phƯƠng pháp sỐ giẢi các bài toán khí ĐỘng lỰc ·...

Copyright © 2011-2013 by VnCFD Research Group

1

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG

LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU

——————————————————

Chủ biên Godunov Sergey Konstantinovich

Dịch bởi nhóm VnCFD Research Group

NHÀ XUẤT BẢN “KHOA HỌC”

MATXCƠVA 1976


2

Lời giới thiệu

Cuốn sách của tác giả Godunov S.K. mang tên “PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI

CÁC BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC NHIỀU CHIỀU”. Khi dịch sang tiếng

Việt chúng tôi quyết định đổi tên thành “KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC TÍNH TOÁN

GODUNOV, LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG” cho phù hợp với bản chất nội dung

của nó.

Cuốn sách này là một tài liệu giá trị, như một chuyên đề trình bày phương

pháp số giải các hệ phương trình vi phân dạng hyperbol tựa tuyến tính cùng lời giải

cho rất nhiều dạng bài toán thường gặp trong động lực học chất khí, động lực học

khí quyển và nhiều lĩnh vực khác của ngành cơ học chất lưu.

Bên cạnh những vấn đề cổ điển, một đòi hỏi mới đặt ra cho phương pháp

tính là phương pháp phải đảm bảo được tính “thích ứng” với những “đặc thù” của

từng dạng bài toán cụ thể. Từ đó nảy sinh ra các vấn đề như sử dụng lưới chuyển

động, khớp sóng xung kích, các dạng điều kiện biên khác nhau, … Tất cả những

yêu cầu trên, cả cổ điển và hiện đại, đều được trình bày cụ thể trong cuốn sách này.

Cuốn sách là tài liệu bổ ích cho đông đảo bạn đọc đến từ nhiều lĩnh vực

khoa học khác nhau, dành cho các nghiên cứu sinh, sinh viên chuyên ngành

phương pháp tính và ứng dụng phương pháp tính vào các bài toán môi trường chất

lưu liên tục.

Các phương pháp tính hiện đại kết hợp với sự phát triển công nghệ tính toán

đã và đang chứng minh thế mạnh và tương lai ưu thế của CFD. Các vấn đề được

trình bày trong cuốn sách rất cơ bản nhưng lại vô cùng quan trọng, là nền tảng triết

lý để am hiểu phương pháp. Thấy được tầm quan trọng này, nhóm chúng tôi quyết

định chuyển thể nội dung sang tiếng Việt để đông đảo bạn đọc có thể tiếp cận được


3

nó. Hi vọng rằng, với những nổ lực của chúng tôi, các bạn sẽ có trong tay cuốn tài

liệu vô cùng quý báu này.

Do hạn chế về mặt thời gian và đặc thù công việc các thành viên của nhóm,

thời gian đầu chúng tôi chưa thể dịch toàn vẹn cuốn sách. Những vấn đề được xem

là quan trọng cũng như cơ bản nhất được ưu tiên trình bày trước.

Bạn đọc quan tâm có thể đề nghị chúng tôi dịch các bài, các chương còn lại.

Mọi ý kiến đóng góp để hoàn thiện hơn về mặt nội dung từ phía bạn đọc được

chúng tôi đón nhận và biết ơn.

VnCFD Research Group


4

Phụ lục

Lời tác giả

Phần I. Cơ sơ lý thuyết

Chương I. Xây dựng sơ đồ sai phân cho các hệ phương trình hyperbol tuyến tính

Bài 1. Âm học một chiều

Bài 2. Sơ đồ sai phân

Bài 3. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ

Bài 4. Các ví dụ minh họa lời giải bằng phương pháp số

Bài 5. Sơ đồ cho bài toán hỗn hợp

Bài 6. Nghiên cứu độ chính xác của sơ đồ trên biên

Bài 7. Âm học hai chiều

Bài 8. Tính ổn định của sơ đồ hai chiều cho âm học

Bài 9. Sơ đồ tường minh một chiều cho hệ hyperbol bất kì

Bài 10. Sơ đồ tường minh hai chiều cho hệ hyperbol bất kì

Bài 11. Các sơ đồ sai phân không tường minh

Chương II. Các hệ hyperbol tựa tuyến tính hai biến

Bài 12. Động lực học khí một chiều không ổn định

Bài 13. Phân rã gián đoạn

Bài 14. Sơ đồ sai phân cho các bài toán động lực học khí một chiều

Bài 15. Các dạng điều kiện biên cho các bài toán một chiều

Bài 16. Xấp xỉ và tính ổn định của sơ đồ một chiều


5

Bài 17. Minh họa sơ đồ một chiều cho các bài toán không ổn định

Bài 18. Dòng chảy siêu âm hai chiều không ổn định

Bài 19. Bài toán “tương tác hai dòng chảy siêu âm phân bố đều”

Bài 20. Các ví dụ minh họa độ chính xác của sơ đồ ổn định

Bài 21. Sơ đồ không tường minh một chiều cho các bài toán tựa tuyến tính

Chương III. Xây dựng các sơ đồ sai phân cho các bài toán nhiều chiều

Bài 22. Các định luật bảo toàn và các phương trình động lực học khí

Bài 23. Lưới chuyển động và các phương pháp đơn giản nhất để tạo lưới

chuyển động

Bài 24. Các công thức sơ đồ cho các bài toán hai chiều không ổn định

Bài 25. Tính ổn định và chọn giá trị “bước” thời gian

Bài 26. Sơ đồ cho các dòng chảy siêu âm không gian không ổn định

Bài 27. Sơ đồ cho các dòng chảy không gian

Chương IV. Lời giải các bài toán động lực học khí trong các hệ tọa độ cong bất kì

Bài 28. Hệ thống hóa các phương pháp mô tả bức tranh dòng chảy

Bài 29. Hệ tọa độ không ổn định để khớp các biên di động. Chọn tham số

Bài 30. Các phương trình động lực học chất khí ở dạng định luật bảo toán

cho hệ tọa độ cong tuyến tính

Bài 31. Tính toán tọa độ các điểm biên trong quá trình di chuyển

Bài 32. Phương trình cho xây dựng lưới

Bài 33. Hoàn thiện các thuật toán xây dựng lưới trên máy


6

Bài 34. Hệ phương trình sai phân cho các bài toán động lực học khí không

ổn định trong hệ tọa độ cong tuyến tính cục bộ

Bài 35. Tính toán các đại lượng thủy động trên lớp trung gian

Bài 36. Một số điểm lưu ý về nguyên tắc tái xây dựng phương pháp

Phần II. Minh họa các tính năng của phương pháp tính

Chương V. Các bài toán động lực học khí không ổn định

Bài 37. Nhiễu xạ sóng xung kích trên vật thể hai chiều

Bài 38. Tương tác sóng xung kích hình cầu với mặt phẳng

Bài 39. Nổ vật thể không đối xứng cầu

Bài 40. Một số bài toán động lực học khí không ổn định trong kênh dẫn

Bài 41. Truyền sóng xung kích trong một trường khí dẫn trong ống tròn khi

có từ trường

Bài 42. Tính toán va đập của các bản kim loại

Chương VI. Tính toán các dòng chảy hỗn hợp bằng phương pháp thiết lập

Bài 43. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval hai chiều

Bài 44. Các dòng chảy hỗn hợp trong lưới phẳng

Bài 45. Giãn nở quá tới hạn của luồng khí vào không gian rộng

Bài 46. Va chạm “chuẩn” của luồng siêu âm với tường

Bài 47. Chảy bao các vật thể phẳng và đối xứng trục

Bài 48. Chảy bao vật thể không gian với vận tốc gần âm

Bài 49. Bài toán thuận về lý thuyết ống phun Laval không gian

Chương VII. Các dòng siêu âm ổn định


7

Bài 50. Chảy phẳng và chảy đối xứng trục của khí lý tưởng

Bài 51. Dòng chảy trong phần không gian giãn của các ống phun không gian

Bài 52. Giãn nở khuyết của các luồng khí thoát ra từ ống phun với mặt cắt

đầu ra không tròn

Bài 53. Tương tác hông của các luồng siêu âm đối xứng trục với các mặt rắn

Bài 54. Chảy bao vật thể nón

Bài 55. Chảy bao các vật thể đuôi nhọn với vận tốc siêu âm


8

CHƯƠNG I. XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL TUYẾN TÍNH

BÀI 1. ÂM HỌC MỘT CHIỀU

Phương trình âm học một chiều. Các định luật bảo toàn. Lời giải tổng quát

và lời giải khi có điều kiện biên. Bài toán về phân rã gián đoạn.

Đầu tiên chúng ta xem xét hệ phương trình vi phân mô tả sự lan truyền sóng

âm phẳng1

.0

,01

2

00

0

x

uc

t

p

x

p

t

u

(1.1)

Trong đó u — vận tốc môi trường truyền sóng, p — áp suất trong môi

trường đó (hay chính xác hơn, là các dao động nhỏ của vận tốc và áp suất so với

giá trị của chúng trong môi trường ổn định, những dao động này được gây ra bởi

sự truyền sóng âm trong môi trường đó). Các hằng số 00

,c phụ thuộc vào từng

môi trường: 0

— mật độ của môi trường, 2

0c đặc trưng cho độ nén của môi

trường.

Lấy tích phân hệ (1.1) theo một miền bất kỳ với biên trên mặt phẳng biến

tx, và chuyển sang dạng tích phân đường, ta được:

.0

,0

02

0

0

udtdxc

p

pdtudx

(1.2)

1 Để tìm hiểu thêm về phương trình âm học, có thể tìm hiểu thêm ở quyển [88], bài 63 hoặc hai chương đầu

của quyển [76].


9

Tích phân đầu tiên tương ứng với định luật bảo toàn động lượng, tích phân

thứ hai — định luật bảo toàn khối lượng. Ngoài ra chúng ta có thể nhận được đinh

luật bảo toàn năng lượng bằng cách sau. Trong hệ (1.1), nhân phương trình đầu với

u0

, phương trình sau với 2

00cp , sau đó lấy tổng theo hai vế ta có được:

.022 2

00

22

0

pu

xc

pu

t (1.3)

Tương tự như trên, ta thu được đẳng thức tích phân, nó sẽ được gọi là định

luật bảo toàn năng lượng sóng âm2.

.022 2

00

22

0

pudtdxc

pu

(1.4)

Quay trở lại hệ (1.1), qua một vài biến đổi không mấy phức tạp thì chúng ta

có thể đưa hệ về dạng đơn giản hơn, về sau này ta sẽ gọi nó là dạng chính tắc. Có

thể thu được dạng chính tắc bằng cách sau, nhân phương trình thứ hai với 00

1 c ,

sau đó lấy phương trình thứ nhất cộng và trừ đi phương trình vừa nhận được, ta thu

được hai phương trình dưới đây:

.0

,0

00

0

00

00

0

00

c

pu

xc

c

pu

t

c

pu

xc

c

pu

t

(1.5)

Nếu ký hiệu

,,0000

Zc

puY

c

pu

(1.6)

thì hệ (1.5) sẽ chuyển về dạng đơn giản sau

2 Về định luật bảo toàn năng lượng trong âm học, có thể xem bài 64 trong [88] hoặc chương 4 của [76].

Vấn đề này cũng được thảo luận trong [114] tr 249-256.


10

,0,000

x

Zc

t

Z

x

Yc

t

Y (1.7)

Từ đó ta có được

tcxgZtcxfY00

, ,

trong đó f và g — là các hàm khả vi bất kỳ.

Từ (1.6) ta thu được lời giải tổng quát cho hệ phương trình (1.1):

.2

,2

1

00

00

00

tcxgtcxfc

p

tcxgtcxfu

(1.8)

Các đại lượng ZY , trong (1.6) được gọi là các bất biến Riemann. Công thức

tcxfc

pu

0

00

chỉ ra rằng, đại lượng 00

c

puY

không đổi dọc theo

đường thẳng consttcx 0

, tức là đồ thị hàm số )(xY chuyển dịch sang phải với

vận tốc 0

c trong suốt quá trình. Tương tự, đại lượng 00

c

puZ

không đổi dọc

theo đường thẳng consttcx 0

, đồ thị của nó di chuyển sang trái với cùng vận

tốc đó. Điều này giải thích tại sao mà người ta gọi 0

c là vận tốc lan truyền sóng âm

trong môi trường hay vận tốc âm thanh. Các đường thẳng

00c

dt

dxconsttcx trên mặt phẳng tx, được gọi là các đường đặc trưng

của hệ (1.1).

Công thức cho pu, trong (1.8) chỉ là lời giải tổng quát cho hệ (1.1), để thu

được nghiệm duy nhất, ta cần đưa thêm vào (1.1) điều kiện đầu và điều kiện biên.

Ví dụ, nếu như ta có điều kiện đầu như sau


11

)()0,(),()0,(00

xpxpxuxu (1.9)

Trên đoạn III

xxx , cần chọn hàm f và g sao cho thỏa mãn các đẳng

thức

.)()(2

)(

,)()(2

1)(

00

0

0

xgxfc

xp

xgxfxu

Từ đó ta có

00

0

0

00

0

0

)()()(,

)()()(

c

xpxuxg

c

xpxuxf

Nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (1.9) sẽ có dạng sau

.2

)()(

2

)()(),(

,2

)()(

2

)()(),(

0000

00

0000

00

00000000

tcxutcxuc

tcxptcxptxp

c

tcxptcxptcxutcxutxu

(1.10)

Chúng ta có thể giải thích sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của hệ

(1.1) trong miền ABM thông qua những lập luận tương đối đơn giản. Đoạn AB

nằm trên trục x , trên đó chúng ta đặt điều kiện đầu; đoạn AM tương ứng với họ

những đường đặc trưng consttcx 0

xuất phát từ điểm biên bên trái I

xx ;


12

đoạn BM tương ứng với họ những đường đặc trưng consttcx 0

xuất phát từ

điểm biên bên phải II

xx .

Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng các hàm f và g phải khả vi để pu, trong

công thức (1.10) thỏa mãn hệ (1.1). Nhưng nếu như điều kiện đầu của chúng ta

không khả vi thì điều gì sẽ xảy ra?

Để đi sâu hơn vào điều này, ta xét bài toán đơn giản dưới đây. Cho rằng tại

thời điểm 0t điều kiện đầu (1.9) có dạng

IIpxpuxu )(,)(

00 khi *xx , (1.11)

IIIIpxpuxu )(,)(

00 khi *xx ,

Trong đó I

u , I

p , II

u , II

p — là các hằng số bất kỳ, chúng thỏa mãn ít nhất

một trong các bất đẳng thức III

uu hoặc III

pp , hoặc đồng thời cả hai.

Đưa hệ (1.1) về dạng chính tắc (1.5) và sử dụng tính không đổi của bất biến

Riemann 00

c

puY

dọc theo đường đặc trưng consttcx

0 và bất biến

00c

puZ

dọc theo đường đặctrưng consttcx

0 (hình 1.2).

Tại vùng I ta có

,,00000000

c

pu

c

pu

c

pu

c

pu

do đó

ppuu , .

Tương tự, tại vùng II

,,00000000

c

pu

c

pu

c

pu

c

pu

ta thu được

ppuu ,


13

Có thể hiểu rằng, vùng I và II là nơi không xảy ra tương tác giữa hai sóng

đến nên các giá trị pu, được bảo toàn.

Cuối cùng, ta xét vùng III các đại lượng pu, được xác định từ phương trình

.,00000000

c

pu

c

pu

c

pu

c

pu

Như vậy, lời giải của bài toán trên được biểu diễn dưới dạng sau:

ppuu , nếu ,

0

* tcxx

ppuu , nếu ,

0

* tcxx

,22

00c

ppuuu

2200

uu

cpp

u nếu ,0

*

0

* tcxxtcx

(1.12)

Các hàm ),(),,( txptxu gián đoạn dọc theo hai đường *

0xtcx và

,*

0xtcx chúng được tạo thành từ gián đoạn tại điểm *xx . Căn cứ vào đặc

điểm này, ta có thể gọi bài toán một cách quy ước là bài toán về phân rã gián

đoạn. Nếu hiểu theo nghĩa thông thường, các hàm ),(),,( txptxu không thể được

coi là nghiệm của hệ (1.1) vì chúng thậm chí không liên tục. Vì vậy mà ta gọi

chúng là nghiệm mở rộng cho bài toán về phân rã gián đoạn. Một bằng chứng

thuyết phục cho thấy ích lợi của việc sử dụng khái niệm này được đưa ra bởi lập

luận dưới đây. Ta làm “trơn ” điều kiện đầu (1.11) như sau. Thay đổi chúng trong

một khoảng nhỏ ,** xxx sao cho điều kiện đầu

)(|),(|00

xppxuutt

khả vi và sai khác một lượng nhỏ so với điều kiện

(1.11), tức là

.|)()(|,|)()(|00

dxxpxpdxxuxu


14

Khi đó, ta có thể xây dựng nghiệm “cổ điển” cho bài toán. Bây giờ ta cho

0 và xem xét dãy nghiệm của bài toán. Dễ thấy rằng, khi rất bé thì đồ thị

của nghiệm sẽ không khác biệt so với đồ thị của nghiệm mở rộng.

Khái niệm về nghiệm mở rộng được đưa ra bởi S.L.Sobolev.

BÀI 2. SƠ ĐỒ SAI PHÂN

Xấp xỉ điều kiện đầu, xây dựng nghiệm từ kết quả giải tích của bài toán

phân rã gián đoạn, giá trị trung bình và các định luật bảo toàn, công thức sai

phân, xây dựng sơ đồ sai phân theo phương pháp đường đặc trưng.

Để tìm lời giải số cho các bài toán chứa phương trình vi phân đạo hàm riêng,

chúng ta cần phải thay thế các hàm số liên tục bằng tập hợp các điểm rời rạc.

Để đơn giản, chúng ta chia miền tính toán thành các lớp theo tọa độ không

gian nhờ các điểm j

x với khoảng chia bằng nhau và bằng h , tức là hxxjj

1

với mọi chỉ số nguyên j . Đối với bài toán chúng ta đang xét, tại thời điểm ban đầu

0t , vận tốc u và áp suất p ở các điểm nằm trong ô lưới giới hạn bởi các nút lưới

1jx ,

jx là hằng số với giá trị tương ứng là

2/12/1,

jjpu . Trên giao diện (mặt tiếp

xúc) giữa hai ô lưới liên tiếp bất kì sẽ xuất hiện hiện tượng phân rã gián đoạn mà ta

đã xét trong bài 1. Kết quả là tại mỗi nút lưới sẽ xuất hiện các sóng âm lan truyền

về bên trái và bên phải với vận tốc 0

c (Hình 2.1).

Hình 2.1 — Cấu trúc nghiệm của bài toán phân rã gián đoạn


15

Theo công thức (1.12) thì tại lân cận điểm j

x chúng ta có các công thức sau:

2/12/1,

jjppuu trong miền I: tcxxtcx

jj 001

2/12/1,

jjppuu trong miền II: tcxxtcx

jj 010

22

22

2/1

2

1

00

2/12/1

00

2/12/12/12/1

jj

jj

j

jjjj

j

uu

cpp

Pp

c

ppuuUu

trong miền III: tcxxtcx

jj 00 .

Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm giá trị của pu, tại thời điểm t và kí hiệu giá

trị của chúng trong khoảng giữa hai điểm jj

xx ,1

lần lượt là 2/1ju và 2/1jp , chú ý

chỉ số 2/1j được đưa lên trên nhằm phân biệt với giá trị của hàm tại thời điểm

trước 0t . Để tính các giá trị trung bình 2/12/1 , jj pu , chúng ta tiến hành các

bước sau. Đầu tiên, ta tìm các hàm ,*,,* xpxu là các hàm hằng trên từng

đoạn. Tại thời điểm đang xét, các điểm gián đoạn của ,*,,* xpxu sẽ là

những nơi mà sóng âm sinh ra từ phân rã gián đoạn ở thời điểm ban đầu truyền tới.

Sau khi tiếp được các hàm này, ta tiến tìm giá trị trung bình của chúng trong từng

khoảng jj

xx ,1

theo các công thức sau:

j

j

j

j

x

x

jj

j

x

x

jj

j

dxxpxx

p

dxxuxx

u

1

1

.,*1

,,*1

1

2/1

1

2/1

Nghiệm gần đúng thu được theo công thức 2/12/1 ,,, jj pxpuxu ,

với jj

xxx 1

, lại là các hàm hằng từng đoạn. Nhưng dạng gần đúng này lại tiện


16

sử dụng hơn so với nghiệm chính xác vì các điểm gián đoạn giữ nguyên vị trí tại

jx như ở thời điểm đầu.

Thực ra, để tính 2/12/1 , jj pu ta không nhất thiết phải tính các giá trị chính

xác ,*,,* xpxu mà có thể sử dụng trực tiếp các công thức sau:

,

,1

1

2

00

2

1

2/1

1

02

1

2/1

jjj

j

jjj

j

UUch

pp

PPh

uu

(2.2)

trong đó jj

PU , là giá trị thu được trong quá trình phân rã gián đoạn tại các điểm

jxx và được tính như sau:

;22

,22

2/12/1

00

2/12/1

00

2/12/12/12/1

jjjj

j

jjjj

j

uuc

ppP

c

ppuuU

(2.3)

tương tự cho các giá trị 11

; jj

PU tại điểm 1

j

xx . Thật vậy, áp dụng công thức

thứ nhất của các định luật bảo toàn (1.2)

0

0

dtp

udx

cho hình chữ nhật giới

hạn bởi các đường thẳng

ttxxxxjj

,0,,1

(xem Hình 2.2)

Hình 2.2 — Miền lấy tích phân


17

,ta được:

0 1

0

,,1

0,,1 1

dttxptxpdxxudxxujj

x

x

x

x

j

j

j

j

(2.4)

Tại thời điểm 0t , giá trị của txu , là hằng số và bằng 2/1j

u . Trên mặt

bên phải và bên trái của ô lưới đang xét, txp , nhận các giá trị hằng tương ứng là

1jP và

jP ít ra là cho đến khi các giá trị này không bị sóng âm xuất phát từ các nút

lưới lân cận làm thay đổi. (theo tính chất của bài toán về phân rã gián đoạn). Do đó

(2.4) có thể viết lại như sau:

1

0

2/11

,*

jjj

x

xPPhudxxu

j

j

. (2.5)

Giả sử giá trị trung bình của ),( xu trong khoảng jj

xxx 1

bằng 2/1ju ,

thay nó vào công thức (2.5) và lấy tích phân, ta sẽ thu đuợc công thức thứ nhất của

(2.2).

Tương tự, để chứng minh công thức thứ hai của (2.2) chúng ta sử dụng tích

phân

02

00udtcpdx (công thức thứ hai của (1.2)).

Nhận thấy rằng sự gián đoạn xảy ra khi 0t tại điểm j

xx sẽ dịch chuyển

với vận tốc 0

c (sang trái và sang phải), tại thời điểm 0

2c

ht chúng gặp nhau ở điểm

chính giữa của j

x và 1j

x , va chạm vớinhau và hình thành sóng mới, sau đó một

khoảng thời gian 0

2c

ht chúng sẽ quay lại

jx và

1jx , có nghĩa rằng trong khoảng

thời gian 000

22 c

h

c

h

c

h thì

jjPU , sẽ không đổi. Từ đó áp dụng công thức (2.2)

chúng ta sẽ tính được các giá trị 2/12/1 , jj pu .


18

Áp dụng các công thức (2.2), (2.3) ở trên, chúng ta sẽ tìm được giá trị gần

đúng của các hàm pu , khi t . Cũng tương tự cho các thời điểm tiếp theo

...,3,2 tt Từ bây giờ ta sẽ quy ước quá trình chuyển trạng thái bài toán từ

thời điểm 1

n

tt đến thời điểm n

tt sẽ gọi là “tính toán một bước”. Chú ý là

khoảng thời gian (bước thời gian) có thể khác nhau ở các bước khác nhau do

nhiều lý do, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm sau. Các giá trị ứng với thời điểm 1

n

tt sẽ

được gọi là các giá trị của “lớp dưới” và được kí hiệu bằng các chỉ số dưới, còn các

giá trị ứng với thời điểm 1nn

tt — các giá trị của “lớp trên” và được kí hiệu

bởi các chỉ số trên.

Ngoài ra chúng ta cũng có thể xây dựng sơ đồ sai phân cho bài toán ban đầu

bằng cách áp dụng các bất biến Riemann trong công thức (1.6):

0000

,c

puZ

c

puY

.

Hình 2.3 — Bất biến Riemann theo các đường đặc trưng

Sử dụng tính chất hằng của các bất biến này dọc theo các đường đặc trưng để lấy

nội suy tuyến tính theo giá trị của chúng ở các điểm lân cận tại “lớp dưới”, ta thu

được các công thức tính giá trị gần đúng của chúng ở “lớp trên” như sau (xem Hình

2.3):


19

2

2/102/10

2/1

2/302/10

2/1

1

1

jj

j

jj

j

Zh

cZh

cZ

Yh

cYh

cY

(2.6)

Biểu diễn các giá trị ZY , thông qua các hàm pu , theo công thức (1.6),

đồng thời thay các chỉ số tương ứng sẽ được:

00

2/1

2/10

00

2/1

2/10

00

2/1

2/1

00

2/3

2/30

00

2/1

2/10

00

2/1

2/1

1

1

c

pu

hc

c

pu

hc

c

pu

c

pu

hc

c

pu

hc

c

pu

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Hay chúng ta sẽ thu được công thức cho các giá trị lớp trên 2/12/1 , jj pu tương ứng

là:

00

2/32/12/12/1

00

2/12/12/12/1

2

002/1

2/1

2/32/1

00

2/32/1

2/12/1

00

2/12/1

0

2/1

2/1

22

22

22

221

c

ppuu

c

ppuu

ch

pp

uuc

pp

uuc

pp

huu

jjjj

jjjj

j

j

jjjj

jjjj

j

j

(2.7)

BÀI 3. TÍNH XẤP XỈ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ

GODUNOV


20

Kiểm tra tính xấp xỉ của sơ đồ sai phân khi không có điều kiện biên. Nghiên

cứu tính ổn định của sơ đồ sử dụng phương pháp Fourier. Bất đẳng thức ‘năng

lượng’. Kết luận về điều kiện ổn định cho trường hợp miền tính toán vô hạn.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sơ đồ Godunov xấp xỉ phương trình âm học (1.1). Để

thuận tiện ta các phương trình (2.7) và viết lại chúng như sau:

.02

2

2

,02

2

2

1

2/32/12/1

0

2/32/12

00

2/1

2/1

2/32/12/1

0

2/32/1

0

2/1

2/1

h

pppc

h

uuc

pp

h

uuuc

h

ppuu

jjjjjj

j

jjjjjj

j

(3.1)

Giả sử rằng ),(),,( txptxu khả vi đến bậc hai, áp dụng khai triển Taylor cho các

hạng tử trong các công thức (3.1) tại lân cận điểm 01

),(2

1ttxxx

jj

, ta có:

).(22

2

),(2

),(2

2

2

2/32/12/1

2/3

2/1

2

2

2/1

2/1

hox

uh

h

uuu

hox

p

h

pp

ot

u

t

uuu

jjj

j

j

j

j

Như vậy phương trình thứ nhất trong (3.1) có thể viết dưới dạng:

),(22

12

2

02

2

0

ho

x

uc

h

t

u

x

p

t

u (3.2)

tương tự đối với phương trình thứ hai ta có

).(22 2

2

02

2

2

00

ho

x

pc

h

t

p

x

uc

t

p (3.3)

Nếu như đạo hàm bậc hai của các hàm ),(),,( txptxu giới hạn, thì khi

0,0 h vế phải các phương trình (3.2), (3.3) tiến tới không. Vì thế có thể kết


21

luận rằng sơ đồ sai phân đang xét xấp xỉ hệ phương trình âm học (1.1). Các phần

dư có bậc một theo h và điều này có nghĩa là khi giảm bước và h bao nhiêu

lần thì sai số của lời giải giảm cũng khoảng chừng ấy lần.

Kết luận:

1. Sơ đồ sai phân mà ta xét ở trên (được gọi là sơ đồ Godunov) xấp xỉ hệ

phương trình âm học (1.1).

2. Bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân Godunov là bậc một.

Từ các phương trình (1.1) ta có thể loại bỏ đạo hàm bậc hai theo thời gian ở

vế phải của (3.2), (3.3):

.

,11

2

2

2

0

2

00

2

002

2

2

2

2

0

00

2

2

x

pc

t

u

xc

x

uc

tt

p

x

uc

t

p

xx

p

tt

u

Khi đó sơ đồ Godunov có thể xấp xỉ với độ chính xác bậc hai (trường hợp

10

h

cCu

) hệ phương trình âm học

.12

,12

1

2

2

00

2

00

2

2

00

0

x

p

hcc

h

x

uc

t

p

x

u

hcc

h

x

p

t

u

(3.4)

Hệ (3.4) được gọi là xấp xỉ vi phân bậc nhất. Ở đây giá trị 0

* / ch đóng vai trò

đặc biệt quan trọng. Mặc dù sơ đồ sai phân chúng ta đang xét xấp xỉ với phương

trình âm học, tuy nhiên không thể tính toán với 0

/ ch vì khi đó sơ đồ không ổn

định.


22

Khái niệm “tính ổn định” có thể được hiểu đơn giản là lời giải sai phân thu

được dựa trên điều kiện ban đầu giới hạn sẽ bị giới hạn trong suốt thời gian tính

toán mà không phụ thuộc vào bước (lớn hay nhỏ). Có thể chỉ ra rằng, đối với sơ

đồ ổn định thì sai số của lời giải cuối cùng do làm tròn trong suốt quá trình có bậc

xấp xỉ với sai số ở mỗi bước tính toán.

Đặc biệt quan trọng, có thể chỉ ra rằng nếu như sơ đồ sai phân xấp xỉ phương

trình vi phân và ổn định thì khi giảm các bước h và , lời giải tính toán thu được

sẽ hội tụ về lời giải phương trình vi phân.

Ngược lại, trong trường hợp sơ đồ không ổn định sai số làm tròn tăng không

giới hạn sẽ dẫn tới tràn bộ nhớ máy tính khi tính toán.

Để khảo sát tính ổn định của sơ đồ chúng ta có thể sử dụng phương pháp

phổ Fourier. Biểu diễn nghiệm phương trình (3.1) dưới dạng

.

,

*

2/1

2/1

*

2/1

2/1

j

j

j

j

eppp

euuu

Ở đây ,,, ** pu — các đại lượng không đổi, i — đơn vị ảo. Chúng ta thu được

hệ phương trình tuyến tính cho **, pu :

.02

21

2

,02

1

2

21

*

0

*2

00

*

0

*

0

pee

ch

uee

ch

pee

hu

eec

h

iiii

iiii

Hệ có nghiệm khi định thức của hệ bằng không, tức là

,0

)cos1(1sin

sin1

)cos1(1

00

00

CuiCuc

iCuc

Cu


23

ở đây hcCu /0 . Phương trình có nghiệm sin)cos1(1

2,1iCuCu .

