phƯƠng phap sỐ dỰ bÁo thỜi tiẾt

.

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội - 2007

Từ khóa: Sơ đồ sai phân, toán tử, bất ổn định, thủy động lực học, cjính áp, tà áp, solenoiit, phân tích quy mô, phương trìnhnước nông, hội tụ

Tài liệu trong Thư viện điện tử Trường Đại học Khoa học Tự

nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên

cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục

vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà

xuất bản và tác giả.

PHƯƠNG PHAP SỐ DỰ BÁO THỜI TIẾT

Trần Tân Tiến

!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRẦN TÂN TIẾN

PHƯƠNG PHÁP SỐ DỰ BÁO THỜI TIẾT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


MỤC LỤC

Mở đầu 5

Chương 1 Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển

11

1.1 Các quá trình chính trong khí quyển và vấn đề xây dựng các mô hình dự báo

11

1.2 Các phương trình nhiệt động lực học cho các chất lỏng lý tưởng

14

1.3 Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển rối 20

1.4 Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực với toạ độ thẳng đứng bất kỳ

23

1.5 Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ áp suất

30

1.6 Hệ toạ độ 34

1.7 Phương trình xoáy và phương trình Divecgiăng 36

1.8 Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ cầu 41

1.9 Tính ảnh hưởng của hình chiếu bản đồ 50

Chương 2 Phân tích quy mô 55

2.1 Phương pháp phân tích quy mô 56

2.2 Hệ phương trình nước nông 57

2.3 Các phương trình tà áp 62

2.4 Phân tích quy mô các phương trình 66

2.5 Quy mô hành tinh 68

2.6 Hệ phương trình cân bằng 69

Chương 3 Các phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trìnhthủy nhiệt động lực học

71

3.1 Phương pháp lưới 71

3.2 Gần đúng các đạo hàm bằng sai phân hữu hạn 72

3.3 Khái niệm về hòa hợp, ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn 79

3.4 Phương pháp xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn 82

3.5 Toán tử Jacobian 88

3.6 Sơ đồ tích phân theo thời gian 91

3.7 Hội tụ của nghiệm số 95

3.8 Tính ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn 96

3.9 Phân tích ổn định tính toán của sơ đồ sai phân hữu hạn 100

3.10 Bất ổn định tính toán phi tuyến 111

3.11 Ảnh hưởng của sai số đến ổn định của các nghiệm số 114

Chương 4 Các mô hình dự báo tựa địa chuyển và tựa solenoit 117

4.1. Phương trình xoáy chính áp 117

4.2 Mô hình chính áp tựa địa chuyển 125

4.3 Sơ đồ dự báo tựa địa chuyển ba chiều 131

4.4 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp mặt phẳng

141

4.5 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp lồng không gian

147

4.6 Các mô hình dự báo tựa solenoit 153

4.7 Xác định hàm dòng theo phương trình cân bằng 157

4.8 Các tính chất tích phân 161

Chương 5 Các mô hình dự báo dựa trên các phương trình thủy nhiệt động lực học nguyên thủy

165

5.1 Bài toán dự báo dựa trên hệ các phơng trình nguyên thủy 165

5.2 Hệ phương trình nguyên thủy cho khí quyển chính áp 172

5.3 Tính chất tích phân của các mô hình dựa trên hệ các phươngtrình nguyên thủy

176


5.4 Ngăn chặn và làm suy yếu bất ổn định phi tuyến 185

5.5 Các sơ đồ sai phân hữu hạn sử dụng trong các mô hình dự báo 188

5.6 Phương pháp tách 197

5.7. Phương trình vận chuyển thực thể theo quỹ đạo 204

5.8. Sơ đồ dự báo của Martruc G.I. đựa trên hệ phương trình đầy đủ giải bằng phương pháp tách

207

5.9.


MỞ ĐẦU

Dự báo số trị là phương pháp dự báo thời tiết dựa trên cơ sở tích

phân số trị hệ phương trình thuỷ động lực học của khí quyển. Ngày nay ở

nhiều nước, phương pháp này đã được sử dụng để dự báo thời tiết trong

điều kiện nghiệp vụ. Lý thuyết của dự báo số trị là một phần của khí

tượng động lực, được tách ra thành một giáo trình độc lập vì có ý nghĩa

thực tiễn lớn và cần được nghiên cứu kỹ hơn so với các phần khác.

Nhiệm vụ của môn dự báo số trị là khảo sát một cách định lượng các quy

luật của các quá trình trong khí quyển và nghiên cứu các phương pháp

tích phân hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học.

Môn dự báo số trị được hình thành từ đầu thế kỷ XX. Giai đoạn

đầu chủ yếu sử dụng các quy luật riêng biệt để dự báo. Đầu thế kỷ thứ

XX, Biercnes là người đầu tiên đưa ra vấn đề dự báo thời tiết bằng cách

tích phân các phương trình động lực học khí quyển. Richarson là người

đầu tiên tiến hành dự báo thời tiết bằng phương pháp số trị, năm 1922

ông đã viết cuốn “Dự báo thời tiết như một quá trình tính toán”. Kết quả

tính toán không thành công vì bấy giờ các quy luật vật lý chưa được

nghiên cứu kỹ, hệ các phương trình chưa được khảo sát, số liệu ít, nhất là

ở trên cao, phương pháp tích phân chưa ổn định, chưa có máy tính điện

tử.

Năm 1914, Fridman đã lập được bảng các đại lượng và đạo hàm

các cấp của chúng. Nhờ có bảng đại lượng này ông đã phân tích phương

trình xoáy và tìm được phương trình làm cơ sở cho việc dự báo thời tiết

bằng phương pháp trị số, mở ra một hướng phát triển mới.

Trong những năm 40 của thế kỷ XX, đã lập được các sơ đồ dự báo

đầu tiên bằng phương pháp số trị. Năm 1940, Kibel sử dụng điều kiện tựa

tĩnh và gần đúng địa chuyển đã tìm được nghiệm của bài toán dự báo

dưới dạng chuỗi. Năm 1938-1940 Rozby đã công bố nhiều công trình về

lý thuyết sóng dài và dòng vĩ hướng, các công trình này đã ảnh hưởng lớn

đến việc phát triển dự báo. Năm 1943, Blinôva đã lập được phương trình

dự báo động lực đầu tiên cho một vài ngày. Năm 1951, Bulev và Martruc

đã tìm được nghiệm giải tích của hệ phương trình dự báo khí quyển tà áp.

Kết quả này đã đánh dấu một bước nhảy vọt của dự báo số trị và đã sử

dụng rộng rãi trong các sơ đồ dự báo nghiệp vụ của nhiều nước.

Sau năm 1950, sự xuất hiện và phát triển máy tính điện tử mạnh

mẽ nên nhiều mô hình dự báo thời tiết phức tạp đã được xây dựng và sử

dụng. Trước hết phải kể đến mô hình Charny, Philips (1950 ở Mỹ),

Belousov (1954 ở Liên Xô). Từ những năm 1960, người ta đã chú ý xây

dựng các sơ đồ dự báo bỏ bớt các hạn chế của chúng. Ngày nay, các

phương pháp toán học và kỹ thuật tính toán đã cho phép xây dựng mô

hình không cần đến điều kiện gì đối với trường gió và trường độ cao địa

thế vị hay các mô hình tích phân với số bước thời gian rất lớn, các mô

hình phi đoạn nhiệt và dự báo mây, mưa, các mô hình dự báo toàn cầu.

Đến nay, hầu hết các nước đều sử dụng phương pháp số trị để dự

báo thời tiết. Các trung tâm khí tượng lớn trên thế giới đều đang sử dụng

các mô hình dự báo toàn cầu với bước lưới khoảng 100 km và đưa kết

quả trên internet. Các trung tâm khí tượng, các cơ quan nghiên cứu dự

báo khí tượng và các cá nhân quan tâm đều có thể thu nhận các kết quả

dự báo này. Các kết quả dự báo toàn cầu được sử dụng làm điều kiện biên

và điều kiện ban đầu cho các mô hình dự báo quy mô vừa của các nước.

Trong quá trình dự báo theo các mô hình quy mô vừa, có thể cập nhật

điều kiện địa phương để tăng độ chính xác của dự báo.

Giáo trình gồm 5 chương:

Chương 1 trình bày các hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học ở

các loại hệ toạ độ được sử dụng trong khí tượng.


Chương 2 trình bày lý thuyết phân tích quy mô giúp đánh giá được

vai trò của các thành phần trong từng phương trình thuỷ nhiệt động lực.

Từ đó có thể chọn được hệ phương trình cho từng bài toán khí tượng

được quan tâm.

Chương 3 trình bày lý thuyết về xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn

các phương trình thuỷ nhiệt động lực học và phân tích độ ổn định tính

toán của từng loại sơ đồ sai phân sử dụng trong dự báo số trị.

Chương 4 trình bày các sơ đồ dự báo dựa trên gần đúng địa chuyển

và Solenoit.

Chương 5 trình bày sơ đồ dự báo dựa trên hệ các phương trình

nguyên thuỷ và tính bảo toàn của các đại lượng vật lý trong từng mô

hình.

Giáo trình này được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành

khí tượng và làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, các cán bộ

nghiên cứu ngành khí tượng thuỷ văn.


CÁC KÝ HIỆU CHÍNH

- Dòng nhập nhiệt đến một đơn vị thể tích

O - Bậc đại lượng

- Địa thế vị

a - Bán kính trái đất

B - Thông lượng nhiệt trong đất

pC - Nhiệt dung riêng đẳng áp của không khí

vC - Nhiệt dung riêng đẳng tích của không khí

vnC - Nhiệt dung riêng của hơi nước

y

v

x

uD

- Divegiăng ngang của tốc độ

d - Độ hụt điểm sương

F - Lực tác động lên một đơn vị khối lượng

g - Gia tốc rơi tự do

grad - Gradien

),( BAJ - Jacobian

K - Hệ số rối

L - Nhiệt ngưng kết

nL - Nhiệt tan băng

sin2l - Tham số Coriolis

hPaP 1000 - áp suất thuần mặt biển

p - áp suất khí quyển

R - Hằng số khí riêng của không khí khô

nR - Hằng số khí riêng của hơi nước

T - Nhiệt độ tuyệt đối

dT - Nhiệt độ điểm sương

u - Thành phần tốc độ theo trục ox

v - Thành phần tốc độ theo trục oy

w - Thành phần tốc độ theo trục oz

dy

dl - Tham số Rozby

z

T

- gradien thẳng đứng của nhiệt độ

a - gradien đoạn nhiệt khô

Èm - gradien đoạn nhiệt ẩm

P

p - Trục thẳng đứng không thứ nguyên

- Trục trẳng đứng tổng quát

- Nhiệt độ thế vị

cvCpx / - Hằng số Kazman

- Mật độ không khí

n - Mật độ hơi nước

Psp / - Toạ độ thẳng đứng không thứ nguyên

- Vĩ độ địa lý

- Xoáy tốc độ

- Tốc độ góc của trái đất


Chương 1

CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ QUYỂN

1.1 CÁC QUÁ TRÌNH CHÍNH TRONG KHÍ QUYỂN VÀ VẤN ĐỀ

XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO

Các quá trình xảy ra trong khí quyển có thể chia thành ba dạng

chính: Các quá trình quy mô lớn (macro), quy mô vừa (meso) và quy mô

nhỏ (micro). Các quá trình quy mô lớn có kích thước ngang hàng ngàn

km (1-10 ngàn km). Chu kỳ của quá trình này khoảng vài ngày (từ 1-10

ngày). Xoáy thuận ngoại nhiệt đới là một trong những đối tượng thuộc

quy mô lớn. Các quá trình có quy mô vừa có kích thước ngang khoảng

vài chục đến vài trăm km, chu kỳ khoảng vài giờ. Thí dụ, về các quá trình

quy mô vừa là front khí quyển, phát triển mây tích v.v... Các quá trình

quy mô nhỏ có kích thước ngang từ vài centimet đến vài mét và chu kỳ từ

vài giây đến vài phút. Các quá trình trong lớp sát đất thuộc loại các quá

trình quy mô nhỏ.

Tất cả các quá trình trong khí quyển đều mang tính chất sóng. Việc

tính toán các sóng trong mô hình số là vấn đề rất quan trọng cần được chú

ý khi xây dựng mô hình dự báo số. Có ba dạng sóng chính trong khí

quyển là sóng quán tính, sóng trọng trường và sóng âm.

Sóng quán tính (sóng Rozby hay sóng quy mô lớn) có bước sóng

dài hàng ngàn km, chu kỳ khoảng vài ngày. Biên độ dao động trong

trường áp suất đạt hàng chục mb (hpa), trong trường hợp gió đạt hàng

chục m/s. Đây là các quá trình quy mô lớn. Các quá trình này cần được

tính đến trong các mô hình dự báo.

Sóng trọng trường chủ yếu tạo ra các quá trình quy mô vừa. Biên

độ của sóng này trong trường gió khoảng vài m/s. Sóng này cần tính đến

trong các mô hình dự báo số.

Sóng âm thuộc loại các qua trình quy mô nhỏ. Sóng này không ảnh

hưởng đến các quá trình khí tượng nên trong các mô hình cần lọc sóng

âm để đảm bảo độ ổn định tính toán trong quá trình tích phân.

Các mô hình dự báo thời tiết hạn ngắn (1-3 ngày) hạn vừa (3-10

ngày) tính ảnh hưởng của các quá trình quy mô lớn, quy mô vừa và quy

mô nhỏ khác nhau. Biến đổi thời tiết trên diện rộng chủ yếu do các quá

trình và các sóng quy mô lớn. Các quá trình quy mô nhỏ ít ảnh hưởng

đến thời tiết.

Thời tiết ở khu vực nhỏ và ở thời gian xác định trong ngày là do

các quá trình quy mô vừa, phát triển trên nền thời tiết quy mô lớn, tạo ra.

Các mô hình mô phỏng khí quyển trên cơ sở động lực và vật lý đã

trở thành những công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu và dự báo nghiệp

vụ trong 30 năm qua. Tuy nhiên, do hạn chế về tốc độ của máy tính và

việc giải quyết những tính chất vật lý đưa vào mô hình nên không sử

dụng một kiểu mô hình để tính tất cả các quy mô của hiện tượng. Do vậy,

nhiều mô hình đã được phát triển để mô phỏng các quy mô chuyển động

khác nhau trong khí quyển.

Hình 1.1 mô tả phổ các mô hình: từ mô hình hoàn lưu chung thuỷ

tĩnh toàn cầu với độ phân giải rất thô (cỡ 200 km), mục đích dự báo hạn

dài và các quá trình qui mô lớn đến các mô hình quần thể mây phi thuỷ

tĩnh có độ phân giải cao (cỡ 1 km hoặc nhỏ hơn) để tính được hầu hết tất

cả các quá trình động lực và vật lý trong khí quyển.


Hình 1.1 Phổ của mô hình dự báo số

Nhận thấy các mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa nằm giữa

mô hình qui mô lớn và mô hình mây. Không có phân biệt rõ ràng giữa

mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa. Người ta xem mô hình khu vực

có độ phân giải từ 50 - 150 km, còn mô hình qui mô vừa là từ 1 - 50 km.

Một số mô hình qui mô vừa hiện nay như: mô hình ETA dự báo nghiệp

vụ cho khu vực Tây Bắc Thái Bình Dương, Hông Kông, Đài Loan,... và

hệ thống mô phỏng khí quyển qui mô vừa (MASS) dự báo cho khu vực

Nam Corolia - Mỹ, mô hình RAMS ở Mỹ, Hy Lạp.... Mô hình HRM ở

Đức, các nước châu Âu, Việt Nam, MM5 ở Mỹ, Hồng Kông, Việt Nam.

Để xây dựng các mô hình dự báo số cần tiến hành các bước sau:

1/ Xác định và mô tả các quá trình vật lý dẫn đến làm thay đổi thời

tiết.

2/ Chọn hệ phương trình vi phân mô tả các quá trình vật lý đã

chọn.

3/ Thay môi trường khí quyển liên tục, phức tạp thành môi trường

đơn giản trong không gian gồm các điểm hữu hạn.

4/ Tích phân số trị các phương trình để tìm các yếu tố khí tượng ở

các điểm cố định trong không gian và ở các thời điểm.

Thực hiện 4 bước trên ta có thể xây dựng được mô hình dự báo số.

Trong các phần sau sẽ trình bày nội dung của các bước trên.

1.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO CÁC CHẤT

LỎNG LÝ TƯỞNG

Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học mô tả các quá trình

xảy ra trong khí quyển gồm các phương trình chuyển động, phương trình

liên tục, phương trình nhập nhiệt, phương trình trạng thái và phương trình

vận chuyển ẩm. Các phương trình này rút ra rừ các định luật bảo toàn

động lượng, bảo toàn khối lượng và bảo toàn năng lượng. Các yếu tố khí tượng chính ta xét là áp suất p, nhiệt độ T, mật độ và các thành phần

của vận tốc nằm ngang ,, vu thẳng đứng w. Hệ toạ độ sử dụng là hệ toạ

độ Đề- các (x,y,z). Trục z hướng lên trên, trục x theo tiếp tuyến với vĩ

tuyên, trục y theo tiếp tuyến với kinh tuyến. Do độ cong của mặt đất nên

hướng của các trục thay đổi khi di chuyển từ điểm này đến điểm khác

song sự ảnh hưởng này chỉ lớn khi xét các quy mô cỡ bán kính trái đất

còn đối với các quá trình quy mô nhỏ hơn, sự ảnh hưởng này không lớn

nên có thể bỏ qua và xem hệ toạ độ là hệ toạ độ vuông góc. Nếu xét khí

quyển không có nhớt phân tử, nhớt rối, không có dẫn nhiệt và trao đổi

nhiệt bức xạ thì có thể coi khí quyển như một chất lỏng lý tưởng. Xét hệ

phương trình thuỷ nhiệt động lực cho khí quyển này

1.2.1 Phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động theo các toạ độ có dạng

x

pF

dt

dux

1

Phân loại các mô hình

GCM REGION MESO CLD-PBL

GCM -- ECMWF --- NGM --- ETA --- MASS/MM5 ---CLOUD300 km ------100 km ----------- 20 km ------------- 1kmMacro ------ Meso ---- Meso ---- Meso ---- MicroYEARS -- WEEKS --- DAYS --- - DAY ---- HOURS


z

pF

dt

dw

y

pF

dt

dv

y

y

1

1

(1.2.1)

ở đây ký hiệu: z

wy

vx

utdt

d

là đạo hàm toàn phần

yx FF , và zF là hình chiếu của vectơ lực khối trên các trục tương ứng.

Trong khí quyển, lực khối lượng bao gồm trọng lực và lực Coriolic. Ở

đây trọng lực là tổng vectơ của lực hấp dẫn và lực ly tâm. Coi trọng lực hướng vào tâm trái đất nên 0 yx gg còn ggz . Giá trị của g phụ

thuộc vào vĩ độ và độ cao của điểm được xét so với mặt biển.

)10.14.31)(2cos.0026.01(80.9 7 zg

Đối với các bài toán khí tượng sự phụ thuộc này không đáng kể

(khoảng vài phần nghìn) nên thường lấy 2/8.9 smg .

Lực Coriolic ở dạng vectơ có thể biểu diễn:

VK

.2 (1.2.2)

Vì vậy:

)(2

)(2

)(2

uK

wuK

wK

yxz

xzy

zyx

Vì chọn hệ toạ độ có trục y và trục x trùng với tiếp tuyến của kinh,

vĩ tuyến nên 0x . Kký hiệu:

Cosy

x

.22

sin22

1

( là vĩ độ địa lý).

Khi đó hệ phương trình (1.2.1) có thể viết về dạng:

guz

p

dt

dw

uy

p

dt

dv

wvx

p

dt

du

1

1

1

1

1

(1.2.3)

1.2.2 Phương trình liên tục

Phương trình liên tục biểu diễn định luật bảo toàn khối lượng áp

dụng cho chuyển động của chất lỏng viết dưới dạng sau:

0)(

Vdiv

t

(1.2.4)

ở đây:

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

Vdivz

wy

vx

u

z

w

y

v

x

uVVdiv

)()(

(1.2.5)

Thay (1.2.5) vào (1.2.4)

0

z

w

y

v

x

u

t

(1.2.6)

hay

01

z

w

y

v

x

u

dt

d

(1.2.7)

Trong trường hợp chất lỏng không nén được :

0dt

d


Khi đó phương trình liên tục có dạng:

0

z

w

y

v

x

u(1.2.8)

1.2.3 Phương trình trạng thái

Phương trình trạng thái biểu diễn mối quan hệ giữa ba đại lượng làáp suất p, mật độ và nhiệt độ không khí T:

RTp . (1.2.9)

ở đây: ./287 22 smR độ là hằng số khí riêng đối với không khí.

Phương trình (1.2.9) thoả mãn với áp suất rất nhỏ tức là đến tận các

lớp rất cao của khí quyển. Đối với khí quyển thực chứa hơi nước phương

trình (1.2.9) phải thay T bằng nhiệt độ ảo aT mới chính xác song sự khác

biệt giữa aT và *T đối với các lớp trong khí quyển tự do không lớn. Vì

vậy sử dụng phương trình trạng thái (1.2.9) trong dự báo số trị vẫn đảm

bảo độ chính xác cho phép.

1.2.4 Phương trình nhập nhiệt

Phương trình nhập nhiệt hay còn gọi là phương trình của nguyên lý

thứ nhất. Đây là phương trình biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng áp

dụng cho nhiệt năng. Phương trình có thể viết dưới dạng:

pp Cdt

dp

Cdt

dT 11 (1.2.10)

Ở đây: gcalC p /24.0 độ – nhiệt dung của không khí áp suất cố

định; . Dòng nhập nhiệt đến một đơn vị thể tích.

Thay:

4.1/

vp

vp

CC

CCR

vào (1.2.10) ta viết nó về dạng:

pCdt

dp

p

T

dt

dT 1.

1

(1.2.11)

Sử dụng biểu thức của nhiệt độ thế vị:

1

p

PT (1.2.12)

( mbP 1000 - áp suất chuẩn ở mặt biển), ta dễ dạng biến đổi (1.2.11) về

dạng:

pCTdt

d (1.2.13)

Trong khí quyển có ba dạng dòng nhập nhiệt là: Nhập nhiệt bức xạ

BX , nhập nhiệt rối R , và nhập nhiệt do chuyển pha của hơi nước Ph :

PhRBX (1.2.14)

1.2.5 Phương trình vận chuyển ẩm

Hơi nước luôn luôn tồn tại trong khí quyển. Nếu trong khí quyển

không có chuyển động rối thì biến đổi lượng hơi nước trong phần tử khí

chuyển động là do ngưng kết hoặc bay hơi. Nếu gọi lượng hơi nước

chuyển pha trong một đơn vị thể tích khí chuyển động sau một đơn vị

thời gian m thì phương trình mô tả biến đổi lượng hơi nước q là:

m

dt

dq (1.2.5)

Các phương trình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15) tạo


thành hệ phương trình kín với ẩn số là u, v, w, p, , T và q. Nếu coi quá

trình là đoạn nhiệt thì 0 hay dòng nhập nhiệt chỉ do chuyển pha của

hơi nước thì mLPh . . Trường hợp quá trình xảy ra có các dòng

nhập nhiệt khác nữa thì phải xét thêm các phương trình mô tả các đại

lượng chưa biết.

1.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ

QUYỂN RỐI

Chuyển động rối trong khí quyển đóng vai trò rất lớn trong việc

hình thành và phát triển các quá trình của khí quyển. Hiệu ứng nhớt rối ở

đây lớn hơn nhiều so với nhớt phân tử , vì vậy trong các bài toán khí

tượng động lực hay dự báo số trị hiệu ứng này thường được quan tâm và

tính đến. Chuyển động rối là không thể mô tả được. Trong khí tượng chỉ

quan tâm đến giá trị trung bình của các biến và biến động của chúng theo

thời gian nên ảnh hưởng của các nhiễu động đến đại lượng quan tâm

được tính đến như tổng trung bình của các nhiễu động.

Giả sử ),,,( tzyxf là một đại lượng nào đó, f là giá trị trung

bình của nó, fff là nhiễu động khi đó giá trị trung bình có thể xác

định:

2/

2/

),,,(1

),,,(

dttzyxftzyxf (1.3.1)

ở đây là chu kỳ lấy trung bình.

Hệ các phương trình dự báo có thể viết dưới dạng tổng quát sau:

Ndt

d

1 (1.3.2)

Ở đây là các yếu tố quan tâm, N là một hàm nào đó đã cho.

Thay ,, NNN , trong (1.3.2) và tiến hành lấy

trung bình. Sử dụng các quy tắc lấy trung bình ta dễ dàng nhận được:

)(11

z

w

y

v

x

uN

dt

d

(1.3.3)

Phương trình (1.3.3) mô tả biến đổi đại lượng trong khí quyển

rối. Phương trình này khác phương trình (1.3.2) dùng cho khí quyển lý

tưởng là xuất hiện các thành phần trong ngoặc đơn. Các thành phần này

mô tả biến đổi đại lượng ta xét do chuyển động rối gây ra.

Áp dụng công thức (1.3.3) tiến hành lấy trung bình các phương

trình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15)

)(1

)(11

0

)(11

)(11

)(11

2

2

2

z

qw

y

qv

x

qum

dt

qd

z

w

y

v

x

u

CTdt

d

z

w

y

v

x

u

t

z

w

y

wv

x

wu

zF

dt

wd

z

wv

y

v

x

vu

yF

dt

vd

z

wu

y

vu

x

v

xF

dt

ud

p

z

y

X

(1.3.4)

Trên cơ sở lý thuyết rối bán thực nghiệm ta có thể biểu diễn các đại

lượng mới trong hệ các phương trình trên qua hệ số rối theo các hướng

nằm ngang K , thẳng đứng K và gradien của đại lượng trung bình theo

các hướng.


z

wKw

z

vKwv

y

vKv

z

uKwu

y

uKvu

x

uKuu

2

2

xKCuC pp

yKCvC pp

(1.3.5)

z

qKqwC

y

qKqvC

x

qKquC

zKCwC

qp

qp

qp

pp

ở đây:

KKKK , là hệ số trao đổi nhiệt rối theo

phương thẳng đứng và nằm ngang; KKKK qqqq , là hệ số

trao đổi ẩm rối theo các phương trên; q , là các hằng số tỷ lệ. Các

hằng số này được xác định bằng thực nghiệm, chúng gần bằng một nên

trong dự báo số trị lấy 1 q .

Thay (1.3.5) vào (1.3.4) được hệ phương trình mô tả các đại lượng

trung bình (các dấu gạch ngang ta bỏ đi cho gọn).

z

wK

zwKuvg

z

p

dt

dw

z

vK

zvKwu

y

p

dt

dv

z

uK

zuKvw

x

p

dt

du

yx

xz

zy

221

221

221

0

z

w

y

v

x

u

t

zK

zK

CTdt

dPhBx

p

1(1.3.6)

z

qK

zqK

m

dt

dq

Trong thực tế, đôi khi sử dụng nhiệt độ thay cho nhiệt độ thế vị nên

thay:

PCR

p

PT

/

vào phương trình nhập nhiệt trên sẽ được

aPhBX

p

a

dz

dTK

zTK

Cdt

dp

gpdt

dT

1(1.3.7)

1.4. HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC VỚI TOẠ

ĐỘ THẲNG ĐỨNG BẤT KỲ

Để xây dựng mô hình dự báo thời tiết quy mô lớn người ta sử dụng

hệ phương trình ở dạng đơn giản hơn so với hệ phương trình trong hệ toạ

độ Đê - các. Hệ phương trình này được viết trong hệ toạ độ có trục thẳng

đứng liên hệ với trục Oz qua phương trình tĩnh học. Xét phương pháp

chuyển đổi hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các sang hệ toạ độ mới


này.

Giả sử hàm f là đại lượng khí tượng bất kỳ phụ thuộc toạ độ

không gian và thời gian trong hệ toạ Đề - các ),,,( ztyxf . Trong hệ toạ

độ mới, trục thẳng đứng được thay bằng còn các trục yx, và thời gian

t vẫn giữ nguyên như trong hệ Đề - các. Để phân biệt các hàm và biến

trong hai hệ, ký hiệu các hàm và biến trong hệ toạ độ mới có chỉ số 1.

Hàm số nào đó tại một điểm trong không gian và thời điểm nhất định

trong hai hệ toạ độ phải bằng nhau:

1111 ),,,,(,,),,,( ttzyxyxftzyxf (1.4.1)

Để tìm được công thức chuyển đổi đạo hàm từ hệ toạ độ cũ sang hệ toạ độ mới, lấy vi phân hai vế (1.4.1) theo các biến tzyx ,,, . Ký hiệu S

là một trong các biến trên, ta có:

S

t

t

f

S

f

S

y

y

f

S

x

x

f

S

f

1

1

111

1

11

1

1

(1.4.2)

Vì ttyyxx 111 ,, nên

0

1

111111111

111

t

y

t

x

z

t

z

y

z

x

y

t

y

x

x

t

x

y

t

t

y

y

x

x

(1.4.3)

Theo (1.4.3) thì (1.4.2) có dạng:

S

f

S

f

S

f

1

1

1 (1.4.4)

ở đây 1S là một trong các biến ),,,( 111 tyx . Trong công thức

(1.4.4) cần xác định S / . Để tìm được đại lượng này ta coi f là địa

thế vị gz của mặt const .Khi đó ta thay vào (1.4.4) ta được.

SS

1

1

10

khi S là ),,( tyx vàS

g

1 khi S là z .

Từ đây ta tìm được khi ),,( tyxS .

1

1

1

S

S(1.4.5)

và

1

g

z(1.4.6)

Thay (1.4.5) và (1.4.6) vào (1.4.4) được công thức chuyển đổi đạo

hàm riêng:

1

1

1

1

1

1 Sf

S

f

S

f(với tyxS ,, ) (1.4.7)

1

1

1

Sg

z

f(1.4.8)

Để có công thức chuyển đổi đạo hàm toàn phần từ hệ toạ độ cũ

sang hệ toạ độ mới, thay các đạo hàm riêng trong các đạo hàm toàn phần

z

fw

y

fv

x

fu

t

f

dt

df

bằng các công thức (1.4.7) và (1.4.8)


1

1

11

1

11

1

1

1

1

11

11

1

gwy

vx

ut

f

y

fv

x

fu

t

f

dt

df

(1.4.9)

Ta viết biểu thức trên về dạng:

1

11

11

1

f

y

fv

x

fu

t

f

dt

df (1.4.10)

ở đây ký hiệu.

1

11

1

11

1

11

1

1

yv

xu

tgw

(1.4.11)

Ta thay f trong (1.4.9) bằng . Do không phụ thuộc vào 11, xt

và 1y nên ta được:

1

11

1

11

1

11

1

1

yv

xu

tgw

dt

d

Đối chiếu với công thức (1.4.11) ta thấy

dt

d

Vế phải (1.4.9) là đạo hàm toàn phần của hàm 1f , trong hệ toạ độ

mới và có thể viết về dạng:

1

1

dt

df

dt

df (1.4.12)

Như vậy có công thức (1.4.12) để chuyển đổi đạo hàm toàn phần từ

hệ toạ độ cũ sang hệ toạ độ mối. Sử dụng các công thức (1.4.7), (1.4.8) và

(1.4.12) để chuyển đổi hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ

toạ độ Đê – các (x,y,z,t) sang hệ toạ độ mới ( 111 ,,, tyx )

1. Phương trình trạng thái.

111 RTP (1.4.13)

2. Phương trình nhập nhiệt

Trong hệ toạ độ cũ phương trình có dạng

pCdt

dp

P

T

x

x

dt

dT

1

Khi chuyển sang hệ toạ độ mới sẽ có dạng

pCdt

dp

P

T

x

x

dt

dT

1

1

1

11 1(1.4.14)

3. Phương trình tĩnh học

Thay

gp

gz

P1

11

Từ đây tìm được

11

1p(1.4.15)

4. Phương trình chuyển động:

Tìm đạo hàm khí áp theo hướng ox và oy .

1

1

1

1

1

11

1

1 xp

x

p

x

p

x

p

x

p

Thay

1ptừ (1.4.15), được:


1

11

1

1

x

p

x

p

x

p

(1.4.16)

Sử dụng (1.4.12) và (1.4.16), phương trình chuyển động theo trục

Ox có dạng:

xFvxx

p

dt

du

1

1

1

1

1

11

1 1

(1.4.17)

Tương tự phương trình chuyển động theo trục Oy sẽ là:

yFuyy

p

dt

dv

1

1

1

1

1

11

1 1

(1.4.18)

5. Phương trình liên tục

Chuyển đổi các đạo hàm riêng trong phương trình liên tục theo

công thức (1.4.7) và (1.4.8)

1

1

1

11

1

1

11

1

1

1

1

11

1

1

1

dt

dwg

z

w

y

v

y

u

y

u

x

u

x

u

x

u

1

11

1

111

11

1

1

11

1

11

21

2

1

12

11

12

11

2

1

1

1

y

v

x

u

dt

d

y

v

x

u

yv

xu

t

Như vậy

1

111

1

1

1 1

dt

d

y

v

x

u

z

w

y

v

x

u

Thay biểu thức trên vào phương trình liên tục, được:

011 1

111

1

1

1

1

1

1

dt

d

y

v

x

u

dt

d (1.4.19)

Sử dụng phương trình học (1.4.15) tìm được

1

1

1

111

1

1

111 p

dt

d

pdt

d

dt

d

như vậy phương trình (1.4.19) có dạng

01 1

111

1

1

1

p

dt

d

py

v

x

u (1.4.20)

Bỏ các chỉ số 1 ở hàm số và ở các biến nhận được hệ phương trình

thuỷ nhiệt động lực trong hệ toạ độ mới ở dạng:


01

1

1

1

p

dt

d

py

v

x

u

Cdt

dp

P

T

x

x

dt

dT

p

Fuyy

p

dt

dv

Fvxx

p

dt

du

p

y

x

(1.4.21)

Hệ phương trình (1.4.21) là hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực

học trong hệ toạ độ có trục thẳng đứng tuỳ ý. Có thể tìm được hệ phương

trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển trong hệ toạ độ áp suất khi

thay p , trong hệ toạ độ khi thaySp

p ( Sp là áp suất tại mặt

đất), trong hệ toạ độ dẳng entropi khi thay ( nhiệt độ thế vị).

1.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ

TOẠ ĐỘ ÁP SUẤT

Hệ toạ độ áp suất là hệ toạ độ có trục thẳng đứng là áp suất khí quyển P . Các biến độc lập khác vẫn giữ nguyên không đổi. Các biến

phụ thuộc trong hệ này là Tvu ,, và và tương tự, tốc độ thẳng đứng

dt

dp . Đạo hàm toàn phần trong hệ toạ độ áp suất có dạng:

pyv

xu

tdt

d

(1.5.1)

Trong hệ toạ độ này các biến pyx ,, là các biến độc lập nên

0

y

p

x

p

Do p nênpp

p

dt

d

,0

Hệ phương trình khi đó có dạng:

xFvxp

u

y

uv

x

uu

t

u

yFuyP

v

y

vv

x

vu

t

v

PR

pT

0

py

v

x

u

pCP

T

x

x

p

T

y

Tv

x

Tu

t

T

1

Dễ dàng biến đổi:

gp

RT

p

T

x

x

p

T a )(1

Phương trình nhập nhiệt trong hệ toạ độ áp suất có dạng:

p

a

Cpg

RT

y

Tv

x

Tu

t

T

)((1.5.2)

Hệ toạ độ tyx ,,, .

Để tiện lợi trong tính toán người ta thường dùng hệ toạ độ có trục

thẳng đứng )1000( mbPP

p . Hệ phương trình trên khi chuyển sang

hệ toạ độ ( tyx ,,, ), chỉ thay:


Pt

Pdt

dp

Ppp

1

Như vậy thành phần

oooo

PP

dp

d 1

`hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực trong hệ toạ độ ),,,( tyx có

dạng:

xFvx

u

y

uv

x

uu

t

u

yFuy

v

y

vv

x

vu

t

v

RT

0

y

v

x

u

p

a

Cg

RT

y

Tv

x

Tu

t

T

)((1.5.3)

Sử dụng các phương trình trong hệ toạ độ áp suất có nhiều ưu điểm

so với hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các. Nhưng ưu điểm đó là:

a) Gió địa chuyển trong hệ toạ độ Đề - các xác định bằng biểu

thức:

x

pu

y

pu gg

1;

1(1.5.4)

Còn trong hệ toạ độ áp suất:

x

Hgv

y

Hgu gg

; (1.5.5)

Theo các công thức trên, gió địa chuyển ở một mực nào đó phụ

thuộc vào gradien khí áp hay gradien địa thế vị tức là độ dày của các

đường đẳng áp hay các đường đẳng cao. Ở vĩ độ xác định, sự phụ thuộc

này đơn trị đối với các bản đồ hình thế khí áp, còn đối với bản đồ phân

bố áp suất thì trong công thức (1.5.4) còn chứa mật độ không khí. Như

vậy giữa tốc độ gió địa chuyển và gradien khí áp có hằng số tỷ lệ phụ thuọc vào độ cao ( thay đổi theo z), trong khi đó hằng số tỷ lệ trong

công thức (1.5.5) không phụ thuộc vào độ cao. Đây là ưu điểm của bản

đồ hình thế khí áp so với bản đồ phân bố áp suất.

