1

12. TEORIJA PLASTINOSTI

12.1. Uvod u probleme plastinosti Podruje mehanike kontinuuma koje se bavi izuavanjem naponsko-deformacijskih stanja materijala s plastinim ponaanjem naziva se teorija plastinosti. Osnovna pretpostavka ope prihvaena u teoriji plastinosti jest da odgovor materijala na vanjsko optereenje ne ovisi o vremenu t, odnosno o brzini deformacije. Bolje reeno, ako takva ovisnost i postoji ona je malena i moe se zanemariti. Teorija plastinosti se razvijala na dva razliita nivoa i to matematiki i fizikalni. Matematika teorija plastinosti razmatra probleme na nivou materijalnog kontinuuma, dok fizikalna teorija plastinosti prouava plastino deformiranje na mikrorazini tj na razini molekularne reetke. U primjenjenoj inenjerskoj praksi mi se bavimo matematikom teorijom plastinosti. Zadatak matematike teorije plastinosti jest da eksperimentalne podatke o plastinom ponaanju materijala formulira pomou matematikih jednadbi. Ova se dakle teorija zasniva na pretpostavkama i hipotezama koje se temelje na rezultatima eksperimenata. Razvoj teorije plastinosti zapoinje u drugoj polovici devetnaestog stoljea. Francusti istraiva Tresca je na temelju eksperimenata definirao jedan od vanih kriterija prelaska materijala iz elastinog u plastino podruje (1864). Neto kasnije (1870) Saint Venant je dao fizikalno tumaenje Trescina uvjeta plastinog poputanja materijala za sluaj ravninskog stanja naprezanja, dok je Levy isto znaenje proirio na stanje naprezanja u prostoru. Poetkom dvadesetog stoljea publiciran je niz znaajnih radova iz teorije plastinosti. Meu njima su svakako najvaniji radovi: Von Misesa, Henckya, Prandtla i Reussa na osnovi kojih je formulirana opa teorija plastinosti idealno plastinih materijala. Punu afirmaciju teorije plastinosti doivjela je pedesetih godina prolog stoljea kada je dolo do poopavanja pojedinih razmatranja i odgovarajue matematike formulacije zadaa plastinosti. U tom razvoju vanu ulogu imale su poznate kole Prandtla i Reussa u SAD-u, te Iljuina i Kaanova u SSSR-u. 12.2. Eksperimenti o plastinom deformiranju Mehanika, elastina i plastina svojstva materijala odreuju se uglavnom jednosmjernim testovima na tlak ili vlak odnosno pritisak ili rastezanje. Pri tome se biljei ovisnost izmeu sile koja djeluje na uzorak i ukupnog pomaka na uzorku. To je poznati (F-l) dijagram. Djeljenjem sile F sa poetnom povrinom poprenog presjeka uzorka Ao dobiva se konvencionalno ili tehniko naprezanje o, a djeljenjem pomaka l poetnom duljinom lo dobiva se konvencionalna prosjena deformacija dakle imamo:

o=oAF

i o=oll (12.1)

Prema tome (o-) dijagram jest ovisnost konvencionalnog naprezanja o o prosjenoj deformaciji o. Za razliku od konvencionalnog naprezanja, stvarno naprezanje se dobiva djeljenjem sile F s trenutnom povrinom poprenog presjeka uzorka A. Budui da je zbog Poissonovog efekta kod rastezanja tapa A uvjke manji od Ao, to je u sluaju rastezanja uzorka stvarno naprezanje uvjek vee od konvencionalnog (slika 1.12).

2

T E

P

0 ep

MP

E

T M

C

B B'

L

L'

L'

L

stvarno naprezanje

konvencionalno

naprezanje

Sl. 12.1. Dijagram rastezanja elika

Gdje su:

- granica proporcionalnosti p - naprezanje do kojeg je deformacija linearno proporcionalna s naprezanjem.

- granica elastinosti E - naprezanje do kojeg se materijal ponaa elastino sa

zanemarivim trajnim plastinim deformacijama. - granica poputanja (teenja) T - naprezanje kod kojeg materijal poinje poputati

(tei), tako da deformacije rastu bez prirasta naprezanja.

- granice nosivosti ili vrstoa M - naprezanje pri kojemu je tangenta na konvncionalni (o-o) dijagram horizontalna (ekstrem) to predstavlja maksimalno konvencionalno naprezanje.

- granice loma L - naprezanje prilikom sloma uzorka u konvencionalnom smislu FL/o.

- granice loma L

' - naprezanje prilikom sloma uzorka ili stvarno naprezanje u trenutku sloma L'=FL/A.

Iz dijagrama (12.1.) se vidi da se uzorak u toki T deformira pri konstantnoj sili odnosno naprezanju. Nakon toke T naprezanje ponovo raste zbog ojaanja odnosno ovrenja materijala (strain hardening). U toki M naprezanje postie maksimum. Nakon toke M konvencionalno naprezanje opada radi pojave plastinog grla ili omekanja (strain softening), dok stvarno naprezanje raste sve bre, jer se kontrakcija presjeka brzo poveava. Kod rastezanja elinog uzorka treba spomenuti da se svojstva plastinosti smanjuju sa veem postotkom ugljika u eliku (slika 12.2.)

