sánh với nghiên cứu dao động tự do của dầm FG.

Simsek [6] đã phân tích dao động phi tuyến của dầm phân lớp chức năng

Timoshenko chịu tải trọng điều hoà di động trong đó các điều kiện biên khác nhau

theo lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao. Đặc trưng vật

liệu của dầm thay đổi liên tục theo chiều dày và tuân theo qui luật hàm số mũ. Hàm

dạng biểu diễn chuyển bị dọc và ngang của dầm, góc xoay do uốn và cắt của mặt cắt

ngang dầm thì được biểu diễn qua hàm đa thức. Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng

của hệ số độ mảnh, đặc trưng vật liệu và lý thuyết dầm khác nhau đến tần số cơ bản

được khảo sát.

Simsek và cộng sự [7] đã phân tích tần số cơ bản của dầm phân lớp chức

năng bằng cách sử dụng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau trong đó phân tích

dựa trên lý thuyết dầm Euler – Bernoulli, lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết

biến dạng cắt bậc ba. Đặc trưng vật liệu của dầm phân lớp chức năng tuân theo qui

luật phân phối hàm số mũ. Hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm Larange. Áp

dụng phương pháp số để chứng minh ảnh hưởng của lực cắt ngang đến tần số tự

nhiên và mode dao động theo tỉ số chiều dài và chiều cao tiết diện, hệ số phân phối

vật liệu theo các điều kiện biên khác nhau. Ta thấy rằng, lực cắt ngang ảnh hưởng ý

nghĩa đến tần số cơ bản và mode dao động cho dầm có tỉ số chiều dài và chiều cao

nhỏ hơn. Ngoài ra, ảnh hưởng đó nổi bật hơn với mode dao động lớn cho tất cả các

hệ số phân phối khối lượng của dầm FG.

8

Nguyen và cộng sự [8] đã phân tích dao động và ổn định của dầm sandwich

với một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao mới trong đó tác giả đã đề xuất một lý

thuyết biến dạng cắt bậc cao mới cho dầm sandwich đẳng hướng và phân lớp chức

năng. Theo lý thuyết này, ứng suất cắt ngang phân bố theo dạng hyperbol mới và

thỏa mãn các điều kiện biên. Phương trình động lực học được thiết lập dựa vào

phương trình Lagrange. Các phân tích được trình bày cho dầm sandwich đẳng

hướng và phân lớp chức năng với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả số về

tần số tự nhiên và ổn định của dầm được so sánh với các lý thuyết biến dạng cắt bậc

nhất và bậc cao khác. Sự ảnh hưởng của các điều kiện biên, quy luật phân bố vật

liệu, tỷ lệ tiết diện, chiều dày các lớp dầm đến ứng xử động học của dầm được khảo

sát chi tiết.

Nguyen và cộng sự [9] đã khảo sát dao động và ổn định của tấm với một lý

thuyết biến dạng cắt lượng giác ngược mới trong đó tác giả đã đề xuất một lý thuyết

biến dạng cắt lượng giác ngược mới cho tấm sandwich đẳng hướng và phân lớp

chức năng. Phương trình động lực học được thiết lập dựa vào phương trình

Lagrange. Các phân tích được trình bày cho dầm sandwich đẳng hướng và phân lớp

chức năng với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả số về tần số tự nhiên và ổn

định của dầm được so sánh với các lý thuyết biến dạng khác. Sự ảnh hưởng của các

điều kiện biên, quy luật phân bố vật liệu, tỷ lệ tiết diện, chiều dày các lớp dầm đến

ứng xử động học của dầm được khảo sát chi tiết.

Vo và cộng sự [10] đã phân tích ứng xử tĩnh dầm sandwich FG bằng lý

thuyết Quasi-3D trong đó sử dụng mô hình phần tử hữu hạn và lời giải Navier để

xác định chuyển vị và ứng suất trong dầm, đặc trưng của vật liệu tuân theo quy luật

hàm mũ. Kết quả số thu được về ảnh hưởng của biến dạng cắt và độ dày trên

chuyển vị và ứng suất được so sánh với các lý thuyết khác.

Zhang [12] đã phân tích phi tuyến dầm FGM chịu uốn bằng lý thuyết mặt

trung bình và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó các chuyển vị được xấp xỉ

bằng các hàm lượng giác. Đặc trưng của vật liệu tuân theo quy luật hàm mũ.

9

Khdeir và Reddy [13] đã khảo sát ổn định của dầm composite cross-ply với

điều kiện biên bất kỳ trong đó phương trình chủ đạo của dầm được giải chính xác.

Mối tương quan giữa các lý thuyết cắt biến dạng khác nhau và lý thuyết cổ điển đã

được thiết lập.

Aydogdu [14] đã phân tích ổn định của dầm cross-ply nhiều lớp với các điều

kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng phương pháp Ritz trong đó phương trình

chủ đạo thu được bằng cách áp dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu. Trong nghiên

cứu này, xét ba điều kiện biên khác nhau là tự do, ngàm và gối đơn giản. Tải trọng

ổn định tới hạn thu được bằng phương pháp Ritz và các thành phần chuyển vị được

xấp xỉ bằng các đa thức đơn giản. Kết quả số thu được so sánh với các nghiên cứu

khác trước đó.

Vo và Thai [15] đã nghiên cứu dao động và ổn định của dầm composite bằng

cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt điều chỉnh trong đó ba phương trình chuyển

động đều thu được bằng nguyên lý năng lượng Hamilton. Mô hình phần tử hữu hạn

được phát triển để giải quyết bài toán. Kết quả số thu được được dùng để phân tích

tác động của hướng sợi và tỷ lệ môđun đến tần số tự nhiên, tải trọng ổn định tới hạn

và hình dạng dao động của dầm.

Vo và Thai [16] đã nghiên cứu ứng xử tĩnh của dầm composite bằng cách sử

dụng các lý thuyết biến dạng cắt điều chỉnh khác nhau trong đó không cần hệ số

điều chỉnh lực cắt. Sự biết thiên của ứng suất và biến dạng theo suốt chiều cao dầm

là parabol.

Aydogdu [17] đã phân tích dao động của dầm composite cross-ply với điều

kiện biên tổng quát bằng phương pháp Ritz trong đó dựa trên lý thuyết biến dạng

cắt ba bậc tự do. Tần số dao động tự do thu được bằng cách áp dụng phương pháp

Ritz.

10

Masunaga [18] đã nghiên cứu dao động và ổn định của dầm composite nhiều

lớp bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong đó tần số tự nhiên và ứng suất ổn

định của dầm composite nhiều lớp bằng cách kể đến hiệu ứng cắt ngang và quán

tính quay. Phương trình chuyển động của lý thuyết này được rút ra từ nguyên lý

năng lượng Hamilton. Kết quả số cũng được so sánh với các lý thuyết khác và

phương pháp phần tử hữu hạn. Nghiên cứu cho thấy lý thuyết xấp xỉ bậc cao có thể

tính toán tần số tự nhiên, ứng suất ổn định và ứng suất trong các lớp dầm chính xác

như các lời giải đàn hồi ba chiều.

Song và Waas [19] đã nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng cắt lên sự ổn

định và dao động tự do của dầm composite trong đó sử dụng lý thuyết biến dạng cắt

bậc cao đơn giản (SHOT) với giả thuyết trường chuyển vị phân bố bậc 3 theo suốt

chiều dày dầm. Kết quả số thu được cho thấy sự tương đồng của lý thuyết này so

với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko .

Shi và Lam [20] đã phân tích dao động của dầm composite dựa trên lý thuyết

biến dạng cắt bậc cao bằng phương pháp phần tử hữu hạn trong đó nghiên cứu sự

ảnh hưởng của các thành phần khối lượng từ chuyển vị bậc cao đến các tần số dao

động. Phương trình chuyển động cũng thu được từ nguyên lý năng lượng Hamilton.

Nghiên cứu này cũng có thể mở rộng cho tấm và vỏ composite.

Mohammad Abadi và Daneshmehr [21] đã nghiên cứu lý thuyết cặp ứng suất

điều chỉnh trong phân tích ổn định của dầm micro composite dựa trên lý thuyết dầm

Euler–Bernoulli và Timoshenko trong đó áp dụng nguyên lý năng lượng tối thiểu và

xét 2 lý thuyết dầm (Euler-Bernoulli và Timoshenko) để thiết lập phương trình chủ

đạo, điều kiện biên và điều kiện ban đầu của dầm micro composite nhiều lớp. Bằng

cách sử dụng các tensor đo độ cong mới và lý thuyết cặp ứng suất điều chỉnh, các

ảnh hưởng kích thước được khảo sát không giống như các lý thuyết cổ điển. Một số

kết quả tính toán được trình bày để khảo sát ảnh hưởng của các thông số chiều dài

của vật liệu, độ dày dầm và chiều dài của dầm lên ứng xử của dầm micro

composite. Phương trình chủ đạo được giải bằng chuỗi Fourier mở rộng. Ảnh

11

hưởng của các thông số chiều dài vật liệu, chiều dài và chiều dày dầm đến ứng xử

của dầm cũng được khảo sát. Ngoài ra, để tìm hiều ảnh hưởng của các lớp dầm, hai

loại dầm composite với hai loại hướng sợi [0;90,0] và [90;0;90] cũng được khảo sát.

Subramanian [22] đã phân tích động của dầm Composite nhiều lớp sử dụng

lý thuyết bậc cao và phần tử hữu hạn trong đó sự khác biệt giữa hai lý thuyết là lý

thuyết đầu tiên giả định một sự biến thiên không parabol của ứng suất cắt ngang qua

độ dày của dầm trong khi lý thuyết thứ hai giả định biến thiên parabol. Các phương

trình của chuyển động đều bắt nguồn sử dụng nguyên lý Hamilton. Nghiên cứu so

sánh cho thấy rằng lý thuyết này dự đoán tần số tự nhiên của dầm composite nhiều

lớp tốt hơn so với các lý thuyết và phần tử hữu hạn khác.

Guanghui He và Xiao Yang [23] đã phân tích động của dầm composite hai

lớp tương tác một phần sử dụng lý thuyết dầm bậc cao trong đó chuyển động học

dầm bậc cao của Kant được đưa vào biến dạng dầm bậc cao cả phương ngang và

phương dọc trục để áp dụng cho các mô hình động của dầm hai lớp tương tác một

phần. Phương trình chuyển động được thiết lập bằng cách sử dụng nguyên lý công

ảo. Các kết quả số được kiểm chứng qua việc so sánh với kết quả của phần mềm

ABAQUS sử dụng mô hình ứng suất phẳng dựa trên lý thuyết dầm bậc cao Reddy

và lý thuyết dầm cổ điển. Ảnh hưởng hệ số nhớt, vận tốc tải trọng di chuyển, tỷ lệ

độ mảnh và độ cứng bề mặt lên ứng xử cơ học được nghiên cứu. Kết quả số cho

thấy rằng mô hình dầm composite bậc cao trong nghiên cứu này có thể đạt được độ

chính xác cao hơn trong phân tích động so với các mô hình cổ điển và Reddy.

Marur và Kant [24] đã phân tích dao động tự do của sợi gia cường dầm

composite dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và mô hình phần tử hữu hạn

trong đó lý thuyết mô hình cong của mặt cắt ngang lấy biến thiên biến dạng dọc trục

và không xét đến hệ số điều chỉnh lực cắt bằng cách giả thuyết biến thiên biến dạng

cắt là bậc hai theo chiều sâu của mặt cắt ngang. Các ví dụ số cũng được thực hiện

để so sánh mô hình này với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất.

12

Vo và Thai [25] đã khảo sát dao động tự do của dầm composite hình chữ

nhật chịu tải trọng dọc trục sử dụng lý thuyết biến dạng cắt điều chỉnh trong đó giải

thích cho sự biến thiên parabol của biến dạng cắt qua suốt độ sâu của dầm. Ba

phương trình chủ đạo chuyển động đều xuất phát từ nguyên lý của Hamilton. Mô

hình phần tử hữu hạn được phát triển để giải quyết bài toán. Kết quả số thu được từ

dầm composite hình chữ nhật cho thấy ảnh hưởng của hướng sợi và tỷ lệ môđun lên

tần số tự nhiên, tải trọng ổn định tới hạn biểu đồ tải trọng – tần số cũng như hình

dạng dao động của dầm.

