α

. A

. B

. C

ПОДСЕТНИК ТАЧКА, ПРАВА, РАВАН

Тачка, права и раван су основни геометријски појмови који се користе при

дефинисању осталих геометријских појмова.

Тачке обележавамо великим штампаним словима: A, B, C, ...

Праве обележавамо малим писаним словима: p,q,a, b,...

Равни обележавамо словима грчког алфабета: α, β, γ, δ, π, ...

Раван представљамо у облику паралелограма,

при чему се најчешће у неком од његових углова

пише ознака равни: α, β, γ, δ, ...

Тачка може да припада правој, ( ),

или да јој не припада, ( ) .

Права је једнозначно одређена

са две различите тачке (A и B).

Међусобни положај две праве у равни

Праве у равни могу бити паралелне (a и b), да се секу

(b и c) или да се поклапају (а = р).

Тачке које леже на истој правој називају се КОЛИНЕАРНЕ ТАЧКЕ.

Тачке које не леже на истој правој називају се НЕКОЛИНЕАРНЕ ТАЧКЕ.

Као и код праве, тачка може да припада равни, или, да јој не припада.

Одређеност равни

Раван је једнозначно одређена са три неколинеарне тачке.

Раван је једнозначно одређена са правом и тачком ван те праве.

Раван је једнозначно одређена са две праве које се пресецају.

Раван је једнозначно одређена са две различите

паралелне праве.

. A

α

p

a

. A

B .

. A

B .

α

p

q . K

α

s

r

α

p

. A

α

. P c

b

a р

Међусобни положај две праве у простору

Праве у простору је најзгодније приказати на моделу коцке или квадра.

Праве у простору или су паралелне (а и b), или се

пресецају (a и c, b и c),

или су мимоилазне (a и d, c и d).

Ако су паралелне – немају заједничких тачака – кроз

њих се може поставити раван.

Ако се пресецају – имају једну заједничку тачку –

одређују једну раван.

Ако су мимоилазне – немају заједничких тачака –

кроз њих се не може поставити раван.

Међусобни положај праве и равни

Права може да продире раван ( ), тада

имају једну заједничку тачку(Р), да је паралелна са

равни ( ), тада немају заједничких тачака

или да припада равни ( ), дакле, скуп

тачака праве је подскуп скупа тачака равни то јест,

права лежи у равни.

Ако права (c) продире раван и при том је нормална у тачки продора (P) на праве (b и d)

које се секу у истој тачки и леже у равни, онда је она нормална и на дату раван ( ).

Међусобни положај две равни

Две равни могу бити паралелне, да се секу или да се поклапају.

d

a

b

c

α

α

β

π

+

=

+

=

ω

с

α P

. b

d

a

. .

δ

γ

a

Ортогонална пројекција на раван

Ортогонална (нормална) пројекција тачке на раван је продор нормале из те тачке на

дату раван.

Раван на коју пројектујемо назива се пројекцијска раван а нормала из неке тачке на

пројекцијску раван је пројектујући зрак те тачке.

Како геометријске фигуре представљају скупове тачака, пројекција неке фигуре на

раван ће бити заправо пројекција њених тачака на дату раван.

Како је дуж одређена својим

крајњим тачкама, да би смо

одредили њену пројекцију,

довољно је одредити пројекцију

њених крајњих тачака.

У зависности од међусобног

односа праве којој припада дата

дуж и пројекцијске равни,

пројекција може бити дуж или

тачка.

Ортогонална пројекција праве на раван је или права (ако је права паралелна равни или

је продире под углом различитим од правог) или је тачка (ако је права нормална на

раван).

Права p1 која садржи тачке A1 и K1 је пројекција праве p на раван π а угао φ између

праве и њене пројекције назива се нагибни угао праве p према равни π.

Нормала из тачке А на раван π

или пројектујући зрак тачке А

Ортогонална (нормална)

пројекција тачке А на раван π

А .

. А1

π

Пројекцијска раван

. π

Т

.

S S1=T1

S

.

S . D

. C

. C1 . D1

11

. Q

. P

. Q1 . P1

.Р

δ

p

φ .S

π

. А

. А1

. К

. К1

р

р1