pn de legendre
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Física Moderna II
POLINOMIOS DE LEGENDRE
Formación de la ecuación diferencial de los polinomios de Legendre a partir de la fórmula de Olindo Rodrígues
Los Polinomios de Legendre son una solución de un caso particular de la Ecuación de Legendre:
Partiendo de la fórmula de Olindo Rodrígues:
Pn(x )=1
2nn!D(n)( x2−1)n y llamando w=(x2−1)n→Pn ( x )= 1
2nn!D(n)w
derivando w en forma logarítmica
w'
w= n2 x
(x2−1)n
(x2−1)nw'−n2 xw=0
derivando n+1 veces
(x¿¿2−1)w(n+2)+(n+1 )2 x w(n+1)+(n+1 )nw(n)−2nx w(n+1)−2 (n+1 )nw(n)=0¿
(x¿¿2−1)w(n+2)+2 x w(n+1)−(n+1 )n w(n )=0¿
(x¿¿2−1) [w(n)] ' '+2x [w(n)] '−(n+1 )n [w(n) ]=0¿
Resulta entonces Pn ( x ) una integral particular de la ecuación diferencial de Legendre
(1−x¿¿2) y' '−2 x y '+n (n+1 ) y=0FormaCanónica¿
¿
Los Polinomios de Legendre como sistema Ortogonal
Los Polinomios de Legendre conforman un “sistema ortogonal” sobre el intervalo real [−1 ,1 ] con respecto al núcleo p(x)=1.
Def: Pn→ {Pn ( x ) }∈SistemaOrtogonal / [−1 ,1 ] ; p ( x )=1
Pm ( x )Pn ( x )=∫−1
1
Pm Pn=0 ,m≠n
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
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Física Moderna II
Se plantea la ecuación diferencial de Legendre para los pares (m, Pm) y (n, Pn)
[(1−x2)P'm ] '+(m+1 )mPm=0|¿Pn
[(1−x2)P'n ] '+(n+1 )n Pn=0|¿Pm
multiplicando las igualdades por Pn y Pm respectivamente se pueden restar miembro a miembro:
[(1−x2)P'm ] ' Pn−[(1−x2)P'
n ] ' Pm+[ (m+1 )m−(n+1)n ]PmPn=0
Los dos primeros términos se pueden expresar como:
[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'
n ] ' Pm=¿
¿ (1−x2 ) P' 'm Pn+(1−x2 ) ' P'
m Pn−(1−x2 ) P' 'nPm−(1−x2)' P '
n Pm
¿ (1−x2 ) [P' 'mPn−P ' '
nPm ]+(1−x2 ) ' [P'm Pn−P'
nPm ]definiendo el terminante W
W=( Pn Pm
P'n P '
m) , comm≠n , por lotanto :
W '=( Pn Pm
P' ' n P' 'm) , se puedeescribir entonces :
[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'
n ] ' Pm=(1−x2 )W '+(1−x2 ) 'W=[ (1−x2)W ] '
volviendo a la expresión original y reemplazando el último resultado queda:
[ (1−x2)W ] '+[ (m+1 )m−(n+1 )n ]PmPn=0
integrando en [−1 ,1 ] : [ (m+1 )m−(n+1 )n ]∫−1
1
PmPn=0.
El primer corchete se anula para m=n y m=−(n+1), por lo tanto para valores naturales de m yn
con m≠n, ∫−1
1
Pm Pn=0, lo cual demuestra la ortogonalidad sobre el intervalo real [−1 ,1 ] y con
respecto al núcleo p ( x )=1.
Deducción de los Polinomios de Legendre
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
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Física Moderna II
Partiendo de: (x2−1)n=∑k=0
n
¿¿
Derivando n veces
D(n)(x2−1)n=∑k=0
n
¿¿
¿∑k=0
n
¿¿
Que es la primera expresión de los Polinomios de Legendre salvo constante. Por otro lado recordando la convención Pn (1 )=1
D(n)(x2−1)n=D(n)¿¿∑k=0
n
(nk )D(k)¿
D(n)(x2−1)n |x=1=∑k=0
n
(nk )D(k)¿
¿(nn)D(n)¿
¿n !2n
De aquí se deduce la fórmula de Olindo Rodrígues: Pn(x )=1
2nn!D(n)( x2−1)n
Como verificación se deduce la expresión de los primeros Polinomios de Legendre a partir de esta fórmula.
P0 ( x )= 1
200 !D(0 ) (x2−1 )0=1
P1 (x )= 1
211!D(1 ) (x2−1 )1=x
P2 (x )= 1
222!D (2) (x2−1 )2=1
2(3 x2−1)
P3 ( x )= 1
233 !D (3) (x2−1 )3=1
2(5x3−3x )
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
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Física Moderna II
TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
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Física Moderna II
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía