phƯƠng phÁp cho nỬa nhÓm cauchy - hus.vnu.edu.vn · phương pháp nửa nhóm đã được...
TRANSCRIPT
- 1 -
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ 0C −NỬA NHÓM 4
1.1 0C −nửa nhóm 4
1.2 Bài toán Cauchy 12
1.3 Một số ví dụ 21
Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM
n −LẦN TÍCH HỢP 30
2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30
2.2 Bài toán Cauchy ( ),n ω −đặt chỉnh 37
2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40
2.4 Một số ví dụ 50
KẾT LUẬN 58
Tài liệu tham khảo 59
- 2 -
MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng. Nó
được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,
kỹ thuật, tài chính...
Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm
của nó. Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt
chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ
thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán.
Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan
trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân
tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn.
Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất
( ) ( ) ( )' , 0 ,u t Au t u x= = 0,t ≥ (CP)
trong đó : A X X→ là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên không
gian Banach X và : .u X→+ Mục tiêu chính của luận văn nhằm trình bày
việc ứng dụng phương pháp 0C −nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm
n − lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của
bài toán Cauchy trên.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của 0C −nửa
nhóm. Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị
chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều. Từ đó đưa ra một số
ví dụ minh họa.
Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm 0C đó là
nửa nhóm n − lần tích hợp và nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương bị chặn
- 3 -
mũ, không suy biến. Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính
( ),n ω − đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình. Trong
chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các
phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian
qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina
thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em để luận văn được hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước
ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường. Trong những năm qua thầy cô đã
tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp
em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để
ứng dụng khi thực hiện luận văn.
Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện
cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả
có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011.
- 4 -
Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ 0C −NỬA NHÓM
1.1 0C −nửa nhóm
Cho X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh)
Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn { }( ), 0T t t ≥ trên không gian Banach
X được gọi là 0C −nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) nếu
(T1) ( ) ( ) ( ) ,T t s T t T s+ = , 0t s∀ ≥ .
(T2) ( )0T I= (I là toán tử đồng nhất).
(T3) ( ) ( )0
0lim ,t t
T t x T t x→
= ,x X∀ ∈ 0, 0t t ≥ .
Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh)
Toán tử ( ):A D A X X⊂ → ,
được xác định bởi
( ) ( )0
': 0 : limh
T h IAx T x xh→
−= = ,
cùng với miền xác định
( ) ( ) ( )0
' 0 : limh
T h ID A D T x X xh→
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎭
−= = ∈ ∃ ,
được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0T t t ≥ .
Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức)
( )( ),A D A là toán tử đóng trong không gian Banach ,X tập các giá trị
λ∈ sao cho ( )I Aλ − là song ánh (tức là ( ) 1I Aλ −− là toán tử tuyến tính bị
chặn trên X ), được gọi là tập các giá trị chính quy của A (tập giải của toán
tử A ), ký hiệu ( ).Aρ Tập ( ) ( )\A Aσ ρ= được gọi là tập phổ của toán tử
- 5 -
.A Khi đó ( ) ( ) ( )1 : , AI A R R Aλ λ λ−− = = với ( )Aλ ρ∈ được gọi là giải
thức của .A
Mệnh đề 1.1.1
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0 ,T t t ≥ ta có
1. ( ): A D A X X⊂ → là toán tử tuyến tính;
2. ,x X∀ ∈ ( )0
0
1 t
tlim T s xds x
t+→=∫ ; (1.1.1)
3. Cho ( ) ,x D A∈ ta có ( ) ( )T t x D A∈ và
( ) ( ) ( )d T t x T t Ax AT t xdt = = với 0t∀ ≥ ; (1.1.2)
4. Cho 0, t x X∀ ≥ ∈ ta có ( ) ( )0
tT s xds D A∈∫ ; (1.1.3)
5. Cho 0t∀ ≥ ta có
( ) ( )0
tT t x x A T s xds− = ∫ nếu ,x X∈ (1.1.4)
= ( )0
tT s Axds∫ nếu ( ).x D A∈ (1.1.5)
Chứng minh
1. Hiển nhiên, do ( )T t là toán tử tuyến tính và do tính chất của giới hạn
( ) ( )0
limh
T h x xA x h+→
−= .
2. Đặt ( )0
1 , , 0.t
ty T s xds x X tt
= ∀ ∈ ∀ >∫ Vì ( )0t
limT t x x+→
= suy ra
0, 0 : 0 tε δ δ∀ > ∃ > < < suy ra ( )2
T t x x ε− < .
Theo định nghĩa tích phân, 0ε∀ > tồn tại phân hoạch của [ ]0,t
- 6 -
0 10 ... ns s s t= < < < = sao cho
( ) ( )10
,2
t n
i ii
T s xds T x s tεα=
− Δ ≤∑∫ với [ ]1 , 1,i i is s i nα −∈ − = .
Với : 0t t δ∀ < < ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 10 0
1
1 1 1 1
1 .2 2 2
t t n n
i i i ii i
n
i ii
T s xds x T s xds T x s T x s xt t t t
T x x st
α α
ε ε εα ε
= =
=
− ≤ − Δ + Δ −
< + − Δ < + =
∑ ∑∫ ∫
∑
Từ đó suy ra ( )0 0
0
1 .t
tt tlim y lim T s xds x
t+ +→ →= =∫
3. Lấy ( ),x D A∈ từ định nghĩa của toán tử sinh A suy ra
( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0lim lim
h h
T t h x T t x T h x xT t T t Axh h+ +→ →
+ − −= = .
Vậy ( ) ( ) ( )0
limh
T h T t x T t xh+→
− tồn tại. Theo định nghĩa của ( )D A ta có
( ) ( )T t x D A∈ và ( ) ( )AT t x T t Ax= .
4. Với mọi ,x X∈ 0t∀ ≥ ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0
0
1
1 1
1 1
1 1 1 1
t t
t t
t h t
ht t h h t
th h
T h T s xds T s xdsh
T h s xds T s xdsh h
T s xds T s xdsh h
T s xds T s xds T s xds T s xdsh h h h
+
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
= −
= + − −
−
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )0
1 1t h h
tT s xds T s xdsh h
+= −∫ ∫
- 7 -
( ) ( )0 0
1 1h hT t s xds T s xdsh h= −+∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 1h hT t T s xds T s xds T t x xh h= − → −∫ ∫ khi 0h +→ (Do (1.1.1)).
Suy ra ( ) ( )0
tT s xds D A∈∫ và ( ) ( )
0
tT t x x A T s xds− = ∫ với .x X∀ ∈
5. Nếu ( ),x D A∈ ( ) ( )T h x xs T s h
−→ hội tụ đều trên 0,t⎡ ⎤⎣ ⎦ đến hàm
( ) ( )s T s A x→ khi 0h +→ (do ( ) , 0,T s M s t⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ ∈ ).
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
00 0 0
0 00 0
0
lim
.
1lim
1 1lim
t t t
h
t t
h ht
T t x x A T s xds T h T s xds T s xdsh
T h I T s xds T s T h I xdsh h
T s Axds
+→
+ +→ →
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
=
− = = −
− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Vậy ( ) ( )0
tT t x x T s Axds− = ∫ với ( )x D A∀ ∈ .
Mệnh đề 1.1.2
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh { }( ), 0 ,T t t ≥ ta có
1. ( ) ( ) ( ) ( )T t T s T s T t= với , 0t s∀ ≥ ;
2. T là toán tử bị chặn mũ, tức là:
1, , 0K tω∃ ≥ ∈ ∀ ≥ : ( ) tT t Keω≤ ; (1.1.7)
3. ( )D A X= và A là toán tử đóng;
4. Với ( ) ( )1:: Re , AI A Rλ λ ω λ λ−=∀ ∈ > ∃ − và
( ) ( )0
, .tAR x e T t xdt x Xλλ
∞−= ∈∫ (1.1.8)
- 8 -
Chứng minh
1. Do { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm, từ điều kiện (T1) của Định
nghĩa 1.1.1 ta dễ dàng chứng minh tính giao hoán của ( )T t và ( )T h với
, 0t h∀ ≥ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),T t T h T t h T h t T h T t= + = + = với , 0t h∀ ≥ .
2. Vì ( )T t x liên tục với mọi x X∈ trên 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ nên
( ){ }, 0,1T t x t ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ là tập bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều ta luôn có
( )T Kτ ≤ với : 0 1τ τ∀ ≤ ≤ và vì ( )0 1T = suy ra 1K ≥ .
Với 0t∀ ≥ ta có thể viết dưới dạng ,t n τ= + ,n∈ 0 1τ≤ < ,
ta có
( ) ( ) ( ) ( )T t T n T n Tτ τ= + =
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
ln
1 1
, ln , .
n n n
n K t
T t T n T T T T T K
Ke Ke K tω
τ τ τ
ω
+= = ≤ ≤
= ≤ = ∀
3. { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm và toán tử sinh A của nó là toán
tử tuyến tính. Ta phải chứng minh:
a. A là toán tử đóng
Giả sử lấy dãy { } ( )nx D A⊂ sao cho nx x→ và nAx y→ ta phải chứng
minh ( )x D A∈ và .Ax y=
Do (1.1.5) ta có
( ) ( )0
,t
n n nT t x x T s Ax ds− = ∫ 0.t ≥
Do ( ) nT Ax• hội tụ đều trên 0,t⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ( ) , 0,T s M s t⎡ ⎤⎣ ⎦≤ ∀ ∈ ).
- 9 -
Cho n→∞ ta có ( ) ( )0
tT t x x T s yds− = ∫ ,
suy ra ( )( ) ( )0
1 1 ,t
T t x x T s ydst t
− = ∫
Cho 0t +→ thì giới hạn vế phải tồn tại và ( )0
1 ,tT s yds y
t→∫ suy ra giới hạn vế
trái tồn tại và hội tụ tới ,Ax suy ra ( )x D A∈ và .Ax y= Vậy A đóng.
b. ( )D A X=
Thật vậy, do (1.1.3) ta có ( ) ( )0
1 ,tT s xds D A
t∈∫ do (1.1.1) ta có
( )0 0
1lim , .t
tT s xds
tx x X+→
= ∀ ∈∫
Suy ra ( )D A X= .
4. : Re ,λ λ ω∀ ∈ > ( ) ( )1 : AI A Rλ λ−∃ − =
và
( ) ( )0
, .AtR x e T t xdt x Xλλ
∞ −= ∈∫
Từ (1.1.7) ( )T t bị chặn mũ suy ra tích phân vế phải luôn tồn tại với ,x X∀ ∈
λ∀ ∈ , Reλ ω> . Với ( )x D A∀ ∈ và do A là toán tử đóng ta có
( ) ( ) ( )0 0 0
't t te AT t xdt A e T t xdt e T t xdtλ λ λ∞ ∞ ∞− − −= =∫ ∫ ∫ .