(3.5)

Dễ thấy rằng

.2

sin)1(41sin)cos1(1 2222

2,1

CuCuCuCu

Khi 10 Cu ta có ,12

sin)1(410,1)1(40 2

CuCuCuCu do

đó 12,1 với mọi .

Trường hợp 1Cu , tồn tại các giá trị mà khi đó 12,1 . Ví dụ như

ta có 112)1(41)(2,1

CuCuCu , nếu như 1Cu .

Kết luận:

1. Sơ đồ ổn định khi 1/0

hcCu . Với 1/0

hcCu — sơ đồ không ổn

định. Cu là một đại lượng không thứ nguyên, gọi là số Courant.

Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng cách đánh giá

nghiệm sai phân trong chuẩn năng lượng.

Giá trị của 2/12/1

, jj

pu trên một lớp thời gian constt tạo thành hàm-

vector trên lưới. Trong không gian hàm-vector trên lưới này, chúng ta đưa ra chuẩn

jjj

j

jj

jjZYh

c

puhpu 2

2/1

2

2/102

00

2

2/1

2

2/1

02/12/14

1

22,

,

trong đó Y và Z — các bất biến Riemann:

.,0000

c

puZ

c

puY


24

Để khảo sát tính ổn định trong chuẩn năng lượng, cần chứng minh rằng khi

1/0

hcCu ta có bất đẳng thức:

2/12/1

2/12/1 ,,

jj

jj pupu .

Để chứng minh điều này, áp dụng định luật bảo toàn năng lượng sóng âm, từ

phương trình (1.1) ta thu được phương trình (1.3):

.0)(22 2

00

22

0

pu

xc

pu

t

Bây giờ ta cần chứng minh rằng khi 1/0

hc thì bất đẳng thức sau đúng:

112

00

2

2/1

2

2/1

02

00

22/122/1

02222

jjjj

jj

jj

UPUPhc

pu

c

pu

, (3.7)

nếu như các đại lượng được tính theo công thức (2.2), (2.3). Bất đẳng thức (3.7)

chính là dạng tương đương sai phân của phương trình vi phân (1.3).

Từ định nghĩa bất biến Riemann ta có:

00

2/1

2/12/1

00

2/1

2/12/1,

c

puZ

c

puY

j

jj

j

jj

,

phương trình (2.3) đối với các đại lượng “lớn” có thể viết lại thành

).(222

),(2

1

22

2/12/1

002/12/1

00

2/12/1

2/12/1

00

2/12/12/12/1

jj

jjjj

j

jj

jjjj

j

ZYcuu

cpp

P

ZYc

ppuuU

(3.8)

Khi đó, bất đẳng thức (3.7) có thể viết lại như sau:

2

2/1

2

2/3

2

2/1

2

2/100

2

2/1

2

2/10

22/122/1

0

jjjjjj

jj ZYZYch

ZYZY

(3.9)


25

Bất đẳng thức này là hệ quả hiển nhiên của hai bất đẳng thức sau:

,1

,1

2

2/10

2

2/10

22/1

2

2/30

2

2/10

22/1

jj

j

jj

j

Zch

Zch

Z

Ych

Ych

Y

(3.10)

cơ sở lập luận với điều kiện bổ sung 1/0

hcCu ta sẽ dẫn ra ngay sau đây. Từ

định nghĩa bất biến Riemann ta có:

.1

,1

2/102/10

2/1

2/302/10

2/1

jj

j

jj

j

Zch

Zch

Z

Ych

Ych

Y

Để chứng minh (3.10) cần chứng minh khi 10 Cu từ đẳng thức

CubaCuc )1( thu được bất đẳng thức 222 )1( CubaCuc . Điều này là

hiển nhiên, bởi vì:

2222222 )1())(1()1()1( CubaCubaCuCuCubaCuCubaCuc

(3.11)

Các bất đẳng thức (3.9) và (3.7) đã được chứng minh. Cộng các vế của (3.7)

tương ứng với hệ số j chạy từ 1'J tới "J :

"

1'11

"

1'2

00

2

2/1

2

2/1

0

"

1'2

00

22/122/1

0)(

222

)(

2

)( J

Jjjjjj

J

Jj

jjJ

Jj

jj

UPUPhc

pu

c

pu

Từ đây ta có:

)(222

)(

2

)(''""

"

1'2

00

2

2/1

2

2/1

0

"

1'2

00

22/122/1

0 JJJJ

J

Jj

jjJ

Jj

jj

UPUPc

puh

c

puh

(3.12)


26

Bất đẳng thức (3.12) là cơ sở để khảo sát tính ổn định của sơ đồ.

Trước tiên, xét trường hợp đơn giản khi hai đầu của lưới không giới hạn. Giả

sử chuẩn

j

jj

jjc

puhpu

2

00

2

2/1

2

2/1

02/12/122

,

là hữu hạn, tức là dãy nằm trong dấu căn thức hội tụ. Vì thế trong mọi trường hợp

ta có 0,02/12/1

jjpu khi j , suy ra

jjUP , tiến tới không. Bất đẳng thức

(3.12) trở thành

j

jj

j

jj

c

puh

c

puh

2

00

2

2/1

2

2/1

02

00

22/122/1

0222

)(

2

)(

.

Đó cũng chính là cơ sở lập luận cho bất đẳng thức

2/12/1

2/12/1 ,,

jj

jj pupu ,

từ đó suy ra tính ổn định của sơ đồ trong trường hợp miền tính toán vô hạn với

điều kiện 1/0

hcCu .

Kết luận:

1. Trong chuẩn năng lượng, với điều kiện miền tính toán là vô hạn, sơ đồ ổn

định khi 1/0

hcCu .

2. Với 1/0

hcCu , ta có bất đẳng thức năng lượng

2/12/1

2/12/1 ,,

jj

jj pupu .

Các bài toán thực tế thường có miền tính toán giới hạn, với điều kiện biên

giống như trên hoặc khác đi. Điều này chúng ta sẽ xem xét sau.


27

Ở đây cần nhấn mạnh một điều, bất đẳng thức (3.7) được chứng minh dựa

trên công thức (2.3)

22

,22

2/12/1

00

2/12/1

00

2/12/12/12/1

jjjj

j

jjjj

j

uuc

ppP

c

ppuuU

với các giá trị của hệ số 1","...,,1',' JJJJj . Tuy nhiên, thực tế chỉ cần đúng

với ,"...,,1' JJj còn tại biên 1"' JjvàJj ta sử dụng từng điều kiện sau:

.11

,11

2/1"2/1"

00

2/1""

00

"

2/1'2/1'

00

2/1''

00

'

JJJJJ

JJJJJ

Ypc

uPc

U

Zpc

uPc

U

Các giá trị ),(),,(2/1"2/1"2/1'2/1' JJJJ

pupu là các giá trị tưởng tượng, có xác định tùy

ý sao cho thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính sau:

.11

,11

"

00

"2/1"

00

2/1"

'

00

'2/1'

00

2/1'

JJJJ

JJJJ

Pc

Upc

u

Pc

Upc

u

Những điểm lưu ý này sẽ được sử dụng khi chúng ta khảo sát tính ổn định cho các

bài toán với miền tính toán giới hạn.

BÀI 4. CÁC VÍ DỤ

Tính không ổn định của sơ đồ khi số Courant 1Cu . Vệt loang của các

gián đoạn do sai số của sơ đồ tính toán khi 1Cu . Nhớt nhân tạo của sơ đồ. Đánh


28

giá vùng loang. Tính đơn điệu của sơ đồ. So sánh đặc tính trơn của vệt loang gián

đoạn với các dao động trong sơ đồ bậc hai.

Chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ đơn giản nhằm thấy rõ những điểm cơ bản

đã được chỉ ra đối với phương trình âm học (1.1) và sơ đồ sai phân (2.2), (2.3).

Khảo sát hệ phương trình (1.1) với các hệ số 0.2,25.000 c và điều kiện

đầu ở dạng “bậc thang”:

0.5,0.1

pu khi 0x ,

0.2,0

pu khi 0x .

Theo bài hai, khi “phân rã gián đoạn” xảy ra sẽ xuất hiện hai “sóng” lan

truyền từ điểm 0x với vận tốc 0.20c so với môi trường. Trong vùng nằm giữa

hai sóng này, giá trị pu, không đổi và theo công thức (1.12), 75.3,5.3 PU .

Dựng lưới sai phân đều jhxj với bước lưới 05.0h và thực hiện tính toán theo

các công thức (2.2), (2.3) với các giá trị hcCu /0 khác nhau. Kết quả thu được

như sau:

Trường hợp 1. Khi 1Cu sơ đồ sai phân cho kết quả chính xác như lời giải

bài toán phân rã gián đoạn thu được trong bài một.

Trường hợp 2. Đối với 2Cu , bảng 1 và 2 biểu diễn giá trị 2/12/1

, jj

pu thu

được tại các nút lưới nằm kế cận điểm 0x của năm bước tính toán đầu tiên ( n

— số bước). Rõ ràng các giá trị này hoàn toàn khác biệt so với lời giải đúng. Cần

chú ý đến sự thay đổi dấu của các giá trị thu được. Điều này được giải thích như

sau. Như đã chỉ ra trong bài ba khi khảo sát tính ổn định của sơ đồ bằng phương

pháp phổ Fourier, giá trị đặc trưng của toán tử sai phân, mô tả sự chuyển tiếp từ

một lớp thời gian đến lớp tiếp theo, được xác định theo công thức (3.5):


29

sin)cos1(1 iCu .

Bảng 1

Vận tốc 2/1j

u

j

n

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

1

1

1

1

41

-119

1

1

1

21

-39

81

1

1

11

-9

21

-19

1

6

1

6

1

6

0

7

0

7

0

7

0

0

14

-14

28

-28

0

0

0

28

-56

112

0

0

0

0

56

-168

Bảng 2

Áp suất 2/1j

p

j

n

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


30

0

1

2

3

4

5

5

5

5

5

-15

65

5

5

5

-5

25

-35

5

5

0

10

-5

15

5

2.5

5

2.5

5

2.5

2

5.5

2

5.5

2

5.5

2

2

9

-5

16

-12

2

2

2

16

-26

58

2

2

2

2

30

-82

Vì thế khi 2Cu , giá trị phần thực )cos1(1Re Cu sẽ âm đối với

các giá trị thỏa mãn 2/1cos . Giá trị tính toán thu được khi biểu diễn trên

biểu đồ sẽ có dạng đặc trưng “hình lưỡi cưa” với biên độ lớn lên rất nhanh qua các

bước (bởi vì, ví dụ khi , 312 Cu nếu như 2Cu ). Điều này dẫn

tới việc tràn thanh nhớ máy tính khá nhanh khi tính toán.

Tương tự như trường hợp 2Cu , sơ đồ không ổn định với mọi giá trị

1Cu .

Trường hợp 3. Đối với 8.0Cu , hình 4.1 a, b biểu diễn kết quả tính toán

vận tốc u và áp suất p thu được tại các bước 5, 10, 15 và 20. Các gián đoạn bị

loang ra xung quanh do đặc tính nhớt của sơ đồ. Sự loang ra này có thể được giải

thích như sau. Như chúng ta đã làm rõ ở bài ba, sơ đồ sai phân được sử dụng để

giải phương trình âm học xấp xỉ với độ chính xác bậc một hệ phương trình (3.4):


31

.12

,12

1

2

2

00

2

00

2

2

00

0

x

p

hcc

h

x

uc

t

p

x

u

hcc

h

x

p

t

u

Tương tự như độ nhớt vật lý xuất hiện trong phương trình vi phân khi xem

xét dòng chảy nhớt, các hạng tử nằm bên phải hệ phương trình này đôi khi được

giải thích như độ nhớt bên trong của chính sơ đồ sai phân. Sự có mặt của các hạng

tử này dẫn tới sự xuất hiện của hiện tượng “loang” trên.

Đánh giá độ rộng của vùng loang này có thể thực hiện như sau. Xem xét

phương trình

0

x

u

t

u (4.1)

với sơ đồ sai phân được sử dụng là

1

1

jj

j uh

uh

u

. (4.2)


32


33

Nhận thấy, từ công thức (2.6) rõ ràng sơ đồ này chỉ thay hệ số 2/1j bởi j

và khác biệt với sơ đồ của chúng ta ở bất biến Riemann 00

/ cpuY (hệ số

10c ).

Lấy giá trị ban đầu ở dạng

00

,01

jkhi

jkhiu

j (4.3)

và xem xét sự biến đổi của chúng bởi sơ đồ (4.2).

Sử dụng kí hiệu n

ju để chỉ giá trị của nghiệm ở bước tính thứ n tại nút lưới

j và kí hiệu hCu / . Bằng cách kiểm tra trực tiếp có thể chứng mình rằng

nghiệm cần tìm có dạng

.0

,0)1(

ailcònjcác

njkhicuCuCu

jnjjn

nn

j (4.4)

Hàm nằm ở vế phải có thể viết dưới dạng

)1(2

)( 3

)1(2

1ˆ CunCu

nCuj

n

j

n

je

CunCuuu

. (4.5)

Biểu đồ nghiệm tại bước n có dạng như hình 4.2. Giá trị lớn nhất vế phải

(4.5) )1(2

1ˆ

max

CunCuu

đạt được khi nCuj , tức là tại tọa độ

tnjhx . Vì 0 tx — đường đặc trưng của phương trình 0

x

u

t

u cho

nên chúng ta thấy giá trị lớn nhất của nghiệm di chuyển dọc đường đặc trưng. Gọi


34

độ dài đoạn thẳng mà trên đó nghiệm có giá trị max

ˆ2

ueu là độ rộng vết loang

(xem hình 4.2). Từ công thức (4.5) dễ dàng thấy rằng, độ rộng này bằng

thCuCuH )1(2 . (4.6)

Suy ra khi 0h vùng mà trong nó nghiệm khác không thu hẹp thành

đường đặc trưng 0 tx (hình 4.3). Theo thời gian t vết loang sẽ lan rộng ra tỉ lệ

với t . Nghiệm phương trình sai phân với điều kiện đầu có dạng “bậc thang”

00

,010

jkhi

jkhiu

j (4.7)

có thể nhận được bằng cách lấy tổng tất cả các nghiệm riêng có dạng như chúng ta

vừa xét. Như chú ý ở trên, sơ đồ sai phân dùng cho phương trình âm học trên cơ sở

bất biến Riemann tương tự như (4.2). Vì vậy có thể hi vọng rằng sử dụng phương

pháp đánh giá độ rộng vết loang vừa thu được sẽ tiếp tục có hiệu quả đối với sơ đồ

sai phân của chúng ta.


35

Hình 4.4 thể hiện sự khác biệt giữa kết quả tính toán với bước 05.0h

(trường hợp 3, 8.0Cu ) và tính với bước h nhỏ hơn 4 lần ( 0125.0h ) tại cùng

một thời điểm 3.0t (ở bước thứ 15 và 60 tương ứng). Chúng ta bỏ qua sự thiếu

sót của biểu đồ quanh điểm 0x . Như trên hình 4.4 độ dài hình học của vết loang

giảm khoảng 2 lần.

Nhận thấy rằng khi giá trị số Courant 1Cu từ công thức (4.6), độ rộng

vùng loang 0H tương ứng với trường hợp một khi sơ đồ cho lời giải chính xác.


36

Hình 4.4 — So sánh giá trị tính toán với các giá trị h khác nhau


37

Chú ý đến hình dạng trơn tru của vết loang đột biến. Điều này có thể giải

thích

là do sơ đồ được sử dụng thỏa mãn điều kiện tính đơn điệu. Tiêu chuẩn tính đơn

điệu của sơ đồ:

Điều kiện cần và đủ để sơ đồ sai phân có dạng

kkjk

j uu (4.8)

bảo toàn tính chất đơn điệu của các hàm số là tất cả các hệ số 1j

nhận giá trị

không âm.