3

visoki postotak C

srednji postotak C

mali postotak C

Sl. 12.2. Prikaz (-) dijagrama elika s razliitim udjelom ugljika

12.2.1. Cikliki testovi i Bauchingerov efekt elik kao jedan od najplastinijih materijala koji se koriste u graditeljstvu i industriji pokazuje sline karakteristike u podruju rastezanja i pritiska. Slino se ponaaju i ostali metali s izraenim plastinim svojstvima. Na slici (12.3.) prikazani su dijagrami rastezanja i pritiska elika i drugih metala sa izraenim plastinim svojstvima.

elik

metali

+-

+

-

T

T

Sl. 12.3. Dijagram rastezanja i pritiska elika i drugih metala

4

elik kao i neki drugi metali pri uzastopnim ciklikim optereenjima pokazuje posebno svojstvo vezano uz granicu poputanja i poetak plastinog teenja to je prvi otkrio Bauchinger i po njemu nazvano Bauchingerov efekt. Ovo svojstvo se oituje u sljedeem. Ako se elini uzorak iji dijagram vidimo na slici (12.4.) rasteretimo u toki koja je via od poetne granice poputanja T

+ i ponovo opteretimo u istom smjeru materijal e pokazati novu veu granicu poputanja T1

+. Dakle T1+>T

+. Meutim ako se materijal nakon rastereenja optereti u suprotnom smjeru, dakle pritisne poputanje ili teenje materijala T

- zapoet e u toki koja ima manju vrijednost u odnosu na T

+. Dakle T-

5

ij=ij

pl ijpl>>ij

el (12.4)

Uglavnom nakon prelaska granice poputanja nastaju velike deformacije i velike promjene poetnih duljina, tako da raunanje naprezanja i deformacija u odnosu na poetne duine i poprene presjeke ne daje sliku stvarnog ponaanja materijala. Stoga je potrebno deformacije raunati u odnosu na trenutne duljine uzorka:

d'=ldl

(12.5.)

to definira prirast deformacije u odnosu na prirast duljine uzorka dl i trenutne duljine uzorka l. Ta veliina predstavlja prirast stvarne ili prirodne deformacije.

'=o

l

l l

lln

l

dl

0

= =ln )ln(1lll

oo

o +=

+ (12.6.)

Prirodna deformacija ili stvarna deformacija se jo naziva i logaritamska deformacija. Izraz (12.6.) predstavlja vezu izmeu konvencionalne deformacije o i stvarne ' preko prirodnog logaritma. Na slian nain se stvarno naprezanje izraava preko konvencionalnog naprezanja o. Polazi se od injenice da se pri plastinom deformiranju ne mjenja volumen uzorka pa vrijedi:

V=Ao lo=A l odnosno Ao/A=l/lo (12.7.)

Pomou (12.1.) imamo:

=AF =

o

oo

o ll

A

A

AF

= (12.8.)

Budui da je l=lo+l to uvrstimo u (12.8.) daje:

=o =

+

o

o

l

llo(1+o) (12.9.)

Isto tako pri plastinom deformiranju nema prirasta volumena pa vrijedi za V=A l

dV=A dl+l dA=0 (12.10.)

iz ega se dobije:

'dldl

AdA

== (12.11.)

Dalje koristimo injenicu da je sila funkcija naprezanja i povrine poprenog presjeka F=A. Sila raste za vrijeme deformacija uzorka zbog ojaanja materijala, a nakon toga opada zbog

6

postupnog smanjivanja poprenog presjeka. U odreenom momentu dosee maksimum pri kojem je prirast sile jednak nuli dF=0.

dF='dA+Ad'=0 odnosno AdAd

='

'

(12.12.)

Kombiniranjem izraza (12.11.) i (12.12.) dobivamo:

d'='d' (12.13.)

ime je uspostavljena veza izmeu stvasrnih naprezanja i stvarnih deformacija pri rastezanju elastoplastinih uzraka. Analogno logaritamskoj duljinskoj deformaciji pri jednosmjernom rastezanju moemo definirati i logaritamsku volumensku deformaciju u obliku:

'dV

dVV= (12.14.)

odakle analogno (12.6.) slijedi:

V'=lnoV

V (12.15.)

pri emu je Vo-poetni volumen, a V-trenutni volumen. Neka je Vo=lxo lyo lzo i V=lx ly lz tada je prema (12.15.):

v'=ln

zo

z

yo

y

xo

x

l

l

l

l

l

l= ,z

,y

,x ++ (12.16.)

Budui da u plastinom podruju nema promjene volumena vrijedi:

0=

pl

VdV

(12.17.)

Temeljem izraza (12.16.) imamo:

dVpl =dx

pl+dypl+dz

pl=0 (12.18.)

U sluaju jednosmjernog naprezanja vrijedi: dx

pl=dypl=-pl dz

pl, to uvrteno u (12.18.) daje

dVpl=(1-2pl)dz

pl=0 (12.19.) odakle slijedi Poissonov koeficijent u plastinom podruju u iznosu:

pl=0.5 (12.20.)