Lấy tích phân từng phần
( ) ( ) ( )
( )
00 0
0
'
.
t t te T t xdt e T t x e T t xdt
tx e T t xdt
λ λ λλ
λλ
∞ ∞+∞
∞
=
= −
− − −+
−+
∫ ∫
∫
- 10 -
Thác triển liên tục trên toàn không gian ( )X D A= ta được
( ) ( )0
, .tI A e T t xdt x x Xλλ∞
=−− ∈∫ (1.1.9)
Mặt khác lại có
( )( ) ( )0
, .te T t I A xdt x x D Aλ λ∞
=− − ∈∫ (1.1.10)
Từ (1.1.9) và (1.1.10) suy ra sự tồn tại toán tử bị chặn trên X
( ) ( ) 1:AR I Aλ λ −= − và ( ) ( )0
, .AtR x e T t xdt x Xλλ
∞ −= ∈∫
Mệnh đề 1.1.3
Cho T là toán tử liên tục mạnh sao cho
1, , 0K tω∃ ≥ ∈ ∀ ≥ , ( ) .tT t Keω≤
Đặt
( ) ( )0
, RetR e T t dtλλ λ ω∞ −= >∫ .
Khi đó ( )R λ thỏa mãn phương trình giải thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),R R R Rμ λ λ μ λ μ− = − Re , Re ,λ μ ω> (1.1.11)
nếu và chỉ nếu T thoả mãn ( ) ( ) ( )T t s T t T s+ = , , 0t s∀ ≥ .
Chứng minh
Cho Re , Reλ μ ω> , từ Định lý duy nhất của phép biến đổi Laplace
ta có
( ) ( ) ( ) ( )0 0
,s tR R e e T s T t dsdtμ λμ λ∞ ∞
− −= ∫ ∫
- 11 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
0 0 0 0
0
0
t t t
tt ts s
t s
t
s tt
t
R R e R dt e e T t dt
e e T s dsdt e e T s dsdt
e e T s dsdt
e e T s dsdt
λ μ λ μ λ
λ μ λ μλ λ
λ μ λ
λμ
λ μλ μ λ
μ λ
∞ ∞− −− −
∞ ∞ ∞− −− −
∞ ∞− −
∞ ∞ − −−
−= − −
−
= −
=
=
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )0 0
t se e T s t dsdtμ λ∞ ∞
− −= +∫ ∫ .
Vậy ( )R λ thỏa mãn phương trình giải thức
( ) ( ) ( ) ( )R RR R λ μμ λ μ λ−
=−
khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )T s T t T s t= + với , 0t s∀ ≥ .
Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên
tục)
Đối với toán tử ( )( ),A D A trên không gian Banach ,X các tính chất
sau là tương đương
a. ( )( ),A D A sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh.
b. ( )( ),A D A là toán tử đóng xác định trù mật ( )D A X= và 0λ∀ > ta
có ( ) ,Aλ ρ∈ đồng thời
( ), 1R Aλ λ ≤ .
c. ( )( ),A D A là toán tử đóng xác định trù mật ( )D A X= và λ∀ ∈
với ( ) 0Re λ > ta có ( ) ,Aλ ρ∈ đồng thời
( ) ( )1,R A
Reλ
λ≤ .
- 12 -
1.2 Bài toán Cauchy
Xét bài toán Cauchy
( ) ( ) ( )' , 0 ,u t Au t u x= = 0,t ≥ (CP)
trong đó A là toán tử tuyến tính, đóng với miền xác định ( ) ,D A X⊆ X là
không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1
Hàm ( ) ){ } ) ( ){ }1 0, , 0, ,u C X C D A⎡ ⎡⎣ ⎣• ∈ ∞ ∩ ∞ được gọi là nghiệm
của bài toán Cauchy (CP) nếu ( )u t thỏa mãn phương trình với 0t∀ ≥ và thỏa
mãn điều kiện ban đầu với 0.t =
Định nghĩa 1.2.2
Bài toán Cauchy (CP) được gọi là đặt chỉnh đều trên ( ), E X E X⊂ =
nếu
1. Luôn tồn tại nghiệm với x E∀ ∈ ;
2. Nghiệm là duy nhất với 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , 0, Τ> Τ∈ ;
3. Nghiệm ổn định đều đối với điều kiện ban đầu ( )0 ,u x= với
0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , 0, Τ> Τ∈ .
Bổ đề 1.2.1
Giả sử ( ) .Aρ φ≠ Khi đó nếu với ( )x D A∀ ∈ tồn tại và duy nhất nghiệm
của (CP), thì nghiệm này ổn định đối với điều kiện ban đầu x .
Chứng minh
Giả sử
( )( ) : T t x u t= , 0t ≥ ,
là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy với giá trị ban đầu
( )0 ,u x= ( )x D A∀ ∈ .
Ta có
- 13 -
( ) ( ) ( ){ }: 0, , T D A C D A⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦• → Τ là toán tử nghiệm với mọi 0Τ> ,
( )D A là không gian Banach:
( ){ }, AD A x x Ax= + ,
ta phải chứng minh ( )T t là toán tử đóng.
Thật vậy, giả sử nx x→ trong ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ và ( ) ( ) ( )n nT t x u t y t= → trong
( ){ }0, , C D A⎡ ⎤⎣ ⎦Τ , khi đó ( ) ( ) ( )'n nu t Au t Ay t= → trong X đều theo t .
Do vậy từ
( ) ( )0
't
n n nu t x u dτ τ= + ∫ ,
ta có
( ) ( )0
ty t x Ay dτ τ= + ∫ .
Điều này có nghĩa ( )y t là nghiệm của (CP) với giá trị ban đầu ( )0y x= ,
nghiệm này khả vi liên tục trên [ ]0,Τ .
Do vậy
( ) ( ) ,y t T t x= với 0t ≥
là nghiệm duy nhất. Vậy toán tử ( )T t xác định trên ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ và là toán tử
đóng. Do vậy theo định lý Banach thì ( )T • liên tục và
( )0,
sup ,AAtu t K x
⎡ ⎤⎣ ⎦∈ Τ
≤ (1.2.1)
chứng tỏ bài toán Cauchy (CP) đặt chỉnh đều trên ( )D A⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Mặt khác, do tập giải ( ) ,Aρ ≠Φ xét ( ) ( )0 , A x D Aλ ρ∈ ∈ và ( )0 ,y R xλ=
khi đó ta có
( )2y D A∈ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0T t x T t Ay T t y AT t y T t yλ λ= − + = − + .
- 14 -
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( )0 0 AT t x AT t y T t y K T t yλ≤ + ≤ .
Từ (1.2.1) ta có
( ) ( )1 1AT t x K y K y Ay≤ = +
( ) ( )1 20K y x y K x yλ= + − ≤ +
( )( )2 0
,
K x R x
K x
λ≤ +
≤
với 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ , tức là (CP) đặt chỉnh đều trên không gian .X
Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn cơ bản xét tính đặt chỉnh của (CP))
Giả sử A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trên .X Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(I) Bài toán Cauchy đặt chỉnh đều trên ( )D A ;
(II) A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0T t t ≥ ;
(III) Điều kiện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida (MFPHY) đối với
giải thức của toán tử :A tồn tại 0, K ω> ∈ sao cho
( ) ( )( ) 1
!Re
kA k
KkR λλ ω +≤−
, (1.2.2)
với mọi : Re ,λ λ ω∀ ∈ > 0,1,....k∀ =
Trong trường hợp này nghiệm của (CP) có dạng
( ) ( ) ,u T x• = • ( ).x D A∈
Chứng minh
(I⇒II)
Giả sử bài toán (CP) là đặt chỉnh đều trên ( ).D A Điều này tương đương
với nghiệm ( ), 0u t t ≥ tồn tại và duy nhất với mọi ( ),x D A∈ ta ký hiệu
- 15 -
nghiệm là ( )T x• . Do đó với mọi 0, , 0, t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ Τ> Τ∈ , nghiệm này ổn
định đều đối với điều kiện ban đầu. Suy ra toán tử ( )T t bị chặn đều với
0, , 0, t ⎡ ⎤⎣ ⎦∀ ∈ Τ Τ> Τ∈ trên ( )D A .
Vì ( )D A X= nên ( )T t có thể thác triển được trên toàn không gian X và bảo
toàn ước lượng chuẩn.
Bây giờ ta phải chứng minh họ các toán tử tuyến tính bị chặn { }( ), 0T t t ≥ là
0C −nửa nhóm.
Thật vậy, vì ( )T t x thỏa mãn phương trình '( ) ( )T t x AT t x= với ( ),x D A∀ ∈
0,t ≥ suy ra ( ) ( )T t x D A∈ với ( )x D A∀ ∈ .
Cho ( )x D A∈ thì ( )T t h x+ và ( ) ( )T t T h x đều là nghiệm của (CP) có điều
kiện ban đầu ( )T h x .
Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra
( )x D A∀ ∈ , ( ) ( ) ( )T t h x T t T h x+ = , , 0,t h≥
thác triển trên toàn không gian X , ta có
( ) ( ) ( )T t h x T t T h x+ = , , 0,t h≥ với x X∀ ∈ .
Vậy { }( ), 0T t t ≥ thỏa mãn điều kiện (T1) của định nghĩa 0C −nửa nhóm.
Lại có điều kiện ban đầu ( ) ( )0T T h x = ( )T h x với x X∀ ∈ suy ra ( )0T I=
và do vậy (T2) được thỏa mãn.
Mặt khác do ( )T t bị chặn đều với mọi 0, , 0,t ⎡ ⎤⎣ ⎦Τ > Τ∈ ∀ ∈ Τ và ( )T t x
liên tục trên ( )D A , ( ( )D A X= ) với 0t ≥ . Vì vậy hàm ( )T • liên tục mạnh
khi 0,t ≥ do vậy thỏa mãn (T3). Vậy họ các toán tử { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa
nhóm. Hơn nữa, với ( )x D A∀ ∈ ta luôn có:
( ) ( ) ( )10
'lim 0 0 ,h
h T h I x T x AT x Ax−→
⎡ ⎤⎣ ⎦− = = =
- 16 -
suy ra ( )' 0 .x D T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∈ Vậy ( ) ( )' 0D A D T D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⊆ = và ( )' 0T A= trên ( ).D A
Để chứng minh ( ),D D A⊂ xét giải thức
( ) ( ) ( )' 00
, RetTR e T t dtλλ λ ω
∞−= >∫ ,
ta phải chứng minh ( )( ) ( )' 0
.ATR Rλ λ= Thật vậy, cho x D∈ ta có:
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' 0 0
0 0
0 0'
.
tT
t t
t t
I A R x I A e T t xdt
e AT t xdt e T t xdt
e T t xdt e T t xdt
x
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ
λ
∞−
∞ ∞− −
∞ ∞− −
− = −
= − +
= − +
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
Do A đóng, nên ta có thể thác triển đẳng thức này trên toàn không gian X
và toán tử ( )
( )' 0TR λ là một ánh xạ từ X vào ,D do vậy ( ).D D A⊂ Vậy
( ) ( )' 0D A D T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= và A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0T t t ≥ .
(II⇒III)
Giả sử A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0 ,T t t ≥ từ điều kiện
(1.1.7) và (1.1.8) ta có
( ) ( ) ( )
0 0
Re
0,
Re
t tA
t
R e T t dt e T t dt
KK e dt
λ λ
λ ω
λ
λ ω⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞− −
∞ − −
= ≤
≤ =−
∫ ∫
∫
( ) ( )
( )
Re
0 0
2! .
Re
ttA
d R te T t dt K te dtd
Kk
λ ωλλλ
λ ω
⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞ − −−= ≤
=
−
−
∫ ∫
- 17 -
Cứ tiếp tục như vậy, lấy đạo hàm đến cấp k ta có
( ) ( )( )
Re1
0 0
! .Re
k tk t kk k
d KkR t e T t dt K t e dtAdλ ωλλ
λ λ ω⎡ ⎤⎣ ⎦
∞ ∞ − −−+= ≤ =
−∫ ∫
Vậy (1.2.2) đúng.
