phÁt triỂn vÀ Ứng dỤng cÁc phƢƠng phÁp phÂn...
TRANSCRIPT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------------------
NGUYỄN VĂN QUANG
PHÁT TRIỂN VÀ ỨNG DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH TÍN HIỆU TRONG CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT
KẾT CẤU HỆ THANH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà nội - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------------------
NGUYỄN VĂN QUANG
PHÁT TRIỂN VÀ ỨNG DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH TÍN HIỆU TRONG CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT
KẾT CẤU HỆ THANH
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9520101
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Nguyễn Việt Khoa
Hà nội - 2018
i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cám ơn thầy hướng dẫn khoa học Phó Giáo sư Tiến sĩ
Nguyễn Việt Khoa, người thầy đã tận tâm hướng dẫn khoa học, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận án này.
Tôi xin chân thành cám ơn gia đình, đồng nghiệp đã động viện ủng hộ tôi
trong thời gian thực hiện luận án.
ii
LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của riêng tôi và
đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của Phó Giáo sƣ Tiến sĩ Nguyễn Việt Khoa.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả luận án
Nguyễn Văn Quang
iii
MỤC LỤC
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .................................................................. vi
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .................................................................................................... vii
DANH MỤC BẢNG .......................................................................................................................... ix
MỞ ĐẦU............................................................................................................................................ 1
1. Giới thiệu chung ........................................................................................................................ 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................................. 2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu .......................................................................................................... 3
4. Bố cục của luận án .................................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN .............................................................................................................. 5
1.1. Bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình .................................................................................. 5
1.2. Các phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng của kết cấu dựa trên tham số động lực học của kết cấu
........................................................................................................................................................ 6
1.3. Phƣơng pháp phân tích wavelet nhằm phát hiện hƣ hỏng của kết cấu ................................. 16
1.4. Kết luận ................................................................................................................................ 30
CHƢƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU DẦM CÓ VẾT NỨT ................................................ 33
2.1. Giới thiệu về vết nứt trên quan điểm cơ học phá hủy .......................................................... 33
2.2. Mô hình phần tử hữu hạn cho dầm 2D và 3D chứa vết nứt ................................................. 36
2.2.1. Dầm 2D chứa vết nứt ................................................................................................... 36
2.2.2. Dầm 3D chứa vết nứt ................................................................................................... 39
2.3. Phƣơng trình dao động của kết cấu theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn ............................. 45
2.4. Kết luận ................................................................................................................................ 48
CHƢƠNG 3. CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU DAO ĐỘNG PHỤC VỤ CHẨN ĐOÁN
KỸ THUẬT ..................................................................................................................................... 49
3.1. Phƣơng pháp phân tích wavelet ........................................................................................... 50
3.1.1. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngược ................................................................ 50
iv
3.1.2. Phổ năng lượng wavelet .............................................................................................. 52
3.1.3. Các hàm wavelet .......................................................................................................... 56
3.2. Phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử trong miền tần số ................................................... 60
3.3. Kết luận ................................................................................................................................ 70
CHƢƠNG 4. ỨNG DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU DAO ĐỘNG TRONG
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẨN ĐOÁN KỸ THUẬT ......................................................................... 72
4.1. Bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu dầm xảy ra trong quá trình động đất bằng phƣơng
pháp phân tích phổ wavelet .......................................................................................................... 72
4.1.1. Dao động của dầm có vết nứt dưới tác động của động đất ......................................... 72
4.1.2. Phát hiện vết nứt xảy ra đột ngột bằng phân tích phổ wavelet từ tín hiệu mô phỏng số
............................................................................................................................................... 74
4.1.3. Kết luận ........................................................................................................................ 77
4.2. Bài toán phát hiện vết nứt của dầm kép mang khối lƣợng tập trung bằng phƣơng pháp phân
tích wavelet .................................................................................................................................. 78
4.2.1. Kết quả mô phỏng số ................................................................................................... 81
4.2.2. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến dao động tự do của hệ dầm kép nguyên vẹn
............................................................................................................................................... 83
4.2.3. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến tần số tự nhiên của hệ dầm kép chứa vết nứt
............................................................................................................................................... 85
4.2.4. Kết luận ........................................................................................................................ 88
4.3. Bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu bằng phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử .......... 88
4.3.1. Phát hiện vết nứt của dầm ........................................................................................... 88
4.3.2. Phát hiện vết nứt của khung ......................................................................................... 98
4.3.3. Phát hiện vết nứt của giàn cao tầng .......................................................................... 101
4.3.4. Kết luận ...................................................................................................................... 104
4.4. Kết luận .............................................................................................................................. 105
CHƢƠNG 5. THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ........................................................................... 108
5.1. Phát hiện vết nứt xảy ra đột ngột của dầm bằng phƣơng pháp wavelet ............................. 108
5.2. Phát hiện vết nứt của giàn bằng phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử ........................... 113
v
5.3. Kết luận .............................................................................................................................. 117
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ........................................................................................................ 119
1. Kết luận của luận án .............................................................................................................. 119
2. Phạm vi áp dụng của luận án và công việc cần tiếp tục thực hiện trong tƣơng lai ............... 120
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .............................................................................. 121
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................. 122
PHỤ LỤC ....................................................................................................................................... 134
vi
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
E mô đun đàn hồi (N/m2).
mật độ khối (kg/m3).
hệ số Poisson.
a chiều cao vết nứt (m).
b, h tƣơng ứng chiều rộng, chiều cao hình chữ nhật (m).
I mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4).
L chiều dài dầm (m).
Lc vị trí xuất hiện vết nứt (m).
tần số dao động riêng của dầm (rad/s)
M, K, C
lần lƣợt là ma trận khối lƣợng, độ cứng và cản tổng thể của
dầm theo công thức phần tử hữu hạn (nn).
, hệ số cản Rayleigh.
M mô men (Nm).
P lực dọc trục (N).
F lực (N).
EI độ cứng chống uốn (Nm2).
IF tần số tức thời (Hz).
vii
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 2.1. Ba kiểu vết nứt cơ bản. ..................................................................................................... 34
Hình 2.2. Mô hình vết nứt mở. ......................................................................................................... 35
Hình 2.4. Mô hình phần tử. .............................................................................................................. 38
Hình 2.5. Mô hình 3D của phần tử có chứa vết nứt. ........................................................................ 39
Hình 3.1. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết. ................................................................ 52
Hình 3.2. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số không đổi trong quá trình dao động. 54
Hình 3.3. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số thay đổi trong quá trình dao động. .. 54
Hình 3.4. Hàm Haar. ........................................................................................................................ 56
Hình 3.5. Hàm Daubechies. ............................................................................................................. 57
Hình 3.6. Hàm Symlet. ..................................................................................................................... 58
Hình 3.7. Hàm Coiflets. ................................................................................................................... 58
Hình 3.8. Hàm Morlet. ..................................................................................................................... 59
Hình 3.9. Hàm Mexican Hat. ........................................................................................................... 59
Hình 3.10. Hàm Meyer. ................................................................................................................... 60
Hình 4.1. Mô hình của dầm nguyên vẹn. ......................................................................................... 73
Hình 4.2. Mô hình dầm chứa vết nứt. .............................................................................................. 73
Hình 4.3. Tần số tức thời của dầm. .................................................................................................. 76
Hình 4.4. Mối liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt. .............................................................................. 77
Hình 4.5. Phần tử dầm kép chịu tác động của khối lƣợng tập trung. ............................................... 78
Hình 4.6. Sáu dạng riêng đầu tiên. ................................................................................................... 82
Hình 4.7. Ba dạng riêng đầu tiên, mối liên hệ giữa tần số và vị trí khối lƣợng. .............................. 84
Hình 4.8. Tần số và vị trí khối lƣợng của dầm kép chứa vết nứt. .................................................... 85
Hình 4.9. Chênh lệch tần số đầu tiên df giữa hệ dầm kép chứa vết nứt và hệ dầm kép nguyên vẹn.86
Hình 4.10. Biến đổi wavelet đối với tần số tự nhiên đầu tiên. ......................................................... 87
Hình 4.11. Phân bố chỉ số độ cứng phần tử bằng giải tích đối với 5 độ sâu vết nứt. ....................... 89
Hình 4.12. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, không có nhiễu. .................................... 91
viii
Hình 4.13. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu của vết nứt, khi không có nhiễu. .......................... 92
Hình 4.14. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử. ............................................................... 93
Hình 4.15. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu vết nứt, có nhiễu và không có nhiễu. ................... 94
Hình 4.16. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, nhiễu 0%. .............................................. 95
Hình 4.17. Chiều cao của 2 đỉnh dh so với độ sâu vết nứt, khi không có nhiễu. ............................. 96
Hình 4.18. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử. ............................................................... 97
Hình 4.19. Chiều cao của đỉnh dh1 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có nhiễu. ........... 98
Hình 4.20. Chiều cao của đỉnh dh2 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có nhiễu. ........... 98
Hình 4.21. Mô hình khung trong mặt phẳng X-Z. ........................................................................... 99
Hình 4.22. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử của cột bên trái, nhiễu 0%. .................. 100
Hình 4.23. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử của cột bên trái, có nhiễu. .................... 100
Hình 4.24. Chiều cao của đỉnh dh1 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có nhiễu. ......... 101
Hình 4.25. Mô hình giàn cao tầng. ................................................................................................. 102
Hình 4.26. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, phần tử #17 chứa vết nứt. ................... 103
Hình 4.27. Mối quan hệ giữa chiều cao của đỉnh dh với độ sâu vết nứt. ....................................... 104
Hình 5.1. Dầm chứa vết nứt, đặt trên bàn rung. ............................................................................. 109
Hình 5.2. Phổ Fourier của gia tốc thẳng đứng, độ sâu vết nứt 0%. ................................................ 110
Hình 5.3. Tần số tức thời của dầm. ................................................................................................ 112
Hình 5.4. Mối liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt. ............................................................................ 113
Hình 5.5. Thí nghiệm tại phòng thí nghiệm của Viện Cơ học – VAST. ........................................ 114
Hình 5.6. Đo đáp hàm đáp ứng tần số bằng máy PULSE. ............................................................. 115
Hình 5.7. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, phần tử #17 chứa vết nứt. ..................... 116
Hình 5.8. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu vết nứt. ................................................................. 117
ix
DANH MỤC BẢNG
Bảng 4.1. Tần số tự nhiên của dầm chứa hai vết nứt. ...................................................................... 74
Bảng 4.2. Tần số tự nhiên của dầm kép. .......................................................................................... 82
Bảng 4.3. Tần số tự nhiên của dầm công xôn với khối lƣợng tập trung đặt tại đỉnh đầu dầm. ........ 83
Bảng 5.1. Vết nứt với độ sâu khác nhau, tại vị trí 2cL L . ...................................................... 108
1
MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu chung
Hƣ hỏng trong kết cấu là một vấn đề nghiêm trọng thƣờng xảy ra trong các
loại kết cấu nhƣ kết cấu cơ khí, kết cấu công trình dân dụng, kết cấu hàng không v.v.
Các kết cấu này thƣờng xuyên chịu các tải trọng lặp đi lặp lại trong quá trình hoạt
động hoặc tác động của thiên nhiên, của con ngƣời. Sau một thời gian dài chịu tác
động của tải trọng lặp lại này thì các hƣ hỏng sẽ xuất hiện, đặc biệt là các vết nứt
mỏi. Các vết nứt mỏi này sẽ tiếp tục phát triển cho đến khi kết cấu vƣợt quá khả
năng chịu tải có thể gây nên sự sụp đổ của kết cấu. Vì vậy, việc phát hiện sớm các
hƣ hỏng trong kết cấu là một vấn đề hết sức quan trọng.
Hiện nay, đã có rất nhiều kỹ thuật đƣợc công bố và áp dụng trong lĩnh vực
phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Có hai phƣơng pháp giám sát kết cấu chính đó là
phƣơng pháp giám sát phá hủy và phƣơng pháp giám sát không phá hủy. Phƣơng
pháp giám sát phá hủy là các phƣơng pháp giám sát trong đó hƣ hỏng đƣợc quan sát
trực tiếp bằng mắt thƣờng, kết cấu cần phải đƣợc tháo rời thậm chí cƣa, cắt nhằm đo
đạc trực tiếp các tham số hƣ hỏng. Phƣơng pháp này đánh giá một cách chính xác,
cụ thể vị trí, hình dáng và kích thƣớc của các hƣ hỏng. Tuy nhiên, rất tốn kém do
kết cấu phải dừng hoạt động và phải đƣợc tháo rời để kiểm tra, đánh giá.
Phƣơng pháp không phá hủy là phƣơng pháp không trực tiếp, giám sát kết
cấu thông qua việc phân tích các phản ứng của kết cấu. Các phƣơng pháp giám sát
kết cấu không phá hủy có thể kể đến: phƣơng pháp dao động, phƣơng pháp tĩnh,
phƣơng pháp âm v.v. Trong các phƣơng pháp này thì phƣơng pháp dao động là
phƣơng pháp đƣợc quan tâm và ứng dụng nhiều hơn cả do các tín hiệu dao động
chứa nhiều thông tin về hƣ hỏng và thƣờng dễ dàng đo đạc, rẻ tiền.
Các phƣơng pháp phát hiện vết nứt bằng tín hiệu dao động thƣờng dựa trên
hai yếu tố chính, đó là: đặc trƣng động lực học của kết cấu và các phƣơng pháp xử
lý tín hiệu dao động. Khi có vết nứt, các đặc trƣng động lực học của kết cấu nhƣ
dạng dao động riêng, tần số riêng, độ cứng, phản ứng động v.v. sẽ bị thay đổi.
Trạng thái của vết nứt trong quá trình dao động cũng rất quan trọng trong việc phát
2
hiện vết nứt. Vết nứt có thể luôn mở trong quá trình dao động đƣợc gọi là vết nứt
mở hoàn toàn. Nhƣng vết nứt cũng có thể đóng và mở liên tục trong quá trình dao
động, loại vết nứt này đƣợc gọi là vết nứt “thở” (breathing). Khi vết nứt “thở” thì
các cạnh của vết nứt sẽ đóng và mở liên tục tạo nên những méo mó trong tín hiệu
dao động tại các thời điểm đóng và mở của vết nứt. Nếu có thể phân tích đƣợc sự
thay đổi trong quá trình “thở” thì sự tồn tại của vết nứt có thể đƣợc phát hiện. Điều
này là rất hữu ích cho việc phát triển các phƣơng pháp để phát hiện vết nứt.
Trong thực tế sự thay đổi các đặc trƣng động lực học của kết cấu gây nên bởi
vết nứt thƣờng rất nhỏ và khó có thể phát hiện trực tiếp từ tín hiệu đo dao động. Để
có thể phát hiện đƣợc những thay đổi nhỏ này cần phải có các phƣơng pháp xử lý
tín hiệu hiện đại. Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu dao động thì biến đổi Fourier đã
đƣợc biết đến nhƣ là một công cụ mạnh và đƣợc ứng dụng rộng rãi trong một thời
gian dài. Mặc dù vậy, việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số của
phép biến đổi Fourier thì thông tin về thời gian sẽ bị mất, nên phép biến đổi này
không thể phân tích đƣợc những sự kiện chỉ xảy ra trong khoảng thời gian rất ngắn.
Để khắc phục khó khăn này, các phƣơng pháp xử lý tín hiệu trong miền thời gian -
tần số hiện đang đƣợc phát triển và ứng dụng mạnh trong nhiều lĩnh vực. Các
phƣơng pháp này có thể kể đến nhƣ phƣơng pháp biến đổi Short - time Fourier
Transform (STFT), phƣơng pháp Wavelet Transform (WT) v.v. Các phƣơng pháp
này sẽ phân tích tín hiệu trong hai miền thời gian và tần số. Khi sử dụng các phƣơng
pháp này thì tín hiệu theo thời gian sẽ đƣợc biểu diễn trong miền tần số trong khi
những thông tin về thời gian vẫn đƣợc giữ lại. Chính vì thế các phƣơng pháp thời
gian - tần số sẽ rất hữu ích trong việc phân tích các biến đổi nhỏ hoặc méo mó trong
tín hiệu dao động gây ra bởi vết nứt.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của nghiên cứu là ứng dụng và phát triển các phƣơng pháp xử
lý tín hiệu dao động để phát hiện các hƣ hỏng, cụ thể là vết nứt trong kết cấu phục
vụ việc chẩn đoán kỹ thuật công trình.
Mục tiêu cụ thể của luận án bao gồm:
3
1. Nghiên cứu ảnh hƣởng của vết nứt đến các đặc trƣng động lực học của kết
cấu.
2. Nghiên cứu khả năng ứng dụng của phƣơng pháp xử lý tín hiệu thời gian -
tần số trong việc phát hiện vết nứt.
3. Ứng dụng và phát triển phƣơng pháp xử lý tín liệu dao động trong miền thời
gian - tần số để phát hiện vết nứt.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu là phƣơng pháp lý thuyết kết hợp với thực nghiệm
kiểm chứng. Phƣơng pháp nghiên cứu có thể đƣợc mô tả nhƣ sau:
Trƣớc tiên, các đặc trƣng động lực học của kết cấu có vết nứt nhƣ tần số
riêng, dạng riêng đƣợc tính toán và nghiên cứu thông qua phƣơng pháp phần tử hữu
hạn. Các tín hiệu dao động của kết cấu khi có vết nứt mở hoàn toàn sẽ đƣợc khảo
sát.
Tiếp theo, phƣơng pháp xử lý tín hiệu thời gian - tần số đƣợc ứng dụng để
phân tích các tín hiệu dao động mô phỏng của kết cấu chứa vết nứt.
Phát triển một phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động để phát hiện sự thay đổi
của độ cứng phần tử, từ đó phát hiện vết nứt.
Thực hiện một số thí nghiệm nhằm kiểm chứng tính hiệu quả của các phƣơng
pháp đƣợc ứng dụng trong luận án.
4. Bố cục của luận án
Luận án gồm 5 chƣơng và phần mở đầu, phần kết luận, phần danh mục công
trình của tác giả, phần tài liệu tham khảo, phần phụ lục.
Phần mở đầu giới thiệu về vấn đề sẽ nghiên cứu trong luận án.
Chƣơng 1 trình bày tổng quan một số nghiên cứu trong nƣớc và trên thế giới
về các phƣơng pháp phát hiện vết nứt dựa trên đặc trƣng động lực học của kết cấu,
các phƣơng pháp xử lý tín hiệu trong miền thời gian - tần số phục vụ việc phân tích
và phát hiện vết nứt.
Chƣơng 2 trình bày cơ sở lý thuyết của động lực học kết cấu có vết nứt.
4
Chƣơng 3 trình bày cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp xử lý tín hiệu trong
miền thời gian - tần số và cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng
phần tử ứng dụng trong việc phát hiện vết nứt.
Chƣơng 4 trình bày các ứng dụng cụ thể của phƣơng pháp thời gian - tần số
và phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử để phát hiện vết nứt trong các kết
cấu khác nhau.
Chƣơng 5 trình bày một số thí nghiệm kiểm chứng các phƣơng pháp đã phát
triển và ứng dụng trong luận án.
Phần kết luận trình bày các công việc đã thực hiện, các kết quả đạt đƣợc của
luận án và một số vấn đề chƣa đƣợc giải quyết, cần tiếp tục thực hiện trong tƣơng
lai.
Danh sách các công trình đã công bố có liên quan đến nội dung luận án đƣợc
trình bày trong phần danh mục công trình của tác giả.
Danh sách các tài liệu đƣợc trích dẫn trong luận án đƣợc trình bày trong phần
tài liệu tham khảo.
5
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình
Hiện nay, để phát hiện hƣ hỏng trong kết cấu ngƣời ta có thể sử dụng phƣơng
pháp trực tiếp hoặc phƣơng pháp gián tiếp. Phƣơng pháp trực tiếp bao gồm việc
quan sát bằng mắt thƣờng, quay phim chụp ảnh, hoặc tháo dời các chi tiết của kết
cấu để kiểm tra v.v. Phƣơng pháp gián tiếp là phƣơng pháp phân tích các tín hiệu
phản ứng của kết cấu dƣới tác động từ bên ngoài để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu.
Các phƣơng pháp gián tiếp có thể kể đến nhƣ phƣơng pháp âm học, quang học, dao
động v.v. Các phƣơng pháp trực tiếp thƣờng cho kết quả rõ ràng nhƣng phụ thuộc
vào chủ quan của ngƣời quan sát và rất tốn kém về thời gian và tiền bạc, thậm chí
không thể phát hiện đƣợc hƣ hỏng ở những nơi không thể tiếp cận đƣợc. Trong khi
đó phƣơng pháp gián tiếp thƣờng tiết kiệm đƣợc thời gian và tiền bạc. Trong các
phƣơng pháp gián tiếp thì các phƣơng pháp dao động hiện đang đƣợc nghiên cứu
phát triển và ứng dụng mạnh mẽ trên thế giới cũng nhƣ ở Việt Nam. Trong thực tế,
hƣ hỏng dạng vết nứt là dạng hƣ hỏng tiềm ẩn, rất nguy hiểm do khó quan sát và nó
sẽ phát triển từ từ cho đến khi chịu tải trọng lớn có thể gây nên sụp đổ kết cấu. Vì
vậy, các phƣơng pháp dao động để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu sẽ đƣợc ứng dụng
trong đề tài luận án. Đồng thời hƣ hỏng dạng vết nứt sẽ là đối tƣợng nghiên cứu
chính trong luận án này.
Có nhiều phƣơng pháp dao động để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu. Ví dụ:
phƣơng pháp dao động dựa trên sự thay đổi của tần số, dạng riêng, độ cong dạng
riêng, ma trận độ mềm; phƣơng pháp dựa trên hiện tƣợng vết nứt đóng - mở, mạng
nơ ron nhân tạo, thuật toán gen; phƣơng pháp phổ, phƣơng pháp thời gian tần số;
hoặc kết hợp một số phƣơng pháp trên. Các phƣơng pháp này có thể đƣợc phân
thành hai nhóm chính: phƣơng pháp dựa trên tham số động lực học kết cấu và
phƣơng pháp dựa trên việc xử lý dữ liệu dao động. Tình hình nghiên cứu về các
phƣơng pháp trên nhằm phát hiện hƣ hỏng, đặc biệt là hƣ hỏng dạng vết nứt sẽ đƣợc
trình bày và phân tích ở phần tiếp theo.
6
1.2. Các phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng của kết cấu dựa trên tham số động
lực học của kết cấu
Sự tồn tại của hƣ hỏng trong kết cấu thƣờng dẫn đến sự thay đổi các đặc
trƣng động lực học của kết cấu nhƣ tần số riêng và dạng riêng. Do đó, các đặc trƣng
động lực học của kết cấu có hƣ hỏng sẽ chứa các thông tin về sự tồn tại, vị trí cũng
nhƣ mức độ hƣ hỏng. Để phát hiện hƣ hỏng của kết cấu thì vấn đề cơ bản là phải
nghiên cứu các đặc trƣng động lực học của kết cấu.
Một số tác giả [1-27] đã nghiên cứu sự thay đổi của tần số riêng để phát hiện
hƣ hỏng trong kết cấu:
Chondros và đồng nghiệp [1] đã phát triển lý thuyết dao động cho dầm
Euler-Bernoulli có vết nứt trên một hoặc hai mặt của dầm. Vết nứt đƣợc mô hình
nhƣ sự suy giảm độ cứng tại vị trí vết nứt sử dụng trƣờng chuyển vị tại khu vực gần
vết nứt đƣợc trình bày trong cơ học phá hủy. Các kết quả của công bố này đã chỉ ra
rằng tần số riêng của dầm sẽ giảm khi độ sâu vết nứt tăng.
Lee và đồng nghiệp [2] đã nghiên cứu ảnh hƣởng của vết nứt lên tần số riêng
và dạng riêng của dầm. Ma trận độ cứng của dầm có vết nứt sẽ thu đƣợc từ ma trận
độ mềm tính từ cơ học phá hủy. Trong nghiên cứu này, bốn tần số riêng cơ bản
đƣợc tính từ phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Vị trí vết nứt đƣợc xác định xấp xỉ bằng
phƣơng pháp Armon’s Rank-ordering. Tiếp theo độ sâu vết nứt đƣợc xác định xấp
xỉ bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Cuối cùng, vị trí thực của vết nứt đƣợc xác
định bởi phƣơng trình Gudmundson sử dụng độ sâu vết nứt và tần số riêng nói trên.
Kết quả của nghiên cứu cho thấy tần số riêng thay đổi nhỏ khi độ sâu vết nứt là nhỏ
và chỉ thay đổi đánh kể khi độ sâu vết nứt lớn đến 40% độ cao của dầm.
Orhan [3] đã thiết lập mối liên hệ giữa tần số riêng và độ sâu cũng nhƣ vị trí
vết nứt của dầm. Trong nghiên cứu này, phƣơng pháp phần tử hữu hạn đã đƣợc áp
dụng để tính ma trận độ mềm của vết nứt sử dụng hệ số cƣờng độ ứng suất. Kết quả
của nghiên cứu chỉ ra rằng, tần số của dầm giảm khi có vết nứt. Khi vị trí vết nứt xa
đầu cố định của dầm thì tần số riêng tăng lên.
Zheng và đồng nghiệp [4] đã sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để phân
tích dao động tự do của dầm có hai vết nứt. Ma trận độ cứng của phần tử chứa vết
7
nứt đƣợc tính từ ma trận độ mềm tổng thể thay vì độ mềm địa phƣơng. Trong
nghiên cứu này, tần số riêng thứ nhất sẽ tăng lên khi vị trí vết nứt ở vị trí xa đầu
ngàm và gần với đầu gối tựa di động. Trong khi đó tần số riêng thứ hai sẽ giảm
mạnh nhất khi vết nứt nằm ở khu vực giữa dầm.
Trong một nghiên cứu khác, Gudmundson [5] đã sử dụng phƣơng pháp nhiễu
loạn và phƣơng pháp ma trận truyền để nghiên cứu ảnh hƣởng của các vết nứt nhỏ
đến tần số riêng của kết cấu mảnh. Kết quả cũng chỉ ra rằng tần số riêng của kết cấu
giảm khi có vết nứt. Độ suy giảm của tần số riêng là nhỏ khi độ sâu vết nứt là nhỏ.
Kisa và đồng nghiệp [6] đã trình bày một phƣơng pháp để phân tích dao
động tự do của dầm có vết nứt sử dụng phƣơng pháp kết hợp giữa phần tử hữu hạn
và phƣơng pháp tổng hợp các dạng dao động thành phần. Dầm đƣợc chia thành hai
thành phần đƣợc nối với nhau thông qua một ma trận độ mềm mà nó sinh ra bởi lực
tƣơng tác tại vị trí vết nứt nằm giữa hai thành phần này. Mối quan hệ giữa độ suy
giảm tần số riêng và độ sâu vết đã đƣợc thiết lập. Nghiên cứu này chỉ ra rằng, tần số
riêng thay đổi nhỏ khi có vết nứt và chỉ đáng kể khi độ sâu vết nứt lớn đến khoảng
40% độ cao của dầm.
Saez và đồng nghiệp [7] đã trình bày một phƣơng pháp đơn giản hóa để đánh
giá tần số riêng của dao động uốn của dầm Euler - Bernouilli. Các tác giả ứng dụng
các phƣơng pháp đã biết bằng cách biểu diễn vết nứt trong dầm thông qua một khớp
và một lò xo đàn hồi, trong đó chuyển vị uốn của dầm có vết nứt đƣợc xây dựng
bằng cách cộng thêm một hàm đa thức vào dầm không có vết nứt.
Một số tác giả khác [8-17] đã mô hình hóa vết nứt nhƣ những lò xo xoay
không khối lƣợng mà độ cứng của nó đƣợc tính bằng cách sử dụng cơ học phá hủy
để nghiên cứu tần số riêng của dầm có vết nứt. Kết quả của các nghiên cứu này
cũng cho thấy tần số riêng sẽ giảm khi có vết nứt. Tuy nhiên sự thay đổi của tần số
riêng là nhỏ khi vết nứt có kích thƣớc nhỏ.
Yang và đồng nghiệp [18] trình bày một phƣơng pháp mới sử dụng mặt tần
số riêng (MFS) để phát hiện sự tách lớp của một tấm composite dạng lớp. Bằng
cách gắn một khối lƣợng tập trung tại các điểm khác nhau, MFS sẽ đƣợc thiết lập.
Sự tách lớp sẽ gây ra sự không liên tục của MFS do sự suy giảm độ cứng địa
8
phƣơng. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc áp dụng để mô phỏng các số liệu tần
số riêng. Sự sai lệch tần số riêng chỉ ra rằng có một sự suy giảm theo luật tựa hàm
mũ khi độ sâu của sự tách lớp tăng lên.
Trong quá trình dao động, vết nứt sẽ mở và đóng theo thời gian do sự thay
đổi của tải trọng bên ngoài tác dụng lên kết cấu. Đây gọi là hiện tƣợng “thở” hay
còn gọi là hiện tƣợng đóng - mở của vết nứt. Khi xảy ra hiện tƣợng này, hai cạnh
của vết nứt đóng vào và không tiếp xúc với nhau, do đó độ cứng trong vùng chứa
vết nứt có thể tăng hoặc giảm. Ngoài ra, còn có thể xuất hiện một số dạng khác nhƣ
vết nứt trƣợt, rách… Điều này sẽ làm thay đổi phản ứng động của phần tử chứa vết
nứt do đó rất hữu ích trong việc phát hiện vết nứt. Có nhiều nghiên cứu liên quan
đến sự thay đổi tần số tự nhiên đối với hiện tƣợng vết nứt đóng - mở. Trong những
nghiên cứu này, tần số tự nhiên của dầm có vết nứt đóng - mở đƣợc chứng minh là
thay đổi trong quá trình dao động.
Carlson [19] và Gudmunston [20] nghiên cứu ảnh hƣởng của vết nứt đóng -
mở đến các đặc trƣng động lực học của dầm công xôn chứa vết nứt. Họ nhận thấy
rằng khi xuất hiện tƣợng vết nứt đóng, sẽ làm giảm tần số tự nhiên, tuy nhiên việc
giảm này là nhỏ hơn nhiều so với hiện tƣợng vết nứt mở. Trong trƣờng hợp vết nứt
đóng, các tần số gần nhƣ không đổi khi độ sâu vết nứt nhỏ hơn 50% và tần số bắt
đầu giảm khi độ sâu vết nứt lớn hơn 50%. Rõ ràng, rất khó để phát hiện các vết nứt
có độ sâu nhỏ hơn 50% bằng cách sử dụng tần số. Hơn nữa, vị trí của vết nứt cũng
không đƣợc đề cập trong nghiên cứu này.
Kisa và đồng nghiệp [21] đã nghiên cứu ảnh hƣởng vết nứt đóng - mở đến
phản ứng động lực học của dầm công xôn bằng cách sử dụng phân tích phần tử hữu
hạn. Trong nghiên cứu này, vết nứt phân chia dầm thành các phần. Có ba trạng thái
đƣợc giả định xảy ra: bám, trƣợt không ma sát và tiếp xúc trƣợt ma sát. Khi vết nứt
mở hoàn toàn, độ cứng nhỏ nhất; khi hai phần tiếp xúc dần vào nhau thì độ cứng
tăng lên. Kết quả là, tần số tự nhiên tăng từ trạng thái mở đến đóng. Trong nghiên
cứu này, tần số tự nhiên thay đổi rất ít khi độ sâu vết nứt nhỏ hơn 50%. Ví dụ, khi
độ sâu vết nứt là 50%, sự thay đổi trong ba tần số đầu tiên là: 1,71%; 6,6% và 0,1%.
9
Dao động dọc và dao động uốn của một dầm liên tục với vết nứt đóng - mở
đƣợc Chondros và đồng nghiệp [22, 23] nghiên cứu. Phƣơng trình chuyển động và
các điều kiện biên của dầm chứa vết nứt đƣợc coi là liên tục một chiều. Các tác giả
đã nghiên cứu sự thay đổi về tần số dao động đối với vết nứt đóng - mở do mỏi và
chỉ ra sự thay đổi này phụ thuộc vào tính chất song tuyến tính của hệ. Các tác giả
giả sử vết nứt đóng - mở chỉ có hai trạng thái: mở hoàn toàn hoặc đóng kín. Ngoài
ra, giả định rằng giai đoạn chuyển tiếp từ trạng thái mở sang trạng thái đóng xảy ra
tại thời điểm mà dầm trở lại trạng thái không biến dạng. Do tính chất song tuyến
tính của hệ nên không có tần số tự nhiên duy nhất, mà sẽ xuất hiện một tần số chính
của dao động. Các tác giả đƣa ra kết luận sự thay đổi tần số dao động gây ra bởi vết
nứt đóng - mở nhỏ hơn gây ra bởi vết nứt mở. Ví dụ, khi độ sâu vết nứt là 40%, sự
thay đổi tần số thấp nhất cho vết nứt mở chỉ là 1,9%, còn đối với vết nứt đóng - mở
là 0,5%. Tuy nhiên, những thay đổi nhỏ của tần số tự nhiên khi xuất hiện vết nứt
đóng - mở sẽ khó cho việc phát hiện vết nứt. Hơn nữa, trong nghiên cứu này không
đƣa ra phƣơng pháp phát hiện vị trí vết nứt.
Trong nghiên cứu của Cheng và đồng nghiệp [24] chỉ ra rằng đối với vết nứt
đóng - mở thì tần số tự nhiên giảm, nhƣng giảm ít hơn nhiều so với vết nứt mở.
Theo các tác giả, với độ sâu vết nứt 30%, sự thay đổi tần số đầu tiên của vết nứt mở
là 2%, trong khi đó vết nứt đóng - mở là 1%. Nhƣ vậy, rất khó phát hiện vết nứt mỏi
dựa vào tần số và việc phát hiện vết nứt bằng mô hình vết nứt đóng - mở sẽ không
chính xác khi vết nứt phát triển dƣới điều kiện của tải trọng mỏi. Tƣơng tự nhƣ các
nghiên cứu trên, hiện tƣợng vết nứt đóng - mở gây nên sự thay đổi nhỏ đối với tần
số, do đó sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi sử dụng tần số để phát hiện vết nứt.
Luzzato [25] sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu hiện tƣợng phi
tuyến của dầm chứa vết nứt. Tác giả dựa vào sự suy giảm độ cứng ở vị trí vết nứt
(đối với vết nứt đóng - mở và vết nứt mở hoàn toàn) để mô hình vết nứt. Ứng xử phi
tuyến của vết nứt đóng - mở đƣợc mô hình hóa bởi lò xo. Kết quả của nghiên cứu
cho thấy tần số tự nhiên của dầm chứa vết nứt mở nhỏ hơn dầm chứa vết nứt đóng -
mở. Ví dụ, khi độ sâu vết nứt là 30%, sự thay đổi ở tần số đầu tiên là khoảng 4%
đối với vết nứt mở và khoảng 2% đối với vết nứt đóng - mở. Tuy nhiên, tác giả chỉ
nêu lên mối liên hệ giữa sự thay đổi của tần số và sự xuất hiện vết nứt đóng - mở,
10
mà chƣa đƣa ra đƣợc phƣơng pháp để phát hiện độ sâu vết nứt và vị trí vết nứt. Hơn
nữa, nghiên cứu này cũng chƣa đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Sundermeyer và đồng nghiệp [26] trình bày một phƣơng pháp số để phát
hiện vết nứt đóng - mở đối với dầm phi tuyến. Tác giả sử dụng lò xo song tuyến
tính để mô hình độ cứng song tuyến tính địa phƣơng tại vị trí của vết nứt khi vết nứt
mở và đóng. Trong nghiên cứu của họ, tác giả dùng hai lực tác dụng vào kết cấu với
hai tần số khác nhau, và nhận thấy rằng xuất hiện phản ứng tần số mà tần số này là
khác nhau đối với hai lực tác dụng, hiện tƣợng này là do tính chất phi tuyến của
dầm. Tuy nhiên, rất khó áp dụng kết quả này để phát hiện vết nứt vì việc xuất hiện
phản ứng phi tuyến phụ thuộc vào sự khác nhau về độ cứng ở các trạng thái mở và
đóng của vết nứt, bậc của cản, tần số và biên độ của lực tác dụng. Hơn nữa, nghiên
cứu này cũng chƣa đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Rivola và đồng nghiệp [27] đã sử dụng phân tích phổ song song của dao
động song tuyến tính giám sát vết nứt đóng - mở. Tác giả xem rằng độ cứng của
dầm giảm khi vết nứt mở và khi vết nứt đóng thì độ cứng của dầm bằng với độ cứng
của dầm nguyên vẹn. Khi dầm ở trạng thái nguyên vẹn, một kích động dạng hình
sin sẽ gây nên một phản ứng điều hòa ở tần số kích động. Ngƣợc lại, khi dầm có vết
nứt, phản ứng của dầm sẽ chứa vài tần số kích động điều hòa. Điều này đƣợc thực
hiện bằng cách sử dụng phân tích phổ song song. Mặc dù các kết quả của phƣơng
pháp này có thể phát hiện đƣợc sự tồn tại vết nứt, tuy nhiên không thể biết đƣợc độ
sâu và vị trí của vết nứt.
Nhƣ vậy, khi kết cấu xuất hiện vết nứt đóng - mở thì tần số của kết cấu sẽ có
sự thay đổi. Ngoài ra khi vết nứt đóng - mở thì cũng xuất hiện những biến dạng về
phản ứng động lực học của kết cấu so với vết nứt mở hoàn toàn tại thời điểm vết nứt
đóng và mở. Sự biến dạng méo mó này đƣợc các nhà khoa học tập trung nghiên cứu
trong những năm gần đây.