U elastinom podruju poissonov koeficijent se kree u iznosu od 0

7

12.4. Idealizacija elastoplastinog ponaanja Stvarni (-) dijagrami ponaanja materijala su vrlo sloeni da bi se mogli direktno primjeniti u analitikoj ili numerikoj obradi problema plastinosti. Da bismo olakali analizu plastinog deformiranja materijala stvarni se dijagram zamjenjuje njegovom idealizacijom, pri emu idealizirani dijagram zadrava bitne znaajke stvarnih dijagrama.

Dijagram na slici (12.5) predstavlja idealizaciju ponaanja kruto-idealnoplastinog materijala, dok dijagram na slici (12.6.) predstavlja idealizaciju ponaanja elasto-idealnoplastinog materijala.

Fm

0

T

Sl. (12.5.) Idealni dijagram kruto-idealnoplastinog materijala

Fm

0

T E

1

Sl. (12.6.) Idealni dijagram elasto-idealnoplastinog materijala

Dijagram na slici (12.7.) predstavlja idealizaciju ponaanja kruto-linearnoovrujueg materijala, dok dijagram na slici (12.8.) predstavlja idealizaciju ponaanja elasto-linearnoovrujueg materijala.

8

F

m

0

T

1E

Sl. (12.7.) Idealni dijagram kruto-linearnoovrujueg materijala

F

m

0

T E1+E2

1

E2

E1

1 E2

Sl. (12.8.) Idealni dijagram elasto-linearnoovrujueg materijala

Dijagram na slici (12.9.) predstavlja idealizaciju ponaanja elasto-linearnoovrujeeg materijala pri ciklikom optereenju sa izloenim Bauchingerovim efektom.

+-

+

-

0

Sl. (12.9.) Idealni cikliki dijagram elastino-linearnoovrujueg materijala

9

12.5. Plastino deformiranje pri jednoosnom naprezanju Temeljem prethodno izloenog kao i laboratorijskih testova provedenih na raznim materijalima u elastinom i plastinom podruju mogu se postaviti sljedee pretpostavke: -ukupna deformacija se moe rastaviti na elektrini (povratni dio) i plastini (nepovratni dio) dakle:

u=p+e (12.21.)

-za veinu materijala se moe rei da posjeduje granicu poputanja odnosno teenja kao razdjelnicu elastinog i plastinog ponaanja. Kad naprezanje dosegne granicu poputanja zapoinje plastino deformiranje tijela. -materijal je idealnoplastian ako pri konstantnom naprezanju =T deformacija stalno raste. Kaemo da u tom sluaju materijal poputa ili tee.

10

-prelaz iz elastinog u plastino podruje definira se kriterijima poputanja odnosno plohama poputanja ili plohama teenja -unutar plastinog podruja definirana su odgovarajue veze izmeu naprezanja i deformacija koje na najbolji nain uvaavaju ponaanje materijala u uvjetima viesmjernog plastinog ponaanja materijala do sloma. Ukupna se deformacija i kod viesmjernog stanja naprezanja moe rastaviti na elastini i plastini dio pa vrijedi

ij=ijel+ij

pl (12.25.)

Prilikom plastinog deformiranja nema promjene volumena kao kod elastinog deformiranja, pa je hidrostatiki dio tenzora deformacije jednak nuli.

kkp=0 (12.26.)

12.7. Ploha poputanja U sluaju jednosmjernog sloma materijala, kriterij poputanja se lako definira pomou parametra kao to je granica poputanja materijala T. Meutim u sluaju viesmjernog stanja naprezanja postoji gotovo beskonaan broj razliitih kombinacija optereenja i uvjeta poetka plastinog deformiranja, pa govorimo o kriterijima poputanja i plohama poputanja. Ulogu koju pri jednosmjernom naprezanju ima granica poputanja, pri viesmjernom naprezanju ima skalarna funkcija ili funkcija poputanja koja ovisi o naprezanju ij i parametru plastinosti k koji moe biti i funkcija ovrivanja materijala, dakle:

F=f(ij,k) ili F(ij,k)=0 (12.27.)

Opa jednadba (12.27.) u prostoru naprezanja u kojem je definirano 6 komponenti naprezanja predstavlja zatvorneu plohu koja se zove ploha poputanja. Stanje napreznaja u estici optereenog tijela odreeno je jednom tokom u prostoru naprezanja. Ako je toka naprezanja unutar plohe teenja F0 nije realno mogue. U sluaju izotropnih materijala bez karakteristika ovrenja (idealni elastoplastini materijal bez ovrenja) ploha poputanja ima oblik: F(ij)=0 (12.28.)

Ona ovisi samo o tenzoru naprezanja i svi su smjerovi jednako vrijedni pa funkcija naprezanja ne ovisi o smjerovima nego samo o veliinama glavnih naprezanja, pa se u prostoru glavnih naprezanja ploha poputanja moe napisati u obliku:

F(1,2,3)=0 (12.29.)

Odnosno:

F(I1,I2,I3)=0 (12.30.)

