pizza e pitagoras
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PIZZAHistória de dois amigos que
freqüentam bares e restaurantes, além de discutir problemas de
matemática.
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Augusto e João pediram uma pizza
O primeiro pediu uma grande.
O segundo, uma média e uma pequena, todas do mesmo sabor.
Curiosamente, o preço da pizza grande era exatamente igual à soma dos preços das pizzas média e pequena.
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Quem vai comer mais?Nos restaurantes, o preço não costuma ser proporcional à quantidade de comida servida.
Augusto fala: “- Se tivesse uma régua, eu poderia medir os diâmetros, calcular as áreas e verificar se a área da pizza grande é maior, igual ou menor do que a soma das áreas das outras duas”.
Porém, não havia régua disponível.
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João, bom geômetra, declarou: “- Assim que as pizzas chegarem eu direi quem comerá mais! E para isso usarei apenas objetos que estão em cima da mesa”.
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Augusto duvidou. “- Como é possível? Não temos instrumento de medida algum. Em cima da mesa só há talheres, copos, guardanapos e o cardápio,
responsável por nossa incrível discussão!"
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A espera não foi longa e as pizzas chegaram. Rapidamente, então, João cortou cada uma delas em duas metades.
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Sobre a mesa juntou os diâmetros para formar um triângulo.
Utilizando o canto do cardápio como um modelo para o ângulo reto, João verificou que o ângulo
oposto ao diâmetro da maior metade era menor do que 90° e declarou "eu como mais".
E Augusto, após pensar alguns momentos, concordou.
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Qual é a explicação?
TEOREMA 1A razão entre as áreas de figuras semelhantes é
igual ao quadrado da
razão de semelhança.
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TEOREMA 2Se figuras semelhantes são construídas sobre a hipotenusa e sobre os catetos de um triângulo retângulo, então a área da
figura maior é igual à soma das áreas das outras duas.
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Vamos demonstrar esse segundo teorema.
Na figura a seguir, A, B e C representam as áreas de figuras semelhantes que foram construídas sobre os lados de um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Pelo teorema 1:
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Portanto,
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Como no triângulo retângulo,
a2 = b2 + c2, concluímos que
A = B + C. Reciprocamente, se figuras semelhantes
são construídas sobre os lados a, b e c de
um triângulo, e se A = B + C, então a2 = b + c
e, pela recíproca do teorema de Pitágoras,
o triângulo é retângulo.
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Para concluir que no nosso problema João estava certo, observe que, se a é o ângulo oposto ao lado a do
triângulo de lados a, b e c, temos:
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Portanto,Se na nossa história João
constatou que o ângulo a era menor
que 90°, então a área da semipizza grande era menor
que a soma das áreas das outras duas metades.
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A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só
para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.
(Descartes)
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O que acha de agora exercitar a geometria no software Geogebra?
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Baseado na coleção Explorando o Ensino Matemática
Volume 3Ensino Médio
2004
Extraído do Texto
“Semelhança, pizzas e chopes”Adaptado do artigo de Eduardo Wagner
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Realizado por Rosiany Moraes
Feito para a pós-graduação LANTE UFFDisciplina Informática Educativa II