Các kết quả nghiên cứu trên cho thấy, đã có nhiều tác giả nghiên cứu ảnh
hƣởng của vết nứt lên tần số riêng. Khi xuất hiện vết nứt, tần số riêng của kết cấu sẽ
bị suy giảm. Điều này có thể đƣợc giải thích là khi có vết nứt thì độ cứng của kết
cấu bị suy yếu dẫn đến tần số riêng bị suy giảm. Tuy nhiên, tần số riêng của kết cấu
11
thay đổi rất ít khi độ sâu vết nứt là nhỏ. Chính vì vậy, việc ứng dụng sự thay đổi của
tần số riêng để phát hiện sớm các vết nứt là rất khó khăn.
Một số tác giả khác [28-39] tập trung vào nghiên cứu sự thay đổi dạng riêng
của kết cấu khi có vết nứt:
Khoo và đồng nghiệp [28], trình bày phƣơng pháp phân tích dạng riêng để
giám sát kết cấu tƣờng gỗ. Trong nghiên cứu này, sự thay đổi đáng kể của tần số tự
nhiên đƣợc sử dụng để phát hiện sự tồn tại của hƣ hỏng và để xác định các mode
nhạy cảm với hƣ hỏng (không phải tất cả các mode đều bị ảnh hƣởng khi kết cấu có
hƣ hỏng). Vị trí hƣ hỏng đƣợc xác định bằng cách so sánh sự biến dạng của dạng
riêng trƣớc và sau khi kết cấu xuất hiện hƣ hỏng. Tuy nhiên, phƣơng pháp này cần
phải đo dạng riêng trong khi việc đo đạc dạng riêng một cách chính xác là rất khó
và tốn nhiều công sức. Hơn nữa, để đo dạng riêng trong phƣơng pháp này, cần máy
đo laser. Nhƣợc điểm của việc sử dụng máy đo laser là khó có thể áp dụng đƣợc cho
các bộ phận ẩn hoặc kết cấu phức tạp.
Haritos và đồng nghiệp [29] đã nghiên cứu hai phƣơng pháp giám sát kết
cấu: nhận dạng hệ thống và nhận dạng mẫu thống kê dựa trên phân tích dạng riêng.
Các tác giả đã so sánh những điểm mạnh và điểm yếu của hai phƣơng pháp trên khi
áp dụng cho kết cấu cầu dạng thanh phẳng. Từ đó đƣa ra kết luận rằng phƣơng pháp
nhận dạng hệ thống có thể xác định đƣợc vị trí và định lƣợng đƣợc mức độ hƣ hỏng.
Tuy nhiên, phƣơng pháp này đòi hỏi đo đƣợc dạng riêng một cách chính xác, yêu
cầu mà không phải lúc nào cũng có thể đáp ứng đƣợc trong thực tế. Trong khi đó,
mặc dù phƣơng pháp nhận dạng mẫu thống kê không thể xác định đƣợc vị trí và
định lƣợng đƣợc mức độ hƣ hỏng, nhƣng phƣơng pháp này có thể chỉ rõ sự tồn tại
của hƣ hỏng xuất hiện trong kết cấu từ một số phép đo đơn giản và hiệu quả. Các
tác giả gợi ý rằng nên kết hợp cả hai phƣơng pháp trên. Phƣơng pháp nhận dạng
mẫu thống kê đƣợc sử dụng để phát hiện hƣ hỏng xuất hiện trong kết cấu. Một khi
đã phát hiện kết cấu có hƣ hỏng thì phƣơng pháp nhận dạng hệ thống sẽ đƣợc áp
dụng để đánh giá và xác định chính xác vị trí hƣ hỏng.
Verboven và đồng nghiệp [30, 31, 32] trình bày phƣơng pháp tự động giám
sát kết cấu dựa trên các tham số dạng riêng. Trong nghiên cứu này, hƣ hỏng đƣợc
12
xem là một khối lƣợng bổ sung. Sự thay đổi dạng riêng đối với kết cấu thanh mỏng
có hƣ hỏng, đƣợc xác định tự động bằng cách sử dụng phƣơng pháp ƣớc lƣợng cực
đại độ rộng miền tần số [33, 34]. Mặc dù vậy, phƣơng pháp này dựa trên dạng riêng
nên đòi hỏi nhiều dữ liệu đáng tin cậy.
Nguyen [35] trình bày phƣơng pháp phân tích dạng riêng của dầm chứa vết
nứt với mặt cắt ngang hình chữ nhật, sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Tác
giả nghiên cứu về dạng riêng bị ảnh hƣởng bởi dao động uốn ngang và dao động
uốn dọc do vết nứt gây ra. Do hiện tƣợng dao động kết hợp của các dạng riêng gây
ra bởi vết nứt, dạng riêng của dầm thay đổi từ đƣờng cong phẳng sang đƣờng cong
không gian. Do đó, sự tồn tại của vết nứt có thể đƣợc phát hiện dựa trên dạng riêng:
khi dạng riêng là đƣờng cong không gian thì dầm sẽ chứa vết nứt. Ngoài ra, khi có
vết nứt, thì dạng riêng sẽ bị biến dạng hoặc thay đổi đột ngột tại vị trí vết nứt. Vì
vậy, dựa vào sự thay của dạng riêng mà tác giả xác định đƣợc vị trí của vết nứt. Tác
giả cũng đƣa ra phân tích định lƣợng giữa độ sâu và vị trí của vết nứt. Những kết
quả này có thể đƣợc áp dụng để phát hiện vết nứt của dầm. Tuy nhiên đây là
phƣơng pháp dạng riêng nên cần phải đo đƣợc một lƣợng dữ liệu lớn về dao động
để có thể tính đƣợc các dạng riêng một cách chính xác.
El-Gebeily và đồng nghiệp [36] đã phát triển phƣơng pháp nhận dạng hƣ hỏng
bên trong của một ống dựa trên dạng dao động riêng. Các hƣ hỏng dạng mòn và
dạng vết nứt đƣợc mô phỏng nhƣ là sự thay đổi từ từ và đột ngột tại bề mặt bên
trong của ống. Quá trình nhận dạng hƣ hỏng chỉ yêu cầu một dạng riêng mà không
đòi hỏi việc giám sát sự thay đổi của các đặc trƣng động lực học. Ngoài ra cũng
không cần biết trƣớc số liệu ban đầu của ống không có hƣ hỏng. Tuy nhiên việc đo
đạc chính xác dạng riêng là một khó khăn của phƣơng pháp này.
Pandey và đồng nghiệp [37], Abdel [38] đã đề xuất việc áp dụng độ cong dạng
riêng trong việc phát hiện hƣ hỏng. Đối với kết cấu dạng dầm, độ cong tỉ lệ nghịch
với độ cứng địa phƣơng của kết cấu. Do đó, sự suy giảm về diện tích ở mặt cắt
ngang gây ra bởi hƣ hỏng sẽ có xu hƣớng làm tăng độ cong dạng riêng trong vùng
lân cận của hƣ hỏng này. Ở nghiên cứu này, độ cong đƣợc tính từ thành phần
chuyển vị bên của dạng riêng đo đƣợc bằng cách sử dụng biểu diễn khác biệt trung
tâm. Vị trí của hƣ hỏng đã đƣợc chỉ ra một cách chính xác bằng cách sử dụng độ
13
cong dạng riêng đối với các mode từ mode 1 đến mode 5. Tuy nhiên do phƣơng
pháp này cũng dựa trên dạng riêng, nên cũng cần một lƣợng lớn dữ liệu đo chính
xác.
Qian và đồng nghiệp [39] nghiên cứu ảnh hƣởng của vết nứt đóng - mở bằng
mô hình phần tử hữu hạn. Ảnh hƣởng của vết nứt đóng - mở đƣợc tính toán bằng
cách xác định các tham số dạng riêng trong miền thời gian. Sự khác biệt giữa phản
ứng của chuyển vị đối với dầm nguyên vẹn và dầm có vết nứt đóng - mở là nhỏ hơn
so với dầm nguyên vẹn và dầm chứa vết nứt mở. Các tác giả đƣa ra mối quan hệ
giữa tham số đặc trƣng liên quan đến véc tơ riêng thứ nhất với vị trí của vết nứt.
Tuy nhiên, không nêu ra đƣợc cách xác định độ sâu của vết nứt.
Bên cạnh việc nghiên cứu tần số riêng và dạng riêng của kết cấu có hƣ hỏng,
một số tác giả [40-56] đã nghiên cứu sự thay đổi các tính chất động lực học
khác của kết cấu nhằm phát hiện hƣ hỏng:
Pandey và đồng nghiệp [40] đƣa ra một phƣơng pháp để phát hiện vết nứt
dựa trên sự khác biệt giữa ma trận độ mềm của kết cấu không hƣ hỏng và có hƣ
hỏng. Nghiên cứu cho thấy phƣơng pháp này cho kết quả rất tốt khi hƣ hỏng nằm ở
vị trí xuất hiện mô men uốn cao.
Patjawit và đồng nghiệp [41] đề xuất một phƣơng pháp sử dụng chỉ số hƣ
hỏng tổng thể (GFI) để giám sát kết cấu cầu đƣờng cao tốc. Chỉ số này là phổ của
ma trận độ mềm đƣợc kết hợp với các điểm tham chiếu đã chọn, nhạy cảm với biến
dạng của kết cấu. Khi chỉ số GFI thay đổi mạnh thì khả năng xuất hiện sự suy yếu
trong kết cấu là rất lớn. Đây chính là cảnh báo ban đầu về sự suy yếu của kết cấu, để
xác định khu vực suy yếu và mức độ suy yếu cần thiết phải có những khảo sát chi
tiết hơn. Phƣơng pháp này cần một lƣợng lớn dữ liệu chính xác, vì dựa trên dạng
riêng.
Rizzo và đồng nghiệp [42, 43] đã cải tiến phƣơng pháp sóng siêu âm để phát
hiện khuyết tật trong các sợi dây cáp. Do đặc tính nhạy và mạnh của tín hiệu sóng,
bằng cách sử dụng biến đổi wavelet để xây dựng lại chỉ số hƣ hỏng. Chỉ số hƣ hỏng
trong nghiên cứu này đƣợc định nghĩa là tỷ số giữa đặc tính của phản xạ từ khuyết
tật và đặc tính tƣơng tự của tín hiệu đi trực tiếp từ máy phát tới máy thu. Đối với
14
dây cáp còn nguyên vẹn, chỉ số hƣ hỏng là 1, và đối với các dây cáp có hƣ hỏng, chỉ
số hƣ hỏng nhỏ hơn 1. Mặc dù phƣơng pháp này là phƣơng pháp giám sát địa
phƣơng do đó sẽ khó cho việc áp dụng đối với toàn bộ kết cấu, tuy nhiên nghiên
cứu cũng chỉ ra rằng chỉ số hƣ hỏng là tuyến tính với độ sâu vết nứt trong thang tỷ
lệ logarit.
Reda Taha và đồng nghiệp [44] đƣa ra một phƣơng pháp nhằm cải thiện khả
năng nhận diện mẫu và phát hiện hƣ hỏng bằng cách bổ sung thêm tập mờ. Ý tƣởng
là hƣ hỏng không xảy ra theo quan hệ Boolean (đúng hay sai) mà có sự tăng dần.
Trong nghiên cứu này, phƣơng pháp cập nhật Bayesian đƣợc dùng để phân chia
mức độ hƣ hỏng thành các tập mờ phù hợp với sự không chắc chắn liên quan đến
các trạng thái hƣ hỏng không rõ ràng. Mặc dù phƣơng pháp này đã đƣợc chứng
minh là có khả năng xác định hƣ hỏng một cách chính xác bằng cách sử dụng dữ
liệu mô phỏng từ phân tích phần tử hữu hạn của một cầu bê tông chịu áp lực, tuy
nhiên phƣơng pháp này chƣa đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Li và đồng nghiệp [45] đã sử dụng phƣơng pháp kết hợp giữa phân tích dạng
dao động thực nghiệm (EMD) và phân tích wavelet để phát hiện những thay đổi
trong dữ liệu phản ứng của kết cấu. Phƣơng pháp EMD lần đầu tiên đƣợc sử dụng
để phân tích phản ứng động của kết cấu thành nhiều tín hiệu thành phần. Mỗi tín
hiệu thành phần lại đƣợc phân tích bằng biến đổi wavelet để phát hiện ra hƣ hỏng.
Kết quả này cho thấy phƣơng pháp kết hợp giữa EMD và phân tích wavelet có thể
xác định đƣợc thời điểm xảy ra hƣ hỏng của kết cấu. Tuy nhiên, phƣơng pháp này
không phát hiện mức độ và vị trí của hƣ hỏng.
Bovsunovsky và đồng nghiệp [46, 47] đã nghiên cứu, phân tích những biến
dạng phi tuyến về các đặc trƣng dao động của dầm chứa vết nứt đóng - mở. Sự thay
đổi của tần số tự nhiên, dạng riêng của dầm cũng đƣợc nghiên cứu. Tác giả sử dụng
thuật toán tính toán liên tiếp đối với biên độ dạng riêng của dầm. Khái niệm về dạng
riêng trùng nhau xảy ra vào thời điểm vết nứt đóng và mở. Dạng riêng trùng nhau
này khác với dạng riêng ban đầu. Trong nghiên cứu của tác giả, sự biến dạng của
chuyển vị, gia tốc, ứng suất của dầm chứa vết nứt đã đƣợc chứng minh và đánh giá,
so sánh độ nhạy của chúng. Các tác giả cũng nêu ra một phƣơng pháp phát hiện vết
nứt đó là áp dụng hàm phân bố đặc tính dao động của hƣ hỏng liên quan đến dạng
15
riêng. Tuy nhiên, tác giả cũng chỉ ra rằng việc xác định hàm phân bố này rất phức
tạp và trong thực tế không phải lúc nào cũng thực hiện đƣợc.
Ruotolo và đồng nghiệp [48] đã phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn phi
tuyến để mô phỏng dao động điều hòa của dầm chứa vết nứt đóng - mở. Trong quá
trình dao động, vết nứt đƣợc đóng - mở đƣợc coi là mở hoàn toàn hoặc đóng hoàn
toàn. Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng hàm phản ứng tần số bậc cao để nghiên
cứu tính chất phi tuyến của vết nứt đóng. Vì ở đây có sự phụ thuộc giữa hàm phản
ứng tần số bậc cao với kích thƣớc và vị trí của vết nứt. Các tác giả đã chỉ ra sự biến
dạng của phản ứng trong miền thời gian đối với dầm công xôn dƣới tải trong điều
hài hòa. Tuy nhiên, họ chƣa thiết lập đƣợc mối quan hệ giữa các biến dạng trong
miền thời gian với các tham số hƣ hỏng. Hơn nữa, nghiên cứu này cũng không đƣợc
kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Pugno và đồng nghiệp [49] đƣa ra phƣơng pháp “cân bằng điều hòa” để
nghiên cứu phản ứng động lực học của dầm chứa một số vết nứt đóng - mở vuông
góc với trục dầm khi chịu kích động điều hòa. Hệ phƣơng trình đại số phi tuyến
đƣợc giải lặp kết hợp với tích phân số. Trong nghiên cứu này, hiện tƣợng vết nứt
đóng - mở đã gây nên biến dạng của chuyển vị ở đầu tự do của dầm. Các tác giả kết
luận rằng kết quả của phƣơng pháp này phù hợp với phƣơng pháp tích phân số. Tuy
nhiên, có một số khác biệt tại điểm uốn và đỉnh trong kết quả mà họ đƣa ra. Hơn
nữa, phƣơng pháp phát hiện vết nứt cũng chƣa đƣợc nêu ra, cần tiến hành kiểm tra
bằng thực nghiệm để có kết quả nghiên cứu chính xác.
Cacciola và đồng nghiệp [50] nghiên cứu phản ứng động của dầm hình chữ
nhật chứa vết nứt không phát triển. Trong quá trình dao động, vết nứt đƣợc xem là
mở hoặc đóng hoàn toàn. Các kết quả cho thấy có sự biến dạng về phản ứng động
lực học của dầm do hiện tƣợng vết nứt đóng - mở gây nên. Tuy nhiên, các tác giả
không đƣa ra đƣợc phƣơng pháp phát hiện độ sâu và vị trí vết nứt.
Tính chất phi tuyến tính do vết nứt đóng - mở đƣợc nghiên cứu về mặt lý
thuyết, Saavendra cùng đồng nghiệp [51] đƣa ra minh họa bằng thí nghiệm; Shinha
và đồng nghiệp [52] điều chỉnh bằng phƣơng pháp giải tích. Tác giả đã trình bày thí
nghiệm đối với dầm tự do chứa vết nứt ngang chịu kích động của tải điều hòa. Từ
16
đó đƣa ra sự biến dạng của phản ứng trong miền thời gian, do vết nứt đóng - mở gây
nên. Các tác giả cũng nhận thấy rằng xuất hiện tần số điều hòa cao hơn tần số cƣỡng
bức. Tuy nhiên, các tác giả không đƣa ra đƣợc phƣơng pháp để phát hiện độ sâu và
vị trí vết nứt.
Gần đây, Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Văn Liên và đồng nghiệp [53-55] đã
nghiên cứu sự thay đổi của tần số riêng, chuyển vị, góc xoay, mô men, lực cắt của
dầm FGM có nhiều vết nứt. Trong các nghiên cứu này, các tác giả đã chỉ ra rằng khi
có vết nứt tần số riêng sẽ bị suy giảm, độ suy giảm của tần số riêng phụ thuộc vào vị
trí và số lƣợng vết nứt. Tại vị trí vết nứt, các biểu đồ chuyển vị, góc xoay, mô men,
lực cắt của dầm luôn có điểm gẫy khúc. Đây là dấu hiệu để phát hiện sự tồn tại của
vết nứt và vị trí của vết nứt trong kết cấu dầm.
Ye và đồng nghiệp [56] đề xuất một phƣơng pháp mới để xác định vị trí và
kích thƣớc vết nứt, dựa trên hệ số cƣờng độ ứng suất phù hợp với kết cấu ống và
phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Kết cấu ống đƣợc phân chia thành một loạt các ống
mỏng lồng nhau. Bằng cách sử dụng hệ số cƣờng độ ứng suất của ống mỏng, tác giả
đƣa ra phƣơng pháp tính toán mới về độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử chứa vết
nứt để giải bài toán hệ số cƣờng độ ứng suất của kết cấu ống. Tác giả kết hợp bài
toán thuận với bài toán ngƣợc để đƣa ra phƣơng pháp xác định vết nứt dựa trên sự
thay đổi tần số, từ đó đƣa ra công nghệ kiểm tra không phá hủy bằng dao động đối
với kết cấu ống.
1.3. Phƣơng pháp phân tích wavelet nhằm phát hiện hƣ hỏng của kết cấu
Nhƣ đã phân tích ở trên, hiện có nhiều tác giả đã và đang tập trung nghiên
cứu sự thay đổi về đặc trƣng động lực học của kết cấu cho bài toán phát hiện vết nứt.
Tuy nhiên, những sự thay đổi về đặc trƣng động lực học của kết cấu gây ra do vết
nứt thƣờng nhỏ và khó phát hiện bằng mắt thƣờng và phụ thuộc nhiều vào các phép
đo chính xác. Vì vậy, việc phát triển các phƣơng xử lý tín hiệu hiện đại nhằm phát
hiện ra những sự thay đổi nhỏ này đã và đang đƣợc quan tâm đặc biệt. Cho đến
ngày nay, các phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động chủ yếu đƣợc dựa trên phép
biến đổi Fourier truyền thống. Phép biến đổi Fourier rất phổ biến và hiệu quả trong
việc phân tích các tín hiệu dừng (tín hiệu là hằng số trong các tham số thống kê theo
17
thời gian). Biến đổi Fourier là kết quả của tổng, hoặc tích phân trong miền thời gian
liên tục, trên toàn bộ chiều dài của tín hiệu. Do đó, biến đổi Fourier có thể cung cấp
độ phân giải tần số rất tốt cho việc biểu diễn tín hiệu trong miền tần số. Tuy nhiên,
trong quá trình biến đổi Fourier, thông tin thời gian hoặc không gian bị mất và
không thể phân tích các sự kiện thời gian ngắn hoặc các tín hiệu không dừng [57,
58]. Để khắc phục nhƣợc điểm trên của biến đổi Fourier, phƣơng pháp phân tích
thời gian - tần số đƣợc phát triển. Phƣơng pháp này bao gồm biến đổi Fourier thời
gian ngắn (STFT), biến đổi Wigner - Ville (WVT), biến đổi Hilbert, tự hồi quy
(AR), trung bình (MA), tự hồi quy trung bình, và biến đổi Wavelet (WT) [58].
Trong các phƣơng pháp này, biến đổi wavelet là một công cụ rất hiệu quả nhằm xử
lý tín hiệu do tính linh hoạt cùng với độ chính xác của nó về độ phân giải của thời
gian và tần số.
Ovanesova và đồng nghiệp [59] sử dụng phép biến đổi wavelet để phân tích
chuyển vị tĩnh của dầm chứa vết nứt mở bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
Chuyển vị tĩnh của dầm rất mịn, ngoại trừ ở vị trí gần vết nứt, vị trí này xuất hiện sự
thay đổi nhỏ. Sự thay đổi nhỏ này thƣờng không phát hiện đƣợc nếu phản ứng đƣợc
đo đạc bằng thực nghiệm và quan sát trực quan. Nếu sử dụng biến đổi wavelet bằng
hàm wavelet “bior6.8”, thì vị trí của vết nứt đƣợc xác định tại vị trí đỉnh (peak) của
tín hiệu biến đổi. Các tác giả cũng đã phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn để áp
dụng cho kết cấu khung và đạt đƣợc một số kết quả khả quan. Tuy nhiên, phƣơng
pháp này chƣa đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm. Mặt khác, phƣơng pháp này
cũng không đề cập đến việc xác định độ sâu vết nứt.
Trong nghiên cứu khác, Wang và đồng nghiệp [60] sử dụng hàm wavelet
Haar để khảo sát kết cấu có vết nứt mở. Phản ứng động phân bố theo không gian
của kết cấu đƣợc đo đạc để xác định vị trí vết nứt bằng phép biến đổi wavelet. Tác
giả giả sử rằng hƣ hỏng này có thể gây ra thay đổi nhỏ trong phản ứng động của kết
cấu gần với vị trí vết nứt; vị trí vết nứt đƣợc xác định là vị trí của nhiễu loạn, vị trí
này đƣợc xác định từ biến đổi wavelet. Tuy nhiên, phƣơng pháp này chƣa đƣợc
kiểm chứng bằng thực nghiệm và cũng chƣa tính đƣợc độ sâu vết nứt.
Lu và đồng nghiệp [61] mô hình hóa kết cấu ban đầu không bị hƣ hỏng nhƣ
một sợi dây phân bố đều. Sợi dây có gắn các khối lƣợng tập trung và các lò xo đƣợc
18
coi nhƣ kết cấu có hƣ hỏng. Sử dụng phép biến đổi wavelet để phân tích dao động
trong miền không gian đối với hai mô hình trên. Mô phỏng số cho thấy, hƣ hỏng địa
phƣơng có thể gây ra những thay đổi đáng kể đối với hệ số wavelet, mặc dù nó chỉ
gây nên thay đổi rất nhỏ so với tín hiệu dao động của kết cấu không bị hƣ hỏng. Tuy
nhiên, phƣơng pháp này cũng không nêu ra đƣợc mức độ của hƣ hỏng và cũng chƣa
đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Hou và đồng nghiệp [62], Basu [63] đề xuất cách tiếp cận dựa trên wavelet
để phát hiện hƣ hỏng và giám sát kết cấu. Trong những nghiên cứu này kết cấu
đƣợc mô hình bởi các lò xo. Những lò xo sẽ đứt khi phản ứng vƣợt quá giá trị
ngƣỡng hoặc vƣợt quá số chu kỳ chuyển động. Hƣ hỏng này đƣợc xem là mất độ
cứng đột ngột. Biến đổi wavelet đối với phản ứng động của kết cấu sẽ đƣợc sử dụng
để phát hiện sự mất độ cứng đột ngột và thời điểm mà nó xảy ra. Bằng cách so sánh
hệ số wavelet của dữ liệu đầu vào và đầu ra, có thể phát hiện đƣợc hƣ hỏng xuất
hiện. Tuy nhiên, cần tiến hành thí nghiệm để kiểm chứng kết quả mô phỏng số này.
Phƣơng pháp này cũng không chỉ ra mức độ và vị trí của hƣ hỏng.
Rucka và đồng nghiệp [64], Poudel và đồng nghiệp [65] trình bày phƣơng
pháp dựa trên wavelet để xác định vị trí hƣ hỏng của dầm công xôn và dầm có gối
tựa đơn giản bằng cách sử dụng chuyển vị tĩnh. Hiệu quả của wavelet đƣợc chứng
minh bằng số liệu mô phỏng và thực nghiệm. Trong các thí nghiệm của tác giả,
chuyển vị tĩnh thu đƣợc bằng cách xử lý ảnh kỹ thuật số của dầm. Phƣơng pháp này
xác định đƣợc vị trí vết nứt khá hiệu quả nhƣng không đƣa ra đƣợc mức độ hƣ hỏng.
Mặt khác, đối với các kết cấu phức tạp, khó có thể sử dụng phƣơng pháp quang học
để đo chuyển vị tĩnh của kết cấu.
Sun và đồng nghiệp [66] trình bày phƣơng pháp kết hợp giữa phƣơng pháp
phân tích wavelet và phƣơng pháp mạng nơ ron để đánh giá hƣ hỏng của kết cấu.
Các hƣ hỏng của kết cấu đƣợc coi là suy giảm độ cứng cục bộ. Phản ứng động của
kết cấu đƣợc phân tách thành các thành phần wavelet và sau đó đƣợc sử dụng làm
đầu vào cho các mô hình mạng nơ ron để đánh giá hƣ hỏng. Các kết quả số cho thấy
phƣơng pháp phân tích wavelet đánh giá đƣợc hƣ hỏng, tuy nhiên phƣơng pháp này
chƣa đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm.
19
Gentile và đồng nghiệp [67] kết hợp ba công cụ toán học: phép đạo hàm,
phép nhân cuộn, phép làm trơn tạo thành phép biến đổi wavelet liên tục (CWT). Tác
giả đã xác định đƣợc vị trí của vết nứt mở trong kết cấu dầm chịu dao động uốn,
bằng cách nghiên cứu dạng riêng sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục. Trong
nghiên cứu của họ, vị trí vết nứt đƣợc phát hiện trong các trƣờng hợp dữ liệu không
có nhiễu và có nhiễu. Đây là một phƣơng pháp dựa trên dạng riêng, do đó phƣơng
pháp này đòi hỏi một lƣợng lớn dữ liệu đo chính xác. Tuy nhiên, tác giả cũng chƣa
đƣa ra thí nghiệm để kiểm chứng và cũng không nêu đƣợc cách phát hiện độ sâu vết
nứt.
Loutridis và đồng nghiệp [68] nghiên cứu hệ dầm chứa hai vết nứt. Các tác
giả đã phân tích dạng dao động cơ bản của hệ dầm công xôn chứa hai vết nứt bằng
phép biến đổi wavelet liên tục. Vị trí của vết nứt đƣợc phát hiện bởi sự thay đổi đột
ngột trong biến đổi wavelet dạng dao động riêng của dầm. Để xác định độ sâu của
vết nứt, tác giả đƣa ra khái niệm hệ số cƣờng độ liên quan giữa kích thƣớc của vết
nứt và hệ số của phép biến đổi wavelet. Hệ số cƣờng độ đƣợc tính từ đƣờng cực đại
và số mũ Lipschitz của phép biến đổi wavelet. Hệ số cƣờng độ tuân theo một xu
hƣớng nhất định, do đó có thể sử dụng nhƣ một chỉ số để đánh giá kích thƣớc của
vết nứt. Đây là phƣơng pháp dựa trên dạng riêng nên cũng yêu cầu số lƣợng lớn các
dữ liệu đáng tin cậy.
Hong và đồng nghiệp [69] đã khảo sát tính hiệu quả của phép biến đổi
wavelet liên tục về khả năng ƣớc lƣợng số mũ Lipschitz. Khi nghiên cứu dạng riêng
uốn của dầm chứa vết nứt, tác giả đã sử dụng độ lớn của số mũ Lipschitz nhƣ một
dấu hiệu nhằm đánh giá mức độ hƣ hỏng. Trong nghiên cứu này hàm wavelet
“Mexican hat” đƣợc áp dụng để ƣớc lƣợng số mũ Lipschitz, tuy nhiên không có
thực nghiệm kiểm chứng.
Chang và đồng nghiệp [70] đƣa ra phƣơng pháp phát hiện vị trí và kích thƣớc
vết nứt đối với hệ dầm chứa vết nứt sử dụng biến đổi wavelet không gian. Mục đích
là giải phƣơng trình đặc trƣng: , , 0d e , trong đó là tần số tự nhiên, d là
vị trí vết nứt, e là độ sâu vết nứt. Vị trí của vết nứt đƣợc xác định từ dạng dao động
riêng của dầm bằng cách sử dụng biến đổi wavelet. Tiếp theo, độ sâu vết nứt đƣợc
20
dự đoán từ tần số tự nhiên thông qua phƣơng trình đặc trƣng với các tham số cho
trƣớc: vị trí của vết nứt và tần số tự nhiên. Nếu số lƣợng vết nứt là n, thì cần có n
tần số tự nhiên đầu tiên để dự đoán độ sâu của vết nứt. Tuy nhiên, chƣa có thực
nghiệm để kiểm chứng cho phƣơng pháp này. Hơn nữa phƣơng pháp này dựa trên
dạng riêng nên cũng cần một lƣợng lớn dữ liệu chính xác.
Một số tác giả đã áp dụng véc tơ chỉ số hƣ hỏng dựa trên phƣơng pháp
wavelet để phát hiện vết nứt. Véc tơ chỉ số hƣ hỏng đƣợc định nghĩa nhƣ sau [71]:
11 2 2, ,..., ,kdV
(1.1)
ở đó:
1
01 , 1,2,...,2 .
kj k
j
kj
Uj
U
(1.2)
0
kjU và kjU là năng lƣợng tín hiệu đƣợc lấy ra từ bậc thứ j của phân tích
wavelet đối với kết cấu nguyên vẹn và kết cấu chứa vết nứt, k là số lớp kết cấu dạng
cây của phân tích wavelet. j
cho biết sự thay đổi năng lƣợng của kết cấu khi vết
nứt xuất hiện.
Yan và đồng nghiệp [71] khảo sát một tấm có vết nứt trên bề mặt. Trong
nghiên cứu này, tác giả sử dụng mô hình phần tử hữu hạn. Tác giả đƣa ra khái niệm
véc tơ chỉ số hƣ hỏng nhận đƣợc từ phân tích wavelet, để lấy ra thông tin hƣ hỏng
từ phản ứng động lực học của tấm. Kết quả cho thấy tần số tự nhiên rất khó áp dụng
để phát hiện sự tồn tại của vết nứt. Ngƣợc lại, việc áp dụng véc tơ chỉ số hƣ hỏng
đối với phản ứng gia tốc sẽ có độ nhạy tốt cho hƣ hỏng dạng vết nứt và có thể áp
dụng để phát hiện sự tồn tại của hƣ hỏng. Tuy nhiên, không thể sử dụng phƣơng
pháp này để phát hiện độ sâu và vị trí của vết nứt.
Law và đồng nghiệp [72], Han và đồng nghiệp [73] sử dụng chỉ số phát hiện
hƣ hỏng thu đƣợc từ biến đổi wavelet để phát hiện hƣ hỏng của dầm có gối tựa đơn
giản. Trong nghiên cứu của họ, chuyển vị tĩnh của dầm đƣợc sử dụng nhằm phát
hiện hƣ hỏng của kết cấu. So sánh kết quả giữa phƣơng pháp phần tử hữu hạn và thí
21
nghiệm cho thấy véc tơ chỉ số hƣ hỏng nhạy cảm với hƣ hỏng địa phƣơng. Tuy
nhiên, việc phát hiện mức độ hƣ hỏng không đƣợc nêu ra trong phƣơng pháp này.
Một loạt bài báo [74, 75, 76, 77] trình bày các phƣơng pháp dựa trên wavelet
để phát hiện vết nứt bằng cách sử dụng các sóng uốn. Nếu sóng tới gặp vết nứt, nó
sẽ ảnh hƣởng đến sóng phản xạ và sóng truyền. So sánh biến đổi wavelet của sóng
uốn của dầm không chứa vết nứt và dầm chứa vết nứt, thì trong biến đổi wavelet
của sóng uốn của dầm chứa vết nứt sẽ xuất hiện các đỉnh (peak) mới. Những đỉnh
mới này cho biết sự tồn tại của vết nứt. Vị trí vết nứt đƣợc tính từ sự khác biệt về
thời gian xuất hiện của sóng tới và sóng phản xạ. Tuy nhiên, phƣơng pháp này
không thể phát hiện đƣợc độ sâu vết nứt.
Gần đây, Castro và đồng nghiệp [78, 79] đƣa ra phƣơng pháp dựa trên
wavelet để xác định khuyết tật trong thanh chịu dao động cƣỡng bức và tự do.
Trong nghiên cứu này, khuyết tật địa phƣơng đƣợc xem là sự suy giảm về độ cứng
và mật độ. Phản ứng dọc trục của thanh đƣợc phân tích bằng phép biến đổi wavelet.
Sự thay đổi địa phƣơng về mật độ hoặc độ cứng của thanh sẽ cho biết sự tồn tại và
vị trí của hƣ hỏng. Các tác giả cũng kết luận rằng dạng dao động càng cao thì việc
phát hiện khuyết tật sẽ càng tốt. Tuy nhiên, phƣơng pháp này chƣa đƣợc kiểm
chứng bằng thực nghiệm.
Chang và đồng nghiệp [80] trình bày phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng của
một tấm hình chữ nhật dựa trên phân tích wavelet. Các tác giả mô hình hóa khu vực
bị hƣ hỏng nhƣ một phần tử có độ cứng suy giảm. Dạng riêng phân bố không gian
của tấm hình chữ nhật có hƣ hỏng đƣợc tính từ phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Áp
dụng phép biến đổi wavelet, vị trí hƣ hỏng sẽ đƣợc xác định tại vị trí đỉnh (peak)
của phân bố hệ số wavelet. Phƣơng pháp này rất nhạy cảm với kích thƣớc của hƣ
hỏng, tuy nhiên không phát hiện đƣợc mức độ của vết nứt. Các tác giả cũng chƣa
chứng minh đƣợc bằng thực nghiệm. Hơn nữa, phƣơng pháp này đòi hỏi lƣợng dữ
liệu lớn vì đây là phƣơng pháp dựa trên dạng riêng.
Douka và đồng nghiệp [81], Loutridis và đồng nghiệp [82] đƣa ra phƣơng
pháp phân tích wavelet xác định vết nứt của tấm. Dựa vào dạng riêng, chuyển vị của
tấm dọc theo một chiều vuông góc với vết nứt đƣợc tách ra. Bằng phƣơng pháp này,
22
bài toán trở trở thành bài toán một chiều. Vị trí vết nứt của tấm đƣợc xác định bởi
sự thay đổi đột ngột hệ số wavelet của dạng riêng. Độ sâu của vết nứt đƣợc ƣớc
lƣợng thông qua hệ số cƣờng độ; hệ số cƣờng độ là sự liên hệ giữa độ sâu vết nứt
với hệ số của phép biến đổi wavelet. Tuy nhiên, tác giả không đƣa ra thí nghiệm để
so sánh với kết quả mà họ đã đƣa ra. Mặt khác, phƣơng pháp này cần một lƣợng dữ
liệu lớn vì đây là phƣơng pháp dựa trên dạng riêng.
Gần đây, Rucka và đồng nghiệp [83] trình bày ứng dụng của phép biến đổi
wavelet liên tục đối với dao động, dựa trên phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng đối với
tấm. Trong nghiên cứu này, tác giả thực hiện thí nghiệm đối với một tấm thép với
bốn điều kiện biên cố định. Dạng riêng của dầm đƣợc phân tích bằng phép biến đổi
wavelet liên tục hai chiều. Vị trí hƣ hỏng đƣợc xác định tại vị trí của đỉnh trong biến
đổi không gian của phản ứng. Tuy nhiên, tác giả không đƣa ra cách xác định mức
độ hƣ hỏng. Ngoài ra, vì phƣơng pháp này dựa vào dạng riêng, nên cũng gặp nhiều
khó khăn.
Kim và đồng nghiệp [84] đề xuất phƣơng pháp đánh giá hƣ hỏng dựa trên
dao động, phƣơng pháp này có thể phát hiện, xác định vị trí, và kích thƣớc hƣ hỏng
bằng cách sử dụng một vài dạng riêng thấp. Phƣơng pháp này đặc biệt thuận lợi đối
với kết cấu dạng dầm với tải trọng dọc trục, mật độ khối lƣợng, độ cứng nền thay
đổi. Dựa trên giả định hƣ hỏng nhỏ, mối quan hệ tuyến tính giữa độ cong của dầm
có hƣ hỏng và không có hƣ hỏng đƣợc thiết lập. Với sự trợ giúp của kỹ thuật phân
tích giá trị kỳ dị, chỉ số hƣ hỏng đƣợc xác định trong không gian wavelet.
Zhu và đồng nghiệp [85] trình bày phƣơng pháp mới để xác định vết nứt đối
với kết cấu cầu dạng dầm chịu tải trọng di động dựa trên phân tích wavelet. Phản
ứng động thu đƣợc tại một điểm đo duy nhất đƣợc phân tích bằng phép biến đổi
wavelet liên tục và vị trí của vết nứt đƣợc xác định. Vị trí của vết nứt đƣợc xác định
từ sự thay đổi đột ngột trong biến đổi wavelet khi tải trọng di động dọc theo cầu. Để
đánh giá độ sâu tƣơng đối của vết nứt, tác giả đƣa ra chỉ số hƣ hỏng liên quan giữa
kích thƣớc vết nứt với hệ số biến đổi wavelet.