Ở mặt biển hình dạng các đường đẳng áp không khác nhiều hìnhdạng các đường đẳng cao mặt và tồn tại mối liên hệ:

n

p

n

H

00 8.0 (1.5.6)

0H đo bằng Đề-ca-met độ cao địa vị thế vị (dam)

Từ (1.5.6) thấy độ dày các đường đẳng cao vẽ qua 4 dam tương

đương với độ dày của các đường đẳng áp vẽ qua 5 mb.

b) Nhiều phương trình động lực khí quyển trong hệ toạ độ áp suất

đơn giản hơn trong hệ toạ độ Đề - các. Thí dụ như phương trình trạng thái chỉ liên hệ giữa hai đại lượng và T chứ không phải ba đại lượng như

trước. Phương trình liên tục trong trường hợp tổng quát tương tự như

trong trường hợp không khí không bị nén ở hệ toạ độ Đề - các, trong

phương trình chuyển động không chứa mật độ.

c) Trong hệ tọa độ Đề- các các ẩn số rất phức tạp, để khử chúng sẽ

dẫn đến một phương trình khó giải. Trong hệ toạ độ áp suất việc khử một

ẩn rất dễ dàng. Mật độ chỉ nằm trong phương trình trạng thái, bỏ phương

trình này ra được một hệ mới năm ẩn trong năm phương trình. Thay nhiệt


độ từ phương trình tĩnh học vào phương trình nhập nhiệt được một hệ

mới bốn phương trình chứa bốn ẩn số. Rút từ phương trình nhập nhiệt

thay vào phương trình liên tục và phương trình chuyển động được ba

phương trình ba ẩn.

Hệ phương trình trong hệ toạ độ áp suất cũng chỉ đúng ở những

điều kiện như trong hệ toạ độ Đề- các . Mặt khác trong quá trình chuyển

đổi đã sử dụng phương trình tĩnh học nên đối với các quá trình không

thoả mãn điều kiện tựa tĩnh thì không dùng hệ phương trình mới này để

mô tả. Nếu không sử dụng điều kiện tựa tĩnh thì hệ phương trình mới sẽ

phức tạp hơn nhiều và các ưu điểm kể trên sẽ không còn nữa.

1.6 HỆ TOẠ ĐỘ

Hệ toạ độ sử dụng trục thẳng đứng là:

Sp

p

Với SP là áp suất mặt đất SP là hàm số phụ thuộc yx, và t . Tương

tự tốc độ thẳng đứng trong hệ toạ độ là

Sp

p

dt

d

dt

d

Tại biến trên và biến dưới của khí quyển là hằng số nên 0 .

Thay vào hệ (1.4.21) và sử dụng

SSS p

p

y

p

y

p

x

p

x

p

,,

Nhận được:

xS

S

Fvx

p

pxdt

du

yS

S

Fuy

p

pydt

dv

RT

0

SSSS p

y

vp

x

up

t

p

pCTdt

d

x

x

oT

1

Ưu điểm của hệ toạ độ ),,,( tyx so với hệ toạ độ áp suất là điều

kiện biên tương tự tốc độ thăng tại biên dưới của mô hình là chính xác.Với biên dưới của mô hình dự báo là mặt đất Spp nên 1 . Như vậy

sử dụng điều kiện biên: 0)1( chính xác hơn điều kiện biên: 0)1(

(vì mặt 1000 mb không trùng với mặt đất nên điều kiện cuối cùng

này chỉ là gần đúng).

Các hệ toạ độ xét ở đây có trục thẳng đứng liên hệ đến các phần tử

khí chuyển động. Các hệ toạ như thế này được gọi là hệ toạ độ tựa

Lagrangian. Có nhiều hệ toạ độ khác tựa Lagrangian được đưa ra song do

những hạn chế của chúng nên ít được dùng trong thực tế. Một trong số

những hệ đó là hệ toạ độ đẳng Entropi. Hệ toạ độ này dùng để phân tích

bản đồ hình thế các mặt đẳng Entropi const . Hệ toạ độ này có một số

ưu điểm so với các hệ toạ độ áp suất, song cũng có một số nhược điểm

là đặt điều kiện biên trong hệ này khó hơn so với hệ toạ độ áp suất, giá trị

ta không đo trực tiếp được như áp suất.


1.7 PHƯƠNG TRÌNH XOÁY VÀ PHƯƠNG TRÌNH DIVECGIĂNG

1.7.1 Phương trình xoáy

Một phương trình có thể dùng để dự báo được là phương trình mà

trong đó đạo hàm theo thời gian của hàm cần tìm phải là thành phần

chính trong phương trình để xác định thành phần này không gặp phải sai

số lớn do tính toán.

Xét khả năng dự báo của phương trình chuyển động:

vx

Hg

u

y

uv

x

uu

t

u

(1.7.1)

uy

Hg

v

y

vv

x

vu

t

v

(1.7.2)

Đối với các chuyển động quy mô lớn trong khí quyển tự do gần

đúng địa chuyển thoả mãn với độ chính xác lớn vì vậy vế trái của các

phương trình là hiệu của hai đại lượng lớn gần bằng nhau. Như vậy các

giá trị t

u

và

t

v

là các đại lượng nhỏ xác định được với sai số lớn. Các

đại lượng ở vế phải xác định với sai số 1% có thể gây sai số của t

v

t

u

,

đến vài trăm phần trăm. Vì lý do trên, các phương trình trên không thể

dùng để dự báo.

Phương trình mô tả biến đổi xoáy :

y

u

x

v

thoả mãn điều kiện của phương trình dự báo nêu trên. Để tìm được

phương trình xoáy ta lấy vi phân phương trình (1.7.2) theo x và (1.7.1)

theo y rồi trừ hai kết quả cho nhau:

vdy

d

y

v

x

uu

y

v

x

u

y

v

y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

x

u

yv

xu

t

(1.7.3)

Ký hiệu:

y

v

x

uD

dy

d

,

Biến đổi các thành phần trong (1.7.3) về dạng sau:

Dy

u

y

v

x

u

y

u

y

u

y

v

y

u

x

u

Dx

v

y

v

x

u

x

v

y

v

x

v

x

v

x

u

Trừ hai vế với nhau, tìm được:

DDy

v

x

u

y

u

y

v

y

u

x

u

y

v

x

v

x

v

x

u

Thay kết quả này vào (1.7.3) tìm được phương trình xoáy ở dạng:

x

v

y

uvD

t

d

)( (1.7.4)

Phương trình này có thành phần đạo hàm theo thời gian, là một

trong số các thành phần chính của phương trình. Các thành phần chính

trong phương trình chuyển động y

H

x

H

, đã bị triệt tiêu trong quá trình

biến đổi, u và v được thay bằng D và v . Trong các đại lượng

cuối cùng này D nhỏ hơn so với từng thành phần y

H

x

H

vµ vì gió

gần với gió địa chuyển còn cũng rất nhỏ vì nó là biến đổi của tham số


Coriolish theo vĩ độ.

Xét một vài trường hợp riêng của phương trình xoáy (1.7.4):

a) Giả sử trong vế phải của (1.7.4) chỉ 0 các thành phần còn

lại có thể bỏ qua vì nhỏ so với v , khi đó phương trình xoáy(1.7.4) viết

về dạng:

0

v

t

d (1.7.5)

Vì chọn trục Ox theo vĩ tuyến và Oy theo kinh tuyến nên

sin2)( y

Suy ra

0

xt

Mặt khác:

yv

xu

tdt

d

Cho nên ta có thể viết:

vy

vdt

d

(1.7.6)

Thay (1.7.6) vào (1.7.5) viết phương trình xoáy về dạng:

0)(

dt

d (1.7.7)

Hay là:

0

dt

d a (1.7.8)

Ở đây a là xoáy tuyệt đối.

Theo kết quả này có nghĩa là phương trình (1.7.5) mô tả sự bảo

toàn xoáy tuyệt đối trong các phần tử khí chuyển động, tức là:

consta (1.7.9)

Như vậy nếu phần tử khí quyển chuyển động về phía bắc (gió

Nam) tăng lên vì thế xoáy tương đổi trong phần tử đó phải giảm đi

và ngược lại khi phần tử khí quyển về phía Nam giảm thì phải tăng

lên.

b) Nếu giữ lại hai thành phần đầu trong vế phải của phương trình

(1.7.4) ta được:

Ddt

da

a

(1.7.10)

Ở đây D là độ phân kỳ, nó đặc trưng cho sự biến đổi tương đối

hình chiếu của phần tử khí trên mặt nằm ngang.

dt

sd

sy

u

x

uD

)(1

(1.7.11)

Thay (1.7.11) vào (1.7.10) :

sdt

d

dt

sd

ts aa

a

)()( (1.7.12)

Hình 1.2 Hình chiếu của phần tử khí trên mặt đẳng áp nằm ngang


Trong trường hợp này, phương trình mô tả tính chất bảo toàn tích

của xoáy tuyệt đối và hình chiếu của phần tử khí trên mặt đẳng áp.

1.7.2 Phương trình Divegiăng

Lấy vi phân (1.7.1) theo x, (1.7.2) theo y và cộng kết quả lại được:

uy

u

x

vv

y

u

x

y

v

x

v

y

u

y

u

x

v

x

uD

y

Dv

x

Du

t

D

2

22

(1.7.13)

Phương trình này có thể viết dưới dạng:

u

v

y

u

xy

v

y

u

x

v

x

u

dt

dD

2

22

2(1.7.14)

1.8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ

TOẠ ĐỘ CẦU

Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học đã xét ở trên chỉ sử dụng

để mô tả các quá trình Synốp và dùng để dự báo thời tiết hạn ngắn ở vùng

giới hạn. Để nghiên cứu các quá trình quy mô lớn - quy mô toàn cầu hay

bán cầu và dự báo dài hạn thì phải sử dụng hệ phương trình thuỷ nhiệt

động lực học trong hệ toạ độ cầu. Các toạ độ cầu r,, được biểu diễn

trên hình 1.3.

Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ cầu U được biểu diễn qua các thành

phần rvvv ,, theo hướng r,, .

rirvivivU , (1.8.1)

rrvrvrv ,.,cos. (1.8.2)

Đạo hàm toàn phần hệ toạ độ cầu được biểu diễn:

r

r

rt

rv

r

v

r

v

t

utdt

d

cos

3

(1.8.3)

Ở đây kí hiệu:

rri

r

i

r

i

cos3 (1.8.4)

Véc tơ tốc độ góc quay của trái đất trong hệ toạ độ cầu được biểu

diễn:

rii nsicos

(1.8.5)

Các véc tơ đơn vị riii ,, phụ thuộc vào các hệ toạ độ không

gian. Đạo hàm của chúng theo các trục được biểu diễn bằng các công

thức sau:

0,,(

.sin

.cos

0

.sin.cos

r

iii

ii

ii

ii

ii

i

iii

r

r

rr

r

r

r

(1.8.6)


Đạo hàm toàn phần theo thời gian của các véc tơ này được tính

bằng các công thức:

iit

di

iit

di

iidt

di

r

r

r

..sin

..cos

.sin.cos

(1.8.7)

Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ quay trái

đất ở dạng véc tơ có dạng:

pCTdt

d

divUdt

d

DFUr

p

dt

dU

0.

21

(1.8.8)

Hình 1.3 Hệ toạ độ cầu

Ở đây F là ngoại lực. Trong khí tượng hiểu F là lực hấp dẫn. D là

lực nhớt rối. Sử dụng (1.8.1) - (1.8.7) đưa các phương trình (1.8.8) về

dạng:

DvvP

r

r

gvvv

r

vrv

r

v

r

rv

r

v

t

v

Dvp

r

gvv

r

vrv

r

v

r

rv

r

v

t

v

r

rr

rr

.sin.2.cos.2sin

1

cot

sin

.cos.21

cot

sin

2

r

rrrrrr

r

DvgP

r

vvv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

.sin.21

sin

22

(1.8.9)

pr

a

r

r

r

Cr

p

r

vp

r

v

r

pv

t

p

g

T

r

vT

r

v

r

Tv

t

T

v

rr

gvv

r

vr

r

r

v

r

v

rv

t

sin

sin

0sin

1cot

2

11

sin2

2

Trong các công thức trên rr DDD ,, là các thành phần lực ma sát

rối theo các trục r,, tương ứng.

Các bài toán khí tượng chỉ đặt ra đến độ cao vài chục kilômét tức

là đến độ cao nhỏ hơn nhiều so với bán kính trái đất (a=6371 km). Vì vậy

trong các công thức trên lấy gần đúng:

azar

111

(1.8.10)

Ở đây z là độ cao. Vì arz nênzr

vv zr

,


Một cách gần đúng, có thể thay:

zrv

rrvr

r

r

v

r

rv

r

r

v

r

vr

r

.2

2

1

1

.1

(1.8.11)

Sử dụng biểu thức trên, biến đổi hệ phương trình (1.8.9) về dạng:

DvvP

a

a

gvvv

a

vv

a

v

z

vv

t

v

Dvp

a

a

gvv

a

vv

a

v

z

vv

t

v

z

rz

rz

.sin.2.cos.2sin

1

cot

sin

.cos.21

cot

sin

2

z

zzzzz

z

Dvgz

p

a

vvv

a

vv

a

v

z

vv

t

v

.sin.21

sin

22

(1.8.12)

0sin

1cot1

sin

v

aa

gvv

az

v

a

vT

a

v

zv

t

z

z

pz

a

r

C

p

a

vp

a

v

z

pv

t

p

g

T

a

vT

a

v

z

Tv

t

T

sin

sin

Để đánh giá các thành phần của các phương trình trong hệ (1.8.12)

phải sử dụng các đặc trưng của các yếu tố khí tượng quy mô hành tinh.

Đối với quy mô không gian theo phương nằm ngang chọn bằng bán kính

trái đất maL6

010.4.6 Quy mô của vận tốc gió smU /100 .

Như vậy đối với quy mô thời gian cho các quá trình này sẽ là:

5.7;10.4.6/0

5

000 tsULt ngày đêm

Quy mô thời gian này chỉ thích hợp với các quá trình bình lưu còn

các quá trình biến tính các khối khí thì không thoả mãn. Để nghiên cứu

các quá trình biến tính loại quy mô này phải chọn quy mô thời gian cho

thích hợp

Quy mô không gian theo phương thẳng đứng chọn đến độ cao

chứa 95% khối lượng của khí quyển. Để thoả mãn điều kiện này lấy:

kmH 100 Quy mô tốc độ thẳng đứng 0W được chọn sao cho

thoả mãn điều kiện:

0

0

0

0

L

U

H

W

Từ điều kiện này tìm được:

0

000

L

UHW

Thay số tìm được: smW /102

0

.

Giá trị đặc trưng của yếu tố khí tượng trong lớp khí quyển 0-10km

được chọn:

Áp suất mbp 6000 ; Mật độ: 330 /10.75,0 mg ; Nhiệt độ

KT 00 297 .


Số gia của các yếu tố này theo phương nằm ngang được chọn bằng

5% giá trị của hàm số tương ứng. Vì vậy :

Biến động của áp suất theo phương nằm ngang mbP 300 , của

mật độ không khí 320 /10.4,0 mg , của nhiệt độ 0

0 14T .

Đối với hệ số trao đổi theo phương nằm ngang dựa trên quy luật

4/3 của Ô-bu-khôv:

3/43/12 .)( OOO LDCK

ở đây 0D là giá trị đặc trưng của năng lượng tiêu tán:

2230 /10.4,0 smD

C là hằng số tỷ lệ, nó biến thiên từ 0,1 đến 10. Thay các giá trị tương ứng

của các quy mô vào biểu thức trên, tìm được :

2262 /10.75,8)( smK O (pt)

Đây là giá trị quy mô đặc trưng của hệ số trao đổi rối theo phương

nằm ngang đối với các quá trình quy mô hành tinh.

Để tìm quy mô của hệ số rối theo phương thẳng đứng, sử dụng giả

thiết: quy mô áp suất ma sát rối theo trục z tỷ lệ với các quy mô mật độ,

tốc độ gió theo phương ngang và thẳng đứng:

0000 ..)( WUZ (1.8.13)

Khi biết:

Zzzv

Kz

111 (1.8.14)

Vận tốc gió v biến đổi từ 0 ở mặt đất đế v tại biên trên của lớp

biên khí quyển. Trên lớp biên này tốc độ gió v hầu như không thay đổi

theo độ cao. Độ cao của lớp biên khí quyển thay đổi phụ thuộc vào vĩ độ,

nhiệt độ và các yếu tố khí tượng khác. Quy mô đặc trưng của độ cao nàyđược lấy là 1000 mét. )1000( 0 mH . Thay các giá trị quy mô tương ứng

vào (1.8.14) nhận được: 00

000

000

00 )1(

Huw

hH

uoK

Hay:

smsmmK

WhK

o

ooo

/10/10.10)(

)(

2231

1

Quy mô của tham số Coriolic 1410 sO , của gia tốc trọng

trường 20 /10 smg .

Sử dụng các quy mô đã chọn để đánh giá các thành phần trong các

phương trình (1.8.11) như đã trình bày ở trên và bỏ đi các thành phần nhỏ

trong phương trình nhận được hệ phương trình:

TRp

Cdt

dp

gdt

dT

a

gvv

a

v

az

v

z

gpz

p

vp

avv

a

g

t

v

vp

av

a

g

t

v

p

a

z

..

0cot

sin

11

.cos.2sin

1cot

.cos.21cot 2

(1.8.15)

ở đây ký hiệu:

sina

vv

a

v

zv

tdt

dz


Qua đánh giá các thành phần của phương trình chuyển động,

phương trình nhập nhiệt, phương trình liên tục cho phép rút ra các kết

luận sau đối với các quá trình quy mô hành tinh:

1) Tất cả các quá trình quy mô hành tinh là các quá trình không

dừng: 0t

2) Biến đổi các thành phần tốc độ gió và hầu hết các đặc trưng

khác của trạng thái khí quyển theo phương nằm ngang và theo phương

thẳng đứng gần như nhau.

3) Đối với các quá trình quy mô hành tinh lực ma sát rối theo

phương thẳng đứng có bậc tương đương với bậc của thành phần bình lưu.

4) Trong các quá trình hoàn lưu quy mô hành tinh, điều kiện tựa

tĩnh thoả mãn với độ chính xác rất lớn.

5) Với độ chính xác đến các đại lượng nhỏ bậc thứ hai các quá

trình quy mô hành tinh thoả mãn điều kiện tựa địa chuyển.

6) Các thành phần trong phương trình nhập nhiệt và trong phương

trình liên tục có cùng bậc đại lượng nên không thể bỏ được thành phần

nào trong các phương trình này.

1.9 TÍNH ẢNH HƯỞNG CỦA HÌNH CHIẾU BẢN ĐỒ

Mặt trái đất chiếu lên mặt phẳng sẽ bị biến dạng. Sự biến dạng phụ

thuộc vào loại hình chiếu và nó cần tính đến trong các mô hình dự báo số

trị.

1.9.1 Các dạng hình chiếu của bản đồ dùng trong khí tượng

Bản đồ của sử dụng hiện nay là ánh xạ mặt đất lên mặt phẳng. Phụ

thuộc vào cách ánh xạ mà ta có các dạng hình chiếu bản đồ khác nhau.

Các bản đồ đều làm biến dạng khoảng cách. Trong tính toán có thể hiệu

chỉnh được sự biến dạng này bằng cách đưa thừa số tỷ lệ. Thừa số tỷ lệ

m được xác định bằng tỷ số giữa độ dài trên bản đồ địa lý và độ dài thực

Sd trên mặt đất.

Sd

dm

(1.9.1)

Theo (1.9.1) m phụ thuộc vào vị trí của điểm đang xét và hướng

của đoạn thẳng d . Đối với các bản đồ hình chiếu có góc bằng nhau thì

m không phụ thuộc vào hướng. Trong khí tượng chỉ dùng loại bản đồ này

nên m xét ở đây không phụ thuộc vào hướng. Từ công thức (1.9.1) có:

mdd S /

nên đạo hàm theo các trục toạ độ trên thực tế liên hệ với đạo hàm trên

bản đồ theo công thức

m

S

(1.9.2)

Trong lý thuyết bản đồ còn có khái niệm về tỷ lệ bản đồ M (tỷ lệ thực) và tỷ lệ chung bản đồ cM . Tỷ lệ chung của bản đồ bằng tỷ số của

độ dài trên bản đồ và độ dài thực tế tại điểm có 1m . Trên bản đồ luôn

ghi tỷ lệ chung của bản đồ. Ta có mối quan hệ giữa các tỷ lệ trên như sau:

cmMM (1.9.3)

Hay

cMMm / (1.9.4)

Như vậy thừa số tỷ lệ m bằng tỷ số của tỷ lệ thực của bản đồ ở

điểm đang xét và tỷ lệ chung của bản đồ.

Trong khí tượng thường dùng ba loại bản đồ có góc bằng nhau đó

là: phép chiếu lập thể cực, phép chiếu hình nón thẳng và phép chiếu hình

trụ thẳng.

Phép chiếu lập thể cực: Mặt đất được chiếu từ cực lên mặt phẳng


chứa đường vi tuyến 1 . Để có bản đồ Bắc bán cầu thì chiếu từ Nam cực,

vĩ độ 1 nằm ở bắc bán cầu (hình1.4)

Hệ số tỷ lệ của loại bản đồ này phụ thuộc vào vĩ độ địa lý theo

công thức:

sin1

sin)( 1

m (1.9.5)

Phép chiếu hình nón có giá trị bằng nhau (phép chiếu Lambert).

Đây là phép chiếu từ tâm trái đất các điểm mặt đất lên hình nón đi qua hai

vĩ độ 2 và 3 sau đó mở hình nón ra. Tại hai vĩ độ 2 và 3 hệ số tỷ lệ

bằng 1. Đối với bản đồ có N02 30 và N0

3 60 hệ số tỷ lệ sẽ là

2

2)( tgka

m (1.9.6)

ở đây ak 793.1 là bán kính trái đất 7156.0 .

Phép chiếu hình trụ thẳng có góc bằng nhau. Đây là phép chiếu từ

tâm trái đất các điểm mặt đất lên mặt hình trụ tiếp xúc hoặc cắt trái đất tại hai vĩ độ K ở Bắc và Nam bán cầu, sau đó trải mặt phẳng trụ ra. Với

hình chiếu trụ có 05.22K thì hệ số tỷ lệ là:

cos

cos)( Km (1.9.7)

Mọi biến đổi liên quan đến các loại hình chiếu trục thẳng đứng

luôn theo phương thẳng đứng của điểm đang xét.

Hình 1.4 Phép chiếu lập thể cực

1.9.2 Biến đổi các phương trình thuỷ nhiệt lực cho các loại hình chiếu

lập thể

Tiến hành chuyển đổi hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực

trong hệ toạ độ ở trên mặt đất sang hệ toạ độ trên bản đồ. Hệ các phương

trình chuyển động và liên tục ở dạng véctơ có thể viết trong hệ toạ độ áp

suất như sau:

0

PV

VkP

VVV

t

V

SS

SSS

SSSS

(1.9.8)

Ở đây SV

là véc tơ gió trên mặt đất S gradien trên mặt đất. Các

biến và toán tử trên hình chiếu lập thể sẽ bỏ chỉ số S . Giữa các biến cà

các toán tử trên mặt đất và trên mặt hình chiếu lập thể có mối quan hệ

sau:


DmVmVD

VmVmVmV

SSS

SSSS

22

2,,

(1.9.9)

Tính thành phần thứ hai vế trái của (1.9.8)

mV

VVmm

mVmVVmm

mVVmVVm

mVVmVmVmmVmVV SSS

2

)(

)()(

22

22

23

2

(1.9.10)

Thay (1.9.9) và (1.9.10) vào (1.9.8) nhận được

02

2

PVm

VkP

VVVm

t

V

(1.9.11)

Viết các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển trong

hệ toạ độ trên bản độ:

p

a

CPg

RT

y

Tv

x

Tum

t

T

Py

uv

x

um

PR

PT

uyy

mvuv

y

vv

x

vum

t

v

vxx

mvuu

y

uv

x

uum

t

u

)(

2

2

2

2

2222

2222

(1.9.12)


Chương 2

PHÂN TÍCH QUY MÔ

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH QUY MÔ

Phân tích quy mô dựa trên lý thuyết đồng dạng. Phương pháp này

đưa ra các giá trị đặc trưng cho các biến độc lập và biến phụ thuộc của

các quá trình khác nhau. Các giá trị đặc trưng này là các quy mô của quá

trình ta nghiên cứu. Ký hiệu chúng là fL và L . Các quy mô này cần

chọn sao cho đạo hàm của hàm cần tìm f bất kỳ theo đối số bất kỳ

phải bằng tỷ số của các quy mô tương ứng.

L

LfO

f

(2.1.1)

Đối với đạo hàm bậc hai cùng phải thoả mãn

22

2

L

LfO

f

(2.1.2)

Chọn quy mô không gian theo phương ngang fL quy mô thời gian

tL , quy mô tốc độ vL cho từng quá trình. Quy mô không gian sL được

chọn gần bằng một phần tư độ dài sóng nhiễu động. Quy mô thời gian tL

cùng khoảng một phần tư chu kỳ dao động của quá trình.

Hình 2.1 Quy mô không gian – thời gian của một số hiện tượng khí quyển

Quy mô tốc độ ngang liên hệ với quy mô không gian và thời gian

bằng hệ thức:


t

sv

L

LL (2.1.3)

Các quy mô ngang và quy mô thời gian được chọn cho các quá

trình xảy ra trong khí quyển được dẫn ra trong hình (2.1)

2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG

Xét chuyển động của lớp nước đồng nhất có mật độ const

trong hệ toạ độ Đề-các. Trong trường hợp này gradient ngang của áp suất

phụ thuộc vào độ cao còn trường vận tốc không phụ thuộc vào độ cao. Hệ

phương trình nước nông gồm phương trình chuyển động và phương trình

liên tục:

vx

hg

y

uv

x

uu

t

u

(2.2.1)

uy

hg

y

vv

x

vu

t

v

(2.2.2)

0

z

w

y

v

x

u(2.2.3)

Tích phân phương trình (2.2.3) từ 0 đến h với điều kiện biên

00

zw ta được:

0

hWh

y

v

x

u(2.2.4)

Mặt chất lỏng là mặt tự do, tốc độ thẳng đứng của nó được xác

định:

y

hv

x

hu

t

h

dt

dhWh

(2.2.5)

Kết hợp (2.2.4) và (2.2.5) tìm được

0

y

v

x

uh

y

hv

x

hu

t

h(2.2.6)

Sử dụng địa thế vị của mặt tự do gh , viết hệ phương trình trên

về dạng:

0

0

VVt

VkVVt

V

(2.2.7)

Ta tiến hành phân tích quy mô của (2.2.7) theo công thức (2.1.1)

VVV

VS

V

t

V

LLRLR

LL

L

L

L

VkVVt

V

00

2

0

(2.2.8)

ở đây SV LLR /0 là số Rossby. Đối với quá trình synốp ở vĩ độ trung

bình các quy mô đặc trưng 1410 s , mLS610 , 110 msLV số

1,00 R . Số Rossby nhỏ đối với nhiễu động trong khí quyển và đại

dương.

Từ (2.2.8) khi 0R nhỏ thì thành phần lực Gradien khí áp phải có

bậc cân bằng với lực Coriolis, tức là:

V (2.2.9)

Trường địa thế vị được phân thành tổng của giá trị trung bình và nhiễu động

(2.2.10)


Với là hằng số. Thay (2.2.10) vào (2.2.9) nhận được V .

Từ đây tìm được quy mô của .

SV LLL (2.2.11)

Thay (2.2.10) vào phương trình liên tục (2.2.7) được

S

v

S

v

S

vvvv

L

L

L

LFR

L

LLLL

VVVt

0

222

0

(2.2.12)

Ở đây

R

vS

L

LLF

22là số Froude. Số Froude bằng tỷ số của

quy mô ngang SL và bán kính biến dạng Rossby lLR / .

Từ (2.2.12), nếu 1F thì phương trình liên tục có thể sử dụng ở

dạng:

0V

(2.2.13)

Từ phân tích quy mô ở trên cho thấy nếu sử dụng (2.2.8) và

(2.2.12) để dự báo thì sai số nhỏ trong trường gió và trường độ cao ban

đầu sẽ dẫn đến sai số lớn của xu thế khí áp. Khi bỏ qua thành phần chứa

0R trong các phương trình này nhận được chuyển động địa chuyển.

Chuyển động của khí quyển được tách thành hai thành phần là

thành phần quay và thành phần phân kỳ.

kV

kV

VVV

(2.2.14)

Ở đây là hàm dòng, là hàm thế. Xoáy và Divegiăng liên hệ

với hàm dòng và hàm thế bằng công thức

2

2D (2.2.15)

Quy mô của các thành phần tốc độ:

1,1

,

ZLL

L

Z SS

V (2.2.16)

Ở đây 1R là một số nhỏ không thứ nguyên. Thay (2.2.14) vào

(2.2.12) và đánh giá các thành phần của phương trình:

S

V

S

V

S

V

S

V

L

LR

L

LFRR

L

LFRR

L

LFR

VVVVt

101010

0

(2.2.17)

Thay (2.2.14) vào phương trình xoáy và phương trình Divegiăng,

tiến hành đánh giá các thành phần nhận được:

2

2

12

2

0

12

2

12

2

0

S

VV

S

V

S

V

L

LR

L

L

R

R

L

LR

L

L

DDVVt

(2.2.18)


Từ (2.2.18) để thành phần phân kỳ có thể bỏ đi thì 01 RR

2

2

02

2

02

221

2

2

2

12

2

12

2

2

2

1

11

0)(

)()()(

S

V

S

V

S

V

S

VV

S

V

S

V

L

L

RL

L

RL

LR

VV

L

LR

L

LR

L

L

L

LR

VVVVVVt

D

(2.2.20)

Mặt khác vìS

VD

S

V

L

LRL

L

LL 1, nên ta tìm được

DR1 (2.2.20)

Đánh giá các thành phần trong phương trình (2.2.17) (2.2.18) và(2.2.19) trong trường hợp 1,1 0 RF . Trong trường hợp này 01 RR ,

có thể nhận được hệ phương trình:

0

DV

t

(2.2.21)

0

DV

t (2.2.22)

02 (2.2.23)

Phương trình (2.2.23) là biểu thức xoáy địa chuyển. Các phương

trình (2.2.21)- (2.2.23) được gọi là các phương trình tựa địa chuyển. Ở

đây sử dụng thuật ngữ “tựa” vì xoáy và bình lưu là địa chuyển còn

Divegiăng thì không thay bằng Divegiăng địa chuyển.

Đối với chuyển động quy mô xoáy thuận ( mL 610 , 1410 S ,1300 Sm ) thì giá trị F khoảng 0,1. Nếu 10 RF thì 2

01 RR ,

phương trình xoáy (2.2.18) sẽ có dạng:

0

V

t(2.2.24)

Đây là phương trình xoáy chính áp không có Divegiăng. Trong

trường hợp này không cần đến phương trình liên tục và phương trình

Divegiăng trở thành quan hệ địa chuyển. Các thành phần của (2.2.24) có

cùng bậc đại lượng nên phương trình có thể dùng để dự báo

2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÀ ÁP

Để thuận tiện ở đây sẽ sử dụng hệ phương trình trong hệ toạ độ có

trục thẳng đứng Z.

)/ln( 0ppZ (2.3.1)

với 0p là áp suất chuẩn ở mặt biển.

Từ phương trình trạng thái và phương trình tĩnh học có:

Zp

zpg

pRT

(2.3.2)

Tốc độ thẳng đứng trong hệ toạ độ này là Z .

pp

pZ

(2.3.3)

Phương trình chuyển động trong hệ toạ độ này có dạng

0

Vk

Z

VZVV

t

V

(2.3.4)

Phương trình nhập nhiệt


KQKZZ

ZZ

VZt

(2.3.5)

Ở đây pCRk / , Q là nhập nhiệt sau một đơn vị thời gian.

Phương trình liên tục sẽ là

0

Z

Z

ZV

(2.3.6)

Tiến hành phân tích quy mô tương tự như trong mục (2.2). Các

toán tử được xác định:

1,1

,

ZLL

L

Z SS

V (2.3.7)

Riêng đối với tham số Coriolis thì a/cos2 (với a là

bán kính trái đất). Theo phương trình liên tục tìm được quy mô tốc độ

S

VZ L

LRL 1 . Các quy mô khác được chọn như trong mục (2.2).

Từ phương trình (2.3.4) tìm được phương trình xoáy và phương

trình đivegiăng. Sử dụng các quy mô đã chọn, đánh giá được các thành

phần trong hai phương trình trên.

2

221

2

21

2

21

2

2

0

1

2

21

2

21

0

/2

2

0

/2

21

2

2

2

2

0

)/()/(

S

V

S

V

S

V

S

V

S

VVaLVaL

S

V

S

V

S

V

L

LR

L

LR

L

LR

L

L

R

R

t

VZk

t

VZkDD

L

LR

L

LR

R

a

L

L

R

a

L

LR

L

L

L

L

ZZVVVV

t

(2.3.8)

2

21

02

2

02

2

02

2

02

221

2

2

221

2

21

2

221

2

21

2

2

2

21

)/()/(11

)(

)()(

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

S

V

L

LR

R

a

L

L

R

a

L

L

RL

L

RL

LR

VkkZ

VZ

L

LR

L

LR

L

LR

Z

DZ

Z

VZVV

L

LR

L

L

L

LR

VVVVVVt

D

(2.3.9)

Các thành phần trong phương trình liên tục có cùng bậc

S

V

S

V

S

V

L

LR

L

LR

L

LR

ZZ

ZD

111

0

(2.3.10)

Phương trình nhập nhiệt được đánh giá:


2

0

212

122

)(

V

VVVV

LR

KQKZZ

Z

R

LRLRLL

zGZZ

VZ

VZt

(2.3.11)

Ở đây G là độ ổn định tĩnh học

Z

T

Hc

g

T

gHK

ZZG

p

12

Với gRTH / là độ cao khí quyển đồng nhất.

Trong công thức (2.3.11) tham số được xác định:

I

S

RRG

L20

21

(2.3.12)

Ở đây Richardson là tỷ số của độ ổn định tình học và bình phương

độ lệch của gió theo phương thẳng đứng.

2/ VI LGR (2.3.13)

2.4 PHÂN TÍCH QUY MÔ CÁC PHƯƠNG TRÌNH

2.4.1 Vĩ độ trung bình

Đối với các quá trình sinốp ở vĩ độ trung bình thì quy mô không

gian mLS610 . Khi đó các tham số sẽ xác định được với 1610 S

1,0

1,0

1,0/

1,00

a

aL

R

S

Với 1 các phương trình xoáy và phương trình nhập nhiệt đều

cho 01 RR

Một cách gần đúng ta thay 01 RR trong phương trình (2.3.8),

(2.3.9) và (2.3.11) bỏ qua các thành phần có bậc 0R và bậc nhỏ hơn 0R

nhận được:

0

DV

t

(2.4.1)

02 (2.4.2)

0

ZG

ZV

Zt

(2.4.3)

Trong phương trình xoáy các thành phần đã được bỏ qua là bình

lưu xoáy tuyệt đối của thành phần gió Divecgiăng, bình lưu thẳng đứng

của xoáy, thành phần Divecgiăng nhân với xoáy và thành phần xoắn.

Trong phương trình nhập nhiệt bỏ qua thành phần bình lưu nhiệt của

thành phần gió Divecgiăng, thành phần thăng giáng của độ ổn định.

2.4.2 Vĩ độ nhiệt đới

Đối với các nhiễu động quy mô synốp ở nhiệt đới, các tham số có giá trị khác với giá trị ở vĩ độ trung bình. Với 100iR tìm được


1

10

1,0

1,0

2

0

S

S

L

a

L

R

(2.4.4)

ở đây 1SL

ở nhiệt đới biến thiên từ 0 tại xích đạo đến giá trị

đặc trưng của tại khoảng cách SL .

Phương trình xoáy (2.3.8) đòi hỏi 101 RR trong khi đó phương

trình nhập nhiệt (2.3.11) lại buộc ,01 RR , vì thế giá trị của 1R

phải là:

1R (2.4.5)

Bỏ qua các thành phần có bậc 22 10/ SV LL và các thành phần có bậc

nhỏ hơn trong phương trình (2.3.8) sẽ nhận được phương trình xoáy cho

nhiệt đới

0

V

t(2.4.6)

Phương trình Divegiăng khi đó sẽ trở thành phương trình cân bằng

và có dạng

02 VkVV

(2.4.7)

Phương trình (2.4.7) thường được sử dụng để xây dựng các mô

hình tựa solenôit và tạo trường ban đầu trong các mô hình dựa trên hệ các

phương trình đầy đủ. Trong hệ phương trình này không chứa độ phân kỳ

nên không cần sử dụng đến phương trình nhập nhiệt. Trong trường hợp

dòng nhập nhiệt ở nhiệt đới quá lớn làm cho thành phần đốt nóng trong

(2.3.10) trở lên vượt giá trị 2VL . Khi đó (2.4.5) không đúng và trong

phương trình xoáy sẽ xuất hiện thành phần phân kỳ. Trong trường hợp

này thì sự nóng lên và thành phần chuyển động thẳng đứng trong phương

trình nhập nhiệt được cân bằng.