Afshin và Taheri-Behrooz [26] đã khảo sát ứng suất giữa các lớp của dầm

Composite nhiều lớp trên nền đàn hồi chịu tải ngang trong đó phương trình cân

bằng theo tải trọng ngang cùng với các điều kiện biên thu được bằng cách sử dụng

lý thuyết lớp thông minh của Reddy. Lời giải đàn hồi gần đúng cho trường hợp đặc

biệt của các điều kiện biên chứng minh tính chính xác của lý thuyết nghiên cứu. Các

ví dụ khác nhau cũng được trình bày cho ứng suất thường giữa các lớp và ứng suất

cắt thông qua độ dày của dầm. Ảnh hưởng của các thông số khác nhau như cường

độ tải trọng, độ cứng của nền đàn hồi và kích thước bề mặt tỷ lệ với ứng suất giữa

các lớp được xem xét.

Mohammad-Abadi và Daneshmehr [27] đã ứng dụng lý thuyết cặp ứng suất

điều chỉnh để phân tích động của dầm composite nhiều lớp xét đến các lý thuyết

dầm khác nhau trong đó nguyên lý Hamilton được áp dụng để có được các phương

trình chuyển động, điều kiện biên và điều kiện ban đầu của dầm composite nhiều

lớp. Ba mô hình dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko và Reddy, sự khác biệt giữa

chúng và ảnh hưởng của biến dạng cắt cũng được nghiên cứu. Ba loại điều kiện

biên: gối– gối, ngàm– gối, ngàm– ngàm và bốn loại dầm [0;0;0], [0;90;0],

[90;0;90], [90;90;90] được khảo sát chi tiết. Ngoài ra, phương trình chuyển động

trong trường hợp ngàm – ngàm cũng được giải bằng chuỗi Fourier mở rộng.

Vo và Thai [28] đã khảo sát ứng xử tĩnh của dầm composite sử dụng lý

thuyết biến dạng cắt điều chỉnh khác nhau trong đó lý thuyết phát triển mà không

13

cần hệ số điều chỉnh lực cắt, biến thiên parabol của biến dạng cắt và ứng suất cắt

theo độ sâu của dầm. Ngoài ra, nó tương đồng với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli ở

một số điểm như phương trình chủ đạo, điều kiện biên và biểu thức kết quả ứng

suất. Kết quả số được thực hiện cho dầm Composite chéo lớp đối xứng và không

đối xứng dưới tải trọng phân bố đều và tải tập trung. Ảnh hưởng của hướng sợi và

các lớp dầm đến biến dạng cắt và ứng xử uốn– cắt– xoắn của dầm được nghiên cứu.

Chandrashekhara và Bangera [29] đã khảo sát dao động tự do của dầm

composite sử dụng điều chỉnh cắt linh động phần tử dầm trong đó mô hình phần tử

hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được phát triển để nghiên cứu dao

động tự do dầm composite nhiều lớp. Ảnh hưởng Poisson trước đây thường bị bỏ

qua trong phân tích dầm nhiều lớp thì nay đã được xét đến trong việc xây dựng các

phương trình chuyển động của dầm. Kết quả số cho dầm Composite đối xứng nhiều

lớp thu được là trường hợp đặc biệt và được so sánh với lời giải chính xác trong các

nghiên cứu khác.

Nikhila Naik [30] nghiên cứu ưng xử của dầm Composite trên nền đàn hồi

trong đó chịu tải trọng ngang trung tâm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

Qua đó dùng một số hạng lượng giác để mô tả biến dạng cắt.

Nguyen và cộng sự [31] đã khảo sát dao động tĩnh và tự do của dầm phân lớp

chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất trong đó phương trình động lực

học được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton. Các kết quả thu được về tần số tự

nhiên và ổn định của dầm được so sánh với các lý thuyết biến dạng khác. Sự ảnh

hưởng của quy luật hàm mũ, thành phần phân bố vật liệu, hệ số Poisson đến chuyển

vị, tần số tự nhiên và ổn định của dầm được khảo sát chi tiết.

1.4 . Mục tiêu đề tài

Mục tiêu của đề tài này là phân tích ứng xử phi tuyến của dầm làm bằng vật

liệu composite chịu tải trọng điều hòa di động và sử dụng lý thuyết biến dạng cắt

14

bậc nhất. Nghiên cứu này sẽ phát triển các nghiên cứu ứng xử của dầm composite

nhiều lớp sợi trong các điều kiện chịu tải trọng cơ, nhiệt… khác nhau. Trong bài

toán về ứng xử của phần tử dầm có 3 đối tượng cần phải được quan tâm như sau:

- Thứ nhất đó là dầm trong đó mô hình dầm sử dụng lý thuyết dầm Euler –

Bernouli, Timoshenko, Reddy hay lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác…; ứng xử

của dầm là tuyến tính hay phi tuyến, vật liệu của dầm là đồng nhất, composite nhiều

lớp hay phân lớp chức năng…, kích thước của dầm như thế nào…

- Thứ hai là tải trọng trong đó tải trọng tác dụng là tĩnh hay động, đứng yên

hay di chuyển…

- Thứ ba là nền trong đó dầm tựa lên đâu, điều kiện biên như thế nào ?

Mỗi một đối tượng thay đổi sẽ dẫn đến mô hình vật lý, ứng xử của dầm thay

đổi và mục tiêu của bài toán cũng thay đổi theo có thể tóm tắt theo sơ đồ hình 1.9.

Tóm lại, việc nghiên cứu ứng xử của dầm composite là một vấn đề phức tạp

do sự đa dạng của vật liệu composite, các lý thuyết liên quan và các điều kiện biên

tương ứng. Vì vậy phạm vi nghiên cứu của đề tài này chỉ hướng tới nghiên cứu cho

dầm composite phân lớp với các hướng sợi khác nhau và mỗi lớp là vật liệu trực

hướng.

15

Hình 1.9: Những đối tượng cơ bản cần khảo sát của bài toán phần tử dầm

1.5 . Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp thực hiện nghiên cứu này dựa trên các cơ sở được lựa chọn là:

Dầm composite một nhịp dựa trên lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc nhất của

Timoshenko, quan hệ phi tuyến giữa biến dạng - chuyển vi của Von- Karman giải

phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newmark-�.

16

Phân tích ứng xử động lực học của dầm với các điều kiện biên khác nhau.

Thiết lập phương trình động lực học dựa trên nguyên lý Hamilton biểu diễn dưới

dạng phương trình Lagrange.

Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải

phương trình của bài toán, kiểm tra kết quả đạt được và so sánh với kết quả những

nghiên cứu khác.

Rút ra nhận xét, kết luận và kiến nghị hướng phát triển của đề tài.

1.6 . Tính mới của đề tài

Trong đề tài này, ứng xử phi tuyến của dầm composite nhiều lớp chịu tải

trọng điều hoà di động sẽ được khảo sát chi tiết. Sự khác biệt giữa đề tài này so với

các nghiên cứu khác trong những năm gần đây được tổng hợp và so sánh trong

Bảng 1.1. Qua đó phần nào có thể thấy được sự khác biệt cũng như tính mới của đề

tài này.

17

Bảng 1.1: So sánh sự khác biệt của đề tài nghiên cứu và các đề tài khác

Tác giả Dầm Ứng xử Tảitrọng

Nền Phương pháp

Simsek [4] -Dầm FGMs -Lý thuyết dầmEuler –Bernoulli

Phi tuyến(biến dạngVon –Karman)

Điềuhòa di động

-------- PhươngtrìnhLagrange và Newmark

Phương [3] -Dầm FGM - Lý thuyết dầmTimoshenko và Reddy




Nguyen và cộng sự [8]

-Dầm composite- Lý thuyết biếndạng cắt bậc cao mới

Tuyến tính ------- -------- PhươngtrìnhLagrange và Newmark

Nguyen và cộng sự[10]

-Dầm composite-Lý thuyết biếndạng cắt tiếp cận3D

Tuyến tính ------- -------- Phần tử hữuhạn vàphương trình Navier

Zhang [12] -Dầm composite- Lý thuyết biếndạng mặt trung bình và biếndạng cắt bậc cao


------- -------- Phương pháp Ritz

Simsek [5] -Dầm FGMs -Lý thuyết dầmEuler –Bernoulli vàTimoshenko




Tâm [1] -Dầm composite- Lý thuyết biếndạng cắt bậc cao

Tuyến tính ------- -------- PhươngtrìnhLagrange và giải tích

Phong [2] -Dầm FGMs -Lý thuyết dầmTimoshenko

Phi tuyến(biến dạngVonKarman)


Nền đàn hồiWinkler

PhươngtrìnhLagrange và Newmark

Đề tàinghiên cứu

-Dầm composite -Lý thuyết dầmTimoshenko



-------- Phương trìnhLagrange và Newmark

18

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Nguyên tắc chuyển trục toạ độ

Do dầm composite được cấu tạo bởi nhiều lớp sợi và các hướng sợi với góc

xoay khác nhau nên ta cần phải chuyển từ hệ trục toạ độ địa phương sang hệ trục

toạ độ tổng thể. Hệ trục tọa độ địa phương xoay một góc θ đối với hệ trục tọa độ

tổng thể.

Hình 2.1: Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phương [1]

Hai hệ trục toạ độ: tổng thể và địa phương thể hiện ở Hình 2.1 và Hình 2.2

được sử dụng để mô tả chính xác hoàn toàn thuộc tính của vật liệu composite. Hệ

trục toạ độ 1-2-3 là hệ trục toạ độ địa phương, trong đó trục 1 là hướng sợi, trục 2 là

phương ngang và trục 3 là phương vuông góc với mặt phẳng của các sợi. Hệ trục

toạ độ x-y-z là hệ trục toạ độ tổng thể và được đặt ở mặt trung bình của tấm. Mở

rộng hơn, cấu kiện composite nhiều lớp, góc xoay của sợi cấu tạo đều chuyển thành

hệ trục tọa độ tổng thể. Mối quan hệ giữa hệ trục tọa độ tổng thể và hệ trục tọa độ

địa phương [37]' � σσ σT (2.1)

εε' = T ε (2.2)

19

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 0 0 2sin cossin cos 0 0 0 2sin cos

0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 0

sin cos sin cos 0 0 0 cos sin

�

� � � ��

� ��

� � � � � �

� ��

� � ��

� ��

T (2.3)

2 2

2 2

1

2 2

cos sin 0 0 0 sin cossin cos 0 0 0 sin cos

0 0 1 0 0 0( )

0 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 0

2sin cos 2sin cos 0 0 0 cos sin

T� �

� � � ��

� ��

� � � � � �

�

� ��

� � � ��

� ��

T T (2.4)

Đối với vật liệu dị hướng, thuộc tính của vật liệu được thể hiện bằng ma trận

độ cứng bao gồm 21 hằng số độc lập. Ma trận độ cứng tổng quát [37].

11 12 13 14 15 1611 11

12 22 23 24 25 2622 22

13 32 33 34 35 3633 33

14 42 43 44 45 4623 23

15 52 53 54 55 5613 13

16 62 63 64 65 6612 12

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

� ��

� ��

� � ��

� � ��

��

(2.5)

Giới hạn của đề tài này, các vật liệu khảo sát đều là vật liệu trực hướng. Vật

liệu trực hướng là vật liệu trong đó có ba mặt phẳng vuông góc đối xứng gồm 9

hằng số độc lập.