(III⇒I)
Trước tiên ta sẽ xây dựng nghiệm của (CP) đủ trơn so với điều kiện ban
đầu .x Lưu ý rằng 3( ) ,D A X= cho ( )3x D A∈ và { }ax ,0mσ ω> đặt
( ) ( )2
2 3 3^ 1, + d , 02 2
.i tAi
tu t x x tAx A x e R A x ti
σ λσ
λ λ λπ
+ ∞ −− ∞
= + + ≥∫ (1.2.3)
Nhận thấy tích phân trong biểu thức (1.2.3) triệt tiêu khi 0,t = do vậy
( )^
0,u x x= ,
hiển nhiên ( )^
, tu t x →∞= O ( )teσ .
Biểu thức dưới dấu tích phân khả vi, suy ra sự tồn tại đạo hàm liên tục của
( )^
, , 0u t x t ≥ .
Mặt khác, do tính đóng của toán tử ,A ( ) ( )^
,u t x D A∈ và
( ) ( ) ( ) ( )2
3 3 3^ ^ 1' , , + d 0, 2 2
0.i tAi
tu t x Au t x A x e I A R A xi
tσ λσ
λ λ λ λπ
+ ∞ −− ∞
− = − − = ≥∫
Suy ra ( )^
,u t x là nghiệm của (CP) với 0t ≥ , ( )3x D A∈ .
Chứng minh tương tự đẳng thức (1.1.8) ở mệnh đề 1.1.2, ta có
( ) ( )( )0
^,t
Axe u t x dt R xλ λ∞
− =∫ . (1.2.4)
Sử dụng công thức nghịch đảo Widder-Post của phép biến đổi Laplace, ta có:
- 18 -
( ) ( ) ( )1^ 1, lim
!
n n nnn An t
n du t x R xn t d λ
λλ
+
→∞ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−= , (1.2.5)
áp dụng bất đẳng thức (1.2.2), ta có
( )( )1
, ^
, lim 1 0.n
tn
tu t x K x Ke xn
tωω − +
→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
≤ − = ≥ (1.2.6)
Suy ra
( ) ( ) ( )3^ ^ , , T t x u t x x D A≡ ∈ , 0t ≥ ,
là công thức nghiệm của (CP).
Xét (1.2.6), ta có thể thác triển ( )^T x• và đẳng thức (1.2.4) trên toàn không
gian ,X do vậy ( )T • thác triển được là liên tục mạnh với mọi 0t ≥ và
( ) tT t Keω≤ , 0t ≥ .
Hoàn toàn có thể chứng minh được nghiệm bất kỳ ( )u • của (CP) đều được
biểu diễn dưới dạng
( ) ( ) ( )0u T u• = • . (1.2.7)
Thật vậy, từ định nghĩa 1.1.1, cho ( )3 ,x D A∈ ta có
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,^ ^
A A AR T t x R T t x T t R xλ λ λ= = 0t ≥ ,
có thể thác triển đẳng thức này trên toàn không gian .X
Do vậy
( )( ) ( ) , T t Ax AT t x x D A= ∈ , 0t ≥
và hàm ( )T x• khả vi khi ( )x D A∈ .
Với một nghiệm ( )u • nào đó của (CP), ta luôn có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0d T t s u s AT t s u s T t s Au s s tds − = − − + − = ≤ ≤ ,
do đó
- 19 -
( ) ( ) ( )(0) ( ) 0T u t T t u u t= = , 0t ≥ .
Định lý 1.2.2
Giả sử A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trên X thỏa mãn
các điều kiện sau
( ) ( ) ,0, , 0: 1AK R K γω ω λ λ∃ > ∈ > ≤ + Reλ ω> , 1γ ≥ − . (1.2.8)
Khi đó với ( )3 ,x D A γ⎡ ⎤⎣ ⎦+∀ ∈ hàm
( ) ( ) ( )
( )
1^ . . , 0, 2J
0 , 0
i tAi
J t v p e R xd tit
J t
σ λσ
λ λ σ ωπ
+ ∞
− ∞⎧ = > >⎪= ⎨⎪ =⎩
∫
cho nghiệm của (CP).
Chứng minh
Với mọi ( )3x D A γ⎡ ⎤⎣ ⎦+∈ , ta đều có thể viết dưới dạng
( ) 31 Ax R xγμ ⎡ ⎤⎣ ⎦+= ,
trong đó ( )3
1 x I A xγ
μ⎡ ⎤⎣ ⎦+
= − .
Áp dụng đồng nhất thức (1.1.11) ta có
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2
1
3 2
1 1 1 13 2 3
...
A AAA
A A A A
R R RR x x
R R R Rx x x x
γ
γ γ
γ γ
λ μ μλ
μ λλ μ μ μ
μ λμ λ μ λ μ λ
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
+ +
+ +
⎡ ⎤⎣ ⎦−=
−
= − − − −−− − −
với Re , Re , λ μ ω λ μ> ≠ .
Sử dụng bổ đề Jordan ta có
( ) ( )x1 . . d2
i tAiJ t x v p e R
iσ λσ
λ λπ
+ ∞
− ∞= ∫
- 20 -
( )
( ) 131. . d ,
2i t Ai
Rv p e x
iσ λ
γσλ
λπ μ λ ⎡ ⎤⎣ ⎦
+ ∞+− ∞
=−
∫ 0t > ,
theo (1.2.1) thì tích phân trên hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều theo 0t ≥ .
Tiếp theo lấy đạo hàm dưới dấu tích phân ta có
( )
( ) 131. . d
2i t Ai
Rv p e x
iσ λ
γσλ λ
λπ μ λ ⎡ ⎤⎣ ⎦
+ ∞+− ∞ −
∫ ,
tích phân này cũng hội tụ tuyệt đối và đều theo 0t ≥
và
( )( ) 13
1. . d2
i t Ai
Rv p e xi
σ λγσ
λ λλ
π μ λ ⎡ ⎤⎣ ⎦
+ ∞+− ∞ −
∫ = ( )'J t khi 0t > .
Dễ dàng kiểm tra được ( )J t thỏa mãn (CP) khi 0.t >
Thật vậy do sự tồn tại của ( ) ( )0^
lim ' : ' 0t J t J→ = và do tính đóng của toán tử
,A suy ra ( ) ( )^ ^
' 0 0J A J= .
Áp dụng Định lý Cauchy, ta có
( ) ( ) 31
^' 0 AJ R x xγμ ⎡ ⎤⎣ ⎦+= = ,
tức là ( )^J t là nghiệm của bài toán Cauchy (CP).
Bây giờ ta phải chứng minh tính duy nhất của nghiệm. Giả sử ( )u • là
nghiệm của (CP), vì ( )u • khả vi liên tục với 0,t ≥ lấy tích phân từng phần
( )0
te u dλτ τ τ−∫ ta có
( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0 0
t tte u d u u t e e Au dλτ λ λττ τ λ λ τ τ− − − − −⎡ ⎤
⎣ ⎦= − +∫ ∫ .
Giả sử ( )0 0,u = do A đóng nên ta có
- 21 -
( ) ( ) ( )0
,t
tA I e u d u t eλτ λλ τ τ− −− =∫
do đó ( ) ( ) ( )0
t
Ae u d R u tλτ τ τ λ−− =∫ .
Kết hợp với (1.2.8) suy ra ( ) 0u τ = trên 0,t⎡ ⎤⎣ ⎦ , suy ra nghiệm là duy nhất.
1.3 Một số ví dụ
Ví dụ 1.3.1
Xét bài toán Cauchy
( ) ( )
( ) ( )
, , 0, 0,
,0 .
u x t u x t t xt x
u x f x
∂ ∂+ = ≥ ∈ℜ
∂ ∂=
(1.3.1)
a. Trường hợp ℜ=
Xét không gian Banach ( )2X L=
Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng trừu tượng
( ) ( )' ,u t Au t= ( )0, 0 ,t u f≥ = (1.3.2)
Xét toán tử dA dx= − cùng với miền xác định
( ) ( ) ( ){ }2 2 ' .D A u L u L= ∈ ∈
Giả sử ( )AR λ là giải thức của A , với f X∈ cho trước từ hệ thức
( ) ( ) , ARI A f fλλ − =
suy ra ( ) ( ) ( )ARg x f xλ= là nghiệm của phương trình
( ) ( ) ' , .I A g g g f g D Aλ λ− = + = ∈
Giải phương trình cho nghiệm
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) , . x
x sAg x R f x e f s ds xλλ − −
−∞
= = ∈∫
- 22 -
Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta phải kiểm tra được ( )AR λ thỏa mãn điều
kiện Hille-Yosida
( ) 1AR λ
λ≤ đúng với mọi 0λ > .
Thật vậy
, 0f X λ∈ ∀ > ta có
( ) ( ) ( )22
x
x sA L
L
R f e f s dsλλ − −
−∞
= ∫ .
Đặt
( ) , 0
0, 0
xe xh x
x
λ−⎧ ≥= ⎨
<⎩
khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
= .x
x s se f s ds h x s f s ds e f x s ds h fλ λ+∞ +∞
− − −
−∞ −∞
= − = − •∫ ∫ ∫
Mặt khác ta luôn có
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
ix ix
0 0
00
^ ^ ,
^
1 1
1 .
LL
z z x
x i x i
L L
h f h f
h z e h x dx e e dx
e dx ei i
h f f
λ
ξ λ ξ λ
ξ λ ξ λ
λ
+∞ +∞− − −
+∞ − + − + ∞=
• = •
= =
= − =+ +
⇒ • ≤
∫ ∫
∫
Vậy
( ) 22 1 A LLR f fλλ
≤ ,
tương đương
- 23 -
( ) 1 , >0AR λλ
λ≤ ∀ .
Từ (1.1.8) suy ra A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm xác định bởi:
( )( )( ) ( ): ,T t f x f x t= − ,x∈ 0t ≥
và với ( )f D A∀ ∈ hàm toán tử
( ) ( )( )( ) , ,u x t T t f x= 0, t x≥ ∈ ,
là nghiệm duy nhất của (1.3.1), ổn định đối với điều kiện ban đầu .f
b. Trường hợp )0,⎡⎣ℜ= ∞
Ta xét bài toán Cauchy (1.3.1) trên không gian )2 0, ,X L ⎡⎣= ∞ trong
trường hợp này
( ) ) ) ( ){ }2 2 0, ' 0, , 0 0 .D A u L u L u⎡ ⎡⎣ ⎣= ∈ ∞ ∈ ∞ =
Ta cũng tìm được
( )( )( ) ( ) ( ) )0
, 0, 0, .x
x sAR f x e f s ds xλλ λ− − ⎡⎣= > ∈ ∞∫
, 0,f X λ∈ ∀ > ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
0
1 0
1 1 1 .
xx s
A
xx s x s
A
x
R f e f ds
xR e ds e
e
λ
λ λ
λ
λ
λλ
λ λ
− −
− − − −
−
≤
≤ =
= − <
∫
∫
Trường hợp này ( )AR λ cũng thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida nhưng
( )D A X≠ (vì lấy u X∈ sao cho ( )0 0u > khi đó không tồn tại dãy bất kỳ
( )nx D A∈ , ( )0 0nx = và nx u→ ), do đó A không sinh ra 0C −nửa nhóm
trên không gian )0,X C ⎡⎣= ∞ . Từ (1.1.8) suy ra A sinh ra 0C −nửa nhóm
- 24 -
trên không gian )0 0,X C ⎡⎣= ∞ (không gian các hàm liên tục trên )0,⎡⎣ ∞ và
triệt tiêu tại 0) và toán tử nửa nhóm xác định bởi:
( )( )( ) ( )
, : 0, 0 .f x t x tT t f x
x t⎧⎪⎨⎪⎩
− ≥=
≤ ≤
c. Trường hợp ( ,0⎤⎦ℜ= −∞ , xét không gian (2 ,0X L ⎤⎦= −∞ và
( ) ( ( ( ){ }2 2 ,0 ' ,0 , 0 0 .D A u L u L u⎤ ⎤⎦ ⎦= ∈ −∞ ∈ −∞ =
Nhận thấy với mọi 0λ > thì ( )Aλ ρ∉ và khi đó bài toán Cauchy (1.3.1) chỉ
giải được khi 0f ≡ .