2.5 QUY MÔ HÀNH TINH

Các phương trình chuyển động có quy mô lớn nhất - quy mô hành

tinh có các tham số đặc trưng sau:

1

100

01,0

1

0

a

R

a

L

(2.5.1)

Với các tham số này các thành phần lớn nhất trong phương trình

xoáy (2.3.8) không thể cân bằng, trừ khi

11 R (2.5.2)

Các quy mô này cũng được sử dụng để phân tích phương trình

nhập nhiệt. Giữ lại các thành phần chính, phương trình xoáy và phương

trìnhĐivegiăng có dạng:

0 DVV (2.5.3)

02 VVk

(2.5.4)

Hai phương trình trên sẽ thoả mãn khi sử dụng gió địa chuyển

kVVV

1(2.5.5)

Phương trình nhập nhiệt có tất cả các thành phần cùng bậc. Để dự

báo cho các chuyển động quy mô hành tinh, sử dụng hệ các phương trình

(2.3.10), (2.3.11) và gió địa chuyển (5.2.5). Theo số liệu quan trắc cho


thấy chuyển động quy mô hành tinh chủ yếu gây ra bởi hiệu ứng đốt

nóng, địa hình đồi núi và có thể là tương tác phi tuyến giữa các quá trình

quy mô nhỏ hơn.

2.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG

Qua đánh giá các thành phần của phương trình đối với các quá

trình quy mô synốp Charney (1962) đã đưa ra hệ cân bằng, trong đó các thành phần có bậc 0R trở lên được giữ lại trong các phương trình, hệ này

viết lại trong hệ toạ độ áp suất:

0

p

Vk

pVV

t

0

02

kp

ppp

VVpt

VkVV

0

pD

(2.6.1)

Mối quan hệ của hàm dòng và hàm thế với tốc độ, xoáy và

Divegiăng được biểu diễn:

.2

2

D

V

kV

(2.6.2)

Trong hệ trên, các thành phần đốt nóng và ma sát có thể bổ sung

vào nếu như chúng có bậc bằng hoặc lớn hơn các thành phần đã giữ lại.

Chú ý rằng, hệ cân bằng này có thể ứng dụng vào nhiều mục đích nghiên

cứu, song chủ yếu là bài toán ban đầu hoá các phương trình nguyên thuỷ

và giúp tìm hiểu các quá trình động lực chính trong khí quyển chứ không

phải tất cả các bài toán thực tế đều dựa trên hệ này.


Chương 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THỦY NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC

3.1 PHƯƠNG PHÁP LƯỚI

Các trường khí tượng thủy văn là một hàm liên tục trong không

gian và thời gian. Việc xác định và tính toán các trường này chỉ có thể

tiến hành trên số điểm hữu hạn, rời rạc trong miền xác định của bài toán

đặt ra. Người ta thường đánh số các điểm trong miền xác định của nó

bằng các chỉ số i theo trục Ox, j theo trục Oy, k theo trục Oz (hoặc theo

áp suất) và s theo thời gian. Các chỉ số trên xác định bằng công thức:

t

ts

z

zk

y

yj

x

xi

,,, (3.1.1)

Ở đây zyx ,, và t là bước tính theo không gian và thời gian

tương ứng. Tập hợp tất cả các điểm trên trong miền không gian, thời gian

gọi là lưới không thời gian và thời gian, các điểm lưới gọi là các nút lưới.

Trường khí tượng f(x,y,z,t) được cho tại các điểm lưới của miền

tính. Giá trị của hàm số tại các điểm nút được ký hiệu là Sijkf . Như vậy

một trường sẽ là tập hợp một số giá trị hữu hạn Sijkf . Việc tính toán với

một trường khí tượng sẽ phải tính với các giá trị của chúng ở tại các điểm

rời rạc trong không gian và thời gian.

Sử dụng phương pháp lưới để xác định các toán tử thì giá trị của nó

tìm được phụ thuộc vào phương pháp gần đúng toán tử trên, tập hợp giá

trị hàm tại các nút lưới.

3.2 GẦN ĐÚNG CÁC ĐẠO HÀM BẰNG SAI PHÂN HỮU HẠN

Các đạo hàm bậc nhất trong các phương trình thủy nhiệt động lực

được gần đúng bằng các sai phân hữu hạn tiến hoặc lùi và trung tâm. Ta

xét hàm f(r) với r là một trong các biến độc lập (t,x,y,z hoặc p) gọi q là

một trong chỉ số (i,j,k,s) như đã định nghĩa ở trên.

Khi đó. đạo hàm bậc nhất tại điểm q được gần đúng bằng các sơ

đồ:~

Sai phân tiến qqq

ffrr

f

1

1~

Sai phân lùi 1

1~

qq

q

ffrr

f

Sai phân trung tâm 112

1~

qq

q

ffrr

f(3.2.1)

Trong truờng hợp đạo hàm thời gian thì sử dụng ký hiệu hàm f có

hai chỉ số sqf .

Công thức (3.2.1) là công thức gần đúng. Mỗi công thức trong đó

xác định đạo hàm với sai số riêng . Để xác định sai số, phân tích hàm)( rrf vào chuỗi Taylor:

!3

)(

!2

)()()(

3

3

32

2

2 r

r

fr

r

fr

r

frfrrf

rrr

(3.2.2)

Như vậy sai số của từng công thức trong (3.2.1) sẽ là:

...!2

12

2

1

r

r

f

r

fff

rqq

qq

...!2

12

2

1

r

r

f

r

fff

rqq

qq


...!3

)(

2

1 2

3

3

11

r

r

f

r

fff

rqq

qq

Như vậy khi giảm )( r sai số sẽ giảm. Thành phần vế phải của

biểu thức trên là thành phần chính của chuỗi. Bậc của xác định bởi bậc

của r trong thành phần chính và được gọi là bậc chính xác gần đúng sai

phân hữu hạn của đạo hàm. Như vậy, sai phân tiến và lùi đạo hàm bậc

nhất có độ chính xác bậc một còn sai phân trung tâm có độ chính xác bậc

hai. Ta thấy sai phân trung tâm có độ chính xác cao hơn sai phân tiến và

lùi. Khi 0r thì 0 tức là gần đúng sai phân hữu hạn tiến đến giá

trị đạo hàm. Gần đúng đạo hàm bằng sai phân hữu hạn có tính chất này

gọi là gần đúng hòa hợp. Như vậy các gần đúng hòa hợp phải có độ chính

xác bậc nhất trở lên.

Đối với đạo hàm bậc hai. có thể gần đúng nó theo công thức:

qqr

f

rr

f

2

2

Sử dụng công thức (3.2.1):

2/12/1

1

qqqr

f

r

f

rr

f

r

.1

1

12/1

12/1

qqq

qqq

fqrr

f

fqrr

f

Từ đây tìm được:

1122

2

21

qqq

q

fffrr

f(3.2.3)

Phân tích hàm f(r) tại điểm )( rr và )( rr vào chuỗi Taylor

rồi lấy (3.2.3) trừ đi nó tìm được độ chính xác của công thức (3.2.3) là

bậc hai.

Sử dụng công thức (3.2.3) tìm được biểu thức sai phân hữu hạn của

toán tử Laplas hai chiều:

ijjijijiji

ij

ij

fffffr

y

f

x

ff

4)(

11,1,,1,12

2

2

2

22

(3.2.4)

Ở đây yxr . Toán tử Laplas gần đúng bằng (3.2.4) có độ

chính xác bậc hai với x và y ; 22 )(,)( yxO .

Sử dụng khi triển Taylor (3.2.2) với các đạo hàm bậc cao hơn tìm

được:

)(12180

46

2

4

8

22

426

6

22

44

4

2

2

2

22

11111111

hyx

ff

h

yx

ff

h

y

f

x

fh

fffff ijjijijiji

)(180

12

4

8

6

6

6

66

4

4

4

44

2

2

2

22

1111

hy

f

x

fh

y

f

x

fh

y

f

x

fh

fffff ijjiijjiij

Từ đây tìm được toán tử Laplas bậc hai trên mẫu lưới chín điểm:


)(2

46

1

211111111

11112

2

hfffff

ffffh

f

ijjijijiji

jijijiji

Độ chính xác của gần đúng sai phân hữu hạn không chỉ phụ thuộc )( r mà còn phụ thuộc vào hàm )(rf . Các quá trình trong khí quyển là

các quá trình sóng nên sai số ở đây phụ thuộc vào bước lưới và độ dàisóng L của hàm )(rf . Lấy một thí dụ đơn giản với hàm )(rf có dạng:

mrArf sin.)(

Ở đây A là biên độ, Lm /2 là số sóng. Xấp xỉ đạo hàm bậc

nhất bằng sai phân trung tâm:

rconsmrmr

A

rqmrqmr

A

r

ff

r

f qqa

q

.sin2

).1(sin).1(sin2

2

1

(3.2.5)

Đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) tại điểm q, có thể tìm được:

)cos()(cos rmqAmmrAmr

fq

q

(3.2.6)

Sai số khi đó sẽ là:

L

r

L

r

rm

rm

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

a

q

a

q

q

a

qq

2

2sin

1

.

)sin(11

Như vậy phụ thuộc vào độ dài sóng L và r . Cho L các giá trị

khác nhau sẽ tìm được :

0,12

36,04

1,6

rL

rL

rL

Từ kết quả đánh giá cho thấy, sóng càng ngắn sai số tương đối gần

đúng càng lớn. Với những sóng có độ dài hai bước lưới thì không thể gần

đúng đạo hàm bằng sơ đồ sai phân hữu hạn. Như vậy để gần đúng các

đạo hàm và các phương trình bằng các sai phân hữu hạn bước lưới cần

chọn sao cho có thể mô tả được tốt nhất các sóng có biên độ lớn. Để có

thể mô tả được các sóng ngắn phải giảm bước lưới, như vậy sẽ làm tăng

số điểm lưới và tăng khối lượng tính toán. Mặt khác hiện nay số lượng

đài trạm của Việt Nam chưa đủ dày để có thể tạo được trường ban đầu

với đầy đủ các sóng ngắn. Vì vậy vấn đề giảm bước lưới xuống dưới giới

hạn cho phép cũng không phải là mục tiêu hiện nay.

Độ chính xác của các gần đúng sai phân hữu hạn còn phụ thuộc

vào số điểm tham gia vào công thức . Điều này thấy rõ qua thí dụ dưới

đây.

Giả sử cần xây dựng công thức gần đúng sai phân hữu hạn của đạo hàm bậc nhất hàm số )(rf . Phân tích hàm )( rrf và )( rrf vào

chuỗi Taylor tại điểm r. Khi đó tìm được:

...24

)(

6

)(

2

4

5

52

3

311

r

r

fr

r

f

r

f

r

ff

qqq

qq(3.2.7)

Đạo hàm bậc ba của hàm f(r) tính bằng sai phân trung tâm:

1

2

2

1

2

2

3

3

2

1

qqqr

f

r

f

rr

f

Các đạo hàm bậc hai ở đây được tính theo công thức (3.2.3)


212

1

2

2

122

1

2

2

2)(

1

2)(

1

qqq

q

qqq

q

fffrr

f

fffrr

f

Thay các công thức trên vào (3.2.7) tìm được:

2211

112211

6

12

2

1

2212

11

qqqq

qqqqqq

a

q

ffffr

ffffr

ffrr

f

(3.2.8)

Công thức (3.2.8) có độ chính xác bậc bốn. Vì bỏ đi thành phần thứ

3 trong vế phải của (3.2.7) là thành phần chứa 4)( r . Trong công thức

(3.2.8) số điểm tham gia tính toán là 4 điểm: q+1, q-1, q+2, q-2.

Nếu trong (3.2.8)thay )sin()( rmqArf thì tìm được:

rmrmr

rmA

r

fa

q

coscos1

3

11

sin

Như vậy sai số tương đối sẽ là:

rm

r

rmAcos1

3

11

sin1

Thay Lm /2 và cho L các giá trị như ở trên tìm được .

Với:

15.04

03.06

rL

rL

Như vậy công thức (3.2.8) sử dụng 4 điểm cho độ chính xác cao

hơn công thức (3.2.5) sử dụng 2 điểm.

Sai số tính toán các đạo hàm bằng sai phân hữu hạn còn phụ thuộc

vào sai số của số liệu khí tượng tham gia vào tính toán. Nếu hàm f xácđịnh được tại các điểm q+1 và q-1 chứa sai số tuyệt đối là 1qf và 1qf

thì sai số tuyệt đối của gần đúng đạo hàm bậc nhất bằng sai phân trung

tâm sẽ là:

1111

2

1

2

qq

qq

q

ffrr

ff

r

f

Nếu ffff qqq 11 thì sai số này bằng rf / .

Tương tự, có thể đánh giá được sai số của các đạo hàm bậc cao hơn

do sai số đo đạc hoặc sai số xác định các đại lượng trong công thức sai

phân hữu hạn.

Tích phân số trị các phương trình thủy nhiệt động lực luôn mắc các

sai số do sai phân hữu hạn các đạo hàm theo không gian và theo thời gian

song sai số do sai phân hữu hạn các đạo hàm theo không gian chiếm

khoảng 40% tổng sai số trong khi đó theo thời gain chỉ chiếm khoảng

1%. Vì vậy, cần nghiên cứu kỹ và quan tâm trước hết là cách tính các đạo

hàm theo không gian trong các phương trình khi xây dựng mô hình dự

báo.

3.3 KHÁI NIỆM VỀ HÒA HỢP, ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN

HỮU HẠN

Giả sử cần giải bài toán

Lf (3.3.1)

Ở đây L là toán tử vi phân đạo hàm riêng hoặc đạo hàm thường, f là hàm cần tìm, là hàm cho trước.

Nghiệm của phương trình (3.3.1) tìm trong miền D. Biên của miền

xác định là G. Miền xác định trong bài toán một chiều là đường thẳng và

hai điểm biên, trong bài toán hai chiều là mặt phẳng và đường biên kín,

trong bài toán ba chiều là không gian giới hạn bằng các mặt biên. Nghiệm


của phương trình (3.3.1) trong miền D tồn tại khi nó thỏa mãn điều kiện

ban đầu và điều kiên biên. Nghiệm của bài toán nhận được bằng cách giải

phương trình ở dạng sai phân hữu hạn gọi là nghiệm số trị Sqf . Hiệu giữa

nghiệm số trị và nghiệm đúng f(r,t) của phương trình là sai số của lời giải

số trị ),( trff Sq . Vì hàm f(r,t) không biết nên sai số này không xác định

được. Tuy vậy có thể đánh giá được độ chính xác sơ đồ sai phân hữu hạn

của bài toán (3.3.1).

Sai phân hữu hạn phương trình (3.3.1) trên lưới tính có trục là s và

q:

h

r

r

rq

tt

t

tts

00

Phương trình sai phân hữu hạn của (3.3.1) có dạng

Sq

Sqh fL (3.3.2)

Điều kiện ban đầu và điều kiện biên:

Sq

G

Sq

qq

gf

fs

00(3.3.3)

Hàm f lân cận điểm ),.( tSrq trong (3.3.2) được khai triển

thành chuỗi Taylor rồi lấy kết quả trừ đi phương trình (3.3.1) sẽ tìm được

sai số khi gần đúng phương trình (3.3.1) bằng (3.3.2). Bậc chính xác của

gần đúng trên là:

),( trO

Khi r và t tiến tới không mà này cũng tiến đến không thì

phương trình sai phân hữu hạn (3.3.2) tiến đến phương trình vi phân

(3.3.1). Điều kiện này thỏa mãn thì biểu diễn phương trình vi phân (3.3.1)

bằng (3.3.2) là hòa hợp. Minh họa điều này bằng bài toán dưới đây.

Giả sử phải tìm nghiệm của bài toán:

x

fC

t

f(3.3.4)

với C > 0, thỏa mãn điều kiện biên:

0

Gt

f(3.3.5)

Sai phân hữu hạn phương trình (3.3.4) có dạng

Sq

sq

sq

sq

sq

h

ffC

ff

11

(3.3.6)

với q=1,2,..,Q-1 và s=1,2,...S.

Trên biên G, điều kiện (3.3.5) sẽ là

0

1

sq

sq ff

(3.3.7)

Khai triển các hàm ),( trf và ),( thrf vào chuỗi Taylor:

...!3!2

),(),(

...!3!2

),(),,(

3

3

32

2

2

3

3

32

2

2

h

t

fh

t

fh

t

ftrfthrf

t

f

t

f

t

ftrftrf

Thay các biểu thức này vào (3.3.6) và lấy kết quả trừ đi (3.3.4) tìm

được sai số:

...

6

1

2

1...

6

1

2

1 2

3

3

2

22

3

3

2

2

hr

fh

r

fC

t

f

t

f (3.3.8)

Các thành phần chính của chứa và h bậc 1 nên khi và h

0 thì 0. Sai phân (3.3.6) và (3.3.7) là hòa hợp.

Sơ đồ sai phân hữu hạn (3.3.2) gần đúng phương trình (3.3.1) gọi

là ổn định nếu thỏa mãn điều kiện:


hhhh

sq

G

sqq

F

sq CgCCf

32

01

Ở đây 321 ,, CCC là các hằng số hhhF ,, là không gian hữu hạn

chiếu của các hàm lưới; là chuẩn (cực đại của modul).

Các hàm sq

sqq g ,,0 hữu hạn suy ra nghiệm tìm được hữu hạn với

mọi giá trị của s. Ổn định ở đây có nghĩa là khi s tăng nghiệm hạn chế với mọi g, và đã cho. Như đã nêu ở trên, sai số của lời giải số trị là

),( trff sq . Sai số này tiến đến không ở bước thời gian xác định nào đó

khi 0),( tr thì nghiệm số trị và sơ đồ sai phân để tìm nghiệm được

gọi là hội tụ. Điều kiện hội tụ nghiệm là:

0).,( rsrqff sq khi h và 0

Nghiệm hội tụ nếu chuẩn của sai số tiến đến 0 khi bước thời gian

và không gian tiến đến 0.

3.4 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN

Để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn thì việc đầu tiên là phải chọn

lưới không gian và thời gian. Trong các mô hình chính áp, bài toán dự

báo hai chiều lưới được chọn là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình tam

giác. Thường thì hình vuông được chọn nhiều hơn cả. Trong các mô hình

tà áp, bài toán dự báo ba chiều lưới là lưới không gian với các mẫu là

khối hộp hình chữ nhật hoặc khối lập phương. Các điểm lưới nằm trên

biên của miền dự báo là các điểm biên. Các điểm còn lại là các điểm bên

trong. Trong trường hợp biên miền dự báo không trùng với các điểm lưới

thì các điểm đường biên cắt các đường lưới sẽ tạo ra các điểm phụ. Tại

các điểm phụ này ta đặt điều kiện biên. Trong nhiều trường hợp, người ta

thay đường biên cong bằng đường biên gấp khúc gồm các điểm lưới gần

biên nhất. Các điểm lưới có thể tiến hành sai phân hữu hạn mà không có

điểm ra ngoài biên của miền lưới được gọi là các điểm điều hòa. Các

điểm không điều hòa là các điểm biên và các điểm bên trong nhưng khi

tiến hành sai phân hữu hạn có điểm lưới ra ngoài biên.

Sau khi xác định được lưới không gian, xây dựng các sơ đồ sai

phân hữu hạn. Phương pháp thông thường nhất là thay trực tiếp các đạo

hàm bằng các sai phân hữư hạn. Trên thực tế người ta sử dụng các

phương pháp khác như phương pháp hệ số không xác định, phương pháp

tích phân - nội suy.

Xét phương pháp hệ số không xác định qua thí dụ xây dựng sơ đồ

sai phân với phương trình khuếch tán:

2

2

r

f

t

f

(3.4.1)

ở đây là hệ số khuếch tán và được coi là hằng số.

Chọn lưới tính với bước thời gian t và bước không gian

hr tương ứng với chỉ số là s và q. Tiến hành sai phân hữu hạn

phương trình (3.4.1) sẽ được:

011

111

s

qs

qs

qsq ffff (3.4.2)

Các hệ số ,, và là các hệ số không xác định. Chúng sẽ

được xác định để cho sơ đồ sai phân hữu hạn (3.4.2) có bậc chính xác cao

nhất có thể theo h và .

Sử dụng công thức phân tích hàm vào chuỗi Taylor:

...!2!4

!3!2),(),(

22

2

24

4

4

3

3

32

2

2

htr

f

t

f

t

fh

r

f

h

r

fh

r

fh

r

ftrfrthrf

ta có:


..2!2

...2

...2!2

2

2

22

2

211

2

2

21

2

2

22

2

211

t

f

t

fh

r

fh

r

fff

t

f

t

fff

t

f

t

fh

r

fh

r

fff

sq

sq

sq

sq

sq

sq

Thay các biểu thức trên vào (3.4.2) và lấy kết quả trừ đi (3.4.1) tìm

đước sai số của sơ đồ sai phân (3.4.2) gần đúng phương trình vi phân

(3.4.1).

)()(

)()(2

)()(

)()(

3

2

2

22

2

2

hO

Or

fh

r

fh

r

ff

r

f

t

f

(3.4.3)

Để tìm được bậc gần đúng của phương trình (3.4.2) thì các hệ số

của các thành phần trong phương trình (3.4.3) phải triệt tiêu, tức là

0)(

0)(

0)(

(3.4.4)

Giải hệ phương trình đại số (3.4.4) tìm được:

1

12

2

h

h

Thay các hệ số này vào (3.4.2) được:

111

112

1 21

sq

sq

sq

sq

sq fff

hff

Đây là sơ đồ sai phân hữu hạn ẩn gần đúng phương trình (3.4.1)

với độ chính xác bậc hai theo không gian và bậc nhất theo thời gian.

Phương pháp gần đúng sai phân hữu hạn và phương pháp hệ số không

xác định áp dụng cho các phương trình vi phân có hệ số và nghiệm liên

tục, khả vi. Trường hợp phương trình vi phân không sử dụng được

phương pháp trên thì sử dụng phương pháp tích phân nội suy. Nội dung

của phương pháp này được trình bày qua thí dụ xây dựng sơ đồ sai phân

hữu hạn đối với phương trình bình lưu:

0

r

fC

t

f(3.4.5)

với C = const.

Tương tự như trên, sử dụng mẫu lưới hình 3.1 để xác định hàm1, S

qS

q ff .

Tích phân phương trình (3.4.5) theo ô lưới giới hạn bằng các điểm 1q và s, s+1.

02

)()(

2/11

2/11

1

1111

1

11 1

1

sq

sq

sq

sq

r

r

t

tqq

sst

t

r

r

ffChff

dffCdrffdtdrr

fC

t

f q

q

s

s

s

s

q

q


022

1 2/11

2/11

1

sq

sq

sq

sq ff

h

Cff

Đây là sơ đồ sai phân trung tâm hiện.


Hình 3.1 Mẫu lưới thời gian s, không gian q

Nếu ô lưới được thay bằng miền gồm các điểm ở các mực q-1,

q+1, s-1, s+1 thì nhận được sơ đồ sai phân hữu hạn trung tâm ẩn:

022

1 11

11

11

sq

sq

sq

sq ff

h

Cff

Trong trường hợp bài toán bình lưu ba chiều không tuyến tính

phương trình có dạng:

0

z

fw

y

fv

x

fu

t

f(3.4.6)

Chất lỏng thỏa mãn phương trình liên tục trong miền không gian 3

chiều D:

0

z

w

y

v

x

u

t

(3.4.7)

Trên biên G miền D không có sự trao đổi không khí với môi

trường bên ngoài:

0GGG

wvu (3.4.8)

Ta xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn cho bài toán (3.4.6) - (3.4.8)

bằng phương pháp tích phân - nội suy trong miền D. Các điểm lưới có chỉ số zzkyyjxxi /,/,/ và tts / . Ta chọn các zyx ,, và

t sao cho các điểm biên của miền D đều trùng với điểm lưới.

Phương trình (3.4.6) kết hợp với (3.4.7 viết về dạng:

0)()()()(

z

fw

y

fv

x

fu

t

f (3.4.9)

Mẫu lưới để tính được giới hạn bởi 4 điểm có chỉ số:

1: 1,,,, sskji

2: skji ,,,1

3: skji ,,1,

4: skji ,,,

Trong không gian đây là khối hộp chữ nhật có trọng tâm là điểm (i,j,k) các cạnh là yx 2,2 và z2 .

Tích phân (3.4.9) theo các biến trong toàn mẫu lưới được:

1 !

1

1

1

1

1

0)()()()(S

S

k

k

j

j

i

i

t

t

z

z

y

y

x

xdxdydzdt

z

fw

y

fv

x

fu

t

f

Lấy tích phân theo thời gian, sử dụng công thức Ostrograski –

Gauss, được:

q-1

q+1

r

q

s-1 s s+1t


2/1

11

11111

2

22

S

ijkijk

kijkijjkijkiS

ijk

S

ijk

z

fwvwf

y

fvvf

x

ufuftff

(3.4.10)


dxdydzffk

k

j

j

i

i

z

z

y

y

x

x

ijk

1

1

1

1

1

1

dxdyfufuk

k

j

j

z

z

y

y

ix

ixjki

1

1

1

1

)( 1

1

dxdzfvfvk

k

i

i

j

j

z

z

x

x

y

ykij

1

1

1

1

1

1

)(

dxdyfwfw

j

j

i

i

k

k

y

y

x

x

x

xijk

1

1

1

1

1

1

)(1

Phương trình sai phân hữu hạn (3.4.10) gần đúng (3.4.6) với độ

chính xác bậc hai 2222 )(,)(,)(,)(0 zyxt và thỏa mãn phương trình

liên tục.

Lấy tổng hai vế của (3.4.10) và tính đến điều kiện biên (3.4.8)

được:

ijk

s

ijk

ijk

s

ijk ff 1

(3.4.11)

Từ (3.4.11), ijk

ijkf bảo toàn theo thời gian, tức là:

ijk ijkt

f0

Sơ đồ (3.4.10) bảo toàn đại lượng f trong miền D

3.5 TOÁN TỬ JACOBIAN

Arakawa (1966) đã nghiên cứu thiết lập những tương tự sai phân

hữu hạn Jacobian và đưa ra ba dạng sau đây:

xyyx

J

, (3.5.1)

xyyxJ

, (3.5.2)

yxxyJ

, (3.5.3)

Dạng đầu tiên gọi là dạng bình lưu, còn hai dạng cuối là hai dạng

thông lượng của Jacobian.

Dạng sai phân của (3.5.1), (3.5.2) và (3.5.3) cho rằng:

jijijiji

jijijijih

JJ

,1,11,1,

1,1,,1,121

.

.4

1

(3.5.4)

1,11,1,11,11,1,1

1,11,1,11,11,1,1224

1

jijijijijiji

jijijijijijih

JJ

(3.5.5)

1,11,1,11,11,11,

1,11,1,11,11,1,1234

1

jijijijijiji

jijijijijijih

JJ

(3.5.6)


Hình 3.2 Mẫu lưới 9 điểm

Arakawa đã lập tương tự sai phân hữu hạn tổng quát cho toán tử

Jacobien bằng biểu thức:

JJ= 0 JJ1 + 0 JJ2 + 0 JJ3 (3.5.7)

ở đây 0 , 0 và 0 là các trọng số, thoả mãn điều kiện:

0 + 0 + 0 = 1Jacobien dang (3.5.7) được gọi là Jacobien Arakawa và được ký

hiệu là JA=(A,B)A.

Arakawa đã tìm được:

0 = 0 = 0 =3

1

Đối với lưới 9 điểm (hình 3.2) toán tử Jacobien Arakawa có dạng:

)()()(

)()()(

)()(

))(())(()(12

1B)A(A,

763892785

694785694

763892

543232542

BBABBABBA

BBAAABAAB

AABAAB

BBAABBAAS

(3.5.8)

Jacobien Arakawa (3.5.8) thỏa mãn những đòi hỏi tích phân về

động năng toàn phần và xoáy bình phương trung bình. Để chứng minh

điều đó đem nhân JJ với hoặc và cộng với nhau trên một mẫu 9 điểm.

Khử bỏ hợp lý giữa các điểm cạnh nhau để cho các đại lượng này biến

mất trên toàn vùng.

Hình 3.3 Mẫu lưới 13 điểm

Jacobian Arakawa với độ chính xác bậc bốn có thể nhận được bằng

một tổ hợp đầy đủ của những Jacobian bậc hai 5 điểm với mẫu 13 điểm

như trên hình 3.3. Nguyên tắc là tổ hợp sẽ cung cấp một phép khử chính

xác những số hạng bậc hai và bậc ba. Cấu trúc của Jacobian có độ chính

xác bậc bốn giống với cấu trúc của chính xác bậc hai.

3.6 SƠ ĐỒ TÍCH PHÂN THEO THỜI GIAN

Trong dự báo khí tượng thủy văn thường phải tích phân trị số các

phương trình vi phân theo thời gian. Dạng tổng quát của các phương trình

vi phân như sau:

ttrfFt

tr),,(

),(

(3.6.1)

Trong (3.6.1) f(r,t) là hàm cần tìm, F là hàm không chứa t

f

.

Tích phân (3.6.1) theo thời gian bằng phương pháp số trị từ thời điểm tst đến tstt )1( .

ts

tsdtFtrfttrf

)1(

.),(),,( (3.6.2)

Có thể chọn hàm ]),,([ ttrfF


t1).Stt¹i

tS.tt¹i

(1S

S

F

FF (3.6.3)

Nếu 1sF là hàm của ),( ttrf thì sơ đồ là sơ đồ ẩn, ngược lại

nó là sơ đồ hiện. Để tính toán thực tế người ta thường chọn F là tổ hợp

của SF và 1sF :

1 ss FFF (3.6.4)

Khi đó (3.6.2) viết về dạng

tFFtsrftsrf ss ).().,()1(, 1

hay để cho gọn viết chỉ số s và q:

tFFff sq

sq

sq

sq ).( 11 (3.6.5)

ở đây 0 .

Do cách chọn và nhận được các sơ đồ tích phân khác nhau.

Nếu 0,1 có sơ đồ Euler tiến

Nếu 1,0 có sơ đồ lùi

Nếu 2/1,2/1 có sơ đồ hình thang

Sơ đồ Euler tiến là sơ đồ hiện, hai mực, có độ chính xác bậc nhất

với t . Sơ đồ sai phân lùi là sơ đồ hai lớp, có độ chính xác bậc nhất với

t và là sơ đồ ẩn vì không tìm ngay được nghiệm ở một điểm và phải

giải một hệ phương trình đại số tuyến tính mới tìm được nghiệm. Sơ đồ

hình thang là sơ đồ hai lớp, bán ẩn, có độ chính xác bậc hai với t .

Để tích phân theo thời gian còn một số sơ đồ hai bước tính toán và

sử dụng hai hoặc ba mực thời gian. Xxét cụ thể từng sơ đồ:

- Sơ đồ Matsuno

Sơ đồ Matsuno là sơ đồ hai bước tính được tạo thành từ sơ đồ dự

báo và sơ đồ chỉnh lý. Sơ đồ dự báo giúp tính giá trị dự tính ban đầu còn

sơ đồ chỉnh lý làm chính xác giá trị ban đầu đã dự tính. Hai sơ đồ này gọi

là sơ đồ dự báo - chỉnh lý. Sơ đồ Matsuno được biểu diễn bằng công thức

sau:

tFff

tFff

sq

sq

sq

sq

sq

sq

.

.

(*)11

(*)1

(3.6.6)

ở đây (*)1SqF được tính với giá trị các trường f ở (*)1s . Sơ đồ

này có độ chính xác bậc nhất với t .

- Sơ đồ Khoin

Cấu trúc tương tự như sơ đồ Matsuno nhưng sơ đồ Khoin có độ

chính xác bậc hai theo t .

tFFff

tFff

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

.2

1

.

(*)1

(*)1

(3.6.7)

Có thể xây dựng các sơ đồ tính gồm nhiều bước chỉnh lý. Thí dụ sơ

đồ dưới đây là sơ đồ bước tính với hai sơ đồ chỉnh lý:

tFff

tFff

tFff

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

.

.

.

(**)1

(*)(**)1

(*)1

(3.6.8)

Sơ đồ này cùng có độ chính xác bậc nhất với t .

- Sơ đồ Lax Wendroff

Sơ đồ Lax Wendroff gồm hai bước tính. Bước thứ nhất tìm nghiệm

ở điểm trung gian của bước không gian và thời gian 2

1,

2

1 sq theo sơ

đồ sai phân hữu hạn sau đối với bài toán bình lưu một chiều (3.4.5).


2

.2

1

2.

2

1

11

2/12/1

11

2/12/1

t

r

ffCfff

t

r

ffCfff

sq

sqs

qs

qs

q

sq

sqs

qs

qs

q

(3.6.9)

Bước hai tìm nghiệm tại điểm q thời điểm s+1 bằng sơ đồ sai phân

trung tâm theo không gian

tr

ffCff

sq

sqs

qs

q

.

2/12/1

2/12/12/1 (3.6.10)

Sơ đồ (3.6.9) là sơ đồ hai mực thời gian và có độ chính xác bậc

nhất đối với t và bậc hai đối với r , còn sơ đồ (3.6.10) là sơ đồ ba

mực thời gian và chính xác bậc hai đối với t và r liền nhau.

- Sơ đồ Adams Bashforth

Đây là sơ đồ 3 mực thời gian có độ chính xác bậc hai theo t .

tffff sq

sq

sq

sq

.

2

1

2

3 11 (3.6.11)

- Sơ đồ "ngược dòng" và sơ đồ "xuôi dòng"

Trong các bài toán bình lưu đạo hàm theo không gian được gần

đúng có tính đến hướng của dòng chảy. Với bài toán (3.4.5) sơ đồ sai

phân hữu hạn được chọn là:

)13.6.3(

)12.6.3(

1

11

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

ffr

tCf

ffr

tCf

f

Nếu công thức (3.6.12) chọn khi C<0 và (3.6.13) chọn khi C>0 thì

sơ đồ trên là sơ đồ “ngược dòng” ngược lại nếu (3.6.12) chọn khi C>0 và

(3.6.13) chọn khi C<0 thì sơ đồ là sơ đồ “xuôi dòng”. Sơ đồ “ ngược

dòng” có nhiều ưu việt hơn so với sơ đồ “xuôi dòng” đối với hầu hết các

bài toán bình lưu do tính hợp lý về mặt vật lý của nó. Đây là các sơ đồ

hiện có độ chính xác bậc nhất với t và r .

Sơ đồ “ngược dòng” bậc nhất ẩn, có dạng

0Ckhi

0Ckhi

11

1

111

1

sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

ffr

tCf

ffr

tCf

f (3.6.14)

- Sơ đồ “tính toán chạy”

Sơ đồ "tính toán chạy" ẩn, có độ chính xác bậc nhất với r và bậc

hai với t cho bài toán bình lưu có dạng:

22

11

11

1s

qs

qs

qs

qsq

sq

ffff

r

tCff (3.6.15)

Sơ đồ này có thể viết về dạng thuận lợi cho việc tính toán hơn:

sq

sq

sq

sq ff

r

tC

r

tC

f

r

tC

r

tC

f 11

11

1

1

2

1

1

(3.6.16)

Theo (3.6.16) điều kiện biên của bài toán, ở biên bên trái đã cho

trước có thể tính được các giá trị của hàm f ở các điểm tiếp theo từ trái

qua phải. Sơ đồ này thường dùng cho các bài toán bình lưu 3 chiều trong

khí tượng thủy văn.

3.7 HỘI TỤ CỦA NGHIỆM SỐ

Đối với các sơ đồ sai phân hữu hạn hòa hợp thì khi giảm bước thời

gian và không gian, sai số gần đúng sai phân sẽ giảm. Điều này không có

nghĩa là sai số của nghiệm số ),( tsrqff sq sẽ giảm khi r và t

tiến đến 0. Sai số chỉ giảm đi khi sơ đồ sai phân hữu hạn hội tụ. Sơ đồ sai


phân hữu hạn được gọi là hội tụ nếu sai số của nghiệm số tìm được nhờ

sơ đồ này tiến đến 0 khi r và 0t ở một thời điểm cố định tS với

bất kỳ điệu kiện ban đầu nào. Nghiệm số tìm được theo một sơ đồ hội tụ

gọi là nghiệm số hội tụ. Sơ đồ hòa hợp không nhất thiết là sự hội tụ. Điều

kiện hội tụ nghiệm số còn phụ thuộc vào tiêu chuẩn ổn định của Courant -

Friedrichs - Levy (CFL) sẽ xét sau này. Sự hội tụ của nghiệm không chỉ

xác định bằng giá trị r và t mà bằng tỷ số giữa chúng rt / . Như

vậy cả độ ổn định và sự hòa hợp mới đảm bảo sự hội tụ của nghiệm số.

3.8 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN

Để xây dựng các mô hình dự báo khí tượng thủy văn, vấn đề ổn

định của sơ đồ sai phân hữu hạn phải xét đến đầu tiên. Đối với các bài

toán phi tuyến việc phân tích tính ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn là

khó. Chỉ có thể phân tích tính ổn định của các sơ đồ sai phân hữu hạn của

các bài toán tuyến tính. Đối với bài toán tuyến tính, sơ đồ sai phân hữu

hạn ổn định không có nghĩa bài toán phi tuyến tương ứng sơ đồ cũng ổn

định. Ngược lại, nếu sơ đồ sai phân hữu hạn đối với bài toán tuyến tính

đã không ổn định thì bài toán phi tuyến tương ứng sơ đồ sẽ không ổn

định.

Có nhiều phương pháp khác nhau để nghiên cứu tính ổn định của

sơ đồ sai phân hữu hạn cho bài toán tuyến tính. Ta xét bài toán bình lưu

một chiều:

0

x

fC

t

f(3.8.1)

Phương trình (3.8.1) được gần đúng bằng sơ đồ sai phân tiến theo

thời gian và ngược dòng theo không gian (đối với c>0):

01

1

r

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.8.2)

Ký hiệu r

tC

. , có thể viết (3.8.2) về dạng:

sq

sq

sq fff 1

1 )1( (3.8.3)

Phân tích tính ổn định của nghiệm (3.8.3) bằng các phương pháp

khác nhau.