Messina [86] trình bày biến đổi wavelet liên tục nhƣ một toán tử vi phân.
Toán tử vi phân này đƣợc xem là bộ lọc trong việc giảm nhiễu tần số cao không
23
mong muốn. Các kết quả của nghiên cứu này cung cấp một công cụ hữu hiệu dựa
trên biến đổi wavelet để phát hiện hƣ hỏng của dầm.
Kim và đồng nghiệp [87] đƣa ra đánh giá tổng quan về các phƣơng pháp phát
hiện hƣ hỏng. Trƣớc tiên, các tác giả đã trình bày lý thuyết phân tích wavelet bao
gồm biến đổi wavelet liên tục và rời rạc, tiếp theo là ứng dụng của phƣơng pháp này
đối với SHM. Sau đó trình bày các ứng dụng cụ thể hơn: phát hiện vết nứt của dầm,
bánh răng cơ học, trục lăn.
Chang và đồng nghiệp [88] trình bày kỹ thuật phát hiện hƣ hỏng kết cấu dựa
vào phân tích wavelet không gian. Sử dụng biến đổi wavelet để phân tích dạng
riêng của dầm Timoshenko. Phân bố hệ số wavelet có thể xác định vị trí vết nứt của
dầm. Phƣơng pháp này cho thấy vị trí vết nứt có thể đƣợc phát hiện ngay cả khi vết
nứt có kích thƣớc nhỏ.
Haase và đồng nghiệp [89] phân tích phản ứng động trong quá trình dao
động chuyển tiếp của kết cấu, sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục. Đây là công
cụ hiệu quả để phát hiện sự thay đổi trong kết cấu của vật liệu. Thông tin quan trọng
xuất hiện tại các đỉnh của phép biến đổi wavelet. Từ các đỉnh này, tham số động lực
học đƣợc lấy ra và tín hiệu có thể xây dựng lại đƣợc. Dựa vào các đƣờng cực đại,
khuyết tật đƣợc khoanh vùng. Hiệu quả của phƣơng pháp đã đƣợc chứng minh bằng
việc phân tích phản ứng động đối với các dầm khác nhau dƣới tác động của lực
xung.
Quek và đồng nghiệp [90] đã phân tích độ nhạy của phƣơng pháp wavelet
trong việc phát hiện vết nứt của kết cấu dầm. Tác giả đã khảo sát ảnh hƣởng của các
tính chất khác nhau đối với vết nứt, điều kiện biên và việc sử dụng hàm wavelet.
Các tính chất vết nứt bao gồm: chiều dài, chiều rộng, hƣớng của vết nứt. Kết quả
cho thấy biến đổi wavelet là công cụ hữu ích để phát hiện các vết nứt trong kết cấu
dầm. Kích thƣớc của vết nứt theo chiều dọc có thể phát hiện đƣợc từ phân tích
wavelet. Phƣơng pháp này rất nhạy cảm với độ cong của dầm.
Lia và đồng nghiệp [91] kết hợp phƣơng pháp phân tích dạng thực nghiệm
(EMD) và phân tích wavelet để phát hiện những thay đổi trong dao động của kết
cấu. Trƣớc tiên, phƣơng pháp EMD sẽ phân tích tín hiệu dao động của kết cấu thành
24
nhiều tín hiệu thành phần và biến đổi thành các tín hiệu giải tích thông qua phép
biến đổi Hilbert. Sau đó, mỗi tín hiệu thành phần đƣợc phân tích wavelet để phát
hiện chính xác vị trí và mức độ của hƣ hỏng.
Zhong và đồng nghiệp [92] đƣa ra phƣơng pháp tiếp cận mới cho việc phát
hiện vết nứt trong kết cấu dạng dầm dựa trên việc tìm kiếm sự khác biệt giữa hai tập
hệ số chi tiết của biến đổi wavelet (biến đổi wavelet phân tích một tín hiệu thành hai
tập hệ số là chi tiết và xấp xỉ). Các tập hệ số chi tiết này nhận đƣợc từ phép biến đổi
wavelet dừng (SWT) đối với hai nửa dạng riêng của kết cấu. Sự khác biệt về hệ số
của hai chuỗi tín hiệu mới sẽ chứa thông tin về vết nứt, do đó rất hữu ích cho việc
phát hiện hƣ hỏng. Các dạng riêng của dầm đƣợc tính bằng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn. Kết quả cho thấy phƣơng pháp đề xuất có khả năng phát hiện vết nứt đối
với kết cấu dạng dầm và không yêu cầu thông tin về dữ liệu ban đầu của kết cấu
nguyên vẹn.
Tian và đồng nghiệp [93] đƣa ra phƣơng pháp phát hiện vết nứt đối với dầm
bằng phân tích wavelet của sóng uốn trong dao động chuyển tiếp. Tại bất kỳ điểm
nào của dầm, thời gian đến của sóng với vận tốc nhóm khác nhau có thể đƣợc xác
định bằng phƣơng pháp wavelet. Từ tín hiệu của sóng uốn tần số trung tâm dao
động chuyển tiếp thu đƣợc từ biến đổi wavelet, tác giả có thể xác định chính xác sự
tồn tại và vị trí vết nứt trong dầm.
Grabowska và đồng nghiệp [94] trình bày phƣơng pháp dựa trên wavelet để
phát hiện hƣ hỏng bằng cách sử dụng phép đo sóng Lamb lan truyền. Phƣơng pháp
phần tử phổ dựa trên FFT đƣợc sử dụng trong nghiên cứu này.
Messina [95] đã trình bày một phƣơng pháp tinh chỉnh dựa trên biến đổi
wavelet liên tục để xác định hƣ hỏng trong kết cấu chịu dao động uốn. Ƣu điểm
chính của thuật toán này là không phụ thuộc vào bất cứ sự thay đổi nào của bản thân
các hàm wavelet; phƣơng pháp này không cần phải thiết kế một hàm wavelet bao;
không cần phải áp dụng những điều chỉnh lớn nào về mặt lý thuyết đối với các hàm
wavelet cũng nhƣ đối với các tín hiệu và cuối cùng là thuật toán này có thể áp dụng
đƣợc đối với các điều kiện biên khác nhau trong các trạng thái vật lý khác nhau.
25
Lam và đồng nghiệp [96] báo cáo về việc phát triển lý thuyết và kiểm chứng
bằng mô phỏng số đối với phƣơng pháp phát hiện vết nứt dựa trên biến đổi wavelet.
Đầu tiên tác giả sẽ xác định số lƣợng vết nứt bằng phƣơng pháp wavelet rồi sau đó
là xác định vị trí, độ sâu của vết nứt bằng hàm mật độ xác suất có cập nhật. Phƣơng
pháp mà tác giả đề xuất có khả năng phát hiện đƣợc các vết nứt khi việc đo đạc gặp
khó khăn. Kết quả cho thấy phƣơng pháp này có thể xác định chính xác số lƣợng
vết nứt ngay cả khi độ sâu vết nứt là nhỏ.
Zhong và đồng nghiệp [97] đề xuất cách tiếp cận mới để phát hiện vết nứt
nhỏ trong kết cấu dạng dầm, với tỉ số vết nứt 5cHr
H . Cách tiếp cận dựa trên sự
chênh lệch của phép biến đổi wavelet liên tục (CWT) giữa hai tập dữ liệu dạng
riêng tƣơng ứng với nửa bên trái và nửa bên phải của dạng riêng dầm đơn giản chứa
vết nứt. Các kết quả mô phỏng số và thực nghiệm cho thấy phƣơng pháp đề xuất có
khả năng phát hiện vết nứt đối với kết cấu dạng dầm vì nó không cần biết trƣớc
dạng riêng của dầm nguyên vẹn. Tác giả cũng đƣa ra chỉ số vết nứt tốt hơn so với
kết quả của phép biến đổi wavelet liên tục đối với dữ liệu dạng riêng ban đầu.
Fan và đồng nghiệp [98] trình bày thuật toán phát hiện hƣ hỏng dựa trên biến
đổi wavelet liên tục hai chiều (2-D) sử dụng hàm wavelet “Dergauss2d” đối với các
kết cấu dạng tấm. Thuật toán này là một phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng dựa trên
đáp ứng mà chỉ cần biết các dạng riêng của tấm có hƣ hỏng. Để minh họa khả năng
phát hiện hƣ hỏng, thì thuật toán đƣợc áp dụng đối với dạng riêng của một tấm công
xôn với các hƣ hỏng khác nhau. Tác giả cũng trình bày khả năng áp dụng thuật toán
trong việc xác định hƣ hỏng của kết cấu dạng tấm hoặc vỏ.
Katunin [99] trình bày việc xây dựng các hàm wavelet B-spline hai chiều bậc
tổng quát cho việc xác định hƣ hỏng trong các tấm composite. Việc đánh giá các
dạng dao động riêng cùng với các hình dạng hƣ hỏng khác nhau đƣợc phân tích
bằng cách sử dụng hàm wavelet B-spline hai chiều bậc sáu. Hiệu quả của việc xác
định hƣ hỏng dựa trên sự đánh giá các điểm bất thƣờng theo các hệ số wavelet chi
tiết ngang, dọc và chéo của biến đổi wavelet hai chiều. Các kết quả thu đƣợc dựa
trên số liệu số đã đƣợc kiểm chứng bằng thực nghiệm. Kết quả nghiên cứu cho thấy
26
khả năng ứng dụng hàm wavelet B-spline là rất tốt trong việc theo dõi, chẩn đoán và
giám sát kết cấu.
Gokdag và đồng nghiệp [100] đã trình bày một phƣơng pháp mới nhằm phát
hiện vết nứt dựa trên biến đổi wavelet. Phƣơng pháp này dựa trên giả thiết dạng
riêng của dầm có hƣ hỏng đƣợc tạo bởi dạng riêng không có hƣ hỏng và các thành
phần khác nhƣ ảnh hƣởng của phép đo và sự thay đổi địa phƣơng gây ra bởi hƣ
hỏng. Kết quả cho thấy các thành phần xấp xỉ trong biến đổi wavelet là tự tƣơng
quan tốt đối với dạng riêng có hƣ hỏng đƣợc tính từ mức phân tích wavelet mà ở đó
năng lƣợng của thành phần xấp xỉ đột ngột suy giảm. Phƣơng pháp này đã chỉ ra
rằng thành phần xấp xỉ thu đƣợc từ các dạng riêng này có thể đƣợc sử dụng một
cách thuận tiện nhƣ là số liệu ban đầu cho việc phát hiện hƣ hỏng.
Tao và đồng nghiệp [101] nghiên cứu về dao động tự do và cƣỡng bức của
dầm composite sợi kim loại chứa vết nứt có gắn bộ giảm chấn chịu tải trọng di động
và các vết nứt đƣợc phát hiện bằng cách sử dụng biến đổi wavelet liên tục. Tác giả
đã nghiên cứu ảnh hƣởng của độ sâu, vị trí vết nứt, góc của lớp sợi, hệ số độ cứng
của bộ giảm chấn và vận tốc của tải trọng di động đến dao động tự do và cƣỡng bức
của dầm công xôn. Kết quả mô phỏng số cho thấy các ảnh hƣởng trên đóng vai trò
quan trọng đối với dao động tự do và đáp ứng động lực học của dầm.
Joglekar và đồng nghiệp [102] đã trình bày phƣơng pháp lý thuyết và mô
phỏng số dựa trên phần tử hữu hạn wavelet (WSFE) để nghiên cứu tƣơng tác phi
tuyến của sóng đàn hồi và một vết nứt dạng đóng mở của dầm mảnh. Kết quả của
phƣơng pháp cho thấy phù hợp với phƣơng pháp phần tử hữu hạn Fourier và
phƣơng pháp phần tử hữu hạn một chiều đã công bố trƣớc đó. Sự tồn tại của các
thành phần điều hòa bậc cao trong miền tần số chính là hiệu ứng song tuyến tính
gây ra bởi vết nứt.
Solís và đồng nghiệp [103] đã đề nghị một phƣơng pháp mới để phát hiện hƣ
hỏng của dầm. Từ những thay đổi của dạng riêng, tác giả sử dụng phân tích wavelet
để xác định vị trí hƣ hỏng. Phƣơng pháp đề xuất yêu cầu phải biết dạng riêng của
trạng thái không hƣ hỏng cũng nhƣ dạng riêng của trạng thái hƣ hỏng. Sau đó áp
dụng phép biến đổi wavelet liên tục đối với sự chênh lệch của véc tơ dạng riêng, để
27
thu đƣợc thông tin về những thay đổi của chúng. Phƣơng pháp này đã đƣợc kiểm
chứng bằng thực nghiệm đối với dầm thép chứa nhiều vết nứt có kích thƣớc và vị trí
khác nhau. Kết quả cho thấy phƣơng pháp đề xuất nhạy cảm với những hƣ hỏng
nhỏ. Nghiên cứu này cũng đánh giá đƣợc mức độ của hƣ hỏng và số lƣợng các cảm
biến cần thiết để thu đƣợc kết quả tốt.
Wu và đồng nghiệp [104] đã công bố kết quả nghiên cứu thực nghiệm cho
việc phát hiện vết nứt trong kết cấu dạng dầm sử dụng biến đổi wavelet của chuyển
vị tĩnh. Vết nứt sẽ gây ra một sự biến dạng nhỏ không nhìn thấy trong chuyển vị
tĩnh của dầm tại vị trí vết nứt. Biến dạng nhỏ này đƣợc khuếch đại lên nhờ biến đổi
wavelet. Vết nứt với các độ sâu khác nhau đƣợc phát hiện trong nghiên cứu này.
Biến đổi wavelet trong miền không gian cho thấy hiệu quả của việc phát hiện khu
vực chứa vết nứt với độ sâu nhỏ đến khoảng 26%.
Su và đồng nghiệp [105] trình bày phƣơng pháp xác định hƣ hỏng sử dụng
biến đổi wavelet Cauchy liên tục (CCWT) và mô hình số liệu trong miền thời gian
của biến trạng thái để xác định các tham số dạng riêng kết cấu. Phƣơng pháp đánh
giá hƣ hỏng sử dụng véc tơ vị trí hƣ hỏng (DLV) đƣợc tác giả đề xuất để xác định vị
trí hƣ hỏng trong kết cấu thông qua chỉ số chuyển vị tƣơng đối có trọng số. Chỉ số
này đƣợc tính bằng cách sử dụng véc tơ DLV xác định từ sự thay đổi của ma trận
độ mềm trƣớc và sau khi kết cấu xuất hiện hƣ hỏng. Các phân tích số cho thấy
phƣơng pháp đề xuất có thể giám sát biến đổi của độ cứng. Tác giả cũng đƣợc
chứng minh đƣợc phƣơng pháp này tốt hơn phƣơng pháp dựa vào dạng riêng trong
việc phát hiện sự thay đổi độ cứng của mỗi tầng kết cấu.
He và đồng nghiệp [106] đề xuất cách tiếp cận mới để phát hiện hƣ hỏng.
Thiết lập phƣơng trình động lực học của kết cấu dầm bằng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn wavelet (WFEM), bằng cách sử dụng hàm multiwavelet Hermite thế hệ hai
làm hàm dạng. Phƣơng pháp này có thể xác định đƣợc phần tử hƣ hỏng thông qua
quá trình cập nhật mô hình cùng hàm mục tiêu là hàm của tần số và dạng riêng đo
đƣợc. Các kết quả của nghiên cứu chứng minh rằng phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng
dựa trên WFEM có thể xác định đƣợc vị trí, mức độ của hƣ hỏng. So với phƣơng
pháp truyền thống, phƣơng pháp đề xuất sử dụng ít số bậc tự do hơn và ít tham số
28
cập nhật đối với mô hình kết cấu hơn, đồng thời sử dụng ít cảm biến hơn trong thí
nghiệm, do đó sẽ cải thiện đáng kể hiệu quả trong bài toán nhận dạng hƣ hỏng.
Yan và đồng nghiệp [107] phát triển phƣơng pháp dựa trên wavelet, không
những xác định đƣợc vị trí của nhiều hƣ hỏng mà còn đƣa ra thông tin về thời điểm
xuất hiện hƣ hỏng. Tác giả định nghĩa lực wavelet dƣ (RWF) bằng cách biến đổi
wavelet đối với dao động tự do của kết cấu có hƣ hỏng. Vị trí hƣ hỏng và thời điểm
xảy ra hƣ hỏng đƣợc xác định một cách dễ dàng bởi các đỉnh trong RWF. Phƣơng
pháp đề xuất đƣợc chứng minh bằng mô phỏng số đối với kết cấu khung thép.
Hester và đồng nghiệp [108] trình bày thuật toán dựa trên đồ thị của hệ số
wavelet theo thời gian để phát hiện hƣ hỏng (điểm bất thƣờng trong đồ thị) xuất
hiện, hƣ hỏng này rất nhạy cảm với nhiễu. Nghiên cứu này giải quyết vấn đề bằng
cách: (a) sử dụng tín hiệu gia tốc, thay vì tín hiệu độ lệch, (b) sử dụng mô hình
tƣơng tác phần tử hữu hạn xe-cầu, (c) phát triển cách tiếp cận mới, sử dụng hàm
năng lƣợng wavelet.
Alamdari và đồng nghiệp [109] đề xuất phƣơng pháp phát hiện vết nứt bằng
cách sử dụng hàm đáp ứng tần số (FRFs) của kết cấu chứa vết nứt. Tác giả chuẩn
hóa tín hiệu, rồi xây dựng đồ thị hai chiều của tín hiệu. Sau đó phân tích đồ thị này
bằng phép biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và thu đƣợc tập các hệ số wavelet ngang,
dọc và chéo. Ở đây tập các hệ số ngang rất nhạy cảm với nhiễu loạn xuất hiện trong
tín hiệu do hƣ hỏng gây nên. Do đó tập các hệ số ngang này đƣợc sử dụng để phát
hiện hƣ hỏng địa phƣơng.
Nguyen và đồng nghiệp [110] đƣa ra phƣơng pháp phát hiện nhiều vết nứt
trong kết cấu dạng dầm chịu tải trọng di động. Mô hình vết nứt đƣợc thiết lập theo
cơ học phá hủy, đáp ứng động lực học của hệ đƣợc đo trực tiếp từ tải trọng di động.
Khi tải trọng di động dọc theo kết cấu, sẽ gây nên biến dạng méo mó trong đáp ứng
động lực học của kết cấu tại vị trí xuất hiện vết nứt. Nói chung biến dạng này khó
có thể phát hiện đƣợc bằng trực quan. Tuy nhiên, khi sử dụng phép biến đổi wavelet
thì các biến dạng nhỏ này đƣợc phát hiện. Đỉnh xuất hiện trong phép biến đổi
wavelet chỉ ra sự tồn tại của vết nứt trong kết cấu, và vị trí của vết nứt chính là vị trí
của các đỉnh trong phép biến đổi này.
29
Nguyen [111] so sánh việc phát hiện vết nứt mở và vết nứt thở đối với hệ xe-
cầu chịu tải trọng di động. Tác giả đã sử dụng phổ wavelet để phát hiện vết nứt thở.
Vết nứt mở và vết nứt thở có thể đƣợc phân biệt bằng cách giám sát tần số tức thời
IF của hệ. Trong khi tần số tức thời IF không thay đổi trong quá trình dao động đối
với trƣờng hợp vết nứt mở, thì nó sẽ thay đổi đối với trƣờng hợp vết nứt thở. Đỉnh
(peak) xuất hiện trong phép biến đổi wavelet của đáp ứng đƣợc sử dụng để xác định
vị trí vết nứt. Đối với vết nứt thở thì đỉnh này lớn hơn so với trƣờng hợp vết nứt mở.
Điều đó cho thấy phƣơng pháp wavelet phát hiện vết nứt thở dễ dàng hơn vết nứt
mở.
Katunin cùng đồng nghiệp [112] đề xuất phƣơng pháp phát hiện hƣ hỏng và
vị trí hƣ hỏng trong tấm composite bằng biến đổi wavelet rời rạc rời rạc đối với
chuyển vị của dạng riêng. Trong nghiên cứu này, tác giả đƣa ra một số thuật toán tối
ƣu để tìm kiếm các giá trị tham số tốt nhất của biến đổi wavelet. Phƣơng pháp đƣợc
kiểm nghiệm trên dữ liệu thu đƣợc từ các thí nghiệm mô phỏng số đối với mô hình
có một và nhiều hƣ hỏng. Nghiên cứu của tác giả cũng đƣợc kiểm chứng qua thực
nghiệm, bằng cách sử dụng các phép đo không phá hủy đối với chuyển vị của dạng
riêng. Tác giả cũng nêu lên những ƣu điểm, nhƣợc điểm và hạn chế của phƣơng
pháp này.
Dziedziech và đồng nghiệp [113] đã đề xuất một ứng dụng của hàm đáp ứng
tần số dựa trên wavelet của tín hiệu vào ra để phát hiện vết nứt. Vấn đề quan trọng
nhất là phải trích ra đƣợc đồ thị tần số theo thời gian. Các phƣơng pháp truyền
thống để lấy đƣợc tham số tần số này sẽ cho kết quả là một đƣờng trơn. Tuy nhiên,
để thu đƣợc những thay đổi đột ngột thì phƣơng pháp này không đƣợc sử dụng.
Phƣơng pháp trình bày trong nghiên cứu này đƣợc áp dụng trong mô phỏng và thực
nghiệm đối với kết cấu nhiều tầng. Kết quả cho thấy phƣơng pháp đề xuất trong
nghiên cứu này có thể thu đƣợc các tính chất động lực học thay đổi theo thời gian
một cách chính xác.
Nguyen [114] trình bày ảnh hƣởng của khối lƣợng tập trung và vết nứt đến
tần số riêng của hệ dầm kép chứa vết nứt, bằng cách sử dụng phân tích wavelet. Hệ
dầm kép gồm hai dầm khác nhau đƣợc liên kết bởi một môi trƣờng đàn hồi. Mối
quan hệ giữa tần số tự nhiên và vị trí của khối lƣợng tập trung đƣợc thiết lập và
30
đƣợc gọi là “vị trí khối lƣợng - tần số” (FML). Các mô phỏng số cho thấy khi có vết
nứt, tần số của hệ dầm kép thay đổi bất thƣờng khi khối lƣợng tập trung trùng với vị
trí vết nứt. Sự thay đổi bất thƣờng này đƣợc khuếch đại bằng biến đổi wavelet và
điều này rất hữu ích cho việc phát hiện vết nứt: vị trí vết nứt chính là vị trí của đỉnh
xuất hiện trong phép biến đổi wavelet của hàm “vị trí khối lƣợng - tần số”.
Janeliukstis và đồng nghiệp [115] trình bày thuật toán nhận dạng hƣ hỏng đối
với kết cấu dầm có nhiều hƣ hỏng dựa trên biến đổi wavelet của dạng dao động
riêng. Các hệ số wavelet chuẩn hóa đƣợc coi nhƣ là chỉ số hƣ hỏng phân bố dọc
theo dầm. Đỉnh lớn nhất của biến đổi wavelet sẽ là vị trí của hƣ hỏng. Kết quả chỉ ra
rằng thuật toán này có khả năng phát hiện ra vị trí của hƣ hỏng.
1.4. Kết luận
Chƣơng này đã trình bày, phân tích các phƣơng pháp dựa trên đặc trƣng
động lực học của kết cấu và phƣơng pháp xử lý tín hiệu wavelet trong việc phát
hiện vết nứt của kết cấu. Các phân tích trong phần tổng quan cho thấy khi có vết nứt
thì tần số riêng và dạng dao động riêng của kết cấu sẽ bị thay đổi và sử dụng sự thay
đổi này ta có thể phát hiện đƣợc vị trí cũng nhƣ kích thƣớc của vết nứt. Tuy nhiên,
đối với các vết nứt nhỏ thì sự thay đổi này thƣờng rất bé, khó quan sát bằng trực
quan hoặc bằng các phƣơng pháp xử lý thông thƣờng. Sự thay đổi của tần số riêng
và dạng riêng thƣờng chỉ rõ ràng khi độ sâu vết nứt lên đến 40%. Ngoài ra các
phƣơng pháp sử dụng dạng dao động riêng trong phát hiện vết nứt cũng gặp phải
các hạn chế nhƣ yêu cầu lƣợng lớn các số liệu đo chính xác. Ảnh hƣởng của vết nứt
lên dạng riêng là ít, cục bộ khi độ sâu vết nứt nhỏ và bị ảnh hƣởng mạnh bởi nhiễu
đo đạc.
Vì vậy, cần phải có phƣơng pháp xử lý tín hiệu hiện đại để phát hiện những
sự thay đổi nhỏ trong các đặc trƣng động lực học của kết cấu gây ra bởi vết nứt
nhằm phát hiện sớm các hƣ hỏng. Đồng thời cần đề xuất phƣơng pháp mới nhằm
khắc phục những hạn chế về việc ứng dụng dạng riêng trong các phƣơng pháp phát
hiện vết nứt. Trong khi đó, phƣơng pháp phân tích wavelet - một phƣơng pháp xử lý
tín hiệu hiện đại có khả năng phân tích trong miền thời gian - tần số là một giải
pháp hữu dụng và đang đƣợc ứng dụng mạnh cho việc phát hiện hƣ hỏng của kết
31
cấu. Do đó, phƣơng pháp phân tích wavelet là phù hợp cho mục đích phát hiện vết
nứt trong kết cấu.
Qua các nghiên cứu tổng quan này, tác giả luận án nhận thấy một số vấn đề
còn tồn tại trong các phƣơng pháp dao động nhằm phát hiện vết nứt nhƣ sau:
Chƣa có tác giả nào ứng dụng phƣơng pháp wavelet cho việc phát hiện vết
nứt xảy ra đột ngột và thời điểm xuất hiện vết nứt. Phƣơng pháp phân tích
wavelet để phát hiện vết nứt đã đƣợc nghiên cứu nhiều. Tuy nhiên, nếu sử
dụng phƣơng pháp phân tích wavelet thông thƣờng thì chỉ xác định đƣợc vị
trí xuất hiện vết nứt mà không thể xác định đƣợc thời điểm xuất hiện vết nứt.
Trong khi ƣu điểm của phƣơng pháp phân tích phổ wavelet vừa xác định
đƣợc thời điểm xuất hiện vết nứt lẫn vị trí xuất hiện vết nứt.
Chƣa có tác giả nào sử dụng phƣơng pháp wavelet để phát hiện vết nứt dựa
trên ảnh hƣởng đồng thời của vết nứt và khối lƣợng tập trung đến tần số
riêng của kết cấu. Phƣơng pháp phân tích wavelet để phát hiện vết nứt mà
không dựa trên ảnh hƣởng của khối lƣợng tập trung thì tính hiệu quả không
cao bằng việc sử dụng khối lƣợng tập trung để phát hiện vết nứt. Lý do là,
khi có vết nứt thì các đặc trƣng động lực học của kết cấu sẽ thay đổi, tuy
nhiên nếu đƣa thêm khối lƣợng tập trung vào kết cấu, thì các thay đổi về đặc
trƣng động lực học của kết cấu sẽ đƣợc khuếch đại rõ hơn.
Chƣa có phƣơng pháp phát hiện vết nứt nào sử dụng ma trận độ cứng mà
đƣợc tính trực tiếp tín hiệu dao động thay vì tính toán từ các dạng riêng nhƣ
truyền thống. Thông thƣờng, ma trận độ cứng đƣợc tính toán từ dạng riêng
dao động nên sẽ phức tạp hơn, mặt khác dạng riêng lại đƣợc tính thông qua
tín hiệu đo dao động, do đó cần có một lƣợng lớn dữ liệu đo dao động chính
xác.
Từ những lý do trên, mục đích của luận án là đề xuất phƣơng pháp phát hiện
vết nứt nhằm khắc phục một số tồn tại này. Đó là:
1. Ứng dụng phƣơng pháp sử dụng phân tích wavelet nhằm phát hiện vết nứt
xảy ra đột ngột và xác định thời điểm xuất hiện của vết nứt. Trong đó,
phƣơng pháp phổ wavelet sẽ đƣợc áp dụng do ƣu điểm của phƣơng pháp này
32
có thể xác định đƣợc sự tồn tại của vết nứt đồng thời xác định đƣợc cả thời
điểm xảy ra vết nứt.
2. Ứng dụng phƣơng pháp sử dụng phân tích wavelet để nghiên cứu sự thay đổi
đối với tần số riêng của kết cấu khi có một khối lƣợng tập trung, nhằm phát
hiện ra vết nứt trong kết cấu.
3. Đề xuất một phƣơng pháp mới để phát hiện vết nứt, trong đó việc tính toán
ma trận độ cứng sẽ sử dụng trực tiếp số liệu đo dao động nhằm giảm thiểu
sai số khi tính toán ma trận độ cứng từ dạng riêng nhƣ thông lệ.
Phạm vi nghiên cứu của luận án
Kết cấu có chứa vết nứt trong thực tế là rất phức tạp: vết nứt có thể vuông
góc với bề mặt của phần tử nhƣng cũng có thể là vết nứt xiên, tạo với bề mặt một
góc bất kỳ nào đó; vết nứt có thể có độ sâu là hằng số theo toàn bộ chiều dài của vết
nứt nhƣng độ sâu của vết nứt cũng có thể thay đổi theo chiều dài vết nứt; vết nứt có
thể có hình dạng thẳng nhƣng cũng có thể có dạng cong; vết nứt có thể có độ rộng
lớn hoặc nhỏ tùy theo trạng thái chịu tải của phần tử v.v. Ngoài ra, vật liệu cũng rất
đa dạng trong các kết cấu thực. Mỗi loại vật liệu lại có các vết nứt với các đặc tính
khác nhau.
Tuy nhiên, để nghiên cứu toàn bộ các loại vết nứt và các loại vật liệu khác
nhau là một vấn đề rất khó khăn và phức tạp, đòi hỏi nhiều công sức của nhiều nhà
nghiên cứu. Vì vậy, trong khuôn khổ của luận án này chỉ xét vết nứt mở hoàn toàn
với hình dạng đơn giản nhất, đó là: vết nứt có hình dạng đƣờng thẳng vuông góc với
chiều dài phần tử; hƣớng của độ sâu vết nứt vuông góc với bề mặt phần tử; độ sâu
vết nứt không thay đổi dọc theo chiều dài vết nứt, độ rộng vết nứt nhỏ và coi nhƣ
đƣợc bỏ qua.
Để thực hiện các công việc này, việc đầu tiên là phải tính toán và phân tích
các đặc trƣng động lực học của kết cấu có hƣ hỏng. Cơ sở lý thuyết của những vấn
đề này sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng tiếp theo.
33
CHƢƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU DẦM CÓ VẾT NỨT
Để phân tích các đặc trƣng động lực học của kết cấu có hƣ hỏng, luận án sẽ
sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn do phƣơng pháp này có thể phân tích đƣợc
kết cấu phức tạp mà phƣơng pháp giải tích khó có thể thực hiện đƣợc. Vì vậy trong
chƣơng này sẽ trình bày cơ sở lý thuyết về phƣơng pháp phần tử hữu hạn nhằm giải
bài toán động lực học kết cấu có vết nứt.
Chƣơng này bao gồm hai phần chính: phần thứ nhất trình bày khái quát về
các mô hình vết nứt hiện đang đƣợc sử dụng để tính toán kết cấu có vết nứt. Đặc
biệt, mô hình vết nứt của dầm hai chiều (2D) và dầm ba chiều (3D) đƣợc trình bày
chi tiết do hai mô hình này đƣợc ứng dụng trong luận án. Phần thứ hai trình bày về
phƣơng trình dao động của kết cấu theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn nhằm phân
tích các đặc trƣng động lực học của kết cấu có vết nứt phục vụ bài toán chẩn đoán
kỹ thuật.
2.1. Giới thiệu về vết nứt trên quan điểm cơ học phá hủy
Vết nứt xuất hiện trong phần tử kết cấu do nhiều nguyên nhân. Chúng có thể
là các vết nứt mỏi xảy ra dƣới các điều kiện chịu tải trọng lặp đi lặp lại kết quả là
cƣờng độ mỏi bị vƣợt quá giới hạn. Các vết nứt có thể xuất hiện do hƣ hỏng cơ học,
nhƣ trong cánh tuabin của động cơ phản lực, vết nứt đƣợc sinh ra bởi các hạt cát và
sỏi nhỏ dính trên bề mặt. Một số vết nứt khác xuất hiện bên trong vật liệu ngay
trong quá trình chế tạo. Trong thực tế, vết nứt hoặc khuyết tật cục bộ ảnh hƣởng đến
đáp ứng động lực học của kết cấu dẫn đến một chuỗi những đe dọa nguy hiểm tới
hiệu suất hợp lý của máy và khả năng chịu lực của kết cấu. Do đó, việc mô phỏng
vết nứt và tính toán kết cấu có vết nứt là chủ đề nóng đƣợc quan tâm của nhiều nhà
nghiên cứu trong và ngoài nƣớc.
Trạng thái ứng suất biến dạng tại vết nứt thƣờng tập trung ở đầu vết nứt và
đƣợc mô tả bằng hệ số tập trung ứng suất. Theo lý thuyết cơ học phá hủy, một vết
nứt hở có thể có ba dạng chính nhƣ trong (hình 2.1) đƣợc gọi là các kiểu (mode) vết
nứt (kiểu vết nứt mở - Mode I, kiểu vết nứt trƣợt - Mode II và kiểu vết nứt rách -
Mode III).
34
Hình 2.1. Ba kiểu vết nứt cơ bản.
Đối với các kiểu vết nứt cơ bản, ngƣời ta có thể tính đƣợc các hệ số tập trung
ứng suất tại các đầu vết nứt tƣơng ứng, kí hiệu , ,I II IIIK K K , dựa trên số liệu thực
nghiệm. Do đó, có thể nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tại vết nứt. Trên cơ
sở này hầu hết vết nứt đƣợc mô tả nhƣ sự suy giảm độ cứng và đƣợc tính thông qua
các hệ số này. Tùy theo mô hình vết nứt nhƣ chịu kéo nén thì sự thay đổi độ cứng lò
xo kéo nén đƣợc tính thông qua IK , còn dầm chịu uốn không xét ảnh hƣởng của
trƣợt thì sự thay đổi độ cứng tính qua IK và IIK ,… Một số mô hình vết nứt đã
đƣợc nghiên cứu và sử dụng nhiều trong phân tích tính toán kết cấu.
Vết nứt mở hoàn toàn: là vết nứt đƣợc giả thiết là luôn luôn mở trong
quá trình dao động. Hai kiểu vết nứt, vết nứt mở hai cạnh (hai bên) (hình 2.2b) xảy
ra trong trƣờng hợp tải chu kỳ, vết nứt mở một cạnh (một bên) (hình 2.2a) xảy ra do
tải dao động (fluctuating loadings) (hình 2.2). Tuy nhiên, trong tính toán sử dụng
vết nứt mở một bên ngƣời ta thƣờng phải dựa trên một số giả thiết nhƣ sau:
- Vết nứt mở hoàn toàn trên bề rộng của dầm.
- Vết nứt có độ sâu không đổi dọc theo độ rộng của dầm.
- Vết nứt không làm thay đổi khối lƣợng của dầm.
- Vết nứt chỉ bị nứt một phía.
- Giới hạn độ sâu 0.6a h thì áp dụng đƣợc tính toán chính xác.
- Vết nứt nằm ngang trên bên mặt không đổi theo chiều rộng của dầm.
35
a) b)
c) d)
Hình 2.2. Mô hình vết nứt mở.
a) Vết nứt một bên, b) Vết nứt hai bên, c) Dạng chữ V, d) Vết nứt cƣa.
Vết nứt thở (breathing): là một vết nứt mở và đóng liên tục trong quá
trình dao động. Vết nứt sẽ đóng trong một phần của chu kỳ khi các ứng suất là nén
và nó sẽ ứng xử nhƣ tựa lò xo (billinear spring). Tùy theo trạng thái tải trọng tác
dụng lên kết cấu mà vết nứt có thể là mở hoàn toàn, đóng hoàn toàn hoặc vừa đóng
vừa mở trong quá trình dao động. Ví dụ, trong bài toán cầu dạng dầm chịu tác dụng
của tải trọng xe di động, chuyển vị của dầm thƣờng hƣớng xuống. Nếu biên độ dao
động nhỏ hơn độ cong của dầm thì vết nứt phía dƣới của dầm đƣợc coi là mở hoàn
toàn và vết nứt phía trên dầm đƣợc coi là đóng hoàn toàn. Nếu biên độ dao động của
dầm lớn hơn độ cong của dầm thì các vết nứt nói trên sẽ đóng và mở theo thời gian.
Dựa trên các giả thiết trên và phƣơng pháp tính toán kết cấu có vết nứt
(phƣơng pháp ma trận truyền, phƣơng pháp ma trận độ cứng động, phƣơng pháp
phần tử hữu hạn,...) mà sử dụng mô hình vết nứt 2D cho phù hợp cụ thể là đối với
vết nứt mở hoàn toàn ngƣời ta thƣờng hay sử dụng một số mô hình vết nứt nhƣ: một
lò xo hay một phần tử có chứa một vết nứt và sự thay đổi độ cứng chống uốn EI .
Đối với vết nứt thở, mô hình hay đƣợc sử dụng là mô hình phần tử hữu hạn. Nhƣ
vậy có ba mô hình chính đang đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc thƣờng hay
b
h
b
h
36
sử dụng nhƣ sau: mô hình lò xo, mô hình thay đổi độ cứng chống uốn EI , mô hình
phần tử hữu hạn.