Ví dụ 1.3.2 (lớp các toán tử sinh của 0C −nửa nhóm)
Xét bài toán Cauchy
( ) ( )' ,u t Au t= 0,t ≥ ( ) 00 .u u= (1.3.3)
Đặt
( ) ( ){ }1 2, ,p pp pL LX L L u u u= × = +
X là không gian Banach, 1
2
uu
u⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= .
Xét toán tử A xác định bởi
0,
g fAu u
g⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− −=
−
cùng với miền xác định
( ) ( ) ( )11 2 2
2 , ,p pu
D A X gu fu L gu Lu
= ∈ + ∈ ∈⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
với ( ) ( )1 , , 0.g x x f x x γ γ= + = >
- Xét trường hợp (0,1 ,γ ⎤⎦∈ khi đó ta chứng minh được A sinh ra
0C −nửa nhóm trên X và toán tử nửa nhóm được xác định bởi:
- 25 -
( )2 2
: ...2!
At t AT t e I tA= = + + + ,
ta có thể viết
( )1
0 1
tg tfT t u e u− ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−= .
Thật vậy ta có
( ) ( ) ( )1 ax 1 t xx
T t m t x eγ − +
∈⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= + ( ) 11 1 ,t tt e
γγ γγ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
− +−= +
với (0,1γ ⎤⎦∈ khi đó ( )T t bị chặn khi 0.t →
Bây giờ ta chứng minh toán tử ( ) 1 , 0I Aλ λ−− > là giải thức của A và thỏa
mãn điều kiện MFPHY .
Thật vậy, do
( )( )
( )( ) ( )
( )
11
21 ,
0
kk k
k k
g k g fI A u u
g g
λ λλ
λ λ
−−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − +− =
+ + 1, 2,...,k =
nên ta có
( )( )( )( ) ( ) ( )
( )
1 11 2
2
.
p p
p
k k k
L L
k
L
I A u g u k g fu
g u
λ λ λ
λ
− − − +
−
− ≤ + + − +
+ +
Nếu 0λ > , thì ta có ước lượng sau
( )1
0 1
1 , 1,2,
p
p
kp ppk kpi iL
ik L
gg u u dx
u i
λ λλ
λ
−∞− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = +
≤ =
∫
và
- 26 -
( )( )
1
1 22 1
p
p pk
kL
kfuk g fu dxg
λλ
+∞− +
+−∞
=⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎝ ⎠∫
1
2
1
22
,
1
1
1 1p
ppp
pk kp
pp p
pk k L
k f u dxgg
f udx u
g
λλλ
λλ
+∞
−∞
+∞
−∞
≤
≤ ≤
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+
+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
do vậy ( ) ( )1 AI A Rλ λ−=− ,
và ( ) ( ) 11 2 1 1 p p
kA k k kL L
KKR u u u uλλλ λ
+≤ + ≤ , ( ]0,1 ,γ∀ ∈ 0λ > .
Vậy với ( ]0,1γ∀ ∈ thì A là toán tử sinh của 0C −nửa nhóm { }( ), 0 ,T t t ≥
khi đó bài toán (1.3.3) đặt chỉnh đều trên ( ).D A
Trong trường hợp tổng quát ta có:
( )( )
( )( )
12
1 0
g fI A u u
gg
λλ
λλ− ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ −− =
++.
- Nếu 1 2γ< ≤ , thì toán tử ( ) 1 , 0I Aλ λ−− > bị chặn và do đó
( ) ( )1 ,AI A R Kλ λ−− = ≤ 0,λ >
tuy nhiên ( )AR λ không thỏa mãn điều kiện MFPHY, do đó trong trường hợp
này bài toán Cauchy không đặt chỉnh.
- Nếu 2γ > , thì toán tử ( ) 1 , 0I Aλ λ−− > không bị chặn, và như vậy
bài toán Cauchy cũng không đặt chỉnh trong trường hợp này.
- 27 -
Ví dụ 1.3.3 (phương pháp nửa nhóm cho phương trình truyền nhiệt)
Cho ( )0,1Ω = , trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n .
Xét bài toán Cauchy-Diriclet trên ( )2 :X L= Ω
( ) ( ) [ ]2
2, ,
0, 0, , u x t u x t
t xt x
∂ ∂− = ∈ Τ ∈Ω
∂ ∂ (1.3.4)
( ) ( )( ) ( )0, 1, 0,
,0 .
u t u t
u x xν
= =
=
Ta viết lại phương trình (1.3.4) ở dạng trừu tượng
( ) ( ) [ ] ( )' , 0, , 0 ,u t Au t t u ν= ∈ Τ = (1.3.5)
Xét toán tử 2
2d
Adx
= là toán tử tuyến tính không bị chặn trong ( )2L Ω cùng
với miền xác định ( ) ( ) ( )120 ,D A H H= Ω ∩ Ω trong đó ( )2H Ω và ( )1
0H Ω
là hai không gian Sobolev cổ điển
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 20
22 2 2
2
, 0, 1, 0 ,
.
uH u L L u t u tx
uH u L Lx
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
∂Ω = ∈ Ω ∈ Ω = =∂
∂Ω ∈ Ω ∈ Ω∂
Ta có, nghiệm duy nhất của (1.3.4) là
( ) ( ) ( )1 1 1
, ,kk k
tk k k k
k k ku u e e e et t xμ ν ν ν
∞ ∞ ∞−
= = == = =∑ ∑ ∑ .
trong đó 2 2 0, 2 sin , kk e k x kkμ π π= > = ∈ là giá trị riêng và véc tơ
riêng của toán tử A .
Giả sử ( )2Lν ∈ Ω ta có
( ) 2 2 22
1 1 1 k
k kt
kk k k
u et μν ν∞ ∞ ∞
−
= = == ≤ < ∞∑ ∑ ∑ , (1.3.6)
- 28 -
Với mỗi 0,t ≥ toán tử tuyến tính trên ( )2L Ω xác định bởi:
( ) ( )2
1: , .kt
k kk
T t v e v e v Lμ∞
−
=
= ∈ Ω∑
Từ (1.3.6) ta có ( )T t là toán tử bị chặn với mỗi 0t ≥ , hơn nữa ta có
( ) ( )2
2 22 2
1 1 kt
k kLk k
T t v e v v vμ∞ ∞
−
Ω= =
= ≤ =∑ ∑ ,
khi đó ( ) ( )2 1L
T tΩ≤ với mỗi 0t ≥ .
Bây giờ ta chứng minh ( ){ }, 0T t t ≥ thỏa mãn tính chất nửa nhóm:
Cho v X∈ , sử dụng phép biến đổi tự liên hợp của ( )T t ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1
,
,
, ,
.
k
k
kk k
tk k
k
tk k
k
t st sk k k k
k k
T t T s v T t T s v e T s v e e
e v T s e e
e v e e e e v e e
T t s v
μ
μ
μμ μ
∞−
=
∞−
=
∞ ∞− +− −
= =
= =
=
= =
= +
∑
∑
∑ ∑
Do đó ( ){ }, 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm.
Đặt ( ) ( ): , 0, ,u t T t t Xν ν= ≥ ∈ từ ước lượng (1.3.6) suy ra u liên tục khi
0t ≥ và ( )0u ν= trong .X
Cho ( ) ,D Aν ∈ khi đó
2 2
1 1 kt
k k k kk k
e μμ ν μ ν∞ ∞
−
= =
≤ < ∞∑ ∑ .
Tức là
( )'
1
ktk k k
k
u t e eμμ ν∞
−
=
= −∑
- 29 -
tồn tại và liên tục với 0.t∀ ≥
Hơn nữa
( )( ) 2 2
1 1, kt
k k k kk k
T t e e μμ ν μ ν∞ ∞
−
= =
= < ∞∑ ∑ với 0,t∀ ≥ do đó ( ) ( )u t D A∈
và
( ) ( )( ) ( )'
1 1, kt
k k k k k kk k
Au t T t e e e e u tμμ ν μ ν∞ ∞
−
= =
− = = = −∑ ∑ .
Do đó, nếu ( )D Aν ∈ thì hàm ( ) ( )u T ν• = • là nghiệm mạnh của bài toán
(1.3.5). Dễ kiểm tra A thỏa mãn ( )0
limh
T h IA h+→
−= do đó A là toán tử sinh
của nửa nhóm liên tục mạnh ( ){ }, 0T t t ≥ . Vậy bài toán Cauchy (1.3.5) đặt
chỉnh đều trên ( )D A .
- 30 -
Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n -LẦN TÍCH HỢP
2.1. Nửa nhóm n − lần tích hợp bị chặn mũ
Định nghĩa 2.1.1
Cho n∈ , X là không gian Banach. Họ các toán tử tuyến tính bị chặn
( ){ }, 0V t t ≥ được gọi là nửa nhóm n − lần tích hợp nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
(V1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
1 , 1 !
, 0;n nV t V s s r V t r t s r V r drn
s t∞
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + − + −−
≥∫
(V2) ( )V t liên tục mạnh với 0t∀ ≥ ;
(V3) 0, , 0K tω∃ > ∈ ∀ ≥ : ( ) tV t Keω≤ ;
Nửa nhóm ( ){ }, 0V t t ≥ được gọi là không suy biến nếu
(V4) ( ) 0,V t x = 0t∀ ≥ , thì 0x = .
Từ (V1) và (V4) suy ra ( )0 0V = .
Giả sử { }( ), 0T t t ≥ là 0C −nửa nhóm, xét các tích phân
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
0
10
1
10 0
..............................
, 0.1 !
t
nt t
n n
V t T t
V t T s ds
t sV t V s ds T s ds tn
−
−
=
=
−= = ≥−
∫
∫ ∫
Giả sử A là toán tử sinh, khi đó
( ) ( )00
0 ,...A
tR e V t dtλλ λ∞
= −∫
- 31 -
( ) ( )
( ) ( )
11
0
0
,...
, Re .
A
nnA
tR e V t dt
tR e V t dt
λλ λ
λλ λ λ ω
∞−
∞−
=
=
−
− >
∫
∫
Như vậy, với mọi 0n≥ ta có
( ) ( )0
nnA
tR e V t dtλλ λ∞
= −∫ .
Từ đẳng thức trên ta nhận thấy 0C −nửa nhóm là nửa nhóm 0 -lần tích hợp
Ta nhận thấy toán tử ( )AR λ thỏa mãn phương trình giải thức khi và chỉ khi
nV thỏa mãn (V1), điều này thể hiện trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.1
Cho n∈ và V là toán tử liên tục mạnh sao cho
0, , 0K tω∃ > ∈ ∀ ≥ , ( ) tV t Keω≤ ,
đặt
( ) ( )0
. , Ren tR e V t dtλλ λ λ ω∞
−= >∫ .