Hình 2.2: Thuộc tính vật liệu trực hướng [1]

Ma trận độ cứng của vật liệu trực hướng [37]

20

11 12 13

12 22 23

13 32 33

44

55

66

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

C C CC C CC C C

CC

C

� ��

� � ��

C (2.6)

trong đó :

23 3211

2 3

1C

E E� �

��

� (2.7a)

21 31 23 21 32 1312

2 3 1 3

CE E E E

� � � � � ��

� ��

� � (2.7b)

31 21 32 13 12 2313

2 3 1 2

CE E E E

� � � � � ��

� ��

� � (2.7c)

13 3122

1 3

1C

E E� �

��

� (2.7d)

32 12 31 23 21 1323

1 3 1 2

CE E E E

� � � � � ��

� ��

� � (2.7e)

12 2133

1 2

1C

E E� �

��

� (2.7f)

44 23C G� (2.7g)

55 13C G� (2.7h)

66 12C G� (2.7i)

12 21 23 32 31 13 21 32 13

1 2 3

1 2E E E

� � � � � � � � ��

� � � � (2.7j)

Ma trận độ cứng C’ trong hệ toạ độ tổng thể là -1 Tσ ε σ σC' = T CT = T CT nên :

11 12 13 16

12 22 23 26

13 32 33 36

44 45

45 55

16 26 36 66

' ' ' 0 0 '' ' ' 0 0 '' ' ' 0 0 '

'0 0 0 ' ' 00 0 0 ' ' 0' ' ' 0 0 '

C C C CC C C CC C C C

C CC C

C C C C

� ��

� � ��

C (2.8)

Trong đó :4 4 2 2

11 11 22 12 66' cos sin 2( 2 )sin cosC C C C C� � � �� (2.9a)

21

2 2 4 412 11 22 66 12' ( 4 )sin cos (cos sin )C C C C C� � � �� (2.9b)

2 213 12 23' cos sinC C C� �� (2.9c)

3 316 11 12 66 12 22 66' ( 2 )sin cos ( 2 )sin cosC C C C C C C� � � �� (2.9d)

4 2 2 422 11 12 66 22' sin 2( 2 )sin cos cosC C C C C� � � �� (2.9e)

2 223 12 23' sin cosC C C� �� (2.9f)

3 326 11 12 66 12 22 66' ( 2 )sin cos ( 2 )sin cosC C C C C C C� � � �� (2.9g)

33 22'C C� (2.9h)

2 222 2344 66' cos sin

2C

C C C� ��

� � (2.9i)

22 2345 66' sin cos

2C

C CC � ��

� (2.9j)

2 222 2355 66' sin cos

2C

C C C� ��

� � (2.9k)

! " 2 2 4 466 11 22 12 66 66' 2( ) sin cos (cos sin )C C C C C C� � � �� (2.9l)

2.2. Chuyển vị, biến dạng và ứng suất

Xét một dầm composite có tiết diện hình chữ nhật (bxh) và chiều dài L như

hình 2.3 sau :

Hình 2.3: Kích thước hình học của dầm composite

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) hay lý thuyết dầm Timoshenko,

chuyển vị theo phương dọc trục u(x,t) và chuyển vị theo phương thẳng đứng w(x,t)

tại mọi điểm của dầm [11]:

22

0( , ) ( , ) ( , )u x t u x t z x t�� (2.10a)

0( , ) ( , )w x t w x t� (2.10b)

Trong đó: u0(x,t); w0(x,t) là chuyển vị tại trục thanh.

�(x, t): góc xoay của mặt phẳng tiết diện ( # $ 0,, xx t w� % )

t: thời gian.

Trường chuyển vị được định nghĩa như trên sẽ trở về lý thuyết dầm Euler –

Bernoulli như trình bày ở phần trên nếu # $ 0,, xx t w� � . Vì thế FSDT là một dạng mở

rộng của lý thuyết dầm Euler – Bernoulli do kể thêm biến dạng cắt trong lý thuyết

động học của dầm. Mô hình theo FSDT được sử dụng rộng rãi cho phân tích vật

liệu composite do tính đơn giản của nó trong phân tích cũng như lập trình.

Mối quan hệ phi tuyến giữa chuyển vị và biến dạng dựa trên lý thuyết biến

dạng Von – Karman theo [6] được cho như sau:

2 2, , 0, 0, ,

1 1( ) ( )2 2xx x x x x xu w u w z� �� (2.11a)

, , 0,xz z x xu w w �� (2.11b)

,x x �� (2.11c)

Trong đó: xx, xz, x lần lượt là biến dạng dài, biến dạng trượt và độ cong của

dầm. Dấu phẩy được xem là đạo hàm theo hệ trục của chỉ số nằm dưới.

Từ (2.11a) ta thấy quan hệ giữa biến dạng và đạo hàm của chuyển vị là quan

hệ phi tuyến thông qua số hạng 20,( )xw , biến dạng có thể chia ra làm 2 thành phần:

tuyến tính và phi tuyến như sau

! "� � � � TL NL xx xzε ε ε (2.12)

Trong đó:

0, , 0,� �� T

L x x xu z wε (2.13a)

20,

1 ( ) 02

� ��

T

NL xwε (2.13b)

23

Trong trường hợp chuyển vị bé thì 2, 0, ,( ) �&& �x x xw u z , do đó nếu bỏ qua số

hạng bậc cao 2,( )xw trong biểu thức tính biến dạng (2.11a) bài toán trở thành tuyến

tính.

Theo đinh luật Hook, ứng suất của dầm được xác định [11]:

11'xx xxQ� �� (2.14a)

55'xz s xzk Q� � (2.14b)

Trong đó: , , ,� � �xx xz xx xz lần lượt là biến dạng dài, biến dạng cắt, ứng suất pháp và

ứng suất tiếp của dầm.' '11 55,Q Q là độ cứng giảm đã được chuyển trục toạ độ từ hệ trục toạ độ địa

phương sang hệ trục toạ độ tổng thể x.

ks : là hệ số hiệu chỉnh ứng suất tiếp để xét đến sự phân bố ứng suất không

đều khi dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất.

Lực dọc Nx, moment My và lực cắt Qz trong dầm được xác định như sau:

x xxA

N dA�� ' (2.15a)

y xxA

M z dA�� ' (2.15b)

z xzA

Q dA�� ' (2.15c)

Thực hiện tích phân các phương trình (2.15a), (2.15b) , (2.15c) sau khi đã

thay các phương trình (2.14a) và (2.14b) vào. Vì các hàm chuyển vị u0 và w0 không

phụ thuộc vào z hay nói cách khác không phụ thuộc vào đại lượng dA nên ta có biểu

thức nội lực trong dầm theo hàm chuyển vị:

20, 0, ,

1 ( )2x xx x x xx xN A u w B ��

(2.16a)

# $20, 0, ,

12y xx x x xx xM B u w D ��

(2.16b)

0,z s xz xQ k A w �� (2.16c)

24

Trong đó: Axx, Bxx, Dxx, Axz lần lượt là độ cứng màng, tương tác màng-uốn,

uốn và cắt của dầm, và được định nghĩa như sau:'11xx

A

A Q dA� ' ; '11xx

A

B Q zdA� ' ; ' 211xx

A

D Q z dA� ' ; '55xz

A

A Q dA� ' (2.17)

2.3. Thiết lập phương trình chuyển động

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm được định nghĩa như sau:

0

1 ( )2

L

xx xx xz xzA

U dAdx� � � � �' ' (2.18a)

Thay phương trình (2.11a), (2.11b), (2.14a), (2.14b) vào (2.18a), và thực hiện

tích phân theo diện tích (các hàm chuyển vị không phụ thuộc vào diện tích) ta được:

# $ # $

# $

22 2

0, 0, , 0, 0,

220, ,

1 121 2 22

( )

xx x x xx x x x

Ls xz x xx x

A u w B u wU dx

k A w D

�

� �

( )� � � �� * ** *� � � �� + ,* *� � �* *- .

' (2.18b)

Động năng của dầm được định nghĩa như sau:

2 2

0

1 ( ) ( )2

L

x zA

K z v v dAdx � �' ' (2.19)

Trong đó ,x zv v lần lượt là vận tốc theo phương x, z và được xác định như sau:

0xv u u z�� 0u u z0 �z�u uu0 � (2.20a)

0zv w w� � 0w w0w (2.20b)

Trong đó đạo hàm theo thời gian t được định nghĩa bằng dấu chấm đặt trên

mỗi đại lượng.

Thay (2.20a), (2.20b) vào (2.19) và thực hiện tích phân, ta có biểu thức tính

động năng của dầm như sau:

# $ # $ # $/ 022 20 0 0

1 22 A B D

L

K I u w I u I dx� �� ' # $2dx$0 $0I2 �#D0 #D

�$2 2# $$ # $2 2# $ I u2 B 02u w$ # $0 0$ # $0 0$ # $0 0$ # $u w$ # $$ # $0 0$ # $ # $2# $I # $D (2.21)

( )AA

I z dA � ' ( )BA

I z zdA � ' 2( )DA

I z z dA � ' (2.22)

Công của lực P(t) di động tại thời điểm t bất kỳ theo [6] như sau:

25

! "0 1 2( ) ( , ) ( ) ( )pW P t w x t c t t c t t� � � � (2.23)

Trong đó: px là vị trí của lực P(t) tại thời điểm t bất kỳ, và được xác định

như sau :

p px v t� với 1 20 ; 0 /p px L t t t L v1 1 � 1 1 � (2.24a)

1;0( )

0;0t

c tt

&( )� + ,2- . (2.24b)

với 1 2,t t lần lượt là thời điểm lực đi vào dầm và thời điểm lực ra khỏi dầm.

Trong nghiên cứu này 1 0�t nên 03t

Nguyên lý năng lượng Hamilton theo [11] được cho như sau:

0

0 ( )T

U W K dt4 4 4� � �' (2.25)

Trong đó: U, W, K lần lượt là năng lượng biến dạng đàn hồi, công của ngoại

lực tác dụng và động năng của dầm; phiếm hàm của bài toán được xác định bởi:

W U K5� � � (2.26)

2.4. Lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức

Các hàm chuyển vị 0 0, ,u w � có thể được xấp xỉ bằng các hàm đa thức0 1 2, , ,..., Nx x x x như sau:

10

10

1 1

( )( , )( , ) ( )( , ) ( )

NnN

Nn

Nn

a t xw x tu x t b t x

x t c t x�

�

�

�

( )( )* ** * �+ , + ,

* * * *- . - .

6 (2.27)

Trong đó: N và n lần lượt là số lượng số hạng và bậc của đa thức.

Phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên nguyên lý năng lượng với

phiếm hàm năng lượng là :

( , )m mJ f x t7�5�6 (2.28)

Trong đó: , ( , )m mf x t7 lần lượt là nhân tử Lagrange và giá trị chuyển vị tại

(0; )x L�

26

Bảng 2.1: Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm đa thức.

Điều kiện biên Vị trí x= 0 Vị trí x= L

Ngàm- ngàm

C-C0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �0 0,

0

( , ) 0; ( , ) 0( , ) 0; ( , ) 0

xw L t w L tu L t L t�

� �

� �

Ngàm- Tự do

C-F0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �

Ngàm- Gối

C-H0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �0 0( , ) 0; ( , ) 0w L t u L t� �

Ngàm- tựa đơn

C-S0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �0 ( , ) 0w L t �

Gối- Gối

H-H0 0(0, ) 0; (0, ) 0w t u t� � 0 0( , ) 0; ( , ) 0w L t u L t� �

Gối- Tựa đơn

H-S0 0(0, ) 0; (0, ) 0w t u t� � 0 ( , ) 0w L t �

Tựa đơn- tựa đơn

S-S0 (0, ) 0w t � 0 ( , ) 0w L t �

Phương trình Lagrange được cho như sau:

0; 1,2,...3 bn n

J d J n N Nq dt q8 8

� � � �8 8

0;nq

0; (2.29)

Trong đó: Nb =2,3,4,5,6,8 phụ thuộc vào điều kiện biên khác nhau của dầm.

Thay các phương trình (2.26), (2.27) vào phương trình (2.28) và sử dụng phương

trình Lagrange ta được phương trình động lực học như sau:

# $# $ # $# $ # $# $# $# $# $# $

11 12 1311 13 14

2122 23 24

31 32 33 34 31

41 41 43

11

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

NL NL NLL L L

NLL L L

L L L L NL

L L L

t t tt ttt t

t ttt t

� �� ( ) ( )� �� * * * *� �* * * *� � � �+ , + ,� �� * * * *� �� * * * *� �� - . - .� � � �

�

K a K a K a 0a aK 0 K KK a 0 0 0b b0 K K K

c cK K K K K a 0 0 0α αK K K 0 0 0 0 0

M 0 0 00 M22 23

32 33

( ) ( )( ) 0( ) 0( ) 0

t tttt

� � ( ) ( )� � * * * *

* * * *� � �+ , + ,� � * * * *� � * * * *� � - . - .

a FM 0 b

0 M M 0 c0 0 0 0 0

) (( ))( )( ))* *( )* ** *( ), +( )( )( )

27

Trong đó LijK là các thành phần ma trận độ cứng tuyến tính; NL

ijK là các thành

phần ma trận độ cứng phi tuyến (các ma trận độ cứng này phụ thuộc vào tọa độ suy

rộng a(t)); ijM là các thành phần ma trận khối lượng; ( )iF t là thành phần véc tơ tải

suy rộng được tạo ra bởi tải trọng điều hòa di động.