11

Gdje su: I1,I2,I3 - invarijente tenzora naprezanja. Eksperimentalna iskustva pokazuju da je efekt hidrostatikog dijela tenzora naprezanja na plastine deformacije zanemariv tako da se moe ispustiti, pa novi kriterij poputanja ovisi samo o invarijantama devijatora neprezanja.

F(I2',I3')=0 (12.31.)

Gdje su: I2',I3' druga i trea invarijanta devijatora neprezanja.

I2'= ijijSS21

i I3'= kljkij SSS3

1 (12.32.)

Ili u prostoru glavnih vrijednosti devijatora naprezanja:

)SSSSS(S)SS(S21

'I 1332212

32

22

12 ++=++=

3213

33

23

13 S SS)SS(S31

'I =++= (12.33.)

Druga i trea invarijanta devijatora naprezanja mogu se napisati i preko invarijanta tenzora naprezanja u obliku

)3I(I3

1'I 2

212 =

)27II9I(2I27

1'I 321

313 += (12.34.)

ili preko glavnih naprezanja kao:

( )[ ]2132312212 )()(61

'I ++=

[ ])9()2( )(

271

'I

1332212

133221

3213213

++++

+++++=

(12.35.)

Funkcija poputanja za izotropne materijale moe se prikazati u trodimenzionalnom prostoru glavnih naprezanja 1, 2 i 3 kao to je prikazano na slici (12.10.)

12

3

2

1

1=2=3hidrostatika os

no

e1

e2

e3

n1

n2n3

A

0

no

r

r

r r

rr

r rno

rn

ravnina

3

1

3

1

3

1ni= , ,

Sl. 12.10. prikaz vektora naprezanja u ravnini (devijatorska ravnina)

Cilj je vektor totalnog naprezanja u trodimenzionalnom prostoru glavnih naprezanja prikazati putem devijatorske ravnine koja je definirana sa 1+2+3=0 (12.36.)

Devijatorska ravnina se jo zove i oktaedarska ravnina jer s osima 1, 2 i 3 zatvara jednake kuteve n1=n2=n3=cos=cos=cos=

3

1 . Takoer sve ravnine paralelne s ravninom su

oktaedarske ili devijatorske ravnine. Ploha poputanja F(1,2,3)=0 sijee ravninu u krivulji koja se zove krivulja poputanja ili teenja. Vektor naprezanja koji ide od ishodita do toke A moemo napisati u obliku

r

no=3

1 (1er

1+2er

2+3er

3) (12.37.)

gdje su glavna naprezanja komponente vektora no u prostoru glavnih naprezanja. Ako taj

vektor proiciramo na hidrostatiku os i na ravninu dobit emo vektore nor

i nor

, od kojih

je nor

projekcija na hidrostatiku os, a nor

projekcija na devijatorsku ravninu. Sada se

vektor ukupnog naprezanja r

no moe napisati

r

no= nor

+ nor

(12.38.)

13

Vektori nor

i nor

su meusobno okomiti jer se hidrostatika os poklapa s normalom na ravninu.

Apsolutna vrijednost naprezanja no iznosi:

no =r

nonr=

3

1 (1er

1+2er

2+3er

3)3

1 (er

1+er

2+ er

3)

=3

1 (1+2+3)=o=3

1 I1

(12.39.)

Apsolutna vrijednost naprezanja no je:

no =22

nono (12.40.)

to na temelju izraza (12.37.) i (12.39.) iznosi:

no = ( )[ ]213231221 )()(91

++ =3

2I2' (2.42.)

sada se vidi da projekcija vektora totalnog naprezanja na hidrostatiki pravac odgovara srednjem normalnom naprezanju odnosno hidrostatikom dijelu tenzora naprezanja, a projekcija vektora totalnog naprezanja na ravninu odgovara devijatorskom dijelu tenzora naprezanja. 12.8. Trescin kriterij poputanja Tijekom 1864 francuski istraiva Tresca postavio je kriterij poputanja izotropnog idealnoplastinog materijala koji se temelji na maksimalnim posminim naprezanjima. Prema tom kriteriju materijal poinje poputati (tei) kod maksimalno posmino naprezanje dosegne graninu vrijednost. U sluaju triju glavnih naprezanja poredanih tako da je 1>2>3, maksimalno posmino naprezanje je

max=(1-3)/2 (12.43.)

budui materijal poputa kad je max=k=T imamo za sve mogue smjerove maksimalnih posminih naprezanja:

1-2=2k , 2-3=2k , 1-3=2k (12.44.)

est jednadbi oblika (12.44.) odreuju est ravnina koje oblikuju esterostranu prizmu u prostoru glavnih naprezanja. Ta prizma predstavlja plohu poputanja iji je presjek s ravninom pravilan esterokut (sl. 12.12.), a os prizme se poklapa s hidrostatikom osi u prostoru glavnih naprezanja (sl. 12.11.)

14

1

2

3

1=2=3hidrostatika os

presjek s ravninom

Sl. 12.11. Ploha poputanja prema Tresci

a) b)

2

3

1

1

2

-T

-T

+T

+T

Sl. 12.12. Prikaz uvjeta poputanja a) u ravnini i b) u 1-2 ravnini Vrijednost parametra k moe se odrediti na temelju pokusa istog posmika k=T ili pokusom jednosmjernog naprezanja. U ovom sluaju je

max=T, max=max/2= T/2= k=T (12.45.)