Chứng minh:

Giả sử 0k

và j

u đơn điệu. Xét trường hợp j

u tăng, tức là 1

jj

uu

không âm. Khi đó

k k k

kkjkkjkk

kjkkjkk

kjk

jj uuuuuuuu )(111

1 ,

tức là 01 jj uu . Từ đó, điều kiện đủ đã được chứng minnh.

Chứng minh điều kiện cần. Giả sử như 00

k và

.10

,1

0

0

kjkhi

kjkhiu

j

Khi đó 00

10

kuu , điều này là không thể nếu như giả thiết rằng sơ đồ biến

đổi các dãy đơn điệu thành dãy đơn điệu cùng hướng tăng. Điều kiện cần được

chứng minh.

Đối với các sơ đồ đơn điệu dễ dàng chứng minh chúng ổn định. Thực ra, nếu như

tất cả các hệ số 0k

, ngoài ra


38

1k

k (4.9)

thì dễ dàng thấy

jjk

jk

j

juu maxmax

.

Với giả thiết 1max kk

ta có

j

jj

j uu,

nghĩa là sơ đồ ổn định. Điều kiện (4.9) nảy sinh khá tự nhiên đối với các sơ đồ xấp

xỉ nhiều phương trình vi phân và có nghĩa là nghiệm phương trình constu cũng

chính là nghiệm phương trình sai phân (4.8).

Có thể chứng minh rằng trong các sơ đồ sai phân tuyến tính độ chính xác

bậc hai dùng cho phương trình 0

x

u

t

u không tồn tại sơ đồ nào thỏa mãn điều

kiện tính đơn điệu. Vì thế khi thực hiện tính toán theo sơ đồ bậc hai có thể thu

được biểu đồ nghiệm có dạng gần giống như trên hình 4.5. Ở đây biểu diễn kết quả

thu được ở bước tính thứ 100 với điều kiện đầu (4.7) và số Courant 1.0/ hCu

theo sơ đồ sai phân bậc hai Lax-Wendroff

2

11112

22 h

uuu

h

uuuujjjjjj

j

. (4.10)

Từ hình 4.5 thấy rằng, khi sử dụng các sơ đồ bậc cao (với Courant nhỏ), cần

có các biện pháp đặc biệt để giảm các dao động phát sinh. Thông thường phương

trình sẽ được viết thêm các phần tử đặc biệt gọi là nhớt nhân tạo, hoặc là làm trơn

kết quả tính toán.


39

Để so sánh, chúng ta dẫn ra trên hình 4.6 kết quả thu được với các điều kiện

tương tự ( 1.0/ hCu ) theo sơ đồ (4.2).


40

BÀI 5. SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO BÀI TOÁN VỚI ĐIỀU

KIỆN BIÊN HỖN HỢP

Đặt điều kiện biên. Bài toán phân rã gián đoạn trên biên. Biến đổi sơ đồ sai

phân cho trường hợp bài toán biên hỗn hợp. Tính ổn định của sơ đồ trong trường

hợp điều kiện biên phân tán.

Xét hệ phương trình âm học một chiều (1.1) trong miền giới hạn III

xxx

, tại các điểm đầu mút III

xxxx , nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn điều

kiện:

IIIIIIII

IIIII

xxkhitfpu

xxkhitfpu

(5.1)

hệ phương trình (1.1) tồn tại nghiệm khi tổ hợp puII

trong phương trình thứ

nhất (5.1) và bất biến Riemann 00

c

puZ

của họ đường đặc trưng

0c

dt

dx

không phụ thuộc tuyến tính. Tổ hợp puIIII

và bất biến 00

c

puY

của họ

đường đặc trưng 0

cdt

dx cũng không phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, phải

thõa mãn các điều kiện sau:

011

,011

0000

cc

IIIIII

(5.2)


41

Để xây dựng sơ đồ sai phân, ta chia đoạn III

xxx thành J khoảng, với

độ dài mỗi khoảng là J

xxh III

bằng các điểm chia Jjx

j,....,1,0 , trong đó

IINIxxxx ,

0. Trên mỗi khoảng chia

jjxxx

1, tại thời điểm ban đầu các giá

trị pu, có thể coi là các hằng số và được kí hiệu tương ứng là 2/12/1

, jj

pu . Quá

trình tính toán tương tự như trong trường hợp miền tính toán là vô hạn ở bài trước,

đầu tiên chúng ta sẽ tính các giá trị 1,.....2,1,, JjPUjj

tại các điểm nằm trong

đoạn III

xx , theo công thức (2.3), còn các giá trị trên biên JJ

PPUU ,,,00

chúng ta

sẽ xác định từ hệ thức sau:

tại điểm biên bên trái I

xx :

00

2/1

2/1

00

0

0

00

c

pu

c

PU

fPUIII

(5.3)

còn tại II

xx :

00

2/1

2/1

00c

pu

c

PU

fPU

J

J

J

J

IIJIIJII

(5.4)

trong đó III

f,, và IIIII

f,, là các hệ số. Trong trường hợp nếu chúng là

các hàm phụ thuộc vào thời gian, có thể chọn giá trị trung bình trong khoảng thời

gian 0

t đến 0

t , hoặc giá trị tại thời điểm 0

tt hay 0

tt .

Chú ý rằng các hệ phương trình (5.3), (5.4) đều thõa mãn điều kiện (5.2) nên

sẽ có nghiệm duy nhất.

Để tìm các giá trị 00

, PU nhằm tìm nghiệm cho bài toán “phân rã gián đoạn

trên biên” thõa mãn 0

xx , chúng ta sử dụng các điều kiện đầu 2/12/1

, pu và điều

kiện biên III

fpu tại 0

xx . Nghiệm thu được là hằng số trên từng đoạn.

Miền bên trái được chia thành hai phần bởi đường đặc trưng 000

xttcx . Đối


42

với vùng 000

xttcx là nơi mà sự ảnh hưởng của biên 0

xx lan truyền với

vận tốc 0

c vẫn chưa tới, nên tại đó 2/12/1

, ppuu (các giá trị tại thời điểm ban

đầu). Còn trong vùng 000

xttcx thì bất biến Riemann sẽ không thay đổi dọc

theo họ đường đặc trưng 0

cdt

dx nên

00

2/1

2/1

00c

pu

c

pu

. Đồng thời các giá trị

pu, phải được lựa chọn sao cho thõa mãn điều kiện tại biên 0

xx tức

Ifpu

11 . Như vậy giá trị

00, PpUu trong miền

000xttcx được

xác định từ hệ phương trình (5.3).

Hoàn toàn tương tự, các giá trị JJ

PU , trong miền 00

ttcxxJ

phải thõa

mãn điều kiện sau:

IIxxIIIIJttJtt

fpuppuuN

,,2/12/1

00

.

Như vậy tại thời điểm ban đầu 0

tt các giá trị JJ

PUPU ,,,00

đã được xác

định theo (5.3) và (5.4). Tại các thời điểm tiếp theo việc xác định các giá trị trên

biên cũng hoàn toàn tương tự.

Sơ đồ sai phân cho bài toán biên hỗn hợp đã được xây dựng xong. Tiếp theo

ta sẽ chứng minh sơ đồ này xấp xỉ bài toán ban đầu và luôn ổn định. Để đơn giản ta

sử dụng điều kiện biên (5.1) thuần nhất, tức là:

0,0 tftfIII

.

Tính ổn định của sơ đồ sẽ được chứng minh cho trường hợp điều kiện biên

phân tán.

Từ định luật bảo toàn năng lượng sóng âm (1.4)

0

22 2

00

22

0pudtdx

c

pu


43

ta chọn là hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường thẳng vuông góc

III

xxxxtttttt ,,,0110

khi đó tích phân phía trên thu được:

II

I III

II

I

x

x

t

t xx

t

t xx

tt

x

x

tt

dtpudtpudxc

pudx

c

pu 1

0

1

0

01

2

00

22

02

00

22

02222

Từ tính chất thuần nhất của điều kiện biên

0,0 III xxIIIIxxII

pupu

(hay IIIIII xx

II

II

xxxx

I

I

xxpupu

, )

ta thu được:

txpputxppuII

II

II

xxI

I

I

xx II,,, 22

Nếu 11

, cùng dấu và 22

, trái dấu thì:

01

0

1

0

t

t xx

t

t xxdtpudtpu

III

Từ đó suy ra:

II

I

II

I

x

x

tt

x

x

tt

dxc

pudx

c

pu

01

2

00

22

02

00

22

02222

,

nghĩa là năng lượng của hệ (1.1) giảm dần (chính xác là không tăng), chúng sẽ bị

phân tán trên biên. Vì thế để điều kiện biên đã cho là “điều kiện biên phân tán”:

0,0 III xxxx

pupu (5.6)

hay

0,0 IIIIII

(5.7)


44

Dễ dàng nhận thấy rằng,trong trường hợp với điều kiện biên 0p hoặc 0u sẽ là

điều kiện biên phân tán.

Để chứng minh sơ đồ ổn định cho trường hợp điều kiện biên phân tán (như

đã chỉ ra ở (5.6) hoặc (5.7)), thì ở bài 3 chúng ta đã chứng minh được rằng nghiệm

của hệ phương trình sai phân thõa mãn bất đẳng thức sau:

001 1

2

00

2

2/1

2

2/1

02

00

22/122/1

02222

UPUPc

puh

c

puh

JJ

J

j

J

j

jj

jj

(5.8)

Trong đó các giá trị trên biên cần phải thõa mãn các đẳng thức:

00

2/1

2/1

00

00

2/1

2/1

00

0

0

c

pu

c

PU

c

pu

c

PU

J

J

J

J

.

Ở đây đối với bài toán chúng ta đang xét, các giá trị trên biên ngoài việc thõa mãn

các đẳng thức ở này, còn phải thõa mãn điều kiện biên phân tán.

Thay vào công thức (5.8) thu được bất đẳng thức:

J

j

J

j

jj

jj

c

puh

c

puh

1 12

00

2

2/1

2

2/1

02

00

22/122/1

02222

Nếu viết lại ở dạng chuẩn véctơ-hàm.

2/12/1

2/12/1 ,,

jj

jj pupu

Kết luận: Đối với điều kiện biên phân tán, sơ đồ sai phân luôn ổn định.


45

BÀI 6. KHẢO SÁT ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN TẠI

BIÊN

Xây dựng nghiệm của bài toán sai phân trong trường hợp điều kiện đầu và

điều kiện biên tuyến tính. Chứng minh tính chính xác bậc một của sơ đồ sai phân

có điều kiện biên. Hiệu ứng sai phân tại biên tiếp xúc. Chứng minh độ chính xác

của sơ đồ sai phân tại biên tiếp xúc.

Ở bài trước chúng ta đã viết sơ đồ sai phân để tìm lời giải số cho hệ phương

trình âm học

0,01 2

00

0

x

uc

t

p

x

p

t

u

(6.1)

với điều kiện đầu )()0,(),()0,(00

xpxpxuxu trên đoạn

xxx và điều

kiện biên

ftxptxu

ftxptxu

),(),(

,),(),(

(6.2)

Chúng ta đã khảo sát tính ổn định của sơ đồ ở bài trước. Trong bài này ta sẽ

thảo luận về bậc xấp xỉ và độ chính xác của sơ đồ sai phân tại vùng lân cận biên.

Xét phương trình sai phân trong khoảng 2/1j tiếp giáp với biên trái của

vùng tính toán. Khi đó hệ có dạng

,0

,01

012

00

2/1

2/1

01

0

2/1

2/1

h

UUc

pp

h

PPuu

(6.3)

Trong đó các đại lượng 11

, PU được xác định bởi


46

,22

,22

2/12/3

00

2/32/1

1

00

2/12/32/32/1

1

uuc

ppP

c

ppuuU

(6.4)

Còn 00

, PU được xác định từ hệ

.11

,

2/1

00

2/10

00

0

00

pc

uPc

U

fPU

(6.5)

Thế (6.4) vào (6.3) ta thu được hệ mới mà sẽ dùng sau này:

.02

1

2

,022

1

02/12/12/3

00

2/12/32

00

2/1

2/1

02/12/12/3

00

2/12/3

0

2/1

2/1

h

Uu

h

pp

ch

uuc

pp

h

Pp

h

uuc

h

ppuu

(6.6)

Gọi ),(),,( ** txptxu là nghiệm chính xác của bài toán. Trong (6.5) ta sẽ giả

thiết rằng

)(),(),( tfftt

Trong đó t — thời gian tương ứng với “lớp dưới”. Khi đó hệ (6.5) có thể

được viết dưới dạng sau

,

,

00

*

02/1

*

02/1

00

2/12/1

02/1

02/10002/1

c

ppuu

c

fpuUu

UucPp

(6.7)

trong đó ),(),,( **

0

**

0txpptxuu

.

Bây giờ chúng ta xét một ví dụ đơn giản nhưng có ý nghĩa quan trọng. Ta

thấy rằng, các hàm tuyến tính theo tx, dưới đây thỏa mãn hệ (6.1)


47

,),(

,),(

0

*

2

00

*

FtGxtxp

Gtxc

Ftxu

(6.8)

Trong đó GF , — những hằng số bất kỳ. Sử dụng các hàm phụ

),(~),,(~ txptxu sau:

,),(~

,),(~

0

2

00

pFtGxtxp

uGtxc

Ftxu

(6.9)

với giá trị rời rạc tương ứng là 2/12/1

~,~ jj

pu trong ô lưới jj ,1 , pu , không

phụ thuộc vào thời gian t. Chúng được xác định theo công thức (6.9) khi

1,2/11

ntthjxn

, trong đó n — chỉ số bước theo thời gian.

Thông qua kiểm tra trực tiếp dễ dàng khẳng định rằng những hàm này thỏa mãn

các phương trình sai phân (2.7) tại tất cả các “khoảng trong” của lưới (các ô lưới

không tiếp giáp với biên) với mọi pu , ; và thỏa mãn (6.6), (6.7) đối với khoảng

biên 2/1j nếu pu , thỏa mãn điều kiện

.022

00

c

Fhp

c

Ghu (6.10)

Tương tự như 2/1j , có thể xét phương trình sai phân trong khoảng

2/1 Jj nằm kề biên phải để khẳng định rằng những hàm trên lưới

2/12/1

~,~ jj

pu thỏa mãn (6.6), (6.7) nếu như

.022

00

c

Fhp

c

Ghu (6.11)

Nếu 0

, từ (6.10), (6.11) ta xác định được


48

.2

,2

00c

Fhp

c

Ghu (6.12)

Tương tự, khi sử dụng điều kiện

fPUfPU

JJ ,

00

với các hệ số tương ứng với thời điểm t ở lớp “dưới”, sẽ thu được các hàm tuyến

tính (6.9) thay cho nghiệm chính xác (6.8), nhưng các hàm mới này sai khác so với

nghiệm chính xác những giá trị bậc nhất của h như trong công thức (6.12).

Tính đa trị biểu kiến của pu , được thể hiện khi những hệ số trong điều

kiện biên tỉ lệ với nhau ( 0

), kết quả là tính duy nhất nghiệm không

còn được bảo toàn trong những điều kiện chuẩn của bài toán hỗn hợp.

Ta có thể sử dụng các công thức (6.10) (6.11) để tính độ “xê dịch” của áp

suất p và vận tốc u thông qua dạng biến đổi của chúng

022

022

*

0

*

0

*

0

*

0

t

p

c

hp

t

u

c

hu

t

p

c

hp

t

u

c

hu

(6.13)

trong đó

t

u *

,

t

p*

là đạo hàm riêng của nghiệm chính xác tại biên trái của

điểm

xx , còn

t

u *

,

t

p*

là đạo hàm riêng tại biên phải của điểm

xx .