Dạng chi tiết của các ma trận LijK trong phương trình (2.30) được cho với

điều kiện biên là Ngàm- Ngàm (C-C) như sau:1

14 0( )L iijK x �� i = 1, 2… N; j = 1 (2.31a)

114 ( )L i

ij LK x �� i = 1, 2… N; j = 2 (2.31b)

114 0 ,( )L i

ij xK x �� i = 1, 2… N; j = 3 (2.31c)

114 ,( )L i

ij L xK x �� i = 1, 2… N; j = 4 (2.31d)

14 0LijK � i = 1, 2… N; j = 5,6,7,8 (2.31e)

24 0LijK � i = 1, 2… N; j = 1,2,3,4,7,8 (2.31f)

124 0( )L i

ijK x �� i = 1, 2… N; j = 5 (2.31g)

124 ( )L i

ij LK x �� i = 1, 2… N; j = 6 (2.31h)

34 0LijK � i = 1, 2… N; j = 1,2,3,4,5,6 (2.31i)

134 0( )L i

ijK x �� i = 1, 2… N; j = 7 (2.31j)

134 ( )L i

ij LK x �� i = 1, 2… N; j = 8 (2.31k)

141 0( )L i

ijK x �� i = 1; j = 1, 2… N (2.31l)

141 ( )L i

ij LK x �� i = 2; j = 1, 2… N (2.31m)

41 0�LijK i = 3; j = 1, 2… N (2.31o)

41 0�LijK i = 4; j = 1, 2… N (2.31p)

41 0LijK � i = 5,6,7,8; j = 1, 2… N (2.31q)

42 0LijK � i = 1,2,3,4,7,8; j = 1, 2… N (2.31s)

28

142 0( )L i

ijK x �� i = 5; j = 1, 2… N (2.31t)

142 ( )L i

ij LK x �� i = 6; j = 1, 2… N (2.31u)

43 0LijK � i = 1,2,3,4,5,6; j = 1, 2… N (2.31w)

143 0( )L i

ijK x �� i = 7; j = 1, 2… N (2.31y)

143 ( )L i

ij LK x �� i = 8; j = 1, 2… N (2.31z)

1 111 , ,0

( ) ( )LL i j

ij s xz x xK k A x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32a)

1 113 ,0

( ) ( )LL i j

ij s xz xK k A x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32b)

1 122 , ,0

( ) ( )LL i j

ij xx x xK A x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32c)

1 123 , ,0

( ) ( )LL i j

ij xx x xK B x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32d)

1 131 ,0

( )( )LL i j

ij s xz xK k A x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32e)

1 132 , ,0

( ) ( )LL i j

ij xx x xK B x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32f)

1 1 1 133 , ,0 0

( )( ) ( ) ( )L LL i j i j

ij s xz xx x xK k A x x dx D x x dx� � � �� ' ' i, j = 1, 2, …, N (2.32g)

# $2 1 111 0, , ,0

( ) ( )2

LNL i jxxij x x x

AK w x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32h)

# $ 1 112 0, , ,0

( ) ( )LNL i j

ij xx x x xK A w x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32i)

# $ 1 113 0, , ,0

( ) ( )LNL i j

ij xx x x xK B w x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32j)

# $ 1 121 0, , ,0

( ) ( )2

LNL i jxxij x x x

AK w x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32k)

# $ 1 131 0, , ,0

( ) ( )2

LNL i jxxij x x x

BK w x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32l)

1 111 0

( )( )L i j

ij AM I x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32m)

1 122 0

( )( )L i j

ij AM I x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32n)

1 123 0

( )( )L i j

ij BM I x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32o)

29

1 132 0

( )( )L i j

ij BM I x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32p)

1 133 0

( )( )L i j

ij DM I x x dx� �� ' i, j = 1, 2, …, N (2.32q)

1( )in PF P x �� i = 1, 2, …, N (2.32s)

Trong đó 0 , Lx x lần lượt là tọa độ gối tựa bên trái và bên phải dầm.

Dạng thu gọn của phương trình (2.30) như sau:

( ) ( ( )) ( ) ( )L NLt t t t� �� Mq K K q q F 0( ) �q( )) (2.33)

Trong đó M, KL, KNL lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận độ cứng tuyến

tính, ma trận độ cứng phi tuyến của dầm; F(t) là véc tơ tải phụ thuộc theo thời gian

do tải trọng điều hòa di động và ! "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tt t t t t�q a b c α là tọa độ suy rộng

phụ thuộc theo thời gian.

Trong trường hợp bài toán dao động tự do, tọa độ suy rộng theo thời gian

được cho dưới dạng _

( ) ( ) i tn nq t q t e �� , và ma trận độ cứng phi tuyến của dầm KNL và

vec tơ tải F(t) bằng không. Phương trình (2.33) trở thành_ _

L 2 0q q�� K M (2.34)

Trong đó: �� là tần số góc tự nhiên. Các tần số tự nhiên này của dầm là

nghiệm của phương trình đặt trưng sau:2 0�� K M (2.35)

Trong trường hợp bài toán chịu tác dụng tải trọng điều hòa di động, phương

trình động lực học (2.33) là phương trình phi tuyến do ma trận độ cứng phụ thuộc

vào tọa độ suy rộng và thay đổi theo thời gian trong quá trình chuyển động. Ứng xử

phi tuyến này là do kể đến biến dạng lớn của Von – Karman. Hiện nay, công việc

giải phương trình này bằng các phương pháp giải tích là khá khó khăn nên các

phương pháp số tích phân trực tiếp là sự lựa chọn tốt nhất để giải phương trình trên.

2.5. Lời giải xấp xỉ bằng hàm lượng giác

30

Các hàm chuyển vị 0 0, ,u w � được xấp xỉ bằng các hàm nội suy Ritz như sau:

0

01

0

( )( , )( , ) ( )( , ) ( )

i tj j

mi t

j jj i t

j j

x w ew x tu x t x u e

x t x e

�

�

�

9

:� ; �

�

( )( )* ** * * *�+ , + ,

* * * *- . * *- .

6 (2.36)

Trong đó, � là tần số của dao động tự do của dầm, 2 1i � � là đơn vị ảo,

( , , )j j ju w � là những giá trị cần xác định, ( , , )j j j: 9 ; là các hàm dạng được xác định

tương ứng với các điều kiện biên được cho theo [36] thể hiện qua bảng 2.2 như sau:

Bảng 2.2: Hàm dạng lượng giác tương ứng với điều kiện biên của dầm.

Điều kiện biên ( )j x9 ( )j x: ( )j x;

C-C sin j xL< cos j x

L< cos j x

L<

C-F (2 1)1 cos2j x

L<�

�(2 1)sin

2j x

L<� (2 1)sin

2j x

L<�

S-S 2sin j xL< 2sin j x

L< 2sin j x

L<

Bảng 2.3: Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

Điều kiện biên Vị trí x= 0 Vị trí x= L

C-C 0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �0 0,

0

( , ) 0; ( , ) 0( , ) 0; ( , ) 0

xw L t w L tu L t L t�

� �

� �

C-F 0 0,

0

(0, ) 0; (0, ) 0(0, ) 0; (0, ) 0

xw t w tu t t�

� �

� �

S-S 0 (0, ) 0w t � 0 ( , ) 0w L t �

Áp dụng phương trình Lagrange cho bởi phương trình (2.29) ta được phương

trình động lực học như sau:

31

..

11 13 11 12 13 11 ..

22 23 21 22 23..

31 32 33 31 32 33

0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 0 ( )0 ( ( )) 0 0 0 0

( ( )) 0 0 0 0

L L NL NL NL

L L NL

L L L NL

t t t ttt� � �

( )* *� � � �( ) ( ) � � (* *� � � �* * * * *� �� + , + , + , +� � � � � �

* * * * * *� � � � � �- . - . � � -� � � � * *- .

wK K w K a K a K a w M FK K u K a u M M u

K K K K a M M

)*,

* *.

(2.40)

Dạng chi tiết của các ma trận trong phương trình (2.37) được cho như sau :

11 , ,0( )( )

LLij s xz i x j xK k A dx9 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38a)

13 ,0( )( )

LLij s xz i x jK k A dx9 ;� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38b)

22 , ,0( )( )

LLij xx i x j xK A dx: :� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38c)

23 , ,0( )( )

LLij xx i x j xK B dx; :� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38d)

31 ,0( )( )

LLij s xz i j xK k A dx; 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38e)

32 , ,0( )( )

LLij xx i x j xK B dx; :� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38f)

33 , ,0 0( )( ) ( )( )

L LLij s xz i j xx i x j xK k A dx D dx; ; ; ;� �' ' i, j = 1, 2, …, N (2.38g)

# $211 0, , ,0

( )( )2

LNL xxij x i x j x

AK w dx9 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38h)

# $12 0, , ,0( )( )

LNLij xx x i x i xK A w dx: 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38i)

# $13 0, , ,0( )( )

LNLij xx x i x j xK B w dx; 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38j)

# $21 0, , ,0( )( )

2LNL xx

ij x i x i xAK w dx: 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38k)

# $31 0, , ,0( )( )

2LNL xx

ij x i x j xBK w dx; 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38l)

11 0( )( )

L

ij A i jM I dx9 9� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38m)

22 0( )( )

L

ij A i jM I dx: :� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38n)

23 0( )( )

L

ij B i jM I dx: ;� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38o)

32

32 0( )( )

L

ij B i jM I dx: ;� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38p)

33 0( )( )

L

ij D i jM I dx; ;� ' i, j = 1, 2, …, N (2.38q)

( )n iF P 9� i = 1, 2, …, N (2.38s)

Tương tự như phương pháp xấp xỉ bằng hàm đa thức, phương pháp

Newmark - � theo [6] được chọn để giải phương trình động lực học phi tuyến này.

Phần tiếp theo của chương trình bày giải thuật của phương pháp Newmark - �.

2.6. Phương pháp Newmark - ��

Rời rạc hóa phương trình (2.33) theo thời gian để giải bằng phương pháp số,

phương trình chuyển động tại thời điểm t kí hiệu chỉ số là i được viết lại dưới dạng :

0L NLi i i i� �� Mq K K q q F� Lqi � L� �� L�� L (2.39)

Phương trình số gia giữa 2 thời điểm i và i+1 được biểu diễn là:

( )i s i� � � � � iM q f F(qi (� (i ( (2.40)

Trong đó các vec tơ 1( )i i i�� q q q( )� ( 1qi (� ( 1i ( 1 , 1( )i i i�� F F F lần lượt là các vec tơ số

gia của gia tốc và tải trọng ngoài giữa hai thời điểm i và i+1. Số gia của lực đàn

hồi ( )s i�f , trong phương trình (2.40) được biểu diễn theo ma trận độ cứng cát tuyến

(Secant Stiffness) bởi phương trình sau:

( ) ss i i i� � �f K q (2.41)

Trong đó s L NLi � �K K K , 1( )i i i�� q q q lần lượt là ma trận độ cứng cát

tuyến và số gia của chuyển vị giữa 2 thời điểm i và i+1. Như vậy phương trình số

gia cân bằng giữa 2 thời điểm này được viết lại dưới dạng đơn giản là:

si i i i� � � � �M q K q Fs�sqi i� �si ii (2.42)

Giá trị vận tốc và chuyển vị tại cuối bước thời gian được xấp xỉ bởi :

1 1(1 )i i i it t � �� q q q q 1( ) t� � � �(1 ) tq q q q1i 1 tt1 � � � �(1 ) t) t (2.43) 2 2

1 1(1/ 2 )i i i i it t t� �� q q q q q2 21( / ) 2)� � (1/ 2t (1/ 2 2) t2) q2t�t (1/ 2 tt2) (2.44)

Phương pháp NewMark được áp dụng để giải phương trình chuyển động của

hệ có ứng xử phi tuyến được viết dưới dạng số gia như trong (2.42). Từ hai phương

33

trình (2.43), (2.44) suy ra biểu thức của số gia giữa hai thời điểm i và i+1 của gia

tốc ( 1i i�� q q qi� �q q qi 1� �� 1i 1 ) và của vận tốc ( 1i i�� q q qiq q qi 1� �� 1i 1 ) theo các đại lượng còn lại như sau:

1 2 3 5

1 1 4 6

i i i i i

i i i i i

a a aa a a

�

�

� � � � � � ��

q q q q q qq q q q q q

i� � � � � �q q q q q q5i i i i1 2 3 52 32 3 a2 332 33� � � � � �� 1i 1 a aaa2 32 32 332 3

i� q61 1 4 611 a1 441 44q qi� � � � � �� 1i 1 a aaa1 41 41 441 4

(2.45)

Trong đó, các hệ số ai được cho như sau:

1at

�

��

; 2 2

1at�

��

; 31a

t��

�; 4a

�� ; 5

12

a�

� ; 6 ( 1)2

a t�

� � � (2.46)

Với =1/2 và �=1/4

Thay hai phương trình trong (2.45) vào (2.42), kết quả thu được hệ phương

trình đại số tuyến tính với ẩn số �q là số gia chuyển vị giữa hai thời điểm i và i+1,

�q có dạng là:

# $ # $eff effii i� � �K q F (2.47)

Với # $eff iK là độ cứng hiệu dụng và # $eff i

�F là số gia tải trọng hiệu dụng

trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:

# $# $

eff 2 1

eff 3 5 4 6( ) ( )

sii

i i i i ii

a a

a a a a

� � �

� � � � � � �

K M C K

F F M q q C q q) ( )65 4 65 45 45 45 45 45 4) () () () () (5 455 45 45 45 455 45 4

(2.48)

Ma trận độ cứng các tuyến siK trong phương trình (2.48) chưa biết giá trị

nhưng có thể xấp xỉ bằng độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i. Giải hệ phương trình

đại số tuyến tính (2.47) thu được giá trị của số gia chuyển vị i�q , từ giá trị i�q này

thay vào phương trình (2.45) thu được giá trị của số gia vận tốc và gia tốc là

,� �q q�q q,�, . Thay tiếp vào (2.44) sẽ tìm được vận tốc và gia tốc tại điểm cuối bước thời

gian. Như vậy từ nghiệm đã biết tại thời điểm trước là i, ta tìm được nghiệm tại thời

điểm i +1.