Funkciju poputanja materijala u ovom sluaju moemo napisati u obliku: F=[(1-2)

2-4k2][(2-3)2-4k2][(3-1)

2-4k2]=0 (12.46.)

Jednadba se tijekom rjeavanja raspada u 6 jednadbi tip (12.44.). Mogue je izraz (12.46.) prikazati i preko invarijante devijatora naprezanja u obliku: 4I2'

3-27I3'2-36k2I2'

2+96k4I2'-64k6=0 (12.47.)

15

12.9. Misesov kriterij poputanja Tijekom 1913 Von Mises je objavio kriterij poputanja izotropnog idealnoplastinog materijala koji se bazira na potencionalnoj energiji promjene oblika. Gotovo u isto vrijeme su to objavili Huber i Hencky, pa se nekad u nazivu koristi (Mises-Huber-Hencky) kriterij poputanja. Budui da je druga invarijanta devijatora naprezanja odluujua u promjeni oblika tijela, Mises je svoj kriterij formulirao preko I2' u obliku:

F(ij)= I2'=k

2 ili I2' - k2=0 (12.48.)

to u razvijenoj formi izgleda

2

1 SijSij-k2= ( )[ ] =++ 2213231221 6)()( k 0 (12.49.)

Gornji izraz predstavlja valjkastu plohu u 1,2,3 prostoru naprezanja (Sl. 12.13). Kako izraz (12.49) vrijedi openito, vrijedi i u sluaju jednosmjernog naprezanja na vlak pa je:

1=T, 2=0, 3=0 to daje [ ] 22T2T k61

=+

k=T/3 (12.50.)

Sad se Misesov kriterij poputanja moe izraziti kao

I2'= T2/3=k2 (12.51.)

Odnosno razvijeno:

( ) 2213231221 k 6)()( =++ (12.52.) ili

( ) 2T2)()(2

132

312

21 =++ (12.53.) kako se vidi iz prethodnog izraza vrijedi

6k2=2T2 (12.54.)

odakle odredimo parametar plastinosti k kao:

k2= T2/3 k= T 3 (12.55.)

Ako se koristimo pokusom istog smicanja za odreivanja parametra plastinosti k imamo:

[ ] 22T2T2T k461

=++ , T2=k2 , k=T=T/2 (12.56.)

Ovdje vidimo da ovisno o vrsti pokusa dobivamo razliite vrijednosti za parametar plastinosti k. U sluaju pokusa na rastezanje Misesova krunica je opisana Trescinim esterokutom, dok je u sluaju pokusa na isto smicanje Misesova krunica upisana Trescinim esterokutom (sl.12.14.).

16

presjek s ravninom

1

2

3

1=2=3hidrostatika os

Sl. 12.13. Ploha poputanja prema von Missesovu kriteriju

a) b)

2

3

1

1

2

-T

-T

+T

+TMisses(jednosmjerni vlak)

Misses (isti pomak)

Tresca

Tresca

Misses

Sl. 12.14. Misesova i Trescina krivulja u ravnini i 1,2 ravnini Nadai je 1937 godine postavio vezu izmeu oktaedarskog posminog naprezanja i devijatora naprezanja u obliku

okt= '3

22I (12.57.)

odnosno

okt2= 'I

3

22= 2

3

2k =

2T9

2 (12.58.)

iz ega je

3

k

32

Tokt == (12.59.)

tako da se Misesov kriterij plastinosti moe tumaiti na nain da plastifikacija materijala poinje kad oktaedarsko posmino naprezanje dosegne kritinu veliinu.

17

12.10. Mohr-Coulombov kriterij poputanja Ovaj kriterij postavio je Coulomb 1773 godine radei pokuse na nemetalima, a posebno na geolokim materijalima tlu i stijeni. Prema ovom kriteriju materijal poputa kad maksimalno posmino naprezanje u bilo kojem preseku dosegne kritinu vrijednost. U ovom sluaju uspostavljena je ovisnost posminog naprezanja o normalnom naprezanju za razliku od prethdna dva kriterija. Matematika formulacija ovog kriterija izraena je u obliku

= c - tg (12.60.)

Gdje su: - normalno tlano naprezanja koje se uzima sa znakom plus, c - posmina vrstoa kad nema normalnog naprezanja ili kohezije materijala, a -kut unutarnjeg trenja materijala. Izraz (12.60.) predsavlja pravac odnosno tangentu na najveu Mohrovu krunicu trosmjernog stanja prema slici 12.15.

-

-1 -2

-3 -(1+3)/2

c cxctg

Sl. (12.15.) Grafiki prikaz Mohr-Coulombova kriterija poputanja

Pomou slike (12.15.) vodei rauna da je 1>2>3 jednakost (12.60.) se moe prikazati preko glavnih naprezanja u obliku:

tgsin2

2

c)cos(

2

1 313131

+

+= (12.61.)

a daljnje sreivanje daje:

( ) ( ) cos c 2sin 3131 =+ (12.62.)