Trong trường hợp ta đang xét

Gt

u

t

u

**

, .**

Ft

p

t

p


49

Phân tích cụ thể hơn, ta thấy rằng hệ (6.13) chính xác tới bậc một theo h

không chỉ đối với các nghiệm tuyến tính mà còn đúng với mọi nghiệm khả vi khác

của phương trình âm học.

Điều này cho phép thực hiện khảo sát bậc xấp xỉ của sơ đồ sai phân với điều

kiện biên theo cách sau. Ta sẽ không đưa vào hệ phương trình sai phân các nghiệm

chính xác ),(),,( ** txptxu mà đưa vào các hàm phụ

,),(),(~

,),(),(~

*

*

ptxptxp

utxutxu

(6.14)

trong đó pu , là các đại lượng phụ thuộc vào t , chúng được xác định từ (6.13).

Khi đó, đối với mọi “khoảng trong” của lưới sẽ thuận tiện hơn nếu sử dụng các

phương trình sai phân (3.1). Như đã thấy từ đầu bài 3, có thể đưa những hàm khả

vi bất kỳ về dạng (3.2), (3.3), từ đó ta thấy rằng phép thế ),(~),,(~ txptxu đưa lại

phần dư hO . Đối với khoảng 2/1j gần bên trái của biên

xx , sử dụng

(6.6) và (6.7) sẽ thuận tiện hơn. Dễ thấy rằng khi thế ),(~),,(~ txptxu vào, ta cũng

thu được phần dư hO , tương tự cho khoảng tiếp giáp biên phải

xx .

Do đó những hàm phụ ),(~),,(~ txptxu trong (6.13), (6.14) thỏa mãn mọi

phương trình sai phân với độ chính xác hO . Ta có thể trông đợi rằng những

phương trình sai phân với nghiệm tính toán là u, p sẽ sai khác so với pu ~,~ những

lượng hO .

Bởi vì pu ~,~ sai khác với nghiệm chính xác ** , pu những lượng hO (theo

(6.14)-(6.13)), từ đó ta thấy rằng nghiệm tính toán theo sơ đồ sai phân sai khác với

nghiệm chính xác một lượng hO .

Từ những tư duy hợp lý ta cho rằng việc bắt đầu khảo sát tính chính xác của

sơ đồ sai phân từ việc phân tích bài toán hỗn hợp là hoàn toàn thích đáng. Việc xây


50

dựng nghiệm có dạng (6.9) cho sơ đồ sai phân cho phép chúng ta khảo sát những

hiệu ứng xuất hiện gần biên của vùng tính toán. Vấn đề này lần đầu tiên được chú

ý đến khi người ta phân tích số liệu tính toán khí động lực học gần những vùng

gián đoạn tiếp xúc.

Hiệu ứng này được phát hiện đầu tiên bởi K. A. Semendyaev khi ông khảo

sát các đồ thị tính toán. Vai trò của ông trong việc xây dựng và ứng dụng phương

pháp được nêu ra trong quyển sách này là không thể coi nhẹ. Ông rất chú ý quan

sát giai đoạn đầu của tất cả các nghiên cứu, điều này đã đưa đến sự xây dựng

phương pháp, Semendyaev chỉ đạo thực hiện trong nhiều năm và đã gặt hái được

rất nhiều thành quả nhờ vào phương pháp của mình. Hiệu ứng sai phân được kiểm

chứng trên mô hình tuyến tính (xem chi tiết tại [30]). Ta sẽ trình bày hiệu ứng này

một cách đầy đủ ở dưới đây.

Giả thiết rằng trong hệ phương trình âm học (6.1), các hệ số 00,c khác

nhau khi 0x và 0x :

0000, cc khi 0x ,

0000, cc khi 0x . (6.15)

Dễ dàng kiểm chứng rằng trong trường hợp này hệ có nghiệm liên tục tại

0x , nó được biểu diễn như sau:

,0

,0),(ˆ

,0

,0

),(ˆ

0

0

2

00

2

00

xkhiFtGx

xkhiFtGxtxp

xkhiGtxc

F

xkhiGtxc

F

txu

(6.16)

trong đó GF, — những hằng số bất kỳ.


51

Trên hình 6.1, a, b biểu diễn những đồ thị thu được khi tính toán nghiệm dựa

vào sơ đồ sai phân của chúng ta. Những thông số cụ thể được đưa ra dưới đây:

.0.2,0.1,0.2

0.3,5.0,0.4

00

00

Gc

Fc

Bước theo tọa độ không gian 05.0h , 8.0/ h . Khi đó (6.16) có

dạng như sau.

.034ˆ,25.1ˆ

038ˆ,23ˆ

xkhitxptxu

xkhitxptxu

Hình 6.1 tương ứng với thời điểm 8.0* t (bước thứ 20), điều kiện đầu sẽ là

.4.2),0(ˆ,6.1),0(ˆ ** tptu

Sự xuất hiện gián đoạn tại điểm 0x trong nghiệm sai phân (tương ứng với

độ chênh lệch áp suất p và vận tốc u ) được giải thích như sau. Khi thành lập

các phương trình sai phân (2.2), (2.3) cho hệ (1.1) ta sẽ sử dụng các giá trị

hhcc ,,0000

cho những chỉ số 0j và hhcc ,,0000

cho

những chỉ số 0j (những bước hh , có độ dài khác nhau sẽ được sử dụng sau

này).


52

Theo những nguyên tắc về xây dựng sơ đồ sai phân thì các giá trị 00, PU tại

nút lưới 00x sẽ phải được xác định từ các phương trình sau

.

,

00

2/1

2/1

00

0

0

00

2/1

2/1

00

0

0

c

pu

c

PU

c

pu

c

PU

(6.17)

Thông qua kiểm chứng có thể khẳng định rằng hệ phương trình sai phân thu

được (ta chưa xét tới điều kiện biên) sẽ cho nghiệm tuyến tính theo x và t (theo

công thức (6.16)) trong vùng 0x , 0x và chúng có cùng một gradient trong cả 2

vùng kể trên. Lời giải sẽ là


53

,02

),(ˆ

,02

),(ˆ

),(

,02

),(ˆ

,02

),(ˆ

),(

2

0

2

0

1

0

1

0

xkhikc

hFtxp

xkhikc

hFtxp

txp

xkhikc

hGtxu

xkhikc

hGtxu

txu

(6.18)

Trong đó 21,kk — những hằng số bất kỳ. Giá trị của nghiệm sai phân

2/12/1 , jj pu tại bước thứ n theo thời gian được tính từ những công thức trên khi

hjx 2/1 , nt với giá trị tương ứng hh hoặc hh .

Các công thức (6.18) cho những giá trị khác nhau khi 0x từ phía phải và

trái, hiệu giữa chúng lần lượt là

.ˆ

2

1

2][

,ˆ

2

1

2

00000

00000

c

h

c

h

t

p

c

h

c

hFp

c

h

c

h

t

u

c

h

c

hGu

x

x

(6.19)

Bởi vì lời giải sai phân chỉ được xác định tại các điểm 2/1j , vì vậy mà

chúng ta không thể quan sát được gián đoạn thực của áp suất và vận tốc. Tuy nhiên

nếu như ngoại suy tuyến tính những kết quả tính toán tại điểm 0x thì ta nhận

được gián đoạn này (h. 6.1).

Trong (6.19) ta thấy sự “đột biến” áp suất và vận tốc tại biên tiếp xúc, những

công thức này xấp xỉ với độ chính xác bậc hai theo h , điều này xảy ra không chỉ

đối với những nghiệm tuyến tính mà còn đúng với nghiệm khả vi của phương trình

âm học. Khi đó công thức của “đột biến” có dạng


54

,ˆ

2

1][

,ˆ

2

1

2

000

2

000

hOc

h

c

h

t

pp

hOc

h

c

h

t

uu

x

x

(6.20)

Trong đó ),(ˆ),,(ˆ txptxu — nghiệm chính xác của hệ phương trình âm học

(6.1) với những hệ số liên tục tại điểm 0x (trong (6.15)):

),0(ˆ),0(ˆ),,0(ˆ),0(ˆ tptptutu .

Về sau, chúng ta sẽ giả thiết rằng nó khả vi tại mọi điểm (nhằm thỏa mãn

điều kiện đầu) ngoại trừ 0x . Tại 0x , ta giả thiết rằng lời giải liên tục và tồn tại

.ˆ

,ˆ

t

p

t

u

Bây giờ ta sẽ viết một cách ngắn gọn về phương pháp khảo sát tính xấp xỉ

của sơ đồ sai phân tại biên tiếp xúc. Đầu tiên ta xây dựng các hàm phụ:

.0ˆ

2),(ˆ

,0ˆ

2),(ˆ

),(~

,0ˆ

2),(ˆ

,0ˆ

2),(ˆ

),(~

00

00

00

00

xkhit

p

c

htxp

xkhit

p

c

htxp

txp

xkhit

u

c

htxu

xkhit

u

c

htxu

txu

x

x

x

x

(6.21)

Chúng sai khác so với nghiệm chính xác một đại lượng có bậc một theo h ,

thêm vào đó mức sai khác được đưa ra để nó mô tả hiệu ứng biên đã được nêu ra ở

trên. Trong lúc kiểm tra tính xấp xỉ, ta sẽ đưa vào phương trình sai phân những

hàm phụ ),(~),,(~ txptxu mà không phải là nghiệm chính xác ),(ˆ),,(ˆ txptxu . Đối với


55

“khoảng trong” của lưới thì phép thế này tương tự trường hợp bài toán hỗn hợp ở

trên, ta cũng thu được phần dư hO . Đối với những khoảng 2/1j và

2/1j tiếp giáp điểm 00x thì việc khảo sát phải thực hiện khác đi. Ta sẽ

thực hiện trong trường hợp 2/1j và xem xét chỉ một trong hai phương trình

sai phân của sơ đồ, ví dụ phương trình thứ hai. Ta có thể sử dụng phương trình thứ

hai của (6.6) và giả thiết rằng 0000, cc . Thế biểu thức cho 0

U trong (6.17)

vào phương trình vừa nêu, ta nhận được:

,

0000

2/12/12/12/100

2/10cc

ppuucuU

Có thể viết nó dưới dạng

.01

22

2/12/1

00

2/12/1

0000

00

2/12/32/12/3

2

00

2/1

2/1

h

ppc

h

uu

cc

ch

pp

h

uu

cpp

(6.22)

Trong phương trình (6.22) chúng ta thế các giá trị tính toán của các hàm phụ

),(~),,(~ txptxu trong công thức (6.21) và áp dụng khai triển Taylor. Ta ám chỉ rằng

các hệ số trong (6.15) gián đoạn tại 0x nên các đạo hàm riêng của ),(ˆ),,(ˆ txptxu

thỏa mãn những hệ thức sau

.ˆ1ˆ1ˆ

,ˆˆˆ

00000

0

2

00

0

2

00

0

xxx

xxx

x

p

x

p

t

u

x

uc

x

uc

t

p

(6.23)

Chúng ta bắt đầu từ biểu thức 2/12/1

~~

uu


56

000

2/12/12/12/1

ˆ

2

1ˆˆ~~

c

h

c

h

t

uuuuu

x

,ˆ

2

ˆ

2ˆˆˆˆˆˆ 2

00

2/1002/12/12/1hO

x

uh

x

uhuuuuuu

Sử dụng (6.23), ta thu được

.ˆ

2

1ˆ

2

1~~ 2

000

2

00

2

000

2/12/1hO

c

h

c

h

t

u

c

h

c

h

t

puu

xx

Tượng tự

.ˆ

2

1ˆ

2

1~~ 2

000

00

0

2/12/1hO

c

h

c

h

t

phh

t

upp

xx

Sử dụng những kết quả trên và lấy khai triển Taylor cho những hạng tử còn

lại trong (6.22), sau những biến đổi đơn giản ta có thể khẳng định rằng vế trái của

(6.22) có dạng

.ˆ1ˆ

2

1ˆ1ˆ

2

1ˆ

00000

2

00hO

t

p

ct

u

cx

p

cx

uc

t

p

(6.24)

Giá trị của đạo hàm riêng trong biểu thức trên được lấy tại điểm 2/hx , từ

phương trình âm học ta thấy (6.24) có giá trị hO .

Do đó, từ khảo sát mà ta vừa thực hiện và từ khảo sát tương tự cho phương

trình thứ nhất của (6.3), cho những phương trình sai phân tại điểm 2/hx , ta

nhận thấy rằng các hàm phụ ),(~),,(~ txptxu thỏa mãn mọi phương trình sai phân

với độ chính xác hO . Có thể phát biểu tương tự trường hợp bài toán hỗn hợp như

sau: ta trông đợi rằng những phương trình sai phân có nghiệm pu, sai khác so với


57

pu ~,~ những lượng hO . Bởi vì pu ~,~

lại sai khác so với nghiệm chính xác pu ˆ,ˆ

những giá trị hO theo (6.21), do đó tồn tại nghiệm của hệ phương trình sai phân

sai khác so với nghiệm chính xác những lượng hO .

Để kết thúc bài này chúng ta sẽ nói một chút về việc khắc phục hiệu ứng sai

phân. Từ (6.19) ta thấy rằng, để làm giảm hiệu ứng này ta nên chọn hh , sao cho

thỏa mãn điều kiện

.00

c

h

c

h (6.25)

Khi điều kiện trên thỏa mãn, hiệu ứng “bước nhảy” áp suất và vận tốc

(chúng được ngoại suy tại phía trái và phía phải của biên tiếp xúc) có thể được loại

bỏ để tăng độ chính xác của sơ đồ tại các vùng lân cận biên. Khi xuất hiện nhiều

biên thì có thể làm giảm sự gián đoạn trên biên bằng cách chọn bước lưới tại

những vùng giữa một cách hợp lý. Tuy vậy hiệu sai số vẫn không thay đổi. Chúng

ta kết thúc bài này bằng nhận xét trên mà không đi sâu vào việc khảo sát hiệu ứng

sai phân. Ngoài ra, trong những bài toán khí động lực học phi tuyến mà ta sẽ xem

xét trong các chương sau thì công thức (6.25) khó xảy ra vì vận tốc âm thanh 0c

thay đổi trong suốt quá trình tính toán.

CHƯƠNG II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL HAI BIẾN TỰA

TUYẾN TÍNH

BÀI 12. KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC MỘT CHIỀU


58

Hệ phương trình khí động lực một chiều không ổn định. Phương trình trạng

thái. Các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng. Hệ thức cho

các gián đoạn. định luật bảo toàn entropi đối với các nghiệm trơn tru (liên tục) và

định luật tăng entropi đối với bài toán thái. Điều kiện Beta-Weil cho phương trình

trạng thái. Khái niệm về nghiệm mở rộng.

Hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất khí phụ thuộc thời

gian, một chiều không gian có dạng sau:

0

2/2/

0

0

22

2

x

puuu

t

u

x

up

t

u

x

u

t

(12.1)

Trong đó — khối lượng riêng của khí, p — áp suất khí, — nội năng một đơn

vị khối lượng khí, u — vận tốc theo phương x .

Hệ phương trình (12.1) gồm 3 phương trình, tuy nhiên lại có tới 4 ẩn cần tìm

là ,,, pu nên để hệ phương trình có thể giải được, chúng ta cần bổ sung thêm một

phương trình nữa. Trong khí động lực học, để mô tả trạng thái khí, ta có thể chọn

hai tham số nhiệt động độc lập, và biểu diễn các thông số còn lại thông qua chúng.