Thuật toán để giải phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết

cấu có ứng xử phi tuyến theo phương pháp Newmark được mô tả như sau:

34

� Thông số đầu vào

1. Khai báo các ma trận khối lượng M, ma trận cản C (nếu có) của hệ

2. Mô tả quan hệ lực đàn hồi và chuyển vị

3. Mô tả hàm tải trọng theo thời gian 0 0 0, ,q q q0q q000

4. Khai báo điều kiện ban đầu

5. Chọn bước thời gian �t

6. Rời rạc hóa véc tơ tải trọng theo thời gian

7. Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại i =0, 0tK

� Trong từng bước thời gian

1. Xác định ma trận độ cứng hiệu dung theo (2.48)

2. Tính số gia véc tơ tải trọng hiệu dụng tại i+1 theo (2.48)

3. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.47) để tìm số gia của chuyển vị

4. Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i+1 theo các phương trình

(2.43) và (2.44)

5. Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i+1,

� Lặp lại quá trình “trong từng bước thời gian” cho bước thời gian kế tiếp.

2.7. Kết luận

Chương 2 đã thiết lập phương trình động lực học phi tuyến của dầm

Composite chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương trình Lagrange và lý

thuyết dầm Timoshenko. Sự phi tuyến là do kể đến ảnh hưởng của biến dạng lớn

Von – Karman. Do tính đơn giản và dễ sử dụng trong lập trình tính toán mà phương

pháp tích phân từng bước Newmark- � được chọn để giải hệ phương trình phi tuyến

này.

35

Chương 3

VÍ DỤ SỐ

3.1. Giới thiệu

Trong chương này, một số ví dụ số sẽ được đưa ra và so sánh với các nghiên

cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số đã áp dụng cho mô hình này.

Luận văn sẽ phân tích ứng xử của dầm Composite với các điều kiện biên khác nhau

bằng việc xấp xỉ hai hàm dạng khác nhau thông qua các ví dụ số, gồm:

Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite.

Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số lực kích thích đến chuyển vị lớn nhất.

Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc không thứ nguyên đến chuyển vị lớn

nhất.

Khảo sát sự ảnh hưởng của tỉ số L/h đến ứng xử của dầm.

Khảo sát chuyển vị của dầm tại một khoảng thời gian nhất định khi vật tốc di

chuyển thay đổi.

Trong các ví dụ số quy ước, chuyển vị đi xuống tương ứng với dấu dương,

chuyển vị lên tương ứng với dấu âm; vị trí mặt trên của tiết diện dầm so với trục

thanh ứng với giá trị âm của z, vị trí mặt dưới của tiết diện dầm so với trục thanh

ứng với giá trị dương của z.

3.2. Khảo sát độ hội tụ

3.2.1. Bài toán 1: Khảo sát ảnh hưởng của bậc đa thức và hàm lượng giác

Các đặc trưng của dầm được chọn để phân tích trong bài toán 1 như sau:

Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o] chiều dài

L=20m; chiều rộng b=0.5m; 20LSh

� � ; P0=1000kN; �=20rad/s; vp=10m/s. Trong

đó vật liệu có thông số như sau: Module đàn hồi 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ;

36

12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 2 31 10 / �� x KN m . Hệ số

hiệu chỉnh ứng suất cắt được chọn ks=5/6. Tổng số bước thời gian được chọn trong

bài toán tuyến tính RL1=250. Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i:2

2

� = � ii

Lh E

. Khảo sát sự ảnh hưởng của giá trị N trong hàm chuyển vị đến

chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp của dầm, từ đó xác định giá trị giới hạn của N.

Bảng 3.1: Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm composite cross-ply theo

N với các điều kiện biên khác nhau.

NHàm đa thức Hàm lượng giác

C-F C-C S-S C-F C-C S-S

2 155.4690 - 0.0000 2.5951 15.6579 7.2011

4 2.6022 277.4117 7.7497 2.5896 15.5443 7.2011

6 2.5883 15.5386 7.2021 2.5885 15.5125 7.2011

8 2.5878 15.5262 7.2011 2.5881 15.4975 7.2011

10 2.5876 15.4980 7.2011 2.5879 15.4887 7.2011

12 2.5875 15.4840 7.2011 2.5878 15.4829 7.2011

14 2.5874 15.4755 7.2011 2.5877 15.4787 7.2011Bảng 3.2: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-

ply theo N với các điều kiện biên khác nhau.

NHàm đa thức Hàm lượng giác


2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0632 0.0465 0.0291

4 0.0149 0.0000 0.0327 0.1000 0.0477 0.0291

6 0.0351 0.0479 0.0293 0.1024 0.0481 0.0291

8 0.0369 0.0485 0.0295 - - 0.0291

10 0.0375 0.0493 0.0296 - - 0.0291

12 0.0377 0.0496 0.0296 - - 0.0291

14 0.0379 0.0498 0.0296 - - 0.0291

37

Từ bảng 3.1 và bảng 3.2 cho thấy rằng: N=12 cho chuyển vị và tần số không thứ

nguyên cơ bản của dầm với các điều kiện biên khác nhau là hội tụ cho hàm dạng

xấp xỉ là hàm đa thức với sai số nhỏ hơn 0.3%. Tuy nhiên với lời giải xấp xỉ là hàm

lượng giác thì mất rất nhiều thời gian để tính được chuyển vị khi N>6 và đây cũng

là hạn chế của hàm lượng giác do lời giải này có sự hội tụ rất chậm.

3.2.2. Bài toán 2: Khảo sát ảnh hưởng số bước thời gian tính toán

Phương pháp Newmark là một phương pháp tích phân trực tiếp thường được sử

dụng trong các bài toán về phân tích động lực học kết cấu. Ưu điểm của phương

pháp này là tính đơn giản và dễ lập trình trong quá trình tính toán. Tuy nhiên độ

chính xác của lời giải chỉ được chấp nhận khi bước thời gian tính toán là tương đối

nhỏ. Số bước thời gian tính toán (RL) càng nhiều thì kết quả bài toán càng hội tụ về

kết quả chính xác. Vì vậy việc xác định số bước thời gian tính toán (RL) hợp lý

trong phương pháp Newmark cho kết quả hội tụ là cần thiết. Các đặc trưng của dầm

như sau: Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o], L=20m;

b=0.5m; 20LSh

� � ; P0=1000kN; �=20rad/s; vp=10m/s; 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ;

12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 2 31389 10 /x KN m �� .

ks=5/6.

Bảng 3.3: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite

cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL1) với các điều kiện biên khác nhau.

RL1Hàm đa thức Hàm lượng giác


50 0.0614 0.0647 0.0249 0.1626 0.0635 0.0254

100 0.0446 0.0517 0.0286 0.1101 0.0509 0.0282

150 0.0393 0.0497 0.0291 0.1036 0.0489 0.0289

200 0.0377 0.0489 0.0294 0.1012 0.0481 0.0290

250 0.0369 0.0485 0.0295 0.1000 0.0477 0.0291

300 0.0365 0.0483 0.0296 0.0994 0.0476 0.0291

38

Bảng 3.4: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite

cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL2) với các điều kiện biên khác nhau

RL2Hàm đa thức (N=12) Hàm lượng giác (N=4)


100 0.04488 0.05150 0.02864 0.10370 0.05049 0.02818

200 0.03786 0.04876 0.02943 0.09558 0.04782 0.02899

300 0.03662 0.04818 0.02955 0.09448 0.04725 0.02914

400 0.03619 0.04797 0.02961 0.09424 0.04705 0.02920

500 0.03599 0.04787 0.02964 0.09423 0.04695 0.02922

600 0.03589 0.04782 0.02964 0.09421 0.04690 0.02924Từ bảng 3.3 và bảng 3.4 cho thấy rằng khi RL=250 cho chuyển vị tuyến tính

của dầm là hội tụ và khi RL=500 cho chuyển vị phi tuyến của dầm là hội tụ với sai

số nhỏ hơn 0.3% ở cả hai lời giải được xấp xỉ bằng hàm đa thức và hàm lượng giác.

3.3. So sánh với các nghiên cứu khác

Để chứng minh độ tin cậy của kết quả trong Luận văn, một số ví dụ số được

đưa ra và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy và đúng

đắn của phương pháp nghiên cứu trong Luận văn. Một số kết quả của bài toán xác

định tần số không thứ nguyên của dầm với các điều kiện biên khác nhau và theo các

góc sợi thay đổi khác nhau được so sánh với các nghiên cứu trước đó của Khdeir

[34], Vo [15], Nguyen [36] thể hiện trong bảng 3.4 và bảng 3.5.

3.3.1. Bài toán 3: Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite

Dầm composite cross-ply hướng sợi đối xứng [0o/90o/0o] và hướng sợi không

đối xứng [0o/90o]; L=20m; b=1m; 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ; 12 13 20.6� �G G E ;

23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 31.0 /Kg m � ; ks=5/6. Xác định tần số dao

động tự nhiên không thứ nguyên tương ứng với các điều kiện biên S-S, C-C, C-F.

39

Bảng 3.5: Hiệu ứng của hệ số L/H lên tần số dao động tự nhiên không thứ

nguyên cơ bản của dầm composite lớp sợi cross-ply đối xứng và không đối xứng.

ĐK Biên Lớp sợi Lý thuyết Tham khảo

L/h

5 10 20 50

SS

0o/90o/0o FOBT Khdeir [34] 9.205 13.670 - -FOBT Vo [15] 9.205 13.665 16.359 17.456HOBT Nguyen [36] 9.208 13.614 17.055 17.462FOBT Đa thức 9.205 13.670 16.369 17.469FOBT Lượng giác 9.205 13.670 16.369 17.469

SS

0o/90o FOBT Khdeir [34] 5.953 6.886 - -FOBT Vo [15] 5.886 6.848 7.187 7.294HOBT Nguyen [36] 6.128 6.945 7.219 7.302FOBT Đa thức 5.953 6.883 7.201 7.300FOBT Lượng giác 5.953 6.883 7.201 7.300

CF0o/90o/0o HOBT Khdeir [34] 4.234 5.495 - -

HOBT Nguyen [36] 4.234 5.498 6.070 6.267FOBT Đa thức 4.153 5.489 6.071 6.268FOBT Lượng giác 4.245 5.537 6.088 6.273

CF0o/90o HOBT Khdeir [34] 2.386 2.544 - -


CC0o/90o/0o HOBT Khdeir [34] 11.603 19.712 - -


CC0o/90o HOBT Khdeir [34] 10.026 13.660 - -


Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn giữa kết quả nghiên

cứu và kết quả của các tác giả nghiên cứu khác.

40

3.3.2. Bài toán 4: Xác định tần số dao động của lớp sợi đối xứng dầm

Composite với hướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau.

Dầm composite nhiều lớp sợi đối xứng [θ/- θ] trong đó góc xoay của hướng

sợi thay đổi. Module đàn hồi: 1 144.9�E GPa ; 2 9.65�E GPa ; 3 2�E E ;

12 13 4.14� �G G GPa ; 23 3.45�G GPa ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 31389 / � Kg m ;

15�Lh

; ks=5/6. Xác định tần số dao động tự nhiên của dầm composite ở các điều

kiện biên khác nhau.