Na slian nain se moe dobiti jo 5 takvih jednadbi koje zajedno sa (12.62.) glase:

( ) ( ) cos c 2 sin1sin1 21 =+

( ) ( ) cos c 2 sin1 sin1 32 =+

( ) ( ) cos c 2 sin1 sin1 13 =+ (12.63.)

18

Gornjih est jednadbi predstavljaju est ravnina koje se meusobno sijeku tako da u prostoru glavnih naprezanja tvore nepravilnu esterostranu piramidu kojoj se os poklapa sa hidrostatikim pravcem (sl.12.16.). Mohr-Coulombova teorija poputanja se dobro potvruje kod krtih i geolokih materijala.

nepravilni esterokut

1

2

3

1=2=3hidrostatika os

presjek s ravninom cx

ctg

Sl. (12.16.) Ploha poputanja prema Mohr-Coulombovu kriteriju

Konusni oblik plohe poputanja posljedica je ukljuivanja normalnih naprezanja u matematiku formulaciju ovog kriterija. Ako stavimo 1=2=3 u jednakost (12.62.), iz koje neposredno slijedi 1=n=c ctg, to znai da se vrh piramide poputanja nalazi na hidrostatikoj osi na udaljenosti od -ravnine za iznos c ctg.

12.11. Drucker-Pragerov kriterij poputanja Drucker i Prager su 1952 predloili jednu modifikaciju Misesova kriterija poputanja i prilagodili ga Mohr-Coulombovu kriteriju, unijevi u njega i hidrostatiki dio tenzora naprezanja. Time je napravljeno pojednostavljenje Morh-Coulombova kriterija u smislu matematike formulacije. Kriterij koji su predloili Drucker i Prager izgleda:

I1+ '1I = (12.64.)

Ovaj uvjet poputanja predstavlja plohu u obliku kosog stoca ija se os u ravnini 1,2,3 poklapa s hidrostatikom osi i koji je opisan oko Mohr-Coulombove piramide sl. (12.17).

19

-1

-2

-3

1=2=3hidrostatika os

presjek s ravninom cx

ctg

+2

+1

+3 Sl. (12.17.) Ploha poputanja prema Drucker-Pragerovu kriteriju

U presjeku s ravninom Drucker-Pregerov i Mohr-Coulombov kriterij izgledaju prema slici (12.18).

-2

-3

-1

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

Sl. (12.18.) Prikaz Drucker-Preger i Mohr-Coulombova kriterija u ravnini

Uvoenjem odgovarajuih invarijanti naprezanja u Drucker-Prugerov kriterij (12.64.) dobivamo izraz:

( ) ( ) [ ] ( )[ ] =+++++ 213232221321 61

(12.65.) gdje su i parametri koji ovise o c i iz Mohr-Coulombova kriterija i oni iznose:

( )sin33

2sin

= i ( )

sin33

6ccos

= (12.66.)

Iz gornjih izraza se vidi dvoznak gdje se primjenjuje jedan ili drugi. Ako Drucker-Pragerov stoac dodiruje Mohr-Coulombovu priznu izvan (opisan) onda se koristi minus (-). Ako je meutim Drucker-Pragerov stoac upisan Morh-Coulombovoj piramidi onda se koristi plus (+). I ovaj kriterij se uspjeno koristi kod krtih i geolokih materijala kao i Mohr-Coulombov. I jedan i drugi kriterij pored devijatorskog ukljuuju i hidrostatiki dio tenzora naprezanja.

20

12.12. Zakonitost poputanja materijala s ovrenjem U prethodne etiri toke promatrali smo kriterije poputanja idealno elasto-plastinih materijala bez ovrenja. Vidjeli smo da svaka napregnuta toka unutar plohe poputanja predstavlja elastino stanje, a svaka napregnuta toka na plohi poputanja predstavlja poetak plastinog toka, odnosno poetak plastine deformacije bez ojaanja. Kod takovih materijala naprezanje ne raste iznad nivoa neprazanja koji odgovara granici poputanja odnosno inicijalnoj plohi poputanja. To znai da kod idealnih elastoplastinih materijala naprezanje ne ovisi o tijeku plastine deformacije. Ovo nije realni materijal jer najvei broj graevinksih materijala ponaa se tako da pokazuju porast naprezanja tijekom plastinog deformiranja. To poveanje naprezanja iznad nivoa inicijalnih plastinih deformacija naziva se ovrenje ili ojaanje materijala. Pri tome treba ralikovati dva modela ovrenja: izotropni i kinematiki. Izotropni model ovrenja materijala podrazumjeva irenje inicijalne plohe poputanja jednoliko u svim smjerovima odnosno koncentrino oko redita inicijalne plohe. Ovaj model ovrenja odgovara materijalima kod kojih uvjet poputanja ne ovisi o hidrostatikom dijelu tenzora naprezanja. Kinematiki model ovrenja materijala podrazumijeva stalnu translaciju inicijalne plohe poputanja pri porastu optereenja uz zadravanje poetnog oblika. Ovaj model ovrenja odgovara materijalima koji pokazuju Bauschingerov efekt. Modeli oba naina ovrivanja materijala u prostoru glavnih naprezanja prikazani su na sl. (12.19.).

a) b)

2

3

12

3

1

inicijalna krivulja

inicijalna krivulja

prirast optereenja

prirast optereenja

00

Sl. (12.19.) Modeli ovrivanja: a) izotropni, b) kinematiki

Ako je opa funkcija poputanja za idealno plastini materijal data u obliku F(ij)=0, tada funkcija poputanja za materijal sa ovrenjem izgleda

F(ij, ijp,k)=0 (12.67.)

