PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ

ÍrtaDr. Huzsvai László

Debrecen2012

TartalomjegyzékBevezetés..............................................................................................................................................1Viszonyszámok.....................................................................................................................................1Középértékek (átlagok)........................................................................................................................2Szóródási mutatók................................................................................................................................4Indexek..................................................................................................................................................7Furfangos kérdések...............................................................................................................................8

BevezetésEz a rövid leírás a Statisztika c. tantárgy számítógépes vizsgáztató rendszeréhez készült. Az elmélet megtalálható a Statisztika tankönyvben. A továbbiakban a számítási feladatok néhány típusát tekint­jük át. A feladat megoldások során a kiadott Képletgyűjtemény nagyban segíti a helyes eredmények meghatározását. A tesztben a számítási feladatok öt témakört ölelnek fel: viszonyszámok, átlagok, szóródási mutatók, indexek és furfangos kérdések. A számítások során nem érdemes kerekíteni, a végeredményt egytizedes pontossággal kell megadni. A számítógépes input ablakba, ahová a helyes eredményt várja a program, mértékegység nélkül kell beírni az eredményt. A tizedes elválasztóra nem érzékeny, lehet vessző és pont is. A megoldásra összesen 50 perc áll rendelkezésre.

Viszonyszámok1. feladatA magyarországi búzatermések alapján határozza meg a változás ütemének átlagát. (Az eredményt százalékban, egy tizedes pontossággal adja meg.)

Év Termés (ezer t)

2005. 41262006. 11372007. 49132008. 1149

Legelőször a változás ütemét kell meghatározni évenként. Ezt a láncviszonyszámok mutatják. Min­den termés értéket el kell osztani a megelőző év termésével. Az első évben nincs láncviszonyszám, mivel nincs 2004. évi termés.

Év Láncviszonyszámok

2005. nincs2006. 1137/41262007. 4913/11372008. 1149/4913

A számítások elvégzése után:Év Láncviszonyszámok

2005. nincs2006. 0,27556955892007. 4,32102022872008. 0,2338693263

Ezután meg kell határozni a láncviszonyszámok átlagát az alábbi képlet alapjánLáncviszonyszámok mértani átlagának képlete:

V̄ L=n−1

√V L2⋅V L3⋅…⋅V Ln=n−1√∏i=2

n

V Li

1

Az összes láncviszonyszámot össze kell szorozni, és annyiadik gyököt kell vonni, ahány adatunk van.

3√0,275∗4,321∗0,234=0,653

A láncviszonyszámok átlaga tehát 0,653. Fejezzük ki százalékban. 0,653*100=65,3%.Ezt az eredményt kell beírni a számítógépes teszt input ablakába, de százalékjel nélkül, máskülön­ben hibát jelez a program. Tehát: 65,3 a helyes eredmény.

Középértékek (átlagok)1. feladat

Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.

Tábla Méret (ha) Termésmennyiség (t)

T1 29 68T5 48 189T10 15 319T11 51 118T12 82 240

Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított összes termései. A gazdaság átlag kukoricatermése az összes termés és az összes terület hányadosa.

68+189+319+118+24029+48+15+51+82

=4,15

A mértékegység t/ha. A számítógépes teszt input ablakába tehát 4,15 kerül.

2. feladat

Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.

Tábla Méret (ha) Termésátlag (t/ha)T1 29 2,345T5 48 3,938T10 15 21,267T11 51 2,314T12 82 2,927

Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított termésátlagok. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hányadosa.

Hogyan kapjuk meg az összes termést? A termésátlagokat megszorozzuk a tábla nagyságával, és összeadjuk őket. A gazdaság méretét a táblák összege adja meg. Ez egy súlyozott számtani átlag.

A súlyozott számtani átlag képlete:

X̄=∑ f i xi

∑ f i

Az f a súlyzó tényező, ebben a példában a tábla nagysága, x a kukorica termésátlaga.

2

Tábla fi xi fixi

T1 29 2,345 68T5 48 3,938 189T10 15 21,267 319T11 51 2,314 118T12 82 2,927 240

Összesen 225 ­ 934

Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott számtani átlag képletébe az összegeket.

X̄=934225

=4,15

A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15­t kell írni, mér­tékegység nélkül.

3. feladat

Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát.

Tábla Termésátlag (t/ha)

Termésmennyiség (t)

T1 2,345 68T5 3,938 189T10 21,267 319T11 2,314 118T12 2,927 240

Öt szántóföldi táblának meg vannak adva tábláról betakarított termésátlagok és termésmennyiségek. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hánya­dosa. Itt nem ismerjük az összes területet.

Hogyan kapjuk meg az összes területet? A termésmennyiséget elosztjuk a termésátlaggal, és össze­adjuk őket. Ez egy súlyozott harmonikus átlag.