- Phương pháp trực tiếp

Từ (3.8.3) nếu 0)1( tức là 0 có thể đánh giá được các

thành phần của (3.8.3)

sq

sq

sq fff 1

1 )1( (3.8.4)

Bất đẳng thức (3.8.4) đúng với tất cả các điểm q. Chọn điểm q mà1s

qf đạt giá trị cực đại. Các đại lượng sqf và s

qf 1 ở đây cùng được

thay bằng giá trị cực đại sqq fmax . Khi đó theo bất đẳng thức (3.8.4) có

thể viết được:

sqq

sqq ff maxmax 1 (3.8.5)

Bất đẳng thức (3.8.5) cho thấy sơ đồ sai phân hữu hạn (3.8.2) cho nghiệm hạn chế tức là nghiệm số hội tụ. Điều kiện ổn định ở đây là 1 ,

tức là:

1.

r

tC (3.8.6)

Điều kiện (3.8.6) là tiêu chuẩn ổn định Courant - Friedrchs - Levy

(CFL)

- Phương pháp năng lượng

Bình phương hai vế của (3.8.3) và lấy tổng theo q từ 0 đến N sẽ

được


q

sq

sq

sq

sq

q

sq fffff

2

12

1

221 )1(2)1( (3.8.7)

Nếu cho điều kiện biên tuần hoàn tức là Nff 0 thì

q

sq

q

sq ff

22

1

Mặt khác

q

sq

q q

sq

q

sq

sq

sq fffff

22

1

2

1 .

Nếu 0)1( từ (3.8.7) rút ra

q

sq

q

sq ff

22221 )1(2)1(

Biểu thức trong ngoặc vuông bằng 1 nên:

q

sq

q

sq ff

221 (3.8.8)

Bất đẳng thức (3.8.8) cho thấy nghiệm số và sơ đồ sai phân hữu

hạn (3.8.2) bị hạn chế tức là ổn định. Điều kiện đủ để ổn định ở đây là1 và điều kiện biên tuần hoàn. Đây là phương pháp năng lượng vì

bình phương của tốc độ gió và địa thế vị tỷ lệ với động năng và thế năng.

- Phương pháp Neiman

Phương pháp Neiman áp dụng để phân tích độ ổn định tính toán

của các sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình vi phân tuyến tính có

nghiệm giải tích.

Nghiệm đúng của phương trình bình lưu (3.8.1) đối với biến rời rạc

có dạng:

rimqssq eAf . (3.8.9)

Thay (3.8.9) vào (3.8.3) được

rqimsrimqsrimqs eAeAeA )1(1 .)1(

Từ đây

ssrims AAeA .).1(1 (3.8.10)

Ở đây rime 1 .

Từ (3.8.10) nghiệm ổn định nếu 1 và giá trị tuyệt đối của

là:

rmrm 22 sin)cos1( (3.8.11)

Vìr

tC

. nên 0 khi 0t .

Theo (3.8.11) khi 0 thì 1 . Khi 1 thì 1 sơ đồ

không ổn định, ngược lại 10 thì 1 sơ đồ ổn định. Trường hợp

1 thì 1 sơ đồ phiếm định. Như vậy điều kiện ổn định ở đây trùng

với tiêu chuẩn CFL. Sơ đồ sai phân hữu hạn có độ ổn định phụ thuộc vào gọi là sơ đồ ổn định có điều kiện, ngược lại sơ đồ có ổn định không

phụ thuộc vào gọi là sơ đồ ổn định tuyết đối. Sơ đồ phiếm định cũng

thuộc loại sơ đồ ổn định.

- Phương pháp ma trận

Xét nghiệm số của bài toán ở hai mức thời gian s và 1s . Giả sử

chúng liên hệ với nhau bằng phương trình:

)()1( ss Bff (3.8.12)

Ở đây )1( sf là véctơ mà các thành phần của nó là

)1,...,2,1()1( Nqf sq , B là ma trận )1)(1( NN .

Từ (3.8.12) có

0)2()1()( ...)( fBBfBBff ssss (3.8.13)

ở đây 0f là véctơ điều kiện ban đầu. Từ (3.8.13) cho thấy độ ổn


định tính toán phụ thuộc vào tích chất của ma trận B. Ma trận B là matrận bậc )1( N . Ma trận này có (N-1) giá trị riêng )1,...,2,1( Nkk .

Ứng với mỗi giá trị riêng k có một véctơ riêng k :

)1,...,2,1( NkB kkk (3.8.14)

Các véc tơ riêng k tạo ra một hệ véctơ trực giao. Véctơ giá trị ban

đầu có thể phân tích trong hệ trực giao này

k

kkaf 0 (3.8.15)

Thay (3.8.15) vào (3.8.13), sử dụng (3.8.14) được:

k

kskk

s af )( (3.8.16)

Từ (3.8.16) cho thấy điều kiện ổn định nghiệm là 1k . Nếu

1k nghiệm sẽ không ổn định. Nếu 1k nghiệm ổn định và là

phiếm định.

3.9 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TÍNH TOÁN CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU

HẠN

Để phân tích độ ổn định tính toán của các sơ đồ sai phân hữu hạn

sử dụng trong các mô hình số dự báo khí tượng thủy văn, chọn bài toàn

bình lưu tuyến tính một chiều. Bài toán này mô tả bằng phương trình

0

r

fC

t

f(3.9.1)

Tích phân (3.9.1) bằng các sơ đồ sai phân hữu hạn khác nhau.

- Sơ đồ hiện “ngược dòng”

Sơ đồ hiện “ngược dòng” tích phân phương trình(3.9.1) được gần

đúng bằng các phương trình sau:

001

1

Ckhir

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.9.2)

001

1

Ckhir

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.9.3)

Sai phân hữu hạn (3.9.2) và (3.9.3) thực tế không gần đúng phương

trình (3.9.1) mà gần đúng phương trình sau:

2

2

r

f

r

fC

t

f

(3.9.4)

Thực vậy, có thể thấy ngay điều này khi thay vào (3.9.2) và (3.9.3)

giá trị hàm f ở các điểm không gian và thời gian tương ứng dưới dạng

chuỗi Taylor:

...2

)(.),(),(

...2

)(.),(),(

2

2

2

2

2

2

r

r

fr

r

ftrfrtrf

t

r

ft

t

ftrfttrf

Biến đổi kết quả, tìm được:

022

022

2

2

2

2

2

2

2

2

Ckhit

ft

r

frC

r

fC

t

f

Ckhit

ft

r

frC

r

fC

t

f

(3.9.5)

Lấy vi phân phương trình (3.9.1) theo t và theo r được:

2

22

2

2

2

r

fC

rt

f

tr

fC

t

f

Từ đây tìm được

2

22

2

2

r

fC

t

f

(3.9.6)

Thay (3.9.6) vào (3.9.5) nhận được


2

02

)(

2

)(

02

)(

2

2

2

2

2

tCrC

Ckhir

ftCrC

r

fC

t

f

tCrC

Ckhir

ftCrC

r

fC

t

f

Viết lại biểu thức cho về dạng:

r

tC

rC.1

2

. (3.9.7)

Biểu thức (3.9.7) đúng cho cả hai trường hợp trên. Từ biểu thức

này cho thấy. Nếu 1.

r

tC thì 0 sơ đồ ổn định và đúng, Ngược lại

0 sơ đồ không ổn định và không đúng. Như vậy, tính đúng đắn và

tính ổn định của sơ đồ ở đây trùng với nhau.

Nhận thấy sơ đồ sai phân hữu hạn “ngược dòng” (3.9.2) và (3.9.3)

không gần đúng phương trình (3.9.1) mà gần đúng phương trình (3.9.4) là

phương trình mô tả bình lưu có nhớt. Sự xuất hiện thành phần nhớt trong

phương trình do sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn chứ không phải từ suy

diễn vật lý nên hiệu ứng do thành phần này tạo ra gọi là nhớt tính toán

hay nhớt giả, còn hệ số nhớt ở đây gọi là hệ số nhớt tính toán. Nhớt

tính toán cũng như nhớt vật lý đều làm trơn các trường khí tượng thủy

văn.

- Sơ đồ Euler hiện

Ta sử dụng sơ đồ Euler hiện để tích phân phương trình (3.9.1). Sai

phân hữu hạn phương trình này có dạng:

02

111

t

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.9.8)

Sơ đồ này có độ chính xác bậc nhất theo t và bậc hai theo 2)( r .

Thay nghiệm đúng của (3.9.1) ở các điểm rời rạc:

rimqssq eAf .

vào (3.9.8) và biến đổi nhận được:

srimrims Aeer

tCA .11

sss AArmr

tCA .)sin(.11

Từ đây xác định được giá trị tuyết đối của biên độ dao động:

ss AA .1

với )(sin1 22 rm .

Vì 1 nên sơ đồ Euler hiện tích phân (3.9.1) không hội tụ.

Tương tự như trên, thay vào (3.9.8) hàm f khai triển vào chuỗi

Tayler, tìm được:

2

2

r

f

r

fC

t

f

ở đây 2

2 tC

là hệ số nhớt tính toán. Do sơ đồ sai phân tạo ra

nhớt âm - không có ý nghĩa vật lý vì vậy sơ đồ Euler hiện không đúng

đắn.

- Sơ đồ sai phân trung tâm

Sơ đồ sai phân trung tâm, 3 mực thời gian có độ chính xác bậc hai

theo t và r cho phương trình (3.9.1) có dạng:


022

1111

r

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.9.10)

Thay nghiệm đúng của (3.9.1) vào sơ đồ trên và biến đổi nhận

được:

rmAr

tiCAA sss

sin211 (3.9.11)

Thay biên độ 11 , ss AA và sA theo công thức

tmsis eAA .)1(01

vào (3.9.10), rút gọn nhận được:

)sin(2sin2 rmr

tCiti

Từ đây tìm được tần số:

)sinarcsin(1

rmr

tC

t

. Nếu là số thực thì biên độ sẽ hạn

chế theo t, sơ đồ sẽ ổn định.

Thấy sẽ là số thực nếu:

1sin

rm

r

tC

Vì 1sin rm nên điều kiện ổn định của sơ đồ (3.9.10) là

1

r

tC

Điều kiện này trùng với điều kiện ổn đinh CFL. Tiến hành như ở

phần trên, phân tích hàm f thành chuỗi Taylor trong (3.9.10) và biến đổi

sẽ nhận được sơ đồ này không tạo ra hiệu ứng nhớt tính toán.

Do biên độ của nghiệm ở hai bước thời gian liên hệ với nhau bằng

biểu thức:

1

1

ss

ss

AA

AA

nên suy ra 121 ss AA .

Thay các biên độ này vào (3.9.11) tìm được:

0122 i

với rmr

tC

sin .

Phương trình bậc hai với có hai nghiệm

22

21

1

1

i

i

Như vậy phương trình vi phân có 2nghiệm tương ứng với 2 giá trị .

20

22

10

11

).()(

).()(

qss

q

qss

q

ff

ff

Ở đây

rimqq

rimqq

eAf

eAf

)0(22

0

)0(11

0

)(

)(

Tồn tại 2 nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

(3.9.1) là do sơ đồ sai phân hữu hạn 3 mực thời gian (3.9.10). Trong

trường hơp tổng quát, nếu sơ đồ chưa N mực thời gian thì sẽ có (N-1) giá

trị . Các nghiệm số sẽ tìm được ứng với các giá trị được goi là các

mode.

Đối với nghiệm đúng của phưong trình )0()(q

SS ff thì 1 khi

0t . Đối với nghiệm số trị thì 11 và 12 khi 0t . Vì

vậy nghiệm số ứng với 1 là nghiệm đúng của phương trình và nó được

gọi là mode vật lý. Nghiệm số trị ứng với 2 sẽ không tiến đến nghiệm


đúng, nó là nghiệm giả và nó được gọi là mode tính toán.

Tổ hợp tuyến tính của mode vật lý và mode tính toán cũng là

nghiệm của (3.9.1)

2)0(

21)0(

1 )()( qs

qss

q fbfaf

Để xác định các hằng số a, b cần cho hai điều kiện ban đầu: Điều

kiện vật lý )0(qf và điều kiện tính toán )1(

qf . Sử dụng các điều kiện này

tìm được a, b và nghiệm của (3.9.10).

12

)0(1

)1(

221

)0(2

)1(

1

qqsqqssq

fffff

Như vậy nghiệm sqf gồm 2 thành phần. Thành phần đầu là mode

vật lý còn thành phân thứ hai là mode tính toán.

Nghiệm đúng của (3.9.1) chỉ chứa mode vật lý, phụ thuộc một điều

kiện vật lý ban đầu và chỉ mô tả một sóng. Nghiệm số trị phụ thuộc điều

kiện vật lý và điều kiện tính toán ban đầu nên nó mô tả 2 mode tức là hai

sóng. Nếu điều kiện ban đầu có dạng )0(1 q

sq ff thì )0(

1 qss

q ff tức là

nghiệm số chỉ chứa mode vật lý. Nếu điều kiện ban đầu có dạng )0(

2)1(

qq ff thì )0(2 qss

q ff tức là nghiệm số chỉ chứa mode tính toán

tức là nghiệm giả.

Vì 12 nên mode tính toán có thể thay đổi dấu trong quá trình

tích phân trị số. Khi s chẵn 12 s , khi s lẻ thì 12 s . Mode tính toán là

nguồn tạo ra sai số đối với nghiệm số trị nên cần phải làm suy giảm nó đi.

- Sơ đồ ẩn “ngược dòng”

Sơ đồ ẩn “ngược dòng” hòa hợp cho (3.9.1) với độ chính xác bậc

nhất theo t và r có dạng:

0011

11

Cr

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

(3.9.12)

Với sơ đồ này dễ dàng tìm được:

)cos1)(1(21

1

rm

( rtC /. )

Do 1 với mọi giá trị t và r nên sơ đồ (3.9.12) hội tụ tuyệt

đối. Sơ đồ này có nhớt tính toán.

- Sơ đồ hình thang ẩn

Sơ đồ ẩn, hai mực hình thang có độ chính xác bậc hai với t và

r gần đúng (3.9.1) có dạng:

0222

1111

111

r

ff

r

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

sq

sq

(3.9.13)

Vì

rimqsssq

sq

rimqssq

sq

rimqssq

sq

eAAff

eArmiff

eArmiff

)(

).sin(2

).sin(2

11

111

11

11

nên suy ra:

ss AA .1

Ở đây

)sin(2

1

)sin(2

1

rmr

tCi

rmr

tCi

Tìm được 1 . Do 1 nên sơ đồ này ổn định tuyệt đốivới

bất kỳ t và r . Sơ đồ này không có nhớt tính toán.


- Sơ đồ hai bước Matsuno

Sơ đồ hai bước Matsuno có độ chính xác bậc nhất theo t và bậc

hai theo r được cấu tạo từ hai sơ đồ: dự báo và chỉnh lý.

Sơ đồ dự báo:

sq

sq

sq

sq ff

r

tCff 11

(*)1

2

Sơ đồ chỉnh lý:

(*)11

(*)11

1

2

s

qs

qs

qs

q ffr

tCff (3.9.14)

Thay (3.8.3) vào (3.9.14) và biến đổi được:

rimrimsss

rimrimsss

eeAr

tCAA

eeAr

tCAA

(*)11

(*)1

2

2

Khử (*)1SA từ hai biểu thức trên được

rimrimrimrimssss eeeeAr

tCA

r

tCAA

.

221

Sử dụng công thức Euler biến đổi thành phần cuối cùng của biểu

thức trên được:

ss AA .1

với )(sin)(sin1 4422 rmrm .

Thấy 1 khi 12

r

tC tức là sơ đồ Matsuno ổn định khi

thỏa mãn tiêu chuẩn CFL.

- Sơ đồ Lax Wendroff

Từ các bước tính của sơ đồ (3.6.9) và (3.6.10) khử 2/12/1

sqf và

2/12/1

sqf sẽ tìm được:

2

112111

)(

2.

2

1

2 r

ffftC

r

ffC

t

ff sq

sq

sq

sq

sq

sq

sq

(3.9.15)

Khi 0,0 rt thành phần cuối của (3.9.15) tiến đến

2

22

2

1

r

ftC

. Điều này cho thấy thành phần này mô tả hiệu ứng nhớt tính

toán. Biểu thức thành phần này gần đúng bằng các hàm nằm trong

khoảng r2 nên sóng có bước sóng r2 bị suy yếu nhiều nhất nhưng

sóng này lại không thể mô tả đúng trên lưới tính. Đây là tính chất đặc biệt

của sơ đồ này được dùng để làm suy yếu sóng ngắn trong quá trình tích

phân số các phương trình thủy nhiệt động lực.

Thay nghiệm đúng của (3.9.1) vào (3.9.15) tìm được:

ss AA 1

với rmirm sin)1(cos1 2 .Thay:

2cos

2sin)1sin(

2sin21)cos( 2

rmrmrm

rmrm

vào biểu thức tìm được:

2cos

2sin2

2sin21 22 rmrm

irm

Từ đây

2sin)1(41 422 rm

Nếu 0)1( 2 thì 1 . Như vậy điều kiện ổn định của sơ đồ là


1 hay 1

r

tC

- Sơ đồ sai phân trung tâm cho phương trình bình lưu hai chiều

Phương trình bình lưu hai chiều tuyến tính có dạng:

0

y

fv

x

fu

t

f(3.9.16)

Ở đây f là hàm phụ thuộc t, x, y; u và v là các thành phần tốc độ

được giả thiết là không đổi. Dùng chỉ số n cho trục Ox; j cho trục Oy và s

cho thời gian. Sơ đồ sai phân hữu hạn trung tâm viết cho (3.9.16) có

dạng:

snj

snj

sjn

sjn

snj

snj ff

y

tvff

x

tuff 1111

11

(3.9.16)

Đây là sơ đồ có độ chính xác bậc hai, theo yx , và t . Nghiệm

đúng của (3.9.16) có dạng:

)(0 . ypjxmnitSisnj eeAf

Ở đây p và m là số sóng theo trục x và y tương ứng.

Thay nghiệm này vào (3.9.17) và biến đổi nhận được

yp

y

vxm

x

utt sinsinsin

Vì 1)sin( t nên có

1sinsin

yp

y

vxm

x

ut

Vì

sin

cos

Cv

Cu

( là góc giữa hướng gió và trục ox).

Nên biểu thức trên khi zyx có thể viết về dạng:

1sinsinsincos

rprm

r

tC

Khi )sin()sin( rprm thì giá trị lớn nhất của

2sincos vì vậy ta có thể viết điều kiện ổn định cho sơ đồ này

là:

1.2

r

tC

hay 707,0.

r

tC .

Điều này có nghĩa là với bài toán bình lưu hai chiều nếu giá trị r

cũng như bài toán bình lưu một chiều thì t cực đại phải nhỏ đi 30% so

với bài toán 1 chiều để đảm bảo ổn định.

3.10 BẤT ỔN ĐỊNH TÍNH TOÁN PHI TUYẾN

Nghiên cứu tính ổn định của các sơ đồ sai phân hữu hạn đối với bài

toán bình lưu tuyến tính. Trên thực tế bài toán bình lưu là bài toán phi

tuyến. Việc nghiên cứu độ ổn định của bài toán bình lưu phi tuyến là một

khó khăn lớn nên chỉ thực hiện cho một số trường hợp đơn giản. Các kết

luận về độ ổn định của các sơ đồ sai phân hữu hạn đối với bài toán tuyến

tính không hoàn toàn đúng với bài toán phi tuyến song chúng vẫn có giá

trị giúp ta xây dựng các sơ đồ sai phân hữu hạn cho bài toán phi tuyến

tương ứng. Tìm hiểu sự bất ổn định tính toán phi tuyến qua bài toán tích

phân trị số phương trình bình lưu phi tuyến.

Phương trình bình lưu phi tuyến 1 chiều có dạng

),(0 txuux

uu

t

u

(3.10.1)

ở đây ),( txu là tốc độ gió theo trục ox. Khi gần đúng (3.10.1) bằng sơ đồ

sai phân hữu hạn thì các sóng có độ dài nhỏ hơn x2 sẽ không thể mô tả

được. Các sóng có số sóng lớn hơn xm /max sẽ bị cắt xén.

Giả sử hàm u(x,t) có dạng:


mxtAtxu sin).(),( (3.10.2)

Hàm này được biểu diễn trên lưới với maxmm

( xLL

m xx

2,2

)

Thay (3.10.2) vào thành phần phi tuyến trong (3.10.1) được:

)sin(2

)cos()sin(..2

2 xmmA

mxmxmAx

uu

(3.10.3)

ở đây mm 2 .

Như vậy do tính phi tuyến của phương trình nên đã xuất hiện sóng có số sóng mm 2 tức là độ dài sóng 2/xL . Qua trình mô tả bằng các

thành phần phi tuyến (tích của các sóng thành phần) được gọi là tương tác

phi tuyến.

Nếu như ban đầu số sóng m trong (3.10.2) thỏa mãn điều kiện:

maxmax2

1mmm

thì trong quá trình tích phân (3.10.1) do tính phi tuyến có thể xuất hiện sóng có maxmm tức là sóng không thể mô tả bằng lưới ban đầu.

Trong trường hợp này có thể xuất hiện các sóng mà trên lưới tính lại nhận nhầm là sóng dài hơn. Thí dụ xuất hiện sóng 3/4 xLx thì sóng này lại

được nhận nhầm là sóng có xLx 4 . (Hình 3.4)

Hình 3.4 Nhầm sóng x4

3là sóng x4

Loại sai số này được gọi là sai số nhận biết nhầm. Điều này dễ

dàng thấy qua thí dụ sau.

Ta có đồng nhất:

xmmmxm )2(2sin)sin( maxmax

với x

m

max . Thay vào công thức trên xnx . và sử dụng công thức

hàm )sin( nhận được:

xnmx

xnx

xnmx

xnx

nxm

.2

sin.2

cos

.2

cos.2

sin).sin(

Vì

1.2

cos

0.2

sin

xnx

xnx

nên xnmmnxm .2sin).sin( max .

Như vậy không thể phân biệt được sóng với số sóng m với sóng có số sóng )2( max mm . Vì lý do này nếu maxmm thì sóng với số sóng

m trên điểm lưới rời rạc sẽ nhận biết nhầm thành sóng mmm max* 2 .

Khi đó sóng ngắn đã bị nhận nhầm thành sóng dài hơn. Trong thí dụ trên

xm

432

tức là độ dài sóng xLm 4

3thì đã nhận nhầm là sóng

xxxm

4

2

4322* tức là độ dài xLx 4* .

Trong qua trình tích phân số trị phương trình phi tuyến theo thời

gian, do tương tác phi tuyến luôn tạo ra các sóng ngắn với bước sóng nhỏ


hơn hai bước lưới. Các sóng này không thể mô tả trên lưới tính và đã

nhận nhầm là sóng dài hơn với bước sóng nằm trong khoảng từ x2 đến

x4 .

Quá trình định dạng nhầm này dẫn đến biên độ các sóng có độ dàixLx x 42 tăng rất nanh và dẫn đến bất ổn định tính toán. Bất ổn

định do thành phần phi tuyến và sai số, nhận dạng nhầm sóng ở đây gây

ra gọi là bất ổn định phi tuyến.

3.11 ẢNH HƯỞNG CỦA SAI SỐ ĐẾN ỔN ĐỊNH CỦA CÁC NGHIỆM

SỐ

Phân tích biến đổi sai số trong quá trình tích phân phương trình

cũng tương tự như phân tích độ ổn định của nghiệm số. Thường sử dụng

phương pháp ma trận để phân tích biến đổi sai số. Tại thời điểm ban đầu

véctơ giá trị các yếu tố khí tượng biến dạng là )0()0('f thì sau s bước thời

gian véctơ này sẽ là:

)0()( fBf ss (3.11.1)

Như vậy sau bước thời gian s véctơ sai số được xác định:

)0()()()( ssss Bff

ở đây )0( là véctơ sai số ở thời điểm ban đầu. Biểu diễn sai số ban đầu )0( qua một tập hợp tuyến tính các véctơ riêng k :

k

kkb )0( (3.11.2)

ở đây kb là các hằng số

Véctơ )(S có thể xác định được tương tự như trong đánh giá ổn

định bằng phương pháp ma trận:

k

kskk

s b )( (3.11.3)

Như vậy biến đổi của sai số theo thời gian tương tự như biến đổi

nghiệm số trị. Nếu 1k thì sai số sẽ tăng theo thời gian và nghiệm số

trị sẽ không ổn định do sai số. Bởi vậy khi tích phân phương trình cần

phải xem xét trước vấn đề làm giảm các mode tính toán và các loại sai số,

bằng cách đưa vào các thành phần khuếch tán, chọn sơ đồ sai phân hữu

hạn có khả năng làm giảm một số mode xác định hoặc có nhớt tính toán.


Chương 4

CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO TỰA ĐỊA CHUYỂN VÀ TỰA SOLENOIT

4.1. PHƯƠNG TRÌNH XOÁY CHÍNH ÁP

4.1.1 Khái niệm về khí quyển chính áp và tà áp

Trong khí quyển mật độ luôn là hàm số của áp suất và nhiệt độ:

f(p,T) (4.1.1)

Khí quyển thoả mãn phương trình (4.1.1) được gọi là khí quyển tà

áp. Trong trường hợp mật độ chỉ là hàm của áp suất:

(p)f1 (4.1.2)

thì được gọi là khí quyển chính áp. Từ phương trình trạng thái:

RT

p

ta suy ra trong khí quyển chính áp nhiệt độ cũng là hàm chỉ phụ thuộc

vào áp suất:

(p)fp

R(p)f 12

Như vậy trong khí quyển chính áp ở một độ cao z bất kỳ các đường đẳng áp )( const , đẳng mật độ )( const và đẳng nhiệt )( constT

song song với nhau.

Trong trường hợp chuyển động đoạn nhiệt, phương trình nhập

nhiệt có dạng:

01

dt

dp

p

T

dt

dT

x

x

Thay nhiệt độ từ phương trình trạng thái:

R

PT

vào phương trình trên nhận được

0lnln xdt

dP

dt

d(4.1.3)

hay 0ln

x

p

dt

d

Từ (4.1.3), đối với các phần tử khí chuyển động x

pkhông thay

đổi. Khí quyển thoả mãn điều kiện này là khí quyển tà áp. Trong trường

hợp constp

x

cho tất cả các điểm thì khí quyển đó gọi là chính áp. Sử

dụng phương trình trạng thái :

1PRTP x (4.1.4)

hay constPT x /1.

Điều kiện (4.1.4) thoả mãn cho tất cả các điểm trong khí quyển thì

đó là khí quyển chính áp.

Gió địa chuyển ở độ cao bằng tổng véc tơ của gió địa chuyển ở

mực và gió nhiệt trong lớp :

1

Tg V1VV

Vì các đường đẳng áp song song với các đường đẳng nhiệt nên véctơ gió nhiệt song song với véctơ gió địa chuyển ở 1 . Từ đây suy ra

trong khí quyển chính áp gió không đổi hướng theo độ cao.

4.1.2 Phương trình xoáy chính áp

Trong chương 2 ta đã tìm được phương trình xoáy chứa các số


hạng cùng bậc đại lượng có dạng:

ς

ωβv

ty

Ωv

x

Ωu

t

Ω

(4.1.5)

Trong phương trình này chứa các hàm cần tìm phục vụ cho dự báo

làt

và . Trên cơ sở (4.1.5) tìm được phương trình xoáy cho khí

quyển chính áp. Để suy diễn phương trình này, xét sự biến đổi của theo .

Để bảo toàn khối lượng của khí quyển thì ở biên trên của khí quyển

không có dòng không khí đi qua. Như vậy biên trên của khí quyển được

cấu tạo bởi các phần tử khí không đổi thoả mãn điều kiện:

0dt

dp tại 0 .

Vìdt

dp

P

1ω nên suy ra 0 tại 0 (4.1.6)

Tại mặt đất, coi không có sự thẩm thấu không khí qua bề mặt này.

Trên mặt biên, tốc độ thăng của các phần tử khí khác 0 do sự tương tác

giữa khí quyển và đại dương, song hiệu ứng này chỉ được tính đến trong

các bài toán trong lớp biên khí quyển, vì vậy có thể coi tốc độ thẳng đứng

trong hệ toạ độ Đề các tại z = 0 bằng 0:

0w tại 0z .Giữa và w có mối liên hệ

gw

yv

xu

t

1

(4.1.7)

Tại mặt đất z = 0 thì w = 0, mà mực mặt đất lại không trùng với

mực 1000mb nên, một cách chính xác, không thể coi w = 0 tại mực 1 . Do áp suất mặt đất về giá trị không lệch khỏi 1000mb quá 50mb

nên, một cách gần đúng, có thể coi mực mặt đất trùng với mực 1 và

như vậy có thể viết:

0w tại 1

Bỏ qua nhớt rối trong lớp biên khí quyển, coi gió là gió địa chuyển ở mực 1 , thì tổng thành phần thứ hai và thứ ba trong vế phải của

(4.1.7) sẽ bằng 0. Có thể xuất phát từ điều kiện “ dính” trên mặt đệm tức là: u = v = 0 tại 1 thì tổng các thành phần kể trên cũng bằng 0 tại

mực này.

Như vậy, chỉ có thành phần đầu tiên trong (4.1.7) là khác 0 và có

thể đặt điều kiện:

tRTt

1

tại 1 (4.1.8)

Theo số liệu biến đổi địa thế vị mực 1000 mb có thể đánh giá được

giá trị của . Tại mực này giá trị vào khoảng 310 /ngày đêm, trong

khi đó ở giữa tầng đối lưu đạt tới 310 /ngày đêm. Như vậy, )1( chỉ

bằng khoảng vài phần trăm giá trị ở giữa tầng đối lưu nên có thể coi:

0 tại 1 (4.1.9)

mà không mắc sai số đáng kể trong bài toán dự báo ở giữa tầng đối

lưu.

Tích phân phương trình (4.1.5) từ 0 đến 1 theo , sử dụng điều

kiện biên (4.1.6) và (4.1.9) nhận được:

1

0

1

0 dAd

t

ở đây ký hiệu


v

yv

xuA

Tích phân hàm )(f theo biến từ 0 đến 1 sẽ là giá trị trung bình

của nó trong toàn miền xác định của hàm. Ký hiệu giá trị này là f :

1

0ff d (4.1.10)

Sử dụng ký hiệu (4.1.10) phương trình xoáy được viết về dạng

A

t(4.1.11)

Như đã nói ở trên, trong khí quyển chính áp, gió không đổi hướng

theo chiều cao. Để thoả mãn điều kiện này profile các thành phần tốc độ

gió phải có dạng:

),1,,().(),,,(

),1,,().(),,,(

1

1

tyxvBtyxv

tyxuBtyxu

(1.12)

Thực vậy, góc lệch của véctơ gió hướng với trục Ox một góc không đổi:

constu

v

u

vtg

1

1

Từ (4.1.12) có:

111 )()(

B

y

u

x

vB

y

u

x

v

Sử dụng (4.1.10) có thể viết:

12

1

ABA

B

ở đây 1 và 1A là xoáy tốc độ và bình lưu xoáy tốc độ ở mực

1

Thay (4.1.13) vào (4.1.11) nhận được:

1

2

1 .

A

B

B

t

Nhân hai vế của phương trình này với B

B 2

nhận được:

1.

22

1

2

A

B

B

B

B

t(4.1.14)

Nếu trong khí quyển áp tồn tại mực * nào đó có:

1

2* .

B

B

thì theo (4.1.12) các thành phần tốc độ gió ở mực này có dạng:

),1,,(.),,,(

),1,,(.),,,(

1

2**

1

2**

tyxvB

Btyxv

tyxuB

Btyxu

Như vậy (4.1.14) sẽ viết được ở dạng:

**

A

t(4.1.15)

Mực * luôn tồn tại, nằm giữa mực 0 và 1 và được gọi là mực

chính áp tương đương. Mực này được xác định từ điều kiện:

B

BB

2*)( (4.1.16)

Mực * biến đổi theo thời gian, phụ thuộc vào dạng hàm )(B .

Giả sử baB )( Thay )(B vào (4.1.16) nhận được:


1

0

2

1

0

2

*

)(

)(

dba

dbaba

Từ đây, tìm được mực. *

b

ab

a

2

11

3

1

2

1

*

(4.1.17)

Nếu cho 0,0 ab thì từ (4.1.17) tìm được 5,0* tức là mực * trùng với mực 500 mb. Nếu a = b trong (4.1.17) thì 3,0* tức là* trùng với mực 300 mb. Để sử dụng (4.1.15) vào dự báo thì phải coi * là mực cố định và có thể lấy * là 0,7; 0,5 và 0,3 tức là mực 700mb,

500mb hoặc 300mb.

4.1.3 Phương trình xoáy chính áp tổng quát

Khi suy diễn phương trình xoáy chính áp, sử dụng điều kiện tương

tự tốc độ thăng tại mực 1 bằng 0. Một cách chính xác hơn phải sử

dụng điều kiện (4.1.8):

tRT

1

1

1 tại 1

Sử dụng điều kiện này để tích phân (4.1.5) sẽ được:

tRT

lA

t

1

1

(4.1.18)

Ở đây: 1 và 1T là địa thế vị và nhiệt độ ở mực 1 . Áp dụng

cho mực chính áp tương đương, nhận được:

tRTB

BA

t

1

1

2*

* (4.1.19)

Giả thiết biến đổi địa thế vị theo thời gian ở mỗi mực tỷ lệ với

modul tốc độ gió của mực đó. Khi đó có thể viết:

11

**

Vt

Vt

Ở đây là hằng số tỷ lệ.

Từ giả thiết trên suy ra:

tB

BV

B

BV

t

12

1

2*

*

. (4.1.20)

Thay (4.1.20) vào (4.1.19) nhận được phương trình chính áp tổng

quát:

**

1

*

A

tRTt

Ký hiệu:

01

0

CRTL

Ở đấy 0C là tốc độ của âm thanh trong khí quyển có nhiệt độ T1,L0

có thứ nguyên độ dài và quy mô độ dài đặc trưng do Ôbukhov đưa ra.

Khi đó phương trình xoáy chính áp tổng quát:

**

20

* 1

A

tLt (4.1.21)

Ở vĩ độ trung bình giá trị 0L vào khoảng 2500km. Khi coi chất khí

là không nén được, 0L , phương trình (4.1.21) sẽ trở về phương

trình (4.1.15).


4.2 MÔ HÌNH CHÍNH ÁP TỰA ĐỊA CHUYỂN

4.2.1 Phương trình xoáy chính áp tựa địa chuyển

Sử dụng gần đúng địa chuyển:

xvv

yuu

g

g

1

1

(4.2.1)

thì xoáy và bình lưu xoáy có thể biểu diễn qua địa thế vị:

2

2

2

2

2 11

yxy

u

x

v ggg (4.2.2)

xxyyx

vy

vx

uA gg

gg

gg

22 111(4.2.3)

Ký hiệu:

x

B

y

A

y

B

x

A

y

B

x

By

A

y

A

BAJ

),(

J gọi là Jacobian. Tính chất của nó là:

).,(),(

),(),(),(

ABJBAJ

CBAJCAJBAJ

Vì sin2 nên không phụ thuộc vào trục Ox, nên:

),(11

J

xyyxx

Như vậy:

),1

(1

),(,11 22

JJJA

g(4.2.4)

Thay (4.2.4) vào (4.1.21) và bỏ ký hiệu *

tìm được phương trình

dự báo địa thế vị mực trung bình và được gọi là phương trình xoáy chính

áp tựa địa chuyển:

),1

(1 2

20

2

J

tLt

4.2.2 Giải phương trình xoáy chính áp bằng phương pháp lặp

Giải phương trình xoáy chính áp cho miền hình chữ nhật với lưới

vuông có bước là d (hình 4.1), sai phân hữu hạn phương trình xoáy chính

áp tổng quát có dạng:

ijijijjijijiji FqL

qqqqqd

20

1,1,,1,12

14

1(4.2.5)

Phương trình (4.2.5) có thể viết cho các điểm (i,j) với i-1,2 …,m-1;

j=1,2,..., n-1

Hình 4.1 Các điểm nút của miền hình chữ nhật


Trên biên của miền dự báo cho điều kiện biên:

njnjojoj qq ; với j=1, 2,…, m

imimioio qq ; với i=1, 2,..., n

Từ (4.2.5) tìm được ijq :

ijjijijijiij fqqqqq 1,1,,1,1

1

(4.2.6)

Ở đấy ký hiệu:

oL

d 2

4 (4.2.7)

- Phương pháp lặp Richasion

Nếu cho một trường ijq tuỳ ý và ký hiệu nó là )0(ijq thì thay nó vào

vế phải của (4.2.6) sẽ tìm được một trường ijq mới và ký hiệu là )1(ijq .