Khi đó ( )R λ thỏa mãn phương trình giải thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,R R R Rμ λ λ μ λ μ− = − (2.1.1)
, λ μ∀ ∈ với Re , Re , λ μ ω λ μ> ≠ , nếu và chỉ nếu V thỏa mãn (V1).
Chứng minh
Giả sử Re Reλ μ ω> > , từ (2.1.1) ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )
.
n nn n
n nn n
n n
R RR R
RR R
λ μλ λ μ μ
μ λ λ μμ μ λλ λ μ μ
μ λ μ λ μ μ
− −
− −− −
−=
−
−−≡ −
− −
(2.1.2)
Sử dụng định lý tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta có
- 32 -
( ) ( ) ( ) ( )0 0
sn n tR R e e V t V s dsdtμλλ λ μ μ∞ ∞
−− − −= ∫ ∫
và
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
0 0
1
0 0
0 0 0 0
0
0
0
n nt n t
t t tn
tt ts s
t s
t
s tt
t
st
t
R R e R dt e V t dt
e R dt e e V t dt
e e V s dsdt e e V s dsdt
e e V s dsdt
e e V s dsd
e e V t s dsd
μ λ λ
μ λ μ λ μ
μ λ μ λμ μ
μ λ μ
μλ
μλ
λ λ μ μμ μ μ λ
λ μ
μ μ μ λ
− − ∞ ∞− −− −
∞ ∞− −− −−
∞ ∞ ∞− −− −
∞ ∞− −
∞ ∞− −−
∞−−
= −
= −
=
=
=
−= − + −
−
+ −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫0
.t∞
∫
Lấy tích phân từng phần n lần:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0 0
1
0 0 0
11 !
1 .1 !
n n s nstn
n n s nstn
R R e e s r V r t drdsdtn
R R e e s r V r t drdsdtn
μλ
μλ
λ λ μ μμ λ μ
λ λ μ μλ μ μ
− − ∞ ∞−−−
− − ∞ ∞−−−⇔
−= − − +
− −−
= − +− −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
1 1 11
0 0 011 1
0 0 011
0 0 0 0
0 0 0
11 !
1
1 !
! 1 !
1
n n n n k sk nn nk n k
k kn ksn k s
kn kst kn s
ks
stn
R R e V s dr
s re V r drdsn k
s re t dt e V r drdsk n k
ne e
k
μ
μ
λμ
μλ
μ μ λ μ λ μλ μ μ μλ μ
λ
− − ∞− − − + −−+ −
= =
− −∞− − + −
=− −∞ ∞−−
−
=
∞ ∞−−
− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛
−
= =−
−=
− −
−=
− −
−=
∑ ∑ ∫
∑ ∫ ∫
∑ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ( ) ( )1 1
0
n n k k
ks r t V r drds
− − −
=
⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
−∑
- 33 -
( ) ( ) ( )1
0 0 0 .
11 !
snt se e t s r V r drdsdt
nλ μ
∞ ∞−− −= + −
−∫ ∫ ∫
Vậy để (2.1.1) đúng thì
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
1
0 0 0
11 !
sn n t
s nst
R R e e V t V s dsdt
e e s r V r t drdsdtn
μλ
μλ
λ λ μ μ∞ ∞
−− − −
∞ ∞−−−=
=
− +−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0 0
1 1
0 0 0
1 1
0
11 !1 .
1 !1 .
1 !
s nst
s n nst
s n n
e e t s r V r drdsdtn
e e s r V r t t s r V r drdsdtn
V t V s s r V r t t s r V r drn
μλ
μλ
∞ ∞−−−
∞ ∞− −−−
− −
−
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ ⎢ ⎥⎣ ⎦
+ −−
− + − + −−
= − + − + −−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
Chú ý:
Nếu nửa nhóm ( ){ }, 0V t t ≥ là không suy biến, thì toán tử ( )R λ khả
nghịch. Từ (2.1.1) ta nhận thấy ( ) 1I Rλ λ −− phụ thuộc vào λ , nghĩa là tồn
tại duy nhất một toán tử A sao cho ( ) ( )1R I Aλ λ−= − với Reλ ω> . Khi đó
( ) 1A I Rλ λ −= − là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp ( ){ }, 0 .V t t ≥
Mệnh đề 2.1.2
Đối với ( )( ),A D A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp
( ){ }, 0V t t ≥ , { }( )0 .n∈ ∪ Khi đó ta có
1. Cho ( )x D A∈ , 0t ≥ ta có:
( ) ( ),V t x D A∈ ( ) ( )AV t x V t Ax=
và
( ) ( )0
!
tntV t x x V s Axdsn
= + ∫ ; (2.1.3)
- 34 -
2. Cho ( )x D A∈ , 0t ≥ ta có:
( ) ( )0
xtV s ds D A∈∫
và
( ) ( )0
x !
t ntA V s ds V t x xn
= −∫ ; (2.1.4)
3. Cho ( ) , nx D A n N∈ ∈ ta có:
( ) ( ) ( )1
0 ;
!n kn
n k
k
tV t x V t A x A xk
−
== + ∑ (2.1.5)
4. Cho ( )1 , nx D A n N+∈ ∈ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nd V t x AV t x V t Axdt
= = . (2.1.6)
Chứng minh
Cho ( ) ,Aμ ρ∈ khi đó với Re , x Xλ ω> ∈ ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
.
nt nA A A A A
tA
e V t R xdt R R x R R x
e R V t xdt
λ
λ
λμ λ λ μ μ λ
μ
−∞
− −
∞−
=
=
=∫
∫
Do vậy
( ) ( ) ( ) ( )A AR V t V t Rμ μ= ,
tức là
( ) ( )AV t V t A= , ( ) ( )V t x D A∈ , ( )x D A∈ .
Cho ( ),x D A∈ khi đó với Re ,λ ω> ta có
- 35 -
( ) ( )
( ) ( )
1
0
1
0 0
!n
t nA A
n t n t
e t xdt x R R Axn
e V t xdt e V t Axdt
λ
λ λ
λ λ λ λ
λ λ
∞+−
∞ ∞+ − −= −
= = −∫
∫ ∫
( ) ( )1 1
0 0 0 .
tn t n te V t xdt e V s Axdsdtλ λλ λ
∞ ∞+ − + −= −∫ ∫ ∫
Áp dụng định lý duy nhất nghiệm của phép biến đổi Laplace ta có
( ) ( )0
!
,tnt x V t x V s Axds
n= − ∫
tức là
( ) ( )0
!
.tntV t x x V s Axds
n= + ∫
Vậy (2.1.3) được chứng minh. Do A đóng nên từ (2.1.3) suy ra (2.1.4). Đạo
hàm n lần (2.1.3) ta được (2.1.5). Lấy vi phân (2.1.5) ta được (2.1.6).
Định lý 2.1.1 (Arendt-Widder)
Cho 0a ≥ và ( ): ,r a X∞ → là một hàm khả vi vô hạn. Cho
( ]0, ,K aω> ∈ −∞ các điều kiện sau là tương đương:
(I)
( ) ( )( ) 1 ! , , 0,1,...;k
kKkr a kλ λ
λ ω +≤ > =−
(II) Tồn tại một hàm
): 0, ,V X⎡⎣ ∞ →
thỏa mãn điều kiện ( )0 0V =
và
( ) ( )10
lim sup , 0,th
h V t h V t Ke tωδ δ
−→ ≤
+ − ≤ ≥ (2.1.7)
sao cho ( ) ( )0
, .tr e V t dt aλλ λ λ∞
−= >∫
- 36 -
Hơn nữa, ( )r λ có thác triển giải tích đến miền { } Re .λ λ ω∈ >
Định lý 2.1.2
Cho { }0n∈ ∪ , 0, K ω> ∈ . Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh
của nửa nhóm ( )1n −+ lần tích hợp ( ){ }, 0V t t ≥ thỏa mãn điều kiện (2.1.7),
nếu và chỉ nếu tồn tại { }ax ,0a m ω≥ sao cho ( ) ( ),a Aρ∞ ⊂ và
( ) ( )
( ) 1 ! k
An k
R Kkλλ λ ω +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
≤−
, (2.1.8)
với , 0,1,...a kλ∀ > =
Trong trường hợp này ta có
( ) ( )1
0, .n t
AR e V t dt aλλ λ λ∞
+ −= >∫
Định lý 2.1.3
Cho A là toán tử tuyến tính xác định trù mật với ( ) ( ),a Aρ∞ ⊂ , trong
đó ( ]0, 0, ,a K aω≥ > ∈ −∞ . Khi đó điều kiện (2.1.8) tương đương với: A là
toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp ( ){ }, 0V t t ≥ sao cho
( ) .tV t Keω≤
Chứng minh
Giả sử điều kiện (2.1.8) được thỏa mãn, thì A là toán tử sinh của nửa
nhóm ( )1n −+ lần tích hợp ( ){ }1 , 0nV t t+ ≥ .
Xét điều kiện (2.1.7) đối với 1nV + , ( ) ( ){ }{ }11 1 0, ,nF x X V x C X+= ∈ • ∈ ∞
là một tập đóng.
Từ Mệnh đề 2.1.2, ( ) 1D A F⊂ , suy ra ( ) 1D A X F= ⊂ và 1 .F X=
Do vậy
- 37 -
( ) ( )1' , nV t x V t x x X+= ∈ xác định một nửa nhóm n − lần tích hợp
( ){ }, 0V t t ≥ sinh bởi .A
2.2. Bài toán Cauchy ( ),n ω −đặt chỉnh
Xét bài toán Cauchy
( ) ( )' ,u t Au t= ( )0, 0 ,t u x≥ = (CP)
Trong đó A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không
gian Banach .X Ở đây ( )nD AX ⎡ ⎤⎣ ⎦= là không gian Banach cùng với chuẩn
( ){ }, ... .nn n
AD A x x Ax A x= + + +
Định nghĩa 2.2.1
Cho n∈ , bài toán Cauchy (CP) được gọi là ( ),n ω −đặt chỉnh trên E
nếu với ( )1nx E D A +∀ ∈ ⊆
a. Tồn tại một nghiệm duy nhất
( ) ) ( ){ } ){ }10, , 0, ,u C D A C X⎡ ⎡⎣ ⎣• ∈ ∞ ∩ ∞ ;
b. 0, , 0K tω∃ > ∈ ∀ ≥ , ( ) nt
Au t Ke xω≤ ,
trong đó ... .nn
Ax x Ax A x= + + +
Nếu ( )1nE D A += thì ta nói bài toán (CP) là ( ),n ω −đặt chỉnh.
Định lý 2.2.1
Cho A là toán tử tuyến tính xác định trù mật trên ,X ( )Aρ φ≠ . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
(I) A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp bị chặn mũ
( ){ }, 0V t t ≥ ;
(II) Bài toán Cauchy (CP) là ( ),n ω − đặt chỉnh:
- 38 -
với ( )1nx D A +∀ ∈ tồn tại một nghiệm duy nhất sao cho
0, , 0K tω∃ > ∈ ∀ ≥ , ( ) ,nt
Au t Ke xω≤
trong đó ... .nn
Ax x Ax A x= + + +
Chứng minh
(I⇒II)
Cho ( )1 , ,nx D A n N+∈ ∈ xét hàm ( ) .V x•
Từ mệnh đề (2.1.2) ta nhận thấy hàm ( )V x• khả vi liên tục ( )1n + − lần.