Cách biểu diễn đó được gọi chung là phương trình trạng thái. Trong trường hợp

riêng phương trình trạng thái có dạng

SV , (12.2)

Với S — entropi, /1V — thể tích riêng. Theo nhiệt động lực học ta có

TdSpdVd (12.3)

Từ đây có thể tìm được áp suất p và nhiệt độ tuyệt đối T thông qua các

tham số SV , theo các công thức:


59

S

SVSVTT

V

SVSVpp

,,

,,

,

(12.4)

Nếu phải tính giá trị p theo , cho trước, ta sử dụng thế nhiệt động

,VSS , với V

SVp

, sẽ xác định được p . Vì thế trong mọi trường hợp

chúng ta luôn có mối liên hệ sau

,pp hoặc ,p (12.5)

Nếu như phương trình trạng thái được cho ở dạng (12.5) thì hệ phương trình

(12.1) hoàn toàn được xác định mà không xét thêm entropi S . Tiếp theo ta sẽ xây

dựng thuật toán cho các giá trị ,, p , còn các tham số khí động khác, đặc biệt là

entropy, chỉ xét thêm trong trường hợp cần thiết (ví dụ trong quá trình phân tích,

giải thích các kết quả tính toán được, ..). Đồng thời ta giả thiết rằng phương trình

trạng thái luôn được cho ở dạng (12.5).

Đối với khí lý tưởng, phương trình trạng thái có dạng đơn giản:

1p , hay 1

p

(12.6)

Giá trị được gọi là chỉ số đoạn nhiệt. Cũng đối với khí lý tưởng, ta còn có

các hệ thức sau

S

1

1

1

với VcS

eSSp/

,

Trong đó S — hàm entropi, Vc — nhiệt dung riêng đẳng tích. Trong khí động

lực học, hàm entropy thường được sử dụng hơn so với là bản thân entropy.

Dạng tổng quát của phương trình trạng thái được mở rộng từ phương trình

dành cho khí lý tưởng, được viết như sau:


60

1, 0

2

0

cpp (12.8)

Trong đó các giá trị 00,c là các hằng số. Áp suất p được biểu diễn thông

qua khối lượng riêng và entropy có dạng

2

00

0

cSp

(12.9)

Các phương trình trạng thái trên cũng có thể được sử dụng cho các quá trình

diễn ra trong chất lỏng cũng như kim loại ở điều kiện áp suất cao. Nhận thấy rằng

phương trình trạng thái (12.6) là trường hợp riêng của phương trình trạng thái

(12.8) khi 1,0 00 c

Nếu nghiệm của hệ (12.1) các hàm trơn tru txtxuutx ,,,,, thì

với mọi miền con với biên , các đẳng thức sau luôn thỏa mãn:

,0udtdxdxdt

x

u

t

,02

2

dtupudxdxdtx

up

t

u

,02/2/

2/2/ 2222

dtpuuudxudxdtx

puuu

t

u

Hay chúng ta có các đẳng thức dạng tích phân sau

.02/2/

,0

,0

22

2

dtpuuudxu

dtupudx

udtdx

(12.10)


61

Các phương trình (12.10) chính là định luật bảo toàn khối lượng, động lượng

và năng lượng ở dạng tích phân. Các phương trình luôn đúng không chỉ với các

hàm txtxptxutx ,,,,,,, trơn tru, mà cả khi chúng là các hàm số bất kì mô tả

chuyển động của khí thực.

Trong các dòng chảy thực tế thường gặp các mặt mà trên đó các đại lượng

vật lý bị gián đoạn, thay đổi dạng bước nhảy. Đó là các mặt sóng xung kích và các

gián đoạn tiếp xúc. Từ các định luật bảo toàn dạng tích phân (12.10) ở trên ta sẽ

tìm được mối liên hệ cho các đại lượng về hai bên gián đoạn, các tỉ số liên hệ (hệ

thức) thu được thường được gọi chung là điều kiện (hệ thức) cho sóng xung kích.

Giả sử có gián đoạn lan truyền với vận tốc Ddt

dx . Quỹ đạo (đường cong)

gián đoạn trên mặt phẳng tx, được thể hiện trên hình (12.1). Lấy chu tuyến kín bất

kì (là đường đứt đoạn trên hình vẽ), tiếp giáp và bao quanh một phần của quỹ đạo

gián đoạn. Từ các định luật bảo toàn ở trên, áp dụng cho chu tuyến thu được

02/2/2/2/

0

0

2222

22

dtpuuuDudtpuuudxu

dtupDudtupdxu

dtuDdtudx

(12.11)

ở đây chúng ta lấy tích phân dọc theo đường đứt đoạn. Các đại lượng trong ngoặc

vuông là hiệu đại lượng tương ứng hai bên của đường gián đoạn.

Do việc lấy tích phân theo chu tuyến bất kì nên tại mỗi điểm trên đường gián

đoạn chúng ta thu được các hệ thức sau.

02/2/

0

0

22

2

puuuDu

upDu

uD

(12.12)


62

Nhận thấy một điều khá thú vị và cũng không kém phần quan trọng rằng,

không phải mọi định luật bảo toàn thõa mãn với các nghiệm (hàm) trơn mượt, cũng

sẽ thõa mãn cho nghiệm gián đoạn.

Trong hệ phương trình khí động (12.1) đem nhân tương ứng lần lượt với các

giá trị SSS

uu

1,,

2/2

sau đó cộng các phương trình lại với nhau (ở đây

chúng ta sử dụng phương trình trạng thái S, , kí hiệu S , là đạo hàm riêng

của hàm S, theo các biến S, tương ứng) thu được

13.120

2/2/1

2/

22

22

x

uS

t

S

x

puuu

t

u

x

up

t

uu

x

u

t

u

S

SS

Nếu txutxStx ,,,,, — hàm trơn mượt, thì với mọi chu tuyến bất kì

0

uSdtSdx (12.14)

Gọi là định luật bảo toàn entropi dạng tích phân.

Riemann là người đầu tiên xây dựng cơ sở lý thuyết toán học cho bài toán

sóng xung kích. Ông cho rằng, tại các điểm gián đoạn định luật bảo toàn entropi

(12.14) luôn thõa mãn. Đồng thời khi đó ông lại bỏ qua định luật bảo toàn năng

lượng, tuy nhiên điều khẳng định trên hoàn toàn không chính xác, vấn đề đã được

Renkinn và Guigonhio giải quyết, hai ông đã chứng minh được rằng. Định luật bảo

toàn entropi (12.14) không thõa mãn tại những điểm gián đoạn. khi các phần tử

môi trường đi qua các điểm gián đoạn, entropi trong nó sẽ tăng, tức khi đó chúng ta

có định luật tăng entropi.


63

0

uSdtSdx (12.15)

Tích phân theo chu tuyến ngược chiều kim đồng hồ. Chu tuyến là chu

tuyến bất kì, bao quanh một phần đường gián đoạn đang xét.

Như vậy, chúng ta thu được kết luận khá quan trọng sau: với mọi hàm liên

tục từng đoạn txStxutx ,,,,, mô tả quá trình dịch chuyển của chất khí, luôn

phải thõa mãn điều kiện (12.10) và (12.15).

Hiện nay, toán học đã chứng minh được (tuy nhiên việc chứng minh vẫn còn

mang tính chất tương đối) rằng, các hàm số (nghiệm bài toán), thõa mãn các định

luật bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng trong (12.10) và định luật tăng

(không giảm) entropi trong (12.15) là duy nhất và hoàn toàn xác định thông qua

điều kiện đầu 0t , nếu như phương trình trạng thái không quá “rối rắm”. để khẳng

định phía trên là đúng, thì điều kiện hàm thế năng nhiệt động SV , phải là một

hàm lồi. điều kiện hàm số SV , là hàm lồi khi các điều kiện sau thõa mãn

0,0 2 VVSSVVVV (12.16)

Ngoài ra hàm SV , cần phải thõa mãn điều kiện Beta — Weil

0,0 VVVVS (12.17)

Dễ dàng nhận thấy rằng, các phương trình trạng thái (12.7) ,(12.8) và (12.9) đều

thõa mãn điều kiện Beta — Weil.

Các kết quả thu được ở trên đã dẫn tới ý tưởng, lần đầu tiên được John von

Neumann đưa vào trong các công thức tính toán của mình. Đó là việc xấp xỉ sơ đồ

tính toán hệ phương trình khí động, không nhất thiết phải xấp xỉ các phương trình

vi phân trong miền tính toán, nơi mà các hàm miêu tả chuyển động của chất khí là

trơn mượt, mà có thể xấp xỉ nghiệm các đẳng thức tích phân (12.10) và bất đẳng


64

thức entropi dạng tích phân (12.15). John von Neumann đã đưa vào giả thiết nhớt

nhân tạo trong việc tính toán các phương trình trên. Các nhớt nhân tạo này sẽ làm

loang (mờ) các gián đoạn. Trên thực tế cũng chỉ ra rằng việc bắt buộc đưa vào nhớt

nhân tạo trong các phương trình tính toán là không bắt buộc, bởi vì khi xấp xỉ các

hàm, miêu tả trường giá trị vật lý (trường dòng chảy) bằng sơ đồ sai phân cũng dẫn

đến việc loang các gián đoạn, đồng thời các gián đoạn cũng sẽ trở nên trơn mịn

giống như kết quả bằng việc đưa vào nhớt nhân tạo của John von Neumann.

Các hàm, thõa mãn các đẳng thức tích phân (12.10) và bất đẳng thức entropi

(12.15) được gọi là các nghiệm mở rộng cho hệ phương trình khí động. Nhận thấy

rằng, nếu như chúng ta chỉ sử dụng các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng,

năng lượng và không đưa vào khái niệm nghiệm mở rộng cho bất đẳng thức

entropi, thì bài toán xem xét với trạng thái ban đầu của môi trường khi 0t có thể

có nhiều nghiệm thõa mãn. (thậm chí cả đối với trường hợp phương trình trạng thái

dạng đơn giản nhất của khí lý tưởng). Về vấn đề này chúng ta sẽ gặp ở bài toán

phân rã gián đoạn đối với hệ phương trình khí động dạng không tuyến tính. Được

xem xét bằng ví dụ cụ thể ở cuối chương này.

BÀI 14. SƠ ĐỒ SAI PHÂN CHO BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG MỘT

CHIỀU

Miêu tả tổng quan sơ đồ bài toán.Định luật bảo toàn sai phân trong trường

hợp chuyển động “phẳng”. Sử dụng lưới chuyển động và các tùy chỉnh cho sơ đồ

sai phân tương ứng. Tính đối xứng hình học, công thức vi phân, sai phân cho định

luật bảo toàn. Xấp xỉ phương trình khí động.


65

Áp dụng các nguyên lý được đề cập trong chương I, cho hệ phương trình

tuyến tính hyperbolic, dựa trên cơ sở của các định luật bảo toàn khối lượng, động

lượng và năng lượng, được biểu diễn ở dạng đẳng thức tích phân (12.10), cộng

thêm phương trình trạng thái ,p , chúng ta sẽ xây dựng được sơ đồ sai

phâncho phương trình khí động của dòng chảy không ổn định (12.1) theo một tọa

độ không gian x nào đó.

Giả sử, tại thời điểm ban đầu 0t t chia miền khí thành các lớp, bởi các nút

lưới, với tọa độ không gian jx . Khoảng cách giữa các nút 1 1

2j j j

x x h , trong

trường hợp tổng quát khoảng cách giữa các nút lưới có thể khác nhau. Trong mỗi

lớp, giữa 2 nút lưới 1jx và jx , các giá trị , , , ,u p p có thể coi là hằng số

(không đổi, sự thay đổi rất nhỏ) và được kí hiệu với chỉ số 12

j , tức có biểu diễn

12

, ,j

u p

. Giá trị vận tốc và áp suất giữa hai ô lưới liền kề 12

j và 12

j có

thể khác nhau, nên tại lớp biên giữa chúng (tức tại nút lưới jx x ) sẽ xảy ra hiện

tượng phân rã gián đoạn. giống như các kết luận thu được ở phần các bài trước, khi

nghiên cứu về quá trình phân ra gián đoạn, thì sự thay đổi của các đại lượng vật lý

trong quá trình phân rã gián đoạn có thể được biểu diễn dưới dạng lời giải “mẫu”

cho phương trình khí động, dạng chung sau

, , ,u u p p

ở đây biến “mẫu” 0

jx x

t t

. Từ các công thức trên, có thểnhận thấy rằng, các

sóng được hình thành trong quá trình phân rã gián đoạn tại các nút lưới liền kề 1jx

và 1jx vẫn chưa lan truyền tớicác điểm jx x , thì khi đó các giá trị của các đại

lượng , , ,u p sẽ được bảo toàn và bằng các hằng số nào đó, các hằng số này sẽ


66

được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa tương ứng , , ,j j j jU R P E , vì thế,để đảm bảo

được tính chất bảo toàn trên, chúng ta sẽ xem xét quá trình trong một khoảng thời

gian nào đó không quá lâu. Đồng thời khi đó, các đại lượng , , ,j j j jU R P E tại các

nút lưới có thể coi là không đổi.

Sẽ rất phức tạp, nếu như chúng ta sử dụng thuật toán cho bài toán phân rã

gián đoạn để tìm sự phân bố các đại lượng , , ,u p theo tọa độ không gian, trên

toàn bộ các nút lưới jx , tại thời điểm 0t t . Vì thế tương tự như trong bài 2 về

phương trình âm học, chúng ta sẽ thay thế sự phân bố các đại lượng trên bằng sự

phân bố hằng trên từng đoạn.Có nghĩa là, trong mỗi ô lưới 12

j , các đại lượng

(khối lượng riêng), u (động lượng), 2

2

u

(năng lượng toàn phần), sẽ bằng

giá trị trung bình của chúng trong ô lưới. Các giá trị của chúng tại thời điểm 0t

sẽ được kí hiệu 1

2, , ,j

u p . Áp dụng các định luật bảo toàn tại ô lưới 1

2j

trong khoảng thời gian 0t đến 0t , chúng ta có thể tìm được các giá trị trung bình

1

2, , ,j

u p bởi hệ phương trình sai phân

12

1 1 12

12

1 1 12

122 2

1 1

12

0

0

02 2

j

j j j jj

j

j j j jj

j

j j j j

j

x x M M

u u x x T T

u ux x K K

(14.1)

Với


67

2

2

2

j j

j j

j

j

M RU

T P RU

UK RU E PU

(14.2)

Các đại lượng trên đượcgọi là thông lượng của khối lượng, động lượng và

năng lượng trên một đơn vị độ dài cạnh bên của ô lưới hình chữ nhật trong mặt

phẳng biến ,x t . Bổ sung phương trình trạng thái 1 1 1

2 2 2,j j j

p

vào hệ

phương trình sai phân phía trên, chúng ta sẽ thu được các phương trình tường minh

cho các đại lượng 1

2, , ,j

u p . Có thể coi các đại lượng này là đại lượng xấp xỉ

các đại lượng của chúng tương ứng, đặc trưng cho trạng thái khí tại thời điểm 0t

. Tiếp theo, nếu bây giờ chúng ta coi trạng thái khí tại thời điểm 0t là trạng thái

ban đầu, và áp dụng sơ đồ sai phân phía trên, sau khoảng thời gian (vì trong

trường hợp tổng quát ,các giá trị và có thể khác nhau), chúng ta sẽ tìm được các

đại lượng xấp xỉ, đặc trưng cho trạng thái khí tại thời điểm 0t . Cứ tiếp tục quá

trình như vậy, chúng ta có thể tìm được trạng thái xấp xỉ trạng thái khí tại các mọi

thời điểm.