Bảng 3.6: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp

sợi đối xứng, góc sợi thay đổi

ĐK Tham khảo

Góc sợi

Biên 0o 15o 30o 45o 60o 75o 90o

CCVo[15] 4.897 4.570 3.236 1.992 1.631 1.606 1.615

Chandrashekhara[32] 4.849 4.664 4.098 3.184 2.198 1.682 1.620Đa thức 4.884 4.695 4.120 3.195 2.201 1.682 1.620

Lượng giác 4.881 4.692 4.118 3.194 2.201 1.682 1.632Sai số % 0.266 0.660 0.534 0.344 0.136 0.000 0.000

SSVo[15] 2.649 2.404 1.554 0.908 0.736 0.725 0.730


Lượng giác 2.656 2.511 2.103 1.537 1.012 0.761 0.732Sai số % 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

CFVo[15] 0.980 0.884 0.561 0.325 0.263 0.259 0.261


Lượng giác 0.983 0.926 0.768 0.556 0.363 0.272 0.262Sai số % 0.000 0.000 0.130 0.000 0.000 0.000 0.000

Như vậy qua bài toán 3 và bài toán 4, chúng ta có thể kết luận được rằng kết

quả trong bài toán tuyến tính của nghiên cứu này là đáng tin cậy.

3.4. Khảo sát các tham số nghiên cứu

41

3.4.1. Bài toán 5: Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số lực kích thích đến chuyển

vị lớn nhất tại giữa nhịp.

Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o] với điều kiện biên

S-S 1 20.845 /rad s� � ; chiều cao h=1m; chiều rộng b=0.5m; 15�Lh

; P0=1000kN;

vp=10, 20 và 30(m/s); RL1=250; RL2=500; 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ;

12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 21389 / � Kg m ; ks=5/6.

Bảng 3.7: Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo � xấp xỉ bằng hàm lượng giác

�� Tuyến tính (m) Phi tuyến (m)(rad/s) vP=10m/s vP=20m/s vP=30m/s vP=10m/s vP=20m/s vP=30m/s

0 0.024142 0.023872 0.031242 0.024113 0.023825 0.031158

10 0.026704 0.024362 0.032258 0.026754 0.024336 0.032193

20 0.208640 0.100948 0.073494 0.189670 0.102540 0.073128

30 0.025085 0.033640 0.039242 0.025369 0.033942 0.039269

40 0.008966 0.010089 0.012973 0.009069 0.010121 0.012998

50 0.004769 0.005310 0.004999 0.004868 0.005330 0.005002

60 0.003037 0.003322 0.003768 0.003102 0.003341 0.003785Bảng 3.8: Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo � xấp xỉ bằng hàm đa thức

�� Tuyến tính (m) Phi tuyến (m)(rad/s) vP=10m/s vP=20m/s vP=30m/s vP=10m/s vP=20m/s vP=30m/s

0 0.024542 0.023864 0.031608 0.024547 0.023864 0.031610

10 0.027104 0.024316 0.032551 0.027155 0.024322 0.032553

20 0.208546 0.100961 0.073480 0.208925 0.101124 0.073530

30 0.024920 0.033980 0.039457 0.025149 0.034059 0.039498

40 0.008736 0.009987 0.012570 0.008829 0.010012 0.012584

50 0.004528 0.004892 0.005195 0.004632 0.004920 0.005192

60 0.002805 0.003097 0.003400 0.002857 0.003124 0.003426

42


đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức.


đổi và xấp xỉ bằng hàm đa thức.

43


đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.


đổi và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

44

Từ hình vẽ thấy rằng:

Chuyển vị lớn nhất trong trường hợp tuyến tính và phi tuyến đều đạt giá trị lớn

nhất khi tần số lực kích thích � gần bằng tần số dao động tự nhiên của dầm.

Giá trị đỉnh của chuyển vị khi xảy ra sự cộng hưởng trong trường hợp tuyến tính

và phi tuyến đều giảm khi vận tốc tăng.

Ứng xử tuyến tính cũng như phi tuyến ở cả 2 lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức và

xấp xỉ bằng hàm lượng giác là tương đương nhau.

3.4.2. Bài toán 6: Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc di chuyển không

thứ nguyên của tải trọng điều hòa đến chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp

nhằm tìm ra giá trị vận tốc cực hạn.

Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o] với các điều kiện

biên S-S 1 20.845 /rad s� � ; có chiều cao h=1m; chiều rộng b=0.5m; 15�Lh

;

P0=1000kN; vp thay đổi; RL1=250, RL2=500. Module đàn hồi 1

2

40�EE

;

1 241.5�E GPa ; 12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ;

21389 / � Kg m ; ks=5/6. Hệ số vận tốc không thứ nguyên : 1

1

2<�

�� p pT v v

L L. Trong

đó: 1 1,�T lần lượt là chu kỳ và tần số dao động đầu tiên của dầm, tần số lực kích

thích �=0 rad/s .

45

Bảng 3.9: Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp của dầm theo hệ số vận tốc không

thứ nguyên �.

�� Hàm đa thức Hàm lượng giác

Tuyến tính Phi tuyến Tuyến tính Phi tuyến

0.1 0.023493 0.023486 0.023070 0.023022

0.2 0.024554 0.024565 0.024152 0.024125

0.3 0.026192 0.026215 0.025783 0.025742

0.4 0.023775 0.023773 0.023787 0.023791

0.5 0.028101 0.028117 0.027862 0.027795

0.6 0.031523 0.031525 0.031157 0.031075

0.7 0.034167 0.034163 0.033743 0.033647

0.8 0.036097 0.036094 0.035699 0.035594

0.9 0.037326 0.037332 0.037108 0.036999

1.0 0.037999 0.038008 0.038052 0.037942

1.1 0.038332 0.038334 0.038606 0.038499

1.2 0.038415 0.038425 0.038836 0.038734

1.3 0.038405 0.038396 0.038802 0.038705

1.4 0.038284 0.038287 0.038552 0.038461

1.5 0.038023 0.038016 0.038129 0.038046

1.6 0.037579 0.037587 0.037570 0.037495

1.7 0.036980 0.036990 0.036906 0.036837

1.8 0.036284 0.036281 0.036161 0.036099

46


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức.


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm đa thức.

47


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.


nguyên �� khi P0=1000kN, �=0 và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

48


Khi �=1.2 cho giá trị chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp là lớn nhất trong cả 2

trường hợp phi tuyến và tuyến tính.

Khi �=0.4 cho giá trị chuyển vị đạt cực trị trong cả 2 trường hợp phi tuyến và

tuyến tính.

Ứng xử tuyến tính cũng như phi tuyến ở cả 2 lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức và

xấp xỉ bằng hàm lượng giác là tương đương nhau.

3.4.3. Bài toán 7: Khảo sát sự ảnh hưởng của tỉ số L/h đến ứng xử của dầm

Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o] với điều kiện biên

(S-S) có chiều cao h=0.5m; chiều rộng b=0.5m; P0=1000kN; vp=20(m/s); RL1=250;

RL2=500. Trong đó vật liệu có module đàn hồi 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ;

12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ; 13 12 23 12;� � � �� ; 21389 / � Kg m ; ks=5/6;

�=20 rad/s . Trong đó 1 2,w w : chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp trong trường hợp

tuyến tính và phi tuyến.

Bảng 3.10: Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp theo tỉ số L/h.

L/hHàm đa thức Hàm lượng giác

1w 2w 11( / )w L �

1w 2w 11( / )w L �

5 0.001167 0.001166 2142.8 0.001108 0.001108 2255.7

10 0.006565 0.006563 761.6 0.006590 0.006583 758.7

15 0.024316 0.024323 308.4 0.024362 0.024242 307.9

20 0.177326 0.177479 56.4 0.177739 0.154674 56.3

25 0.229296 0.229538 54.5 0.228050 0.212834 54.8

49

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-4

Time(s)

Mid

span

Dis

plac

emen

t (m

)

Hình 3.5a: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Time(s)

Mid

span

Dis

plac

emen

t (m

)

Hình 3.5b: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=10

L/h=5

L/h=10

LinearNonlinear

LinearNonlinear

50

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Time(s)

Mid

span

Dis

plac

emen

t (m

)

Hình 3.5c: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Time(s)

Mid

span

Dis

plac

emen

t (m

)

Hình 3.5d: Chuyển vị tại giữa nhịp của dầm theo t khi tỉ số L/h=25

L/h=20

L/h=25

LinearNonlinear

LinearNonlinear

51

Từ kết quả trên bảng 3.10 thấy rằng:

Khi tỉ số / 20L h & , dầm có độ võng nhỏ thì có thể bỏ qua ảnh hưởng của biến

dạng lớn do ứng xử tuyến tính và phi tuyến là như nhau

Khi tỉ số / 20L h 2 , dầm có độ võng lớn thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của

biến dạng lớn do ứng xử tuyến tính và phi tuyến khác nhau rất nhiều. Những nhận

xét này được thể hiện rõ hơn thông qua hình 3.5a, 3.5b, 3.5c và hình 3.5d.

3.4.4. Bài toán 8: Khảo sát sự ảnh hưởng của chuyển vị và nội lực của dầm tại

một khoảng thời gian nhất định theo các trường hợp vận tốc khác nhau.

Dầm composite cross-ply điều kiện biên S-S hướng sợi không đối xứng

[0o/90o]; chiều cao h=1m; chiều rộng b=0.5m; 20�Lh

; P0=1500kN; RL1=250;

RL2=500; 1

2

40�EE

; 1 241.5�E GPa ; 12 13 20.6� �G G E ; 23 20.5�G E ; 12 0.25� � ;

13 12 23 12;� � � �� ; 21389 / � Kg m ; ks=5/6. Trong trường hợp tần số lực kích thích

�=20 (rad/s) và vận tốc di chuyển tải trọng điều hòa vP=10, 20, 40, 60, 80 (m/s).


Chuyển vị của dầm trong tất cả các trường hợp đều phù hợp với các điều

kiện biên của bài toán.

Tùy theo giá trị vận tốc vP mà dầm có thể bị vồng lên hay lõm xuống khi tải

trọng tại giữa nhịp hay ¼ nhịp. Ứng xử trong bài toán phi tuyến và tuyến tính là

khác nhau, trong bài toán tuyến tính dầm bị vồng lên thì trong bài toán phi tuyến

dầm có thể bị lõm xuống và ngược lại.

Khi tải trọng đặt tại ¼ nhịp thì chuyển vị lớn nhất của dầm ở cả 2 trường hợp

tuyến tính và phi tuyến đều không phải tại giữa nhịp.

Khi tải trọng đặt tại giữa nhịp thì chuyển vị lớn nhất của dầm ở một số

trường hợp phi tuyến cũng không phải tại giữa nhịp.

Ứng xử tuyến tính cũng như phi tuyến ở cả 2 lời giải xấp xỉ bằng hàm đa

thức và hàm lượng giác là tương đương nhau.

52


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức.


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức.

53


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.


(xp=0), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

54


(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức.

Hình 3.8b: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm đa thức.

55


(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

Hình 3.9b: Dạng chuyển vị phi tuyến của dầm khi P0=1500KN tại vị trí 1/4 dầm

(xp=-5m), �=20 rad/s theo Vp và xấp xỉ bằng hàm lượng giác.

56

Chương 4

KẾT LUẬN

Tóm lại, bài toán dầm composite một nhịp theo lý thuyết dầm Timoshenko,

chịu tải trọng điều hoà di động với các điều kiện biên khác nhau đã được xây dựng

và giải quyết trong nghiên cứu này.

Các bài toán được phân tích chủ yếu tập trung vào cấu kiện dầm composite

tiết diện chữ nhật với các lớp sợi đơn giản, trong đó tập trung phân tích ứng xử

tuyến tính và phi tuyến của dầm bằng cách khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số.

Một chương trình tính toán viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB cũng đã

được xây dựng để phân tích ứng xử động của dầm. Chương trình máy tính này đã

được kiểm chứng độ tin cậy thông qua một số ví dụ số trong chương 3 có so sánh

với các nghiên cứu của những tác giả khác.

Kết quả số cho thấy các thông số nghiên cứu như tỉ số giữa chiều dài và chiều

cao tiết diện, tần số lực kích thích và vận tốc của tải trọng di động đều có ảnh hưởng

đến chuyển vị và nội lực của dầm.

Phương trình Lagrange với điều kiện biên thoả mãn hệ số nhân Lagrange và

điều kiện biên với các hàm lượng giác đã thiết lập đều có thể được áp dụng cho cả

bài toán tuyến tính và phi tuyến.

Phân tích động lực học của dầm composite được khảo sát thông qua các hàm

dạng lượng giác cho thấy tốc độ hội tụ của bài toán chậm hơn hàm dạng đa thức.