( ) ( ) ,nV t x D A∈
và
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0,
!
.
n
n n
knn k
k
tV t x V t A x A xk
d V t x AV t xdt
−
== +
=
∑
Đặt ( ) ( ) ( ): ,nu t V t x= khi đó ( )0u x= và ( ) ( )u t D A∈ với 0t∀ ≥ .
Hơn nữa, ( ) nt
Au t Ke xω≤ và ( ) ( )' :u t Au t= .
Bây giờ ta chứng minh ( )u • là duy nhất. Giả sử tồn tại một ( )v • là nghiệm
của (CP), khi đó với ( )Aλ ρ∈ và ( ) ( )nAR vλ • là nghiệm của (CP) với giá trị
ban đầu ( ) ( )1 , .n nR x D A n Nλ +∈ ∈ Tương tự như chứng minh trong định lý
1.1.1, ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 .
n nA
n n n nA A
d V t s R v sds
AV t s R v s V t s AR v ss t
λ
λ λ
−
= − − + −= ≤ ≤
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0n n n n n nA A AV R v t R V v t R V t vλ λ λ= =
- 39 -
và ( ) ( )nv V x• = • .
(II⇒I)
Cho ( )1 , ,nx D A n N+∈ ∈ khi đó tồn tại một nghiệm duy nhất ( )u • của
(CP) sao cho ( ) .nt
Au t Ke xω≤ Cho ( )Aμ ρ∈ , hàm
( ) ( ) ( )w : AR uλ• = • là nghiệm của (CP) với giá trị ban đầu ( )AR xλ với ước
lượng chuẩn ( ) 11 w .nt
At K e xω−≤
Đặt ( ) ( )10
,t
u t u s ds= ∫
khi đó
( ) ( ) ( ) ( )10
wwt
Asu t t ds R xμ μ= − −∫ ,
do vậy
( ) 11 2 nt
Au t K e xω−≤ .
Sử dụng quy nạp ta có được công thức nghiệm n − lần tích hợp
( ) ( ) ( ) ( )1
0 1 , 0,
1 !
t nnu t t s u s ds t
n−= − ≥
−∫
nghiệm này bị chặn mũ.
Cho 0t ≥ , ta định nghĩa hàm toán tử ( ) ( )1: ,nV t D A X+ → biểu diễn
( ) ( ),nV t x u t= trong đó ( )nu t là nghiệm n − lần tích hợp duy nhất của (CP)
với giá trị ban đầu ( ) ( )0 0nu V x x= = , ( )1 , .nx D A n N+∈ ∈
Vì ( ) ( )1nD A D A X+= = do đó ta có thể thác triển ( ){ }, 0V t t ≥ lên toàn
không gian .X
- 40 -
Hàm toán tử ( ){ }, 0V t t ≥ bị chặn mũ với mọi ( )1 , nx D A n N+∈ ∈ , ( )V t x
liên tục theo t . Do vậy ( )V • liên tục mạnh.
Hơn nữa, dễ dàng chứng minh toán tử
( ) ( ) ( )0
tnAR e V t dt Rμμ μ μ
∞−= =∫ .
Vì vậy, ( ){ }, 0V t t ≥ là nửa nhóm n − lần tích hợp với toán tử sinh A .
2.3. Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương
Định nghĩa 2.3.1
Cho n∈ , ( )0, .Τ∈ ∞ Họ các toán tử tuyến tính bị chặn
( ){ }, 0V t t≤ <Τ được gọi là nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương trên ,X
nếu điều kiện (V1) trong Định nghĩa 2.1.1 được thỏa mãn với ), 0,t s ⎡⎣∀ ∈ Τ
sao cho )0,t s ⎡⎣+ ∈ Τ và điều kiện (V2) thỏa mãn với )0,t ⎡⎣∀ ∈ Τ .
Nếu ( ){ }, 0V t t ≥ là nửa nhóm n − lần tích hợp thì toán tử sinh của nó
được định nghĩa từ đẳng thức:
( ) ( )1
0 ,n tI A x e V t xdtλλ λ∞− −− = ∫ , x X λ ω∈ > . (2.3.1)
Đối với một nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương ( ){ }, 0V t t≤ <Τ thì
tích phân (2.3.1) có thể không tồn tại. Do vậy toán tử sinh 0A của nửa nhóm
địa phương ( ){ }, 0V t t≤ <Τ được định nghĩa như sau:
( ) ( )10 0
: lim nt
A x t V t x x−→
⎡ ⎤⎣ ⎦= − ,
( ) ( ) ( ) ( ){ }10 00
,: lim nntT
D A x C t V t x xδ
δ −→< <
⎡ ⎤⎣ ⎦= ∈ ∃ −∪
trong đó
( )nC δ ={ ( ) ) : 0,x X V t x Xδ⎡⎣∈ → khả vi liên tục cấp n}.
- 41 -
Ta có 0A là toán tử khả đóng, vì vậy ta có thể gọi 0A là toán tử sinh của nửa
nhóm n − lần tích hợp địa phương ( ){ }, 0V t t≤ <Τ .
Mệnh đề 2.3.1 (tính chất của nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương)
Cho n∈ và A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa
phương ( ){ }, 0V t t≤ <Τ ta có:
1) Cho ( )x D A∈ , )0,t ⎡⎣∈ Τ ta có:
( ) ( )V t x D A∈ và ( ) ( )AV t x V t Ax= ;
2) Cho ( )x D A∈ , )0,t ⎡⎣∈ Τ ta có:
( ) ( )0
Ax!
tntV t x x V s dsn
= + ∫ ; (2.3.2)
3) Nếu ( ) ,D A X= thì với mọi ), 0,x X t ⎡⎣∈ ∈ Τ ta có:
( ) ( )0
xtV s ds D A∈∫ và ( ) ( )
0x ;
!
t ntA V s ds V t x xn
= −∫ (2.3.3)
4) ( )D A X= nếu và chỉ nếu ( ) .nC XΤ =
Định nghĩa 2.3.2
Bài toán Cauchy địa phương
( ) ( )' ,u t Au t= ) ( )0, , 0 ,t u x⎡⎣∈ Τ = (LCP)
được gọi là n −đặt chỉnh nếu với mọi ( )1 , ,nx D A n N+∈ ∈ tồn tại một
nghiệm duy nhất thỏa mãn:
)( )
0, 0, sup , nA
tu t x K xτ
τ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣∈ ⊂ Τ
≤ , (2.3.4)
với Kτ là hằng số nào đó.
Bổ đề 2.3.1
Nếu với ( )1 , ,nx D A n N+∀ ∈ ∈ tồn tại một nghiệm duy nhất của bài
- 42 -
toán Cauchy địa phương (LCP) và ( )Aρ φ≠ thì nghiệm này thỏa mãn (2.3.4).
Chứng minh
Xét toán tử nghiệm
( ) ( ){ }1: 0, ,nS D A C D Aτ+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ → ,
Sx u= , ( )1 , ,nx D A n N+∈ ∈
toán tử này được xác định trên ( )1nD A +⎡ ⎤⎣ ⎦ và là toán tử đóng.
Cho jx x→ và ( ) ,ju t y→ khi đó ta có
( ) ( ) ( )'jj
u t Au t Ay t= → và ( ) ( ) ( )0
t
j ju t x y t x Ay t dt− → − = ∫ ,
do vậy ( ) ( ) ( )' , 0 .y t Ay t y x= =
Theo định lý Banach toán tử S liên tục, suy ra
( ) 10,
sup ,nAAtu t K xτ
τ⎡ ⎤⎣ ⎦
+∈
≤
hơn nữa, tương tự như cách chứng minh ở bổ đề 1.1.1 ta có
( )0,
sup .nAt
u t K xττ⎡ ⎤
⎣ ⎦∈≤
Do vậy, nghiệm ổn định theo chuẩn n tương ứng đối với điều kiện ban đầu .
Mệnh đề 2.3.2
Xét bài toán Cauchy địa phương
( ) ( )' ,u t Au t= ) ( )0, , 0 .t u x⎡⎣∈ Τ = (LCP)
Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp ( ){ }, 0V t t≤ <Τ địa
phương, thì bài toán Cauchy địa phương (LCP) được gọi là n −đặt chỉnh.
Chứng minh
Cho k N∈ với 1 k n≤ ≤ . Khi đó, từ (2.3.2) ta có
- 43 -
( ) ( ) ( )1
( )!
,n ikk k i k
i
tV t A x V t A xn i
−−
== +
−∑
với mọi ( )kx D A∈ và 0 .t≤ <Τ
Bây giờ cho ( )1kx D A +∈ ta định nghĩa ( ) ( ) ): , 0, .nu t V t x t ⎡⎣= ∈ Τ Sử dụng
(2.3.2) ta dễ dàng chứng minh được ( )u • là nghiệm của (LCP) địa phương.
Theo định lý 2.2.1 đã chứng minh được mọi nghiệm của bài toán này có dạng
( ) .nV x•
Định lý 2.3.1
Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương
( ){ }, 0V t t≤ <Τ và ( ) .D A X=
Khi đó tồn tại miền
( ) ( )1 Re log 1 log ,n C Aλ λ λ ρτ τ γ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Λ = ∈ > + + ⊂
( )0, , 0, 0 1T Cτ γ∈ > < < ,
sao cho
( ) ( ) , 0 : log 1
n
AKK R λλ λ
λ∀ ∈Λ ∃ > ≤
+.
Chứng minh
Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương
( ){ }, 0 ,V t t≤ <Τ thì hàm
( ) ( )0
, n tR e V t dtτ
λλ τ λ −= ∫
xác định với mọi ( )0, .τ ∈ Τ
Từ (2.3.2), cho ( )x D A∈ ta có
- 44 -
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0 0
1
0
,
.! !
tn n t
n nn n t
R Ax
e V s Axds e V s Axdsdt
te V x x e V t x x dtn n
τ τλτ λ
τλτ λ
λ τ
λ λ
τλ τ λ
− + −
− + −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+
− + −
∫ ∫ ∫
∫
( )( )
( ) ( )
( )
1
0
1
0
=
, x
!
!
nn t n
nn t
R I A
e V t xdt e V x xn
te V t x x dtn
τλ λτ
τλ
λ τ λτλ λ τ
λ
+ − −
+ −
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
− −
−
∫
∫
( ) 1
0
! !.
n nn n n t te V x e x e xdt
n n
τλτ λτ λτλ τ λ λ− − + −= − + + ∫
Vì
( )
( )
11
0 0
0...
! ! 1 !
,!
n n nn t n n t
kn
k
te xdt e x e xdtn n n
e x xk
τ τλ λτ λ
λτ
τ τλ λ λ
λτ
−+ − − −
−
== = −
= − +−
+
∫ ∫
∑
nên
( )( ) ( ) ( ) ( )( ), ,R I A x I A R x I G xλ τ λ λ λ τ λ− = − = − , ( ),x D A∈
trong đó
( ) ( ) ( )0 !
,kn
n
kG x e V x e x
kλτ λτλτ
λ λ τ− −
== + ∑
và
( ) ( ) Re 1 ,nG C e τ λλ λ −≤ + ( ), .C C nτ=
Ngoài ra ( )G λ giao hoán với ( ),R Aλ trên X và với A trên ( )D A .