Gdje su: ij - komponente tenzora naprezanja, ij

p -komponente plastinih deformacija, k - je parametar ovrenja. Razvoj plohe poputanja s osobinama ovrenja zavisi o naprezanju na granici poputanja koji je funkcija parametra ovrenja.

21

Za odeivanje parametra ovrenja razvila su se dva pravca i to: preko plastinog rada i preko plastine deformacije. Plastini rad se definira kao umnoak naprezanja i plastine deformacije to u inkrementalnoj formi izgleda:

ijp

ijijp

ijp Sdd dW == (12.68.)

ukupni plastini rad se dobiva integriranjem inkrementalnog plastinog rada dWp du stvarne deformacije poevi od inicijalnog stanja i on odgovara radu ovrenja:

=p

i

pijij

P dSW ; 0)( pii = (12.69.)

U sluaju primjene hipoteze o plastinom radu za odreivanje parametra ovrenja imamo F(ij)= f (W

p) (12.70.)

A u sluaju primjene hipoteze o plastinoj deformaciji za odreivanje parametara ovrenja imamo:

)h(d)F( pij =

( )( )[ ]21

p'ij

p'ij

p dd3

2d = (12.71.)

gdje je pd ekvivalentna plastina deformacija. Za sada nema eksperimentalnih potvrda koje

zagovaraju neke prednosti izmeu ovih hipoteza u odreivanju parametara ovrivanja. tovie u sluaju Von Misesova kriterija poputanja obje hipoteze daju iste rezultate. 12.13. Druckerovi postulati i stabilnost materijala Ovrenje materijala pri jednosmjernom stanju naprezanja tumai se prirastom naprezanja tijekom prirasta plastine deformacije. Meutim u sluaju trosmjernog stanja naprezanja, ovrenje materijala nije lako i jednostavno opisati. Drucker je 1951 godine to utemeljio svojim poznatim postulatom pod nazivom druckerov postulat koji opisuje prirast plastinog rada. Druckerov postulat se sastoji od dvije tvrdnje:

a) za vrijeme porasta optereenja pri pojavi plastine deformacije dodatna

naprezanja vre pozitivan rad b) za vrijeme kompletnog ciklusa optereenja i rastereenja dodatno naprezanje

vri nenegativan rad, ako su prilikom optereenja nastale plastine deformacije

ove tvrdnje se mogu grafiki ilustrirati kao na slici (12.20.).

22

2

0

F2

F1

CB

A

ij

ij

ij

0

1

Sl. (12.20.) Ilustracije Druckerova postulata

Pretpostavimo napregnutu toku A unutar elastinog podruja ij0 gdje vrijedi F(ij

0)

23

a) stabilan materijal b) stabilan materijal c) nestabilan materijal

dd>0 dd0

d>0

d>0 d>0

d>0

d>0

d

24

a) koveksna ploha poputanja

dij

dij

dijp

dijp

b) konkavna ploha poputanja

Sl (12.22) Ilustracija teorema o koveksnosti plohe poputanja

12.14.2. Pravilo o maksimumu rada pri plastinom deformiranju Izraz (12.74.) moemo napisati u obliku:

p

ij0

ijp

ijij dd ili p

ij0

ijp

jiij dd (12.76.) iz ega se vidi da je prirast rada od stvarnog naprezanja na prirastu proizvoljne plastine deformacije vei ili jednak prirastu rada bilo kojeg elastinog naprezanja na istom prirastu plastine deformacije. 12.14.3. Pravilo o gradijentu plastine deformacije Ve je spomenuto da Druckerov postulat o nenegativnom prirastu plastinog rada moe biti zadovoljen jedino ako je ploha poputanja konveksna i ako je kut izmeu vektora prirasta naprezanja i vktora prirasta plastine deformacije otar odnosno

25

deformacije je direktno proporcionalan gradijentu naprezanja. Kada vektor dijp nebi bio

paralelan sa jiF / kako je prikazano na sl. (12.23.a) u toki B, onda bi bilo mogue

odabrati vektor dij tako da kut bude vei od /2 to nebi bilo u skladu s Druckerovim postulatom.

a) regularni prirast plastine

deformacij

dij

dijp

dijp

/2

26

kkijije

ij dE

2(1

2

dSd

+= (12.81.)

gdje su: E, , elastini moduli mateijala Pokazali smo meutim da je inkrement plastine deformacije proporcionalan gradijentu naprezanja preko funkcije plastinog potencijala u obliku

ij

pij

Fdd

= (12.82.)