Trong một số trường hợp thì chuyển vị trong bài toán phi tuyến là lớn hơn

trong bài toán tuyến tính.

Khi tần số lực kích thích bằng tần số dao động tự nhiên của dầm thì chuyển vị

tuyến tính trong dầm là lớn nhất và sự khác biệt giữa mô hình tuyến tính và phi

tuyến là lớn nhất.

Trong bài toán động, khi tải trọng ở giữa nhịp, chuyển vị lớn nhất trong bài

toán phi tuyến chưa chắc xảy ra tại giữa nhịp.

57

Ứng xử tuyến tính cũng như phi tuyến ở cả 2 lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức

và hàm lượng giác là tương đương nhau.

Do các kết quả đã được thực hiện trong Luận văn này vẫn chưa đáp ứng được

đầy đủ nhu cầu nghiên cứu ở mức độ phức tạp hơn. Vì vậy một số hướng phát triển

cho các nghiên cứu tương lai sẽ giải quyết những thiếu sót trên như :

- Có thể xét thêm ứng xử nhiệt và mô hình tải trọng phức tạp hơn.

- Có thể xét chi tiết hơn ảnh hưởng của bề mặt kết cấu (lồi, lõm) với một hệ số

nhám bề mặt thay đổi.

- Có thể mở rộng sang các bài toán tấm chịu tải trọng nhiệt cơ trên nền đàn

hồi.

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Thiện Tâm. Phân tích tần số dao động và lực ổn định của dầm

composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Luận văn thạc sĩ ngành xây

dựng dân dụng và công nghiệp, Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP HCM, Việt Nam

2015.

[2] Nguyễn Thế Trường Phong. Phân tích ứng xử phi tuyến dầm phân lớp

chức năng (FGMs) trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động. Luận

văn thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp, Đại học Bách khoa TP HCM,

Việt Nam 2011.

[3] Trần Hữu Phương. Phân tích ứng xử động lực học dầm phân lớp chức

năng chịu tải trọng di động có xét khối lượng vật chuyển động. Luận văn thạc sĩ

ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp, Đại học Bách khoa TP HCM, Việt Nam

2014.

[4] M. Simsek, T. Kocaturk. Free and forced vibration of a functionally

graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load. Composite

Structures 2009; 90: 465–473.

[5] M. Simsek. Vibration analysis of a functionally graded beam under a

moving mass by using different beam theories. Composite Structures 2010; 92:

904–917.

[6] M. Simsek. Non-linear vibration analysis of a functionally graded

Timoshenko beam under action of a moving harmonic load. Composite Structures

2010; 92: 2532–2546.

[7] M. Simsek, 2010. Fundamental frequency analysis of functionally graded

beams by using different higher-order beam theories. Nuclear Engineering and

Design 2010; 240: 697-705.

59

[8] Trung-Kien Nguyen, T. Truong-Phong Nguyen, Thuc P. Vo, Huu-Tai

Thai. Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a

new higher-order shear deformation theory. Composite PartB 2015; 76: 273-285.

[9] Van-Hau Nguyen, Trung-Kien Nguyen, Huu-Tai Thai, Thuc P. Vo. A new

inverse trigonometric shear deformation theory for isotropic and functionally graded

sandwich plates. Composite PartB 2014; 66: 233-246.

[10] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, Fawad Inam, Jaehong

Lee. Static behaviour of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D

theory. Composite PartB 2015; 68: 59-74.

[11] J.N. Reddy. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells:

Theory and Analysis, CRC Press, BocaRaton 2004.

[12] D.G. Zhang. Nonlinear bending analysis of FGM beams based on

physical neutral surface and high order shear deformation theory. Composite

Structures 2013; 100: 121-126.

[13] Khdeir AA, Reddy JN. Buckling of cross-ply laminated beams with

arbitrary boundary conditions. Composite Structures 1997; 37(1):1-3.

[14] Aydogdu M. Buckling analysis of cross-ply laminated beams with

general boundary conditions by Ritz Method.Compos Sci Technol 2006; 6610

:1248-55.

[15] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling of composite beams

using refined shear deformation theory. International journal of Mechanical

Sciences 2012; 62: 67-76.

[16] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using

various refined shear deformation theories, Composite Structure 2012; 94: 2513-

2522.

60

[17] Metin Aydogdu. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with

general boundary conditions by Ritz method. International Journal of Mechanical

Sciences 2005; 47: 1740–1755.

[18] Matsunaga. Vibration and bucking of multilayered composite beams

according to higher order. Journal of Sound and Vibration 2001; 246(1): 47-62

[19] S. J. Song , A. M. Waas. Effects of shear deformation on buckling and

free vibration of laminated composite beams. Composite Structures 1997; Vol. 37.

No. 1, pp. 33-43.

[20] G. Shi , K. Y. Lam. Finite element vibration analysis of composite beams

based on higher- order beam theory. Journal of Sound and Vibration 1999; 219(4):

707-721.

[21] M. Mohammad Abadi, A. R. Daneshmehr. An investigation of modified

couple stress theory in buckling analysis of micro composite laminated Euler–

Bernoulli and Timoshenko beams. International Journal of Engineering Science 75

2014; 40–53

[22] P. Subramanian. Dynamic analysis of laminated composite beams using

higher order theories and finite elements. Composite Structures 73 2006; 342–353

[23] Guanghui He, Xiao Yang. Dynamic analysis of two-layer composite

beams with partial interaction using a higher order beam theory. International

Journal of Mechanical Sciences 2015; 102–112

[24] S. R. Marur, T. Kant. Free vibration analysis of fiber reinforced

composite beams using higher order theories and finite element modelling. Journal

of Sound and Vibration 1996; 194(3): 337-351

61

[25] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Free vibration of axially loaded rectangular

composite beams using refined shear deformation theory. Composite Structures 94

2012; 3379–3387

[26] M. Afshin, F. Taheri-Behrooz. Interlaminar stresses of laminated

composite beams resting on elastic foundation subjected to transverse loading.

Computational Materials Science 96 2015; 439–447

[27] M. Mohammad-Abadi, A.R. Daneshmehr. Modified couple stress theory

applied to dynamic analysis of composite laminated beams by considering different

beam theories. International Journal of Engineering Science 87 2015; 83–102

[28] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using

various refined shear deformation theories. Composite Structures 94 2012; 2513–

2522

[29] K. Chandrashekhara, K. M. Bangera. Free vibration of composite beams

using a refined shear flexible beam element. Computers& Structures 1992; V ol. 43.

No. 4. pp. 719-727.

[30] Nikhila Naik. Composite beam on elastic foundation. Journal of

Thermoplastic Composite Material, Vol.13, 2000.

[31] Nguyen T-K, Vo TP, Thai H-T. Static and free vibration of axially loaded

functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory.

Compos Part B: Eng 2013:55(0):147-57.

[32] Chandrashekhara K, Krishnamurthy K, Roy S. Free vibration of

composite beams including rotary inertia and shear deformation. Compos Struct

1990; 14(4):269–79.

[33] Aydogdu M. Free vibration analysis of angle-ply laminated beams with

general boundary conditions. J Reinf Plast Compos 2006;25(15):1571–83.

62

[34] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with

arbitrary boundary conditions. Int J Eng Sci 1994;32(12):1971–80 cited By (since

1996) 47.

[35] Thai H-T, Vo TP. Bending and free vibration beam theories.Int J Mech

Sci 2012:62(1):57-66.

[36] Trung-Kien Nguyen, Ngoc-Duong Nguyen, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai.

Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams.

Composite Structures 2017; 160: 142–115.

[37] Jean-Marie Berthelot. Composite Materials: Mechanical Behavior and

Structural Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1999.

63

PHỤ LỤC

Tính tần số dao động

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all; clc %% Input global P0 omega vp L N Nb hs syms lamda N0 z format long L = 20; % m S = input('nhap ti le L/H: ') ; %L/h h = L/S ; %m b = 1; %m0 E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2 E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2 G12 = 0.6*E2 ; %GPa => KN/m2 G13 = G12; %GPa => KN/m2 G23 = 0.5*E2 ; %GPa => KN/m2 v12 = 0.25; v21 =v12*(E2/E1); Ro = 1.0 * 10^-2; % Kg/m3 => KN/m3 tt1 =90*pi/180; tt2 = 0*pi/180; z1 = -h/2; z2 = +h/2; kss=5/6; % He so hieu chinh ung suat cat. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P0=1000000; % don vi N vp=20; % don vi m/s omega=20; N=12; RL1=250; RL2=500; %% Tinh toan cac hang so do cung Q11 = E1/(1-v12*v21); Q12 = v12*E2/(1-v12*v21); Q13 = 0; Q14 = 0; Q15 = 0; Q16 = 0; Q22 = E2/(1-v12*v21); Q23 = 0; Q24 = 0; Q25 = 0; Q26 = 0; Q33 = 0; Q34 = 0; Q35 = 0; Q36 = 0; Q44 = G23; Q45 = 0; Q46 = 0;

64

Q55 = G13; Q56 = 0; Q66 = G12; %syms m n tt1 E1 v12 v21 E2 G12 G13 G23 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q33 Q34 Q35 Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66 Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16; Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26; Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36; Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46; Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56; Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66]; m = cos(tt1); n = sin(tt1); Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt1; m = cos(tt2); n = sin(tt2); Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt2; Qp = [Qp_tt1(1,1) Qp_tt2(1,1)]; %------------------------------------------------------------------------ Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Axz=eval(int(Qp_tt1(5,5),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(5,5),z,0,h/2)); Ia=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2)); Ib=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2)); Id=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2));

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BC='CC';

switch BC case 'SS' Nb=2; Ks=BCSS(N,L,Nb); case 'HS' Nb=3; Ks=BCHS(N,L,Nb); case 'HH' Nb=4; Ks=BCHH(N,L,Nb); case 'CF'

65

Nb=4; Ks=BCCF(N,L,Nb); case 'CS' Nb=5; Ks=BCCS(N,L,Nb); case 'CH' Nb=6; Ks=BCCH(N,L,Nb); case 'CC' Nb=8; Ks=BCCC(N,L,Nb); end Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id, Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); J=solve(det((Kl+Ks)-lamda*M)); lamda=sort(double(sqrt(J).*L^2*sqrt(Ro/E2)./h)); lamda=sort(lamda) %Tan so dao dong khong thu nguyen cua dam

Tính chuyển vị theo vận tốc không thứ nguyênclear all; clc global P0 omega vp L N Nb hs syms lamda N0 z format long h = 1; % m S = 15 %input('nhap ti le L/H: ') ; %L/h L = S*h ; %m b = 0.5; %m0 E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2 E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2 G12 = 0.6*E2 ; %GPa => KN/m2 G13 = G12; %GPa => KN/m2 G23 = 0.5*E2 ; %GPa => KN/m2 v12 = 0.25; v21 =v12*(E2/E1); Ro = 1389 * 10^-2; % Kg/m3 => KN/m3 tt1 =90*pi/180; tt2 = 0*pi/180; z1 = -h/2; z2 = +h/2; kss=5/6; % He so hieu chinh ung suat cat. kz=0; % (Pa) He so nen dan hoi Winkler. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P0=1000; % don vi KN omega=0; N=10; RL1=250; %so diem mau tinh toan ( RecordLength )(Linear) RL2=500; %% Tinh toan cac hang so do cung Q11 = E1/(1-v12*v21); Q12 = v12*E2/(1-v12*v21); Q13 = 0; Q14 = 0; Q15 = 0; Q16 = 0; Q22 = E2/(1-v12*v21); Q23 = 0;

66

Q24 = 0; Q25 = 0; Q26 = 0; Q33 = 0; Q34 = 0; Q35 = 0; Q36 = 0; Q44 = G23; Q45 = 0; Q46 = 0; Q55 = G13; Q56 = 0; Q66 = G12; %syms m n tt1 E1 v12 v21 E2 G12 G13 G23 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q33 Q34 Q35 Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66 Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16; Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26; Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36; Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46; Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56; Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66]; m = cos(tt1); n = sin(tt1); Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt1; m = cos(tt2); n = sin(tt2); Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt2; Qp = [Qp_tt1(1,1) Qp_tt2(1,1)]; %-----------------------------------------------------------------------% Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Axz=eval(int(Qp_tt1(5,5),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(5,5),z,0,h/2)); Ia=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2)); Ib=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2)); Id=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Boundary conditions