Sử dụng ước lượng trên cho ( )G λ , ta tìm được miền Λ⊂ sao cho
( ) 1G λ < với mọi λ∈Λ .
- 45 -
Logarit hóa bất đẳng thức
( ) Re1 1nC e τ λλ γ−+ < <
ta có ước lượng
( ) ( )( ) 1, 11
,G I Gλ γ λγ
< − − <−
trên miền
( ) 1 Re log 1 logn Cλ λ λτ τ γ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Λ = ∈ > + + .
Do đó, tồn tại toán tử ( ) 1I Aλ −− bị chặn trên ( )D A X=
và
( ) ( )1 0: ,
log 1
nKK I A λλ λ
λ−∃ > ∀ ∈Λ − ≤
+.
Vì ( ) ,D A X= ta có ( ) ( )1AI A Rλ λ−− = .
Định lý 2.3.2
Nếu cho toán tử A
( )
( )
: 0, ,
sup 0 , , 0,1,...
.n
k kA
A
kR x k
C xτ
ω τ
λ λ τ λ ωλ
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
∃ ∀ ∈ Τ
≤ ≤ > =
≤
(2.3.5)
Nếu Cτ là một hằng số nào đó, thì A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần
tích hợp ( ){ }, 0V t t≤ <Τ địa phương.
Ngược lại, giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp
( ){ }, 0V t t≤ <Τ địa phương và ( )D A X= hoặc ( )Aρ φ≠ . Khi đó (2.3.5)
được thỏa mãn.
- 46 -
Chứng minh
Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp ( ){ }, 0V t t≤ <Τ
địa phương. Khi đó từ mệnh đề 2.3.2 với mọi ( )1 , ,nx D A n N+∈ ∈ tồn tại
một nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy địa phương
( ) ( ) ( ) ( ): ,nu V x T x• = • = • sao cho
( ) , 0 .nAT t x K x tτ τ≤ ≤ ≤ < Τ (2.3.6)
Cho ( )T t x ta có
( ) ( ) ( )0 0
.t tA e T t xdt e T x x e T t xdtτ τ
λ λτ λτ λ− − −= − +∫ ∫
Từ định lý 2.3.1 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, .tA AR x e T t xdt e R T x A
τλ λτλ λ τ λ ρ− −= + ∈∫
Áp dụng công thức tích phân Cauchy ta có
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11
1
0
1 2
1 1 !
1 !
1 12 .
k kk k k
A A
kt k
k
A
R x R xk
e t T t xdtk
e R T xdi
I I
τλ
ξτ
γ
λλ λ λ
λ
ξ ξ τ ξπ λ
−−
− −
−−
=
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
−=
−
−
−
= +
∫
∫
Ta có
1 1 nAI C x≤ , ( ), 0,nx D A λ∈ >
2 2 : ,nAI C xω∃ ≤ ( ), 0, , n kx D A τ λ ωλ ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ ∈ > .
Kết hợp với điều kiện (2.3.6) ta suy ra (2.3.5).
Ngược lại, nếu (2.3.5) được thỏa mãn đối với toán tử ,A khi đó
- 47 -
( ) ): lim , 0, , k
ktT t x I A x tk
−
→∞⎛ ⎞ ⎡⎜ ⎟ ⎣⎝ ⎠
= − ∈ Τ Τ∈
xác định với mọi ( ).nx D A∈ Cho ( ) ( ) ( )1 , nx D A u T x+∈ • = • là nghiệm duy
nhất của bài toán Cauchy địa phương ổn định theo (2.3.6), khi đó A là toán tử
sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương ( ){ }, 0 .V t t≤ <Τ
Định nghĩa 2.3.4
Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn ( ){ }, 0 ,V t t≤ <Τ được gọi là nửa
nhóm n − lần tích hợp địa phương sinh bởi ,A nếu với mọi ( ) ,x D A∈ thì
( ) ( )AV t x V t Ax= và
( ) ( )0
, !
t ntA V s xds V t x x x Xn
= − ∈∫ .
Nếu A là toán tử sinh của ( ){ }, 0V t t≤ <Τ thì miền xác định là
( ) ( ) ( ) )0
: : , 0,!
,tntD A D x X y V t x x V s yds t T
n⎧ ⎫⎪ ⎪
⎡⎨ ⎬⎣⎪ ⎪⎩ ⎭
= = ∈ ∃ = + ∈∫
trong đó .y Ax= Thật vậy cho ( ),x D A∈ thì x D∈ và .y Ax=
Ngược lại, nếu x D∈ , ( )Aλ ρ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
,!
t tn
A A A AtV t R x R x V s R yds V s AR xdsn
λ λ λ λ− = =∫ ∫
do vậy với ( )x D A∈ và y Ax= .
Bổ đề 2.3.2
Cho 0τ > và A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa
phương ( ){ }, 0V t t≤ <Τ theo Định nghĩa 2.3.4. Khi đó với mọi hàm liên tục
): 0,H τ⎡⎣ → và :x X∀ ∈
( )( ) ( )( ) ( )( )0
, 0 .t
A H V s xds H V t x H F t x t τ• = • − • ≤ <∫ (2.3.7)
- 48 -
Hơn nữa, nếu ){ }1 0, , ,H C τ⎡⎣∈ khi đó với , 0 :x X t τ∀ ∈ ≤ <
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 0 ,A H V t x H V t x H F t x H V t x F t x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠• = • − • + − (2.3.8)
trong đó
( )( ) ( ) ( ) ( )0
: , : !
t ntH V t x H s V t s xds F tn
• = − =∫ .
Chứng minh
Do A là toán tử đóng, ta có
( )( ) ( )0
, , 0 .t
H V s xds D A x X t τ• ∈ ∈ ≤ <∫
Theo Định nghĩa 2.3.4 ta có
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
0 0 0
0 0 0
0
, .
t t s
t t t t r
rt
A H V s xds A H r V s r xdr
H r A V s r xds dr H r A V s xds dr
H r V t r x F t r x dr
H V t x H F t x x X
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
• = −
− =
− − −
= • − • ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Do
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
:t t
H V t x H s V t s xds H t s V s xds• = − = −∫ ∫ , ,x X∈
Khi đó lấy tích phân từng phần (2.3.7) suy ra (2.3.8).
Bổ đề 2.3.3
Cho 0τ > và A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa
phương ( ) ){ }, 0,V t t τ⎡⎣∈ như được định nghĩa ở Định nghĩa 2.3.4.
Khi đó với mọi x X∈ và 0 ,t s τ≤ <
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1
01 ! 1 !
n nt s t
s
t s r t s rV t V s x V r xdr V r xdrn n
− −+ + − + −= −
− −∫ ∫ .
- 49 -
Chứng minh
Cho 0,h > định nghĩa
( ) ( ): ,hE t E t h= + với ( ) ( )1
1 !ntE t
n−
=− .
Cho 0 ,t s τ≤ < và ,x X∈ ta định nghĩa toán tử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
w : t s t
st E t s r V r xdr E t s r V r xdr
+= + − − + −∫ ∫ .
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0
w
,
t s t s
s t
t E t s r V r xdr E t s r V r xdr E t s r V r xdr
E V t s x E V t x E V t x
+= + − − + − − + −
= • + − • − •
∫ ∫ ∫
với mọi x X∈ và 0 ,t s τ≤ < .
Áp dụng bổ đề 2.3.2, ta có
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
0 0 0
0
0 0
w
t t t
t
r
t s s
A r dr A E V s r xdr A E V r xdr
A E V s xdr
A E V r xdr A E V r xdr+
= • + − •
− •
= • − •
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0
t
s tA E V r xdr A F V s F V s
E V t s x E F t s x E V s x E F s x
⎡ ⎤⎣ ⎦− • − • − •
= • + − • + − • + •
∫
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )s s t tE V t x E F t x E V s x E F s x
F t V s x F t F s x E V s x E F s x− • + • − • + •− + + • − •
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
w , ,
s t
s t
E V t s x E V t x E V s x F t V s xF t F s E F t s E F t E F s x
t F t V s x x X⎡ ⎤⎣ ⎦
= • + − • − • −
+ − • + + • + •
= − ∀ ∈
trong đó
- 50 -
( ) ( )0 !
t ntF t E s dsn
= =∫ .
Ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )0
, x X.
s tt s t
s
F t F s x E F t s x E F t x E V s x
E t s r F r xdr E t s r F r xdr+
= • + − • − •
= + − − + − ∈∫ ∫
Do vậy ( ) ( )wv • = • là một nghiệm của bài toán
( ) ( ) ( ) ( )'v t Av t F t V s x= + , với 0 ,t τ≤ < (2.3.9)
( ) ) ( ) ){ }{ }10 0, 0, , 0, , .v v C D A C Xτ τ⎡ ⎡⎣ ⎣= ∈ ∩
Vì ( ) ( ) ,V t V s x 0 ,t s τ≤ < cũng là nghiệm của bài toán này, do nghiệm là
duy nhất nên ta có ( ) ( ) ( )w ,t V t V s x= 0 , .t s τ≤ <
2.4. Một số ví dụ
Ví dụ 2.4.1 (Nửa nhóm tích hợp với toán tử sinh không xác định trù mật)
Xét bài toán Cauchy
( ) ( ) )( ) ( )
, , 0, 0, 0,
,0 .
u x t u x t t xt xu x f x
⎡⎣∂ ∂+ = ≥ ∈ +∞∂ ∂
= (2.4.1)
trên không gian Banach )0, .X C ⎡⎣= ∞ .
Dạng trừu tượng của (2.4.1):
( ) ( )' ,u t Au t= ( )0, 0 ,t u f≥ = (2.4.2)
Trong đó dA dx= − , cùng với miền xác định
( ) ) ) ( ){ } 0, ' 0, , 0 0 .D A u C u C u⎡ ⎡⎣ ⎣= ∈ ∞ ∈ ∞ =
Giải phương trình
( ) ( ) ' , .I A g g g f g D Aλ λ− = + = ∈
Ta tìm được nghiệm
- 51 -
( )( )( ) ( ) ( ) )0
, 0, 0, .x
x sAR f x e f s ds xλλ λ− − ⎡⎣= > ∈ ∞∫
Trường hợp này ( )AR λ thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida. Vì ( )D A X≠ nên
A không sinh ra 0C −nửa nhóm trên không gian )0, .X C ⎡⎣= ∞
Tuy nhiên A sinh ra 0C −nửa nhóm trên không gian )0 0,X C ⎡⎣= ∞ (không
gian các hàm liên tục trên )0,⎡⎣ ∞ và triệt tiêu tại 0). Từ (1.1.8) ta tìm được
toán tử tạo nên 0C −nửa nhóm trên không gian )0 0,X C ⎡⎣= ∞ sinh bởi A xác
định bởi:
( )( )( ) ( )
, : 0, 0 .f x t x tT t f x
x t⎧⎪⎨⎪⎩
− ≥=
≤ ≤
Từ đó chứng minh được A là toán tử sinh của nửa nhóm 1− lần tích hợp V
xác định bởi:
( )( )( )( )
( )0
,
, 0 ,
x t
x
x
f s ds x t
V t f x
f s ds x t
−
− ≥
=
≤ ≤
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
∫
∫
và bài toán (2.4.2) là ( )1,ω − đặt chỉnh.