Các phƣơng pháp giải tích có thể giải đƣợc bài toán động lực học đối với kết
cấu đơn giản, tuy nhiên đối với kết cấu phức tạp sẽ gặp nhiều khó khăn. Đặc biệt là
kết cấu có vết nứt. Trong khi đó, phƣơng pháp phần tử hữu hạn có thể giải các bài
toán động lực học của kết cấu phức tạp. Vì vậy, luận án này sẽ sử dụng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn để phân tích động lực học của kết cấu có vết nứt. Các kết cấu
trong luận án này là kết cấu dầm và kết cấu khung không gian. Phần tử dầm 2D và
3D đƣợc sử dụng trong các bài toán kết cấu. Sau đây, tác giả sẽ trình bày mô hình
phần tử hữu hạn cho phần tử dầm 2D, 3D có chứa vết nứt.
2.2. Mô hình phần tử hữu hạn cho dầm 2D và 3D chứa vết nứt
2.2.1. Dầm 2D chứa vết nứt
Bỏ qua biến dạng trƣợt, năng lƣợng biến dạng của một phần tử không nứt có
thể thiết lập nhƣ sau [39]:
2 3
2(0) 2 2
0
1 1,
2 2 3
lP l
W M Pz dz M l MPlEI EI
(2.1)
l là chiều dài của phần tử ; P, M là các nội lực uốn và cắt tại nút của phần tử.
Năng lƣợng biến dạng thêm vào do vết nứt là:
(1)
0
.
a
sW b J da (2.2)
Mật độ năng lƣợng biến dạng sJ trong trƣờng hợp tổng quát có dạng:
2 2 26 6 6
I II III
1 1 1
1.s i i i
i i i
J K K KE
(2.3)
Trƣờng hợp bài toán phẳng năng lƣợng biến dạng thêm vào nhƣ sau:
22 2
(1) IIII II
0
1,
a KK KW b da
E E
(2.4)
37
trong đó E E đối với trƣờng hợp ứng suất phẳng, 21
EE
đối với trƣờng
hợp biến dạng phẳng, a là độ sâu vết nứt, E là mô đun đàn hồi, là hệ số Poisson,
và I II III, ,K K K lần lƣợt là các hệ số tập trung ứng suất cho các kiểu vết nứt.
Bỏ qua tác dụng của lực dọc trục, phƣơng trình trên trở thành:
2 2
(1) I I II
0
,
a
M P PK K KW b da
E
(2.5)
trong đó:
I I III I II2 2
6 ( ) 3 ( ) ( ), , ,M P P
M aF s Pl aF s P aF sK K K
bh bh bh
4
I
0.923 0.199 1 sin2 2
( ) tan ,2
cos2
s
sF s
ss
2 3
2
II
1.122 0.561 0.085 0.18( ) 3 2 ,
1
s s sF s s s
s
với a
sh
là tỷ lệ giữa độ sâu vết nứt a và độ dày h của dầm.
Hệ số độ mềm cho một phần tử không có vết nứt là:
2 (0)(0)
1 2, , ; , 1,2,ij
i j
Wc P P P M i j
P P
(2.6)
và hệ số độ mềm thêm vào là:
2 (1)(1)
1 2, , ; , 1,2.ij
i j
Wc P P P M i j
P P
(2.7)
Hệ số độ mềm tổng cộng là:
(0) (1).ij ij ijc c c (2.8)
Từ điều kiện cân bằng (hình 2.4):
38
1 1 1 1 1 1 10, , 0, ,i i i i i i i i iP P P P M M P l M M
hay:
1 1 1 1 ,TT T
i i i i i iP M P M P M (2.9)
trong đó:
1 1 0
.0 1 0 1
T
Tl
(2.10)
Hình 2.4. Mô hình phần tử.
Bằng cách sử dụng nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử bị nứt có
thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
1K T c T
T
c . (2.11)
Trƣờng hợp phần tử không nứt ma trận độ mềm (0)
c đƣợc xác định là:
3 2
(0)
2
3 2.
2
c
l l
EI EI
l l
EI EI
(2.12)
Trƣờng hợp phần tử bị nứt, ma trận độ mềm (1)
c đƣợc xác định là:
2
1(1) 2 1
1 1
2,2
2
c
nl RmR nlR
nlR nR
(2.13)
với 2 2
1 I 2 II4 2
0 0
36 36, , , .
a a
n m R aF da R aF daE bh E bh
y
x
Pi+1
Mi+1
Pi
Mi
l
39
2.2.2. Dầm 3D chứa vết nứt
Xét một dầm đồng nhất với mặt cắt ngang hình chữ nhật có một vết nứt tại vị
trí cL kể từ đầu bên trái của dầm. Để thu đƣợc ma trận độ cứng của phần tử có vết
nứt trƣớc tiên ta sẽ đi tìm ma trận độ mềm của phần tử có chứa vết nứt, sau đó xác
định ma trận nghịch đảo của ma trận độ mềm này [116].
Hình 2.5. Mô hình 3D của phần tử có chứa vết nứt.
Phần tử dầm này chịu lực cắt 2 3 8 9, , ,P P P P ; mô men uốn 5 6 11 12, , ,P P P P ; lực
dọc trục 1 7,P P và mô men xoắn 4 10,P P . Sử dụng nguyên lý Castingliano, ma trận độ
mềm tổng thể là tổng của hệ số độ mềm của phần tử nguyên vẹn và hệ số độ mềm
thêm vào do vết nứt:
( ) (1) ,o
ij ij ijc c c (2.14)
ở đó:
2 (0)(0) ; , 1..6,ij
i j
Wc i j
P P
(2.15)
là hệ số độ mềm của phần tử nguyên vẹn, và hệ số độ mềm thêm vào do vết
nứt có dạng:
2 (1)(1) ; , 1..6.ij
i j
Wc i j
P P
(2.16)
x
z
y
P7
P2
P1
P3
P8
P9
P12
P11
P10
Vết nứt
P5
P4
P6
40
Trong đó (0)W là năng lƣợng biến dạng của phần tử không chứa vết nứt,
(1)W
là năng lƣợng biến dạng của phần tử chứa vết nứt.
Xét ảnh hƣởng của các lực dọc trục, lực cắt, mô men xoắn và mô men uốn tại
mặt cắt của vết nứt, năng lƣợng biến dạng của phần tử có thể đƣợc viết nhƣ sau:
2 2 22 2 2
(0) 3 2 6 3 51 2 4
0
( ) ( )1.
2
l
z y
P P x P P x PP P PW dx
AE GA GA EI EI GJ
(2.17)
Ở đó 1P là lực dọc trục, 2P và 3P là lực cắt, 2 6P x P và 3 5P x P là mô men
uốn, 4P là mô men xoắn tác dụng lên mặt cắt của kết cấu; G là mô đun trƣợt, E là
mô đun đàn hồi của vật liệu; ,y zI I là các mô men quán tính chống uốn của mặt cắt
quanh trục y và z một cách tƣơng ứng; J là mô men cực của mặt cắt tại vết nứt; là
hệ số trƣợt. Phƣơng trình (2.17) viết lại nhƣ sau:
2 2 2 2 3 2 22 2 2 3 2(0) 3 6 2 6 3 5 3 51 2 2 4
0
1.
2 3 3z z z y y y
P l P l P Pl P l P l P PlP l P l P l P lW
AE GA GA EI EI EI EI EI EI GI
(2.18)
Năng lƣợng biến dạng thêm gây ra vết nứt của một dầm có mặt cắt hình chữ
nhật với độ dày h, chiều rộng b có thể biểu diễn nhƣ sau [116]:
2 2 26 6 6
(1)
I II III
1 1 1
1,i i i
A
W K K K dAE
(2.19)
ở đó 2
, 11
EE
và I II III, ,i i iK K K là các hệ số cƣờng độ ứng suất
cho các dạng mở, trƣợt và rách của vết nứt một cách tƣơng ứng, 1..6i .
Hệ số cƣờng độ ứng suất có thể tính từ tài liệu [117] nhƣ sau:
51I1 1 1 1 I5 5 1 5 3
12( ) , , ( ) , ,
P zPK F K F
bh b h
6 2I6 6 2 6 I2 I3 I4 II2 2 II 22
6( ) , , 0 , ( ) , ,
P PK F K K K K F
bh bh
41
4II4 4 II 4 II1 II3 II5 II6( ) , , 0,
PK F K K K K
bh
3III3 3 III 3 III4 4 III( ) , , ( ) ,
PK F K F
bh
III1 III2 III5 III6 0.K K K K (2.20)
Trong đó h
, và:
3
1
0.752 2.02 0.37 1 sin2 2
tan ,2
cos2
a a
a h a h hF
ah a h
h
4
2
0.923 0.199 1 sin2 2
tan ,2
cos2
a
a h a hF
ah a h
h
2 3
II
1.122 0.561 0.085 0.18
,
1
a a a
a h h hF
h a
h
III
2tan .
2
a h aF
h a h
(2.21)
Từ phƣơng trình (2.15) và (2.18) ma trận độ mềm của phần tử nguyên vẹn
đƣợc viết nhƣ dƣới đây:
42
3 2
3 2
0
0
2
2
0 0 0 0 0
0 0 0 03 2
0 0 0 03 2
.
0 0 0 0 0
0 0 0 02
0 0 0 02
C
z z
y y
y y
z z
l
AE
l l l
GA EI EI
l l l
GA EI EI
l
GI
l l
EI EI
l l
EI EI
(2.22)
Từ phƣơng trình (2.16), (2.20), (2.21) các hệ số độ mềm do vết nứt đƣợc xác
định nhƣ sau:
2 2
(1) 2 (1) (1) 2
11 1 15 51 12 4
0 2 0 2
2 24( ) , ,
b ba a
b b
c F d dz c c F d zdzE b E b
2
(1) (1)
16 61 1 22
0 2
12,
ba
b
c c F F d dzE b h
7 6 522 2(1) 2
22 II2
0 2
2 2( ) 0.004 0.01 0.026
ba
b
a a ac F d dz
E b E b h h h
4 3 2
0.044 0.227 0.288 0.682 0.682ln 1 ,a a a a a
h h h h h
7 6 52
(1) (1) 2
24 42 II2
0 2
2 2( ) 0.004 0.01 0.026
ba
b
a a ac c F d dz
E b E b h h h
4 3 2
0.044 0.227 0.288 0.682 0.682ln 1 ,a a a a a
h h h h h
22 2(1) 2 2
33 III2
0 2
2 4( ) ln cos ,
2
ba
b
ac F d dz
E b E b h
2
(1) (1) 2 2
34 43 III2
0 2
2 4( ) ln cos ,
2
ba
b
ac c F d dz
E b E b h
43
2
(1) 2 2
44 II III2
0 2
2,
ba
b
c F F d dzE b
2 2
(1) 2 2 (1) 2
55 1 66 26 2 2
0 2 0 2
288 72( ) , ( ) ,
b ba a
b b
c F d z dz c F d dzE b E b h
2
(1) (1)
56 65 1 24
0 2
144.
ba
b
c c F F d zdzE b h
(2.23)
Ở đó là hệ số trƣợt, ;a
ah h
. Vì vậy, ma trận độ mềm thêm vào do
vết nứt gây ra có thể biểu diễn nhƣ sau:
(1) (1) (1)
11 15 16
(1) (1)
22 24
(1) (1)
33 341
(1) (1) (1)
42 43 44
(1) (1) (1)
51 55 56
(1) (1) (1)
61 65 66
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
c c c
c c
c c
c c c
c c c
c c c
C (2.24)
Từ điều kiện cân bằng, nội lực tại nút bên trái của phần tử chứa vết nứt có thể
đƣợc biểu diễn dƣới dạng nội lực tại nút bên phải:
1 7 4 10
2 8 5 11 9
3 9 6 12 8
,
, .
,
P P P P
P P P P P l
P P P P Pl
(2.25)
Viết lại phƣơng trình (2.25) dƣới dạng ma trận, sử dụng ma trận chuyển vị ta
có:
1 2 12 7 8 12... ... ,TTT
P P P P P P (2.26)
hay:
,P=T PT
R (2.27)
ở đó PR là véc tơ lực tại nút bên phải:
44
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0.
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
T
l
l
(2.28)
Quan hệ giữa chuyển vị giữa hai nút đƣợc biểu diễn dƣới dạng:
1 7 1 4 10 4
2 8 2 6 5 11 5
3 9 3 5 6 12 6
,
, .
,
r r
r r
r r
u u u u u u
u u u u l u u u
u u u u l u u u
(2.29)
Phƣơng trình (2.29) viết lại nhƣ sau:
1
2
3
12
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0,
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
ur
u
ul
ul
u
(2.30)
hay:
.u =Tur (2.31)
Lực tại đầu nút phải, đƣợc tính từ phƣơng trình sau:
1 .P C uR r
(2.32)
Mặt khác:
.P K uc (2.33)
Từ phƣơng trình (2.27) - (2.33) ta có:
1 1 .P T P T C u T C TuT T T
R r
(2.34)
Thay phƣơng trình (2.34) vào phƣơng trình (2.33) ta có:
1 .T C Tu K uT
c
(2.35)
45
Do đó, ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt có dạng:
1 .K T C TT
c
(2.36)
2.3. Phƣơng trình dao động của kết cấu theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn
Đối với các kết cấu phức tạp thì phƣơng pháp phần tử hữu hạn là phƣơng
pháp phù hợp và phổ biến nhất hiện nay để giải quyết bài toán động lực học kết cấu.
Vì vậy, trong luận án này phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc áp dụng để tính toán
các đặc trƣng động lực học của kết cấu có vết nứt và không có vết nứt nhằm phục
vụ bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình. Các ma trận độ cứng phần tử có vết nứt
đƣợc trình bày trong mục 2.2 của chƣơng này sẽ đƣợc sử dụng.
Phƣơng trình dao động tổng quát của một kết cấu theo phƣơng pháp phần tử
hữu hạn có dạng sau [118]:
( ) ,My( ) Cy( ) Ky( ) N f( )Tt t t f t t (2.37)
ở đó
e
T
e e
L
f dx f N và f T fT
e
e
.
M, C, K là ma trận khối lƣợng, cản và độ cứng; f là lực kích động; NT
là ma
trận chuyển vị của hàm dạng tại vị trí x của lực tƣơng tác; y là chuyển vị nút của
dầm. Chuyển vị của dầm tại vị trí bất kỳ x thu đƣợc từ hàm dạng N và chuyển vị nút
y [119]:
.Nyu (2.38)
Hàm dạng của phần tử có dạng sau:
1 2 3 4 ,N N N N N (2.39)
ở đó:
2 3 2
1 2
2 3 2
3 4
1 3 2 , 1 ,
3 2 , ,
x x xN N x
l l l
x x x xN N x
l l l l
(2.40)
với l là chiều dài của phần tử.
46
Đối với bài toán 2 chiều thì ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng của phần
tử không chứa vết nứt sẽ có dạng:
2 2
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2,
12 6 12 6
6 2 6 4
K e
l l
l l l lEI
l ll
l l l l
(2.41)
2 2
2 2
156 22 54 13
22 4 13 3,
54 13 156 22420
13 3 22 4
Me
l l
l l l lml
l l
l l l l
(2.42)
ở đó I là mô men quán tính chống uốn; E là mô đun đàn hồi; m, l là khối
lƣợng và độ dài của phần tử.
Trong khi đó, ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng của phần tử 3D không
chứa vết nứt sẽ có dạng:
47
3 2 3 2
3 2 3 2
2
2
3 2
3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2
3 3 3 30 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2
3 3 3 30 0 0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 02 2
2 30 0 0 0 0
2
2 30 0 0 0
2
0 0 0 0 02
3 30 0 0
2 2
3 30 0
2 2
k
z z z z
y y y y
y y y
z z z
e
z z
y y
AE AE
EI EI EI EI
EI EI EI EI
GJ GJ
EI EI EI
EI EI EI
AE
EI EI
EI EIsym
G
,
0 02
20
2
y
z
J
EI
EI
(2.43)
2 2
2 2
2 2
2
2
2
70 0 0 0 0 0 35 0 0 0 0 0
78 0 0 0 22 0 27 0 0 0 13
78 0 22 0 0 0 27 0 13 0
70 0 0 0 0 0 35 0 0
8 0 0 0 13 0 6 0
8 0 13 0 0 0 6,
70 0 0 0 0 0105
78 0 0 0 22
78 0 22 0
70 0 0
8 0
8
m
x x
e
x
r r
m
sym r
(2.44)
48
ở đó 2
l , x
x
Ir
a ; , ,x y zI I I là các mô men quán tính của mặt cắt của dầm
tƣơng ứng với các trục , ,X Y Z ; m, l là khối lƣợng và độ dài của phần tử.
Khi có vết nứt, thì ma trận độ cứng tổng thể K của kết cấu sẽ đƣợc ghép từ
ma trận độ cứng K e của phần tử nguyên vẹn và ma trận độ cứng K c của phần tử
chứa vết nứt. Trong khí đó, vết nứt đƣợc coi nhƣ không ảnh hƣởng đến khối lƣợng
của kết cấu nên ma trận khối lƣợng M tổng thể đƣợc ghép nối từ các ma trận khối
lƣợng phần tử Me . Trong các nghiên cứu ở luận án này, cản Rayleigh dƣới dạng:
C M K sẽ đƣợc áp dụng. Ở đây và đƣợc tính theo [119]:
1 2 1 2 2 1 2 2 1 1
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2; .
(2.45)
Thay ma trận tổng thể K vào phƣơng trình (2.37) và giải phƣơng trình này
bằng phƣơng pháp Newmark sẽ thu đƣợc phản ứng động lực học của kết cấu chứa
vết nứt.
2.4. Kết luận
Chƣơng này đã trình bày các mô hình vết nứt trong đó có mô hình vết nứt
trong phần tử dầm hai chiều và mô hình vết nứt trong phần tử dầm ba chiều. Các
mô hình vết nứt này sẽ đƣợc ứng dụng trong các bài toán dầm hai chiều và khung
không gian có vết nứt của luận án. Chƣơng này cũng đƣa ra các phƣơng trình cơ
bản sử dụng trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn hiện đang đƣợc các nhà nghiên
cứu áp dụng trong phân tích động lực học của kết cấu có vết nứt. Đây chính là cơ sở
để tính toán đƣợc các đặc trƣng động lực học của kết cấu trong các phần tiếp theo
của luận án.
Sau khi tính toán đƣợc các đặc trƣng động lực học của kết cấu có hƣ hỏng thì
cần ứng dụng phƣơng pháp xử lý tín hiệu nhằm phát hiện vết nứt trong kết cấu. Các
phƣơng pháp xử lý tín hiệu dựa trên đặc trƣng động lực học của kết cấu chứa vết
nứt sẽ đƣợc trình bày trong chƣơng tiếp theo.
49
CHƢƠNG 3. CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU DAO ĐỘNG PHỤC
VỤ CHẨN ĐOÁN KỸ THUẬT
Ở chƣơng 2 đã trình bày các mô hình vết nứt đối với phần tử dầm và cơ sở lý
thuyết về phƣơng pháp phần tử hữu hạn phục vụ phân tích động lực học của kết cấu
có vết nứt.
Tuy nhiên, vết nứt thƣờng gây nên những ảnh hƣởng rất nhỏ đến các đặc
trƣng động lực học của kết cấu do đó việc phân tích và xử lý tín hiệu để có thể phát
hiện ra những ảnh hƣởng nhỏ này là rất khó khăn. Vì vậy, cần phải có những
phƣơng pháp xử lý tín hiệu hiện đại, hiệu quả để có thể phân tích những ảnh hƣởng
nhỏ do vết nứt gây ra. Trong các phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động hiện nay thì
phƣơng pháp phân tích wavelet, một phƣơng pháp thời gian - tần số đang đƣợc phát
triển và ứng dụng mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực khác nhau do tính ƣu việt của nó
so với các phƣơng pháp phân tích Fourier truyền thống. Đó là, trong khi phƣơng
pháp biến đổi Fourier chỉ có thể phân tích đƣợc tín hiệu trong miền tần số thì
phƣơng pháp wavelet có thể phân tích đƣợc tín hiệu trong miền tần số nhƣng những
thông tin của tín hiệu trong miền thời gian vẫn đƣợc giữ lại. Ngoài ra, việc phát
triển phƣơng pháp phân tích số liệu mới cũng là yêu cầu của luận án nhằm khắc
phục một số nhƣợc điểm mà các phƣơng pháp khác chƣa giải quyết đƣợc.
Chƣơng này bao gồm hai phần chính: phần thứ nhất trình bày về phƣơng
pháp phân tích wavelet, khả năng phát hiện những bất thƣờng của phƣơng pháp này
trong miền tần số, khả năng phát hiện thời điểm xảy ra bất thƣờng nhằm phát hiện
vết nứt, cũng nhƣ thời điểm xuất hiện vết nứt trong kết cấu. Phần thứ hai trình bày
phƣơng pháp phân tích số liệu mới đƣợc phát triển trong luận án này. Phƣơng pháp
này đƣợc gọi là phƣơng pháp “phân bố chỉ số độ cứng phần tử” đƣợc phát triển để
tính toán ma trận độ cứng của kết cấu trực tiếp từ số liệu đo dao động mà không
tính thông qua dạng riêng nhƣ các phƣơng pháp hiện nay, nhằm khắc phục sai số do
đo đạc dạng riêng gây ra.
50
3.1. Phƣơng pháp phân tích wavelet
3.1.1. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngược
a. Biến đổi wavelet liên tục và biến đổi ngược
Các biến đổi wavelet liên tục (CWT) đƣợc định nghĩa nhƣ sau [76, 85, 120]:
*1( , ) ( ) ,
t bWf a b f t dt
aa
(3.1)
trong đó a là một số thực đƣợc gọi là hệ số co giãn, b là một số thực đƣợc gọi
là vị trí, ( , )Wf a b là hệ số wavelet với độ co giãn a và vị trí b, ( )f t là tín hiệu đầu
vào, t b
a
là hàm wavelet, * t b
a
là liên hợp phức của t b
a
.
Để đơn giản biểu thức của phép biến đổi wavelet, đặt: *
,
1( )a b
t bt
aa
, phép
biến đổi wavelet (3.1) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:
,( , ) ( ) .a bWf a b f t dt
(3.2)
Một wavelet phải có những tính chất sau:
Có năng lƣợng hữu hạn:
2
.E t dt
(3.3)
Nếu ̂ là biến đổi Fourier của t , nghĩa là:
ˆ .i tt e dt
(3.4)
Khi đó các điều kiện sau đây phải đƣợc thoả mãn:
2
0
ˆ.gC d
(3.5)
Điều đó có nghĩa là wavelet không có thành phần tần số bằng không: ˆ (0) 0,
51
( ) 0 khi 0.j tt e dt
(3.6)
Hay nói cách khác các wavelet phải có giá trị trung bình bằng không, nghĩa là:
( ) 0.t dt
(3.7)
Một điều kiện khác cho các wavelet phức là biến đổi Fourier phải là thực và
bằng không đối với các tần số âm.
Biến đổi ngƣợc của wavelet liên tục:
1
, 2( ) ( , ) ,a b
daf t C Wf a b db
a
(3.8)
trong đó:
2ˆ ( )
2 .C d
(3.9)
b. Biến đổi wavelet rời rạc (DWT) và biến đổi ngược
Có thể hoàn toàn khôi phục lại tín hiệu ban đầu bằng cách sử dụng tổng vô
hạn của các hệ số wavelet rời rạc thay vì tích phân liên tục nhƣ đòi hỏi của CWT.
Điều này dẫn đến phép biến đổi wavelet nhanh (tƣơng tự nhƣ biến đổi Fourier
nhanh) nhằm tăng tốc độ của phép biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi ngƣợc của
nó. Biến đổi wavelet liên tục, theo công thức (3.2).
Nếu sử dụng tất cả các giá trị của a, b để xây dựng hệ số wavelet sẽ lãng phí
thời gian, do đó ngƣời ta thƣờng sử dụng các số nguyên 2 , 2j ja b k , các DWT
trở thành:
*2, ,2 ( ) 2 ( ) ( ) ,
j
j
j k j kWf f t t k dt f t t dt
(3.10)
trong đó: *2, ( ) 2 2 .
j
j
j k t t k
Biến đổi ngƣợc của DWT sẽ đƣợc biểu diễn nhƣ sau [121]:
52
, ,( ) ( ) .j k j k
j k
f t Wf t
(3.11)
c. Xấp xỉ và chi tiết của biến đổi wavelet rời rạc
Sử dụng biến đổi wavelet rời rạc có thể phân tích một tín hiệu thành hai
thành phần: xấp xỉ và chi tiết. Một tín hiệu đƣợc coi là một tổng của hai tín hiệu,
một với tần số thấp (xấp xỉ), một với tần số cao (chi tiết). Xấp xỉ giữ nguyên dạng
chính của tín hiệu, trong khi các chi tiết mô tả các tín hiệu khác thêm vào tín hiệu
chính nhƣ: thay đổi nhỏ, nhiễu, tín hiệu không dừng…
Quá trình phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết có thể đƣợc lặp lại bằng
cách coi xấp xỉ ở mức trƣớc là tín hiệu và tiếp tục phân tích thành xấp xỉ và chi tiết
ở mức cao hơn. Do đó một tín hiệu gốc có thể đƣợc phân tích thành nhiều thành
phần với độ phân giải thấp dần. Cách thức phân tích tín hiệu nhƣ thế đƣợc gọi là
cây phân tích nhƣ mô tả ở hình dƣới đây. Ở hình 3.1, S là tín hiệu gốc, đƣợc phân
tích thành xấp xỉ cA1 ở mức 1 và chi tiết cD1 ở mức 1. Tiếp theo, cA1 lại đƣợc phân
tích thành xấp xỉ cA2 ở mức 2 và chi tiết cD2 ở mức 2 v.v.
Hình 3.1. Cây phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết.
3.1.2. Phổ năng lượng wavelet
Phổ năng lƣợng wavelet đƣợc định nghĩa là bình phƣơng của hệ số wavelet
đƣợc viết dƣới dạng sau:
2
*1( , ) ( ) .
t bS a b f t dt
a a
(3.12)
53
Phổ wavelet trung bình có thể xác định bằng cách tính tích phân trên miền
thời gian, có thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau đối với một tín hiệu trong khoảng thời gian
hữu hạn:
0
2 1( , ) ( , ) .
T
wt
g
S a b S a b dbC T
(3.13)
Năng lƣợng tích lũy trong miền tần số, ký hiệu bởi ( )E f đƣợc xác định bởi
toán tử tích phân tại mỗi tần số của phổ wavelet trung bình thông qua biểu thức sau:
1
0 .if
WT
f
fE f S df
f (3.14)
Tƣơng tự, phổ wavelet trung bình trong miền thời gian có thể đƣợc định
nghĩa nhƣ sau:
1
0 , .nf
WT
f
fS b S b df
f
(3.15)
Năng lƣợng tích lũy theo miền thời gian, ký hiệu là ( )E t đƣợc xác định nhƣ
sau:
1
( ) .
jb
j WT
b
E b S t db (3.16)
Tốc độ thay đổi của độ đo năng lƣợng tích lũy này theo thời gian hoặc tần số
đƣợc ký hiệu bởi ( )dE t
dt hay
( )dE f
df, cực đại của các tốc độ thay đổi này sẽ tạo nên
các “lƣỡi dao” trong mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn.
54
Hình 3.2. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số không đổi trong quá
trình dao động.
Hình 3.2 ở trên minh họa một phổ wavelet của một kết cấu có tần số không
đổi trong quá trình dao động. Ở hình này ta thấy năng lƣợng của dao động tập trung
tại tần số xung quanh 1.6 Hz trong suốt quá trình dao động.
Hình 3.3. Phổ năng lƣợng wavelet của một kết cấu có tần số thay đổi trong quá trình
dao động.
Trong khi đó hình 3.3 minh họa phổ wavelet của một kết cấu có tần số thay
đổi theo thời gian. Trên hình vẽ này ta thấy trong khoảng thời gian từ 0 đến khoảng
7s tần số mang năng lƣợng lớn của dao động tập trung xung quanh giá trị 1.6 Hz,
sau đó tần số này giảm xuống các giá trị thấp hơn trong khoảng thời gian từ 7s đến
10s. Tần số này cuối cùng sẽ có những sự thay đổi nhỏ trong khoảng thời gian từ
10s đến 17.6s.
Khi kết cấu cầu có vết nứt xảy ra đột ngột trong quá trình động đất thì độ
cứng của cầu sẽ bị suy giảm đột ngột. Sự thay đổi tần số trƣớc và sau khi xuất hiện
vết nứt đột ngột thƣờng rất khó có thể phát hiện đƣợc khi phân tích tín hiệu phản
ứng động của kết cấu trong miền thời gian cũng nhƣ trong miền tần số.
55
Hơn nữa, việc phát hiện thời điểm xuất hiện vết nứt cũng rất quan trọng và
cũng không thể phát hiện đƣợc dựa trên các phƣơng pháp phân tích số liệu thông
thƣờng.
Tuy nhiên, biến đổi wavelet biến đổi tín hiệu sang miền tần số trong khi
thông tin về thời gian vẫn giữ đƣợc lại, phổ wavelet có thể đƣợc sử dụng để phát
hiện sự thay đổi đột ngột của tần số cả về thời điểm xảy ra lẫn mức độ thay đổi của
nó ngay trong quá trình xảy ra động đất. Bình phƣơng của mô đun hệ số wavelet
hay phổ năng lƣợng wavelet có thể diễn giải nhƣ là phân bố mật độ năng lƣợng trên
mặt phẳng ,a b thời gian - hệ số co giãn.
Năng lƣợng của một tín hiệu đƣợc tập trung trên mặt phẳng thời gian - hệ số
co giãn xung quanh “lƣỡi dao” trong phổ wavelet. Do hệ số co giãn tƣơng ứng với
tần số nên “lƣỡi dao” trong phổ wavelet tƣơng ứng với tần số phụ thuộc thời gian
của tín hiệu dao động hay còn gọi là tần số tức thời (IF). Do đó, tần số tức thời của
tín hiệu có thể đƣợc quan sát bằng cách quan sát sự thay đổi của “lƣỡi dao” trong
phổ wavelet.
Để thuận tiện trong việc diễn giải tần số tức thời theo quan niệm thông
thƣờng, mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn sẽ đƣợc biến đổi sang mặt phẳng thời
gian - tần số thông qua tựa tần số nhƣ sau:
.ca
FF
a
(3.17)
Ở đây a là hệ số co giãn, là chu kỳ lấy mẫu, cF là tần số trung tâm của
hàm wavelet tính bằng Hz, aF là tựa tần số tƣơng ứng với hệ số co giãn a, tính bằng
Hz.
Nhƣ vậy, để quan sát sự biến đổi của tần số tức thời của cầu trong quá trình
động đất, phổ năng lƣợng wavelet ,S a b , mà nó chính là độ đo sự thay đổi tại mỗi
thời điểm tại mỗi hệ số co gian sẽ đƣợc sử dụng luận án này. Sử dụng phổ wavelet
để theo dõi sự thay đổi của tần số tức thời (IF) thì sự thay đổi đột ngột của tần số
khi có vết nứt đột ngột sinh ra do tác động của động đất sẽ đƣợc phát hiện.
56
Sơ đồ thuật toán để trích ra đƣợc tần số tức thời IF đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
3.1.3. Các hàm wavelet
Các loại tín hiệu khác nhau có thể đƣợc phân tích hiệu quả bởi các hàm
wavelet khác nhau. Nhiều hàm wavelet đã đƣợc xây dựng sẵn, trong số những hàm
này, một số hàm wavelet đã đƣợc chứng minh là có thể áp dụng trong thực tế. Phần
này sẽ giới thiệu ngắn gọn về một số hàm wavelet.
a. Hàm Haar
Hàm này không liên tục, tƣơng tự nhƣ hàm bƣớc nhảy. Hàm Haar đƣợc định
nghĩa nhƣ sau [122]:
1 khi 0 0.5
1 khi 0.5 1 .
0 khi ,0 1,
x x
x x
x x
(3.18)
Hình 3.4. Hàm Haar.
Đọc số liệu
dao động
Biến đổi wavelet
số liệu dao động Tính phổ
wavelet Quan sát tần
số tức thời IF
IF
thay đổi Không có hƣ hỏng
Có hƣ hỏng
Sai
Đúng
57
b. Hàm Daubechies
Các hàm wavelet này không có biểu thức dạng hiện, ngoại trừ hàm wavelet
Haar là trƣờng hợp đơn giản nhất của hàm wavelet Daubechies [123]. Hàm
Daubechies là các hàm không đối xứng. Các hàm này rất tốt khi biểu diễn ứng xử
đa thức trong tín hiệu. Hình 3.5 trình bày 9 hàm wavelet Daubechies.
Hình 3.5. Hàm Daubechies.
c. Hàm Symlets
Họ hàm wavelet này gần nhƣ là hàm wavelet đối xứng đƣợc đƣa ra bởi
Daubechies [123]. Hình 3.6 mô tả sáu hàm wavelet Symlet.
58
Hình 3.6. Hàm Symlet.
d. Hàm Coiflets
Các hàm wavelet Coiflets đƣợc sửa đổi từ hàm wavelet Daubechies [123].
Hình 3.7 mô tả bốn hàm wavelet Coiflets.
Hình 3.7. Hàm Coiflets.
59
e. Hàm Morlet
Hàm Morlet có biểu diễn dạng hiện nhƣ sau [123]:
21
2( ) cos(5 ).x
x Ce x
(3.19)
Hình 3.8 biểu diễn đồ thị của hàm wavelet từ phƣơng trình (3.19).
Hình 3.8. Hàm Morlet.
f. Hàm Mexican Hat
Hàm wavelet Mexican Hat là hàm tỷ lệ với hàm nhận đƣợc từ đạo hàm bậc
hai của hàm phân bố xác suất Gauss. Công thức của hàm Mexican Hat có dạng sau
[123]:
21
24 22
1 .3
x
x x e
(3.20)
Hình 3.9. Hàm Mexican Hat.
60
g. Hàm Meyer
Hàm wavelet Meyer đƣợc định nghĩa trong miền tần số nhƣ sau [123]:
1
2
122
2
3 2 4ˆ 2 sin 1 khi
2 2 3 3
3 4 8ˆ 2 cos 1 khi .
2 2 3 3
2 8ˆ 0 khi ,
3 3
j
j
e
e
(3.21)
Hình 3.10. Hàm Meyer.
Dựa vào hình dạng của các hàm wavelet này, ta có thể lựa chọn hàm wavelet
phù hợp với dạng của tín hiệu. Nếu tín hiệu có hình dạng phức tạp, hoặc một số chi
tiết trong tín hiệu bị ẩn đi, khi đó nên thử tất cả các hàm wavelet từ đó chọn ra hàm
wavelet cho kết quả tốt nhất.
3.2. Phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử trong miền tần số
Ta xét ma trận độ cứng của phần tử thứ i để làm rõ khái niệm “phân bố chỉ số
độ cứng phần tử”:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
.K
i i i i
i i i i
i
e i i i i
i i i i
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
(3.22)
Ma trận độ cứng tổng thể có dạng:
61
1 1 1 1
11 12 13 14
1 1 1 1
21 22 23 24
1 1 1 2 1 2 2 2
31 32 33 11 34 12 13 14
1 1 1 2 1 2 2 2
41 42 43 21 44 22 23 24
2 2 2 3 2 3 3 3
31 32 33 11 34 12 13 14
2 2 2 3 2 3
41 42 43 21 44 22 23
0 0
0 0
( ) ( ) 0 0
( ) ( ) 0 0
0 0 ( ) ( ) 0 0
0 0 ( ) ( )
K
k k k k
k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k
3 3
24
3 3 3 4 3 4 4 4
31 32 33 11 34 12 13 14
3 3 3 4 3 4 4 4
41 42 43 21 44 22 23 24
1 1 1 1
31 32 33 11 34 12 13 14
1 1 1 1
41 42 43 21 44 22 23 24
0 0
0 0 ( ) ( ) 0 0
0 0 ( ) ( ) 0 0
0 0 ( ) ( ) 0
0 0 ( ) ( ) 0
0 0
i i i i i i i i
i i i i i i i i
k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
1 1
31 32 33 11 34 12
1 1
41 42 43 21 44 22
.
( ) ( )
0 0 ( ) ( )
i i i i i i
i i i i i i
k k k k k k
k k k k k k
(3.23)
Phƣơng trình (3.23) ta thấy ma trận con i
eK có dạng:
1 1
33 11 34 12 13 14
1 1
43 21 44 22 23 24
1 1
31 32 33 11 34 12
1 1
41 42 43 21 44 22
( ) ( )
( ) ( ).
( ) ( )
( ) ( )
K
i i i i i i
i i i i i i
i
e i i i i i i
i i i i i i
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k
(3.24)
Ma trận độ cứng tổng thể đƣợc thiết lập từ ma trận độ cứng của phần tử thứ i
với một số thành phần bổ sung của ma trận độ cứng của phần tử thứ ( 1)i và ( 1)i .
Từ đó, ma trận con K i
e đƣợc sử dụng để mô tả độ cứng của phần tử thứ i đối
với bài toán phát hiện vết nứt. Thật vậy, từ phƣơng trình (3.24) ta thấy khi phần tử
thứ i xuất hiện vết nứt, chỉ có ba ma trận 1K
i
e
, K i
e , 1K
i
e
bị thay đổi.
Do đó, ma trận K i
e phản ánh tính chất về độ cứng địa phƣơng. Nhƣ vậy, sự
thay đổi về dạng của ma trận con K i
e có thể đƣợc dùng nhƣ một chỉ số của hƣ hỏng
tại phần tử thứ i.
62
Từ ma trận độ cứng tổng thể, để phát hiện thay đổi về dạng của ma trận con
Ki
e ta định nghĩa phân bố chỉ số độ cứng phần tử nhƣ sau:
1 2
1, ,..., , 1.. ,
maxQ
ii
i Q
(3.25)
ở đó 2maxK K K
i i T i
i e j e ej
là chỉ số độ cứng phần tử thứ i; Q là
số phần tử hữu hạn. Khi vết nứt xuất hiện tại phần tử thứ i, phân bố chỉ số độ cứng
phần tử sẽ thay đổi ở phần tử thứ i.