U sluaju kad je funkcija naprezanja zdruena s Misesovim kriterijem poputanja tada je F(ij)=I2' i imamo:

ijij

2

ij

S

'I

F=

=

(12.83.)

tada jednakost (12.82.) postaje

ijp

ij Sdd = (12.84.)

to predstavlja poznatu Prandtl-Reussovu jednadbu za plastine deformacije koja se rabi u mnogim znanstvenim radovima. Ova jednadba daje dobre rezultate za elik, dok se za druge materijale njezina podudarnost stalno ispituje. Sada se kompletna inkrementalna relacija izmeu naprezanja i deformacija u plastinom podruju moe napisati u obliku:

ij

kkijij

ij F

dd E

)2(12

dSd

+

+=

(12.85.)

ili uvaavajue Misesov kriterij poputanja:

ijkkij

ij

ij SddE

dSd

+

+=)21(

2 (12.86.)

to je poznato pod nazivim kompletna Prandtl-Reussova jednadba. U mnogim problemima plastinosti, elastine su deformacije male u odnosu na plastine i mogu se zanemariti, te se uvodi relacija

ijij Sdd = (12.87.)

Isputena je i oznaka za plastinost p jer se gornje deformacije smatraju ukupnim. To je poznata Levy-Misesova jednadba. U gornjim jednadbama ostaje neodreen parameter d

27

koji nije konstanta nego ovisi o karakteristikama ovrenja materijala, odnosno povjesti plastine deformacije. Da bismo odredili d kvadriramo jednadbu (12.84.) i dobivamo

ijij

p

ij

p

jiSSddd 2 = (12.88.)

odakle dobivamo

ijij

p

ij

p

ji

SS

ddd

= (12.89.)

uvoenjem izraza:

ijijekT SS2

3== i

p

ij

p

ij

p

ekp dddd

3

2== (12.90.)

kao efektivnog naprezanja i efektivne plastine deformacije u jednadbu (12.89.) dobivamo

T

p

d

2

3d = (12.91.)

pa prethodna Prandtl-Reossova jednadba postaje

ij

T

pij

kkijij SdS

dE

d

2

3

2

)21(++

= (12.92.)

12.16. Matrina formulacija jednadbe teorije plastinosti Prirast ukupne deformacije moemo prikazati kao sumu prirasta elastinog i plastinog dijela u obliku

{ } { } { }pe ddd += (12.93.)

gdje su: { }ed - vektor prirasta elastine deformacije, a { }pd - vektor prirasta plastine deformacije. Za elastini dio prirasta deformacije vrijedi

{ }ed =[ ] { }dE 1 (12.94.)

gdje je [E]- matrica elastinih konstanti iji eksplicitni oblik izgleda

28

[ ]

+

+

+

=

00000

00000

00000

00020

0002

0002

E (12.95.)

-gdje su i poznati Lamieovi koeficijenti Budui se plastini dio deformacije moe izraziti u obliku

{ }{ }

=F

dd p (12.96.)

gdje je { } - vektor naprezanja, F - skalarna funkcija naprezanja, a d - parametar poputanja. Uvrtenje izraza (12.96.) i (12.94.) u (12.93.) dobivamo

{ } [ ] { }{ }F

ddEd 1

+= (12.97.)

U svrhu odreivanja elastoplastine relacije izmeu deformacija i naprezanja potrebna je dodatna jednadba koja slijedi iz kriterija poputanja

{ } { }( ) 0K,,F p = (12.98.)

diferenciranjem izraza (12.98.) dobivamo

{ }{ } { } { } 0=

+

+

= dkKF

dF

dF

dF pT

p

T

(12.99.)

ili u obliku

{ } { } 0addA T = (12.100.)

gdje su:

{ }

=312211

...FFF

A T

a={ } { }

+

pT

pd

FdK

KF

d

1

(12.101.)

Na taj nain (-) relacija u elastoplastinom podruju izgleda:

29

=

d

d

d

d

d

d

d

aFFFFFF

F

F

F

F

F

F

d

d

d

d

d

d

31

23

12

33

22

11

312312332211

31

23

12

33

22

11

31

23

12

33

22

11

0

(12.102.) Gornja jednakost predstavlja opu (-) relaciju u elastoplastinom podruju koja je primjenjiva uz uporabu nekog od kriterija poputanja.

Lako se vidi da je a jednako nuli za idealno plastian materijal ili se moe izraziti kao funkcija plastinog ovrenja materijala ili preko efektivne plastine deformacije, to je opisano u predhodnim poglavljima.

Jednadba (12.102.) se skraena moe pisati u matrinoj inkrementalnoj formi:

{ } [ ] [ ]( ){ } [ ]{ }dEdEEd elp == (12.103.)

gdje je [Eel]=[E]-[Ep] elastoplastina matrica.

[ ] [ ]{ }{ } [ ] { } [ ]{ }( )1/ += AEAaEAAEE TTp (12.141.)

Vidi se iz (12.103.) da je matrina veza izmeu naprezanja i deformacija u podruju plastinosti poznata ako znamo maticu elastinosti [E], vektor {A}, koji slijedi iz zakona poputanja i parametara a koji slijedi zakon ovrenja materijala.