Có thể kiểm tra tính chất sau, sơ đồ sai phân cho các hàm trơn mượt xấp xỉ

hệ phương trình vi phân khí động (12.1) với bậc là bậc một. Tính ổn định của sơ

đồ, chúng ta sẽ đảm bảo trong quá trình tính toán từng bước theo thời gian, thõa

mãn các định lý tương ứng……đoạn này viết sau…

Đến thời điểm hiện tại, thì chúng ta đã hoàn toàn biểu diễn xong đồ sai phân

trong trường hợp các nút lưới là cố định…..; ngoài ra, để tăng hiệu suất,cũng như

ứng dụng của sơ đồ sai phân trong tính toán, có thể bằng cách xây dựng sơ đồ sai

phân với các nút lưới chuyển động. khi đó trong các công thức tính toán trước, các

đại lượng được kí hiệu bằng chữ cái in hoa sẽ thay đổi.


68

Giả sử tại thời điểm 0t t ,các biên của miền tính toán có tọa độ

0 ,I J IIx x x x , chuyển động với vận tốc * *,I IIW W tương ứng, khi đó tại thời điểm

0t , tọa độ các biên sẽ là

* *,I III I II IIx x W x x W

Để đảm bảo được vị trí sắp sếp của các nút lưới trong miền tính toán3) giống

với thời điểm 0t t , khi đó tọa độ các nút lưới tại thời điểm 0t tương ứng sẽ

dịch chuyển và tọ độ mới của chúng bằng

II IjI j I

II I

x xx x x x

x x

Chúng ta giả sử rằng, trong khoảng thời gian 0t đến 0t , các nút lưới j sẽ

dịch chuyển với vận tốc không đổi *

j

j

j

x xW

. Để tính xác định cụ thể các giá trị

của các đại lượng in hoa , , ,j

U R P E , thì sau mỗi bước của phân rã gián đoạn,

chúng ta cần phải xác định được vị trí của tia *

0

j

j

x xW

t t

(biển diễn chuyển động

của nút lưới j ).

Ví dụ, đối với trường hợp thể hiện như trên hình 14.1, chúng ta sẽ có các

trường hợp xảy ra như sau

1. Nếu *

j IW D , thì 12

, , , ,j j

U R P u p

trong miền I .

2. Nếu *

j IIW D , thì 12

, , , ,j j

U R P u p

trong miền II.

3. Nếu * *

I jD W U , thì , , , , IjU R P U P R trong miền III, là miền nằm

giữa gián đoạn tiếp xúc và song giãn bên trái.

3


69

4. Nếu *

j IIU W D , thì , , , , IIjU R P U P R , trong miền IV, là miền nằm

giữa gián đoạn tiếp xúc và song giãn bên phải.

5. Nếu * *

I j ID W D , thì tia sẽ nằm trong miền V, là miền phân bố của

sóng giãn, khi đó từ hệ thức (13.7) về tính liên tục của các bất biến

Rimann, chúng ta sẽ thu được các công thức sau

* *

1 12 2

* *

2

1*

1 0 02

12

0

2*

1 2

1 1j jj j

j j j

j

j j

j

j

j

j

c u W c

U W c

cP p p p

c

P pR

c

(14.3)

Tương tự chúng ta có thể xem xét cho tất

cả các cấu hình còn lại, xuất hiện trong quá

trình phân rã gián đoạn (biểu diễn trong hình

13.1)

Ngoài việc tính toán các giá trị của các đại lượng in hoa, sự chuyển động của

các nút lưới cũng cần phải tính đến trong các công thức (14.1), dễ dàng chúng ta

có, trong trường hợp, nếu như điểm jx dịch chuyển với vận tốc *

jW , thì trong công

thức (14.1), các giá trị của thông lượng khối lượng jM , động lượng jT và jK sẽ

thay bằng các giá trị tương ứng sau


70

*

*

2 2*

2 2

jj

j j j jj

j j j j

jj

M R U W

T P RU U W P M U

U UK R E U W PU E M PU

(14.4)

Các thông lượng của các đại lượng đối với nút lưới 1j , cũng thay đổi một

các tương tự.

Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập đến vấn đề các quy tắc xây dựng sơ đồ sai phân

được sử dụng trong bài toán khí động với dòng chảy không ổn định đối xứng, dòng

chảy không ổn định đối xứng là dòng chảy mà các hàm biểu diễn chuyển động chỉ

phụ thuộc vào khoảng cách r tới trục đối xứng và thời gian t . Các định luật bảo

toàn khối lượng, động lượng, và năng lượng có dạng

a rdr brdt f drdt

(14.5)

Với

2

2 2

0

, ,

02 2

v

a v b p v f p

v v pv

(14.6)

Về ý nghĩa của các đại lượng , ,p bảo toàn giống như phần trước, còn đại

lượng v là thành phần vận tốc xuyên tâm (hai thành phần vận tốc còn lại là vận tốc

dọc theo trục đối xứng, và vận tốc góc -- hai thành phần vận tốc này đều bằng

không). Đẳng thức tích phân (14.5) thõa mãn với mọi chu tuyến kín bất kì, bao

quanh miền trong mặt phẳng biến ,r t .

Giống như phần đầu, chúng ta chia khí thành các lớp theo tọa độ r bằng các

nút jr , giả sử rằng, phía trong lớp 1j jr r r , các đại lượng 12

, , ,j

v p

là không


71

đổi. áp dụng định luật bảo toàn theo công thức (14.5), chúng ta thu được phương

trình sai phân tương tự như công thức (14.1) sau

2 2

11 12

1 1 1 12 22 2

j j j j jj jj j j j

r r r ra a B B f r r

(14.7)

ở đây B là véc-tơ cột, được tạo thành từ các đại lượng giống như trong công

thức (14.4):

*

2

2

R V WM

B T P VM

K VM E PV

(14.8)

*W -- vận tốc chuyển động của nút lưới. việc xác định các đại lượng in hoa

cũng được xem xét một cách tương tự giống như trường hợp chuyển động phẳng

trong phần đầu.để xác định các đại lượng bên phải, một cách đơn giản chúng ta sử

dụng giá trị 1

2j

p

của lớp phía dưới.

Từ định luật bảo toàn trong công thức (14.5), có thể viết lại ở dạng phương

trình vi phân đạo hàm riêng sau

a r br ft r

(14.9)

Với , ,a b f được xác định theo công thức (14.6).

Các phương trình trên là trường hợp riêng của hệ phương trình khí động,

được xem xét trong bài 22. Hệ phương trình (14.9) có thể viết lại ở dạng tương

đương sau

1a b

f bt r r

(14.10)


72

Ngoài ra, một số tác giả thường sử dụng đẳng thức tích phân tương đương

với công thức (14.10)sau

1

a dr bdt f b drdtr

để xây dựng sơ đồ sai phân. Khi đó phương trình sai phân có dạng

1

21 11 11 12 22

1

2j

j jj jj j j j j

j j

a a r r B B f b r rr r

(14.11)

Để tính các đại lượng ở vế bên phải, chúng ta sử dụng đại lượng của lớp phía

dưới.

Đối chiếu công thức (14.11) với công thức (14.7), sau khi giản ước cho

1

1

2j jr r thu được

1

21 1 11 12 2

1

2j

j jj j j j j j

j j

a a r r B B f r rr r

(14.12)

Nhận thấy, công thức (14.11) và (14.12) chỉ khác nhau ở vế bên phải.

Công thức (14.11) thường được sử dụng nhiều hơn so với công thức (14.7)

hay (14.12) được giải thích thông qua kết quả tính toán, và rút ra được kết luận

rằng, trong lận cận bé của trục đối xứng (tức giá trị r nhỏ), giá trị tính toán thu

được theo công thức (14.11) cho kết quả chính xác hơn.

BÀI 15. ĐIỀU KIỆN BIÊN CHO BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

Để giải hệ phương trình sai phân cần phải cho giá trị các thông số như dòng

khối lượng, động lượng, năng lượng chảy qua các biên. Điều kiện biên của bài


73

toán phân rã gián đoạn bao gồm các trường hợp: 1) tường không thẩm thấu, 2)

song xung kích ngoài, 3) đường biên tự do, điều kiện biên cho dòng chảy trên âm

thanh ở “đầu vào” 4) và ở “đầu ra” 5) . Tổ chức tính toán trên các biên bên trong

giữa các vùng tính.

Ở các bài trước chúng ta xây dựng sơ đồ sai phân để tính bài toán khí động

học không ổn định một chiều với giả thiết lưới j

x không bị giới hạn hai đầu trên

trục x . Thực tế vùng tính toán sẽ bị giới hạn.

Giả sử vào thời điểm ban đầu 0tt vùng tính toán là đoạn III

xxx . Chia

đoạn này thành J lớp nút lưới j

x ; j = 0, 1, …, J, IIJIxxxx ,

0 .

Đối với vùng lưới “bên trong” 2...,,12/1 Jj có thể sử dụng thuật

toán đã viết ở trên, còn đối với hai biên việc tính toán cần thoản mãn điều kiện đã

chỉ ra trong các công thức (14.1) và (14.4) để tính các đại lượng dòng khối lượng,

động lượng, năng lượng

000

0

0

0000

*

0000

2

),(

UPMU

EK

MUPTWURM

(15.1)

cho biên trái tại Ixx

0 và tương tự các đại lượng JJJKTM ,, cho biên phải tại

IIJxx .

Rõ ràng, để có thể tính toán cần phải bổ sung thêm thông tin. Thường thì các

thông tin này được cho ở dạng điều kiện biên, phụ thuộc vào từng bài toán vật lý

cụ thể. Chúng ta hãy cùng xem xét một số trường hợp điển hình.

1: Giả sử biên bên trái – tường đứng yên, không thẩm thấu đối với chất khí.

Khi đó, rõ ràng chúng ta có thể giả thiết 0*

00WU . Để tính các dòng qua biên


74

(15.1) chúng ta còn thiếu đại lượng 0P . Để đưa ra công thức tính cho nó, chúng ta

sử dụng bài toán bổ sung về phân rã gián đoạn đã được xem xét trong bài 13, với

các thông số bên phải IIIIII

pu ,, lấy tương ứng các giá trị 2/12/12/1

,, pu và các

thông số bên trái III

pu ,, – tương ứng các giá trị 2/12/12/1

,, pu , khác biệt

với giá trị bên phải dấu vận tốc u . Rõ ràng phân rã gián đoạn này sẽ cho cấu hình

hình học đối xứng qua điểm 0xx . Trong trường hợp này sẽ thỏa mãn điều kiện

00UU và giá trị áp suất P nhận được trên gián đoạn tiếp xúc chính là 0

P cần

tìm.

Chúng ta có thể dừng xem xét trường hợp tường đứng yên tại đây. Tuy

nhiên đặc tính đối xứng của bài toán bổ sung cho phép viết rõ các công thức để tìm

lời giải.

Nếu 02/1u , thì sẽ hình thành hai sóng xung kích. Phương trình (13.27) đối

với áp suất P trong trường hợp này có dạng

2/1

02/12/1

2//1

2

1

2

1u

ppP

pP

.

Từ đây ta được phương trình bậc hai và giá trị 0P lấy bằng nghiệm lớn.

Nếu 02/1u thì sẽ xuất hiện hai sóng giãn, khi đó áp suất 0

P tính được ngay từ

phương trình (13.28):

0

1

2

2/1

2/1

02/102

11 p

c

uppP

.

Hoàn toàn tương tự cho trường hợp khi tường không thấm chuyển động dọc

trục x với vận tốc *

IW . Trong các công thức chỉ cần thay giá trị 2/1

u bằng vận tốc


75

tương đối của khí so với tường *

2/1 IWu và xét trong hệ tọa độ chuyển động với

vận tốc *

IW . Trong hệ tọa độ này tường đứng yên. Vận tốc

*

IW có thể phụ thuộc

vào thời gian, khi đó ở mỗi bước tính cần tìm giá trị vận tốc mới *

IW .

2: Giả sử biên bên trái – sóng xung kích, dịch chuyển trong môi trường với

các giá trị cho sẵn áp suất *p , mật độ * , vận tốc *u . Rõ ràng đối với bài toán

phân rã gián đoạn, các thông số bên trái III

pu ,, lấy bằng **,*, pu , còn

các thông số bên phải IIIIII

pu ,, – 2/12/12/1

,, pu . Sử dụng thuật toán ở bài 13

để tìm cấu hính phân rã tương ứng, khi đó sóng ngoài cùng tiếp giáp biên bên trái

với dòng khí được đặc trưng bởi các thông số **,*, pu phải là sóng xung kích.

Trong bài 13 vận tốc sóng xung kích bên trái được kí hiệu ID và được tính theo

công thức (13.30). Vận tốc ID được xem như vận tốc biên bên trái

**

0 IWW . Các

đại lượng 000,, RPU cần thiết để tính thông lượng qua biên (15.1) có thể lấy bằng

**,*, pu hoặc là I

RPU ,, , thu được từ bài toán phân ra gián đoạn. Các đại

lượng này phải cho ra cùng một giá trị thông lượng (15.1). Chú ý rằng các thông số

**,*, pu của môi trường có thể thay đổi theo tọa độ x , theo thời gian t hoặc

cả hai tx, . Khi đó, phụ thuộc vào vị trí của sóng xung kích nhất thiết phải tìm giá

trị mới **,*, pu qua từng bước.

3: Giả sử điều kiện tại biên trái cho áp suất *pp . ( Trường hợp 0* p ta

nói rằng biên tự do.) Xét bài toán mô hình một chiều có một nửa không giới hạn:

tại biên 0xx áp suất *,

0ptxp , tại 0

xx các thông số của môi trường tương

ứng 2/12/12/1,, pu . Tương tự như bài toán về phân rã gián đoạn, chúng ta có thể

xây dựng lời giải mô hình tự động cho bài này như sau.


76

Tiếp giáp với biên, vùng bên phải đặc trưng bởi các giá trị không đổi áp suất

*0

pP , mật độ 0R và vận tốc 0

U . Nếu như 2/1* pp thì vùng này phân cách sóng

xung kích và vùng bên phải có các thông số 2/12/12/1,, pu . Từ các công thức

(13.5), (13.6) tại sóng xung kích “phải” giá trị 0U có thể được tính theo công thức

02/102/12/1

2/1

2/1

2/1

2

1*

2

1

*

ppppa

a

ppuU

.

Nếu 2/1* pp thì sóng bên phải sẽ là sóng giãn. Theo công tức (13.10) đại lượng

0U trên sóng phải được tính như sau

2

1

02/1

0

2/12/10

*1

1

2

pp

ppcuU .

Trong cả hai trường hợp vận tốc chuyển động của biên trái *

IW lấy bằng 0

U . Nếu

*p phụ thuộc tx, thì cần tìm giá trị mới của nó qua các bước tính.

4: Trường hợp dòng khí “chảy vào” qua biên trái cố định ( 0*

0W ) trên vận

tốc âm thanh, tức là

*

*** 0

ppcu

.

Khi đó các đại lượng “lớn” rõ ràng được lấy như sau:

**,*,000

RpPuU .

5: Trường hợp tiếp theo là khi không cần cho bất cứ điều kiện nào trên biên.

