PODPATRUJĄCPRZYRODĘ

Złota liczba wśród nas

a b

a + b

a + ba

ab

Złota proporcja – co to jest?

Podział odcinka na dwie części tak, aby stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, był taki sam, jak stosunek

całego odcinka do dłuższej części. Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba - oznaczana grecką literą φ

(fi)

Konstrukcja złotego odcinka

Złoty prostokąt

b

a

b a - b

Prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta otrzymuje się prostokąt, którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.

Złoty trójkąt

36º

36º

36º

A

C

B

D

Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku do podstawy jest równy liczbie FI. Obydwa kąty przy podstawie tego trójkąta mają po 72 stopnie,a kąt pomiędzy ramionami 36 stopni. Trójkąt ten ma podobną właściwość jak złoty prostokąt: można go dzielić na kolejne mniejsze trójkąty, które też będą złotymi trójkątami

Pięciokąt foremny

Czy ta figura może mieć coś wspólnego ze złotą liczbą? Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. A gdyby bliżej przyjrzeć się przekątnym tej figury?

Przekątne pięciokąta foremnego tworzą pentagram. Dlatego, że wszystkie ramiona pentagramu przecinają się według "złotego cięcia" jest on figurą symbolizującą doskonałą harmonię, co wielu osobom może wydać się teraz dziwne. Większość z nas ma nieco inne skojarzenia związane z pentagramem.

Pentagram

Ciąg FibonacciegoCiąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z

Pizy jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików:

Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli

- każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca,

- para staje się płodną po miesiącu,

- króliki nie zdychają?

Ciąg liczb naturalnych określono rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch

poprzednich.

F0 0

F1 1

F2 1

F3 2

F4 3

F5 5

F6 8

F7 13

F8 21

F9 34

F10 55

F11 89

F12 144

F13 233

F14 377

F15 610

F16 984

F17 1597

Ciąg Fibonacciego a

złota liczbaIloraz sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego to tzw. złota liczba, np.

5:3=1,(6)13:8=1,62589:55=1,6(18)2584:1597=1.6180338134...

Im większe wyrazy ciągu Fibonacciego, tym coraz dokładniejsze przybliżenia złotej liczby.

Złote liczby w przyrodzie

Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom na tarczy słonecznika, kwiatom kalafiora lub

stokrotki – można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral.

Ilość prawoskrętnych i lewoskrętnych spiral słonecznika odpowiada liczbom ciągu Fibonacciego

Na jednej gałązce między każdymi dwiema parami listków, trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

Niektóre drzewa(np. dąb) rozrastają się według modelu Fibonacciego. Gałąź przez pierwszy rok tylko wzrasta, dopiero w każdy kolejnych rok wypuszcza jedną, młodą gałąź.

Czy liczba fi występuje architekturze?

• Złota proporcja występuje często między wymiarami starożytnych budowli, np. Partenon można zawrzeć w prostokącie wyrażającym się złotą liczbą.

• Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej do podstawy wynosi 1,61804.

Człowiek wirtuwiański

Rysunek przedstawia figurę nagiego mężczyzny w dwóch nałożonych na siebie pozycjach, wpisaną w okrąg i kwadrat. Rysunek jest przykładem charakterystycznego dla renesansu zainteresowania człowiekiem. Jest to dzieło, przedstawiające proporcje ludzkiego ciała.

Czy jesteś złoty?Spróbujcie zmierzyć odległość od czubka głowy do podłogi. Potem podzielcie ją przez odległość od pępka do podłogi. Co wam wyszło? Czyżby złota liczba?Zmierzcie odległość między ramieniem a czubkiem palców, a potem podzielcie przez odległość między łokciem a czubkiem palców. Znowu fi. Od biodra do podłogi podzielone przez odległość od kolana do podłogi. Jeszcze raz fi.

Każdy z nas, jest żywym hołdem

złożonym boskiej proporcji.