Ví dụ 2.4.2 (Lớp các toán tử sinh của nửa nhóm tích hợp)
Xét bài toán Cauchy
( ) ( )' ,u t Au t= 0,t ≥ ( ) 00 .u u=
Đặt
( ) ( ){ }1 2, ,p pp p
L LX L L u u u= × = + trong đó 1
2
uu
u⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= .
Xét toán tử A xác định bởi:
- 52 -
,0h f
Au uh
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− −=
−
cùng với miền xác định
( ) ( ) ( )11 2 2
2, , p pu
D A X gu fu L gu Lu
= ∈ + ∈ ∈⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
trong đó ( ) ( )1 , , 0.x x f x xh γ γ= + = >
Xét toán tử
( )0
Ast
V t e ds= ∫ , 0,t ≥
tương đương
( ) ( )1 1 /1 ,0 1
ht ht ht
ht
e tfe e f hV t u u
h e
− − −
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− + −=
− với u X∈ .
- Nếu 1 2γ< ≤ , thì họ các toán tử tuyến tính bị chặn ( ){ }, 0V t t ≥ thỏa
mãn các điều kiện (V1)-(V4) nên là nửa nhóm 1− lần tích hợp nhận A là toán
tử sinh vì:
( ) ( )
( )
11
01
2
1
.10
tI R I e V t dt
fh hI A
h
λλ λ λ λ
λ λλ
λ
−∞− −
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
− = −
−+ +− =
+
∫
Tổng quát hơn, nếu 2γ ≤ thì hàm toán tử ( ), 0kV t t ≥ được xác định bởi:
( ) ( ) 110
, , 2, ,t
k kV t u V s uds u X k V V−= ∈ ≥ =∫
là nửa nhóm K − lần tích hợp trên X nhận A là toán tử sinh.
Trường hợp đặc biệt
- 53 -
( ) ( )20
t
V t u V s uds= ∫
21 1 1
1 ,
10
,
ht ht htht
ht
e e e tft tfe f f
h h hh uh e
th
u X
− − −−
−
− − −− − + + −
=−
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
xác định nửa nhóm 2− lần tích hợp 2V trên .X
- Nếu 2,γ > ta có
( ) ( ) ( )21 , 0.0
I Ag f
u g ug
λλ
λ λλ
−− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−+ −
= + >+
Nhận thấy ( ) 1 , 0I Aλ λ−− > không bị chặn, do vậy 0λ∀ > đều không
thuộc ( ).Aρ Khi đó với n∀ toán tử A không sinh ra nửa nhóm n − lần tích
hợp trên .X
Ví dụ 2.4.3 (Nửa nhóm tích hợp liên quan đến bài toán Cauchy cho
phương trình truyền sóng)
Phương trình truyền sóng:
Cho ( )0,1 ,Ω = trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n .
Xét bài toán Cauchy-Diriclet trên ( )2X L= Ω :
( ) ( ) [ ]2
2
2
2, ,
0, 0, , u x t u x t
t xt x
∂ ∂− = ∈ Τ ∈Ω
∂ ∂ (2.4.3)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
0
1
0, 1, 0,
,0
,0
,
.
u t u t
u x u x
x u xut
= =
=
∂=
∂
Đặt
- 54 -
00
1 k k
ku u e
∞
== ∑ và 11
1 ,k k
ku u e
∞
== ∑
trong đó dãy { } 1kek
∞
= là cơ sở trực chuẩn trong ( )2 :L Ω
2 sin , .ke k x kπ= ∈
Ta tìm được nghiệm của (2.4.3)
( ) ( )1
k kk
u t u t e=
∞= ∑ ,
trong đó
( ) ( ) ( )0 1 sinos , .k k k
k tu t u c k t u k
kπ
ππ
= + ∈
Do đó ta có thể viết dưới dạng hình thức
( ) ( )
( ) ( )1
0 1
1 1
sin os , .
k kk
k k k kk k
u t u t e
k tc k t u e u e k
kπ
ππ
∞
=
∞ ∞
= =
=
= + ∈
∑
∑ ∑
Xét bài toán Cauchy
( ) ( ) ( ) ( )'' ', 0, 0 , 0 ,u t Bu t t u x u y= ≥ = = (2.4.4)
trên không gian Banach ( )2 ,LX Ω= với toán tử tuyến tính 2
2d
Bdx
= cùng
với miền xác định ( ) ( ) ( ) ( )12 20 .D B H H L X= Ω ∩ Ω Ω⊂ ≡
Ta định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn trên X
( ) ( )1
: os ,k kk
C t x c k t x eπ∞
=
= ∑ ( ) ( )1
sin: .k k
k
k tS t y y e
kππ
∞
=
= ∑
Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán (2.4.4) có dạng
( ) ( ) ( ) ,u t C t x S t y= +
- 55 -
trong đó 1
k kk
ex x∞
== ∑ và
1 k k
key y
∞
== ∑
Bài toán (2.4.4) có thể thu gọn về dạng bài toán Cauchy cấp một
( ) ( )w ' w ,t t=Φ ( )w 0 ,xy
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= 0t ≥ , (2.4.5)
trong đó
0,
0I
B⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Φ = ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2w'
u tt L L
u t⎛ ⎞
= ∈ Ω × Ω⎜ ⎟⎝ ⎠
,
( ) ( ) ( )2D D B LΦ = × Ω .
Nghiệm ( )w t của (2.4.4) có thể viết dưới dạng sau:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )w
' ' ' 'C t S t C t x S t yx x
t T tC t S t C t x S t yy y⎛ ⎞ ⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠,
với 0t ≥ và ( )2,x y L∈ Ω .
Với mọi ( )2x L∈ Ω ta có ( ) ( )'S t x C t x= , do vậy ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )
, 0'
C t S tT t t
C t C t⎛ ⎞
= ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
.
trong đó ( )T t không xác định mọi nơi trên X X× với mọi 0t ≥ , do hàm
( )C • không khả vi trên .X Do vậy ( )T t không là 0C −nửa nhóm trên .X
Trên không gian ( ) ( )2 2L LΩ × Ω ta xét toán tử:
( )( ) ( )
( ) ( )0V
tS t S d
tC t I S t
τ τ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=−
∫ , 0.t ≥
- 56 -
Toán tử này bị chặn và liên tục mạnh thỏa mãn các điều kiện (V1) - (V4)
trong Định nghĩa 2.1.1. Do đó ( ){ }, 0V t t ≥ tạo nên nửa nhóm tích hợp sinh
bởi toán tử Φ .
Ví dụ 2.4.4 (Nửa nhóm tích hợp cho toán tử không bị chặn mũ)
Cho 2X l= là không gian các dãy số { }ma ⊂ sao cho 2
1.m
ma
∞
=< +∞∑
Ta định nghĩa toán tử A như sau
{ } 1 ,:= m m mAx a x ∞= { }2 1/2
2 2 .mm e ma m i −= +
Khi đó toán tử
( ) { } 1ma t
m mT t x e x
∞
==
tạo nên một nửa nhóm các toán tử không bị chặn.
Toán tử
( ) ( ) { }0
1 ,t m
m m mm
a teV t x T s xds x b xa
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭= = − ≡∫
bị chặn với 0,t∀ ≥ (do ( ) { }2 2 /4 sup sup mt m tm
m mV t b e e−= = = ).
Khi đó ( ){ }, 0V t t ≥ tạo thành một nửa nhóm tích hợp không bị chặn mũ.
Ví dụ 2.4.5 (Nửa nhóm tích hợp n − lần địa phương)
Cho 2X l= là không gian các dãy số { }ma ⊂ sao cho 2
1.m
ma
∞
=< +∞∑
Ta định nghĩa toán tử Anhư sau
{ } 1:= m m mAx a x ∞= với
1/22 2
2 2 ,m
mm e ma i
m⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
= + −Τ Τ
cùng với miền xác định
( ) { }2 2 .D A x l Ax l= ∈ ∈
- 57 -
Ta có tập phổ của A là
( ) { } , ,mA a mσ λ λ= ∈ = ∈
và vì Re Re mmaλ ==Τ , nên với mọi ω∈ tồn tại ( )Aλ σ∈ sao cho
Reλ ω> . Khi đó toán tử ( ) { } 1: ma t
m mT t x e x
∞
== tạo nên một nửa nhóm không
bị chặn. Lấy tích phân ma te ta thu được nhân tử ,mme− cứ tiếp tục như vậy
n − lần ta thu được hàm bị chặn với t n≤ Τ . Từ đó ta thu được nửa nhóm
n − lần tích hợp địa phương ( )nV t với A là toán tử sinh:
( ) ( )( )
1
0 11 !
mnt
a sn m
m
t sV t x e x dsn
∞−
−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
−=−∫
( ) ( )1.
!m
n pn pa tnm mm p
ta e a xn p
−−−
=
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
−−∑
Do mmt
a te e Τ= và m
meam
= , suy ra
( )
( )( )
( )
11
0
1
!
1 !
!.
m
t n pnm n p pmn
pnt
a s
t n pnm n p pmn
p
tm e m en p
t s e dsn
tm e m en p
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−− −Τ
=
−
−− −Τ
=
−−
−≤−
≤ +−
∑
∫
∑
Vậy ( ) ( )( )
1
0 sup
1 !m
nta s
nm N
t sV t e dsn
−
∈
⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
−=
−∫ bị chặn nếu và chỉ nếu 0 .t n≤ ≤ Τ
- 58 -
KẾT LUẬN
Luận văn bao gồm những vấn đề sau:
Trình bày phương pháp 0C −nửa nhóm, ứng dụng để nghiên cứu tính đặt
chỉnh của bài toán Cauchy trừu tượng (CP). Trong đó điều kiện (MFPHY) cơ
bản được sử dụng là tiêu chuẩn để xét tính đặt chỉnh của bài toán trên.
Trình bày lớp nửa nhóm n − lần tích hợp là mở rộng của lớp nửa nhóm
0 ,C ứng dụng để nghiên cứu tính ( ),n ω −đặt chỉnh của bài toán Cauchy trừu
tượng (CP) và phương pháp nửa nhóm tích hợp địa phương bị chặn mũ,
không suy biến để nghiên cứu tính n −đặt chỉnh của bài toán Cauchy địa
phương (LCP).
Luận văn đã lấy được các ví dụ cụ thể minh họa dựa trên các phương
trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu như phương trình truyền nhiệt và
phương trình truyền sóng.
Bài toán Cauchy trừu tượng còn có thể được nghiên cứu mở rộng hơn
trong không gian trừu tượng cùng nhiều phương pháp tiếp cận ứng dụng để
nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán này.
- 59 -
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thừa Hợp, Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội,
2006.
[2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB
ĐHQG Hà Nội, 2005.
[3] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, 2006.
[4] Hoàng Tụy, Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội, 2005.
[5] Irina V. Melnikova Alexei Fininkov, Abstract Cauchy Problems: Three
Approaches, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton London NewYork
Washington, 2001.
[6] A.Pazy, Semigroups of Linear Operators and Appications to Partial
Differential Equation, Springer-Verlag, Berlin, 1983 .
[7] Klaus-Jochen Engel, Raimer Nagel, One-Parameter Semigroups for
Linear Evolution Equations, Graduate Text Math. 194. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg, 2000.
[8] Jan Van Neerven, The Asymprotic Behaviour of Semigroups of Linear
Operators, Mathematisches Institut Universitat Tubingen Auf der
Morgenstelle 10 D-72076 Tubingen Germany.