Nếu ma trận độ cứng tổng thể có thể xây dựng lại từ số liệu đo đạc, thì dựa
vào phân bố chỉ số độ cứng phần tử (3.25) có thể phát hiện đƣợc vết nứt trên kết cấu.
Từ phƣơng trình dao động của kết cấu:
( ) ( ) ( ) ( ).Ky f My Cyt t t t (3.26)
Biến đổi Fourier hai vế phƣơng trình (3.26) thu đƣợc:
( ) ( ) ( ) ( ).2KY F MY CYi (3.27)
Nếu biết các ma trận ( ), ( )F Y , M, C, thì ma trận K có thể đƣợc xây dựng
lại theo công thức (3.27). Tuy nhiên, dữ liệu phải đo đạc đồng thời là rất nhiều. Để
khắc phục điều này, thì phƣơng pháp hàm đáp ứng tần số (FRFs) đƣợc sử dụng.
Thật vậy, giả sử chỉ có lực ngoài với biên độ không đổi tác dụng lên bậc tự
do thứ k cố định và tín hiệu chuyển vị đƣợc đo liên tục tại mỗi bậc tự do, hàm đáp
ứng tần số tƣơng ứng với bậc tự do thứ i có dạng:
,i
i
k
YH
F
(3.28)
ở đó ( )iY là thành phần thứ i của véc tơ Y; ( )k
F là thành phần thứ k của
véc tơ ( )F , từ phƣơng trình(3.28) ta có:
.i i kY H F (3.29)
Do đó, véc tơ Y có dạng:
63
,Y Hk kF (3.30)
ở đó 1 2, , ,HT
k nH H H là véc tơ của hàm đáp ứng tần số , thu đƣợc
từ lực ngoài tác động lên bậc tự do thứ k cố định với các tín hiệu đáp ứng đo đƣợc
tại mọi bậc tự do. Hàm đáp ứng tần số có thể đƣợc đo bằng thiết bị rung động một
đầu vào – một đầu ra.
Thay phƣơng trình (3.30) vào phƣơng trình (3.27), thu đƣợc:
( ) ( ) ( ) ( ) .2KH F MH CHk k kF F i F (3.31)
Chia hai vế (3.31) cho ( )kF thu đƣợc:
( )( ) ( ) ( ).2F
KH MH CHk
iF
(3.32)
Vì chỉ có thành phần thứ k của lực ngoài khác không, thành phần đầu tiên ở
vế phải phƣơng trình (3.32) là véc tơ hằng số với thành phần thứ k bằng một, và các
thành phần khác bằng không. Ký hiệu véc tơ hằng số này là L, phƣơng trình (3.32)
có dạng:
( ) ( ) ( ).2KH L MH CHi (3.33)
Trong thực tế phép quay rất khó đo đạc. Tuy nhiên, do phép quay là đạo hàm
của phép tịnh tiến:
( )
( ) ,tr
y ty t
x
(3.34)
ở đó r và t ký hiệu phép quay và phép tịnh tiến, trong phân tích phần tử hữu
hạn thì phép quay tại nút đƣợc xấp xỉ bằng phép tịnh tiến tại hai nút kề nhau nhƣ
sau:
, 1 ,
,
( ) ( )( ) ,
t i t i
r i
y t y ty t
x
(3.35)
ở đó , ( )r iy t là góc quay tại nút thứ i; , ( )t iy t và , 1( )t iy t là tịnh tiến của các nút
thứ i và (i+1). Biến đổi Fourier hai vế của phƣơng trình (3.35) thu đƣợc:
64
, 1 ,
,
( ) ( )( ) .
t i t i
r i
Y YY
x
(3.36)
Thay phƣơng trình (3.29) vào phƣơng trình (3.36), thu đƣợc:
, 1 ,
,
( ) ( )( ) ,
t i t i
r i k k
H HH F F
x
(3.37)
hay:
, 1 ,
,
( ) ( )( ) .
t i t i
r i
H HH
x
(3.38)
Do đó, chỉ cần đo đạc hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép tịnh tiến, hàm
đáp ứng tần số tƣơng ứng với phép quay đƣợc tính từ phƣơng trình (3.38) từ đó thu
đƣợc toàn bộ véc tơ H. Véc tơ H không phụ thuộc vào lực và chuyển vị, mà chỉ phụ
thuộc vào tính chất của dầm.
Nếu biết các ma trận H, M, C, thì ma trận K sẽ đƣợc tính từ phƣơng trình
(3.33) khi chia hai vế của phƣơng trình này cho ma trận H. Giả sử các vết nứt
không làm ảnh hƣởng đến ma trận khối lƣợng, khi đó ma trận phần tử hữu hạn M
của dầm nguyên vẹn đƣợc xem là dữ liệu chính xác. Tuy nhiên, thực tế ma trận C
không thể đo đạc đƣợc, ma trận này đƣợc tính xấp xỉ từ ma trận M và K của dầm
nguyên vẹn theo phƣơng trình (2.45).
Do đó, khi xuất hiện vết nứt và vị trí vết nứt chƣa biết, thì ma trận K tính từ
phƣơng trình (3.33) sẽ không chính xác. Để khắc phục điều này, các thành phần của
ma trận độ cứng từ mỗi hàng đƣợc tính riêng biệt từ phƣơng trình (3.33). Thành
phần trên mỗi hàng của ma trận độ cứng tƣơng ứng với phần tử nguyên vẹn đƣợc
tính chính xác, vì các thành phần này đƣợc tính từ các thành phần của ma trận M, C
thu đƣợc từ dầm nguyên vẹn. Chỉ có duy nhất thành phần của ma trận độ cứng trên
các hàng tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt sẽ không đƣợc tính chính xác. Điều
này sẽ dẫn đến sự thay đổi của phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Các thành phần của
ma trận độ cứng trên mỗi hàng đƣợc tính từng bƣớc từ phƣơng trình (3.33) nhƣ sau.
Trƣớc tiên, phân tích các thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K. Từ
phƣơng trình (3.23), nhận thấy bốn thành phần đầu tiên nằm trên hàng là khác
65
không, do đó bốn phƣơng trình độc lập này phải đƣợc tính toán. Sử dụng các đáp
ứng động lực học tại bốn tần số 1 2 3 4, , , , thay vào phƣơng trình (3.33) thu
đƣợc:
2 2
11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 1 1 1 11 1 1 1 12 2 1
2 2
1 13 3 1 1 14 4 1 1 11 1 1 1 12 2 1 1 13 3 1 1 14 4 1
11 1 2 12 2 2 13 3 2 14 4 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k H k H k H k H L m H m H
m H m H i c H i c H i c H i c H
k H k H k H k H L
2 2
11 1 2 2 12 2 2
2 2
2 13 3 2 2 14 4 2 2 11 1 2 2 12 2 2 2 13 3 2 2 14 4 2
2 2
11 1 3 12 2 3 13 3 3 14 4 3 1 3 3 11 1 3 3 12 2 3
2 2
3 13 3 3 3 14 4 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
m H m H
m H m H i c H i c H i c H i c H
k H k H k H k H L m H m H
m H m H
3 11 1 3 3 12 2 3 3 13 3 3 3 14 4 3
2 2
11 1 4 12 2 4 13 3 4 14 4 4 1 4 4 11 1 4 4 12 2 4
2 2
4 13 3 4 4 14 4 4 4 11 1 4 4 12 2 4 4 13 3 4 4 14 4
) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i c H i c H i c H i c H
k H k H k H k H L m H m H
m H m H i c H i c H i c H i c H
4( ),
(3.39)
ở đó , , , ( ), ( )ij ij ij i j i jk m c L H là các thành phần của ma trận K, M, C, L, H.
Ký hiệu:
1 1 2 1 3 1 4 1
1 2 2 2 3 2 4 2
1
1 3 2 3 3 3 4 3
1 4 2 4 3 4 4 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A
H H H H
H H H H
H H H H
H H H H
(3.40)
11 12 13 14ˆ ,
1K
Tk k k k (3.41)
4 42
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
4 42
1 2 2 1 2 2 1 2
1 1
1 4 42
1 3 3 1 3 3 1 3
1 1
4 42
1 4 4 1 4 4 1 4
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
B
j j j j
j j
j j j j
j j
j j j j
j j
j j j j
j j
L m H i c H
L m H i c H
L m H i c H
L m H i c H
(3.42)
phƣơng trình (3.39) có dạng:
1 1 1ˆ ,A K B (3.43)
hay:
66
1
1 1 1ˆ ,K A B
(3.44)
Bốn thành phần trên hàng đầu tiên của ma trận K thu đƣợc bằng cách thay
phần thực của 1A và 1B vào phƣơng trình (3.44):
1
1 1 1ˆ .K A Breal real
(3.45)
Tiếp theo, thành phần trên hàng thứ hai của ma trận K đƣợc tính tƣơng tự
nhƣ hàng đầu tiên.
Tuy nhiên, trên các hàng tiếp theo có sáu thành phần, do đó phƣơng trình
tổng quát để xác định thành phần của hàng thứ i có dạng:
1ˆ ,K A Bi i ireal real (3.46)
ở đó:
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3
4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4
5 1 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
A
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
i
n n n n n n
n n
H H H H H H
H H H H H H
H H H H H H
H H H H H H
H H
2 5 3 5 4 5 5 5
6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6
,
) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
n n n n n n
H H H H
H H H H H H
(3.47)
, , 1 , 2 , 3 , 4 , 5ˆ ,K
T
i i n i n i n i n i n i nk k k k k k (3.48)
67
6 62
1 1 1 1 1
6 62
2 2 2 2 2
6 62
3 3 3 3 3
6 62
4 4 4 4 4
2
5 5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
B
n n
i ij j ij j
j n j n
k n
i ij j ij j
j n j n
k n
i ij j ij j
j n j n
i k n
i ij j ij j
j n j n
i ij
I t m H i c H
I t m H i c H
I t m H i c H
I t m H i c H
I t m
6 6
5 5 5
6 62
6 6 6 6 6
,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k n
j ij j
j n j n
k n
i ij j ij j
j n j n
H i c H
I t m H i c H
(3.49)
n là chỉ số cột của thành phần khác không đầu tiên trên hàng thứ i.
Trên hai hàng cuối của ma trận K, chỉ có bốn thành phần khác không. Do đó,
các thành phần này đƣợc tính toán tƣơng tự nhƣ đối với hai hàng đầu tiên.
Chú ý, số lƣợng các thành phần khác không của ma trận K trên hai hàng đầu
tiên và hai hàng cuối cùng phụ thuộc vào điều kiện biên của dầm. Do đó, số phƣơng
trình để xác định các thành phần của ma trận K trên hai hàng đầu và hai hàng cuối
sẽ phụ thuộc vào điều kiện biên.
Bằng phƣơng pháp này, các thành phần trên hàng tƣơng ứng với phần tử
nguyên vẹn sẽ đƣợc xây dựng chính xác, vì các thành phần của ma trận C đƣợc tính
từ dầm còn nguyên vẹn. Khi các thành phần độ cứng trên các hàng tƣơng ứng với
phần tử chứa vết nứt đƣợc xây dựng lại thì thành phần giống nhau của ma trận C
không tƣơng ứng với phần tử chứa vết nứt, dẫn đến sự sai khác giữa các thành phần
đƣợc xây dựng lại của ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt.
Do đó, sẽ xuất hiện sự thay đổi trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Tuy
nhiên, nếu phần tử thứ i chứa vết nứt, sự thay đổi thêm này chỉ ảnh hƣởng đến ba
ma trận con 1K
i
e
, K i
e , 1K
i
e
, trong đó ma trận con K i
e bị ảnh hƣởng nhiều nhất.
Nhƣ vậy, nhận định rằng có sự thay đổi lớn trong sự phân bố chỉ số độ cứng
phần tử tại phần tử chứa vết nứt.
68
a. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Khi các tín hiệu đo đƣợc bị nhiễu, ma trận A và B trong phƣơng trình (3.45)
và (3.46) sẽ chứa các sai số, do đó sẽ đƣa đến những phƣơng trình của bài toán đặt
không chỉnh. Bài toán này rất nhạy cảm khi thay đổi dữ liệu đo đạc, kể cả khi xuất
hiện sai số nhỏ cũng có thể làm sai lệch hẳn kết quả tính toán. Do đó, phƣơng pháp
hiệu chỉnh Tikhonov [124] đƣợc sử dụng để giải quyết bài toán này.
Chú ý rằng, nhiễu trong phƣơng trình (3.45) và (3.46) chủ yếu có từ hàm đáp
ứng tần số H. Do đó, vấn đề quan trọng là phải lọc đƣợc nhiễu của ma trận H trƣớc
khi áp dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tính toán ma trận H tại mỗi tần số,
véc tơ H trở thành ma trận để mỗi hàng tƣơng ứng với một hàm đáp ứng tần số tại
một bậc tự do. Phƣơng pháp phân tích giá trị kỳ dị rút gọn (TSVD) đƣợc áp dụng
làm giảm nhiễu trong ma trận H. Các ma trận U, S, V đƣợc phân tích từ ma trận H:
.H USVT (3.50)
Điều quan trọng của phƣơng pháp SVD (phân tích giá trị kỳ dị) là ở chính
các giá trị kỳ dị. Đối với bài toán đặt không chỉnh rời rạc, các giá trị kỳ dị của ma
trận H dần tới không. Giá trị kỳ dị lớn nhất tƣơng ứng với thành phần trơn của ma
trận H, trong khi giá trị kỳ dị nhỏ hơn tƣơng ứng với nhiễu của ma trận H. Do đó,
để lọc ra nhiễu thì các giá trị kỳ dị dƣơng nhỏ đƣợc đặt bằng không [125]:
khi
,0 khi
i
i
i
i
(3.51)
ở đó i là giá trị kỳ dị của ma trận S. đƣợc chọn sao cho 1 . Ma
trận H đƣợc xây dựng lại từ phƣơng trình (3.50).
Sau khi lọc nhiễu từ ma trận H, các thành phần quay của ma trận H đƣợc tính
từ phƣơng trình (3.38) và áp dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải phƣơng
trình (3.45), (3.46). Phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải bài toán sau:
22
min ,Ax B L xnx
(3.52)
69
ở đó ,m nL m n
gọi là ma trận hiệu chỉnh; m và n là số chiều của ma
trận A; trong phƣơng trình (3.45) và (3.46) thì m n ; 0 là tham số hiệu chỉnh.
Phƣơng pháp Tikhonov đặt L I , ở đó I là ma trận đơn vị. Do đó dẫn đến bài
toán cực tiểu sau:
2 22min .Ax B xnx
(3.53)
0 nhằm đảm bảo ma trận 2A A I
T là khả nghịch. Nghiệm giải tích
của phƣơng trình (3.53) có dạng:
1
2 .x A A I A BT T
(3.54)
Khi phân tích giá trị riêng kỳ dị (SVD) của ma trận A , A USVT , véc tơ
nghiệm x có dạng:
1
2 .x V S S I S U BT T T
(3.55)
Trƣớc tiên xác định e của sai số trong ma trận B từ giá trị mô phỏng
x và giá trị đo đạc x , từ đó xác định theo công thức:
,A Bx (3.56)
ở đó 1 là hằng số đƣợc xác định không phụ thuộc vào . Khi 1 tức
là tìm đƣợc tham số chính xác, trƣờng hợp này không bao giờ xảy ra trong thực
tế vì nhiễu đo đạc là ngẫu nhiên. Khi 1 dẫn đến việc xác định không chính xác
tham số . Do đó tham số đƣợc tính theo công thức sau:
22
2 2 2
2 21
1 .n
j
j
j j
b
(3.57)
b. Thuật toán phát hiện vị trí vết nứt bằng phương pháp phân bố ma trận độ
cứng phần tử
Bƣớc 1: Tính ma trận tổng thể M, K, C của dầm nguyên vẹn bằng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn.
70
Bƣớc 2: Giải phƣơng trình dao động (2.37) khi lực kích động tác động dọc
theo dầm để thu đƣợc các thành phần của hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với
phép tịnh tiến của dầm.
Bƣớc 3: Lọc bỏ nhiễu từ thành phần của hàm đáp ứng tần số đo đạc tƣơng
ứng với phép tịnh tiến, sử dụng phƣơng trình (3.50), (3.51).
Bƣớc 4: Tính toán các thành phần của hàm đáp ứng tần số tƣơng ứng với
phép quay từ hàm đáp ứng tần số đo đạc (3.38).
Bƣớc 5: Xây dựng ma trận H từ các thành phần quay và tịnh tiến của hàm
đáp ứng tần số từ bƣớc 2, bƣớc 3 và bƣớc 4.
Bƣớc 6: Sử dụng phƣơng pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải phƣơng trình
(3.45), (3.46), (3.55), ma trận độ cứng tổng thể K đƣợc xây dựng lại.
Bƣớc 7: Xây dựng phân bố chỉ số độ cứng phần tử, sử dụng phƣơng trình
(3.24), (3.25).
Bƣớc 8: Kiểm tra các đỉnh quan trọng trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử,
nhằm phát hiện vị trí và độ sâu vết nứt.
3.3. Kết luận
Chƣơng này đã trình bày cơ sở lý thuyết của phép biến đổi wavelet. Phép
biến đổi này sẽ biến đổi tín hiệu sang miền tần số trong khi thông tin về thời gian
vẫn đƣợc giữ lại.
Bình phƣơng của mô đun hệ số wavelet hay phổ năng lƣợng wavelet có thể
diễn giải nhƣ là phân bố mật độ năng lƣợng trên mặt phẳng thời gian - hệ số co giãn.
Năng lƣợng của một tín hiệu đƣợc tập trung trên mặt phẳng thời gian - hệ số
xung quanh “lƣỡi dao” trong phổ wavelet. “Lƣỡi dao” trong phổ wavelet tƣơng ứng
với tần số phụ thuộc thời gian của tín hiệu dao động hay còn gọi là tần số tức thời.
Do đó, khi “lƣỡi dao” trong phổ wavelet thay đổi thì ta có thể dự đoán có sự
thay đổi về tần số hay có sự xuất hiện của vết nứt trong kết cấu. Thời điểm “lƣỡi
dao” thay đổi chính là thời điểm xuất hiện của vết nứt.
Đồng thời, chƣơng này đã trình bày cơ sở lý thuyết cho một phƣơng pháp
mới nhằm phát hiện vết nứt dựa trên phân bố chỉ số ma trận độ cứng phần tử. Trong
71
phƣơng pháp này, ma trận độ cứng của kết cấu đƣợc tính trực tiếp từ số liệu dao
động của kết cấu nhằm giảm thiểu sai số khi tính ma trận độ cứng thông qua các
dạng dao động riêng vì việc đo đạc các dạng dao động riêng là rất phức tạp.
Hơn nữa, chỉ có thể đo đƣợc một vài dạng dao động riêng cơ bản trong thực
tế. Ngoài ra, để xử lý nhiễu đo đạc, trong chƣơng này đã trình bày một phƣơng pháp
lọc nhiễu Hasen và xử lý bài toán không chỉnh bằng phƣơng pháp Tikhonov.
Nhƣ vậy, chƣơng này đã trình bày cơ sở của phƣơng pháp xử lý tín hiệu sẽ
đƣợc ứng dụng trong luận án nhằm phát hiện vết nứt trong kết cấu.
Chƣơng tiếp theo sẽ trình bày ba bài toán phát hiện vết nứt trong đó hai bài
toán phát hiện vết nứt dựa trên phƣơng pháp wavelet và một bài toán phát hiện vết
nứt dựa trên phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử.
72
CHƢƠNG 4. ỨNG DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP XỬ LÝ TÍN HIỆU DAO
ĐỘNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CHẨN ĐOÁN KỸ THUẬT
Sau khi đã trình bày cơ sở lý thuyết về phân tích động lực học kết cấu có vết
nứt và các phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động hiện đại ở chƣơng 2 và chƣơng 3;
chƣơng 4 sẽ ứng dụng phƣơng pháp này để giải quyết ba bài toán chẩn đoán kỹ
thuật.
Bài toán thứ nhất: phát hiện vết nứt của kết cấu dầm xảy ra trong quá trình
động đất bằng phƣơng pháp phân tích phổ wavelet. Trong bài toán này, vết nứt và
thời điểm xảy ra vết nứt đƣợc phát hiện từ phân tích phổ wavelet.
Bài toán thứ hai: phát hiện vết nứt của dầm kép mang khối lƣợng tập trung
bằng phƣơng pháp phân tích wavelet. Trong bài toán này, sự ảnh hƣởng đồng thời
của khối lƣợng tập trung và vết nứt gây nên sự thay đổi bất thƣờng của tần số khi
khối lƣợng tập trung đặt tại vị trí vết nứt và đây sẽ là dấu hiệu để phát hiện vết nứt
cũng nhƣ vị trí của nó.
Bài toán thứ ba: phát hiện vết nứt của kết cấu bằng phƣơng pháp phân bố chỉ
số độ cứng phần tử. Trong bài toán này, phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần
tử đƣợc phát triển dựa trực tiếp vào tín hiệu đo dao động nhằm khắc phục sai số khi
sử dụng dạng riêng đo, từ đó tính toán ma trận độ cứng của kết cấu. Sự xuất hiện vết
nứt cũng nhƣ vị trí vết nứt đƣợc phát hiện bởi sự thay đổi đột ngột của chỉ số độ
cứng phần tử có vết nứt.
4.1. Bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu dầm xảy ra trong quá trình động
đất bằng phƣơng pháp phân tích phổ wavelet
4.1.1. Dao động của dầm có vết nứt dưới tác động của động đất
Ta xét một dầm Euler–Bernoulli, chịu kích động tại mặt đất, giả sử kích động
này là hàm điều hòa dg(hình 4.1). Bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, ta chia dầm
thành Q phần tử. Sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, khi đó phƣơng trình
chuyển động của dầm có dạng [126]:
.Md Cd Kd MIdr r r g (4.1)
73
M, C, K là khối lƣợng của dầm, ma trận cản, và ma trận độ cứng; I là véc tơ
đơn vị; dr là véc tơ dầm biểu diễn chuyển vị tƣơng đối của nút đối với mặt đất.
Trong thực tế, gia tốc tuyệt đối hay chuyển vị tuyệt đối của kết cấu có thể đo
đạc bằng thực nghiệm. Véc tơ chuyển vị tuyệt đối của dầm là d, quan hệ giữa
chuyển vị tƣơng đối và chuyển vị tuyệt đối đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
.d d Ir gd (4.2)
Do đó, từ phƣơng trình (4.1), (4.2) ta thu đƣợc phƣơng trình chuyển động
của dầm:
) 0,M(d I C(d I ) K(d I )r g g gd d d (4.3)
hay:
.Md Cd Kd CI KIg gd d (4.4)
Hình 4.1. Mô hình của dầm nguyên vẹn.
Hình 4.2. Mô hình dầm chứa vết nứt.
Khi có vết nứt thì các ma trận M, C, và K tổng thể của kết cấu có vết nứt sẽ
đƣợc ứng dụng nhƣ đã trình bày trong mục 2.2 của chƣơng 2. Thay các ma trận
tổng thể này vào phƣơng trình (4.4) và giải bằng phƣơng pháp Newmark sẽ thu
đƣợc đáp ứng động lực học của dầm.
74
4.1.2. Phát hiện vết nứt xảy ra đột ngột bằng phân tích phổ wavelet từ tín hiệu mô
phỏng số
Để kiểm tra tính đúng đắn của chƣơng trình, tác giả so sánh kết quả tính toán
tần số riêng của dầm công xôn chứa vết nứt trong luận án với kết quả đã đƣợc công
bố trong tài liệu [9], tài liệu này sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn cho dầm
Bernoulli nên đƣợc sử dụng để kiểm chứng kết quả của luận án vì luận án cũng sử
dụng lý thuyết dầm Bernoulli. Các tham số của dầm nhƣ sau: mật độ khối lƣợng
7860 kg/m3, mô đun đàn hồi E = 2.1x10
11 N/m
2, chiều dài kết cấu L = 0.5m, chiều
rộng b = 0.02m, chiều cao h = 0.02m. Dầm chứa hai vết nứt có độ sâu 10% độ cao
của dầm tại vị trí 0.2L và 0.6L.
Bảng 4.1. Tần số tự nhiên của dầm chứa hai vết nứt.
Tần số tự nhiên (rad/s) Theo tài liệu [9] Theo tính toán Sai số (%)
1 417.6436 417.9211 0.066
2 2619.704 2621.111 0.054
3 7337.863 7336.003 0.025
4 14370.04 14378.68 0.060
Bảng 4.1 cho thấy kết quả chƣơng trình xây dựng trong luận án và kết quả đã
đƣợc công bố là tƣơng đồng, sai số lớn nhất 0.066%. Nhƣ vậy, chƣơng trình máy
tính là đáng tin cậy để tính toán các tham số động lực học của dầm chứa vết nứt
trong luận án này.
Tiếp theo, sử dụng chƣơng trình đã xây dựng để mô phỏng số cho một kết
cấu cầu dạng dầm chịu kích động của một trận động đất. Kích động này đƣợc giả sử
là một quá trình điều hòa. Để phù hợp với mô hình kết cấu cầu dạng dầm sẽ đƣợc
chế tạo làm thí nghiệm kiểm chứng, các tham số của cầu dạng dầm đƣợc chọn nhƣ
sau: mật độ khối lƣợng 7855 kg/m3, mô đun đàn hồi E = 2.1x10
11 N/m
2, chiều dài
kết cấu L = 1.2m, chiều rộng b = 0.06m, chiều cao h = 0.01m. Tỷ số cản modal đối
với tất cả các mode: 0.01.
Giả sử trong nửa khoảng thời gian đầu kích động, kết cấu hoàn toàn nguyên
vẹn, trong nửa thời gian sau vết nứt xuất hiện tại vị trí 2c
L L . Khoảng thời gian
kích động T = 16s. Hàm kích động tại mặt đất có phƣơng trình 0.05sin 35F t .
75
Bằng tính toán tác giả nhận thấy dầm chủ yếu dao động với tần số tự nhiên đầu tiên
17.8 Hz.
Trong thực tế, tín hiệu gia tốc dễ dàng đo đạc đƣợc, nên tác giả sử dụng tín
hiệu này nhằm mục đích phát hiện vết nứt. Hệ số wavelet thƣờng đƣợc sử dụng để
phát hiện sự thay đổi nhỏ, mang tính chất địa phƣơng của tín hiệu.
Tuy nhiên, tín hiệu gia tốc của cầu dƣới tác động của động đất cũng có thể có
những thay đổi địa phƣơng mà có thể lớn hơn nhiều so với sự thay đổi do vết nứt
gây ra. Trong khi đó sự thay đổi của tần số riêng của cầu đƣợc trình bày trong
nghiên cứu này chỉ phụ thuộc vào sự xuất hiện của vết nứt mà không phụ thuộc vào
kích động của ngoại lực.
Do đó trong mô phỏng này sử dụng phép biến đổi wavelet liên tục và phổ
năng lƣợng wavelet, từ đó tần số tức thời IF đƣợc lấy ra từ phần chính của phổ năng
lƣợng wavelet để theo dõi thời điểm xuất hiện vết nứt. Sau khi thử một số hàm
wavelet khác nhau, thì ta thấy hàm wavelet “Symlet” là thích hợp nhất cho việc xử
lý tín hiệu.
Đầu tiên, tín hiệu gia tốc theo phƣơng thẳng đứng đƣợc sử dụng để tính phổ
wavelet, sau đó tần số tức thời IF sẽ đƣợc trích xuất ra từ những đƣờng sắc cạnh
chính trong phổ wavelet này. Thực hiện mô phỏng số cho năm trƣờng hợp của vết
nứt với độ sâu từ 0% đến 50% (chiều rộng của dầm).
Khi độ sâu vết nứt bằng 0% thì tần số IF bằng 17.8 Hz, tƣơng ứng với tần số
thứ nhất của dầm nguyên vẹn, trong suốt quá trình kích động.
Tại thời điểm 2t T có một vết nứt nhỏ 10% (chiều rộng dầm) xuất hiện.
Khi đó ta thấy tần số tức thời IF của dầm giảm dần trong nửa khoảng thời gian kích
động sau, tại thời điểm chính xác 2t T (hình 4.3). Điều này có thể đƣợc giải
thích rằng trong nửa đầu của thời gian kích động thì dầm không bị nứt, và dao động
ở tần số chính 17.8 Hz, trong nửa khoảng thời gian thứ hai, dầm bị nứt dẫn đến việc
giảm tần số chính.
Khi tăng độ sâu vết nứt, trong nửa thời gian đầu của kích động, tần số tức
thời IF vẫn nằm trong dải tần số trung tâm khoảng 17.8 Hz, tƣơng ứng với trƣờng
76
hợp dầm nguyên vẹn. Trong nửa thời gian tiếp theo tần số tức thời giảm dần. Nhƣ
vậy, thời điểm xuất hiện vết nứt đột ngột chính là thời điểm mà tại đó tần số IF bắt
đầu suy giảm. Mức độ thay đổi tần số tức thời IF mô tả độ sâu của vết nứt.
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.3. Tần số tức thời của dầm.
a) Độ sâu vết nứt 10%; b) Độ sâu vết nứt 20%; c) Độ sâu vết nứt 30%;
d) Độ sâu vết nứt 40%; e) Độ sâu vết nứt 50%.
77
Để ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt, ta gọi df là sự chênh lệch của tần số thức thời
IF trong nửa thời gian kích động ban đầu và nửa thời gian sau.
Nhƣ vậy, df sẽ tăng khi độ sâu vết nứt tăng. Sự chênh lệch df đƣợc xem là hệ
số hƣ hỏng liên quan giữa độ sâu vết nứt và sự thay đổi tần số tức thời IF. Xây dựng
đồ thị liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt (hình 4.4), từ đồ thị này ta có thể thấy df và
độ sâu vết nứt liên hệ với nhau bởi hàm bậc hai. Do đó, sử dụng đồ thị này có thể
ƣớc lƣợng đƣợc độ sâu vết nứt khi biết đƣợc sự chênh lệch df.
Hình 4.4. Mối liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt.
4.1.3. Kết luận
Bài toàn này đã đƣa ra phƣơng pháp phổ năng lƣợng wavelet, từ đó trích ra
tần số tức thời IF nhằm giám sát sự xuất hiện của vết nứt trong quá trình kết cấu
chịu kích động từ bên ngoài.
Sự tồn tại của vết nứt đƣợc khẳng định bởi sự suy giảm tần số tức thời IF
trong quá trình kết cấu chịu kích động. Thời điểm xuất hiện vết nứt chính là thời
điểm mà tần số tức thời IF bắt đầu suy giảm.
Khi độ sâu vết nứt tăng, thì sự thay đổi tần số tức thời df cũng tăng. Do đó,
độ sâu của vết nứt có thể đƣợc ƣớc lƣợng bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa sự
thay đổi tần số tức thời df và độ sâu vết nứt. Ƣu điểm của phƣơng pháp này là
không cần bất kỳ thông tin nào về kết cấu khi còn nguyên vẹn do sự thay đổi của
tần số tức thời có thể phát hiện trực tiếp từ tín hiệu đo dao động.
y = 0.8643x2 - 0.2036x + 0.0452
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
df
Crack depth
78
Phƣơng pháp này có thể giám sát độ sâu vết nứt nhỏ tới 10% chiều rộng dầm,
trong khi các phƣơng pháp tần số thông thƣờng khác chỉ có thể phát hiện các vết
nứt với độ sâu lớn hơn 40% chiều rộng dầm. Tuy nhiên phƣơng pháp này không xác
định đƣợc vị trí của vết nứt.
4.2. Bài toán phát hiện vết nứt của dầm kép mang khối lƣợng tập trung bằng
phƣơng pháp phân tích wavelet
Mô hình phần tử hữu hạn của hệ dầm kép bao gồm hai dầm Euler-Bernoulli
khác nhau, với mặt cắt hình chữ nhật, đƣợc liên kết bởi môi trƣờng đàn hồi Winkler
có mô đun độ cứng mk trên một đơn vị chiều dài (hình 4.5). Chiều dài của hệ dầm
là L. Dầm chính và dầm phụ đều đƣợc chia thành Q phần tử, độ dài mỗi phần tử là l.
Dầm chính chịu tải trọng là một khối lƣợng tập trung m đặt tại vị trí mx .
Sử dụng nguyên lý Hamilton [124], ta có phƣơng trình chuyển động của
phần tử hệ dầm kép.
Hình 4.5. Phần tử dầm kép chịu tác động của khối lƣợng tập trung.
Sử dụng hệ tọa độ địa phƣơng với gốc hệ tọa độ đặt tại vị trí chính giữa của
phần tử, phần tử đƣợc xác định từ 2l đến 2l . Năng lƣợng động học của phần tử
dầm kép mang khối lƣợng tập trung đƣợc viết dƣới dạng.
/2 /2
1 1 1 2 2 2
/2 /2
1 1( ) ,
2 2d N N d d N N d
l l
T T T T
e m e e e
l l
T m x x dx dx
(4.5)
ở đó 1 2, là mật độ vật liệu của phần tử dầm chính và phụ trên một đơn vị
chiều dài; là hàm Dirac; 1ed , 2ed là véc tơ vận tốc của phần tử dầm chính và dầm
phụ; N là hàm dạng.
Ký hiệu:
E1, I1, 1
xm
L
x E2, I2, 2
m
km
79
2 2 2
*
1 1 2 2
2 2 2
( ) ; ; .m = N N N N m N N m N N
l l l
T T T T
m e e
l l l
m x x dx m dx dx
(4.6)
Thay phƣơng trình (4.6) vào phƣơng trình (4.5) ta có:
*
1 1 1 1 1 2 2 2
1 1 1,
2 2 2d m d d m d d m d
T T T
e e e e e e e eT (4.7)
ở đó 1 2,m me e là ma trận khối lƣợng phần tử của dầm chính và dầm phụ; *m
là ma trận bổ sung của khối lƣợng tập trung. Ta có:
* *
1 1 .m m +me e (4.8)
Thay phƣơng trình (4.8) vào (4.7), thu đƣợc:
*
1 1 1 2 2 2
1 1.
2 2d m d d m d
T T
e e e e e eT (4.9)
Năng lƣợng thế của hệ thu đƣợc từ phƣơng trình:
*
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 1 1,
2 2 2d k d d k d d d k d d
T T T T
e e e e e e e e m e e (4.10)
ở đó 1 2,k ke e là ma trận độ cứng phần tử của dầm chính và dầm phụ; 1ed ,
2ed là véc tơ chuyển vị của phần tử dầm chính và dầm phụ:
2
*
2
.k N N
l
T
m m
l
k x dx
(4.11)
Phƣơng trình Lagrange có dạng: ,L T hay:
*
1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
*
1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1.
2
d m d d m d d m d d k d d k d
d d k d d
T T T T T
e e e e e e e e e e e e e e
T T
e e m e e
L
(4.12)
Áp dụng nguyên lý Hamilton ta có:
2
1
0,
t
t
Ldt (4.13)
80
với điều kiện đầu 1 20, 0d de e tại thời điểm 1 2,t t t t phƣơng trình
dao động tự do của phần tử dầm có dạng:
* *
1 1 1 1 1 2
*
2 2 2 2 1 2
,
.
m d k d k d d 0
m d k d k d d 0
e e e e m e e
e e e e m e e
(4.14)
Trong đó 1 2,d de e
là véc tơ gia tốc của phần tử dầm chính và dầm phụ; 0 là
véc tơ cột gồm bốn phần tử nhận giá trị 0.
Nhƣ vậy, phƣơng trình dao động tự do của hệ dầm kép trong hệ tọa độ tổng
thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng sau:
* *
1 1 1 1 1 2
*
2 2 2 2 1 2
,
.
M D K D K D D O
M D K D K D D O
m
m
(4.15)
Trong đó *
1M , 2M , 1K , 2K là ma trận khối lƣợng và ma trận độ cứng của
dầm chính và dầm phụ; *K m là ma trận độ cứng tổng thể của môi trƣờng đàn hồi; 1D ,
2D là véc tơ cột biểu diễn chuyển vị nút của dầm chính và dầm phụ; O là véc tơ cột
có các thành phần nhận giá trị 0, đƣợc ghép nối từ véc tơ cột 0. Phƣơng trình (4.15)
đƣợc viết lại dƣới dạng:
,MD KD O (4.16)
ở đó:
* **
11
* *
22
1 1
2 2
, ,
, , .
K K KMM= K=
K K KM
D ODD= D= O=
D OD
m m
m m
(4.17)
Trong bài toán này, ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt đƣợc sử dụng
từ mục 2.2 của chƣơng 2.
Ma trận độ cứng của dầm chứa vết nứt đƣợc ghép nối từ ma trận độ cứng của
phần tử chứa vết nứt và phần tử nguyên vẹn.
81
Vết nứt xuất hiện trên dầm chính, nên ma trận độ cứng 1K của dầm chứa vết
nứt đƣợc ghép nối từ ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt từ mục 2.2 của
chƣơng 2, và ma trận độ cứng của phần tử nguyên vẹn từ mục 2.3 của chƣơng 2.
Ma trận độ cứng tổng thể 1 2,K K đƣợc ghép nối từ phƣơng trình (4.17) để
biểu diễn ma trận độ cứng tổng thể K của hệ dầm kép chứa vết nứt. Thay ma trận K
vào phƣơng trình (4.16) và giải bài toán giá trị riêng ta sẽ thu đƣợc tần số, dạng
riêng của hệ dầm kép chứa vết nứt, chịu tải trọng của khối lƣợng tập trung.
4.2.1. Kết quả mô phỏng số
Tƣơng tự nhƣ phần trên, trƣớc hết tác giả kiểm tra tính đúng đắn của chƣơng
trình máy tính đƣợc xây dựng trong luận án này, để tính toán các đặc trƣng động lực
học của dầm có khối lƣợng tập trung.