67

BC='SS'; switch BC case 'SS' Nb=2; Ks=BCSS(N,L,Nb); case 'HS' Nb=3; Ks=BCHS(N,L,Nb); case 'HH' Nb=4; Ks=BCHH(N,L,Nb); case 'CF' Nb=4; Ks=BCCF(N,L,Nb); case 'CS' Nb=5; Ks=BCCS(N,L,Nb); case 'CH' Nb=6; Ks=BCCH(N,L,Nb); case 'CC' Nb=8; Ks=BCCC(N,L,Nb); end Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id, Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); J=solve(det((Kl+Ks)-lamda*M)); D=sqrt(J); D=sort(D) for i=1:12 i vp=0.1*i*20.8447*L/2/pi; % beta=0.1*i dt1=L/vp/RL1; dt2=L/vp/RL2; Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id,Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); [xl,vl,al]=Newmarkmethod_L(RL1,dt1,Kl,M,Ks); [xn,vn,an]=Newmarkmethod_NN(RL2,dt2,Kl,M,Kn,Ks); x1=max(xl(1,:)) %chuyen vi lon nhat tai giua nhip (Linear) x2=max(xn(1,:)) %chuyen vi lon nhat tai giua nhip (NonLinear) end

Tính chuyển vị theo tỉ số L/hclear all; clc %% Input global P0 omega vp L N Nb hs syms lamda N0 z format long h = 0.5; % m S = input('nhap ti le L/H: ') ; %L/h L = S*h ; %m b = 0.5; %m0

68

E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2 E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2 G12 = 0.6*E2 ; %GPa => KN/m2 G13 = G12; %GPa => KN/m2 G23 = 0.5*E2 ; %GPa => KN/m2 v12 = 0.25; v21 =v12*(E2/E1); Ro = 1389 * 10^-2; % Kg/m3 => KN/m3 tt1 =90*pi/180; tt2 = 0*pi/180; z1 = -h/2; z2 = +h/2; kss=5/6; % He so hieu chinh ung suat cat. kz=0; % (Pa) He so nen dan hoi Winkler. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P0=1000; % don vi KN vp=20; omega=20; N=10; RL1=250; %so diem mau tinh toan ( RecordLength )(Linear) RL2=500; dt1=L/vp/RL1; dt2=L/vp/RL2; t1=0:dt1:L/vp; t2=0:dt2:L/vp; %% Tinh toan cac hang so do cung Q11 = E1/(1-v12*v21); Q12 = v12*E2/(1-v12*v21); Q13 = 0; Q14 = 0; Q15 = 0; Q16 = 0; Q22 = E2/(1-v12*v21); Q23 = 0; Q24 = 0; Q25 = 0; Q26 = 0; Q33 = 0; Q34 = 0; Q35 = 0; Q36 = 0; Q44 = G23; Q45 = 0; Q46 = 0; Q55 = G13; Q56 = 0; Q66 = G12; %syms m n tt1 E1 v12 v21 E2 G12 G13 G23 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q33 Q34 Q35 Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66 Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16; Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26; Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36; Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46; Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56; Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66]; m = cos(tt1); n = sin(tt1);

69

Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt1; m = cos(tt2); n = sin(tt2); Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt2; Qp = [Qp_tt1(1,1) Qp_tt2(1,1)]; %-------------------------------------------------------------------- Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Axz=eval(int(Qp_tt1(5,5),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(5,5),z,0,h/2)); Ia=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2)); Ib=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2)); Id=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BC='SS'; switch BC case 'SS' Nb=2; Ks=BCSS(N,L,Nb); case 'HS' Nb=3; Ks=BCHS(N,L,Nb); case 'HH' Nb=4; Ks=BCHH(N,L,Nb); case 'CF' Nb=4; Ks=BCCF(N,L,Nb); case 'CS' Nb=5; Ks=BCCS(N,L,Nb); case 'CH' Nb=6; Ks=BCCH(N,L,Nb); case 'CC' Nb=8; Ks=BCCC(N,L,Nb); end Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id, Nb);

70

M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); [xl,vl,al]=Newmarkmethod_L(RL1,dt1,Kl,M,Ks); [xn,vn,an]=Newmarkmethod_NN(RL2,dt2,Kl,M,Kn,Ks); %%% Chuyen vi tai giua nhip cua dam theo t khi L/h thay doi figure(1) hold on grid on plot(t1,xl(1,:),'--r','LineWidth',2); plot(t2,xn(1,:),'LineWidth',2); xlabel('Time(s)') ;ylabel('Midspan Displacement (m)'); xl=max(xl(1,:)) % Chuyen vi lon nhat tai giua nhip (linear) xn=max(xn(1,:)) % Chuyen vi lon nhat tai giua nhip (Nonlinear)

Tính chuyển vị theo tần số lực kích thíchclear all; clc %% Input global P0 omega vp L N Nb hs syms lamda N0 z format long h = 1; % m S = 15 %input('nhap ti le L/H: ') ; %L/h L = S*h ; %m b = 0.5; %m0 E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2 E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2 G12 = 0.6*E2 ; %GPa => KN/m2 G13 = G12; %GPa => KN/m2 G23 = 0.5*E2 ; %GPa => KN/m2 v12 = 0.25; v21 =v12*(E2/E1); Ro = 1389 * 10^-2; % Kg/m3 => KN/m3 tt1 =90*pi/180; tt2 = 0*pi/180; z1 = -h/2; z2 = +h/2; kss=5/6; % He so hieu chinh ung suat cat. kz=0; % (Pa) He so nen dan hoi Winkler. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P0=1000; % don vi KN vp=30; % don vi m/s N=10; RL1=250; %so diem mau tinh toan ( RecordLength )(Linear) RL2=500; dt1=L/vp/RL1; dt2=L/vp/RL2; t1=0:dt1:L/vp; t2=0:dt2:L/vp; %% Tinh toan cac hang so do cung Q11 = E1/(1-v12*v21); Q12 = v12*E2/(1-v12*v21); Q13 = 0; Q14 = 0; Q15 = 0; Q16 = 0; Q22 = E2/(1-v12*v21); Q23 = 0;

71

Q24 = 0; Q25 = 0; Q26 = 0; Q33 = 0; Q34 = 0; Q35 = 0; Q36 = 0; Q44 = G23; Q45 = 0; Q46 = 0; Q55 = G13; Q56 = 0; Q66 = G12; %syms m n tt1 E1 v12 v21 E2 G12 G13 G23 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q33 Q34 Q35 Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66 Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16; Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26; Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36; Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46; Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56; Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66]; m = cos(tt1); n = sin(tt1); Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt1; m = cos(tt2); n = sin(tt2); Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt2; Qp = [Qp_tt1(1,1) Qp_tt2(1,1)]; %------------------------------------------------------------------------ Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Axz=eval(int(Qp_tt1(5,5),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(5,5),z,0,h/2)); Ia=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2)); Ib=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2)); Id=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BC='SS'; switch BC case 'SS'

72

Nb=2; Ks=BCSS(N,L,Nb); case 'HS' Nb=3; Ks=BCHS(N,L,Nb); case 'HH' Nb=4; Ks=BCHH(N,L,Nb); case 'CF' Nb=4; Ks=BCCF(N,L,Nb); case 'CS' Nb=5; Ks=BCCS(N,L,Nb); case 'CH' Nb=6; Ks=BCCH(N,L,Nb); case 'CC' Nb=8; Ks=BCCC(N,L,Nb); end Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id, Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); J=solve(det((Kl+Ks)-lamda*M)); D=sqrt(J); D=sort(D) for i=1:6 i omega=10*i; Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id,Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); [xl,vl,al]=Newmarkmethod_L(RL1,dt1,Kl,M,Ks); [xn,vn,an]=Newmarkmethod_NN(RL2,dt2,Kl,M,Kn,Ks); Mn=Bxx*(xn(N+2,:))+Dxx*(xn(2*N+2,:)); % Moment tai giua nhip xl=max(xl(1,:)) xn=max(xn(1,:))

Tính chuyển vị khi P đặt tại ¼ nhịp và tại giữa nhịpclear all; clc global P0 omega vp L N Nb hs syms lamda N0 z x hss1 hss2 hss3 format long h = 1; % m S = 20 %input('nhap ti le L/H: ') ; %L/h L = S*h ; %m b = 0.5; %m0 E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2 E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2 G12 = 0.6*E2 ; %GPa => KN/m2 G13 = G12; %GPa => KN/m2 G23 = 0.5*E2 ; %GPa => KN/m2 v12 = 0.25; v21 =v12*(E2/E1); Ro = 1389 * 10^-2; % Kg/m3 => KN/m3 tt1 =90*pi/180;

73

tt2 = 0*pi/180; z1 = -h/2; z2 = +h/2; kss=5/6; % He so hieu chinh ung suat cat. kz=0; % (Pa) He so nen dan hoi Winkler. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P0=1500; % don vi KN vp=80; % don vi m/s omega=20; N=10; RL1=250; %so diem mau tinh toan ( RecordLength )(Linear) RL2=500; %Cho bai toan chuyen vi theo van toc,Omega,L/h. dt1=L/vp/RL1; dt2=L/vp/RL2; %% Tinh toan cac hang so do cung Q11 = E1/(1-v12*v21); Q12 = v12*E2/(1-v12*v21); Q13 = 0; Q14 = 0; Q15 = 0; Q16 = 0; Q22 = E2/(1-v12*v21); Q23 = 0; Q24 = 0; Q25 = 0; Q26 = 0; Q33 = 0; Q34 = 0; Q35 = 0; Q36 = 0; Q44 = G23; Q45 = 0; Q46 = 0; Q55 = G13; Q56 = 0; Q66 = G12; %syms m n tt1 E1 v12 v21 E2 G12 G13 G23 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26 Q33 Q34 Q35 Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66 Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16; Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26; Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36; Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46; Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56; Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66]; m = cos(tt1); n = sin(tt1); Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt1; m = cos(tt2); n = sin(tt2);

74

Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4; Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4); Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4; Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m; Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3; Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4); Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2; Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m; Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2; Qp_tt2; Qp = [Qp_tt1(1,1) Qp_tt2(1,1)]; Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,-h/2,0)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,0,h/2)); Axz=eval(int(Qp_tt1(5,5),z,-h/2,0)+int(Qp_tt2(5,5),z,0,h/2)); Ia=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2)); Ib=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2)); Id=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BC='SS'; switch BC case 'SS' Nb=2; Ks=BCSS(N,L,Nb); case 'HS' Nb=3; Ks=BCHS(N,L,Nb); case 'HH' Nb=4; Ks=BCHH(N,L,Nb); case 'CF' Nb=4; Ks=BCCF(N,L,Nb); case 'CS' Nb=5; Ks=BCCS(N,L,Nb); case 'CH' Nb=6; Ks=BCCH(N,L,Nb); case 'CC' Nb=8; Ks=BCCC(N,L,Nb); end Kl=LinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia, Ib, Id, Nb); M=MatrixM(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); Kn=NonLinearMatrixK(N,L,kss,kz,Axx,Bxx,Dxx,Axz,Ia,Ib,Id,Nb); [xl,vl,al]=Newmarkmethod_L(RL1,dt1,Kl,M,Ks); [xn,vn,an]=Newmarkmethod_NN(RL2,dt2,Kl,M,Kn,Ks); %% TINH CHUYEN VI CUA DAM KHI P O GIUA DAM a=[]; for i=N:-1:1 a=[a sym(strcat('a',num2str(i)))]; end hss1=a(end:-1:1); w = sym(0); for i = a(:).' w = w*x + i;

75

end w = expand(w); xl1=subs(w,hss1,double(xl(1:N,125))); %chuyen vi khi P giua dam (Linear) xl2=subs(w,hss1,double(xl(1:N,62))); %chuyen vi khi P o 1/4 dam (Linear) xn1=subs(w,hss1,double(xn(1:N,125))); %chuyen vi P giua dam (NonLinear) xn2=subs(w,hss1,double(xn(1:N,62))); %chuyen vi khi P 1/4 dam (NonLinear) %% HINH VE CHUYEN VI CUA DAM x=-10:2:10; xl1=subs(xl1) xn1=subs(xn1) xl2=subs(xl2) xn2=subs(xn2) %HINH VE CHUYEN VI CUA DAM KHI LUC TAI VI TRI 1/4 DAM figure(3) hold on grid on plot(x,xl2,'LineWidth',2); plot(x,xn2,'--r','LineWidth',2); xlabel('x(m)');ylabel('Displacement(m)'); %HINH VE CHUYEN VI CUA DAM KHI LUC TAI VI TRI GIUA DAM figure(6) hold on grid on plot(x,xl1,'LineWidth',2); plot(x,xn1,'--r','LineWidth',2); xlabel('x(m)');ylabel('Displacement(m)');

phÂn tÍch Ứng xỬ phi tuyẾn dẦm composite chỊu tÁc...

Documents