Thay )1(ijq như trên tìm được trường )2(

ijq . Quá trình lặp lại và tìm

được một trường )(Sijq sau s lần tính. Người ta gọi )(s

ijq là nghiệm gần

đúng thứ s của hệ phương trình (5.1). Quá trình lặp trên được mô tả bởi

công thức sau:

ijS

jiS

jiS

jiSi

Sij fqqqqq

1,1,,111 1

(5.4)

Quá trình lặp theo công thức (5.4) sẽ hội tụ tức là khi S tìm

được nghiệm đúng của (4.2.5). Điều này có nghĩa là nếu tìm nghiệm với

sai số 0 nào đó thì sẽ xác định được giá trị s = S thoả mãn bất đẳng

thức:

ijsijij qqmax (4.2.9)

Trong công thức (4.2.9) ijq là nghiệm đúng của (4.2.5). Trên thực

tế ijq là không biết nên không thể xác định được S. Theo tính chất hội tụ

của nghiệm gần đúng thì hiệu của các giá trị nghiệm sau hai lần lặp liên

tiếp sẽ giảm đi, tức là sẽ tìm được giá trị s = S thoả mãn điều kiện:

sij

sijij qq 1max (4.2.10)

Điều kiện (4.2.10) được dùng làm điều kiện kết thúc quá trình lặp

(4.2.8), tất nhiên là phải chọn << . Giá trị của được xác định bằng

cách so sánh kết quả dự báo và kết quả thực tế. Quá trình lặp như đã mô

tả không phụ thuộc vào trường )0(ijq ban đầu song )0(

ijq càng gần với

nghiệm của nó bao nhiêu thì số lần lặp càng ít bấy nhiêu. Thông thường

người ta lấy )0(ijq là kết quả của lần lặp ở bước thời gian trước vì sau

khoảng thời gian t xu thế địa vị thế thay đổi không nhiều lắm đối với

mỗi điểm. Ở bước thời gian đầu tiên thì người ta lấy 0)0( ijq .

Phương pháp lặp như đã trình bày là phương pháp lặp của

Richasion. Phương pháp này áp dụng để giải cho phương trình Poát-xông

và Hem-hôn thì luôn hội tụ nhưng tốc độ không lớn.

- Phương pháp lặp Lipman

Nếu ta lặp theo hàng i=1 (j=1,2,... m-1), i=2 (j=1,2,... m-1)...

i=n-1 (j=1,2,... m-1).thì khi tính )1( s

ijq ta đã biết )(sijq và cả )1( sq ở các điểm (i-1,j) và

(i,j-1). Các giá trị )1(,1

s

jiq và )1(1,

sjiq gần với nghiệm đúng ở các điểm này

hơn là các giá trị )(,1

sjiq và )(

1,sjiq . Thay các giá trị mới này vào công thức

lặp (4.2.8) sẽ được:

ijsji

sji

sji

sji

sij fqqqqq

)(1,

)1(1,

)(,1

)1(,1

)1( 1

(4.2.9)

Đây là phương pháp lặp của Lipman. Trong các điều kiện như

nhau thì phương pháp lặp của Lipan hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp

của Richssion. Lặp theo phương pháp của Lipman có ưu điểm nữa là tiết


kiệm được bộ nhớ trong quá trình tính toán vì các giá trị )1(1,

sjiq sau khi

tìm được ngay vào bộ nhớ )(sijq .

- Phương pháp chùng

Một phương pháp nữa để giải phương trình (4.2.5) là phương pháp

chùng. Nội dung của phương pháp này như sau: Nếu thay giá trị q ở lần

lặp s vào (4.2.6) thì nó không thoả mãn. Hiệu của vế trái và vế phải sẽ là:

ijs

ijsji

sji

sji

sij fqqqqR

)()(1,

)(,1

)(,1

)( (4.2.10)

ijR gọi là sai số khép kín của phương trình này. Phương pháp xây

dựng quá trình lặp theo công thức:

)(,

)(,

)1(,

sji

sji

sji Rqq (4.2.11)

Ở đây là thông số chùng. Nếu /1 thì phương pháp này

trùng với phương pháp Richasion.

Thực vậy nếu thay (4.2.10) vào (4.2.11) sẽ tìm được:

ijsji

sji

sji

sji

sji

sij fqqqqqq )(

1,)(

1,)(,1

)(,1

)(,

)1( 1 (4.2.12)

Nếu /1 thì thành phần đầu trong (4.2.12) bằng 0 và (4.2.12)

trở thành công thức lặp của Richasion (4.2.8). Nếu /1 quá trình

chùng sẽ hội tụ nhanh hơn phương pháp của Richasion và được gọi làchùng trội còn /1 được gọi là chùng dưới.

Người ta đã tìm được giá trị tối ưu phụ thuộc vào số nút mạng

lưới tính )( mn :

2.

coscos42

1

mn

UT

(4.2.13)

Nếu lưới tính có n = m = 2 thì4

1. UT , tức là bằng

1trong

trường hợp 0L tức là phương pháp của Richasion. Nếu lưới tính có:

mn thì2

1. UT

Trên thực tế người ta sử dụng phương pháp chùng trên với )(SIJR

thay bằng:

ijs

Þs

ijsji

sji

sji

sij fqqqqqR

)()(1

)1(1,

)(,1

)1(,1

)(

cho kết quả hội tụ nhanh nhất.

Các phương pháp lặp đã trình bằy ở trên )1(,sjiq được biểu diễn qua

các đại lượng đã biết nên nó được gọi là các phương pháp hiện. Để đảm

bảo ổn định của sơ đồ tính người ta thường sử dụng phương pháp lặp ẩn

luân hướng. Viết phương trình (4.2.5) về dạng sau:

ijjiijjijiijji fqqqqqq

1,1,,1,1

22

Để tiến hành một bước lặp từ s đến s+1 tiến hành hai bước. Bước

thứ nhất từ s đến s+1/2 và bước thứ hai từ s+1/2 đến s+1. Bước thứ nhất

được tính theo phương trình:

ijs

jis

jis

jis

jis

jis

ji fqqrqqqrq

1,,1,

2/1,1

2/1,

2/1,1

22

(4.2.13)

Bước thứ hai được tính theo:

ijs

jis

jis

jis

jis

jis

ji fqqrqqqrq

2/11,1

2/1,

2/1,1

11,

1,

11,

22

(4.2.14)

Đối với hai phương trình Poát-xông và Hem-hôn thì phương pháp

lặp ẩn luân hướng (4.2.13) và (4.2.14) hội tụ với mọi giá trị r dương.

Người ta chọn giá trị r thích hợp quá trình sẽ hội tụ nhanh hơn, thậm chí

họ chọn r cho từng bước thì tốc độ hội tụ tăng đáng kể.

Hệ (4.2.13) chứa (m-1)(n-1) phương trình chia thành (n-1) hệ độc

lập. Ma trận hệ số của các hệ này giống nhau. Dễ dàng giải và tìm được


nghiệm của hệ phương trình.

4.3 SƠ ĐỒ DỰ BÁO TỰA ĐỊA CHUYỂN BA CHIỀU

Các mô hình chính áp chỉ dùng để dự báo cho mực trung bình của

tầng đối lưu. Nhược điểm của các mô hình này là không phát hiện ra các

xoáy mới, vì vậy phải xây dựng các mô hình tà áp mới đáp ứng được nhu

cầu dự báo thời tiết cho khí quyển tà áp. Sử dụng ba phương trình là

phương trình xoáy, phương trình nhập nhiệt trong trường hợp đoạn nhiệt

và phương trình tĩnh học. Các phương trình này có dạng sau

v

yv

xu

t(4.3.1)

0)(

g

RT

y

Tv

x

Tu

t

T a (4.3.2)

RT (4.3.3)

Có nhiều phương pháp tích phân hệ phương trình trên. Ở Anh và

Mỹ đã sử dụng phương pháp sai phân lồng tức là sai phân hữu hạn cả ba

chiều rồi giải. Ở Liên Xô cũ đã sử dụng một số phương pháp: phương

pháp nửa đường thẳng – sai phân hữu hạn các phương trình theo trục x, y được phương trình phụ thuộc vào và tìm nghiệm giải tích của phương

trình này, phương pháp mặt phẳng sai phân hữu hạn các phương trìnhtheo trục được phương trình phụ thuộc vào x, y rồi tìm nghiệm của

phương trình này và phương pháp tìm nghiệm giải tích của hệ (4.3.1) -

(4.3.3). Trước hết tìm hiểu phương pháp tìm nghiệm giải tích của hệ này.

Sử dụng khái niệm tựa địa chuyển trong mô hình, các thành phần

tốc độ, xoáy và bình lưu xoáy địa chuyển tương tự như trong mô hình

chính áp có dạng:

,

1

1

1

JA

xv

yu

g

g

,TJAT (4.3.4)

Thay (4.3.4) vào (4.3.1), (4.3.2), khử T từ (4.3.2) và (4.3.3), ký

hiệu qt

.

Viết lại (4.3.1) và (4.3.2) về dạng:

Aq

22 (4.3.5)

Ta ARg

RTq

)(2 (4.3.6)

Khử từ phương trình (4.3.5) và (4.3.6). Để làm việc này, lấy vi phân (4.3.6) theo giả thiết:

constg

TR a )(

sẽ nhận được:

)()(2

2T

a ARg

TRq

(4.3.7)

Ký hiệu:

2

22 )(

g

TRm a

và giả thiết 2m là hằng số. Thực tế 2m thay đổi phụ thuộc vào )( a

nhưng với quy mô synốp có thể bỏ qua sự thay đổi này.


Nhân (4.3.5) với 2m rồi cộng với (4.3.7) nhận được:

qT FARAmmq

)(2222

(4.3.8)

Bulev-Martruc đã tìm nghiệm của (4.3.8) cho không gian:

10

y

x

với điều kiện biên dưới đây:

Ở , nghiệm phải giới hạn:

x

q

y

q

Điều kiện này có nghĩa là ở nghiệm sẽ tắt dần, tức là:

0 yx

qq (4.3.9)

Theo trục thẳng đứng, đặt điều kiện biên dưới tại 1 . Ở đây cần

chấp nhận giả thiết là phương trình đúng cho lớp biên khí quyển. Giả

thiết này không phù hợp với thực tế nên ở gần biên kết quả dự báo có sai

số lớn và người ta đã nghiên cứu các phương pháp tính ảnh hưởng của

lớp biên trong mô hình dự báo. Ở biên trên phải tính đến sự thay đổi

thành phần không khí theo chiều cao, ở vài trăm ki-lô-mét không thể coi

khí quyển là môi trường liên tục, song lớp khí quyển trên cao chỉ chứa

một phần nhỏ khối lượng của khí quyển, ảnh hưởng của nó đến tầng bìnhlưu không nhiều, vì thế đặt điều kiện biên ở 0 cho bài toán đơn giản.

Biết tương tự tốc độ thẳng đứng được xác định bằng biểu thức:

yv

xu

twg

1(4.3.10)

Từ phương trình trạng thái và phương trình tĩnh học có:

P

RR

P

TR

p


P

1(4.3.11)

Thay kết quả tìm được vào (4.3.10), vì 00

nên

00

tại mực 1 như đã trình bày trong mô hình chính áp:

01

W

0

yv

xu

Từ (4.3.10) có:

11

RT

q(4.3.12)

Sử dụng điều kiện biên (4.3.12) để tìm điều kiện biên cho q tại 1 . Viết phương trình (4.3.6) cho mực 1 nhận được:

111

2

1

)(T

a RAg

TR

(4.3.13)

Thay 1 từ (4.3.12) vào (4.3.13) và kí hiệu: g

R a )(

Tìm được điều kiện biên cho q tại 1 :

1. TRAqq

tại 1 (4.3.14)

Để có điều kiện cho q tại 0 , sử dụng (4.3.6), cho 0 thành


phần thứ hai vế trái bằng 0 theo (4.3.11), vế phải bằng 0 vì 0

Như vậy :

00

2

q

(4.3.15)

Về mặt toán học, (4.3.15) có nghĩa là 0

qcó thể tăng vô

hạn song chậm hơn 2 .

Xét các biến không thứ nguyên:

m

xx

m

yy

coi m là hằng số, không phụ thuộc vào x và y.

Chuyển phương trình (4.3.8) sang hệ toạ độ trụ. Trong hệ toạ độ

trụ, có véctơ bán kính

m

yxyxr

2222

và góc ở cực:

x

yarctg

x

yarctg

Toán tử Laplas trong hệ toạ độ cực mặt phẳng có dạng:

2

2

22

2 11

rrrr

Trục của hệ toạ độ trụ là đường thẳng đi qua điểm cần dự báo.

Phương trình (4.3.8) trong hệ toạ độ trụ có dạng:

qFq

rr

q

rr

qq

2

2

22

22 11

(4.3.16)

Điều kiện biên (4.3.9) có dạng:

0

q (4.3.17)

Khi 0r tại điểm dự báo hàm q cần tìm phải giới hạn tức là:

0r

q (4.3.18)

Ký hiệu

0

2

.,.,,2

,,

drJNm

rG oq

(4.3.19)

0..,.,,

2

.,,

drJN

RrG o

qT (4.3.20)

Viết lại biểu thức cho xu thế địa thế vị về dạng:

rdrddrGrA

rdrddrGrAq

qTT

q

r

,,.,,

,,.,,

2

0

1

00

2

0

1

000

(4.3.21)

Hàm qG và qTG là các hàm ảnh hưởng của yếu tố động lực và

nhiệt lực đến biến đổi độ cao địa thế vị tao tại điểm dự báo ),0( .

Nghiệm (4.3.21) cho thấy biến đổi địa thế vị ở một điểm nào đó trongkhông gian là do bình lưu xoáy A và bình lưu nhiệt TA ở tất cả các

điểm trong không gian. Sự ảnh hưởng của các bình lưu này ở mỗi điểm

có khác nhau, phụ thuộc ở hàm qG và qTG . Các hàm này đựoc biểu diễn

trên các hình (4.2) - (4.4).


Hình 4.2 Đường đẳng trị hàm1

qG Hình 4.3 Đường đẳng trị hàm1

qTG

Trên hình (4.2) cho thấy 0),1,( rGq điều này có nghĩa là bình

lưu xoáy thuận làm giảm địa thế vị ở mực 1 không kể điểm bình lưu

ở đâu và ngược lại bình lưu xoáy nghịch làm tăng địa thế vị của mực này.

Mối liên hệ về dấu này đúng cho tất cả các mực khí quyển. Giá trị hàm

),1,( rG q giảm theo khoảng cách, tức là theo một hướng, càng xa điểm


dự báo ảnh hưởng càng ít.

Hình 4.4 Đường đẳng trị hàm5.0

qTG

Hàm 01

qTG với bất kỳ 1 (hình 2.5). Như vậy bình lưu

nóng làm giảm địa thế vị và bình lưu lạnh làm tăng địa thế vị và mực 1 .

Hàm5.0

qTG dương khi 5.0 và âm khi 5.0 (Hình 4.4). Tức

là địa thế vị mặt 500 mb tăng khi các lớp dưới có bình lưu nóng và trên

nó có bình lưu lạnh và ngược lại nó sẽ giảm khi dưới nó có bình lưu lạnh

và trên nó có bình lưu nóng. Do dấu của 5.0

qTG ngược nhau trong các

lớp trên và dưới mực 500 mb nên khi tích phân theo phương thẳng đứng

thì ảnh hưởng của dấu dương và dấu âm triệt tiêu nhau ở gần mực 5.0 . Vì thế mà mô hình chính áp chỉ tính ảnh hưởng của bình lưu

xoáy.

Hàm5.0

qTG tắt dần khi r tăng trong lớp trên và lớp dưới mực

5.0 gần như nhau. Khi mặt cần dự báo tiến đến mặt đệm thì

qTG ở

trên giảm chậm hơn ở dưới do khối lượng không khí ở lớp trên nhiều hơn

lớp dưới.

4.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHO XU THẾ ĐỊA THẾ VỊ BẰNG

PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG

Trong mục trước đã trình bày cách tìm nghiệm giải tích của

phương trình cho xu thế địa thế vị q:

qFqmq

222

(4.4.1)

Ở đây sẽ trình bày phương pháp mặt phẳng để giải phương trình

(4.4.1).

Nội dung của phương pháp này là sai phân hữu hạn các đạo hàmtheo biến và tiến hành tìm nghiệm giải tích của phương trình đã sai

phân hữu hạn một biến này.

Để đơn giản, chia đoạn (0.1) của trục thành n khoảng bằng nhau

bởi các mực )....,,1,0( nkk . Như vậy ./1,1,00 nhn

Sử dụng phương pháp này, có thể không cần đến giả thiết


constm 2 . Trên thực tế 2m phụ thuộc vào )( a . Trong tầng đối

lưu m100/6.0 0 , còn trong tầng bình lưu m100/00 . Trong mây thì

a phải thay bằng ẩm còn thì lại tiến đến ẩm tức là 2m gần bằng 0.

Như vậy giả thiết 2m gây sai số trong mô hình dự báo. Sau khi sai phân

theo biến ta được phương trình cho từng mực, và 2m chỉ coi là hằng

số ở từng mực k . Để đơn giản, xét trường hợp constm 2 , khi đó

phương trình cho xu thế địa thế vị vẫn ở dạng (4.4.1)

Tương tự như ở mục trên, chuyển phương trình về dạng không thứ

nguyên

m

yy

m

xx ;

sẽ được:

qFqq

2

(4.4.2)

Các điều kiện biên tương ứng cho (4.4.2) là:

02

q tại 0

TRAqq

.

tại 1 (4.4.3)

Ký hiệu:

yxqyxq kk ,,,

Sử dụng ký hiệu này sai phân hữu hạn điều kiện (4.4.3) cho mực

giữa mực k = 0 và k = 1 tức là mực 2/1 :

04

)(

2

1

2

21

2/1

2

0101

2/1

102/1

n

qqq

qqnh

qqq

n

Vì n là hữu hạn nên suy ra:

01 qq (4.4.4)

Sai phân hữu hạn điều kiện biên thứ hai của (4.4.3). Ở đây sử dụng

sơ đồ sai phân lùi:

Tnnnn

n ARqh

qqq

q... 1

1

Thay giá trị 1n và h=1/n, nhận được:

Tnnn ARqnqn .. 1 (4.4.5)

Sai phân hữu hạn phương trình (4.4.2) theo , sử dụng giá trị hàm

ở các điểm k =1,2,..., n và các điểm trung gian (k+1/2) (hình 4.5).

n

qqk

q

n

qqk

q

qqnh

qqq

kk

k

kk

k

kkkk

k

)(

2

1

)(

2

1

.

1

2

2/1

2

1

2

2/1

2

11

2/1


Hình 4.5 Đánh số các điểm chia khoảng 10

Sử dụng các biểu thức trên, viết được biểu thức sai phân hữu hạn

thành phần đầu của phương trình (4.4.2):

n

n

qqk

n

qqk

qkkkk

k1

)(

2

1)(

2

1 12

12

2

1

22

1

2

2

1

2

12

2

1

kkk qkqkqk

Ký hiệu:

2

1,

2,

2

1,

2

1

2

12

2

1

ka

ka

ka

kk

kk

kk

Thì biểu thức trên viết lại về dạng:

11,,11,2

kkkkkkkkk

k

qaqaqaq

(4.4.6)


kkkkkkkkkkk Fqaqaqaq 11,,11,2 (4.4.7)

Phương trình (4.4.7) viết được với k=1,2,..., n-1 Với k=1 :

122,111,100,112 Fqaqaqaq

Sử dụng điều kiện biên (4.4.4) nhận được:

122,110,11,112 . Fqaqaaq

Với k = n-1, phương trình (4.4.7) có dạng:

1,111,122,112

nnnnnnnnnnn Fqaqaqaq

Thay nq từ biểu thức (4.4.5)

n

ARq

n

nq Tn

nn

.1

vào phương trình trên, tìm được phương trình cho mực (n-1):

n

ARaFa

n

naaqaq Tn

nnnnnnnnnnnn

.. ,111,11,122,11

2

Ký hiệu:


1-nkvíi

1kvíi

1-nk1,kvíi

nnnn

kk

kk

an

na

aa

a

b

,11,1

0,11,1

,

,

0,10.1

1,1,

1,1,

nn

kkkk

kkkk

bb

ab

ab

Tnnnk

k

kAa

n

RF

F

f.,1

với 1 nk

thì phương trình (4.4.7) viết cho các điểm k = 1,2,…, n-1 tạo ra

một hệ khép kín có dạng:

kkkkkkkkkkk fqbqbqbq 11,,11,2 . (4.4.8)

Ký hiệu véctơ (n-1) chiều:

1

2

1

1

2

1

;

nn f

f

f

f

q

q

q

q

Viết lại phương trình (4.4.8) về dạng:

fqB

).( 2 (4.4.9)

Ở đây B là ma trận ba đường chéo. Về lý thuyết, ma trận đã chứng

minh các giá trị riêng của nó là thực, khác 0. Do các thành phần ở đường

chéo ma trận âm nên các giá trị riêng của nó âm. Bởi vậy đối với ma trận

B và ma trận chuyển vị của nó B~

có thể tìm được một hệ thống véctơ

riêng i và *i . Các véctơ riêng này trực giao với nhau, tức là:

kjnÕu

kjnÕu

1

0, *

kJ (4.4.10)

Tìm nghiệm của (4.4.9) ở dạng chuỗi:

1

1

.n

i

iiq

(4.4.11)


1

1

2 .n

i

ii fB

Nhân hai vế của phương trình với *i :

1

1

1

1

*** ,.....n

i

n

i

iiiiiii fB

(4.4.12)

Vì i là véc tơ riêng của ma trận B nên:

iiiB .

Sử dụng tính chất của các véctơ i và *i (4.4.10), phương trình

(4.4.12) chuyển về dạng:

*2 .. iiii F (4.4.13)

Ở đây ký hiệu:

fFi

**

Phương trình (4.4.13) là phương trình Hem-hôn, có thể tìm nghiệm

bằng phương pháp lặp như đã trình bày ở trên. Giải phương trình (4.4.13)

tìm được các i , thay vào (4.4.11) sẽ tìm được q

. Vì các giá trị riêng

giảm dần:

121 ... n

và giảm rất nhanh nên người ta bỏ đi 2, 3 giá trị i cuối cũng đủ

độ chính xác cho (4.4.11).


4.5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHO XU THẾ ĐỊA THẾ VỊ BẰNG

PHƯƠNG PHÁP LỒNG KHÔNG GIAN

Phương trình cho xu thế địa thế vị q có dạng:

qFqm

.. 222

(4.5.1)

Nghiên cứu phương pháp tìm q từ (4.5.1) bằng cách sử dụng lồng

không gian để sai phân hữu hạn đạo hàm theo các hướng. Kết quả tìm

được nghiệm ở các điểm nút của một lồng không gian đều đặn. Trên thực

tế các phương pháp để giải phương trình (4.5.1) đều phải sử dụng lồng

không gian vì số điểm có số liệu ban đầu và tìm nghiệm phải là hữu hạn,

cố định trong một miền đã cho. Điểm khác biệt của phương pháp này với

các phương pháp đã trình bày ở trên là tiến hành sai phân hữu hạn (4.5.1)

ngay từ đầu.

Để đơn giản, giả thiết thông số ổn định tĩnh học 2m , không phụ

thuộc vào toạ độ và thời gian. Việc tính 2m phụ thuộc vào toạ độ và thời

gian không khó khăn gì. Như vậy phương trình vẫn có dạng (4.5.1). Chọn

lồng không gian có hình lăng trụ đều tạo thành các lưới hình vuông với

các cạnh song song với trục Ox vào Oy trên các mặt đẳng áp cách nhau các khoảng bằng h=1/n (với n là số khoảng theo trục O ). Số

khoảng theo trục Ox là l, theo trục Oy là m (hình 4.6).

Toạ độ của điểm ),,( kii yx được xác định bằng các công thức:

hk

djy

dix

k

j

j

.

.

.

Giá trị hàm số f tại điểm có toạ độ ),,( kii yx được ký hiệu là

kjif ., .

Hình 4.6 Sơ đồ lưới không gian

Sử dụng công thức (4.4.6) sai phân hữu hạn (4.5.1) c:

kjiqkjikk

kjikjikjikjikjikkkjikk

Fqd

ma

qqqqd

mqaqa

,,,,2

2

.1...1..1.1.2

2

1,,1,1,,1,

4

(4.5.2)

Phương trình (4.5.2) được viết cho các điểm bên trong của lồng


không gian còn không viết được cho các điểm trên mặt biên. Số phương

trình sẽ là: (m-1)(l-1)(n-1), ẩn số là (m+1)(l+1)(n+1).

Cần phải cho các điều kiện biên tương ứng để khép kín hệ các

phương trình.

Theo phương nằm ngang trên các mặt biên thẳng đứng cho điều

kiện :

0,,,,,,,, kmikoikjkjo qqqq (4.5.3)

Theo phương thẳng đứng thì tại nửa bước thứ nhất thoả mãn điều

kiện:

0

22

1

2

h

q

tức là:

1,,,, jioji qq (4.5.4)

tại mực 1 thoả mãn điều kiện:

111

. TRAqq

tức là:

njiTnjinji ARqnqn ,,1,,,, )(. (4.5.5)

Hệ phương trình (4.5.2) và các điều kiên biên (4.5.3), (4.5.4),

(4.5.5) tạo thành một hệ khép kín. Để viết về một phương trình chung cho

các điểm, sử dụng ký hiệu Crona.

khi

khi

0

1,

là hệ số cho các ẩn. Phương trình khi đó có dạng:

njiTnnnkkjiq

kjinnnkkkk

kjijkjimj

kjiikjii

kjikkkkjikknk

Aan

RF

qd

ma

n

Raa

qq

qqd

m

qaqa

,,,11,,,

,,2

2

,11,101,

,1,1,,1,1,

,,!1,,,!1,2

2

1,,1,1,1,,1,1,

4

11

11

11

Ký hiệu các hệ số của hai số hạng đầu là b, bốn số hạng tiếp theolà c, số hạng cuối cùng vế trái là . Với các chỉ số tương ứng và vế phải

là kjif ,, thì phương trình trên được viết về dạng:

kji

kjikkjijikjiji

kjijikjijikjikkkjikk

f

qqcqc

qcqcqbqb

,,

,,,1,1,,1,1,

,,1,1,,1,11,,1,1,,1,

(4.5.6)

Giải (4.5.6) bằng phương pháp lặp Richasion.

Từ (4.5.6) giải tương đối với ijkq .

kjis

kjijis

kjijis

kjiji

skjiji

skjikk

skjikk

k

skji

fqcqcqc

qcqbqbq

,,)(

,1,1,)(

,1,1,)(

,,1,1

)(,,1,1

)(1,,1,

)(1,,1,

)1(,,

1

(4.5.7)

Ở đây s là số bước lặp, ở bước đầu tiên cho 0)0(,, kjiq . Quá trình

lặp dừng lại khi:

)(,,

)1(,,,,max s

kjis

kjikji qq

với là sai số cho trước. Phương pháp lặp Richasion sử dụng ở

đây đảm bảo quá trình tính hội tụ với mọi giá trị của vế phải phương trình

và gần đúng với )(,,

okjiq ban đầu.


Để hội tụ nhanh, người ta dùng phép lặp Lipman. Theo phương

pháp này thì trong quá trình lặp tính cho từng mặt từ (n-1) đến 1 và trong

mỗi mặt tính từng hàng từ trái qua phải i=1,2,…, n-1, với j từ 1 đến m-1.

Tính như vậy thì khi tính )1(,,skjiq biết q ở bước (s+1) ở một số điểm nút có

trong vế phải của (4.5.7). Thay chúng vào giá trị q ở bước lặp (s) sẽ được:

kjis

kjijis

kjijis

kjiji

skjiji

skjikk

skjikk

skji

fqcqcqc

qcqbqbq

,,)(

,1,1,)(

,1,1,)(

,,1,1

)(,,1,1

)(1,,1,

)(1,,1,

)1(,,

1

(4.5.8)

Phương pháp lặp này là trường hợp riêng của phương pháp chùng.

Hiệu vế trái và vế phải của (4.5.6) sẽ là sai số khép )(,,

skjiR nghiệm

gần đúng thứ (s+1) tìm ở dạng:

)(,,

)(,,

)1(,, . s

kjiks

kjis

kji Rqq (4.5.9)

Nếu lấy k

k

1

thì phương pháp chùng sẽ giống với phương

pháp Richason với k

k

1

, sẽ cho tốc độ lặp nhanh hơn và gọi là

phương pháp chùng trội.

Nếu thay trong biểu thức kjiR ,, các giá trị q ở lần lặp s bằng giá trị

q ở lần lặp (s+1) ở những điểm đã biết thì phương pháp chùng sẽ cho tốc

độ nhanh hơn.

Có thể viết (4.5.6) về dạng:

kjikjijikjikjiji

kjijikjikjiji

kjikkkjikkkjikk

fqcqd

mqc

qcqd

mqc

qbqbqb

,,,1,1,,,2

2

,1,1,

,,1,1,,2

2

,,1,1

1,,1,,,,1,,1,

2

2

(4.5.10)

Xem tập hợp kjiq ,, như một véctơ )1).(1).(1( mn chiều.

Tập hợp các thành phần đặt trong ngoặc thứ nhất như kết quả nhân ma trận z bậc )1).(1).(1( mn với véctơ q. Tương tự, thành phần

trong ngoặc thứ hai là Xq và thứ ba là Yq khi đó có thể viết (4.5.10) về

dạng:

fqZYX )( (4.5.11)

Ở đây f là véctơ có thành phần là kjif ,, , có thể biến đổi (4.5.11) về

một trong các dạng sau:

fqZYErqErZ

fqZYErqErY

fqZYErqErX

)..()..(

)..()..(

)..()..(

(4.5.12)

Ở đây E là ma trận đơn vị, r là hằng số. Giải (4.5.11) bằng phương

pháp lặp với bước nhỏ:

fqZYErqErX ss )..()..( 3/1 (4.5.13)

fqZYErqErY ss 3/13/2 )..()..( (4.5.14)

fqZYErqErZ ss 3/21 )..()..( (4.5.15)

Như vậy từ sq đến 3/1sq ta giải (4.5.13), từ 3/1sq đến 3/2sq ta

giải (4.5.14) và từ 3/2sq đến 1sq ta giải (4.5.15).

Quá trình được lặp lại đến khi đủ độ chính xác thì thôi.

4.6 CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO TỰA SOLENOIT

Đã biết véctơ solenoit là véctơ mà Divegiăng của nó bằng 0. Vectơ

hai chiều solenoit có thể biểu diễn qua một làm vô hướng và được gọi là

hàm dòng .

Một cách gần đúng phương trình liên tục có thể có dạng:

0

y

v

x

u(4.6.1)


Khi đó các thành phần tốc độ gió liên hệ với hàm dòng bởi hệ thức:

xv

yu

; (4.6.2)

Xoáy tốc độ biểu diễm qua hàm dòng có dạng:

2

2

2

2

2

yxy

u

x

v (4.6.3)

Thay biểu thức vận tốc (4.6.2) và xoáy (4.6.3) vào phương trình

xoáy chính áp:

0.

v

yv

xu

t

Sẽ tìm được

),(2

J

t(4.6.4)

Phương trình (4.6.4) được sử dụng để xây dựng mô hình dự báo

hàm dòng . Mô hình dự báo sử dụng (4.6.4) gọi là mô hình solenoit

không có Divegiăng.

Nếu thay các biểu thức (4.6.2) và (4.6.3) vào phương trình xoáy

chính áp tổng quát với giả thiết:

t

H

l

g

t

thì sẽ tìm được:

),(22

J

tt(4.6.5)

Sử dụng phương trình (4.6.5) để xây dựng mô hình dự báo thì mô

hình này được gọi là mô hình tựa solenoit có Divegiăng. Việc xây dựng

các mô hình này hoàn toàn tương tự như các mô hình chính áp tựa địa

chuyển. Điểm khác biệt ở đây duy nhất là điều kiện ban đầu. Trong các

mô hình tựa địa chuyển trường ban đầu được cho là địa thế vị đo đạc trực

tiếp ở các trạm cao không, còn trong mô hình tựa solenoit thì cho hàm

dòng ở thời điểm ban đầu. Số liệu về hàm dòng ở thời điểm ban đầu

chúng ta phải tìm bằng cách giải phương trình cân bằng. Vấn đề này sẽ

trình bày ở mục sau.

Trong dự báo nghiệp vụ ở Mỹ đã sử dụng mô hình tà áp tựa

solenoit. Ở bước đầu tiên thành phần tốc độ gió xác định bằng biểu thức:

xv

yu

(4.6.6)

Trong đó hàm dòng xác định theo số liệu địa thế vị bằng

phương trình cân bằng. Ở các bước tiếp theo hàm dòng và hàm thế :

yxv

xyu

(4.6.7)

Dễ dàng tìm được:

D(4.6.8)

từ phương trình liên tục:

(4.6.9)

Có thể xác định được nếu biết vế phải của phương trình. Trong

mô hình này tương tự tốc độ thẳng đứng tìm được qua phương trình nhập

nhiệt và phương trình xoáy tốc độ:

Ta Ag

RT

t

T

)((4.6.10)


A

t(4.6.11)

Thay vào (4.6.10) biểu thức nhiệt độ từ phương trình tĩnh học và:

tt

sẽ được:

2

22 CA

R

tT

Thay (4.6.8) vào (4.6.11) được:

A

t2

Từ hai phương trình này ta khử t

sẽ tìm được phương trình để

xác định

TAC

RA

CC

22

2

2

2

2

222 .

(4.6.12)

Phương trình (4.6.12) được giải với điều kiện biên sau:

0t¹i 0

1t¹i 0 (4.6.13)

Để tích phân hệ phương trình trên, đầu tiên cho

0,, )1( vuvvvu(1)uu .Thay các thành phần tốc độ này

vào A và TA . Tích phân phương trình (4.6.12) tìm gần đúng đầu tiên

của . Thay giá trị tìm được vào (4.6.9) và giải nó tìm được gần

đúng đầu tiên cho hàm thế )1( .Thay hàm thế vào biểu thức tốc độ L

xyu

)1(

yxv

)1((4.6.14)

Sử dụng các thành phần tốc độ này để xác định A và TA , và giải

(4.6.12), (4.6.9) để tìm gần đúng thứ hai của hàm thế )2(

Quá trình được lặp lại và xác định được trường gió ,, vu .

Xu thế xoáy tốc độ có thể xác định được từ phương trình xoáy:

.

)()(

yv

xu

t

với thành phần tốc độ theo công thức (4.6.14)

Xoáy tốc độ ở bước thời gian )( tt xác định bằng sơ đồ sai

phân trung tâm:

tt t

tttt

.2

Ở bước đầu tiên thì thay bằng sơ đồ sai phân tiến. Biết giá trị

tt có thể tìm được hàm dòng ở thời điểm )( tt theo phương trình

Poát-xông:

tttt

Quátrình tính được lặp lại và dự báo được hàm dòng ở bước tiếp

theo. Đến bước cuối cùng của thòi hạn dự báo thì sau khi tìm được

tnt . giải phương trình cân bằng để xác định địa thế vị theo hàm dòng.

Đây là mô hình dùng trong dự báo nghiệp vụ ở Mỹ. Số liệu ban

đầu là độ cao mặt đẳng áp 850, 500 và 200mb. Đã tiến hành dự báo cho

các mực này và nội, ngoại suy cho mực 300 và 1000mb. Dự báo cho khu

vực Bắc Mỹ vào những năm 1962 – 1963. Sai số bình phương trung bình

của mặt 850, 500 và 300mb là 2,6: 3,4 và 5,1 dam. Hệ số tương quan

khoảng 0,6-0,8. Kết quả tính toán cho thấy sử dụng phương trình cân

bằng thay cho gần đúng địa chuyển tăng kết quả dự báo thời hạn 1 ngày


đêm lên 4-5%.

4.7 XÁC ĐỊNH HÀM DÒNG THEO PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG

Để dự báo theo mô hình tựa solenoit phải cho giá trị hàm dòng

thời điểm ban đầu. Hàm dòng có thể xác định theo trường gió thực quan

trắc được, song điều này chỉ tiến hành được đối với vùng có quan trắc gió

đầy đủ. Một phương pháp khác có thể xác định hàm dòng theo trường địa

htế vị nhờ phương trình cân bằng. Trong chương 1 ã tìm được phương

trình cân bằng ở dạng:

2

22

2

2

2

22 2

yyxyx (4.7.1)

Trong phương trình (4.7.1) nếu chỉ giữ lại các thành phần chính thì

gió sẽ gần với gió địa chuyển.

Thực vậy, nếu giữ các thành phần chính thì (4.7.1) có dạng:

22 1

(4.7.2)

Hay

tức là gió địa chuyển. Phương trình (4.7.1) có thể xem

như phương trình tổng quát của gió địa chuyển. Để tìm trường hàm dòng

theo trường địa thế vị, giải phương trình (4.7.1). Phụ thuộc vào các hệ số

đứng trước các đạo hàm mà phương trình (4.7.1) có thể là phương trình

Eliptic, Hypebolic hoặc Pararabolic.

Nếu coi y

nhỏ hơn nhiều so với 2 thì có các điều kiện sau:

Nếu 02 22 : Phương trình (4.7.1) là phương trình Elip.

Nếu 02 22 : (4.7.1) là phương trình Hypebol.

Nếu 02 22 : (4.7.1) là phương trình Parabol.

Trên thực tế thường thoả mãn điều kiện đầu tiên nên phương trình

(4.7.1) là phương trình dạng Elip. Ở vĩ độ cao và vĩ độ trung bình, chỉ

những vùng xoáy nghịch mạnh 02 thì điều kiện Elip mới không

thoả mãn. Đối với mặt 500mb ở vĩ độ trung bình khoảng 3% diện tích

không thoả mãn điệu kiện Elip. Để giải nó, coi toàn miền thoả mãn điều

kiện Elip đối với phương trình (4.7.1). Những điểm không thoả mãn điều

kiện này tiến hành là trơn nó để thoả mãn điều kiện này thì dừng.

Điều kiện biên cho phương trình Elip (4.7.1) là phải cho s

. (s -

hướng tiếp tuyến với đường cong) trên đường biên. Vìs

không thể

biết trên biên nên cho giá trị địa chuyển s

1.