Xét hệ dầm kép với các tham số nhƣ sau [127], [128]: E2I2 = 4x106 Nm
2, E1I1
= 2xE2I2, 2A2 = 100 kg/m, 1A1 = 2x2A2, km = 1x105 N/m
2, L = 10m.
Bảng 4.2 đƣa ra sáu tần số tự nhiên thấp nhất của hệ dầm kép không có khối
lƣợng tập trung, bằng ba phƣơng pháp khác nhau. Hình 4.6 mô tả sáu dạng riêng
đầu tiên của hệ dầm kép, bằng tính toán mô phỏng.
Từ bảng 4.2, hình 4.6 ta nhận thấy, sáu tần số riêng và dạng riêng đầu tiên
thu đƣợc từ tính toán, phù hợp với kết quả trong tài liệu [127], [128]. Đặc biệt, tần
số tự nhiên theo tính toán, trùng với tài liệu [128]. Tài liệu [127] sử dụng phƣơng
pháp giải tích Bernoulli cổ điển, tài liệu [128] sử dụng phƣơng pháp giải tích
Adomian (AMDM - Adomian Modified Decomposition Method).
Vì không có mô hình tƣơng tự của dầm kép chịu tải trọng của khối lƣợng tập
trung nhƣ trình bày trong nghiên cứu này, để kiểm tra tính đúng đắn của phƣơng
pháp, thì hệ dầm kép đƣợc giảm xuống thành dầm đơn, bằng cách loại bỏ các biến
của dầm phụ và môi trƣờng đàn hồi từ phƣơng trình (4.5) - (4.17). Kết quả mô
phỏng thu đƣợc sẽ so sánh với tài liệu [129]. Tài liệu [129] sử dụng phƣơng pháp
ma trận độ cứng động.
82
Bảng 4.3 đƣa ra năm tần số tự nhiên của hệ dầm kép công xôn chịu tải trọng
của khối lƣợng tập trung tại vị trí đầu dầm bằng hai phƣơng pháp. Bảng này cho
thấy, kết quả tính toán và kết quả trong tài liệu [129] là tƣơng đồng.
Bảng 4.2. Tần số tự nhiên của dầm kép.
Tần số tự nhiên (rad/s) Theo tài liệu [127] Theo tài liệu [128] Theo tính toán
1 19.7 19.7392 19.7392
2 43.5 43.4699 43.4699
3 79.0 78.9568 78.9568
4 87.9 87.9442 87.9442
5 177.7 177.6529 177.6529
6 181.8 181.8256 181.8256
a) Mode 1 b) Mode 2
a) Mode 3 b) Mode 4
a) Mode 5 b) Mode 6
Hình 4.6. Sáu dạng riêng đầu tiên.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
-4
-3
-2
-1
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Nor
mal
ized
am
plitu
de
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
83
Bảng 4.3. Tần số tự nhiên của dầm công xôn với khối lƣợng tập trung đặt tại đỉnh
đầu dầm.
Tỷ số khối
lƣợng m
AL
Tần số tự nhiên
không thứ nguyên 4
i i
AL
EI
Theo tài liệu [129] Theo tính toán
0
1 3.5159 3.5160
2 22.0350 22.0345
3 61.6960 61.6971
4 122.9000 120.9013
5 199.8600 199.8568
0.5
1 2.0163 2.0288
2 16.9010 17.0916
3 51.7010 52.3210
4 106.0500 107.3564
5 180.1300 182.3473
4.2.2. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến dao động tự do của hệ dầm kép
nguyên vẹn
Trong phần này sẽ thiết lập mối liên hệ và sự ảnh hƣởng giữa vị trí của khối
lƣợng tập trung và tần số tự nhiên của hệ dầm kép. Tham số đầu vào tính toán của
hệ dầm kép nhƣ trong mục 4.2.1.
Các mô phỏng trong luận án này cho thấy rằng khối lƣợng tập trung chỉ ảnh
hƣởng đến tần số tự nhiên, trong khi ảnh hƣởng của nó đối với đối với dạng riêng là
nhỏ và không thể quan sát đƣợc bằng trực quan.
Tuy nhiên, mối liên hệ giữa tần số tự nhiên và vị trí của khối lƣợng tập trung
lại liên quan đến dạng riêng. Do đó, để thiết lập mối quan hệ giữa ảnh hƣởng của
khối lƣợng tập trung đến tần số tự nhiên cũng nhƣ dạng riêng, thì dạng riêng tƣơng
ứng hệ dầm kép không có khối lƣợng tập trung đƣợc trình bày cùng với mối liên hệ
giữa tần số tự nhiên và khối lƣợng tập trung nhƣ trong hình 4.7.
Các đồ thị a1, b1, a2, b2 trong hình 4.7 cho thấy hai tần số tự nhiên đầu tiên
giảm dần khi khối lƣợng tập trung đƣợc di chuyển từ hai đầu đến chính giữa dầm,
84
trong khi đó biên độ của hai dạng riêng đầu tiên tăng dần và đạt giá trị lớn nhất tại
vị trí giữa dầm.
a1) Dạng riêng thứ nhất b1) Tần số thứ nhất và vị trí khối lƣợng
a2) Dạng riêng thứ hai b2) Tần số thứ hai và vị trí khối lƣợng
a3) Dạng riêng thứ ba b3) Tần số thứ ba và vị trí khối lƣợng
Hình 4.7. Ba dạng riêng đầu tiên, mối liên hệ giữa tần số và vị trí khối lƣợng.
Hình 4.7a3, 4.7b3 cho thấy tần số thứ ba giảm dần khi khối lƣợng tập trung
di chuyển từ hai đầu đến các vị trí khoảng 2.2m và 7.8m của dầm, trong khi đó biên
độ của dạng riêng thứ ba cũng tăng dần và đạt giá trị lớn nhất tại hai vị trí tƣơng
ứng. Tần số tự nhiên thứ ba tăng khi khối lƣợng tập trung di chuyển từ hai vị trí này
đến vị trí chính giữa của dầm, trong khi đó biên độ của dạng riêng thứ ba giảm dần
đến 0 tại vị trí chính giữa của dầm, đây chính là nút của dạng riêng dao động.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5
-4
-3
-2
-1
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 118.5
19
19.5
20
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 141
42
43
44
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-2
0
Norm
aliz
ed a
mplit
ude
x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 175
76
77
78
79
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
85
Từ kết quả này ta thấy khi khối lƣợng tập trung đặt tại vị trí biên độ lớn nhất
của dạng riêng thì tần số sẽ đạt giá trị nhỏ nhất. Ngƣợc lại, khi khối lƣợng tập trung
đặt tại nút của dạng riêng dao động, thì tần số sẽ đạt giá trị lớn nhất.
4.2.3. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung đến tần số tự nhiên của hệ dầm kép
chứa vết nứt
Từ kết quả ở phần trên ta thấy tần số tự nhiên của hệ dầm kép thay đổi theo
vị trí của khối lƣợng tập trung. Hơn nữa, khi xuất hiện vết nứt, thì tần số tự nhiên
của dầm cũng thay đổi và sự thay đổi này lại phụ thuộc vào vị trí của vết nứt.
Do đó, ta hy vọng rằng khi khối lƣợng tập trung và vết nứt nằm gần nhau, thì
có thể xuất hiện những thay đổi bất thƣờng trong tần số tự nhiên.
Tuy nhiên, các kết quả mô phỏng số cho thấy rằng sự thay đổi bất thƣờng
trong tần số tự nhiên do vết nứt và khối lƣợng tập trung gây nên là nhỏ và khó quan
sát đƣợc bằng trực quan.
a) Tần số thứ nhất và vị trí khối lƣợng b) Tần số thứ hai và vị trí khối lƣợng
c) Tần số thứ ba và vị trí khối lƣợng
Hình 4.8. Tần số và vị trí khối lƣợng của dầm kép chứa vết nứt.
Độ sâu vết nứt 40%.
Hình 4.8 biểu diễn mối liên hệ giữa vị trí của khối lƣợng tập trung và ba tần
số tự nhiên đầu tiên của hệ dầm kép, chứa hai vết nứt nằm trên dầm chính, với độ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 118
18.5
19
19.5
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 141
42
43
44
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 172
74
76
78
Fre
quency (
Hz)
Mass position (x/L)
86
sâu 40% nằm tại vị trí 3m và 6.5m. Rõ ràng, không thể quan sát đƣợc những thay
đổi bất thƣờng đồ thị này.
Để phát hiện sự thay đổi bất thƣờng trong đồ thị trên, ta gọi df là độ chênh
lệch giữa tần số đầu tiên của hệ dầm kép chứa vết nứt và không chứa vết nứt. Hình
4.9 biểu diễn df ứng với các độ sâu vết nứt khác nhau.
a) Độ sâu vết nứt 5% b) Độ sâu vết nứt 10%
c) Độ sâu vết nứt 20% d) Độ sâu vết nứt 30%
e) Độ sâu vết nứt 40%
Hình 4.9. Chênh lệch tần số đầu tiên df giữa hệ dầm kép chứa vết nứt và hệ dầm kép
nguyên vẹn.
Từ đồ thị này, ta nhận thấy xuất hiện hai thay đổi sắc nét khi vết nứt có độ
sâu từ 5% đến 40%. Kết quả này có thể áp dụng để phát hiện vết nứt, vị trí của vết
nứt là vị trí xuất hiện sự thay đổi bất thƣờng trong đồ thị biểu diễn df .
0 0.2 0.4 0.6 0.8 19
9.2
9.4
9.6
x 10-3
df
(Hz)
Mass position (x/L)
0 0.5 10.034
0.035
0.036
df
(Hz)
Mass position (x/L)
0 0.5 10.13
0.135
0.14
df
(Hz)
Mass position (x/L)
0 0.5 1
0.295
0.3
0.305
0.31
0.315
df
(Hz)
Mass position (x/L)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.56
0.57
0.58
df
(Hz)
Mass position (x/L)
87
Tuy nhiên, nói chung thông tin về hệ dầm kép nguyên vẹn là khó xác định
đƣợc trong thực tế. Do đó, để phát hiện thay đổi bất thƣờng trong tần số do khối
lƣợng tập trung và vết nứt gây nên, tác giả sẽ sử dụng phép biến đổi wavelet nhằm
phân tích một số thành phần bị ẩn và thành phần chứa những thay đổi bất thƣờng
trong tín hiệu. Tác giả dùng phép biến đổi wavelet cho tần số tự nhiên đầu tiên của
hệ dầm kép chứa hai vết nứt tại vị trí bất kỳ trên dầm chính. Trong mô phỏng này,
giả sử hai vết nứt có cùng độ sâu, nằm tại vị trí 0.3m và 0.65m; độ sâu vết nứt tăng
dần từ 0% đến 40%.
a) Độ sâu vết nứt 0% b) Độ sâu vết nứt 5%
c) Độ sâu vết nứt 10% d) Độ sâu vết nứt 20%
e) Độ sâu vết nứt 30% f) Độ sâu vết nứt 40%
Hình 4.10. Biến đổi wavelet đối với tần số tự nhiên đầu tiên.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-5
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-5
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
0
2
x 10-5
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-4
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
-1
0
1
2x 10
-4
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
0
2
x 10-4
x/L
Wavele
t coeff
icie
nt
88
Hình 4.10 biểu diễn phép biến đổi wavelet của tần số tự nhiên đầu tiên ứng
với các độ sâu vết nứt khác nhau. Khi dầm không có vết nứt thì đồ thị ở hình 4.10a
không thấy xuất hiện đỉnh nào đáng chú ý. Tuy nhiên, khi dầm có hai vết nứt với độ
sâu 5%, thì trong phép biến đổi wavelet (hình 4.10b) xuất hiện hai đỉnh đáng chú ý
ở các vị trí 3m và 6.5m, đây chính là vị trí của các vết nứt xuất hiện.
Khi độ sâu vết nứt tăng từ 10% đến 40%, giá trị của các đỉnh này cũng tăng
lên đáng kể nhƣ trong hình 4.10c - 4.10f. Nhƣ vậy khi dầm chứa vết nứt, tần số tự
nhiên đầu tiên sẽ thay đổi đột ngột khi khối lƣợng tập trung nằm ở vị trí của các vết
nứt. Điều này rất hữu ích cho việc phát hiện vết nứt: vị trí vết nứt có thể đƣợc phát
hiện bởi vị trí của các đỉnh nhọn trong biến đổi wavelet của tần số tự nhiên đầu tiên.
4.2.4. Kết luận
Bài toán này giải quyết vấn đề về sự ảnh hƣởng của khối lƣợng tập trung đến
tần số tự nhiên của hệ dầm kép. Khi hệ dầm kép có khối lƣợng tập trung thì tần số
tự nhiên sẽ thay đổi. Sự thay đổi này phụ thuộc vào vị trí của khối lƣợng tập trung
và dạng riêng dao động của hệ dầm.
Tần số tự nhiên sẽ giảm từ từ khi khối lƣợng bắt đầu di chuyển từ nút của
dạng riêng đến vị trí mà biên độ của dạng riêng đạt giá trị cực đại.
Tần số tự nhiên thay đổi đột ngột khi khối lƣợng tập trung đặt ở gần vị trí của
vết nứt. Sự thay đổi đột ngột này sẽ tạo nên các đỉnh nhọn trong phép biến đổi
wavelet của tần số đầu tiên.
Vị trí xuất hiện các đỉnh nhọn chính là vị trí của vết nứt. Phƣơng pháp này
cho kết quả tốt đối với tần số tự nhiên đầu tiên, và có thể phát hiện đƣợc vết nứt có
độ sâu 5%.
4.3. Bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu bằng phƣơng pháp phân bố độ cứng
phần tử
4.3.1. Phát hiện vết nứt của dầm
Phƣơng trình dao động của kết cấu đã đƣợc trình bày tại phƣơng trình (2.37)
ở mục 2.3, chƣơng 2.
89
Để tiện theo dõi, phƣơng trình này đƣợc viết lại nhƣ sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )My Cy Ky N fTt t t f t t , ở đó
e
T
e e
L
f dx f N và f T fT
e
e
.
a. Phát hiện một vết nứt của dầm
Xét một cầu dạng dầm, đƣợc chia thành 30 phần tử, vết nứt xuất hiện ở phần
tử thứ 15. Tham số của dầm nhƣ sau: mật độ khối = 7855 kg/m3, mô đun đàn hồi
E = 2.1x1011
N/m2, L = 40m, b = 1m, h = 2m; hệ số cản: 0.02. Xét sáu trƣờng hợp
với độ sâu vết nứt tăng từ 0% đến 50% (chiều rộng của dầm). Lực kích động với
biên độ 20000 N
20000 khi 0
( ) .0 khi 0
tf t
t
(4.18)
Để kiểm tra phƣơng pháp này, phân bố chỉ số độ cứng phần tử đƣợc tính
bằng giải tích, tính trực tiếp từ ma trận phần tử hữu hạn K đối với năm độ sâu của
vết nứt, đƣợc minh họa ở hình 4.11.
Hình này cho thấy xuất hiện các đỉnh trên phân bố chỉ số độ cứng phần tử, tại
phần tử thứ 15. Cũng nhận thấy rằng khi độ sâu vết nứt tăng lên, thì độ lớn của đỉnh
tăng lên.
Hình 4.11. Phân bố chỉ số độ cứng phần tử bằng giải tích đối với 5 độ sâu vết nứt.
90
Bây giờ ma trận K đƣợc xây dựng lại từ đáp ứng đo và ma trận phần tử hữu
hạn M, C, khi mà vị trí và chiều sâu của vết nứt chƣa biết. Trong trƣờng hợp này,
ma trận M, C thu đƣợc từ dầm còn nguyên vẹn.
Không có nhiễu
Sử dụng hàm đáp ứng tần số khi không có nhiễu H để xây dựng lại ma trận
độ cứng K từ phƣơng trình (3.45) và (3.46). Hình 4.12 biểu diễn phân bố chỉ số độ
cứng phần tử chuẩn hóa, đƣợc tính từ việc xây dựng lại ma trận K với năm độ sâu
của vết nứt.
Vì phép quay trong véc tơ H đƣợc xấp xỉ từ phép tịnh tiến, không phải là giá
trị chính xác, do đó phân bố chỉ số độ cứng phần tử ở hình 4.12 không chính xác
nhƣ ở hình 4.11, trong đó phép quay đƣợc lấy từ dữ liệu đo.
Tuy nhiên, vẫn xuất hiện một đỉnh ở phân bố chỉ số độ cứng phần tử tại phần
tử thứ 15 đối với mỗi độ sâu vết nứt khác nhau.
Hình 4.12 cho thấy khi độ sâu vết nứt tăng, thì đỉnh trong phân bố chỉ số độ
cứng phần tử sẽ sắc nét hơn. Ta có thể xác định chiều cao của đỉnh dh chính là sự
chênh lệch giữa đỉnh và đáy. Lý do là khi độ sâu vết nứt tăng lên, thì ma trận độ
cứng của phần tử chứa vết nứt giảm đi.
Điều này gây ra sự thay đổi (tăng lên) về phân bố chỉ số độ cứng phần tử tại
phần tử chứa vết nứt, nghĩa là chiều cao của đỉnh dh tăng lên (hình 4.12).
Do đó, chiều cao của đỉnh trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử có thể xem
nhƣ là hệ số cƣờng độ, mà sự thay đổi của hệ số cƣờng độ này liên quan đến độ sâu
vết nứt và sự thay đổi về phân bố chỉ số độ cứng phần tử tại phần tử chứa vết nứt.
91
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.12. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, không có nhiễu.
a) Độ sâu vết nứt 10%, b) Độ sâu vết nứt 20%, c) Độ sâu vết nứt 30%,
d) Độ sâu vết nứt 40%, e) Độ sâu vết nứt 50%.
92
Xây dựng đồ thị về chiều cao của đỉnh so với độ sâu vết nứt, ta thấy có mối
liên hệ tuyến tính giữa chiều cao của đỉnh (hệ số cƣờng độ) và độ sâu vết nứt (hình
4.13). Tính chất này rất hữu ích khi ƣớc lƣợng độ sâu của vết nứt.
Hình 4.13. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu của vết nứt, khi không có nhiễu.
Phép đo có nhiễu
Nhiễu từ phép đo sẽ ảnh hƣởng đến tính chính xác của phƣơng pháp. Do đó,
để mô phỏng phép đo nhiễu, thì nhiễu ồn trắng đƣợc đƣa vào [85]:
,y y E N ynoise p σ (4.19)
ở đó y là đáp ứng động lực học của dầm; Ep là mức độ nhiễu (%); N là véc
tơ phân bố chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1; ynoise là đáp
ứng của nhiễu; y là độ lệch chuẩn.
y = 0.0157x - 0.108
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h
Crack depth (%)
93
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.14. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử.
a) Độ sâu vết nứt 10%, nhiễu 1%, b) Độ sâu vết nứt 20%, nhiễu 2%,
c) Độ sâu vết nứt 30%, nhiễu 4%, d) Độ sâu vết nứt 40%, nhiễu 6%,
e) Độ sâu vết nứt 50%, nhiễu 10%.
Hình 4.14 biểu diễn phân bố chỉ số độ cứng phần tử đối với năm độ sâu vết
nứt. Nhìn vào hình ta thấy, tại vị trí vết nứt xuất hiện các đỉnh. Khi độ sâu vết nứt
nhỏ (10% chiều cao của dầm), phƣơng pháp đƣa ra có hiệu quả với nhiễu nhỏ
94
(1%).Tuy nhiên, khi mức độ ồn dao động từ 2% đến 10%, đỉnh ở trong phân bố chỉ
số độ cứng phần tử là ổn định (khi độ sâu vết nứt tăng từ 20% đến 50%).
Từ hình 4.14, khi độ sâu vết nứt tăng thì chiều cao của đỉnh tăng. Mối liên hệ
giữa chiều cao của đỉnh và độ sâu vết nứt đƣợc biểu diễn ở hình 4.15. Để so sánh
với tín hiệu không có nhiễu, thì trong hình này cũng đƣa ra mối liên hệ giữa chiều
cao của đỉnh và độ sâu vết nứt khi không có nhiễu. Sau khi áp dụng nhiều tín hiệu
nhiễu khác nhau, mối quan hệ giữa chiều cao của đỉnh và độ sâu vết nứt vẫn ổn định.
Hình 4.15. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu vết nứt, có nhiễu và không có nhiễu.
b. Phát hiện nhiều vết nứt của dầm
Tín hiệu không có nhiễu
Giả sử có hai vết nứt ở vị trí 3L và 2 3L tƣơng ứng với phần tử thứ 10 và
20. Giả sử phép đo không có nhiễu. Hình 4.16 biểu diễn phân bố chỉ số độ cứng
phần tử với năm độ sâu của vết nứt.
Ta thấy xuất hiện hai đỉnh trong phân bố tại phần tử chứa vết nứt. Khi độ sâu
vết nứt tăng, thì chiều cao của đỉnh cũng tăng.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h
Crack depth (%)
Unnoise
Noisy data
Linear (Unnoise)
Linear (Noisy data)
95
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.16. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, nhiễu 0%.
a) Độ sâu vết nứt 10%, b) Độ sâu vết nứt 20%, c) Độ sâu vết nứt 30%,
d) Độ sâu vết nứt 40%, e) Độ sâu vết nứt 50%.
96
Hình 4.17 biểu diễn mối liên hệ giữa chiều cao của hai đỉnh và độ sâu vết nứt.
Hình này cho thấy chiều cao của hai đỉnh là tƣơng tự nhau đối với các chiều sâu của
vết nứt.
Hình 4.17. Chiều cao của 2 đỉnh dh so với độ sâu vết nứt, khi không có nhiễu.
Tín hiệu có nhiễu
Trong quá trình đo đạc có nhiễu, thì hiệu quả của phƣơng pháp trên sẽ bị ảnh
hƣởng. Hình 4.18 biểu diễn phân bố chỉ số độ cứng phần tử với năm độ sâu vết nứt.
Ta thấy, tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp của một vết nứt, khi độ sâu vết nứt nhỏ, phƣơng
pháp trên có hiệu quả với nhiễu nhỏ (1%). Hình 4.18 cho thấy khi độ sâu vết nứt
bằng hoặc lớn hơn 20%, thì phƣơng pháp trên có thể áp dụng đƣợc đối với trƣờng
hợp nhiễu từ 2% đến 10%.
Để khảo sát sự ảnh hƣởng của nhiễu đến chiều cao của đỉnh, thì mối liên hệ
giữa chiều cao của mỗi đỉnh và độ sâu vết nứt khi có nhiễu và không có nhiễu đƣợc
đƣa ra từ hình 4.19 - 4.20.
Từ các hình này ta thấy mối liên hệ giữa chiều cao của mỗi đỉnh và độ sâu
vết nứt khi có và không có nhiễu là gần nhau. Do đó, mối liên hệ này là hữu ích
trong việc ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt.
y = 0.0153x - 0.102
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h
Crack depth (%)
dh1
dh2
Linear (dh1)
Linear (dh2)
97
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.18. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử.
a) Độ sâu vết nứt 10%, nhiễu 1%, b) Độ sâu vết nứt 20%, nhiễu 2%,
c) Độ sâu vết nứt 30%, nhiễu 4%, d) Độ sâu vết nứt 40%, nhiễu 6%,
e) Độ sâu vết nứt 50%, nhiễu 10%.
98
Hình 4.19. Chiều cao của đỉnh dh1 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có
nhiễu.
Hình 4.20. Chiều cao của đỉnh dh2 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có
nhiễu.
4.3.2. Phát hiện vết nứt của khung
Xét một khung gồm hai cột thẳng đứng với chiều cao 3m và một thanh ngang
với chiều dài 1m nằm trong mặt phằng X-Z (hình 4.21). Khung đƣợc chia thành 70
phần tử khung với mặt cắt ngang 0.04m x 0.04m trong mô hình phần tử hữu hạn.
Hai vết nứt xuất hiện ở phần tử thứ 10 và 20 trên cột bên trái. Ma trận độ cứng của
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h1
Crack depth (%)
Noise free data
Noisy data
Linear (Noise free data)
Linear (Noisy data)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h2
Crack depth (%)
Noise free data
Noisy data
Linear (Noise freedata)
99
một phần tử chứa vết nứt đƣợc tính theo tài liệu [35]. Đáp ứng động của khung
đƣợc tính bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
Hình 4.21. Mô hình khung trong mặt phẳng X-Z.
Do lực kích động tác dụng theo hƣớng X, nên khung có dao động uốn trong
mặt phẳng X-Z, nên phép tịnh tiến và quay trong mặt phẳng X-Z sẽ khác không,
trong khi đó chuyển vị của các bậc tự do khác là bằng không. Áp dụng phƣơng pháp
trên cho chuyển vị tịnh tiến theo hƣớng X của cột bên trái, sẽ thu đƣợc phân bố chỉ
số độ cứng phần tử.
Kết quả mô phỏng số cho thấy tại phần tử chứa vết nứt xuất hiện hai đỉnh
trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử của cột bên trái (hình 4.22, hình 4.23). Đỉnh
đầu tiên gần với điểm cuối cố định của cột quan trọng hơn đỉnh thứ hai gần với đầu
tự do cuối của cột. Điều đó cho thấy rằng vết nứt gần với điểm cuối cố định có thể
đƣợc phát hiện hiệu quả hơn.
Trong trƣờng hợp này mối liên hệ giữa chiều cao của đỉnh đầu tiên và độ sâu
vết nứt trong trƣờng hợp có nhiễu và không có nhiễu đƣợc đƣa ra nhƣ trong hình
4.24. Trong hình này, mối liên hệ giữa chiều cao của đỉnh đầu tiên và độ sâu vết nứt
khi có nhiễu và không có nhiễu là gần nhau. Do đó ta có thể sử dụng mối liên hệ
này để ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041
4243444546474849505152535455565758596061626364656667686970
X
Z
Force
100
Hình 4.22. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử của cột bên trái, nhiễu 0%.
Hình 4.23. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử của cột bên trái, có nhiễu.
a) Độ sâu vết nứt 10%, nhiễu 1%; b) Độ sâu vết nứt 20%, nhiễu 2%;
c) Độ sâu vết nứt 30%, nhiễu 4%; d) Độ sâu vết nứt 40%, nhiễu 6%;
e) Độ sâu vết nứt 50%, nhiễu 10%.
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Element number
Ele
ment
stiff
ness index d
istr
ibution
crack depth 10%
crack depth 20%
crack depth 30%
crack depth 40%
crack depth 50%
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Element number
Ele
ment
stiff
ness index d
istr
ibution
crack depth 10%
crack depth 20%
crack depth 30%
crack depth 40%
crack depth 50%
101
Hình 4.24. Chiều cao của đỉnh dh1 so với độ sâu vết nứt, khi có nhiễu và không có
nhiễu.
4.3.3. Phát hiện vết nứt của giàn cao tầng
Thực hiện mô phỏng số đối với kết cấu đối xứng, mảnh chịu tác động của lực
đặt tại điểm giữa và dọc theo phƣơng X nhƣ trong hình 4.25. Hàm đáp ứng tần số
theo phƣơng X thu đƣợc dọc theo kết cấu.
Kết cấu gồm bốn cột và các phần tử giằng, kích thƣớc tổng thể của kết cấu
0.25m x 0.25m x 3.6m. Phần tử cột và giằng của kết cấu đƣợc mô tả là phần tử
khung trong phân tích phần tử hữu hạn. Mặt cắt của phần tử cột và giằng có kích
thƣớc 0.02m x 0.02m và 0.02m x 0.002m. Tham số của vật liệu nhƣ sau: mật độ
khối = 7855 kg/m3, mô đun đàn hồi E = 2.1x10
11 N/m
2. Kết cấu đƣợc chia thành
240 phần tử. Mỗi cột đƣợc chia thành 36 phần tử.
Giả sử vết nứt xuất hiện tại phần tử 17 và nằm trên cột #1. Ở đó các phần tử
trên cột #1 của kết cấu đƣợc đánh số tăng dần theo chiều từ dƣới lên.
Ma trận độ cứng của phần tử chứa vết nứt đƣợc tính theo tài liệu [36]. Khảo
sát kết cấu trong trƣờng hợp vết nứt có độ sâu từ 10% đến 50%.
Do kết cấu đối xứng, mảnh nên có thể đƣợc coi tƣơng đƣơng kết cấu dạng
dầm công xôn và phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử đƣợc áp dụng cho
việc phát hiện vết nứt.
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h1
Crack depth (%)
Noise free data
Noisy data
Linear (Noise free data)
Linear (Noisy data)
102
Hình 4.25. Mô hình giàn cao tầng.
Trong luận án này, ma trận độ cứng K đƣợc xây dựng lại từ các ma trận phần
tử hữu hạn M, C và các hàm đáp ứng tần số H thu đƣợc từ 36 điểm đo dọc theo cột
#1. Phân bố chỉ số độ cứng phần tử đƣợc tính theo mục 3.2 của chƣơng 3. Ở đây,
tác giả thấy 1.2 cho kết quả chính xác nhất, nếu chọn 1.2 thì các đỉnh trong
phân bố chỉ số độ cứng phần tử sẽ có độ rộng lớn hơn và kém sắc nét, dẫn đến thiếu
chính xác trong việc xác định vị trí của vết nứt.
Hình 4.26 trình bày phân bố chỉ số độ cứng phần tử chuẩn hóa, đƣợc tính từ
ma trận xây dựng lại K với năm độ sâu vết nứt. Hình 4.26 cho thấy có một đỉnh rõ
ràng trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử ở phần tử thứ 17 chứa vết nứt.
Hơn nữa, khi độ sâu vết nứt tăng, thì đỉnh trong phân bố chỉ số độ cứng của
phần tử càng sắc nét hơn. Gọi dh là chiều cao của đỉnh, đƣợc xác định bằng sự
chênh lệch giữa đỉnh và đáy, khi đó ta thấy độ sâu vết nứt tăng lên thì giá trị dh
cũng tăng theo.
Do đó, dh có thể xem là hệ số cƣờng độ, hệ số này liên quan giữa độ sâu vết
nứt và sự thay đổi của phân bố chỉ số độ cứng phần tử tại phần tử chứa vết nứt.
Vị trí đo đạc
Vị trí tác dụng lực
Vị trí vết nứt
103
Hình 4.27 đƣa ra đồ thị liên hệ giữa dh và độ sâu vết nứt, từ hình này ta thấy mối
liên hệ này là tuyến tính. Nhƣ vậy dựa vào đƣờng tuyến tính này, ta có thể ƣớc
lƣợng đƣợc độ sâu của vết nứt.
a) b)
c) d)
e)
Hình 4.26. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, phần tử #17 chứa vết nứt.
a) Độ sâu vết nứt 10%; b) Độ sâu vết nứt 20%; c) Độ sâu vết nứt 30%;
d) Độ sâu vết nứt 40%; e) Độ sâu vết nứt 50%.
104
Hình 4.27. Mối quan hệ giữa chiều cao của đỉnh dh với độ sâu vết nứt.
Tuy nhiên, chú ý rằng việc phát hiện đƣợc chính xác vị trí vết nứt còn phụ
thuộc vào số lƣợng các điểm đo, vì ta chỉ xác định đƣợc phần tử chứa vết nứt, chứ
không phải vị trí chính xác của vết nứt. Nhƣ vậy, nếu tăng số lƣợng các điểm đo thì
phƣơng pháp đƣa ra sẽ chính xác hơn.
4.3.4. Kết luận
Bài toán này đã áp dụng phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử để
phát hiện vết nứt (một vết nứt và nhiều vết nứt). Phân bố chỉ số độ cứng của phần tử
là một véc tơ có các thành phần là chuẩn của các ma trận con trong ma trận độ cứng
tổng thể, các thành phần này chứa dấu hiệu địa phƣơng về độ cứng của dầm.
Trong bài toán này, ma trận độ cứng tổng thể đƣợc xây dựng trực tiếp từ các
hàm đáp ứng tần số, không phải đƣợc xây dựng từ các dạng riêng nhằm tránh sai số
trong việc đo dạng riêng. Bất kỳ sự thay đổi trong độ cứng của một phần tử sẽ dẫn
đến sự thay đổi trong chỉ số độ cứng của phần tử đó. Bằng cách theo dõi sự thay đổi
trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử, ta sẽ phát hiện đƣợc vị trí của vết nứt.
Sự tồn tại của các vết nứt đƣợc phát hiện bởi các đỉnh trong phân bố chỉ số
độ cứng phần tử và vị trí vết nứt là vị trí của xuất hiện của các đỉnh này. Các vết nứt
có độ sâu 10% có thể đƣợc phát hiện theo phƣơng pháp này. Độ sâu của vết nứt có
thể ƣớc lƣợng đƣợc từ mối quan hệ giữa chiều cao của các đỉnh dh trong độ phân bố
chỉ số độ cứng phần tử với độ sâu vết nứt.
y = 0.0039x + 0.785
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h
Crack depth (%)
105
Phƣơng pháp này cho kết quả rất tốt đối với bài toán phát hiện một vết nứt và
nhiều vết nứt. Có thể áp dụng phƣơng pháp này cho kết cấu dạng phức tạp hơn. Khi
có nhiễu thì phƣơng pháp này vẫn áp dụng đƣợc.
Tuy nhiên, phƣơng pháp này có một số hạn chế. Vị trí vết nứt không thể phát
hiện chính xác, chỉ phát hiện đƣợc phần tử chứa vết nứt. Do đó, độ chính xác của
phƣơng pháp này phụ thuộc vào số điểm đo.
Ngoài ra, việc xấp xỉ của phép quay cũng phụ thuộc vào các điểm đo. Nhƣ
vậy, để tăng tính chính xác cho phƣơng pháp, thì cần có nhiều điểm đo hơn.
4.4. Kết luận
Chƣơng này đã trình bày ba bài toán ứng dụng phƣơng pháp xử lý tín hiệu để
phát hiện vết nứt trong kết cấu.
Bài toán thứ nhất là bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu xảy ra trong quá
trình động đất bằng phƣơng pháp phân tích phổ wavelet. Khi có vết nứt xuất hiện
trong kết cấu thì độ cứng của kết cấu sẽ suy giảm. Do đó, sự suy giảm đột ngột của
tần số tức thời thu đƣợc khi phân tích wavelet quá trình dao động của kết cấu chính
là dấu hiệu cho thấy sự tồn tại của vết nứt. Trong khi đó, thời điểm tần số tức thời bị
suy giảm đột ngột chính là thời điểm xảy ra vết nứt. Khi độ sâu vết nứt tăng thì sự
suy giảm tần số tức thời càng lớn. Mối quan hệ bậc hai giữa độ suy giảm của tần số
riêng và độ sâu vết nứt có thể đƣợc sử dụng để ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt. Kết quả
của bài toán này đƣợc đăng trong 2 báo cáo Hội nghị quốc tế, 1 báo cáo Hội nghị
toàn quốc:
1. Time-frequency spectrum method for monitoring the sudden crack of a
column structure occurred in earthquake shaking duration. Proceeding of
the International Symposium Mechanics and Control 2011, p. 158-172.
2. Wavelet based technique for detection of a sudden crack of a beam-like
bridge during earthquake excitation. International Conference on
Engineering Mechanics and Automation ICEMA August 2012, Hanoi,
Vietnam, p. 87-95.
106
3. Experimental study for monitoring a sudden crack of beam under ground
excitation. Hội nghị Cơ học Vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ 11, 2013, p.
605-614.
Bài toán thứ hai là bài toán phát hiện vết nứt của dầm kép mang khối lƣợng
tập trung bằng phƣơng pháp phân tích wavelet. Khi có vết nứt thì tần số riêng sẽ
thay đổi. Khi vị trí của khối lƣợng tập trung thay đổi thì tần số riêng của hệ dầm
cũng thay đổi theo. Đặc biệt, khi vị trí của khối lƣợng tập trung trùng với vị trí của
vết nứt thì tần số riêng của hệ dầm có sự thay đổi đột ngột. Điều này là do ảnh
hƣởng đồng thời của cả vết nứt và khối lƣợng riêng đến tần số riêng khi vị trí của
vết nứt và khối lƣợng tập trung là trùng nhau. Hiện tƣợng này đƣợc phát hiện một
cách rõ ràng bằng biến đổi wavelet sự thay đổi của tần số riêng theo vị trí của khối
lƣợng tập trung. Kết quả của bài toán này đƣợc đăng trong Tạp chí chuyên ngành
quốc gia:
4. Free vibration of a cracked double-beam carrying a concentrated mass.
Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.38, No.4 (2016), pp. 279-293.
Bài toán thứ ba là bài toán phát hiện vết nứt của kết cấu bằng phƣơng pháp
phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Phân bố chỉ số độ cứng phần tử đƣợc tính trực tiếp
từ tín hiệu dao động thay vì tính từ các dạng riêng nhƣ đã biết nhằm khắc phục một
số nhƣợc điểm của phƣơng pháp dựa trên dạng riêng. Trong bài toán này, chỉ số độ
cứng phần tử đƣợc phân bố dọc theo kết cấu. Khi một phần tử của kết cấu có vết nứt
thì phân bố chỉ số độ cứng sẽ có một đỉnh xuất hiện tại vị trí của phần tử chứa vết
nứt. Vị trí của vết nứt sẽ đƣợc xác định bằng vị trí xuất hiện đỉnh trong phân bố chỉ
số độ cứng phần tử. Kết quả của bài toán này đƣợc đăng trong Tạp chí ISI, Tạp chí
chuyên ngành quốc gia:
5. Element stiffness index distribution method for multi-cracks detection of a
beam-like structure. Advances in Structural Engineering 2016, Vol. 19(7)
1077-1091.
6. Numerical and experimental studies for crack detection of a beam-like
structure using element stiffness index distribution method. Vietnam Journal
of Mechanics, VAST, Vol.39, No.3 (2017), pp. 203-214.