Đó là khi khí “chảy ra” qua biên với vận tốc trên âm thanh. Khi đó thường chúng


77

ta sẽ thêm vào một khoảng “ảo” ở bên ngoài tiếp giáp biên. Các thông số của

khoảng ảo này có thể lấy bằng giá trị ở khoảng giáp biên bên trong, hoặc ngoại suy

theo hai khoảng tiếp giáp biên. Nếu như dòng khí trên âm thanh thì khi giải bài

toán phân rã gián đoạn không cần phải sự dụng các thông số này. Tuy nhiên, kể cả

khi điều kiện này bị vị phạm, trong rất nhiều trường hợp có thể trông chờ vào đặc

tính thỏa đáng của kết quả thu được (ví dụ như việc vi phạm chỉ xảy ra ở giai đoạn

đầu của quá trình tính, hay biên ở rất xa vùng tính toán chính, khi đó vùng tính sẽ

không bị ảnh hưởng). Trong các trường hợp như thế phải rất chú ý kiểm soát quá

trình tính.

Rõ ràng chúng ta không thể xét được hết các trường hợp trong thực tế. Tuy

nhiên hiểu rõ các trường hợp trên, bạn đọc có thể xử lý trong mọi tình huống. Ở

đây chúng ta cũng không xét điều kiện tại biên bên phải. Đơn giản vì khi đó các

công thức giống như tại biên trái, chỉ khác ở một số dấu và sử dụng các đại lượng

2/1

,,J

pu thay cho 2/1

,, pu .

Còn một vấn đề rất quan trọng nữa đó là thực hiện tính toán tại biên bên

trong phân cách giữa các vùng tính. Những biên như thế xuất hiện trong quá trình

tính khi cần tách sóng xung kích, gián đoạn tiếp xúc, biên giữa các môi trường

khác nhau... Tách các đường biên này có thể giúp nâng cao chất lượng tính toán.

Áp dụng bài toán về phân rã gián đoạn cho phép sử dụng sơ đồ sai phân như

đã mô tả để tính toán trên các biên bên trong một cách dễ dàng. Đối với thuật toán

đã mô tả ở bài 13, cần thông tin đầu vào tại thời điểm đang xét là giá trị các đại

lượng đặc trưng cho hai khoảng tính tiếp giáp với biên bên phải và bên trái. (Nếu

như biên phân cách hai môi trường khác nhau thì cần cho giá trị các đại lượng mô

tả các phương trình trạng thái tương tứng. Khi đó thuật toán trong bài 13 chỉ thay

đổi các thông số 00,, c .)


78

Từ kết quả tính toán phân rã gián đoạn sẽ thu được một loại cấu hình nào đó

được miêu tả trong bài 13 (xem hình 13.1). Đường biên trong sẽ là một trong các

đường thuộc cấu hình này. Ví dụ nếu đó là đường biên tiếp xúc hay biên giữa hai

môi trường thì trong cấu hình thu được đường biên trong trùng với gián đoạn tiếp

xúc. Nếu như biên đang xét nằm giữa các vùng tính toán là sóng xung kích, được

tách ra trong quá trình tính thì trong khi tách sẽ chỉ rõ là sóng bên “phải” hay “trái”

(xem bài 13).

Sau khi đã xác định được biên bên trong là loại đường nào được mô tả trong

cấu hình phân rã gián đoạn, chúng ta cần xác định vận tốc chuyển động *W của nó

tại bước đang xét để tính vị trí mới của lưới, cũng như để tính dòng khối, xung

lượng, năng lượng cần thiết cho việc xác định giá trị mới của các thông số khí

động học theo các định luật bảo toàn. Cần chú ý rằng, giá trị các đại lượng lớn

được xác định khá tự do, trong khi các dòng phải được xác định duy nhất. Điểm

này đã được nhắc đến trong mục 2 của bài viết.

BÀI 17. MINH HỌA SƠ ĐỒ MỘT CHIỀU CHO BÀI TOÁN DÒNG

CHẢY KHÔNG ỔN ĐỊNH

Tính toán sự tương tác của các sóng xung kích, hình thành khi phân rã gián

đoạn và phản xạ từ vách cứng. Cấu trúc nghiệm chính xác. Kết quả tính toán bằng

lưới thưa với “vệt loang” gián đoạn. Mô tả chiến lược tính toán sử dụng phương

pháp tách một số gián đoạn.

Để mô tả sơ đồ sai phân cho bài toán dòng chảy không ổn định một chiều,

chúng ta cùng xem xét nghiệm tính toán của bài toán sau. Giả sử tại thời điểm ban

đầu 0t bên trái điểm 5.0x phân bố khí lý tưởng, đặc trưng bởi các thông số


79

I

up ,, , bên phải – II

up ,, (bảng 1). Hệ số đoạn nhiệt 4,1 . Tại điểm

0x đặt cố định vách cứng không thẩm thấu đối với chất khí.

Bảng 1

I II III IV

p

u

*

leftW

*

rightW

2,5000

1,0000

0,0000

0,0000

-2,5495

0,5000

1,0000

-2,8026

-0,3328

-

5,000

1,6250

-0,9806

-2,5495

-0,9806

5,000

3,8125

-0,9806

-0,9806

-0,3328

V VI VII VIII

p

u

*

leftW

*

rightW

9,3750

2,5278

0,0000

0,0000

1,7650

10,6177

2,7627

-0,2044

-2,4046

-0,2044

10,6177

6,4490

-0,2044

-0,2044

0,9179

11,9989

3,0147

0,0000

0,0000

2,2411

Sử dụng thuật toán được viết trong bài 13 cho phân rã gián đoạn lần lượt tại các

điểm tương tác của các sóng xung kích với vách hay với gián đoạn tiếp xúc

321,, PPP … (hình 17.1), chúng ta có thể xách định dòng chảy phát sinh.


80

Trên hình 17.1 sóng xung kích được thể hiện bằng các đường liền, gián đoạn

tiếp xúc – đường đứt nét. Các đường này chia mặt phẳng tx, thành các vùng

IIIIII ,, …Trong mỗi vùng các đại lượng up ,, không đổi và giá trị của chúng

được cho trong bảng 1. Ngoài ra còn có giá trị vận tốc biên bên trái *

lW , bên phải

*

rW của từng vùng, hay chính là vận tốc các sóng xung kích và gián đoạn tiếp xúc

được hình thành trong quá trình tương tác.

Hình 17.1

Rõ ràng cấu trúc dòng chảy càng ngày càng trở nên phức tạp theo thời gian

(hình 17). Tại thời điểm 5,0t trên đoạn 5,00 x có tới tám phân vùng với giá

trị các thông số khác nhau (trong cấu hình được hình thành khi các sóng xung kích

giao nhau tại điểm 5P , sóng bên phải là sóng giãn yếu). Để giải bài toán này bằng

sơ đồ sai phân trong bài 14, 15 trên đoạn 5,00 x chúng ta dựng lưới đều gồm

20 ô với bước 025,0h , trong mỗi đoạn tại thời điểm 0t đặc trưng bởi các


81

thông số của vùng I . Với điều kiện đầu như trên, điều kiện biên tại biên phải

5,0x có dạng 4 (“dòng chảy vào trên âm thanh” bài 15). Ngoài ra chúng ta cần

thêm vào bên phải lưới một số ô độ dài 025,0h với các thông số của vùng II .

Theo tiêu chuẩn được viết trong các bài trước, tại thời điểm 0t bước thời gian

cho phép được xác định bởi các ô lưới vùng II :

00687,0*

IIII

uc

h .

Lấy hệ số dự phòng 9,0v ta có 00618,0* v . Bước thời gian này sẽ được

cố định trong một khoảng thời gian tính. Đồng thời chúng ta sử dụng lưới không

chuyển động. Tất cả các gián đoạn đều bị “loang”.

Trên hình 17.2 là sự phân bố áp suất tại các thời điểm tương ứng với bước

tính thứ 10, 15, 20, 26. Chúng ta dễ dàng nhận thấy sự lan truyền của hai sóng

xung kích, phát sinh khi phân rã gián đoạn tại điểm 1P , cũng như mức độ “loang”

của chúng trong quá trình tính.

Sự phân bố áp suất tại các thời điểm muộn hơn (bước thứ 40, 60, 80) được biểu

Hình 17.2 Hình 17.3


82

diễn trên hình 17.3. Các đường đứt nét chính là nghiệm chính xác như đã viết ở

trên. Tương tự sự phân bố mật độ tại các bước tính thứ 40, 80 được mô tả trên hình

17.4. Có thể thấy rằng, lời giải số không được chính xác. Tất nhiên nếu nhìn từ góc

độ mô tả chi tiết lời giải chính xác thì sai số khá lớn. Nhưng nếu xem xét giá trị

cực đại của các thông số khí động lực học thì chất lượng lời giải này khá tốt. Các

bạn nên nhớ rằng chúng ta sử dụng lưới tính toán chỉ có 20 ô, trong khi đó tại bước

tính thứ 80 có tới 8 khu vực khác biệt được ngăn cách bởi các sóng và các gián

đoạn tiếp xúc trong vùng tính! Ngoài ra trong thực nghiệm nhiều trường hợp không

cần thiết phải thu được cấu trúc nghiệm chính xác mà ví dụ như chỉ cần thông tin

về sự thay đổi áp suất tại thành 0x theo thời gian. Biểu đồ dạng này được mô tả

như trên hình 17.5 (lời giải số – đường liền 1 so sánh với nghiệm chính xác –

đường đứt nét). Lưu ý rằng cố gắng tăng độ chính xác của lời giải số bằng cách

tăng gấp đôi số điểm lưới ( thời gian tính tăng gấp 4 lần vì đồng thời bước thời

gian giảm 2 lần) không dẫn tới sựu thay đổi nào lớn ( đường số 2, hình 17.5).


83

Hình 17.4 Hình 17.5

Vì vậy trong các hợp cần xem xét cấu trúc chi tiết của dòng chảy tối thiểu

phải tách được các gián đoạn cơ bản khi tính toán. Hệ tư tưởng này chính là nền

móng cho phương pháp giải các bài toán một chiều động lực học chất khí được viết

trong quyển [2]. Khi đó trong quá trình tính sẽ phải ‘chia nhỏ’ bài toán thành một

số vùng tính riêng, số lượng có thể thay đổi qua các bước thời gian, đồng thời phải


84

thêm bớt các núi lưới … Chương trình tính toán thực hiện các thao tác trên khá

phức tạp. Có thể đơn giản hóa nó nếu như ngay thời điểm ban đầu số vùng tính

được xác định trên cơ sở tách hoàn toàn các gián đoạn.

Điều này sẽ được làm rõ trong ví dụ sau về bài toán được mô tả ở trên.

Chúng ta sẽ ‘lên kế hoạch’ hực hiện tính toán với ba vùng tính, ví dụ như tại bước

thứ 20 các vùng này sẽ là vùng IVIIII ,, ( không nhất thiết phải tách vùng II bởi

vì có thể thay thế nó bằng điều kiện biên bên phải, nếu như ‘nền’ ban đầu trong

vùng II không phụ thuộc vào tọa độ x ). Phân tích tình trạng tại điểm 1P vào thời

điểm ban đầu 0t sẽ giúp làm rõ sự chuyển động của các đường biên nằm giữa ba

vùng tính. Tiếp theo đó, chuyển động của các biên sẽ được tự động xác định trong

từng bước tính dựa tên lời giải của các bài toán phân rã gián đoạn tương ứng giữa

các vùng tính nằm giáp biên trái và phải. Tất nhiên chúng ta sử dụng lưới tính toán

chuyển động.

Càng gần với thời điểm 2t , khi sóng xung kích chạy tới điểm 2

P trên biên

trái, vùng tính I sẽ thu hẹp dần tới điểm nằm trên biên ( 0x ). Vì thế, để tránh biến

cố này, cho tới trước thời điểm 2t chúng ta cần thay đổi dạng của điều kiện biên

nằm giữa vùng I và III : thay vì như trước “sóng xung kích dịch chuyển sang

trái”, đường biên này sẽ xuất hiện như “sóng xung kích dịch chuyển sang phải”.

Khi đó trong một phạm vi nào đấy quanh điểm 2P , trong một khoảng thời gian

ngắn, đường biên này được tính theo dạng ‘loang’, sau đó chuyển sang dạng tách

sóng xung kích – biên nằm giữa vùng V và III .

Khi vùng tính III co hẹp về điểm 3P chúng ta thực hiện các tao tác tương

tự: biên nằm giữa vùng V và III lại từ “sóng xung kích dịch chuyển sang phải”

trở thành “sóng xung kích dịch chuyển sang trái”. Trong một khoảng thời gian

ngắn tính toán đường biên ở dạng ‘loang’ sau đó chuyển sang tách sóng xung kích


85

giữa vùng V và VI . Gián đoạn tiếp xúc từ đường biên giữa vùng V và III chuyển

thành gián đoạn tiếp xúc giữa vùng VI và VII . Vì không muốn tăng số vùng tính vì

thế sóng xung kích giữa vùng VII và IV sẽ phải “hiến thân”, chuyển thành dạng

“loang”. Trong các bước tính tiếp theo, tương tự có thể bỏ qua các các biên ví như

các biên đã được dánh dấu nhân trên trình 17.1, chúng ta sẽ giữ được 3 vùng tính

toán.

Việc giảm bước thời gian do thu hẹp độ dài vùng tính sẽ tạo ra các khó khăn

cụ thể. Đó là số lượng phép tính tăng lên trong khi không thể tiến thật gần tới các

điểm ,...,32

PP nơi xảy ra sự tái cấu trúc dòng chảy. Vấn đề này dễ dàng được giải

quyết sử dụng sơ đồ sai phân không tường mình, sẽ được xem xét trong bài 21.

Lưu ý rằng phương pháp được viết trong quyển [2] cũng dựa trên sơ đồ không

tường minh.

Cuối cùng chúng ta cùng xem xét vấn đề sử dụng thuật toán tính phân rã

gián đoạn trong cho các dòng chảy không ổn định. Như chúng ta đã thấy, riêng đối

với bài toán một chiều đã có rất nhiều các phép tính và chúng sẽ tăng lên nhiều lần

khi xét các bài toán đa chiều. Theo thường lệ, thuật toán này được sử dụng tại biên

giữa hai ô lưới với sự khác biệt nhỏ các thông số. Trong trường hợp này hoàn toàn

có thể sử dụng các công thức đơn giản cho phân rã gián đoạn “âm thanh” trong bài

16 mà không cân thiết phải sử dụng thuật toán trong bài 13.

Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Trước hết nó liên quan tới

các nút lưới ở biên. Còn tại các nút bên trong phân rã gián đoạn “âm thanh” có thể

là không đủ. Ví dụ như tại điểm 1P trong bài toán chúng ta xét ở trên, phân rã gián

đoạn “âm thanh” giữa các giá trị I và II như trong bảng 1 cho giá trị 738,20 P

trong khi chính xác 0,5* P . Trong bài toán này nếu sử dụng phân rã gián đoạn

“âm thanh” sẽ cho sai số lớn. Còn trong trường hợp tương tự khi xem xét va đập


86

các khí lý tưởng “lạnh”, 0III

pp , theo công thức phân rã gián đoạn âm thanh

ta có 00 P . Bài toán khi đó không thể tính được vì khí không thể chuyển động

nếu vận tốc khối IIIaa , bằng không. Sử dụng thuật toán trong bài 13 sẽ dễ dàng

tính cho bài toán này.

Lưu ý rằng, với trường hợp phương trình trạng thái nhị thức (12.8) kể cả

phân rã gián đoạn “âm thanh” cũng cho kết quả tốt, nếu như vận tốc va đập không

quá lớn. Ví dụ hai tấm bảng giống nhau va đập trực diện:

,87,7,0,30

III0,5,0

0 cpp

III – vận tốc tương đối

5,0III

uu , giá trị chính xác áp suất 3417,10* P , còn phân rã gián đoạn “âm

thanh” cho kết quả 8375,90 P , tức là sai số %5~ .

phƯƠng pháp sỐ giẢi các bài toán khí ĐỘng lỰc ·...

Documents