Phương trình (4.7.1) là phương trình phi tuyến đối với vì vậy

phải giải số trị để tìm theo .

Biến đổi (4.7.1) về dạng phương trình bậc hai đối với 2 . Để

làm việc này thay:

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

4

1

yxyxyx

vào (4.7.1) sẽ được:

022

22

2

22

2

2

2

2

2222

y

yxyx

(4.7.3)

Từ (4.7.3) tìm được 2 là nghiệm của phương trình bậc hai:


yyxyx

222

22

2

2

2

2

222 (4.7.4)

Từ hai nghiệm chỉ chọn một nghiệm với dấu cộng trước căn thức

vì chỉ có nghiệm này mới thoả mãn điều kiện hệ thức địa chuyển. Nếu bỏ

qua các thành phần phi tuyến trong (4.7.4) thì có thể viết:

2222 ...1

21.

Nghiệm với dấu âm không có ý nghĩa vật lý nên bỏ đi.

Sử dụng (4.7.1) để xây dựng quá trình lặp theo công thức sau:

yyxyx

12

122

2

12

2

1222

2

222

(4.7.5)

ở đây là số lần lặp.

Gần đúng ban đầu cho hàm được sử dụng gần đúng địa chuyển:

Quá trình lặp được kết thúc khi sai số khép giữa vế phải và trái nhỏ

hơn sai số tính toán.

Việc giải bài toán tìm hàm theo phương trình Poát - xông đã

được trình bày ở trên. Điều kiện biên sử dụng ở đây là điều kiện gần

đúng địa chuyển:

l

0

Để xác định địa thế vị từ trường hàm dòng chỉ giải phương trình

Poát- xông:

02

22

2

2

2

222

yyxyx

(4.7.6)

với điều kiện biên là hệ thức địa chuyển trên đường biên:

4.8 CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

Khi gần đúng các phương trình thủy nhiệt động lực học bằng các

sai phân hữu hạn đều mắc phải sai số. Trong quá trình tích phân theo thời

gian các sai số được tích luỹ. Vì vậy để kiểm soát quá trình tích phân cần

phải theo dõi tính chất bảo toàn của một số đại lượng vật lý trong mô

hình.

Trong mô hình chính áp tựa solenoit phương trình xoáy có dạng:

),()( 22 llt

(4.8.1)

Nếu l = const thì phương trình (4.8.1) sẽ là:

),()( 22 t

(4.8.2)

Lấy tích phân (4.8.2) theo miền S = (b-a)(d-c) (hình 4.7)

b

a

d

c

b

a

d

SS

dxdyxy

dxdyyx

dSdSt

..

),(

22

22

(4.8.3)

Nếu trên biên của miền tính = const thì tích phân (4.8.3) bằng 0,

tức là:

S

dSt

dSt

022

Từ đây nhận thấy đại lượng S

dS2 luôn được bảo toàn trong quá

trình tích phân phương trình (4.8.2) vì mô hình dự báo tựa solenoit luôn


cho = const trên biên.

Hình 4.7. Miền tích phân S

Xét một đại lượng bảo toàn khác cho mô hình này. Nhân phương

trình (4.8.2) với 2 và lấy tích phân theo miền S:

dSdSt

SS

),()( 2222 (4.8.4)

Để tính vế phải của (4.8.4), sử dụng tính chất của Jacobian sẽ tìm

được:

b

a

d

c

b

a

d

dxdydxdy 0),)((2

1),( 2222

Như vậy suy ra

S

dSt

0)(2

1 22 (4.8.5)

Từ (4.8.5) nhận thấy đại lượng

S

dS22 )( được bảo toàn trong

quá trình tính tích phân (4.8.2).

Một đại lượng thứ 3 được bảo toàn trong mô hình này là tích phân

động năng theo toàn miền. Để chứng minh điều này nhân (4.8.2) với

và lấy tích phân theo miền S:

SS

dSdSt

0),( 22 (4.8.6)

Biến đổi tích phân vế trái của (4.8.6):

b

a

d

c

b

a

d

c

S

dxdyytyxtx

dxdyyxt

dSt

22

2

2

2

2

2

b

a

d

c

b

a

d

c

dydxytyxtx

dxdyytyxtx

(4.8.7)

Nếu trên biên của miền S hàm dòng = const, tức làt

=0 thì

thành phần thứ nhất ở (4.8.7) bằng không, sẽ có:

S S

dSyxt

dSt

222

2

1 (4.8.8)

Với gần đúng solenoit thì:

22

1 22v

x

,22

1 22u

y

Kyx

2

vu

2

1 2222

K là động năng của một đơn vị khối lượng khí.

Từ biểu thức (4.8.8):


0

S

KdSt

hay

S

KdS = const

Như vậy tích phân động năng trong toàn miền được bảo toàn trong

quá trình tích phân.

Để các đại lượng trên được bảo toàn trong quá trình tích phân thì

toán tử Jacobian cần được tính toán theo sơ đồ của Arakawa.

Một cách tương tự các tính chất trên dễ dàng nhận được cho mô

hình chính áp gần đúng địa chuyển.


Chương 5

CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO DỰA TRÊN CÁC PHƯƠNG TRÌNH THỦY NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC NGUYÊN THỦY

5.1 BÀI TOÁN DỰ BÁO DỰA TRÊN HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH

NGUYÊN THỦY

Hệ các phương trình nguyên thủy dùng để dự báo các quá trình quymô lớn trong hệ toạ độ (x,y, ,t) có thể viết về dạng

xFxyxt

v

uuv

uu

u

yFyy

vxt

u

vvvu

v

pa

cg

RT

y

T

x

T

t

T

)(vu

0vu

yx

RT (5.1.1)

Ở đây u, v là các thành phần tốc độ theo trục x và y;P

p , p= áp

suất, P=1000mb; dt

d - tương tự tốc độ thẳng đứng; - địa thế vị; g

- gia tốc rơi tự do; l - tham số coriolis; a -gradien đoạn nhiệt khô; -

gradien nhiệt độ; Fx, Fy- các thành phần lực nhớt rối theo các trục x và y;

- nguồn nhiệt.

Nếu là hàm cho trước phụ thuộc vào các biến thì hệ (5.1.1) là hệ

khép kín gồm 5 phương trình với 5 ẩn: u,v, , p và T. Tích phân hệ

phương trình trên có thể dự báo được các yếu tố khí tượng trong thời

điểm tiếp theo.

Để tích phân hệ (5.1.1) cần phải cho các điều kiện ban đầu và

điều kiện biên. Hệ (5.1.1) có 3 phương trình dự báo nên cần cho 3 điều kiện ban đầu: u(x,y, ,t0), v(x,y, ,t0), T(x,y, ,t0) hoặc ),,,( 0tyx .

Điều kiện biên theo phương thẳng đứng đặt tại biên trên của khíquyển z= ( 0 ) và biên dưới của khí quyển z=0.

Tại biên trên của khí quyển, sử dụng điều kiện thông lượng khối

lượng qua đây bằng 0

zw

0

Ở đây w là tốc độ thẳng đứng trong hệ toạ độ Đề các.

Khi z thì p 0 nên tại đây:

0

y

p

x

p

t

p

Vì

z

p

y

p

x

p

t

p

dtP

pd

dt

dwvu

1

nênP

g

z

p

Pdt

d ww

1

00

(5.1.2)

Theo (5.1.2) thì tại biên trên của khí quyển:

00

(5.1.3)

Tại biên dưới của khí quyển trong điều kiện mặt đất phẳng, không có địa hình đồi núi thì cũng có điều kiện w=0.

Từ phương trình


wgdt

d

(5.1.4)

suy ra điều kiện

00

zdt

d

Vì mực 1 gần trùng với mực z = 0 nên một cách gần đúng, có

thể coi:

0vu

yxttại 1

Sử dụng phương trình tĩnh học:

0vu

RT

yxt

tại 1 (5.1.5)

Trong trường hợp có tính đến địa hình thì dòng thăng trên mặt địa

hình sẽ là:

yxgdhdh

vu1

Wdh (5.1.6)

Ở đây dh là địa thế vị mặt địa hình. Sử dụng giả thiết đơn giản là

mặt đất tương đối trùng với mực 1 . Thay điều kiện (5.1.6) vào

(5.1.4):

0)(v)(u

RT

yxtdhdh

tại 1

Trong trường hợp cần tính ảnh hưởng của lớp biên khí quyển trong

mô hình thì có thể thay tốc độ dòng thăng ở đỉnh lớp biên do ma sát rối

WR vào phương trình (5.1.4). Nếu đã tính đến vai trò của rối thì phải cho

điều kiện u = v =0 tại z = 0 (đây là điều kiện dính, phần tử khí bám chặt

với mặt đất) và điều kiện cho các thông lượng rối tại biên trên và biên

dưới của khí quyển.

Đối với các mô hình quy mô lớn - quy mô toàn cầu thì điều kiện

biên ngang không cần thiết. Đối với các mô hình cho khu vực hạn chế,

với mục đích tiết kiệm thời gian tính, có thể đặt lưới lồng để chi tiết hoá

dự báo và nâng cao độ chính xác của dự báo. Nếu đặt điều kiện biên

ngang không tốt thì trên biên sẽ xuất hiện các sóng giả với biên độ lớn.

Các sóng này làn truyền vào sâu trong miền dự báo làm sai lệch trường

dự báo.

Trên thực tế người ta thường sử dụng hai cách cho điều kiện biên.

Cách thứ nhất là tính tất cả các biến trên biên sử dụng các sai phân hữu

hạn theo x và y hướng vào trong của miền. Như vậy các biến trên biên

tính được chỉ dùng các giá trị hàm số trên biên và các điểm lưới lân cận

biên ở bên trong miền tính. Cách thứ hai là sử dụng các biến của mô hình

nền làm điều kiện biên cho mô hình trên khu vực hạn chế. Trường hợp

này do bước thời gian và không gian của hai mô hình không bằng nhau

nên các điều kiện biên phải nội suy theo thời gian và không gian từ các

giá trị của mô hình nền.

Khi tích phân hệ phương trình cho lưới lồng người ta sử dụng

phương pháp tương tác một chiều và phương pháp tương tác hai chiều.

Phương pháp tương tác một chiều chỉ tính ảnh hưởng của các quá trình

mà lưới thô mô tả được, không tính quá trình ngược lại. Phương pháp

tương tác hai chiều là tính ảnh hưởng qua lại giữa các quá trình trên lưới

thô và lưới tinh.

Sử dụng tương tác một chiều thì mô hình trên lưới thô tích phân

một cách độc lập và từng bước thời gian ghi lại giá trị các biến được sử

dụng để nội suy về các điểm biên của lưới tinh để làm điều kiện biên cho

mô hình lưới tinh. Để tính tương tác hai chiều thì mô hình lưới thô tích

phân một bước thời gian sau đó tích phân mô hình lưới tinh giống như

trường hợp tương tác một chiều. Sau khi tích phân mô hình lưới tinh

được một bước thời gian thì lại tích phân mô hình lưới thô có sử dụng các

giá trị của biến phụ thuộc trên lưới tinh. Như vậy hai mô hình được tích


phân phụ thuộc vào nhau, kết quả của mô hình nền làm điều kiện biên

cho mô hình lưới tinh, kết quả của mô hình lưới tinh tham gia vào trường

ban đầu của mô hình lưới thô ở mỗi bước thời gian.

Do tính đơn giản mà phương pháp tương tác một chiều được sử

dụng nhiều hơn, song sử dụng nó cũng gặp không ít khó khăn. Khó khăn

lớn nhất ở đây là do phương pháp tương tác một chiều nền chỉ cho điều

kiện biên ở những nơi có ảnh hưởng từ ngoài vào tức là cho ở vùng biên

có gió thổi từ ngoài vào trong. Như vậy cho giá trị các biến trên tất cả các

điểm biên theo mô hình của lưới thô là không được. Trong trường hợp

này thừa điều kiện biên và dẫn đến sai số, đôi khi nghiệm bị “bùng nổ”.

Để khắc phục điều này người ta có nhiều giải pháp khác nhau. Một trong

số các giải pháp là trên biên những vùng gió thổi ra thì sử dụng các giá trị

của các biến phụ thuộc ngoại suy từ các điểm bên trong của miền dự báo,

Thí dụ, đối với các điểm biên có dòng thổi vào thì chỉ cho các thành phần

gió lấy từ mô hình lưới thô, các biến khác thì cho ở tất cả các điểm trên

biên, còn các điểm có dòng thổi ra thì gió được ngoại suy từ vùng bên

trong biên.

Một cách khác cho điều kiện biên ở dạng điều kiện phát xạ. Giả

thiết rằng nghiệm của phương trình ở dạng tổng của các sóng, năng lượng

của các sóng này được truyền đi với tốc độ nhóm. Lân cận mỗi điểm biên

có một sóng mạnh mà hình chiếu của tốc độ pha và tốc độ nhóm trên

pháp tuyến với đường biên có cùng dấu. Trong trường hợp này có thể gần

đúng coi nghiệm ở lân cận các điểm biên thoả mãn phương trình

0

x

fc

t

f

Ở đây c là tốc độ pha của sóng mạnh nhất ở biên vào thời điểm

đã cho. Tốc độ pha xác định bẳng cách ngoại suy từ các điểm lưới tinh

gần biên nếu tốc độ pha hướng từ trong ra ngoài, ngược lại các biến phụ

thuộc trên biên ở nút lưới tinh được xác định theo giá trị của chúng ở các

điểm lưới thô trên biên nếu tốc độ pha hướng từ ngoài vào trong.

Áp dụng phương pháp tương tác hai chiều, khó khăn chính là phải

hoà hợp các nghiệm trên lưới tinh và lưới thô. Sự hoà hợp này là cần thiết

vì tốc độ pha của các nghiệm là khác nhau. Trên lưới thô tốc độ pha nhỏ

hơn trên lưới tinh. Tốc độ pha của các sóng ngắn nhỏ hơn các sóng dài.

Các sóng có thể xuất hiện trên hai lưới khi chuyển từ lưới thô vào lưới

tinh sẽ nhanh lên và nó bị kéo dài ra về hướng chuyển động của chúng,

còn khi chuyển từ lưới tinh sang lưới thô thì nó bị chặn lại và sóng co lại.

Những sóng chỉ xuất hiện trên lưới tinh trên biên giữa các lưới sẽ bị phản

xạ trở lại vào trong lưới tinh hoặc là biến đổi thành các sóng khác và sinh

ra các moda vật lý và tính toán khác. Do tốc độ pha trên các lưới khác

nhau về độ phân giải làm xuất hiện sai số của nghiệm trên lưới thô. Hiệu

ứng này gọi là khúc xạ tính toán.

Sử dụng phương pháp tương tác hai chiều cũng gặp khó khăn

giống như phương pháp tương tác một chiều là không thể mô tả chính xác

quá trình lan truyền nhiễu động trên các lưới có độ phân giải khác nhau.

Đối với các mô hình tương tác hai chiều tuy tình thế có khá hơn song các

nhiễu động quy mô nhỏ chỉ có thể phân giải trên lưới tinh lại không thể

truyền qua biên mà phản xạ lại. Để làm suy giảm sự phát triển của các

xoáy phản xạ hoặc sinh ra do các hiệu ứng không mong muốn trên biên

người ra tiến hành làm trơn các biến ở vùng biên hoặc đưa các thành phần

khuếch tán vào phương trình.

Để làm giảm ảnh hưởng của ồn xuất hiện gần biên trong nhiều

công trình đã hoà hợp tốc độ pha và biên độ của các sóng chậm (sóng dài

khí tượng) và sóng nhanh (sóng dài trọng lực) bằng cách đưa các bộ lọc

vào các phương trình trên lưới tinh hoặc lưới thô. Các bộ lọc này làm cho

sai số gần đúng các đạo hàm trên các lưới có độ phân giải khác nhau gần

lại nhau về bậc đại lượng. Điều này làm giảm sự khác nhau về độ chính

xác mô tả tốc độ pha và biên độ của các sóng.


Một cách đơn giản là cho các điều kiện biên giả:

0vu

Gt

T

GtGt(5.1.7)

Theo (5.1.7) thì các yếu tố khí tượng trên biên không đổi theo thời

gian. Điều kiện này sẽ làm sai lệch nghiệm cần tìm. Để làm giảm sự ảnh

hưởng của các điều kiện biên giả người ta sử dụng một số thủ thuật như

chuyển dần từ giá trị không đổi của các biến trên biên sang các giá trị

biến đổi ở các điểm lưới bên trong phù hợp với các phương trình dự báo.

Thí dụ điều kiện sau:

Nn

n t

f

t

f

(5.1.8)

Ở đây f là biến dự báo, N là điểm lưới bắt đầu từ điểm này đi vào

trong cần tìm nghiệm f; n là số thứ tự điểm lưới kể từ biên (n=0) đến

điểm tìm nghiệm N. N

nn - thừa số trọng lượng biến thiên từ 0 đến

1.

Sử dụng điều kiện (5.1.8) phải tạo ra một vùng đệm xung quanh

vùng dự báo. Đối với vùng đệm này phải giải bài toán biên cho phương

trình Laplas với điều kiện biên thay đổi theo thời gian ở biên bên trong

(nơi tiếp giáp giữa vùng đệm và vùng dự báo) với điều kiện biên không

đổi trên biên ngoài hoặc:

0vu

n

T

nn

ở đây n là pháp tuyến ngoài của đường biên.

Trong một số mô hình có thể đặt điều kiện biên sau:

0

Gt

, 0

Gy

v

x

u

GD

Đối với các mô hình dự báo dựa trên hệ các phương trình đầy đủ

có thể đặt điều kiện biên tuần hoàn theo phương ngang:

),,(),,( tyLxtyx x

),,(),,( tLyxtyx y

Ở đây Lx, Ly là kích thước miền dự báo theo x và y.

Đối với các mô hình dự báo cho Bắc hoặc Nam bán cầu thì có thể

đặt điều kiện biên trên xích đạo như sau:

0G

cn , 0

Gn

ct , 0

Gn

T

Ở đây cn, ct là thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của gió trên

đường xích đạo.

5.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN THỦY CHO KHÍ QUYỂN CHÍNH

ÁP

5.2.1 Các hệ phương trình nước nông

Trong trường hợp khí quyển chính áp - khí quyển đồng nhất không nén được ( const ) với biên trên là mặt tự do h(x, y, t) ta tìm được hệ

phương trình đơn giản mô tả chuyển động của khí quyển này. Tích phân

phương trình liên tục cho khí quyển không nén được từ 0 đến h với điều

kiện gió không đổi theo chiều cao tốc độ thẳng đứng bằng không ở mặt

đất nhận được:

y

vu

y

vuW

0

hx

hdzx

h

(5.2.1)

Mặt h(x, y, t) là mặt tự do nó được cấu tạo từ các phần tử cố định nênthoả mãn hệ thức:

dt

dhhW

hay


y

h

x

h

t

h

vuWh (5.2.2)


0vu

vu

yxh

y

h

x

h

t

h(5.2.3)

Đối với khí quyển đồng nhất, áp suất giảm tuyến tính theo độ cao:

)( zhgP

nên:

x

hg

x

p

1

y

hg

y

p

1(5.2.4)

Thay (5.2.4) vào các phương trình chuyển động trong hệ toạ độ Đề

các nhận được:

vu

vu

uu

x

hg

yxt

vv

vv

uv

x

hg

yxt(5..2.5)

Các phương trình (5.2.3), (5.2.5) tạo thành hệ khép kín dự báo

được các thành phần tốc độ gió và độ cao mặt tự do hay địa thế vị của nó gh .

Ở đây cần phải cho điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Các điều

kiện biên có thể cho là

0

zGt

v

Gt

u

Điều kiện ban đầu cần cho là

u(x, y, t0) = u0(x, y)v(x, y, t0) = v0(x, y)

(x, y, t0) = 0(x, y)

5.2.2 Các phương trình của mô hình chính áp trong hệ toạ độ

Các phương trình trong hệ toạ độ SP

p (Ps là áp suất mặt đất)

dễ dàng nhận được khi thay vào hệ (1.2.21). Đối với khí quyển

chính áp )(Pf nên:

)ln(1

pRTxx

p

x

(5..2.6)

Lấy vi phân (5.2.6) theo và đổi vị trí vi phân nhận được

p

xx

pRT

x

1ln

Theo phương trình tĩnh học:

p1

nên vế phải của phương trình trên bằng 0. Tương tự với phương

trình chuyển động theo trục y, a có thể viết:

0ln

x

pRT

x

0ln

y

pRT

y

Theo (5.2.7) thì gradien của áp suất không đổi theo hay gió địa

chuyển cũng không đổi theo . Như vậy gradien của áp suất có thể lấy ở

mực bất kỳ và các thành phần

uvà

vtrong các phương trình

chuyển động có thể bỏ qua do gió gần với gió địa chuyển. Phương trình

chuyển động viết cho mực const bất kỳ có dạng:


v1u

vu

uu

x

P

xyxt

u1v

vv

uv

y

P

yyxt

(5.2.8)

Thay thành phần lực gradien khí áp bằng giá trị của nó ở mực

1 trong phương trình (5.2.8) nhận được:

v1u

vu

uu

lx

P

yyxts

s

S

(5.2.9)

u1v

vv

uv

ly

P

yyxts

s

S

(5..2.10)

Ở đây )( ss Pf , S là địa thế vị mặt đất.

Tích phân phương trình liên tục trong hệ toạ độ

0)v()u(

sss

s PPy

Pxt

P

theo từ 0 đến 1 với điều kiện biên

0 tại = 0 và =1

và điều kiện u, v không phụ thuộc vào ta được:

0)v()u(

y

P

x

P

t

P sss (5..2.11)

Hệ phương trình (5.2.9)-(5.2.11) là một hệ khép kín cho 3 ẩn u, v,

Ps. Sử dụng điềư kiện biên ngang và ban đầu cho u, v, Ps tích phân chúng

theo thời gian bằng các phương pháp số trị.

5.3 TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN CỦA CÁC MÔ HÌNH DỰA TRÊN HỆ

CÁC PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN THỦY

5.3.1 Các tính chất tích phân của mô hình nước nông

Hệ phương trình nước nông (5.2.3)-(5.2.5) được xác định nghiệm

trong miền hình chữ nhật có cạnh song song với các trục Ox và Oy giới

hạn bởi các điểm x1, x2 và y1, y2 trên các trục tương ứng. Trên các đường

biên thoả mãn điều kiện:

0vu2

1

2

1

yy

yy

xx

xx(5.3.1)

Điều kiện (5.3.1) có nghĩa trên các đường biên thành phần gió theo

phương pháp tuyến bằng 0 tức là không có vận chuyển vật chất qua biên.

Nhân (5.2.3) với gia tốc trọng trường g và viết lại kết quả về dạng:

0vu

yxt

(5.3.2)

Lấy tích phân (5.3.2) theo x và y từ x1 đến x2 và từ y1 đến y2 nhận

được:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)v()u(

y

y

x

x

x

x

y

y

y

y

x

x

dydxy

dxdyx

dxdyt

Các tích phân vế phải của phương trình này bằng 0, theo điều kiện

biên (5.3.1).

Từ đây có:

2

1

2

1

0

y

y

x

x

dxdyt

2

1

2

1

y

y

x

x

constdxdy (5.3.3)

Điều kiện bảo toàn (5.3.3) các mô hình nước nông có nghĩa là bảo

toàn khối lượng trong thể tích:

V= (x2 - x1)(y2 - y1).h

Thực vậy, khối lượng chất lỏng M trong thể tích V được xác định

bằng tích phân:


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

y

y

x

x

y

y

x

x

h y

y

x

x

dxdyg

hdxdydzdxdyM

Vì = const, g = const, và (5.3.3) nên M = const.

Một bảo toàn thứ hai đối với mô hình này là tổng thế năng và động

năng. Để có phương trình cho động năng 2

vu 22 kE nhân các phương

trình (5.2.5) với u và cộng kết quả lại:

0)(v)(u

kk

k Ey

Ext

E(5.3.4)

Nhân phương trình (5.3.4) với , (5.3.2) với và Ek được

0)(v)(u

kk

k Ey

Ext

E(5.3.5)

0)v()u(2

2

yxt(5.3.6)

0)v()u(

yE

xE

tE kkk (5.3.7)

Cộng 3 phương trình (5.3.5) - (5.3.7)

0)(v)(u2

2

kkk E

yE

xE

t(5.3.8)

Tích phân (5.3.8) theo miền xác định nghiệm và theo điều kiện

biên (5.3.1) tìm được:

2

1

2

1

02

2y

y

x

x

k dxdyEt

tức là:

constdxdyE

y

y

x

x

k

2

1

2

1

2

2

(5.3.9)

Điều kiện (5.3.9) là đại lượng tích phân bảo toàn của mô hình. Đại

lượng này liên hệ với tổng động năng E và thế năng của khối lượng

khí trong thể tích V.

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

y

y

x

x

k

y

y

x

x

h y

y

x

x

kkk dxdyEg

hdxdyEdzdxdyEE

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

2

0

2 y

y

x

x

y

y

x

x

h y

y

x

x

dxdyg

dxdyh

ggzdzdxdy

Thay vào (5.3.9), rút ra

constEk

Một đại lượng bảo toàn thứ 3 đối với mô hình nước nông là bình

phương độ xoáy.

Viết lại hệ phương trình nước nông về dạng

vu

vu

uu

xyxt

uvv

uv

yy

v

xt

0)()(

v

yu

xt(5.3.10)

Thêm vào và trừ đi ở vế trái của phương trình đầu của (5.3.10) đại

lượng x

vv và phương trình thứ hai

x

uu thu được

0)()(vu

kE

xt


0)()(uv

kE

yt

Ở đây yx

uv- xoáy tương đối

2

vu 22 kE động năng của một đơn vị khối lượng. Viết lại các

phương trình trên về dạng:

0)(~

v~u

E

xt(5.3.11)

0)(~

u~v

E

yt(5.3.12)

Ở đây uu~ , vv~ ,

~

Từ (5.3.11) và (5.3.12) tìm được phương trình xoáy thế của tốc độ:

0)~

v~()~

u~()~

(

yxt (5.3.13)

Lấy (5.3.13) trừ đi phương trình thứ 3 của (5.3.10) được:

0

~

v

~

u

~

yxt

Nhân phương trình này với ~

, sau đó với sử dụng (5.3.10) ta

được:

02

~

v~2

~

u~2

~ 222

yxt (5.3.14)

Tích phân (5.3.14) theo miền xác định nghiệm và sử dụng điều

kiện biên (5.3.1)

2

1

2

1

02

~ 2y

y

x

x

dxdyt

tức là constdxdy

y

y

x

x

2

1

2

1

2

~ 2

(5.3.15)

Theo điều kiện (5.3.15) bình phương xoáy trung bình thế năng

được bảo toàn. Đại lượng này còn gọi là enstropy thế năng.

5.3.2 Tính chất tích phân của mô hình chính áp trong hệ toạ độ

Để nhận được phương trình năng lượng của mô hình chính áp

trong hệ toạ độ nhân phương trình (5.3.9) với uPs, phương trình

(3.5.10) với vPs, phương trình (5.3.11) với Ps và cộng kết quả lại. Trong

trường hợp không có ảnh hưởng của địa hình, nhận được:

y

PP

x

PP

PEP

y

PEP

x

PEP

t

s

s

ss

s

s

ss

ss

ss

vu

2v

2u

2

2

(5.3.16)

Biến đổi thành phần vi phân trong vế phải (5.3.16) viết lại nó về

dạng:

yx

RTP

y

P

x

PEP

y

PEP

x

PEP

t

ssss

s

ss

ss

ss

vu

22v

2u

1

2v

2u

2

222

2

(5.3.17)

Tích phân (5.3.17) trên miền hình chữ nhật theo x từ x1 đến x2,

theo y từ y1đến y2. Trên biên của miền thoả mãn điều kiện:

0vu2

1

2

1

yy

yy

xx

xx(5.3.18)

Tích phân thành phần thứ hai và thứ ba vế trái (5.3.17) sẽ bằng 0


do điều kiện (5.3.18). Với S = const tích phân vế phải (5.3.17) cũng

bằng 0. Từ đó suy ra:

constdxdyP

EP

y

y

x

x

sS

2

1

2

1

2(5.3.19)

Đây là đại lượng bảo toàn của mô hình.

Khối lượng không khí M trong miền cũng được bảo toàn. Thực

vậy:

2

1

2

1

2

1

2

1

0vu

y

y

x

x

ss

y

y

x

x

s dxdyy

P

x

PdxdyP

t

constgMdzdxdygdxdyP

y

y

x

x

y

y

x

x

s 2

1

2

1

2

1

2

1 0

từ đây ta chứng minh được M = const.

5.3.3 Tính chất tích phân của mô hình tà áp trong hệ toạ độ (x,y, ,t)

Sử dụng hệ phương trình (5.1.1) với gần đúng đoạn nhiệt, không có

lực nhớt để tìm hiểu các tính chất tích phân của mô hình. Miền tích phân là một khối hộp chữ nhật có cạnh dọc theo các trục Ox, Oy, O . Độ dài

của các cạnh là x2 - x1, y2 - y1, độ cao của nó từ mặt đất P

sPS đến

biên trên của khí quyển 0 .

Trên các mặt biên của khối hộp chữ nhật đặt điều kiện biên:

0vu2

1

2

1

yy

yy

xx

xx

00

0

s

w

yxtss

s

vu tại s (5.3.20)

Nhân phương trình thứ nhất của (5.1.1) với u, thứ hai với v và cộng

kết quả thu được phương trình cho động năng 2

vu 22 kE

0vuvu

yx

E

y

E

x

E

t

E kkkk

(5.3.21)

Nhân phương trình nhập nhiệt trong (5.1.1) với cp và thay

RT

thu được phương trình cho Entalpy: E=cpT

0vu

E

y

E

x

E

t

E(5.3.22)

Cộng (5.3.21) với (5.3.22), sử dụng phương trình liên tục thu được:

0v

u

EkEEkEy

EkEx

EkEt

(5.3.23)

Khối lượng của một thể tích dxdydz là:

dxdydzP

dxdydzg

dxdydz

1

Tích phân (5.3.23) theo khối lượng

0v

u2

1 1 0

dxdydEEEEy

EEx

EEtg

P

kk

y

y

x

x

kk

s

(5.3.24)

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm f:


s s

sffds

Sds

s

f ss

0 0

với s là (x, y, t) ta tính được (5.3.24)

sks

k

y

y

x

x

kk

EEt

dEEy

dEEx

dEEtg

P

s

ss

0

00

v

u2

1

2

1

sks

sks EE

yEE

x

ss vu

0

dxdyEE sks

Từ điều kiện (5.3.20) có:

EE

tEE

yxk

ssks

ssss vu

Nên biểu thức trong ngoặc vuông sẽ là:

t

P

Ptss

s

1

Như vậy tích phân trên có thể viết về dạng

0

ssk PEE

t (5.3..25)

Ở đây

2

1

2

1

1y

y

x

x

ssss dxdyPg

P

2

1

2

1 0

y

y

x

x

kk

s

dxdydEg

PE

2

1

2

1 0

y

y

x

x

s

dxdyEdg

PE

Thế năng của khối lượng khí trong thể tích xác định được bởi tích

phân:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

00

y

y

x

x

y

y

x

x

ss

y

y

x

x

y

y

x

x

s

ss

dxdyRTddxdyPg

P

dxdydg

Pdzdxdygz

Vì nội năng của thể tích khí được xác định bằng

2

1

2

1 0

y

y

x

x

n

s

dxdyTdcg

PE

nên

ssn PEE

Phương trình (5.3.25) viết lại về dạng

0

nk EE

t(5.3.26)

Điều kiện (5.3.26) cho thấy tổng động năng, nội năng và thế năng

của thể tích khí không đổi trong quá trình tích phân mô hình với điều kiện

biên (5.3.20).

5.4 NGĂN CHẶN VÀ LÀM SUY YẾU BẤT ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN

Như đã trình bày ở trên, các thành phần phi tuyến tạo ra các sóng

giả và các dòng nhập nhiệt giả đến các sóng ngắn. Đây là nguyên nhân

tạo ra sự bất ổn định của các nghiệm số. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này,

xét mô hình chính áp không có Divegiăng:


,22

t(5.4.1)

Ở đây là hàm dòng, ,2 là Jacobian. Điều kiện biên cho

(5.4.1) là =const trên biên. Miền tích phân của (5.4.1) là hình chữ nhật

có cạnh là Lx, Ly.

Trường hàm dòng được biểu diễn ở chuỗi Fourier kép:

0 1

,, sin2

sin2

cos,,m n yx

nmx

nmL

ny

L

mxb

L

mxatyx

(5.4.2)

Ở đây am,n, bm,n là các hệ số phụ thuộc vào thời gian.

Thay (5.4.2) vào vế phải của (5.4.1). Do tích của hai chuỗi mà

nhận được chuỗi mới có các thành phần chứa tích của hàm sin và cos với

các số sóng khác nhau.

Giả sử các sóng ban đầu có số sóng làxL

m2

1 ,yL

n

1 ,

2

2

2

xLm

,

yLn

22 thì sau khi khai triển tích của các hàm sin và cosin

của các đối số trên thì sẽ xuất hiện các sóng có số sóng là m1 + m2, n1 +

n2, m1 -m2, n1 -n2. Các sóng mới này mang một năng lượng nhất định.

Năng lượng này do chuyển dịch từ các sóng ban đầu trong chuỗi (5.4.2).

Như vậy, thành phần phi tuyến trong (5.4.1) đã mô tả sự vận chuyển năng

lượng giữa các sóng. Arakawa đã chứng minh rằng các sơ đồ sai phân

hữu hạn có thể xây dựng sao cho giá trị động năng và enstrophy trung

bình trong toàn miền tích phân được bảo toàn trong quá trình tích phân.

Thoả mãn điều kiện này thì ngăn chặn được dòng nhập năng lượng ảo

đến các sóng ngắn và như vậy sẽ không có sai số nhận biết giả và bất ổn

định sẽ không phát triển. Vấn đề này đối với các mô hình dự báo hạn dài

phải hết sức quan tâm.

Việc ngăn chặn bất ổn định phi tuyến cũng có thể làm được bằng

cách sử dụng phương pháp Lagrăng để mô tả bình lưu. Biến đổi các đại

lượng do bình lưu ở đây được xác định bằng hiệu của chúng ở điểm đầu

và điểm cuối quỹ đạo phần tử khí sau một bước thời gian.

Kiểm tra sự phát triển bất ổn định phi truyến có thể tiến hành bằng

cách định kỳ tính các bảo toàn tích phân và làm suy yếu nó bằng cách lọc

các sóng ngắn. Có nhiều cách để lọc sóng ngắn. Thí dụ, sau một số bước

tích phân người ta phân tích trường thành chuỗi Fourier rồi bỏ đi các

thành phần chứa số sóng lớn. Bỏ đi các sóng có độ dài khoảng hai hay ba

bước lưới sẽ loại trừ được sai số nhận biết nhầm.

Để ngăn chặn được sự gia tăng các mode tính toán và bất ổn định

phi tuyến người ta thường sử dụng các toán tử làm trơn và lọc theo không

gian và thời gian.

Thí dụ, bộ lọc không gian của Sapiro có dạng:

ijijij

xy

ij fyy

fxx

ff4

44

4

22

Ở đây

jijiijjijiij fffffx

fx ,2,1,1,24

4464

1

2,1,1,2,4

4464

1

jijiijjijiij fffff

yfy

là hằng số kinh nghiệm.

Bộ lọc thời gian có dạng:

11 25,0 sij

sij

sijij

s

ij fffff

Ở đây s là số bước thời gian, là tham số lọc thường lấy = 0,05.

Đưa vào các phương trình thành phần nhớt, sử dụng các sơ đồ sai

phân có nhớt tính toán hay các sơ đồ sai phân làm trơn các sóng ngắn đều

làm giảm bất ổn định phi tuyến. Người ta sử dụng các sơ đồ tuyến tính và


không tuyến tính để mô tả nhớt. Các sơ đồ tuyến tính thường không chỉ

làm suy yếu các sóng ngắn mà còn làm tắt dần các sóng có ý nghĩa khí

tượng. Chính vì thế mà các sơ đồ phi tuyến mô tả nhớt trong các phương

trình được dùng nhiều hơn. Tuy vậy việc lọc và ngăn chặn sóng ngắn

bằng nhớt nhân tạo sẽ dẫn đến sai lệch sự phân bố năng lượng theo phổ

các nhiễu trong khí quyển. Vì vậy không phải lúc nào cũng sử dụng. Trên

thực tế thường dùng các sơ đồ bảo toàn năng lượng và enstrophy.

5.5 CÁC SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN SỬ DỤNG TRONG CÁC MÔ

HÌNH DỰ BÁO

Trong các mô hình dự báo dựa trên các phương trình nguyên thủy

thường sử dụng các sơ đề hiển với sai phân trung tâm, sơ đồ Lax-

Wendroff và các sơ đồ bán ẩn cũng như ẩn. Trong thời gian gần đây

người ta chú ý nhiều đến các sơ đồ bán ẩn vì áp dụng nó cần ít thời gian

tính toán hơn các sơ đồ hiện và ẩn. Cần xét các loại sơ đồ sai phân hữu

hạn trong các mô hình dự báo.

5.5.1 Các sơ đồ hiện cho các mô hình chính áp

- Sơ đồ Lax-Wendroff

Sơ đồ Lax-Wendroff có khả năng lọc sóng ngắn và làm suy yếu bất

ổn định. Xét sơ đồ này trên lưới dao động gồm các điểm có chỉ số nguyên

(i, j) và các điểm có chỉ số không nguyên (2

1i ,

2

1j ). Số liệu ban

đầu cho ở các điểm nguyên. Nghiệm ở các thời điểm nhận được qua hai

bước.