107
Kết quả của các bài toán đƣợc trình bày ở chƣơng này cho thấy phƣơng pháp
đề xuất và đƣợc phát triển trong luận án có khả năng ứng dụng cho việc phát hiện
vết nứt trong kết cấu làm cơ sở cho bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình.
Chƣơng tiếp theo trình bày một số thí nghiệm kiểm chứng phƣơng pháp thời
gian - tần số và phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử để phát hiện vết nứt
trong kết cấu.
108
CHƢƠNG 5. THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG
Trong chƣơng 4 đã trình bày ba bài toán chẩn đoán kỹ thuật nhằm phát hiện
vết nứt xuất hiện trong kết cấu. Các kết quả số đƣợc mô phỏng và phân tích dựa trên
phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động hiện đại và cho kết quả khả quan. Tuy nhiên,
trong thực tế kết quả đo đạc luôn bị ảnh hƣởng bởi nhiễu đo đạc. Vì vậy, để kiểm
chứng khả năng ứng dụng của các phƣơng pháp đƣợc phát triển và ứng dụng trong
luận án này, tác giả tiến hành thực hiện một số thí nghiệm.
Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian và điều kiện nên tác giả chỉ tiến hành hai
thí nghiệm cho hai bài toán chẩn đoán. Các thí nghiệm này đƣợc thực hiện tại
Phòng thí nghiệm Động lực học Công trình của Viện Cơ học - Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam.
Thí nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng khả năng phát hiện hƣ hỏng đột ngột
của một cầu dầm khi chịu tác động của động đất. Thí nghiệm thứ hai nhằm kiểm
chứng khả năng phát hiện vết nứt của một giàn thép cao tầng bằng phƣơng pháp
phân bố chỉ số độ cứng phần tử. Kết quả của hai thí nghiệm này sẽ đƣợc lấy làm cơ
sở để đánh giá tính hiệu quả của hai phƣơng pháp đề xuất trong luận án này.
5.1. Phát hiện vết nứt xảy ra đột ngột của dầm bằng phƣơng pháp wavelet
Tiến hành thí nghiệm đối với dầm chịu kích động nền đƣợc đặt trên bàn rung,
sử dụng phổ động đất (hình 5.1). Tham số của dầm: mật độ khối 7855 kg/m3, mô
đun đàn hồi E = 2.1x1011
N/m2, chiều dài L = 1.2m, chiều rộng b = 0.06m, chiều
cao h = 0.01m. Khoảng thời gian kích động T = 16s. Vết nứt xuất hiện xung quanh
khoảng thời gian 2T s. Tiến hành thí nghiệm đối với độ sâu vết nứt từ 10% đến
50%.
Bảng 5.1. Vết nứt với độ sâu khác nhau, tại vị trí 2cL L .
Trƣờng hợp Độ sâu vết nứt (%)
1
2
3
4
5
10
20
30
40
50
109
Để theo dõi vết nứt đột ngột trong quá trình kích động nền, tác giả sử dụng
tần số tức thời IF đƣợc lấy ra từ phổ năng lƣợng wavelet. Ở đây hàm wavelet
“Symlet” đƣợc chọn vì hàm này phù hợp nhất để xử lý tín hiệu.
Đầu tiên, đo gia tốc theo phƣơng thẳng đứng của dầm trong quá trình chịu
kích động từ đó tính phổ năng lƣợng wavelet, sau đó tần số tức thời IF đƣợc lấy ra
từ phần chính của phổ năng lƣợng wavelet.
Hình 5.1 trình bày thí nghiệm của dầm chứa vết nứt đột ngột. Sử dụng hệ
thống phanh thủy lực để tạo ra vết nứt đột ngột. Trƣớc tiên, tác giả sẽ tạo vết nứt
cho dầm bằng cách cƣa. Sau đó, dùng phanh thủy lực để giữ chặt mép của vết nứt,
khi đó dầm đƣợc xem là nguyên vẹn. Khi nhả phanh thủy lực, thì vết nứt sẽ mở ra,
khi đó dầm đƣợc xem là chứa vết nứt mở.
Hình 5.1. Dầm chứa vết nứt, đặt trên bàn rung.
Hình 5.2 minh họa phổ Fourier đƣợc tính từ số liệu đo gia tốc thẳng đứng của
dầm trong phòng thí nghiệm khi kết cấu chịu kích động nền. Ở đây, tần số dao động
chính của dầm là 17.8 Hz tƣơng ứng với tần số thứ nhất của dầm nguyên vẹn.
110
Hình 5.2. Phổ Fourier của gia tốc thẳng đứng, độ sâu vết nứt 0%.
Hình 5.3 trình bày sự so sánh tần số tức thời IF của dầm chịu kích động với
độ sâu vết nứt từ 10% đến 50%. Các tần số IF này thu đƣợc từ việc đo gia tốc thẳng
đứng và từ mô phỏng số theo tài liệu [130]. Trong hình này, các đồ thị ở bên phải
thu đƣợc từ thực nghiệm và các đồ thị ở bên trái thu đƣợc từ mô phỏng số.
Ta có thể thấy, sự tƣơng đồng giữa các kết quả thu đƣợc từ mô phỏng và thí
nghiệm. Khi độ sâu vết nứt là 10% xuất hiện xung quanh thời điểm t = 8s (hình
5.3a), tần số tức thời IF đạt 17.8 Hz trong nửa thời gian đầu của quá trình kích động,
ở nửa thời gian kích động sau, tần số tức thời IF giảm dần đến giá trị tần số nhỏ hơn,
khoảng 17.7 Hz. Bởi vì, trong nửa thời gian kích động ban đầu, dầm còn nguyên
vẹn; trong nửa thời gian kích động sau dầm xuất hiện vết nứt, do đó độ cứng của
dầm sẽ giảm.
Khi độ sâu vết nứt thay đổi từ 20% đến 50% (hình 5.3b - 5.3e), trong nửa
thời gian đầu của kích động, tần số tức thời IF vẫn nằm trong dải tần số trung tâm
khoảng 17.8 Hz, tƣơng ứng với trƣờng hợp dầm nguyên vẹn.
Trong nửa thời gian tiếp theo tần số tức thời giảm dần. Nhƣ vậy, thời điểm
xuất hiện vết nứt đột ngột chính là thời điểm mà tại đó tần số IF bắt đầu suy giảm.
Mức độ thay đổi tần số tức thời IF mô tả độ sâu của vết nứt.
111
Mô phỏng Thực nghiệm
a)
b)
c)
112
Mô phỏng Thực nghiệm
d)
e)
Hình 5.3. Tần số tức thời của dầm.
a) Độ sâu vết nứt 10%; b) Độ sâu vết nứt 20%; c) Độ sâu vết nứt 30%;
d) Độ sâu vết nứt 40%; e) Độ sâu vết nứt 50%.
Theo các kết quả trên, để ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt, gọi df là sự chênh lệch
của tần số thức thời IF trong nửa thời gian kích động ban đầu và nửa thời gian sau.
Từ đó ta xây dựng đồ thị liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt (hình 5.4).
113
a)
b)
Hình 5.4. Mối liên hệ giữa df và độ sâu vết nứt.
a) Mô phỏng số; b) Thực nghiệm.
5.2. Phát hiện vết nứt của giàn bằng phƣơng pháp phân bố độ cứng phần tử
Tác giả thực hiện thí nghiệm đối với kết cấu giàn bằng thép, đối xứng (hình
5.5), kích thƣớc tổng thể của kết cấu 0.25m x 0.25m x 3.6m. Kết cấu gồm bốn cột,
nối cứng với 144 phần tử giằng. Phần mặt cắt của phần tử cột, giằng có kích thƣớc
0.02m x 0.02m và 0.02m x 0.002m. Hệ thống đo dao động đƣợc bố trí nhƣ hình 5.6.
Hệ thống này bao gồm thiết bị Bruel & Kjaer Pulse để lấy dữ liệu đo dao động, và
phần mềm Pulse Labshop để phân tích hàm đáp ứng tần số. Vết nứt đƣợc tạo tại
phần tử 17, trên cột #1, bằng cách cƣa. Tiến hành thí nghiệm với các trƣờng hợp độ
sâu vết nứt từ 0% đến 50%.
y = 0.8643x2 - 0.2036x + 0.0452
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
df
Crack depth
y = 0.75x2 - 0.105x + 0.032
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
df
Crack depth
114
Trong thí nghiệm này, tác giả đo hàm đáp ứng tần số bằng cách dùng búa và
đầu đo dao động (bộ chuyển đổi dao động), tác dụng lực bằng búa vào nút cố định
của kết cấu. Trong khi đó di chuyển đầu đo dao động theo cột #1 (hình 5.6). Cột #1
đƣợc chia thành 36 phần tử, do đó ta thu đƣợc hàm đáp ứng tần số tại 36 nút dọc
theo cột #1. Và xây dựng phân bố chỉ số ma trận độ cứng phần tử từ 36 hàm đo đáp
ứng tần số này.
a) b)
Hình 5.5. Thí nghiệm tại phòng thí nghiệm của Viện Cơ học – VAST.
a) Kết cấu giàn cao tầng; b) Vết nứt đƣợc tạo bằng cách cƣa.
Vị trí đặt
đầu đo
Vị trí
tác dụng lực
Vị trí vết nứt
115
a)
b)
Hình 5.6. Đo đáp hàm đáp ứng tần số bằng máy PULSE.
a) Dụng cụ B&K Pulse; b) Gõ búa và đo dao động của kết cấu.
Các kết quả thực nghiệm cho thấy xuất hiện những đỉnh sắc nét trong phân
bố chỉ số độ cứng phần tử của cột #1 tại phần tử 17 với độ sâu vết nứt khác nhau
116
(hình 5.7). Sự xuất hiện này khẳng định rằng có sự thay đổi về độ cứng tại phần tử
chứa vết nứt (phần tử 17).
a) b)
c) d)
e)
Hình 5.7. Xây dựng lại phân bố chỉ số độ cứng phần tử, phần tử #17 chứa vết nứt.
a) Độ sâu vết nứt 10%; b) Độ sâu vết nứt 20%; c) Độ sâu vết nứt 30%;
d) Độ sâu vết nứt 40%; e) Độ sâu vết nứt 50%.
Nhƣ vậy, đỉnh trong phân bố chỉ số độ cứng phần tử chỉ ra sự tồn tại của vết
nứt, vị trí của đỉnh chính là vị trí của vết nứt. Khi độ sâu vết nứt tăng lên từ 10%
đến 50% thì đỉnh xuất hiện tại vị trí vết nứt sẽ rõ ràng hơn. Tức là khi độ sâu vết nứt
0 10 20 30 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Element number
Ele
ment
stiff
ness index d
istr
ibution
dh
117
càng lớn, thì phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử sẽ phát hiện vết nứt tốt
hơn.
Để ƣớc lƣợng độ sâu vết nứt thì tác giả đƣa ra mối quan hệ giữa chiều cao
của đỉnh dh và độ sâu vết nứt trong trƣờng hợp mô phỏng số và thực nghiệm, và
biểu diễn mối quan hệ này trong cùng một đồ thị (hình 5.8). Từ hình này ta thấy
mối quan hệ giữa chiều cao của đỉnh và độ sâu vết nứt trong hai trƣờng hợp tƣơng
tự nhau. Rõ ràng, kết quả mô phỏng số và kết quả thực nghiệm phù hợp với nhau,
do đó có thể áp dụng đƣợc phƣơng pháp này trong thực tế.
Hình 5.8. Chiều cao của đỉnh dh so với độ sâu vết nứt.
5.3. Kết luận
Chƣơng 5 đã trình bày kết quả của hai thí nghiệm bao gồm:
Thí nghiệm về việc phát hiện vết nứt xảy ra đột ngột của dầm, sử dụng
tần số tức thời IF đƣợc trích ra từ phổ năng lƣợng wavelet.
Thí nghiệm về việc phát hiện vết nứt của kết cấu dạng khung không gian
bằng phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử.
So sánh lý thuyết với thực nghiệm cho thấy các tính toán mô phỏng dựa trên
phƣơng pháp đề xuất trong luận án là phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm.
Nhƣ vậy các phƣơng pháp đề xuất có khả năng ứng dụng trong việc phát hiện
vết nứt trong kết cấu. Nội dung của các thí nghiệm này đã đƣợc công bố trong 3 bài
báo sau:
0.76
0.8
0.84
0.88
0.92
0.96
1
0 10 20 30 40 50 60
Inte
nsi
ty f
acto
r d
h
Crack depth (%)
Experiment
Simulation
Linear (Experiment)
Linear (Simulation)
118
1. Giám sát vết nứt thở của dầm bằng phương pháp phân tích wavelet: nghiên
cứu lý thuyết và thực nghiệm. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, 2012, p.
539-548.
2. Experimental study for monitoring a sudden crack of beam under ground
excitation. Hội nghị Cơ học Vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ 11, 2013, p.
605-614.
3. Numerical and experimental studies for crack detection of a beam-like
structure using element stiffness index distribution method. Vietnam Journal
of Mechanics, VAST, Vol.39, No.3 (2017), pp. 203-214.
119
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận của luận án
Đề tài của luận án nhằm mục đích phát triển và ứng dụng các phƣơng pháp
xử lý tín hiệu hiện đại phục vụ cho bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình. Đó là
phƣơng pháp xử lý tín hiệu dựa trên phân tích phổ trong miền tần số và phân tích
wavelet trong miền thời gian - tần số.
Điểm mới của luận án là:
1. Đã đề xuất ứng dụng phƣơng pháp phổ wavelet cho bài toán phát hiện vết
nứt xảy ra đột ngột. Khi áp dụng phƣơng pháp này thì sự tồn tại của vết
nứt và đặc biệt là cả thời điểm xuất hiện vết nứt đều đƣợc xác định.
2. Đã đề xuất ứng dụng phân tích wavelet cho bài toán phát hiện vết nứt dựa
trên ảnh hƣởng đồng thời của vết nứt và khối lƣợng tập trung. Khi có ảnh
hƣởng đồng thời của vết nứt và khối lƣợng tập trung thì sự thay đổi tần số
riêng sẽ rõ ràng hơn so với khi không có khối lƣợng tập trung. Vì vậy
phƣơng pháp này có khả năng xác định đƣợc cả vị trí của vết nứt.
3. Đã đề xuất một phƣơng pháp mới sử dụng “phân bố chỉ số độ cứng phần
tử” nhằm phát hiện vết nứt của kết cấu. Trong phƣơng pháp này, phân bố
chỉ số độ cứng phần tử đƣợc tính trực tiếp từ tín hiệu dao động. Do đó,
phƣơng pháp này sẽ khắc phục đƣợc sai số so với việc phải tính ma trận
độ cứng thông qua dạng riêng nhƣ truyền thống.
Nội dung công việc mà luận án đã thực hiện bao gồm trình bày cơ sở lý
thuyết về động lực học kết cấu có hƣ hỏng và phƣơng pháp xử lý tín hiệu dao động
hiện đại ứng dụng trong bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình.
Luận án đã ứng dụng phƣơng pháp phân tích wavelet và đề xuất một phƣơng
pháp mới dựa trên “phân bố chỉ số độ cứng phần tử” nhằm phát hiện vết nứt trong
kết cấu. Luận án đã trình bày ba bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình ứng dụng
các phƣơng pháp đã đề xuất nhằm phát hiện vết nứt trong các kết cấu khác nhau.
Kết quả của các phƣơng pháp đề xuất trong luận án này đã đƣợc kiểm chứng
bằng hai thí nghiệm đƣợc thực hiện tại Phòng thí nghiệm Công trình, Viện Cơ học –
120
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Các thí nghiệm cho thấy kết quả
mô phỏng số của phƣơng pháp đề xuất là phù hợp tốt với kết quả thực nghiệm.
Nhƣ vậy, các phƣơng pháp đã đề xuất và phát triển trong luận án là có triển
vọng để ứng dụng cho bài toán chẩn đoán kỹ thuật công trình.
2. Phạm vi áp dụng của luận án và công việc cần tiếp tục thực hiện trong tƣơng
lai
Mặc dù các phƣơng pháp đề xuất trong luận án nhằm phát hiện vết nứt của
kết cấu bƣớc đầu đã cho kết quả khả quan, tuy nhiên vẫn còn một số vấn đề chƣa
đƣợc giải quyết.
Trong đó, luận án mới chỉ ứng dụng phƣơng pháp wavelet để phát hiện vết
nứt cho các kết cấu đơn giản dạng dầm. Đối với các kết cấu phức tạp hơn thì sự ảnh
hƣởng của vết nứt đến các tín hiệu dao động có thể sẽ khác so với kết cấu dầm.
Do đó, phƣơng pháp đề xuất dựa trên phân tích wavelet cần phải đƣợc
nghiên cứu đối với các kết cấu phức tạp hơn nhằm đánh giá khả năng ứng dụng của
các phƣơng pháp này trong thực tiễn.
Ngoài ra, phƣơng pháp phân bố chỉ số độ cứng phần tử mặc dù đã cho kết
quả tốt đối với cả kết cấu dạng dầm và khung không gian, tuy nhiên phƣơng pháp
này mới chỉ ứng dụng cho kết cấu có hình dạng đối xứng. Đồng thời, các phần tử
dầm hoặc cột chứa vết nứt đƣợc giả thiết là có tiết diện không đổi.
Vì vậy, với các kết cấu có hình dạng không đối xứng và có tiết diện thay đổi
cần đƣợc tiếp tục nghiên cứu để đánh giá hiệu quả của phƣơng pháp này trong thực
tế.
Việc làm thí nghiệm để kiểm chứng tính hiệu quả của các phƣơng pháp đề
xuất trong luận án này mới chỉ đƣợc thực hiện đối với hai bài toán là phát hiện vết
nứt xảy ra đột ngột dựa trên phổ wavelet và phá hiện vết nứt dựa trên phân bố chỉ số
độ cứng phần tử. Trong khi đó, thí nghiệm kiểm chứng cho phƣơng pháp phát hiện
vết nứt của kết cấu dầm có khối lƣợng tập trung vẫn chƣa đƣợc tiến hành. Vì vậy
đây sẽ là một nghiên cứu cần đƣợc thực hiện tiếp theo của luận án.
121
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
1. Khoa Viet Nguyen, Quang Van Nguyen. Time-frequency spectrum method for
monitoring the sudden crack of a column structure occurred in earthquake shaking
duration. Proceeding of the International Symposium Mechanics and Control 2011,
p. 158-172.
2. Khoa Viet Nguyen, Quang Van Nguyen. Wavelet based technique for detection
of a sudden crack of a beam-like bridge during earthquake excitation. International
Conference on Engineering Mechanics and Automation ICEMA August 2012,
Hanoi, Vietnam, p. 87-95.
3. Nguyễn Việt Khoa, Nguyễn Văn Quang, Trần Thanh Hải, Cao Văn Mai, Đào
Nhƣ Mai. Giám sát vết nứt thở của dầm bằng phương pháp phân tích wavelet:
nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, 2012, p.
539-548.
4. Khoa Viet Nguyen, Hai Thanh Tran, Mai Van Cao, Quang Van Nguyen, Mai
Nhu Dao. Experimental study for monitoring a sudden crack of beam under ground
excitation. Hội nghị Cơ học Vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ 11, 2013, p. 605-
614.
5. Khoa Viet Nguyen, Quang Van Nguyen. Element stiffness index distribution
method for multi-cracks detection of a beam-like structure. Advances in Structural
Engineering 2016, Vol. 19(7) 1077-1091.
6. Khoa Viet Nguyen, Quang Van Nguyen. Free vibration of a cracked double-
beam carrying a concentrated mass. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.38,
No.4 (2016), pp. 279-293.
7. Khoa Viet Nguyen, Quang Van Nguyen, Kien Dinh Nguyen, Mai Van Cao,
Thao Thi Bich Dao. Numerical and experimental studies for crack detection of a
beam-like structure using element stiffness index distribution method. Vietnam
Journal of Mechanics, VAST, Vol.39, No.3 (2017), pp. 203-214.
122
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Chondros T.G., Dimarogonas A.D., Yao J., A continuous cracked beam
vibration theory. Journal of Sound and Vibration 215(1) (1998), 17-34.
[2] Lee Y., Chung M., A study on crack detection using eigenfrequency test data.
Computers and Structures 77 (2000), 327-342.
[3] Orhan S., Analysis of free and forced vibration of a cracked cantilever beam.
NDT&E International 40 (2007), 443–450.
[4] Zheng D.Y., Kessissoglou N.J., Free vibration analysis of a cracked beam by
finite element method. Journal of Sound and Vibration 273 (2004), 457–475.
[5] Gudmundson P., Eigenfrequency changes of structures due to cracks, notches or
other geometrical changes. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 30
(1982), 339-53.
[6] Kisa M., Brandona J., Topcu M., Free vibration analysis of cracked beams by a
combination of finite elements and component mode synthesis methods. Computers
and Structures 67 (1998), 215-223.
[7] Fernadez-Saez J., Rubio L., and Navarro C., Approximate calculation of the
fundamental frequency for bending vibrations of cracked beams. Journal of Sound
and Vibration (1999), 225(2), 345-352.
[8] Loya J.A., Rubio L., Fernandez-Saez J., Natural frequencies for bending
vibrations of Timoshenko cracked beams. Journal of Sound and Vibration 290
(2006), 640–653.
[9] Lee J., Identification of multiple cracks in a beam using natural frequencies.
Journal of Sound and Vibration 320 (2009) 482–490.
[10] Neild S.A., McFadden P.D., Williams M.S., A discrete model of a vibration
beam using a time-stepping approach. Journal of Sound and Vibration 239(1)
(2001), 99-121.
[11] Douka E., Bamnios G., Trochidis A., A method for determining the location
and depth of cracks in double-cracked beams. Applied Acoustics 65 (2004), 997–
1008.
123
[12] Khaji N., Shafiei M., Jalalpour M., Closed-form solutions for crack detection
problem of Timoshenko beams with various boundary conditions. International
Journal of Mechanical Sciences 51 (2009) 667–681.
[13] Rosales M.B., Filipich C.P., Buezas F.S., Crack detection in beam-like
structures. Engineering Structures 31 (2009), 2257-2264.
[14] Lin H., Direct and inverse methods on free vibration analysis of simply
supported beams with a crack. Engineering Structures 26 (2004), 427–436.
[15] Matja Skrinar. Elastic beam finite element with an arbitrary number of
transverse cracks. Finite Elements in Analysis and Design 45 (2009), 181-189.
[16] Kisa M., Arif Gurel M., Modal analysis of multi-cracked beams with circular
cross section. Engineering Fracture Mechanics 73 (2006), 963–977.
[17] Caddemi S., Calio I., Exact closed-form solution for the vibration modes of the
Euler–Bernoulli beam with multiple open cracks. Journal of Sound and Vibration
327 (2009), 473-489.
[18] Chen Yang, S. Olutunde Oyadiji. Delamination detection in composite
laminate plates using 2D wavelet analysis of modal frequency surface. Computers
and Structures 179 (2017) 109–126.
[19] Carlson R.L., An Experimental Study of the Parametric Excitation of a
Tensioned Sheet with a Crack-like Opening. Experimental Mechanics 1974, Vol.
14, pp. 52-458.
[20] Gudmundson P., The Dynamic Behaviour of Slender Structures with Cross-
sectional Cracks. Journal of Mechanics Physics Solids 1983, Vol. 31, pp. 329-345.
[21] Kisa M. and Brandon J., The Effects of Closure of Cracks on the Dynamics of a
Cracked Cantilever Beam. Journal of Sound and Vibration 2000, Vol. 238(1), pp. 1-
18
[22] Chondros T.G., Dimarogonas A.D., and Yao J., Longitudinal Vibration of a
Bar with a Breathing Crack. Engineering Fracture Mechanics 1998, Vol. 61, pp.
503-518.
[23] Chondros T.G., Dimarogonas A. D., and Yao J., Vibration of a Beam with a
Breathing Crack. Journal of Sound and Vibration 2001, Vol. 239, pp. 57-67.
124
[24] Cheng S. M., Wu X. J., Wallace W., and Swamidas A. S. J., Vibrational
Response of a Beam with Breathing Crack. Journal of Sound and Vibration 1999,
Vol. 225(1), pp. 201-208.
[25] Luzzato E., Approximate Computation of Nonlinear Effects in a Vibrating
Cracked Beam. Journal of Sound and Vibration 2003, Vol. 265, p. 745-763.
[26] Sundermeyer J. N., and Weaver R. L., On Crack Identification and
Characterization in a Beam by Non-linear Vibration Analysis. Journal of Sound and
Vibration 1995, Vol. 183(5), pp. 857-871.
[27] Rivola A. and White P. R., Bispectral Analysis of the Bilinear Oscillator with
Application to the Detection of Fatigue Cracks. Journal of Sound and Vibration
1998, Vol. 216, pp. 889-910.
[28] Khoo L. M., Mantena P. R., and Jadhav P., Structural Damage Assessment
Using Vibration Modal Analysis. Structural Health Monitoring 2004, Vol. 3(2), pp.
177-194.
[29] Haritos N. and Owen J. S., The Use of Vibration Data for Damage Detection in
Bridges: A comparison of System Identification and Pattern Recognition
Approaches. Structural Health Monitoring 2004, Vol. 3(2), pp. 141-163.
[30] Verboven P., Parloo E., Guillaume P. and Overmeire M. V., Autonomous
Structural Health Monitoring - Part I: Modal Parameter Estimation and Tracking.
Mechanical Systems and Signal Processing 2002, Vol. 16(4), pp. 637-657.
[31] Verboven P., Parloo E., Guillaume P. and Overmeire M. V., Autonomous
Structural Health Monitoring - Part II: Vibration-based In-operation Damage
Assessement. Mechanical Systems and Signal Processing 2002, Vol. 16(4), pp. 659-
675.
[32] Vanlanduit S., Verboven P., Guillaume P., On-line Detection of Fatigue
Cracks Using an Automatic Mode Tracking Technique. Journal of Sound and
Vibration 2003, Vol. 266, pp. 805-814.
[33] Verboven P., Parloo E., Guillaume P. and Overmeire M. V., Autonomous
modal parameter estimation based on a statistical frequency domain maximum
likelihood approach. SEM International Modal Analysis Conference, Kissimmee,
FL, USA, 2001, pp. 1511-1517.
125
[34] Vanlanduit S., Verboven P., Schoukens J. and Guillaume P., An Automatic
Frequency Domain Modal Parameter Estimation Algorithm. COST F3 Conference
on Structural System Identification, Kassel, Germany, 2001.
[35] Khoa Viet Nguyen. Mode shapes analysis of a cracked beam and its
application for crack detection. Journal of Sound and Vibration 333 (2014) 848–872.
[36] M. El-Gebeily , Y.A. Khulief. Identification of wall-thinning and cracks in
pipes utilizing vibration modes and wavelets. Applied Mathematical Modelling 40
(2016) 5335–5348.
[37] Pandey A. K., Biswas M. and Samman M. M., Damage Detection from
Changes in Curvature Mode Shapes. Journal of Sound and Vibration 1991, Vol.
145(2), pp. 321-332.
[38] Abdel Wahab M.M., Damage detection in bridges using modal curvature:
application to a real damage scenario. Journal of Sound and Vibration 226(2)
(1999), 217-235.
[39] Qian G. L., Gu S. N., and Jiang J. S., The Dynamic Behaviour and Crack
Detection of a Beam with a Crack. Journal of Sound and Vibration 1990, Vol. 138,
pp. 233-243.
[40] Pandey A. K. and Biswas M., Damage Detection in Structures Using Changes
in Flexibility. Journal of Sound and Vibration 1994, Vol. 169(1), pp. 3-17.
[41] Patjawit A, Kanok-Nukulchai W., Health Monitoring of Highway Bridge
Based on a Global Flexibility Index. Engineering Structures 2005, Vol. 27, pp.
1385-1391.
[42] Rizzo P. and Scalea F. L., Ultrasonic Inspection of Multi-wire Steel Strands
With the Aid of the Wavelet Transform. Smart Materials and Structures 2005, Vol.
14, pp. 685-695.
[43] Rizzo P. and Scalea F. L., Feature Extraction for Defect Detection in Strands
by Guided Ultrasonic Waves. Structural Health Monitoring 2006, Vol. 5(3), pp.
297-308.
[44] Reda Taha M.M. and Lucero J., Damage Identification for Structural Health
Monitoring using Fuzzy Pattern Recognition. Engineering Structures 2005, Vol. 27,
pp. 1774-1783.
126
[45] Li H., Deng X., Dai H., Structural Damage Detection Using the Combination
Method of EMD and wavelet analysis. Mechanical Systems and Signal Processing
2007, Vol. 21, pp. 298-306.
[46] Bovsunovsky A. P. and Matveev V. V., Analytical Approach to the
Determination of Dynamic Characteristics of a Beam with a Closing Crack. Journal
of Sound and Vibration 2000, Vol. 235(3), pp. 415-434.
[47] Matveev V.V. and Bovsunovsky A.P., Vibration-based Diagnostics of Fatigue
Damage of Beam-like Structures. Journal of Sound and Vibration 2002, Vol. 249(1),
pp. 23-40.
[48] Ruotolo R., Surace C., Crespo P., and Storer D., Harmonic Analysis of the
Vibrations of a Cantilevered Beam with a Closing Crack. Computers & Structures
1996, Vol. 61, pp. 1057-1074.
[49] Pugno N., Surace C., and Routolo R., Evaluation of the Nonlinear Dynamic
Response to Harmonic Excitation of a Beam with Several Breathing Cracks. Journal
of Sound and Vibration 2000, Vol. 235(5), pp. 749-762.
[50] Pierfrancesco Cacciola and Giuseppe Muscolino. Dynamic Response of a
Rectangular Beam with a Known Non-propagating Crack of Certain or Uncertain
Depth. Computers and Structures 2003, Vol. 80, p. 2387-2396.
[51] Saavendra P. N. and Cuitino L. A., Crack Detection and Vibration Behaviour
of Cracked Beams. Computers and Structures 2001, Vol. 79, pp. 1451-1459.
[52] Shinha J. K. and Friswell M. I., Simulation of the Dynamic Response of a
Cracked Beam. Computers and Structures 2002, Vol. 80, pp. 1473-1475.
[53] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Ngô Trọng Đức. Phân tích dao động
cưỡng bức của dầm Timoshenko bằng vật liệu FGM có nhiều vết nứt. Tạp chí Khoa
học công nghệ xây dựng 2017, Tập 11 Số 3, p. 751-760.
[54] Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, Nguyen Tien Khiem. Free Vibration of
Multiple Cracked Functional Graded Timoshenko Beams. Latin American Journal
of Solid and Structures 2017, Vol. 14 No 09, p. 774-788.
[55] Tran Van Lien, Nguyen Tien Khiem, Ngo Trong Duc. Free Vibration Anslysis
of Functional Graded Timoshenko Beam Using Dynamic Stiffness Method. Latin
American Journal of Solid and Structures 2017, Vol. 14 No 09, p. 774-788.
127
[56] Junjie Ye, Yumin He, Xuefeng Chen, Zhi Zhai, Youming Wang, Zhengjia He.
Pipe crack identification based on finite element method of second generation
wavelets. Mechanical Systems and Signal Processing 24 (2010) 379–393.
[57] Reda Taha M. M., Noureldin A., Lucero J. L., and Baca T. J., Wavelet
Transform for Structural Health Monitoring: A compendium of Use and Features.
Structural Health Monitoring 2006, Vol. 5(3), pp. 267-295.
[58] Owen J. S., Eccles B. J., Choo B. S., and Wooding M. A., The Application of
Auto-Regressive Time Series Modelling for the Time-Frequency Analysis of Civil
Engineering Structures. Journal of Engineering Structures 2001, Vol. 23, pp. 521-
536.
[59] Ovanesova A.V. and Suarez L.E., Application of Wavelet Transform to
Damage Detection in Frame Structures. Journal of Engineering Structure 2004, Vol.
26, pp. 39-49.
[60] Wang Q. and Deng X., Damage Detection with Spatial Wavelets. International
Journal of Solids and Structures 1999, Vol. 36, pp. 3443-3468.
[61] Lu CJ. and Hsu YT., Vibration Analysis of an Inhomogeneous String for
Damage Detection by Wavelet Transform. International Journal of Mechanical
Science 2002, Vol. 44, pp. 745-754.
[62] Hou Z., Noori M. and Amand R. St., Wavelet based approach for structural
damage detection. Journal of Engineering Mechanics 2000, Vol. 126(7), pp. 677-
683.
[63] Basu B., Identification of Stiffness Degradation in Structures Using Wavelet
Analysis. Construction and Building Materials 2005, Vol. 19, pp. 713-721.
[64] Rucka M. and Wilde K., Crack Identification Using Wavelets on Experimental
Static Deflection Profiles. Engineering Structures 2006, Vol. 28, pp. 279-288.
[65] Poudel P. and Fu_ G., and Ye J., Structural Damage Detection Using Digital
Video Imaging Technique and Wavelet Transformation. Journal of Sound and
Vibration 2005, Vol. 286, pp. 869–895.
[66] Sun Z. and Chang C. C., Structural Damage Assessment Based on Wavelet
Packet Transform. Journal of Structural Engineering 2002, Vol. 128(10), pp. 1354-
1361.
128
[67] Gentile A. and Messina A. On the Continuous Wavelet Transforms Applied to
Discrete Vibration Data for Detecting Open Cracks in Damaged Beams.
International Journal of Solids and Structures 2003, Vol. 40, pp. 295-315.
[68] Loutridis S., Douka E., and Trochidis A., Crack Identification in Double-
cracked Beam Using Wavelet Analysis. Journal of Sound and Vibration 2004, Vol.
277, pp. 1025–1039.
[69] Hong J.-C., Kim Y.Y., Lee H.C., and Lee Y.W., Damage Detection Using the
Lipschitz Exponent Estimated by the Wavelet Transform: Applications to Vibration
Modes of a Beam. International Journal of Solids and Structures 2002, Vol. 39, pp.
1803-1816.
[70] Chang C-C., Chen L-W., Detection of the Location and Size of Cracks in the
Multiple Cracked Beam by Spatial Wavelet Based Approach. Mechanical Systems
and Signal Processing 2005, Vol. 19, pp. 139-155.
[71] Yan Y. J., Hao H. N., and Yam L. H., Vibration-based Construction and
Extraction of Structural Damage Feature Index. International Journal of Solids and
Structures 2004, Vol. 41, pp. 6661-6676.
[72] Law S.S, Li X. Y., Zhu X. Q., and Chan S. L., Structural Damage Detection
from Wavelet Packet Sensitivity. Engineering Structures 2005, Vol. 27, pp. 1339-
1348.
[73] Han J-G., Ren W-X., and Sun Z-S., Wavelet Packet Based Damage
Identification of Beam Structures. International Journal of Solids and Structures
2005, Vol. 42, pp. 6610-6627.
[74] Kishimoto K., Inoue H., Hamada M., Shibuya T., Time-frequency Analysis of
Dispersive waves by mean of Wavelet Transform. Journal of Applied Mechanics
1995, Vol. 62 (4), pp. 841-846.
[75] Inoue H., Kishimoto K., Shibuya T., Experimental Wavelet Analysis of
Flexural Waves in Beams. Experimental Mechanics 1996, Vol. 36, pp. 212-217.
[76] Tian J, Li Z, Su X., Crack Detection in Beams by Wavelet Analysis of
Transient Flexural Waves. Journal of Sound and Vibration 2003, Vol. 261, pp. 715-
727.
129
[77] Li Z, Xia S. Wang J, Su X., Damage Detection of Cracked Beams Based on
Wavelet Transform. International Journal of Impact Engineering 2006, Vol. 32, pp.
1190-1200.
[78] Castro E., Garcia-Hernandez M. T., Gallego A., Damage Detection in Rods by
Means of the Wavelet Analysis of Vibration: Influence of the Mode Order. Journal
of Sound and Vibration 2006, Vol. 296, pp. 1028-1038.
[79] Castro E., Garcia-Hernandez M. T., Gallego A., Defect Identification in Rods
Subject to Forced Vibration Using the Spatial Wavelet Transform. Journal of Sound
and Vibration, accepted 13 April 2006.
[80] Chang C-C. and Chen L-W., Damage Detection of a Rectangular Plate by
Spatial Wavelet Based Approach. Applied Acoustics 2004, Vol. 65, pp. 819-832.
[81] Douka E., Loutridis S., and Trochidis A., Crack Identification in Plates Using
Wavelet Analysis. Journal of Sound and Vibration 2004, Vol. 270, pp. 279–295.
[82] Loutridis S., Douk E., Hadjileontiadisc L.J., and Trochidis A., A Two-
dimensional Wavelet Transform for Detection of Cracks in Plates. Engineering
Structures 2005, Vol. 27, pp. 1327–1338.
[83] Rucka M., Wilde K., Application of Continuous Wavelet Transform in
Vibration Based Damage Detection Method for Beams and Plates. Journal of Sound
and Vibration 2006, Vol. 297, pp. 536-550.
[84] Byeong Hwa Kim, Taehyo Park, George Z. Voyiadjis. Damage estimation on
beam-like structures using the multi-resolution analysis. International Journal of
Solids and Structures 43 (2006) 4238–4257.
[85] X.Q. Zhu, S.S. Law. Wavelet-based crack identification of bridge beam from
operational deflection time history. International Journal of Solids and Structures 43
(2006) 2299–2317.
[86] A. Messina. Detecting damage in beams through digital differentiator filters
and continuous wavelet transforms. Journal of Sound and Vibration 272 (2004)
385–412.
[87] Hansang Kim, Hani Melhem. Damage detection of structures by wavelet
analysis. Engineering Structures 26 (2004) 347–362.
130
[88] Chih-Chieh Chang, Lien-Wen Chen. Vibration damage detection of a
Timoshenko beam by spatial wavelet based approach. Applied Acoustics 64 (2003)
1217–1240.
[89] M. Haase, J. Widjajakusuma. Damage identification based on ridges and
maxima lines of the wavelet transform. International Journal of Engineering Science
41 (2003) 1423–1443.