A súlyozott harmonikus átlag képlete:

X̄h=

∑i=1

n

f i

∑i=1

n

f i1x i

Tábla xi fi fi*1/xi

T1 2,345 68 29T5 3,938 189 48T10 21,267 319 15T11 2,314 118 51T12 2,927 240 82

Összesen ­ 934 225

3

Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott harmonikus átlag képletébe az összegeket.

X̄=934225

=4,15

A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15­t kell írni, mér­tékegység nélkül.

4. feladatHatározza meg az alábbi váltakozó feszültség átlagát (effektív értékét).Feszültség (V)­3131­120­132012560

A négyzetes átlag képlete:

X̄q=√∑i=1

n

x i2

n

X̄q=√ (−3132)+12

+(−1202)+(−12

)+3202+1252

+602

7=182,83

A negatív értékek négyzetre emelés után pozitívak lesznek. A tesztbe 182,8­t kell írni.

Szóródási mutatók1. feladatHatározza meg az alábbi minta középértékének a 99%­os megbízhatósági intervallum alsó határát.

1654919

45

A megbízhatósági intervallum más néven konfidencia intervallum meghatározásához ki kell számí­tani a minta számtani átlagát és standard hibáját.

A számtani átlag képlete:

X̄=∑ x i

n

4

16+54+91+9+45n

=43

A standard hiba képlete:

s x=s

√n

A standard hiba képletének számlálójában a mint szórása áll, tehát először ezt kell kiszámítani.A szórás képlete:

s=√∑i=1

n

(x i−x )2

n−1

A képlet számlálójában az eltérés­négyzetösszeg áll. Minden adatbók ki kell vonni a számtani átla­got, majd négyzetre kell emelni. Ezeket a négyzeteket kell majd összegezni.

adatok átlag adatok­átlag (adatok­átlag)2

16 43 ­27 72954 43 11 12191 43 48 23049 43 ­34 115645 43 2 4

Összesen: 4314

A nevezőben a megfigyelések mínusz egy áll. A szórás tehát:

s=√ 43144

=32,84

Ezt helyettesítsük be a standard hiba képletébe.

s x=32,84

√5=14,69

Ezek birtokában már meghatározhatjuk a számtani átlag megbízhatósági tartományának alsó hatá­rát. A lenti képlet a kétoldali szimmetrikus határokat mutatja. Ebben a példában csak a műtől balra eső részt kell használni.

A számtani átlag megbízhatósági tartománya:P( x̄−zα /2 s x̄⩽μ⩽ x̄+z α /2 s x̄)=1−α

A z­érték 99%­hoz tartozó értéke 2,58. Ez megtalálható a kiadott képletgyűjteményben.Tehát a konfidenciaintervallum alsó határa:43­2,58*14,69=5,17A tesztbe 5,17 lesz a helyes eredmény.

5

2. feladatHatározza meg az alábbi minta variációs együtthatóját más néven variációs koefficiensét.

1654919

45

Jelölése: Vr vagy CV. Képlete:

V r=CV=sx

100

Tehát a szórást és a számtani átlagot kell hozzá ismerni. Ezeket az 1. feladatban már meghatároztuk. Helyettesítsük be a képletbe.

V r=CV=32,84

43100=76,37%

A tesztben 76,37 a helyes eredmény.

3. feladatHatározza meg az alábbi minta relatív variációs koefficiensét.

1654919

45

Relatív variációs koefficiens:

V r (%)=s / x̄

√n100=

100 sx̄ √n

Ehhez ismerni kell a minta szórását, számtani átlagát és a megfigyelések számát. Az 1. feladatban ezeket már kiszámoltuk. Most ezt fogjuk használni.

V r(%)=32,84 /43

√5100=34,16%

A tesztben 34,16 a helyes eredmény.

4. feladatHatározza meg az alábbi minta középértékének a 95%­os megbízhatósági intervallum felső határát.

1654919

45

6

A számtani átlag megbízhatósági tartománya:P( x̄−zα /2 s x̄⩽μ⩽ x̄+z α /2 s x̄)=1−α

Az átlagot és standard hibát az 1. feladatban már meghatároztuk. A 95%­hoz tartozó z­érték 1,96. Mivel a megbízhatósági tartomány felső szélét kell meghatározni, ezért csak műtől jobbra eső részt kell használni.43+1,96*14,69=71,79A számítógépes vizsgáztató program eredményablakába 71,8­t kell írni.

Indexek1. feladatHatározza meg a bolt Fisher­féle árindexét.

Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg)

2008.év 2009.év 2008.év 2009.év

226 882 57 67

613 1090 459 767

Az értékesített mennyiségeket q­val, az árakat p­vel jelöljük. A bázisidőszak (2008.) jele 0, a tárgy­időszaké 1, ezek alsó indebe kerülnek. A jelöléseket használva a táblázat így alakul.

q0 q1 p0 p1

2008.év 2009.év 2008.év 2009.év

226 882 57 67

613 1090 459 767

Képezzük a p és q keresztszorzatait.q0p0 q1p0 q0p1 q1p1

2008.év 2009.év 2008.év 2009.év

226*57 882*57 226*57 882*67

613*459 1090*459 613*459 1090*767

A szorzás elvégzése után az alábbi táblázatot kapjuk.

q0p0 q1p0 q0p1 q1p1

12882 50274 15142 59094

281367 500310 470171 836030

Összeg 294249 550584 485313 895124

7

A Fisher­féle árindex:I p

F=√I p0⋅I p

1

A gyökjelt alatt az első tag a bázisidőszaki súlyozású árindex.A bázisidőszaki súlyozású árindex képlete:

I p0=

∑i=1

n

q0 p1

∑i=1

n

q0 p0

A gyökjel alatt a második tag tárgyidőszaki árindex.A tárgyidőszaki súlyozású árindex képlete:

I p1=

∑i=1

n

q1 p1

∑i=1

n

q1 p0

Határozzuk meg az első tagot.

I p0=

485313294249

=1,65

Utána a másodikat.

I p1=

895124550584

=1,63

Számítsuk ki a négyzetes átlagát.I p

F=√1,65⋅1,63=1,6375

Százalékban kifejezve 1,6375*100=163,75%.A tesztbe egy tizedesre kerekítve kell az eredményt beírni, tehát 163,8 kerül.

2. feladatHatározza meg a bolt értékindexét.

Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg)

2008.év 2009.év 2008.év 2009.év

226 882 57 67

613 1090 459 767

8

Furfangos kérdések1. feladatA piros fűnyíró egy óra alatt 8 ha, a kék 4 ha és a sárga 4 ha gyepet vág le. Együtt dolgozva hány óra alatt vágják le a 100 ha­os golfpályát, ha egyszerre kezdenek?Mivel a megadott teljesítmény mutatók egyenes mutatók, pl. 8 ha/óra, ezért a három teljesítmény összeadódik.

8+4+4=16

Tehát hárman óránként 16 ha gyepet vágnak le. A 100 ha­os területtel tehát 100/16=6,25 óra alatt vé­geznek.

2. feladat 

A piros kombájn 1 óra alatt, a kék 3 óra és a sárga 30 óra alatt takarítja be az őszi búzát. Együtt dolgozva hány óra alatt végeznek, ha egyszerre kezdenek?

A megadott teljesítmény mutatók fordított mutatók: óra/terület, ezért az átlagteljesítmény kiszámításakor harmonikus átlagot kell számítani.

A harmonikus átlag képlete:

X̄h=1

∑i=1

n1xi

n

=n

∑i=1

n1x i

X̄ h=3

11+

13+

130

=2,195

A három gép átlagteljesítménye tehát 2,195 óra. Mivel három gép dolgozik egyszerre, egyharmad idő alatt végeznek, tehát 2,195/3=0,732. A tesztben 0,7 a helyes eredmény.

3. feladatA dolgozók munkabére 2000­2005 év között 129%­os mértékben változott. Mennyi volt a változás átlagos éves üteme?Ebben a feladatban a bázisviszonyszámból kell meghatározni a változás ütemének éves átlagát.

A változás ütemének átlaga:V̄ L=

n−1√V Bn

Összesen hat év van 2000­2005 év között, tehát n=6. A változás mértéke 129%. A számításokat nem a százalékos értékekkel végezzük, tehát a 129% helyett 1,29­t használunk.V̄ L=

6−1√1,29=1,052

Százalékban kifejezve 105,2%. A vizsgáztató programba 105,2 fog kerülni.

9

4. feladatA dolgozók munkabére 2009. évben az első két hónapban havonta ­1,8%­kal, szeptemberig havonta ­1,2%­kal és az utolsó négy hónapban havonta 5%­kal változott. Hány százalékkal változott a fizetés havi átlagban?A változás mértéke az első két hónapban 100­1,8=98,2%. Szeptemberig 100­1,2=98,8%. Az utolsó négy hónapban 100+5=105%. Ezeknek kell meghatározni a havi átlagát. Ez egy súlyozott geometriai átlag, ahol a súlyzótényező a hónap. A számításokat itt is nem a százalékos értékkel kell elvégezni.

A súlyozott geometria átlag képlete:

X̄ g=∑i=1

n

f i

√∏i=1

n

x if i

Ahol:n: az x adatok számafi: az x­hez tartozó időszakok száma

Helyettesítsük be a fenti képletbe az adatainkat.X̄ g=

2+6+4√0,9822⋅0,9886⋅1,054=1,00722

Százalékos formában 100,722%. A változás havi üteme tehát 100,722% volt, tehát a fizetések havonta 0,722%­kal nőttek.A teszt eredményablakába tehát 0,7 kerül, ez adja a helyes eredményt.

10