Bước 1 xác định nghiệm ở mực thời gian 2

1s tại các điểm

(2

1i ,

2

1j ) bằng cách sử dụng sơ đồ sai phân tiến theo thời gian và

sai phân trung tâm theo không gian. Các phương trình sai phân hữu hạn

có dạng:

s

ji

xyy

x

yx

xyyx

xy

s

xy

ji

s

jil

t

2

1,

2

1

2

1,

2

12

1

2

1,

2

1 vuvuu2

uu

s

ji

xyy

x

yx

xyyx

xy

s

xy

ji

s

jil

t

2

1,

2

1

2

1,

2

12

1

2

1,

2

1 uvvvu2

vv

s

ji

yx

yx

xyxy

xyy

x

xy

s

xy

ji

s

ji

t

2

1,

2

1

2

1,

2

12

1

2

1,

2

1

vuvu2

(5.5.14)

Bước hai sử dụng sơ đồ sai phân trung tâm theo thời gian và không

gian để dự báo các biến ở mực thời gian s+1 tại các điểm có chỉ số

nguyên (i, j) theo các phương trình ở dạng

2

1

,,

1, vuvuuuu

s

ji

xyy

x

xy

xyyx

xysxyji

sji lt

2

1

,,

1, uvvvuvv

s

ji

xyx

y

xy

xy

yx

xysxyji

sji lt

2

1

,,

1, vuvu

s

ji

xy

yx

xyx

y

xyy

x

xys

xy

jis

ji t (5.5.15)

Điều kiện biên cho mô hình là thành phần gió pháp tuyến với

đường biên và đạo hàm theo phương pháp tuyến của gió tiếp tuyến và địa

thế vị trên biên bằng 0.

- Sơ đồ sai phân hữu hạn trung tâm trên lưới dao động theo không

gian và thời gian


Sử dụng lưới dao động theo không gian và thời gian tiết kiệm được

thời gian tính vì số điểm cần tính giảm đi và khử được mode tính toán do

sử dụng sai phân trung tâm theo thời gian. Sơ đồ sai phân hữu hạn đối với

phương trình nước nông trên lưới dao động có dạng

1,211

uvuvuu2

uu

sss

x

xy

xyyx

xyss

t

1,211

vuvvvu2

vv

sss

y

yx

xyyx

xyss

t

syxy

xxy

ss

t

vu

2

11

(5.5.16)

Ở đây là hệ số nhớt,

1,

2

1,

2

1

2

1,

2

1

2

1,

2

1

2

1,

2

12

1,2

41 s

jis

ji

s

ji

s

ji

s

ji

ssij

fffffd

f

(5.5.17)

với d = x = y và f = (u, v)

Với cách sai phân hữu hạn (5.5.17) sẽ tránh được bất ổn định tính

toán.

5.5.2 Các sơ đồ hiện trong mô hình tà áp

Sơ đồ sai phân trung tâm trong mô hình tà áp ở hệ toạ độ trên

lưới không gian và thời gian dao động.

Hệ phương trình trong mô hình tà áp tựa tĩnh ở hệ toạ độ có

dạng:

uvuu

vu

uu 21

xR

xyxt

vuu

vv

uv 21

yR

yy

v

xt

2vu yxt

0

vu1

0

d

yxt

1

0

1

0

vuvu1

d

yxd

yx

1R (5.5.18)

Ở đây pc

R ,

P

Ps (P=1000mb)

Điều kiện biên thẳng đứng cho ở dạng:

0 tại 0 và 1

S tại 1

Các phương trình trong hệ (5.5.18) cũng được sai phân hữu hạn

giống như sơ đồ (5.5.16):

1,2

1

uv

uuvuuu

ssk

sk

s

k

x

xkksx

s

k

xyyxy

xyyx

xytkt R

1,2

1

vu

vvvvuv

ssk

sk

s

k

y

ykk

sy

s

k

xyyxy

xyyx

xytkt R

1,2vu

ss

k

s

k

xyxy

yyx

xtkt


k

k

k

s

y

x

kx

y

k

t

t

0

vu

k

k

ky

xkx

yk

k

k

k

s

y

x

kx

y

ks

k

k

c

0

2

1

02

1

vu2

1

u1

k

sK

k

kksK

sk R

1

ở đây

k ,

1K , kkk 1

t

fff sk

sk

t

kt

2

111

5.5.3 Các sơ đồ bán ẩn

- Sơ đồ bán ẩn cho mô hình chính áp

Sử dụng lưới dao động để sai phân hữu hạn hệ phương trình nước

nông. Lưới dao động là lưới được cấu tạo từ hai lưới vuông đặt lệch nhau

nửa bước lưới. Có nhiều phương án để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn

cho mô hình này.

Phương án 1:

sxyy

x

sx

y

xyy

x

xyt

t vuvuuu

sxyx

y

sx

y

xyy

x

xyt

t uvvvuv (5.5.19)

1

vuvu

sx

y

y

x

xysx

y

xyy

x

xyt

t

Phương án 2:

sxysy

x

sx

y

xyy

x

xyt

t vuvuuu1

s

xys

x

y

sxy

xyyx

xyt

t

uvvvuv1

ssxy

yx

xys

x

y

xyy

x

xyt

t

1

vuvu

Phương án 3:s

xy

x

sxy

yx

xyt

t

vuvuuu

sxy

y

sxy

xyyx

t

t

uvvvuv (5.5.20)

1yx vuvu

s

sxysx

y

xy

x

yt

t

Các sơ đồ này tích phân với điều kiện biên trên các trường biên

cứng. Các sơ đồ trên là các sơ đồ bán ẩn nên khi tích phân thì các phương

trình viết ở dạng hiện tích phân trước, sau đó thay kết quả vào các

phương trình sai phân ẩn để tích phân.

- Sơ đồ bán ẩn cho mô hình tà áp

Sử dụng sơ đồ bán ẩn để tích phân theo thời gian với gần đúng sai

phân hữu hạn ẩn các thành phần tuyến tính trong các phương trình của

mô hình tà áp.

uvuu

vu

uu 21

xR

xyxt

vuvv

vv

uv 21

yR

yyxt

2vu yxt

0)v()u(

1

0

d

yxt


dyx

dyx

1

00

)v()u()v()u(1

1

R (5.5.21)

Từ phương trình chuyển động theo trục Ox và Oy :

11

11

11s

u1s1-s1-s1s 2vvuu

ss

ss

xxtR

xxttFt

1

1

1

1

11s

v1s1-s1-s1s 2uuvv

ss

ss

yytR

yyttFt

(5.5.22)

Ở đây:

uuu

vu

u 2u

yxF

vvv

vv

u 2v

yxF

Từ (5.5.22) giải tương đối với 2 ẩn us+1 và vs+1. Trong biểu thức u-

s+1 và vs+1 chứa các đại lượng 1s và 1 s . Các đại lượng này có thể tính

được từ các phương trình của hệ (5.5.21) với gần đúng sai phân hữu hạn

sau:

1

0

11 )v()u(2 d

yxt

s

ss

1

0

1)(11)1(1)(1 dssRss

1

0

0

)v(

x

)u(

)v()u(1

dy

dyx

(5.5.23)

Tích phân hệ phương trình trên trước hết để tìm tốc độ thẳng đứng,

nhiệt độ thế vị, địa thế vị vàP

Ps . Sử dụng kết quả tìm được để tính

us+1 và vs+1. Quá trình được lặp lại cho bước tích phân tiếp theo.

5.5.4 Các sơ đồ ẩn

Nếu các thành phần tuyến tính và phi tuyến trong các phương trình

dự báo được gần đúng bằng các sơ đồ sai phân không gian ẩn thì sơ đồ sẽ

là sơ đồ ẩn. Sử dụng sơ đồ ẩn nâng cao độ ổn định của mô hình dự báo.

Do tính ổn định của mô hình, có thể tăng bước thời gian tích phân song

nếu tăng lớn sẽ làm giảm độ chính xác của nghiệm khi sử dụng loại sơ

đồ ẩn.

Sử dụng sơ đồ sai phân ẩn cho hệ phương trình của mô hình tà áp

(5.5.21).

Ở từng bước thời gian tìm nghiệm bằng cách lặp:

kFFt )(uu 1su

1-su

1sk

11sk

kFFt )(vv 1sv

1-sv

1sk

11sk

kFFt )( 1s1-s1s

k

11sk

kFFt )( 1s1-s1sk

11sk

2

1

0 0

12

1

11

2

1 )()(1

k

k

k

k

ks

k

k

ks

ks

kcdivdivc


K

K

k

s

kksK

sk R

1111 (5.5.24)

Ở đây

k , KKK 1 (k = 0, 1, 2, .., K-1); = 0, 1,

2,… số thứ tự lặp, Fu, Fv, F , πF là các tương tự sai phân hữu hạn của vế

phải các phương trình trong mô hình, ck- véc tơ gió 2 chiều ở mực k;

div(ckπ ) tương tự sai phân hữu hạn toán tử Divegiăng 2 chiều.

Để đơn giản các hàm u, v, , cho trước và tính trên các mực

chính k, còn dòng thăng tính ở các mực k+2

1.

Ở bước thời gian đầu tiên sử dụng sai phân tiến theo thời gian và

gần đúng ban đầu ( 0 ) cho vế phải các phương trình như sau:

)()( su

01su FF

)()( sv

01sv FF

)()( s01s FF

)()( sπ

01sπ FF

Điều kiện hội tụ của quá trình lặp (5.5.24) là

is

is

iGG

ff )()(maxmax 111 (5.5.25)

Ở đây fi là một trong các biến (u, v, , π ). i là sai số cho phép

đối với biến i; G là miền dự báo.

Thoả mãn điều kiện (5.5.25) quá trình lặp dừng lại và nghiệm số là

các hàm ở bước lặp 1 .

5.6 PHƯƠNG PHÁP TÁCH

Trong chương 2, đã nghiên cứu phương pháp chùng để giải

phương trình Poat-xông đối với xu thế địa thế vị:

Rqq jj .1 (5.6.1)

ở đấy j là thứ tự lần lặp, R là sai số khép, là tham số. Phương

pháp này áp dụng để giải phương trình Poat-xông hay Hem-hôn thì

nghiệm gần đúng luôn hội tụ. Ở đây sử dụng phương pháp chùng để tìm

nghiệm của phương trình:

f (5.6.2)

Trong công thức (5.6.2) là toán tử vi phân hoặc tích - vi phân, flà hàm đã cho, là hàm cần tìm.

Ta tìm nghiệm của (5.6.2) bằng phương pháp chùng theo công thức

tương tự (5.6.1):

fjjj .1 (5.6.3)

ở đây là thông số, có thể thay đổi theo bước lặp. Chọn thích

hợp quá trình (5.6.3) sẽ hội tụ nhanh.

Ta có thể viết (5.6.3) về dạng:

fjjj

1

(5.6.4)

theo (5.6.4) thì sơ đồng trùng (5.6.3) là tương tự sai phân của bài

toán không dừng:

ft

(5.6.5)

Quá trình chùng (5.6.3) hội tụ khi:

j

jlim

Như vậy quá trình dừng và không dừng đều được xem như cùng 1

dạng (5.6.5) mà trong đó nghiệm dừng là trường hợp riêng của bài toán

khi t .

Viết quá trình lặp (5.6.3) ở dạng tổng quát hơn:


fA jjj .1 (5.6.6)

ở đầy A là 1 toán tử nào đó được chọn để cho quá trình lặp hội tụ

nhanh.

Khi A = E thì (5.6.6) trở về (5.6.3) còn nếu 11

A thì chỉ cần 1

lần lặp là tìm được nghiệm đúng của (5.6.2) ngay.

Nhân cả hai vế (5.6.6) với một toán tử B. Nếu chọn B = A-1 thì

(5.6.6) viết được về dạng:

fB jjj

1

(5.6.7)

Sơ đồ (5.6.7) là sơ đồ sai phân của bài toán không dừng tổng quát:

ft

B

(5.6.8)

Có thể chọn B để bài toán hội tụ nhanh theo sơ đồ (5.6.6). Việc

chọn B phụ thuộc vào toán tử .

Trên cơ sở phương pháp chùng (5.6.7), xây dựng phương pháp

tách.

Giả sử cần giải bài toán:

f

Với toán tử:

và hàm f đã cho trước.

Tìm nghiệm (5.6.9) bằng phương pháp chùng (5.6.7) với B được

chọn là:

2EB (5.6.10)

thay (5.6.10) vào (5.6.7):

fE jjj

1

2

Viết phương trình này về dạng:

jjjn FEEE

1

21 .2

...2

.2

(5.6.11)

Ký hiệu:

fF jj

Gọi:

jjn

nj

EE

1

2

1

.2

....2

.

thì viết (5.6.11) về dạng:

jnj

nj

FE ..2

12

1

Tương tự vế trái của (5.6.11) chia thành các toán tử sau:

nj

nj

E

12

2 .2

………………………

n

nj

jnE

11.

2

11 Jjj (5.6.12)

Các công thức (5.6.12) là các bước của quá trình lặp. Từng phương

trình trong hệ này có cấu trúc đơn giản vì nó là một toán tử thành phần

trong toán tử .


Xét bài toán không dừng mô tả bằng phương trình:

ft

(5.6.13)

Với điều kiện ban đầu:

)(),0( XgX (5.6.14)

Phân chia khoảng thời gian thành các bước t và tìm nghiệm ở

từng bước từ j đến j+1. Phương trình (5.6.13) được gần đúng bằng

phương trình sai phân hữu hạn:

2

11

2

jj

jj

fE

(5.6.15)

Một cách gần đúng, thay sơ đồ này bằng sơ đồ sau:

2

11 .

22

jjj fEE

(5.6.16)

Thấy ngay nếu 2 thì từ (5.6.15) sẽ có:

2

1

2111

121

.2

.2

.2

.2

jjj

j

fEE

EE

hay:

2

1

21

121

...2

.2

.2

.2

jj

j

fEE

EE

Tức là thu được trường hợp riêng của (5.6.16). Thấy rằng, theo

(5.6.16) để từ j tìm được 1j phải thực hiện 2n toán tử. Vậy mỗi toán

tử sau khi tác động ta sẽ được n2

1bước. Ký hiệu kết quả tác động toán tử

đầu tiên làn

j2

1 và toán tử thứ là

nj

2

. Như vậy sơ đồ sai phân

của (5.6.16) sẽ là:

nj

nn

j

E

1

12 .

2

2

1

2

1

12

1

.2

.2

jn

njj

fE

2

1

2

11

1 .2

.2

jjn

j

fE

nj

nj

E

1

.2

Thông thường, phương pháp tách được sử dụng kết hợp với

phương pháp “Dự báo – chỉnh lý”. Sẽ xét phương pháp này. Phương trình

cho bài toán không dừng có dạng:

ft

(5.6.17)

Điều kiện ban đầu là: g khi t = 0

Tìm nghiệm (5.6.17) sau nửa bước thời gian 2

ttức là

2

1

j

j ttt :2

2

1

j

jtt

bằng phương pháp tách.

Trong khoảng từ jt đến 2

1j

t phương trình (5.6.17) được gần đúng

bằng sơ đồ:


REEn

.4

.22

2

1

(5.6.19)

ở đây:

n

n

R

.....

2........

2.... 2132121

Thay (5.6.19) vào (5.6.18):

Of

jjjj

2

1

2

12

1

.

2

(5.6.20)

Sơ đồ (5.6.20) gần đúng phương trình (5.6.17) đến bước thời gian

2

1j

t với bậc là .

Viết (5.6.18) về dạng các phương trình tương tự ký hiệu ở phần

trên:

2

1

2

1

1 .2

.2

jjn

j

fE

Phương trình này tương đương với sơ đồ:

2

1

2

1

1

2

1

.

2

jjjn

j

f

(5.6.21)

nj

nj

E 2

1

2

2

2 .2

Hay:

0.

2

2

2

2

2

1

2

2

njn

jn

j

(5.6.22)

………………………………………

n

njj

nE 2

1

2

1

.2

Hay:

0.

2

2

12

1

2

1

j

n

n

njj

(5.6.23)

Khi f = 0 phương trình (5.6.17) có dạng:

0

t(5.6.24)

Phương trình này theo (5.6.21) – (5.6.23) có thể tách thành hệ:

0. 111

tvới jjt 1

0. 222

tvới

2

112j

j tt

……………………………………….

……………………………………….

0.

nn

n

t

với

2

11j

njn tt (5.6.25)

Hệ (5.6.25) xác định được 2

1j

.Để xác định 1j sử dụng sơ đồ

chỉnh lý:


0. 2

11

jjj

(5.6.26)

Như vậy đã tìm được nghiệm của phương trình (5.6.24) bằng

phương pháp kết hợp phương pháp tách và phương pháp “dự báo – chỉnh

lý”.

5.7. PHƯƠNG TRÌNH VẬN CHUYỂN THỰC THỂ THEO QUỸ ĐẠO

Trong các quá trình xảy ra trong khí quyển nếu nguồn của các thực

thể bằng 0 thì biến đổi địa phương của đại lượng này hoàn toàn xác định

bởi vận chuyển thực thể theo quỹ đạo của nó. Phương trình mô tả biến đổi thực thể theo quỹ đạo sẽ là:

0

zw

yv

xu

t

(5.7.1)

Theo phương pháp tách ở trên giải (5.7.1) trong khoảng từ jt đến

2

1j

t được chia thành 3 phương trình:

011

xu

t

jjt 1

022

yv

t

2

112j

j tt

033

zw

t

2

123j

j tt (5.7.2)

Ba phương trình trong hệ (5.7.2) giải tương tự như nhau nên ta

nghiên cứu cách giải phương trình thứ nhất. Trong phương trình này u coi

như đã biết. Hệ số này biến đổi theo không gian và thời gian và đổi dấu

trong miền nghiệm nên gây khó khăn lớn cho việc xây dựng sơ đồ tính ổn

định.

Trong khoảng từ jt đến 2

1j

t phương trình đầu của (5.7.2) được

gần đúng bằng sơ đồ dưới đây. Bỏ chỉ số 1, ký hiệu k là thứ tự điểm theo

Ox:

0

0

2

1

2

1

1

2

1

12

1

2

1

k

j

k

j

k

k

j

k

j

kk

jk

j

k

khi

khi

(5.7.3)

ở đây: x

ukk

.,

2

t

Phương trình (5.73) viết lại về dạng:

jk

j

kkk

j

kk

j

kkk 212 2

1

12

1

2

1

1

(5.7.4)

Ký hiệu các hệ số của phương trình (5.7.4):

jk

kkk

kk

kkk

g

c

b

a

.2

1

(5.7.5)

Thì phương trình này viết về dạng:

k

j

kk

j

kk

j

kk gcba

2

1

12

1

2

1

1 ..2. (5.7.6)

Phương trình (5.7.6) giải bằng phương pháp truy đuổi. Điều kiện

để nghiệm của phương trình giải bằng phương pháp này ổn định là các hệ

số của phương trình thoả mãn điều kiện:

kkk bca .2 (5.7.7)

Điều kiện này phương trình (5.7.6) luôn thoả mãn vì nếu thay

(5.7.5) vào (5.7.7) thì luôn được bất đẳng thức đúng. Tìm nghiệm của

(5.7.6) bằng phương pháp truy đuổi. Giả thiết rằng có sự phụ thuộc sau


của các nghiệm:

kkkk YX .1 (5.7.8)

Thay 1k từ (5.7.8) vào (5.7.6) sẽ tìm được:

kkk

kkkk

kkk

kk

Xab

fYa

Xab

c

221 (5.7.9)

So sánh (5.7.8) và (5.7.9) thấy ngay:

kkk

kk

Xab

cX

21

kkk

kkkk

Xab

fYaY

21 (5.7.10)

Biểu thức (5.7.9) viết lại về dạng:

111. kkkk YX (5.7.11)

Theo điều kiện của tìm được X1, và Y1. Sử dụng (5.7.10) tìm

được:

nXXX ,...,, 32

nYYY ,...,, 32

Theo công thức (5.7.11) và giá trị biên n tìm được

)1,...,1( nkk .

Như vậy tìm được nghiệm của phương trình đầu của hệ (5.7.2).

Quá trình được lặp lại theo sơ đồ sau:

2

113

6

2

2

1

6

212

6

1

6

2

6

111

6

1

..2

..2

..2

jjj

jjj

jj

j

t

t

t

(5.7.12)

Để tìm giá trị 1j , dùng sơ đồ chỉnh lý:

2

12

1 ..

j

jj t (5.7.13)

ở đây 1 và 2 là ký hiệu gần đúng toán tử với độ chính xác

bậc 1 và bậc 2.

5.8. SƠ ĐỒ DỰ BÁO CỦA MARTRUC G.I. ĐỰA TRÊN HỆ PHƯƠNG

TRÌNH ĐẦY ĐỦ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH

Trong mô hình đã sử dụng hệ phương trình đầy đủ trong hệ toạ độ

x, y, p, t hệ phương trình có dạng :

p

u

TR

KPg

px

Hglv

dt

du

22

22

.

p

v

TR

KPg

py

Hglu

dt

dv

22

22

.

p

a

cp

T

TR

KPg

ppg

TR

dt

dT

22

22

.)(

0

py

v

x

u (5.8.1)

p

H

R

gpT

.

p

q

TR

KPg

pf

dt

dq

1

22

221

1

p

q

TR

KPg

pff

dt

dq

2

22

2221

2



yv

xu

tdt

d

211 .qTqqf m (5.8.2)

Tqqf

211

2

T, H là độ lệch của nhiệt độ cao mặt đẳng áp khỏi giá trị chuẩn của nó. T

là giá trị nhiệt độ chuẩn.

Tqm là độ ẩm riêng cực đại ở nhiệt độ T .

Tq

2là hàm số của nhiệt độ xác định bằng số liệu thực nghiệm và

là các hệ số hiện tượng.

1. fL (5.8.3)

Điều kiện biên cho hệ (5.8.1) là: tại biên trên của khí quyển p = 0.

0....1

p

vpK

p

upK

p

TpK

p

qpK

02 q (5.8.4)

Tại biên dưới của khí quyển:

01

p

v

p

u

p

T

p

q

02 q (5.8.5)

Để tách hệ phương trình (5.8.1) thành các hệ phương trình đơn

giản cần hiểu các nhân tố chính gây ra biến đổi các trường của các yếu tố

khí tượng. Từ hệ (5.8.1) có 3 nhân tó chính: vận chuyển các thực thể

theo quỹ đạo của các phẩn tử, trao đổi rối, thích ứng giữa các trường các

yếu tố khí tượng. Trong bài toán thứ ba chia thành quá trình thích ứng

giữa trường áp, gió nhiệt và thích ứng của các trường ẩm. Như vậy bài

toán được chia thành 4 bước. Tìm hiểu cách giải bài toán của mỗi bước.

1. Bài toán vận chuyển thực thể theo quy đạo phần tử khí

Ở bước này ta giải hệ phương trình sau:

04

1

4

1

4

1

yv

xu

t

j

j

j

j

j

(5.8.6)

ở đây là một trong các hàm u, v, t, 1q và 2q

Phương trình (5.8.6) giải với điều kiện ban đầu:

j 0

và điều kiện biên là không đổi trên các dường biên ngang.

Áp dụng phương pháp tách cho (5.8.6) và tiến hành sai phân hữu

hạn các phương trình dự báo được:

0.

2

16

1

16

1

h

ku

t

j

jj

j

0.

2

18

1

16

1

8

1

h

mu

t

j

j

jj

(5.8.7)

ở đây:

0

0

.

.

1

1j

j

o

kkk

o

kkkk

ukhi

ukhi

(5.8.8)

Cách giải các phương trình (5.8.7) đã được trình bày trong mục

5.7 Sau khi tìm được 8

1j

tìm được hàm ở thời điểm 4

1j

t do nhân tố


bình lưu bằng sơ đồ chỉnh lý dưới dạng:

81

81

8

1

8

1

.241

jjvmm

jju

kkx

tjj

(5.8.9)

2. Bài toán trao đổi rối

Biến đổi các trường do trao đổi rối được xác định bởi hệ các

phương trình:

pTR

gPK

pt

jj

4

2

22

224

2

..

(5.8.10)

Điều kiện ban đầu:

14

1

4

2

j

jj

t tj

(5.8.11)

Điều kiện biên tương ứng là (5.8.4) và (5.8.5). Xét khí quyển 6

mực: n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ứng với áp suất mặt đất, 1000, 850, 700, 500,

300, và 200 mb.

Ký hiệu:

1 nnn ppP

2

2

12

22

2

1 ..

n

n

nTR

gPK

M

Sai phân hữu hạn (5.8.11) thu được:

nn

n

j

n

j

nn

n

j

n

j

nnj

n

j

n

pp

pM

pM

t

1

1

4

2

14

2

1

4

2

4

2

114

1

4

2

2

1

..

Bằng phương pháp truy đuổi tìm được 4

2j

n tương tự như đã trình

bày ở phần trên.

3. Bài toán thích ứng trường gió, nhiệt và địa thế vị

Ở bước này, giải hệ:

x

Hglv

t

u

y

Hglu

t

v

0)(

pg

TR

t

T a

0

py

v

x

u (5.8.12)

p

H

R

gpT

.

Hệ phương trình (5.8.12) được sai phân hữu hạn ở dạng:

4

3

4

34

2

4

3

..

j

x

jjj

Hgvlt

uu

4

3

4

34

2

4

3

..

j

y

jjj

Hgult

vv


0

4

3

4

2

4

3

pg

TR

t

TTj

a

jj

04

3

4

3

4

3

j

p

j

y

j

x vu

4

3

4

3

.

j

p

j

HR

gPT (5.8.13)

Từ hệ (5.8.13) đưa về một phương trình xác định xu thế địa thế vị.

Để làm việc này rút 4

3j

u và 4

3j

v từ hai phương trình đầu của (5.8.13)

thay 4

3j

T từ phương trình tĩnh học và phương trình thứ 3 và rút 4

3j

.

Thay các giá trị tìm được vào phương trình liên tục, tìm được phương

trình cho 4

3j

H , cụ thể là:

43

..42

43

..42

21

143 j

yHtgj

vjxHtg

ju

ju

4

3

4

2

4

3

4

2

24

3

....1

1 j

x

jj

y

jj

HtgvHtgvv

42

43

22.

243 j

Tg

Rp

jpHP

TRta

gj

4

2

4

2

4

2

4

2

4

224

2

4

3

4

3

4

322

4

32

2jj

x

j

y

j

y

j

x

P

j

j

x

j

yy

j

xx

j

uvuvuhmpT

g

R

HHHhmp

Hp

p

(5.8.14)

ở đây:

2

2

212

1

.

hg

tRTm a

hg

tRTm a

22

212

12

.

1

;;.T

T

dy

dltl

Ký hiệu:

p

p

ppL .

2

xyxhmxyL

2

2

2

222

jxy

jp HLHLff ..

f là vế phải của (5.8.14).

Thì phương trình của (5.8.14) viết lại về dạng:

fHLLj

xyp

4

3

. (5.8.15)


Viết phương trình (5.8.15) cho các mực n = 1, 2, 3, 4 và 5 và sử

dụng các điều kiện biên: tại p = P = 1000 mb

yxt HvHuHRT

pg..

. (5.8.16)

tại p = 200 mb thoả mãn điều kiện:

0. pHp (5.8.17)

Tức là độ lệch của nhiệt độ bằng không tại 250 mb (T = 0 tại 250

mb).

Theo (5.8.17) thì tại bất cứ thời điểm nào: 65 HH ,

hay:

65 HH (5.8.18)

Ta tìm được hệ phương trình ở dạng:

FHLxyp ).( (5.8.19)


~

55

444

333

222

1

~

1

000

00

00

00

000

cA

BcA

BcA

BcA

Bc

p

4

3

5

4

3

4

4

3

3

4

3

2

4

3

1

j

j

j

j

j

H

H

H

H

H

H

5

4

3

2

1

f

f

f

f

f

F

nnnn

n

nppp

P

A

.

2

1

2

1

2

2

1

11

2

1

2

2

1

.

2

nnnn

n

nppp

P

B

nnn BAC

1

~

1 CB

gp

RppACC a

.

.

1

12111

~

1

Ma trân Ap là ma trận đường chéo mà đường chéo chính lại âm nêncác giá trị riêng của nó khác biệt nhau, khác 0 và đều âm 0i . Vì vậy

hệ thống véc tơ riêng của nó

i và của ma trận chuyển vị ' là

*i

thoả mãn:

jiii ,*,


ji, là ký hiệu Crôn

Vì i là một hệ cơ sở nên có thể khai triển hàm H ở dạng:

5

1i

iiSH (5.8.20)

ở đây Si là các hệ số.

Thay (5.8.20) và (5.8.19) ta được:

FSLSi

iixy

i

iip

5

1

5

1

Nhân phương trình này với

*j , sử dụng tính trực giao của nó với

i . Thu được:

FSLS jjxyjj ,* (5.8.21)

Giải phương trình (5.8.21) bàng phương pháp lặp, tìm được trường

Sj (j = 1,...,5) và như vậy tìm được H theo (5.8.20), u, v theo (5.8.14) và

T theo (5.8.13).

4. Giải bài toán hoà hợp các trường độ ẩm và nhiệt độ

Ở bước này giải hệ phương trình sau:

21

ft

q

21

2

fft

q

1fc

Ll

t

T

p

(5.8.22)

Sai phân hữu hạn (5.8.22) theo sơ đồ sau:

4

32

11

4

21

4

31

.

j

m

jj

qTqqt

qq

TqqqTqqt

qq jj

m

jj2

4

32

14

32

11

4

22

4

32

.

4

32

14

31

.

j

mp

jj

qTqqc

L

t

TT (5.8.23)

Trong biểu thức (5.8.23) những yếu tố không có ký hiệu ở mũ thì

lấy ở

2

1j .

4

21

4

32

11

4

31

..

jj

m

jqqTqqtq

tTqqt

Tqtqq

m

jj

11

1

2

14

22

4

32

1

.

(5.8.24)

Tìm được

4

32 j

q từ (5.8.24) và thay vào biểu thức của

4

31 j

q và

1jT xác định được các giá trị ở

4

3j , và cho: 4

31

jj .

5.9 CÁC MÔ HÌNH SỐ DỰ BÁO THỜI TIẾT Ở VIỆT NAM

5.9.1 Mô hình RAMS

Các phương trình cơ bản của RAMS được viết trong hệ toạ độ Đề

các. Các phương trình này là các phương trình nguyên thủy thủy tĩnh

hoặc không thủy tĩnh được lấy trung bình Reynolds. Tất cả các biến đều

là các đại lượng được lấy trung bình trong một thể tích ô lưới . Các kí

hiệu được trình bày trong Bảng 1.1.


Các phương trình chuyển động:

z

uK

zy

uK

yx

uK

xfv

xz

uw

y

uv

x

uu

t

ummm

'

z

vK

zy

vK

yx

vK

xfu

xz

vw

y

vv

x

vu

t

vmmm

'

z

wK

zy

wK

yx

wK

x

g

xz

ww

y

wv

x

wu

t

wmmm

o

v

''

Phương trình nhiệt động lực:

rad

ililh

ilh

ilh

ilililil

tzK

zyK

yxK

xzw

yv

xu

t

Phương

trình liên tục đối với tỷ hỗn hợp của các thực thể nước:

z

rK

zy

rK

yx

rK

xz

rw

y

rv

x

ru

t

r nh

nh

nh

nnnn Phương

trình liên tục khối lượng:

z

w

y

v

x

u

c

R

toooooo

oov

o

'

Lựa chọn thủy tĩnh của RAMS sẽ thay thế phương trình chuyển

động thẳng đứng và phương trình liên tục khối lượng bằng phương trình

thủy tĩnh như sau:

vT

v

rrgg

z

0

z

w

y

v

x

u

Các kí hiệu chính được sử dụng trong mô hình.

U Thành phần gió theo hướng đông-tây

V Thành phần gió theo hướng bắc-nam

W Thành phần gió thẳng đứng

F Tham số coriolis

Km Hệ số nhớt rối động lượng

Kh Hệ số nhớt rối nhiệt và ẩm

il Nhiệt độ thế vị của nước lỏng-băng

rn Tỷ hỗn hợp của nước tổng cộng, mưa, tinh thể

băng, và tuyết

Mật độ

Con Chỉ số kí hiệu khuynh hướng do tham số hoá đối

lưu

Rad Chỉ số kí hiệu khuynh hướng do tham số hoá bức

xạ

Res Chỉ số kí hiệu khuynh hướng do tham số hoá các

quá trình vật lý vi mô qui mô dưới lưới

G Trọng lực

rt Tỷ hỗn hợp của nước tổng cộng

rv Tỷ hỗn hợp của hơi nước

Hàm Exner tổng cộng

' Hàm Exner nhiễu

v Nhiệt độ thế vị ảo

P Khí áp

Lưới lồng được sử dụng trong RAMS là lưới C dạng chuẩn Lưới


thẳng đứng có khoảng cách biến đổi làm tăng độ phân giải ở gần mặt đất.

RAMS có nhiều cách lựa chọn đối với các sơ đồ sai phân thời gian cơ

bản.

Đối với mô hình không thủy tĩnh, người dùng có thể lựa chọn sơ

đồ sai phân bậc nhất tiến-lùi, sơ đồ Leapfrog hoặc sơ đồ lai bao gồm sai

phân thời gian tiến đối với các biến nhiệt động lực và sai phân Leapfrog

đối với các thành phần vận tốc và áp suất. Mô hình thủy tĩnh sử dụng sơ

đồ tiến-lùi. Các điều kiện biên xung quanh là điều kiện phát xạ.

Đối với các điều kiện biên dưới tại bề mặt, các dòng thông lượng ở

lớp bề mặt cung cấp thông tin về sự trao đổi chủ yếu giữa khí quyển và bề

mặt.

Đối với các điều kiện biên trên sử dụng điều kiện biên vách đơn

giản (w = 0) hay áp dụng điều kiện biên phát xạ sóng trọng trường của

Klemp và Durran.

Sơ đồ phân tích khách quan Barnes (1973) được áp dụng cho gió,

áp suất và độ ẩm tương đối trên các mực đẳng entropy .

Sơ đồ hoà hợp số liệu bốn chiều (4DDA) được thực hiện trong

RAMS trong đó trường mô hình được "nudging" đến số liệu quan trắc

như một quá trình mô phỏng.

Hai sơ đồ được sử dụng nhiều nhất hiện nay trong mô hình hoá

hoàn lưu qui mô vừa là sơ đồ của Kuo và sơ đồ của Fritsch và Chappell.

Cả hai sơ đồ này đều được sử dụng trong mô hình RAMS .

RAMS hiện nay có hai lựa chọn tham số hoá bức xạ sóng dài và

hai lựa chọn tham số hoá bức xạ sóng ngắn. Các lựa chọn đầu tiên được

đưa ra bởi Mahrer và Pielke, là một tham số hoá đơn giản và có hiệu quả

nhưng không tính cho mây. Lựa chọn thứ hai của Chen và Cotton đã tính

đến tổng lượng ngưng kết xuất hiện trong khí quyển nhưng khối lượng

tính toán lớn.

Mô hình RAMS được áp dụng để dự báo hạn 1-3 ngày trên khu

vực biển Đông. Kích thước bước lưới 40 km cho miền dự báo gồm 90 x

90 điểm lưới theo phương ngang, tạo ra miền tính có kích thước 3600 x

3600 km. Biên phía nam của miền tính ở vào khoảng 50S, với mục tiêu

mô tả tốt hơn hoàn lưu gió mùa tây nam vào mùa hè, thổi từ nam bán cầu

vượt qua xích đạo vào khu vực Đông Nam Á. Ngoài ra, để giải bài toán

liên hoàn dự báo trường khí tượng cho các mô hình hải văn đã sử dụng

lưới ngang kích thước 28 km, khi đó số điểm lưới ngang sẽ tăng lên

144x144 điểm để đạt kích thước miền tính tương tự trường hợp lưới 40

km.

Mô hình RAMS cho phép nhiều lưới lồng nhau tương tác hai chiều

nhằm mô tả chính xác hơn ảnh hưởng của các quá trình qui mô nhỏ. Như

vậy các lưới tinh có độ phân giải ngang và kích thước miền tính thay đổi

tuỳ trường hợp, chẳng hạn khi dự báo cho các sân vận động lưới mịn nhất

có độ phân giải 5 km còn trường hợp nghiên cứu dự báo lũ ở miền trung

lưới ngang có kích thước 10 km. Đối với cả lưới thô và lưới tinh, vùng

biên xung quanh được tạo ra lớp hấp thụ có bề dày bằng 5 điểm lưới.

Độ phân giải thẳng đứng được chon với bước lưới dưới cùng được

là 100 m, các bước lưới c ao hơn được giãn với hệ số 1.15, nếu bước lưới

lớn hơn 1200 m thì được gán bằng 1200 m. Độ phân giải thời gian có thể

được tự động xác định trong quá trình tích phân mô hình. Trong điều kiện

thời tiết bình thường bước thời gian là 90s cho lưới 40 km

Số liệu đánh giá gồm trường ban đầu là trường số liệu đầu vào

tại thời điểm 00 UTC với độ phân giải 10x10 kinh vĩ AVN do NCEP

(National Center for Environmental Prediction, Hoa Kỳ) cung cấp sau đó

được nội suy vào lưới mô hình sử dụng phân tích khách quan Barnes.