[90] Ser-Tong Quek, Quan Wang, Liang Zhang, Kian-Keong Ang. Sensitivity
analysis of crack detection in beams by wavelet technique. International Journal of
Mechanical Sciences 43 (2001) 2899–2910.
[91] Helong Lia, Xiaoyan Dengb, Hongliang Dai. Structural damage detection
using the combination method of EMD and wavelet analysis. Mechanical Systems
and Signal Processing 21 (2007) 298–306.
[92] Shuncong Zhong, S. Olutunde Oyadiji. Crack detection in simply supported
beams without baseline modal parameters by stationary wavelet transform.
Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 1853–1884.
[93] Jiayong Tian, Zheng Li, Xianyue Su. Crack detection in beams by wavelet
analysis of transient flexural waves. Journal of Sound and Vibration 261 (2003)
715–727.
[94] J. Grabowska, M. Palaczb, M. Krawczuk. Damage identification by wavelet
analysis. Mechanical Systems and Signal Processing 22 (2008) 1623–1635.
[95] Arcangelo Messina. Refinements of damage detection methods based on
wavelet analysis of dynamical shapes. International Journal of Solids and Structures
45 (2008) 4068–4097.
[96] H.F. Lam, C.T. Ng. A probabilistic method for the detection of obstructed
cracks of beam-type structures using spatial wavelet transform. Probabilistic
Engineering Mechanics 23 (2008) 237–245.
[97] Shuncong Zhong, S. Olutunde Oyadiji, Detection of cracks in simply-
supported beams by continuous wavelet transform of reconstructed modal data.
International Journal of Solids and Structures 46 (2009) 4379–4395.
131
[98] Wei Fan, Pizhong Qiao. A 2-D continuous wavelet transform of mode shape
data for damage detection of plate structures. International Journal of Solids and
Structures 46 (2009) 4379–4395.
[99] Andrzej Katunin. Damage identification in composite plates using two-
dimensional B-spline wavelets. Mechanical Systems and Signal Processing 25
(2011) 3153–3167.
[100] Hakan Gokdag, Osman Kopmaz. A new damage detection approach for
beam-type structures based on the combination of continuous and discrete wavelet
transforms. Journal of Sound and Vibration 324 (2009) 1158–1180.
[101] Chang Tao, Yiming Fu, Ting Dai, Dynamic analysis for cracked fiber-metal
laminated beams carrying moving loads and its application for wavelet based crack
detection. Composite Structures 159 (2017) 463–470.
[102] D.M. Joglekar, M. Mitra. Analysis of flexural wave propagation through
beams with a breathing crack using wavelet spectral finite element method. Journal
of Sound and Vibration 324 (2009) 1158–1180.
[103] Mario Solís, Mario Algaba, Pedro Galvín. Continuous wavelet analysis of
mode shapes differences for damage detection. Mechanical Systems and Signal
Processing 40 (2013) 645–666.
[104] N. Wu, Q. Wang. Experimental studies on damage detection of beam
structures with wavelet transform. International Journal of Engineering Science 49
(2011) 253–261.
[105] Wei C. Su, Tuyen Q. Le, Chiung S. Huang, Pei Y. Lin. Locating damaged
storeys in a structure based on its identified modal parameters in Cauchy wavelet
domain.
[106] Wen-Yu He, Songye Zhu. Progressive damage detection based on multi-scale
wavelet finite element model: numerical study. Computers and Structures 125
(2013) 177–186.
[107] Guirong Yan, Zhongdong Duan, Jinping Ou, Alessandro De Stefano.
Structural damage detection using residual forces based on wavelet transform.
Mechanical Systems and Signal Processing 24 (2010) 224–239.
132
[108] D. Hester, A. Gonza´lez, A wavelet-based damage detection algorithm based
on bridge acceleration response to a vehicle. Mechanical Systems and Signal
Processing 28 (2012) 145–166.
[109] M. Makki Alamdari, J. Li, B. Samali, Damage identification using 2-D
discrete wavelet transform on extended operational mode shapes. Archives of civil
and mechanical engineering 15 (2015) 698–710.
[110] Khoa Viet Nguyen, Hai Thanh Tran, Multi-cracks detection of a beam-like
structure based on the on-vehicle vibration signal and wavelet analysis. Journal of
Sound and Vibration 329 (2010) 4455–4465.
[111] Khoa Viet Nguyen. Comparison studies of open and breathing crack
detections of a beam-like bridge subjected to a moving vehicle. Engineering
Structures 51 (2013) 306–314.
[112] Andrzej Katunin, Piotr Przystałka. Damage assessment in composite plates
using fractional wavelet transform of modal shapes with optimized selection of
spatial wavelets. Engineering Applications of Artificial Intelligence 30 (2014) 73–
85.
[113] K. Dziedziech, W.J. Staszewski, B. Basu, T. Uhl. Wavelet-based detection of
abrupt changes in natural frequencies of time-variant systems. Mechanical Systems
and Signal Processing 64-65 (2015) 347–359.
[114] Khoa Viet Nguyen. Crack detection of a double-beam carrying a
concentrated mass. Mechanics Research Communications 75 (2016) 20–28.
[115] Rims Janeliukstis, Sandris Rucevskis, Miroslav Wesolowski, and Andris
Chate. Multiple damage identification in beam structure based on wavelet
transform. Procedia Engineering 172 ( 2017 ) 426 – 432.
[116] Scanlan, R.H., 2000. Motion related body-force functions in two-dimensional
low-speed flow. J. Fluids Struct. 14, 49-63.
[117] Scanlan, R.H., 2001. Reexamination of sectional aerodynamic force functions
for bridges. J. Wind Eng. Ind. Aerodyn. 89 (14-15), 1257-1266.
[118] G. R. Liu and S. S. Quek. The finite element method: A practical course.
Linacre House, Jordan Hill, Oxford, (2003).
133
[119] Lin YH, Trethewey MW. Finite element analysis of elastic beams subjected
to moving dynamic loads. Journal of Sound and Vibration 136(2) (1989): 323–342.
[120] Mallat S., A Wavelet Tour of Data Processing. Second Edition, London:
Academic Press, 1999.
[121] J. Kawecki, J.A. Zuranski. Cross-wind vibrations of steel chimneys - A new
case history. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 95 (2007)
1166–1175.
[122] Addition P. S., The Illustrated Wavelet Transform Handbook. Institute of
Physics Publishing Bristol and Philadelphia, 2002.
[123] Daubechies I., Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Conference series, 61.
Philadelphia, PA: SISAM, 1992.
[124] Hansen P.C., Regularization tools version 4.0 for Matlab 7.3. SIAM
Numerical Algorithms, 46, 189-194, 2007.
[125] Hansen P.C., The truncated SVD as a method for regularization, BIT 27
(1987) 534–553.
[126] A. K. Chopra, Dynamics of Strucutres. Theory and applications to
earthquake engineering. Prentice -Hall Inc. Simson & Schuster Company 1995.
[127] Z. Oniszczuk. Free transverse vibrations of elastically connected simply
supported doublebeam complex system. Journal of Sound and Vibration, 232, (2),
(2000), pp. 387–403.
[128] Q. Mao. Free vibration analysis of elastically connected multiple-beams by
using the Adomian modified decomposition method. Journal of Sound and
Vibration, 331, (11), (2012),pp. 2532–2542.
[129] J. R. Banerjee. Free vibration of beams carrying spring-mass systems - A
dynamic stiffness approach. Computers & Structures, 104, (2012), pp. 21–26.
[130] Nguyen Viet Khoa. Monitoring a sudden crack of beam-like bridge during
earthquake excitation. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 35, No. 3
(2013), 189 – 202.
134
PHỤ LỤC
%Input--------------------------------------------------------
b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1); ez(2)-ez(1) ];
L=sqrt(b'*b); n1=b/L; lc=sqrt(eo*eo'); n3=eo/lc; Xy=ec(1); Xz=ec(2);
%
if nargin==6; eq=[0 0 0 0]; end
qx=eq(1); qy=eq(2); qz=eq(3); qw=eq(4);
%Stiffness of cracked element-----------------------
A=ep(1);EG=ep(2);G=ep(3);Iz=ep(4); Iy=ep(5);J=ep(6);
a=E*A/L ; b=12*E*Iz/L^3 ; c=6*E*Iz/L^2;
d=12*E*Iy/L^3 ; e=36*E*Iy/L^2 ; f=G*J/L;
g=2*E*Iy/L ; h=2*E*Iz/L ;
%-Compliance matrix of intact beam-----------------
c11=L/A/E;c22=Xz*L/G/A+L^2/3/E/Iz;c26=L^2/2/E/Iz;
c33=Xy*L^2/G/A+L^3/3/E/Iy;c35=-L^2/2/E/Iy;c44=L/G/J;c55=L/E/Iy;
c53=c35;c66=L/E/Iz;c62=c26;
Cin=[c11 0 0 0 0 0 ;
0 c22 0 0 0 c26 ;
0 0 c33 0 c35 0 ;
0 0 0 c44 0 0 ;
0 0 c53 0 c55 0 ;
0 c62 0 0 0 c66];
%-Compliance matrix of cracked beam----------------
intstep=100;s=0; x=0;m=1+nu;ds=aa/h/intstep;E_=E/(1-nu^2);
if aa>0 & aa<h
for i=1:intstep
s=s+ds;
x(i)=s; F1(i)=sqrt(2/pi/s*tan(pi*s/2))/cos(pi*s/2)*(0.752+2.02*s+0.37*(1-
sin(pi*s/2))^3);
F2(i)=sqrt(2/pi/s*tan(pi*s/2))/cos(pi*s/2)*(0.923+0.199*(1-sin(pi*s/2))^4);
FII(i)=(1.122-0.561*s+0.085*s^2+0.18*s^3)/sqrt(1-s);
FIII(i)=sqrt(2/pi/s*tan(pi*s/2));
F12(i)=s*F1(i)^2;F22(i)=s*F2(i)^2;FII2(i)=s*FII(i)^2;
FIII2(i)=s*FIII(i)^2;F1F2(i)=s*F1(i)*F2(i);
end
end
T=[ -1 0 0 0 0 0;
0 -1 0 0 0 0;
0 0 -1 0 0 0;
0 0 0 -1 0 0;
0 0 -L 0 -1 0;
0 -L 0 0 0 -1;
1 0 0 0 0 0;
0 1 0 0 0 0;
0 0 1 0 0 0;
0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 1 0;
0 0 0 0 0 1];
C=Cin+Cc;
Ke=T*inv(C)*T';
%Tranfer to global coordinate----------------------
n2(1)=n3(2)*n1(3)-n3(3)*n1(2);
n2(2)=-n3(3)*n3(1)+n3(1)*n3(3);
n2(3)=n3(1)*n1(2)-n1(1)*n3(2);
%
An=[n1;n2;n3];
%
G=[ An zeros(3) zeros(3) zeros(3);
zeros(3) An zeros(3) zeros(3);
zeros(3) zeros(3) An zeros(3);
zeros(3) zeros(3) zeros(3) An ];
Ke1=G'*Ke*G; Ke=Ke1;
for i=1:ne %Element stiffness matrix
ke(i,1,1)=3;ke(i,1,2)=3*a;ke(i,1,3)=-3;ke(i,1,4)=3*a;
ke(i,2,1)=3*a;ke(i,2,2)=4*a*a;ke(i,2,3)=-3*a;ke(i,2,4)=2*a*a;
ke(i,3,1)=-3;ke(i,3,2)=-3*a;ke(i,3,3)=3;ke(i,3,4)=-3*a;
ke(i,4,1)=3*a;ke(i,4,2)=2*a*a;ke(i,4,3)=-3*a;ke(i,4,4)=4*a*a;
end
135
ke=ke*E*I/2/a/a/a;
for i=1:ne %Element mass matrix
me(i,1,1)=78;me(i,1,2)=22*a;me(i,1,3)=27;me(i,1,4)=-13*a;
me(i,2,1)=22*a;me(i,2,2)=8*a*a;me(i,2,3)=13*a;
me(i,2,4)=-6*a*a;me(i,3,1)=27;me(i,3,2)=13*a;
me(i,3,3)=78;me(i,3,4)=-22*a;me(i,4,1)=-13*a;me(i,4,2)=-6*a*a;
me(i,4,3)=-22*a;me(i,4,4)=8*a*a;
end
me=me*rho*A*a/105;
%Assembled stiffness matrix
for i=1:ne
for j=1:4
for k=1:4
KK(2*i-2+j,2*i-2+k)=KK(2*i-2+j,2*i-2+k)+ke(i+1,j,k);
end
end
end
%Assembled masss matrix
for i=1:ne
for j=1:4
for k=1:4
MM(2*i-2+j,2*i-3+k)=MM(2*i-2+j,2*i-2+k)+me(i+1,j,k);
end
end
end
%Calculate Reiglay damping
alpha=2*La(1)*La(2)*(kxi1*La(2)-kxi2*La(1))/(La(2)^2-La(1)^2);
beta=2*(kxi2*La(2)-kxi1*La(1))/(La(2)^2-La(1)^2);
C=beta*K+alpha*M;
%Newmark algorism-------------------------
function [di,time,v] = newmark(value,L,b,h,ro,E,Ci1,Ci2,ne,ni)
nnel=2; % So nut cua moi phan tu
ndof=2; % So bac tu do tai moi nut
nnode=(nnel-1)*ne+1; % Tong so nut cua ca he
sdof=nnode*ndof; % Tong so bac tu do cua ca he
edof=nnel*ndof; % So bac tu do cua moi phan tu
Qe = 0;
Q = value(1); %
w = value(2); %
v = value(3); %
s1 = value(4); %
s2 = value(5); %
s3 = value(6); %
s4 = value(7); %
alpha =1/4;xima=1/2;
% --- A. Tinh toan ban dau ---------------------------------------
% --- 1. Xay dung ma tran do cung K, ma tran khoi luong M -------------Le=L/ne; %
A=b*h; % Dien tich mat cat ngang (m2)
I=b*h^3/12; % Momen quan tinh mat cat ngang (m^4)
% Khoi tao ma tran khoi luong, do cung, vector luc tong the
K = zeros(sdof,sdof);M = zeros(sdof,sdof);
% Khoi tao vector chi so ghep noi
index=zeros(edof,1);
for iel=1:ne
start = (iel-1)*2;
for i=1:4
index(i)=start+i;
end
[Ke,Me] = bernoulli(Le,A,E,ro,I);
K = ghepnoimatran(K,Ke,index);
M = ghepnoimatran(M,Me,index);
end
% Dieu kien bien
bcdof=[1,2,sdof-1,sdof];s=[s1,s2,s3,s4];[K,M] = ap_dkb(K,M,bcdof,s);
fre=eig(K,M); % Giai phuong trinh gia tri rieng
fre=sqrt(fre)/(2*3.1416); %hz
C = tinhc(Ke,Me,Ci1,Ci2,fre(1),fre(2),bcdof,s,sdof,index);
% Tinh toan dong
dx=Le/10;dt=dx/v;step_x=Le/dx;di=zeros(ne*step_x,1);
136
time=zeros(ne*step_x,1);count=2;
% --- 2. Cho gia tri ban dau ----------------------------------------------
U0=zeros(length(K),1);Ud0=zeros(length(K),1);Udd0=zeros(length(K),1);
t=0;
% --- 3. Tinh cac he so tich phan -----------------------------------------
a0=1/(alpha*dt^2);a1=xima/(alpha*dt);a2=1/(alpha*dt);
a3=1/(2*alpha)-1;a4=xima/alpha-1;a5=0.5*dt*(xima/alpha-2);
a6=dt*(1-xima);a7=xima*dt;Kmu = K+a0*M+a1*C;
% --- B. Tai moi buoc tinh ------------------------------------------------
for i=1:ne
for j=1:step_x
% --- 1. Tinh vector tai huu hieu tai thoi diem t+dt --------------
t=t+dt;
ax=t*v-(i-1)*Le;
P=zeros(sdof,1);
Pe = Q*[1-3*(ax/Le)^2+2*(ax/Le)^3
ax-2*(ax^2/Le)+ax^3/Le^2
3*(ax/Le)^2-2*(ax/Le)^3
-ax^2/Le+ax^3/Le^2]; %*sin(w*t)
for l=1:4
P((i-1)*2+l)=Pe(l);
end
if rem(ne,2)==0
P(sdof/2-1)=P(sdof/2-1)+Qe*Le/2;
P(sdof/2)=P(sdof/2)+Qe*Le^2/8;
P(sdof/2+1)=P(sdof/2+1)+Qe*Le/2;
P(sdof/2+2)=P(sdof/2+2)-Qe*Le^2/8;
else
P(sdof/2)=P(sdof/2)+Qe*Le/2;
P(sdof/2+1)=P(sdof/2+1)+Qe*Le^2/8;
P(sdof/2+2)=P(sdof/2+2)+Qe*Le/2;
P(sdof/2+3)=P(sdof/2+3)-Qe*Le^2/8;
end
for m = length(bcdof):-1:1
c = bcdof(m);
if s(m) == 0
P(c)=[];
end
end
Pmu = P+M*(a0*U0+a2*Ud0+a3*Udd0)+C*(a1*U0+a4*Ud0+a5*Udd0);
% --- 2. Tinh chuyen vi nut ------------------------------
U=Kmu\Pmu;
% --- 3. Tinh gia toc, van toc tai thoi diem t+dt --------
Udd_t=a0*(U-U0)-a2*Ud0-a3*Udd0;
Ud_t=Ud0+a6*Udd0+a7*Udd_t;
U0=U; Ud0=Ud_t; Udd0=Udd_t;
%---------------------------------------------------------
if s1 ==0
if s2==0
U = [0;0;U(1:length(U))];
else
U = [0;U(1:length(U))];
end
end
if s2 ==0
U = [U(1);0;U(2:length(U))];
end
di(count)=U(ni);
time(count)=t;
count=count+1;
end
end
end
%End of newmark algorism--------------------
P.5. Mã c?a modul tính toán bi?n ??i wavelet
dx=1; dx=dt*1000/zoom; c = strcmp(wname,'mexh');
if c==0
pos1=[0.1 0.74 0.7 0.2];
pos2=[0.1 0.42 0.7 0.2];
137
pos3=[0.1 0.1 0.7 0.2];
s_=s;
%----filter the exciting frequency
if filter==0
ss=s_;
end
if filter==1
sss=s_;
[ss]=lowpass_filter(ss);
end
if filter==2
sss=s_;
[ss]=hipass_filter(ss);
end
ss=Kalman(ss);
n=size(cd,2);
cd=ss;
for i=1:1
h=cwt(cd,1:level_index,wname);
cd=h(level_index,:);
end
handle1 = subplot('position',pos1); plot(t,ss);
xlabel('Thoi gian s'
,'color','black','fontsize',12);ylabel('Gia
toc ','color','black','fontsize',12);
handle2 = subplot('position',pos2); plot(t,cd);
xlabel('Thoi gian (s)','color','black','fontsize',12);ylabel('He so
wavelet','color','black','fontsize',12);
z=cd';
%--------find irregular points
[min,max]=minmax(cd);
max=(max-min);
distance=4;
for i=distance+1:n-distance-1
ok=1;
%j=i*2;
dy1=cd(i)-cd(i-1);
dy2=cd(i)-cd(i+1);
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if (dy1*dy2>=0) %& (sumdy>max/5) % points should be extrema, big
enough
for k=1:distance
if abs(cd(i))<abs(cd(i+k)) | abs(cd(i))<abs(cd(i-k))
% points should be extrema in its local vicinity
ok=0;
end
end
xx=cd(i-distance+1:i);
xx=abs(xx);
[min1,max1]=minmax(xx);
dy1=max1-min1;
xx=abs(cd(i:i+distance-1));
[min1,max1]=minmax(xx);
dy2=max1-min1;
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
end
end
%-------------------------------
handle3=subplot('position',pos3);h=cwt(ss,1:level_index,wname,'abslvl');title('2-
D wavelet transform ','color','b');
figure; plot(t,cd);
xlabel('Time (s)','color','black','fontsize',11);ylabel('Wavelet
coefficient','color','black','fontsize',11);
end
end
if draw_type==2 %Original data
dx=1; dx=dt*1000/zoom; pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 = subplot('position',pos1);
plot(ss);title('Original Data','color','b','EraseMode','xor');
138
grid;
set(handle1,'Interruptible','off','BusyAction','cancel','ButtonDownFcn','kcursor'
);
data_number=size(ss,2);
[min max]=minmax(ss);
end
if draw_type==3 %Approximation
dx=1;
dx=dt*1000/zoom;
[ca cd]=dwt(ss,wname);
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
n=size(ca,2);
t=[1:n]*dt*1000/zoom;
handle1 =
subplot('position',pos1);plot(ca);title('Approximation','color','b');
xlabel('Time','color','b');ylabel('Wavelet coefficient','color','b');
grid;
set(handle1,'Interruptible','off');
set(handle1,'ButtonDownFcn','kcursor');
data_number=size(ca,2);
[min max]=minmax(ca);
end
if draw_type==4 %Detail
dx=1;
dx=dt*1000/zoom;
c = strcmp(wname,'mexh');
if c==0
[ca cd]=dwt(s,wname);
n=size(cd,2);
h=cwt(ss,1:level,wname);
cd=h(level_index,:);
n=size(cd,2);
t=[1:n]*dt*1000/zoom;
%-------lowpass filter
if filter==1
[cd]=lowpass_filter(cd);
end
if filter==2
[cd]=hipass_filter(cd);
end
distance=10;
cd(1:distance)=0;cd(n-distance+1:n)=0;
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1=subplot('position',pos1);plot(t,cd);title('Detail','color','b');
grid;
%--------find irregular points
[min,max]=minmax(cd);
max=(max-min);
distance=4;
for i=distance+1:n-distance-1
ok=1;
dy1=cd(i)-cd(i-1);
dy2=cd(i)-cd(i+1);
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if (dy1*dy2>=0) %& (sumdy>max/5) % points should be extrema, big enough
for k=1:distance
if abs(cd(i))<abs(cd(i+k)) | abs(cd(i))<abs(cd(i-k)) % points should be
extrema in its local vicinity
ok=0;
end
end
xx=cd(i-distance+1:i); xx=abs(xx);
[min1,max1]=minmax(xx); dy1=max1-min1;
xx=abs(cd(i:i+distance-1)); [min1,max1]=minmax(xx);
dy2=max1-min1; sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if ok==1 & sumdy>max/3
for k=1:distance
if ss(i-k)*ss(i+k)<0 % stress at irregular point should be zero
text(i,cd(i),'\leftarrow','HorizontalAlignment','left','color','red');
139
end
end
end
end
end
set(handle1,'Interruptible','off');
set(handle1,'ButtonDownFcn','kcursor');
data_number=size(cd,2)*dt*1000/zoom;
[min max]=minmax(cd);
end
end
P.6. Mã c?a modul tính ph? wavelet
n=size(ss,2);
n1=round(size(ss,2)/2);
ss(1:n1)=ss(1:n1)*1;
level=50;
ss=highpass(filterlevel,ss);
ss=lowpass(filterlevel,ss);
ss=Kalman(ss);
m=5;
for j=1:round(n/m)-1
X=ss((j-1)*m+1:j*m);
[min max Imin Imax]=minmax(X);
max=abs(max);
if abs(max)<abs(min)
max=abs(min);
end
ss((j-1)*m+1:j*m)=ss((j-1)*m+1:j*m)/max;
end
h=cwt(ss,1:level,wname);
m=round(4*n/100);
for i=1:level-3+1
h(i,1:m)=0;%h(i,m+1);
h(i,n-m:n)=0;%h(i,n-m-1);
end
max_=zeros;
for j=1:n
X=h(start:stop,j);
[min max Imin Imax]=minmax(X);
h(1:level,j)=h(1:level,j)/max;
end
P.7. Mã c?a modul l?c nhi?u Kalman
N=1000;t=[1:N];
%Predict
for i=2:N;
x_hat_(i)=x_hat(i-1)+B*u(k);
p_(i)=A*p(i+1)*AT+q;
k(i)=p_(i)*HT/(H*p_(i)*HT+r);
x_hat(i)=x_hat_(i-1)+k(i)*(z(i)-x_hat_(i));
p(i)=(1-k(i))*p_(i);
end
%Update
x_hat1(N)=z(N);
for i=1:N-1;
x_hat_1(N-i)=x_hat1(N-i+1);
p_(N-i)=p(N-i+1)+q;
k(N-i)=p_(N-i)/(p_(N-i)+r);
x_hat1(N-i)=x_hat_1(N-i)+k(N-i)*(z(N-i)-x_hat_1(N-i));
p(N-i)=(1-k(N-i))*p_(N-i);
end
x=(x_hat+x_hat1);z=x_hat';
P.8. Mã c?a modul phát hi?n h? h?ng
if draw_type==1 %overview
dx=1; dx=dt*1000/zoom; c = strcmp(wname,'mexh');
if c==0
pos1=[0.1 0.74 0.7 0.2];
pos2=[0.1 0.42 0.7 0.2];
pos3=[0.1 0.1 0.7 0.2];
s_=s;
140
s_=Kalman(s_);
cd=h(level_index,:);
t=[1:n]*dt;
%----------------------
handle1 = subplot('position',pos1); plot(t,ss);
xlabel('Thoi gian (s)','color','black','fontsize',12);ylabel('Gia toc
','color','black','fontsize',12);
handle2 = subplot('position',pos2); plot(t,cd);
xlabel('Thoi gian (s)','color','black','fontsize',12);ylabel('He so
wavelet','color','black','fontsize',12);
%--------find irregular points
[min,max]=minmax(cd);
max=(max-min);
distance=4;
for i=distance+1:n-distance-1
ok=1;
%j=i*2;
dy1=cd(i)-cd(i-1);
dy2=cd(i)-cd(i+1);
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if (dy1*dy2>=0) %& (sumdy>max/5) % points should be extrema, big
enough
for k=1:distance
if abs(cd(i))<abs(cd(i+k)) | abs(cd(i))<abs(cd(i-k)) % points
should be extrema in its local vicinity
ok=0;
end
end
xx=cd(i-distance+1:i);
xx=abs(xx);
[min1,max1]=minmax(xx);
dy1=max1-min1;
xx=abs(cd(i:i+distance-1));
[min1,max1]=minmax(xx);
dy2=max1-min1;
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
end
end
%-------------------------------
handle3 =
subplot('position',pos3);h=cwt(ss,1:level_index,wname,'abslvl');title('2-D
wavelet transform ','color','b');
figure; plot(t,cd);
xlabel('Time (s)','color','black','fontsize',11);ylabel('Wavelet
coefficient','color','black','fontsize',11);
[ca,cd5]=swt(ss,1,wname);
figure; plot(ca);
end
end
if draw_type==2 %Original data
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 = subplot('position',pos1);
plot(ss);title('Original Data','color','b','EraseMode','xor');
grid;
set(handle1,'Interruptible','off','BusyAction','cancel','ButtonDownFcn','kcursor'
);
end
if draw_type==3 %Approximation
[ca cd]=dwt(ss,wname);
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
n=size(ca,2);
handle1=subplot('position',pos1);plot(ca);title('Approximation','color','b');
xlabel('Time','color','b');ylabel('Wavelet coefficient','color','b');
grid;
set(handle1,'Interruptible','off');
set(handle1,'ButtonDownFcn','kcursor');
data_number=size(ca,2);
141
[min max]=minmax(ca);
end
if draw_type==4 %Detail
c = strcmp(wname,'mexh');
if c==0
[ca cd]=dwt(s,wname);
%-------lowpass filter
if filter==1
[cd]=lowpass_filter(cd);
end
if filter==2
[cd]=hipass_filter(cd);
end
distance=10;
cd(1:distance)=0;cd(n-distance+1:n)=0;
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 =
subplot('position',pos1);plot(t,cd);title('Detail','color','b');
grid;
%--------find irregular points
[min,max]=minmax(cd);
max=(max-min);
distance=4;
for i=distance+1:n-distance-1
ok=1;
%j=i*2;
dy1=cd(i)-cd(i-1);
dy2=cd(i)-cd(i+1);
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if (dy1*dy2>=0) %& (sumdy>max/5) % points should be extrema, big
enough
for k=1:distance
if abs(cd(i))<abs(cd(i+k)) | abs(cd(i))<abs(cd(i-k)) % points
should be extrema in its local vicinity
ok=0;
end
end
xx=cd(i-distance+1:i);
xx=abs(xx);
[min1,max1]=minmax(xx);
dy1=max1-min1;
xx=abs(cd(i:i+distance-1));
[min1,max1]=minmax(xx);
dy2=max1-min1;
sumdy=abs(dy1)+abs(dy2);
if ok==1 & sumdy>max/3
for k=1:distance
if ss(i-k)*ss(i+k)<0 % stress at irregular point should be
zero
text(i,cd(i),'\leftarrow
','HorizontalAlignment','left','color','red');
end
end
end
end
end
%-------------------------------
set(handle1,'Interruptible','off');
set(handle1,'ButtonDownFcn','kcursor');
data_number=size(cd,2)*dt*1000/zoom;
end
end
if draw_type==5 %Wavelet Coefficients
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 = subplot('position',pos1);
h=cwt(ss,d_level,wname,'absglb');
end
142
if draw_type==6 %Continuous wavelet
figure;
h=cwt(ss,[1:level],wname);
n=size(ss,2);
t=[1:n]*dt/zoom;
d=[1:level];
surf(t,d,h);
end
if draw_type==7 %Continuous Wavelet Coefficients
cla reset;
h=cwt(ss,1:level,wname);
n=size(ss,1);
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 = subplot('position',pos1);
hold on;
for i=2:11
continue_result=h(i,:).';
plot(continue_result);
end
grid;
title('Continuous Wavelet Coefficients','color','b');
set(handle1,'Interruptible','off','BusyAction','cancel','ButtonDownFcn','kcursor'
);
data_number=size(continue_result,1);
[min max]=minmax(continue_result.');
end
P.9. Mã c?a modul ?ánh giá m?c ?? h? h?ng và ??a ra c?nh báo nguy c? m?t an toàn
k?t c?u
if draw_type==8 %Damage assessment and warning
dscale=1;
n=size(ss,2);
n1=round(size(ss,2)/2);
ss(1:n1)=ss(1:n1)*1;
level=100;
scales=[1:level]*dscale;
filterlevel=0;
ss=highpass(filterlevel,ss);
filterlevel=00;
ss=lowpass(filterlevel,ss);
h=cwt(ss,scales,wname);
max_=zeros;
if k<n
tt=n*dt;
k=k+1;
t(k)=tt;
f(k)=f(k-1);
end
max_=f;
%Eleminate boundary effect
n=size(max_,1);
distance1=round(14*n/100);distance2=round(20*n/100);
max_(1:distance1)=max_(distance1+1:2*distance1);
max_(n-distance2+1:n)=max_(n-2*distance2+1:n-distance2);
figure;
plot(t,max_);
xlabel('Time (s)','color','black','fontsize',10);
ylabel('Frequency (Hz)','color','black','fontsize',10);
t=t';
max_=max_';
tt=(0.1:7)*10;
[max_IF min_IF]=max(max_);
damage=(maxIF-minIF)/total_damage;
end
if damage>0.3
warning;
end
end
if draw_type==12 %Lipschitz
dx=1;
143
dx=dt*1000/zoom;
pos1=[0.1 0.74 0.7 0.2];
pos2=[0.1 0.42 0.7 0.2];
pos3=[0.1 0.1 0.7 0.2];
handle1 = subplot('position',pos1);
h=cwt(ss,1:level,wname); n=size(h,2); m=1; distance=3;
for i=1:level-m
x(i)=log(i+m);
end
for i=1:n
for l=1:level-m
modulus(l)=abs(h(l+m,i));
for ll=1:distance
k=round(i-distance/2+ll);
if k<=0
k=1;
end
if k>n
k=n;
end
if modulus(l)<abs(h(l+m,k))
modulus(l)=abs(h(l+m,k));
end
end
end
end
handle1 = subplot('position',pos1);plot(ss);title('Original Data','color','b');
handle2=subplot('position',pos2);plot(lipschitz);title('Lipschitz
exponent','color','b');
handle3=subplot('position',pos3);h=cwt(ss,1:level,wname,'abslvl');title('Wavelet
Coefficients','color','b');
set(handle1,'Interruptible','off','BusyAction','cancel','ButtonDownFcn','kcursor'
);
data_number=n;
[min max]=minmax(lipschitz);
end
if draw_type==13 %phase shift
n=size(s1,1);
phase(s1,s2,s3,s4,s5,s6);
h=figure;
[min max]=minmax(phi');
ratio=max-min;
for i=1:6
phi(i)=(phi(i)-min)/ratio;
end
plot(phi);
xlabel('Measurement position','color','b','fontsize',10);ylabel('Normalized
phase','color','b','fontsize',10);
end
if draw_type==14 %phase of transfer function
x=s2;xx=(fft(x));yy1=(fft(s1));yy2=(fft(s2));yy3=(fft(s3));
yy4=(fft(s4));yy5=(fft(s5));yy6=(fft(s6));
n=round(size(yy1,1)/2);
f=(0:n-1);
dx=1/2/n/dt*zoom;
xx=xx(1:n);
yy=yy2(1:n);
yy=abs(yy);%./abs(xx);
yy1=yy1(1:n);
for i=1:n
yy1(i)=yy1(i)/xx(i);
phaseyy1(i)=angle(yy1(i))*180/2/pi;
end
yy2=yy2(1:n);
for i=1:n
yy2(i)=yy2(i)/xx(i);
phaseyy2(i)=angle(yy2(i))*180/2/pi;
end
yy3=yy3(1:n);
144
for i=1:n
yy3(i)=yy3(i)/xx(i);
phaseyy3(i)=angle(yy3(i))*180/2/pi;
end
yy4=yy4(1:n);
for i=1:n
yy4(i)=yy4(i)/xx(i);
phaseyy4(i)=angle(yy4(i))*180/2/pi;
end
yy5=yy5(1:n);
for i=1:n
yy5(i)=yy5(i)/xx(i);
phaseyy5(i)=angle(yy5(i))*180/2/pi;
end
yy6=yy6(1:n);
for i=1:n
yy6(i)=yy6(i)/xx(i);
phaseyy6(i)=angle(yy6(i))*180/2/pi;
end
pos1=[0.1 0.1 0.7 0.8];
handle1 = subplot('position',pos1);
yy(1:2)=0;
plot(f,yy);
title('Transfer function','color','b');
set(handle1,'Interruptible','off','BusyAction','cancel','ButtonDownFcn','kcursor'
);
data_number=size(yy,1);
[min max]=minmax(yy.');
k=1;
yy(1:1)=0;
for i=1:n
for j=i:n
if yy(i)<yy(j)
z=yy(i);yy(i)=yy(j);yy(j)=z;z=phaseyy1(i);
phaseyy1(i)=phaseyy1(j);phaseyy1(j)=z;
z=phaseyy2(i);phaseyy2(i)=phaseyy2(j);
phaseyy2(j)=z;z=phaseyy3(i);
phaseyy3(i)=phaseyy3(j);phaseyy3(j)=z;
z=phaseyy4(i);phaseyy4(i)=phaseyy4(j);
phaseyy4(j)=z;z=phaseyy5(i);
phaseyy5(i)=phaseyy5(j);phaseyy5(j)=z;
z=phaseyy6(i);phaseyy6(i)=phaseyy6(j);
phaseyy6(j)=z;
end
end
end
xx=[0 1.7 2.5 4.5];
end
if draw_type==15 %transfer function
%--real input force
n=size(ss,2);
%--simulated input force
for i=1:n
x(i)=sin(omega*dt/zoom*(i-1+1));
end
if filter==0
ssss=ss;
end
if filter==1
[ssss]=lowpass_filter(ss);
[ref]=lowpass_filter(ref);
end
if filter==2
[ssss]=hipass_filter(ss);
[ref]=hipass_filter(ref);
end
%----transfer function
145
xx=fft(ref.'); yy=fft(ssss.'); [ssss]=lowpass_filter(ss);
[ref]=lowpass_filter(ref); xx=ref; yy=ssss;
[min1 max1]=minmax(xx.'); adj=max1-1; xx=xx-adj;
[min2 max2]=minmax(yy.'); adj=max2-1; yy=yy-adj;
point1=xx; point2=yy; t=[1:n]*dt*1000/zoom;
peak=0.5;
k=0;
for i=1:n-k
if abs(xx(i))<0.02
ssss(i)=1;
xx(i)=1;
else
ssss(i)=(yy(i+k))/(xx(i));
end
end
[min max]=minmax(ssss);
max;
ss=ssss;
%% calculate standard deviation
dx=10;
c = strcmp(wname,'mexh');
if c==0
pos1=[0.1 0.74 0.7 0.2];pos2=[0.1 0.42 0.7 0.2];pos3=[0.1 0.1 0.7 0.2];
[ca cd]=dwt(ss,wname);
n=size(cd,2);
h=cwt(ssss,1:50,wname);
cd=h(level_index,:);
n=size(cd,2);
% draw graph----------------------
distance=5;
cd(1:distance)=1;cd(n-distance+1:n)=1;
ssss(1:distance)=ssss(distance);ssss(n-distance+1:n)=ssss(n-distance+1);
handle1 = subplot('position',pos1);plot(t,ssss);
xlabel('Time (ms)','color','b','fontsize',12);ylabel('Signal ratio
h(t)','color','b','fontsize',12);
ymax=dt*1000*n/zoom;
axis([0 ymax -1 2]);
handle2 = subplot('position',pos2);plot(t,cd);
xlabel('Time (ms)','color','b','fontsize',12);ylabel('Wavelet
coefficient','color','b','fontsize',12);
handle3=subplot('position',pos3);h=cwt(ssss,1:level,wname,'abslvl');title('2-D
wavelet transform ','color','b');
figure;
hold on
plot(point1,'r');
plot(point2);
point1=point1;
end
end