Trường dự báo là trường các yếu tố khí tượng được đưa ra sau 24h, 48h,

72h cho dự báo hạn ngắn. Trường phân tích dùng để đánh giá dự báo là

trường phân tích vào thời điểm tương ứng với các trường dự báo đưa ra,


ví dụ 24h, 48h, 72h. Các chỉ tiêu đánh giá là hệ số tương quan, sai số

tuyệt đối trung bình, sai số bình phương trung bình , tỉ số eta, tỉ số sigma

, CSI, BIAS, chỉ số đánh giá khả năng xuất hiện hiện tượng PE

Các ngưỡng mưa được chọn để đánh giá là 1mm (đối với mưa

nhỏ), 10mm (đối với mưa vừa), 20mm, 30mm, 50mm (đối với mưa lớn).

Chỉ tiêu trung bình tháng tính cho một số tháng mùa đông và mùa

hè trên các mực 1000, 700, 500, và 300 mb.Hệ số tương quan tăng theo

độ cao, ít nhất là đến mực 500 mb, và nằm trong khoảng 0,5-0,9 tính cho

tất cả các trường. Sai số tuyệt đối của trường độ cao địa thế vị về cơ bản

nhỏ hơn 10 mđtv cho tất cả các hạn dự báo, sai số của trường gió vĩ

hướng bao giờ cũng lớn hơn sai số gió kinh hướng. Cực đại của sai số

trường gió thường xuất hiện ở các lớp trên cao của mô hình.

Qua kết quả đánh giá cho thấy mô hình RAMS, áp dụng cho dự

báo các trường khí tượng trên Biển Đông hạn từ 1-3 ngày cho kết quả tốt,

đáp ứng được phần lớn yêu cầu của thực tế dự báo ở Việt Nam và đạt tầm

dự báo thời tiết ở các nước trên thế giới. Dự báo mưa đúng về pha đạt tối

thiểu trên 70%.

5.9.2. Mô hình ETA :

Hệ phương trình thủy nhiệt động lực học của mô hình ETA

'd)(t

S

v0

RTp

S

dp

RTμΦΦ s

0

0=)+(1+p+v/dt d

pp

p

c

Q]

t)(

t

p[

c

]d)()(p[c

TT=

t

T

1

v1vv0

1

p,

)t

(gdt

d

gw

v11

)w

wt

w(

gdt

dw

g

v11

Sdt

dq

Lưới ngang và phân bố các yếu tố khí tượng ở các điểm lưới được

trình bầy trên hình 5.1. Phân bố các yếu tố khí tượng ở các điểm lưới

theo phương thẳng đứng được trình bầy trên hình 5.2.

Hình 5. 1. Hệ toạ độ lưới ngang và phân bố các biến trong mô hình ETA


Điều kiện biên trong mô hình ETA

0 khi 0 và srf

Điều kiện biên xung quanh được cập nhật 6h một lần từ sản phẩm

dự báo của các mô hình toàn cầu như AVN, RUC, MRF, GME…

Hình 5.2. Hệ thống toạ độ thẳng đứng và phân bố biến trong ETA

+24 h +48 h

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40

H - R M S E ( m d t v )

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 10 20 30 40

H - R M S E ( m d t v )

Hình 5.3 Profile sai số quân phương (RMSE) của độ cao địa thế vị H (mdtv)

+24h +48h

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-20 -10 0 10 20 30 40

H - B E (mdtv)

P(h

Pa)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-20 -10 0 10 20 30 40

H - BE (mdtv)

Hình 5.4. Profile độ lệch BE của độ cao địa thế vị H (mdtv)

+24h +48h

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3

T - R MS E ( o C )

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3

T - R M S E ( o C )

Hình 5.5. Profile sai số bình phương trung bình (RMSE) của nhiệt độ T (oC)


+24h +48h

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-3 -2 -1 0 1 2

T - BE (oC)

P(h

Pa

)0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-2 -1 0 1 2

T - BE (oC)

P(h

Pa

)

Hình 5.6. Profile độ lệch BE của nhiệt độ T (oC)

Các quá trình vật lý qui mô dưới lưới như đối lưu, bức xạ, khuếch

tán rối ngang và thẳng đứng và các quá trình bề mặt đươc tham số hoá.

Dự báo cho khu vực Biển Đông với miền dự báo được xác định

tương tự như cho mô hình RAMS .Kết quả đánh giá dự báo được trình

bầy trong các hình 5.3 -đến 5.6

Dự báo mưa cho lãnh thổ Việt nam được đánh giá theo các chỉ số

thống kê và đưa ra trên các bảng 5.1 và 5.2.

Chỉ số CSI sẽ giảm khi ngưỡng mưa tăng lên. Nhìn chung, kết quả

dự báo của của các thử nghiệm đều khá tốt. Đặc biệt, nếu ta chỉ quan tâm

đến khả năng có hay không xuất hiện mưa ở một ngưỡng nào đấy, thì độ

chính xác của mô hình có thể đảm bảo được trên 80 %.

Bảng 5.1. Chỉ số Threat score (CSI) và Bias score (Bias)

09-10/09/2003 2425/09/2003 1112/11/2003Ngưỡng

chọn CSI Bias CSI Bias CSI Bias

1 mm 0.88 1.135 0.68 1.43 0.89 0.944

10 mm 0.773 1.27 0.76 1.28 0.66 0.672

20 mm 0.67 1.39 0.65 1.40 0.61 0.64

30 mm 0.57 1.43 0.55 1.44 0.59 0.635

50 mm 0.47 1.36 0.49 1.23 0.67 0.757

100 mm 0.41 1.09 0.23 0.48 0.41 1.194

Bảng 5.2. Chỉ số PE (%) đối với các ngưỡng khác nhau

Ngưỡng chọn 09-10/09/2003 24-25/09/2003 11-12/11/2003

1 mm 88.09 80.56 94.98

10 mm 78.70 89.66 86.52

20 mm 70.80 85.89 86.21

30 mm 64.60 84.01 87.15

50 mm 63.90 86.52 91.85

100 mm 82.40 91.54 89.66

5.9.3 Mô hình dự báo thời tiết khu vực phân giải caoHRM

Mô hình dự báo thời tiết khu vực phân giải cao HRM là một mô

hình số, thủy tĩnh cho dự báo thời tiết khu vực hạn chế quy mô vừa .

HRM còn là một công cụ nghiên cứu khoa học rất nhạy và hữu ích. HRM

được cấu trúc ngang hoặc theo lưới kinh vĩ quay hoặc theo lưới điều hòa

với độ phân giải có thể từ 0.25o đến 0.05o (tương đương từ 28km đến 6km). HRM sử dụng hệ tọa độ lai theo phương thẳng đứng, một hàm

đơn trị của khí áp mặt đất biến đổi theo không gian và thời gian. Trên


đỉnh của khí quyển nơi có 0p thì 0p,0 s và trên biên dưới của

mô hình (địa hình mô hình) khi spp thì 1p,p ss . Hệ tọa độ lai

được thiết lập nhằm ứng dụng được những ưu việt của hệ tọa độ khí áp

p và của hệ tọa độ theo địa hình , đồng thời khắc phục được những

nhược điểm tương ứng của chúng. còn phụ thuộc khí áp mặt đáy sp là

một biến của không gian và thời gian. Trong tọa độ lai cần chọn một mực

Tpp , từ mực này đến giới hạn trên của khí quyển thì trùng với hệ

tọa độ p , nghĩa là0p

p đối với Tpp0 , với hPa1000p0 . Từ

mực Tp xuống đến mặt địa hình thì hệ tọa độ lai lại tiến dần đến hệ

tọa độ xác định bởi cấu trúc địa hình . Yêu cầu này đạt được bằng sử

dụng một hàm tuyến tính. Hàm tuyến tính này gián đoạn tại Tpp với

hằng số hPa220pT :

Ts

s

0

T

Ts

T

pp

pp

p

p

pp

pp

đối với sT ppp

Khi đó hàm tuyến tính nghịch đảo sẽ là:

BpAp s

trong đó 0B,pA 0 đối với T0

T0

T0

T0

T0

pp

ppB,1

pp

ppA

đối với 1T

Khí quyển thẳng đứng trong HRM tính từ mặt đất đặc trưng bởi

tyxps ,, đến giới hạn trên mô hình tại hPap 25 và có thể chia

thành từ 20 đến 35 lớp. Các biến dự báo như icv qqqTvu ,,,,, và các

biến cảnh báo như tốc độ thẳng đứng trong hệ tọa độ khí áp được xác

định tại mực phân chia giữa các lớp gọi là mực nguyên, trong khi đó độ

cao địa thế vị và tốc độ thẳng đứng trong tọa độ lai cùng với các

thông lượng khuếch tán lại được tính cho mực giữa của các lớp gọi là

mực phân.

Hệ các phương trình dự báo trong HRM dựa vào các phương

trình nguyên thủy viết trong hệ tọa độ lai. Đó là bảy phương trình dự báo

với bảy biến dự báo tương ứng:

- Phương trình của xu thế khí áp mặt đất sp :

1

0

coscos

1slbslb

s ppdp

vp

uat

p(5.9.1)

- Phương trình cho các thành phần gió ngang vu, :

lblb

s

1

uH

v

uut

upgF

upln

cosa

RTK

cosa

1cosv

pQ

cos

1

t

u

(5.9.2)

lblb

s

1

vH

v

vvt

vpgF

vpln

a

RTK

a

1u

pQ

t

v

(5.9.3)

- Phương trình viết cho nhiệt độ T :

lblbvc

p

c

s

T

1

THv

p

T

TTcc

L

t

TpgF

pT

c

R

TTcosv

Tu

cosa

1

t

T

(5.9.4)


- Phương trình viết cho lượng hơi nước vq :

vlbvlbvc

s

vq

1

qH

vvvv

qqct

qpgF

qqcosv

qu

cosa

1

t

q

vv

(5.9.5)

- Phương trình viết cho lượng nước lỏng trong mây cq :

clbclbvc

s

cq

1

qH

cccc

qqct

qpgF

qqcosv

qu

cosa

1

t

q

cc

(5.9.6)

- Phương trình viết cho lượng nước rắn trong mây iq :

if

ilbilbvc

s

iqqH

iiii

gqVqqc

t

qpgF

qqv

qu

at

q

ii

1

coscos

1

(5.9.7)

trong đó fV là tốc độ rơi của mưa dạng lỏng và rắn. Phương trình (5.9.7)

được bổ sung vào hệ phương trình của HRM từ tháng 9 năm 2003 khi mô

hình toàn cầu GME cung cấp thêm biến trường iq trong điều kiện ban

đầu cho HRM.

Chín phương trình cảnh báo gồm các phương trình sau:

- Phương trình tính tốc độ thẳng đứng trong hệ tọa độ lai nhận

được nhờ tích phân phương trình liên tục từ 0 đến K :

K

KK

K

dp

vp

ua

ppt

p

p

ppsRsR

s

s

0

coscos

1

(5.9.8)

- Phương trình trạng thái biểu diễn qua thể tích riêng :

vRTp (5.9.9)

- Để xác định số hạng năng lượng chuyển đổi giữa thế năng và

động năng trên mực K cần viết lại phương trình trạng thái dưới dạng

sau:

K

KK pRTv

(5.9.10)

- Tốc độ thẳng đứng trong hệ tọa độ khí áp xác định được sau khi

thaydt

dp vào phương trình tốc độ thẳng đứng trong tọa độ lai được:

K

KKK

dp

vp

ua

ppp

p

ppsRR

s 0

coscos

11

K

pvpua

lncosln

cos

1(5.9.11)

- Quan hệ tính xoáy thế tuyệt đối:

cosuv

cosa

1f

p

/p

fQ

1

(5.9.12)

- Động năng trên một đơn vị khối lượng:


cosv

cos

1u

2

1K 22 (5.9.13)

- Địa thế vị trên các mực mô hình nhận được từ tích phân phương

trình thủy tĩnh:

p

p

RTv với s1

(5.9.14)

- Quan hệ xác định nhiệt độ ảo:

D

Dv q1

R

R1TT (5.9.15)

- Phương trình của độ ẩm riêng bão hòa:

TER

R1p

TE

R

Rp,Tq

w

'D

w

D

sv

(5.9.16)

với điều kiện khép kín là cân bằng bão hòa trong mây:

0q c - ngoài mây và p,Tqq svv - trong mây

TE w là áp suất hơi bão hòa trên nước xác định bằng công thức

kinh nghiệm dạng sau:

W4BT

3BTW2Bexp1BTE w

Ngoài ra, HRM còn dự báo gián tiếp một số tham số bề mặt và

nhiệt độ trong lòng đất. Trong sản phẩm mô hình còn có 4 biến cảnh báo

là tốc độ thẳng đứng trong tọa độ khí áp , địa thế vị , độ phủ mây

clcvà các hệ số khuếch tán h/tkvm .

Những ký hiệu rút gọn và các hằng số sử dụng trong hệ phương

trình mô hình:K86.35W4B;K16.2733B;2693882.17W2B;Pa78.6101B .

Bán kính trái đất lb;m6371229a - nhân tố lỏng dần biên xung

quanh, lbp - khí áp trên biên xung quanh lấy từ GME; sp - khí áp bề mặt

độ cao địa hình của HRM; slbp - khí áp từ GME chuyển sang các mực của

HRM; kgK/J51.461R;kgK/J05.287R D - hằng số chất khí

khô và hơi nước tương ứng. vH

uH F,F - các số hạng khuếch tán ngang;

, - thông lượng rối thẳng đứng; gia tốc trọng trường

2s/m80665.9g ; các thành phần gió lblb v,u xác định từ GME. Gió

trên vùng biên được điều chỉnh đến giá trị GME nhờ nhân tố điều chỉnh

lb . kgK/J1005cp - nhiệt riêng của không khí khô dưới áp suất

không đổi; kg/J10501.2L 6v - ẩn nhiệt hóa hơi. Các số hạng phi

đoạn nhiệt cv qH

qH

TH F,F,F biểu diễn phần khuếch tán ngang;

cv qqT ,,

là các thông lượng rối thẳng đứng;

scsvsss t/q,t/q,t/T,t/v,t/u là xu thế sinh ra

bởi những quá trình qui mô dưới lưới đối với cv q,q,T,v,u tương ứng;

vcc là tốc độ chuyển biến từ hơi nước sang nước lỏng mây. Các biến

clbvlblb q,q,T được cho bởi mô hình GME, nhờ đó để điều chỉnh các biến

vc q,q,T tiến dần đến giá trị tương ứng của mô hình điều khiển trên biên

xung quanh thông qua lb .

Điều kiện biên và ban đầu HRM

Biên trên: trong những mô hình phân giải không gian cao như

HRM thì sóng trọng trường nội trở nên quan trọng. Vì vậy ở đây nếu

không có những cơ chế nhân tạo làm tiêu tan năng lượng của những sóng

trọng trường nội này thì chúng sẽ được phản xạ lại trên đỉnh mô hình và


dẫn đến phát triển những sóng đứng có kích thước bao trùm cả khí quyển

thẳng đứng. Những sóng như vậy sẽ tạo ra trường tốc độ thẳng đứng

không thực. Để khử loại sóng này trong HRM đã sử dụng điều kiện biên

trên bức xạ (RUBC) do Klemp, Durran, Bougeaul phát triển năm 1983.

Biên xung quanh của HRM lấy từ mô hình toàn cầu GME của cơ

quan phục vụ thời tiết CHLB Đức (DWD) còn gọi là mô hình điều khiển

có làm trơn ít nhiềuđể cho các hệ thống qui mô nhỏ và sóng trọng trường

có thể rời khu vực mô hình mà không phản xạ nhiều trên biên.

Ban đầu hóa mode chuẩn ẩn (INMI): khả năng dự báo của một mô

hình dự báo số để đưa ra được những dự báo hữu ích không chỉ phụ thuộc

độ phân giải mô hình và độ chính xác của việc biểu diễn các quá trình

động lực học và vật lý trong mô hình mà nó còn phụ thuộc rất nhiều vào

các điều kiện ban đầu được sử dụng để tích phân mô hình. Như ta biết,

không thể sử dụng thám sát trực tiếp làm trường ban đầu để tích phân mô

hình số mà số liệu thám sát phải được biến đổi bằng một kiểu thích hợp

động lực học để nhận được một tập hợp số liệu thích hợp cho ban đầu hóa

mô hình. Quá trình này gọi là đồng hóa số liệu, bao gồm hai quá trình là

phân tích khách quan số liệu thám sát và ban đầu hóa số liệu. Quá trình

ban đầu hóa số liệu phân tích được biến đổi nhằm tối thiểu hóa sóng

trọng trường trở nên có giá trị lớn khi độ phân giải cao, HRM thực hiện

ban đầu hóa bằng phương pháp ban đầu hóa mode chuẩn ẩn (INMI).

Phương pháp này được áp dụng vào các trường Tvu ,, và sp trong

HRM. Từ tháng 3/2005 trong HRM đã phát triển thêm phương pháp ban

đầu hóa lọc số (DFI).

Địa hình: trên từng ô lưới, phụ thuộc vào độ phân giải trong HRM

cần xác định các tham số: độ cao trung bình trên mực biển và vị trí của ô

trên đất liền được xác định theo tập số liệu của Mỹ. Loại đất chủ yếu

trong ô lưới xác định theo các bản đồ của FAO/UNESCO. Độ phủ thực

vật được chọn bằng 0.75 đối với đất không có băng hay cát và độ cao gồ

ghề trên đất phụ thuộc vào đất sử dụng cũng như sự biến đổi qui mô dưới

lưới của địa hình. Albedo phụ thuộc vào loại đất, độ phủ tuyết và độ ẩm

đất.

Các quá trình vật lý được tham số hóa trong mô hình:

- Bức xạ: là nhân tố đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển thời

tiết và được tham số hoá theo 2 sơ đồ riêng biệt đối với bức xạ sóng dài

và bức xạ sóng ngắn tương ứng trong khí quyển và trên mặt đất.

- Tham số hoá mây quy mô dưới lưới: dựa vào việc giải các

phương trình budget cho các loại thực thể nước khác nhau. Trong sơ đồ

này cần khảo sát những đặc điểm nước sau đây: hơi nước ở pha khí; nước

mây dưới dạng những hạt lỏng lơ lửng quá nhỏ đến mức có tốc độ rơi

nhỏ không đáng kể so với không khí; nước mưa trong pha lỏng đủ lớn để

có tốc độ rơi lớn không thể bỏ qua; tuyết dưới dạng tinh thể băng có tốc

độ rơi lớn đáng kể.

.

Hình 5.7a Chỉ số BIAS dự báo lượng mưa ngày thời hạn 24 giờ ở khu vực

Trung Bộ tháng 7/2004 sử dụng sơ đồ đối lưu BettMiller và 3DVar-

BettMiler


- Giải phóng ẩn nhiệt bằng đối lưu cumulus: Giải phóng ẩn nhiệt

bằng đối lưu cumulus là quá trình thống trị để vận chuyển nhiệt năng từ

mặt đất vào tầng đối lưu trên ở nhiệt đới, năng lượng này sau đó được

vận chuyển hướng cực bằng hoàn lưu Hadley. Sơ đồ tham số hóa đối lưu

Tiedtke phân biệt 3 quá trình đối lưu khác nhau (đối lưu sâu, đối lưu nông

và đối lưu mực giữa) nhưng theo một kiểu duy nhất, nghĩa là vào một

thời điểm, trên mỗi hộp lưới chỉ cho phép xảy ra một loại đối lưu. Dưới

đây sẽ trình bày chi tiết về sơ đồ tham số hóa đối lưu này.

- Khuếch tán rối đứng: tham số hoá nhờ gần đúng thông lượng gradien.

Hệ số khuếch tán đứng được suy ra từ các phương trình cảnh báo của

động năng

rối.

Hình 5.7b Chỉ số BIAS dự báo lượng mưa ngày thời hạn 48 giờ ở khu vực

Trung Bộ tháng 7/2004 sử dụng sơ đồ đối lưu BettMiller và 3DVar-

BettMiler

5.9.4 Mô hình WRF

Dự án nghiên cứu và dự báo thời tiết là kết quả của sự cố gắng hợp

sức của nhiều cơ quan tổ chức nhằm phát triển một hệ thống đồng hoá số

liệu và dự báo thời tiết quy mô vừa, hiện đại và chính xác có hiệu suất

cao trên máy tính. Dự án WRF phát triển một hệ thống đồng hoá số liệu

và dự báo thời tiết quy mô vừa sẽ tăng cường khả năng hiểu biết và dự

báo giáng thuỷ quy mô vừa. WRF sẽ đẩy mạnh sự gắn kết chặt chẽ giữa

nghiên cứu và dự báo nghiệp vụ. Dự kiến mô hình sẽ được ứng dụng rộng

rãi từ những mô phỏng nghiên cứu lý tưởng dẫn đến dự báo nghiệp vụ

với sự ưu tiên chủ yếu về độ phân giải ngang từ 1 – 10 km. Đặc biệt một

công nghệ và đồng hoá số liệu hiện đại, một khả năng lồng nhiều lưới và

các sơ đồ vật lý đã được cải tiến. Mô hình WRF là một mô hình mới sẽ

cung cấp một cơ hội phát triển phần mềm linh hoạt, có thể mở rộng, có

hiệu suất cao và có thể chạy trên nhiều máy tính hiệu năng cao. Hệ thống

phần mềm trong WRF được phát triển là khung phần mềm hiện đại. Sự

tiến bộ của nghiên cứu sẽ là một con đường trực tiếp dẫn tới nghiệp vụ.

Mô hình WRF gồm hai bộ phận chính: Bộ phận xử lý va bộ phận

mô phỏng.

Bộ phận xử lý đầu tiên sẽ thực hiện nội suy ngang và thẳng đứng

số liệu các trường khí tượng: độ cao địa thế vị (H), các thành phần gió

ngang (u, v), độ ẩm tương đối (RH), nhiệt độ (T), từ lưới mô hình toàn

cầu NCEP hoặc ECMWF cũng như nội suy số liệu địa hình

(Topography), loại đất (Soil texture), lớp phủ thực vật (Vergetation).v.v...

về lưới của mô hình. Sau đó bộ phận mô phỏng của WRF sẽ thực hiện

tích phân hệ các phương trình với các tham số đầu vào đã được xác định

như: miền tính, độ phân giải, bước thời gian .v.v... bộ phận xử lý cuối

cùng sẽ sử dụng các phần mềm đồ họa để hiển thị các kết quả dự báo của

mô hình (các phần mềm đồ họa thường được sử dụng trong mô hình

WRF là: GRADS, RIPS.v.v...) Tùy theo mục đích hay yêu cầu của người

dùng mà dùng các phần mềm đồ họa khác nhau, bởi lẽ cùng một sản

phẩm đầu ra nhưng các phần mềm này lại có các ưu điểm riêng của mình.

Các phương trình trong mô hình WRF được tính toán bằng việc sử


dụng một hệ tọa độ thẳng đứng áp suất thủy tĩnh theo địa hình ký hiệu là

và được xác định bởi:

( ) /h ht

hs ht

p p

p p

(5.9.17)

ph là thành phần thủy tĩnh của áp suất, phs và pht theo thứ tự là các giá trị

áp suất trên bề mặt và biên trên. Theo Laprise (1992), thì đây là hệ tọa độ

đã được sử dụng trong rất nhiều mô hình khí quyển thủy tĩnh. thay

đổi từ giá trị bằng 1 ở tại bề mặt đến giá trị bằng 0 tại biên trên của miền

tính trong mô hình. Hệ tọa độ này cũng được gọi là hệ tọa độ thẳng đứng

theo khối lượng.

Hình 5.8: Biểu đồ hệ thống mô hình WRF.

Vì (x,y) được coi là khối lượng đối với mỗi đơn vị diện tích bên

trong cột của miền tính mô hình tại điểm (x,y), các biến dạng thông lượng

thích hợp là:

V==(U,V,W), =’, =

v = (u, , w) là vận tốc theo hai hướng nằm ngang và thẳng đứng, trong

khi w= ’ chỉ là vận tốc thẳng đứng. là nhiệt độ thế vị. Cũng xuất hiện

trong các phương trình WRF là các biến không bảo toàn = gz (địa thế

vị, p (áp suất), và = 1/ (nghịch đảo mật độ).

Sử dụng các biến đã được xác định ở trên, các phương trình Euler

dạng thông lượng có thể viết lại như sau.

( . ) ( ) ( )t x x x UU Vu p p F

( . ) ( ) ( )t y y y VV V p p F

ww ( . ) ( )t V g p F

( . )t V F

( . ) 0t V 1[( . ) w] 0t V g

n

và phương trình trạng thái

0 0( / )dp p R p

Trong đó a ký hiệu thay cho các biến chung, ã = cp/cí = 1.4 là tỷ số

nhiệt dung đối với không khí khô, Rd hằng số khí khô, p0 áp suất so sánh

Dữ liệu trênmặt đất WRF

WRFSI

Dụng siờu ổ ba chiều lý

tưởng

Đường tố hai chiều lý tưởng

Cỏc súng tà ỏplý tưởng

Dữ liệu thựcban đầu

Dữ liệu trên lưới ETA, AVN,RUC, NNRP

Lý tưởnghai chiều

Mụ hỡnhWRF

Outputin

net

GradsCung cấp cho người dựng

RIP

Vis5

NCARGraphic


chuẩn (thông thường là 105 Pascals). Các thành phần vế bên phải FU, FV,

FW và Fè là các thành phần cưỡng bức phát sinh từ quá trình vật lý của mô

hình: xáo trộn rối, phép chiếu cầu và sự quay của trái đất.

Các quá trình vật lý vi mô.

Sơ đồ Kessler là một sơ đồ mây ấm đơn giản, nó bao gồm hơi

nước, nước mây và mưa,. Các quá trình vật lý vi mô trong mô hình gồm:

sản phẩm mưa và bốc hơi của hạt mưa, sự lớn dần lên. sự chuyển biến

của nước trong mây và sản phẩm của nước mây từ sự ngưng kết.Lượng

nước mây và mưa được dự báo chi tiết trong quá trình vật lý vi mô không

tính đến pha băng.

Các sơ đồ đối lưu.

- Sơ đồ Kain-Fritsch từ mô hình MM5 và một mô hình mây đơn

giản, bao gồm sự cuốn hút, các chuyển động thăng giáng được hợp nhất

trong sơ đồ này.

- Sơ đồ Bett-Miller-Janjic được dựa trên sơ đồ thích ứng đối lưu.

Những sửa chữa đầu tiên được thực hiện bởi Janjic bao gồm lời giới

thiệu về hiệu suất mây, nhằm mục đích cung cấp thêm vào khả năng

chuyển động trong việc xác định profiles của nhiệt độ và độ ẩm.

Bức xạ sóng dài.

Để tính sự tương tác giữa bề mặt khí quyển bên trên, nhiệt độ các

lớp đất, sự bốc hơi bề mặt, dòng chảy mặt, các thông lượng nhiệt, ẩm và

động lượng v.v... trong mô hình có thể lựa chọn một số sơ đồ:

- Sơ đồ RRTM từ mô hình MM5 và nó là sơ đồ giải phổ sử dụng

phương pháp tương quan. Trong sơ đồ sử dụng các bảng điều chỉnh trước

để biểu diễn độ chính xác các quá trình phát xạ sóng dài nhờ sự có mặt

của hơi nước, Ozone, CO2 và các khí.

- Sơ đồ ETA GFDL dựa theo những thay đổi đơn giản của Fels và

Schwarzkops và Schwarzkops – Fels với những tính toán trên các giải

phổ được gắn với CO2, hơi nước, Ozone.

Bức xạ sóng ngắn.

- Sơ đồ bức xạ sóng ngắn dựa trên Dudhia được mang lại từ mô

hình MM5, đơn giản là việc tích phân theo thời gian thông lượng bức xạ

mặt trời, tính toán tán xạ cho không khí sạch, hấp thụ hơi nước , sự hấp

thụ và albedo của mây.

- Sơ đồ bức xạ sóng ngắn Goddard được dựa theo Chou và Suarez .

- Sơ đồ ETA GFDL là một phiên bản của Lacis và sự tham số hóa

Hansen. Những hiệu ứng của hơi nước trong khí quyển, Ozone, CO2

được đưa vào sử dụng. Sóng ngắn được tính toán bằng cách sử dụng

cosin góc thiên đỉnh trong suốt khoảng thời gian trung bình ngày.

Lớp bề mặt.

Các hiện tượng, quá trình xảy ra trong khí quyển có mối quan hệ

chặt chẽ với các quá trình xảy ra trên bề mặt trái đất. Do vậy, không chỉ

nghiên cứu các quá trình khí quyển mà còn cần nghiên cứu và tính toán

một số quá trình xảy ra ở lớp đất hoặc lớp nước sát bề mặt trái đất như:

Sự thay đổi nhiệt độ bề mặt, sự truyền nhiệt vào lớp nước hoặc đất sâu.

- Paulsol, Dyer, Hicks và Webb sử dụng những hàm ổn định để

tính toán sự trao đổi các hệ số nhiệt, ẩm và mômen bề mặt.

- Sơ đồ bề mặt Janjic được dựa trên thuyết tương tự của Monin –

Obukhov. Sơ đồ gồm có sự tham số hóa của các tầng nhớt. Trên bề mặt

nước, các lớp nhớt được tham số hóa rõ ràng theo Janjic. Trên bề mặt đất,

hiệu ứng của các lớp nhớt được tính toán thông qua các thay đổi chiều

cao độ nhám, nhiệt độ, độ ẩm. Thông lượng bề mặt được tính bằng

phương pháp lặp.

Bề mặt đất.

Sơ đồ khuyếch tán nhiệt được dựa trên mô hình MM5, mô hình


nhiệt độ đất 5 lớp. Trong mô hình chia ra các lớp tương ứng với độ dầy là

1, 2, 4, 8, 16 cm. Bên dưới những nhiệt độ này là nhiệt độ cố định trong

suốt trung bình ngày. Năng lượng ẩm gồm có bức xạ, hiển nhiệt, tiềm

nhiệt và thông lượng nhiệt. Mô hình cũng cho phép tính với bề mặt bao

phủ tuyết. Sơ đồ OSU/MM5 được miêu tả bởi Chen và Dudhia . Sơ đồ

chia ra bốn lớp nhiệt độ đất, mô hình ẩm và dự báo bao phủ tuyết. Nó bao

gồm tầng rễ, các hiệu ứng thực vật khác, sự rút nước và dòng chảy. Cung

cấp ẩn nhiệt hiển nhiệt và thông lượng nhiệt đến sơ đồ lớp biên.

Biểu diễn địa hình trong mô hình

Bên cạnh việc giải các phương trình thuỷ nhiệt động lực học với

các điều kiện biên nhất định thì nghiệm của bài toán thu được cũng phụ

thuộc chặt chẽ vào khu vực dự báo (địa hình khu vực). Do vậy việc biểu

diễn địa hình trong mô hình đóng vai trò quan trọng. Nó quyết định

nghiệm của bài toán trong các mô hình dự báo nói chung, đặc biệt trong

dự báo quy mô vừa và nhỏ. Về lý thuyết việc biểu diễn địa hình càng chi

tiết bao nhiêu thì kết quả càng khách quan bấy nhiêu. Tuy nhiên với địa

hình phức tạp thì không phải lúc nào cũng biểu diễn được bằng các

phương trình toán học. Hơn nữa việc giải các phương trình này nhiều khi

cũng phức tạp và mất nhiều thời gian. Do đó thông thường trong các mô

hình số nói chung, địa hình được làm trơn tru hơn so với thực tế, ngay cả

khi trong hệ toạ độ .

Để dự báo xâm nhập lạnh về Việt nam miền dự báo có tâm tại vĩ

độ 190N và kinh độ 107,50E . Số điểm của lưới theo hướng Đông Tây là

92 điểm, số điểm lưới theo phương Bắc Nam là 92 điểm, kích thước bước

lưới là 36 km, bước thời gian tích phân mô hình là 90 (s) . Sử dụng công

nghệ lưới lồng

Lưới 1: Độ phân giải ngang có kích thước bước lưới 36 km cho

miền dự báo với 92 x 92 điểm lưới, tâm tại vĩ độ 19oN và kinh độ

107,5oE. Miền tính bao gồm toàn lãnh thổ Việt Nam, một phần phía Nam

Trung Quốc, biển Đông và các nước Đông Nam Á với mục đích vừa bảo

đảm hạn chế sai số khuyếch tán vào tâm miền tính, vừa tính được ảnh

hưởng của hoàn lưu gió mùa đông bắc xuất phát từ cao áp Xiberia và các

trung tâm cực đới vào mùa đông. Sự tăng cường hay suy yếu của các

trung tâm này sẽ ảnh hưởng lớn tới sự xâm nhập của không khí lạnh vào

Việt Nam.

Lưới 2: Độ phân giải ngang có kích thước bước lưới 12 km cho

miền tính 94 x 94 điểm, tâm lưới tại kinh tuyến 106,5oE và vĩ tuyến 23oN.

Miền tính là phía Bắc và Bắc Trung Bộ Việt Nam.

Lưới 3: Độ phân giải ngang có kích thước bước lưới là 4 km cho

miền dự báo 105 x 105 điểm lưới, tâm lưới tại kinh tuyến 106oE và vĩ

tuyến 22oN với mục đích để bao phủ toàn bộ khu vực miền Bắc Việt

Nam.

Trường ban đầu được dùng để tích phân mô hình WRF theo thời

gian là phân tích toàn cầu, còn điều kiện biên thì trong các dự báo dưới

đây ta sử dụng số liệu dự báo của AVN được cập nhật thường xuyên

6h/1lần. Trường số liệu của mô hình AVN có độ phân dải ngang 1 x 1 độ

kinh vĩ trên 31 mức thẳng đứng

Kết quả dự báo cho thấy sử dụng mô hình WRF với cấu trúc đã mô

tả cho phép dự báo thời gian front di chuyển đên Hà nội với độ chính xác

khoảng 1 giờ.

5.9.5 Mô hình MM5

Mô hình khí tượng động lực quy mô vừa thế hệ thứ 5 (MM5) của

Trung tâm Nghiên cứu Khí quyển Quốc gia Mỹ (NCAR) và Trường Đại

học Tổng hợp Pennsylvania Mỹ (PSU) là thế hệ mới nhất trong một loạt

các mô hình nghiên cứu và dự báo thời tiết được Anthes phát triển từ

những năm 1970. Qua quá trình hoàn thiện, mô hình đã được cải tiến

nhiều lần nhằm mô phỏng và dự báo tốt hơn các quá trình vật lý quy mô


vừa và có thể áp dụng với các đối tượng sử dụng khác nhau. Phiên bản

3.5 (MM5V3.5) của mô hình ra đời năm 2001 đã được điều chỉnh, cải

tiến thêm so với các phiên bản trước đó trong các mảng: Kỹ thuật lồng

ghép nhiều mức Động lực học bất thuỷ tĩnh Đồng hoá số liệu bốn chiều

(FDDA) Bổ sung các sơ đồ tham số hoá vật lý Kỹ thuật tính toán ... Phiên

bản được sử dụng trong dự báo thời tiết ở Viện Khí tượng Thuỷ văn là

phiên bản mới nhất của mô hình (MM5V3.7) cập nhật vào cuối năm

2004.

Miền tính

Các dự báo về hầu hết các yếu tố khí tượng được thực hiện cho hai

miền tính. Miền tính thứ nhất có kích cỡ 65x95 điểm tính với kích thước

ô lưới theo phương ngang là 45 km bao trùm hầu hết diện tích Đông Nam

Á. Miền tính thứ hai có kích cỡ 127x64 điểm tính với kích thước ô lưới

15 km lấy Việt Nam làm trung tâm của miền tính (Hình dưới). Cả hai

miền tính đều có 23 mực theo phương đứng. Dữ liệu địa hình được lấy từ

nguồn Cơ quan Địa chất Mỹ (USGS) với độ phân giải ngang khoảng 4

km.

Điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho mô hình MM5 là các

trường khí tượng phân tích và dự báo toàn cầu cách nhau 6h một của mô

hình AVN do Trung tâm Dự báo Môi trường Quốc gia Mỹ

Hình 5.9 Miền dự báo của mô hình MM5

Viện Khoa học Khí tượng thuỷ văn và Môi trường

Dự báo thời tiết ở Viện Khoa học Khí tượng thuỷ văn và Môi

trường

Hiện thời, mô hình MM5 được chạy một lần trong ngày với các

trường phân tích và dự báo bắt đầu từ 07h hàng ngày. Khoảng 12h30

hàng ngày mô hình hoàn tất các sản phẩm dự báo cho hai miền tính với

hạn dự báo đến 48h. Một số sản phẩm dự báo nhiệt độ, lượng mưa, độ ẩm

tương đối cho một số điểm trên cả nước.


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Arakawa, A. and W.H. Schubert, 1974: Interaction of a cumulus cloudensemble with the large-scale environment. Part I. Jour. Atnws. Sd.,31, 674-701.

2. Emanuel, K, (1994): Atmospheric Convection Oxfort Univ. Press.

3. Haltiner, G.J. and Williams, R.T., (1980): Numerical Prediction andDynamic Meteorology, New York U.S.A. Wiley, 2.

4. Holton, James R. (1992):An Introduction to Dynamic Meteorology.Third Edition, Vol.48, International Geophysics Series, AcademicPress, New York.,

5. Krishnamurti, T.N. and Bounoua, L., (1996):Numerical WeatherPrediction techniques, Academic Press, New York...

6. Smith, R.K., and Jones, S.C.. (1996):Tropical Meteorology, Lectures,University of Munich.

phƯƠng phap sỐ dỰ bÁo thỜi tiẾt

Documents