Prof. dr Esad Jakupović

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise.Posmatrajmo beskonačni niz (1)

Definicija 1. Funkcija naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija naziva se eksponencijalna funkcija generatrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), članovi niza se mogu odrediti pomoću formula

Redove navedene u definicijama 1 i 2 shvatamo kao formalne redove.Kon vergencija i druga analitička svojstva ovih redova obično se ne ispituju.

0 1 2, , ,...., ,.....na a a a

0

nn

n

G t a t

0 !

n

nn

tH t a

n

n

0 , a 0

!

nn

n

Ga H

n

Da bi dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija , k=0,1,...,n , posmatrajmo izraz

Kao koeficijent uz tk nalazi se elementarna simetrična funkcija reda k promenljivih .Sabirci funkcije Sk su proizvodi od po k promenljivih iz skupa .Dakle, svaki takav sabirak reprezentuje po jednu kombinaciju klase k tog skupa. Ako stavimo svaki sabirak je jednak 1 i koeficijent uz tk je jednak broju kombinacija klase k skupa od tri elementa:

dobija se , k=1,2,3.Neposrednom generalizacijom ovog postupka zaključuje se da je

funkcija generatrisa za brojeve kombinacija .Dakle , što potvrđuje raniji rezultat.

0

nk kn

k

G t C t

knC

2 31 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 31 1 1 1x t x t x t x x x t x x x x x x t x x x t

kS

1 2 3, ,x x x 1 2 3, ,x x x

1 2 3 1x x x

3kC

3 0 1 2 2 3 33 3 3 31 t C C t C t C t

3

3kCk

1 ... ...0 1

n k nn n n nG t t t t t

k n

kn

nC

k

Da bismo dobili opšti izraz za Hv(t) u slučaju kada su specificirani mogućni brojevi pojavljivanja svakog pojedinog od n elemenata, pretpostavimo da je funkcija Hv (t) opet proizvod od n faktora pri čemu svaki faktor i reguliše brojeve pojavljivanja elementa u varijaciji. Polazna osnova je opet jedan izraz koji sadrži promenljive t i x1, x2, ...,xn;

Svaki faktor je reprezentovan sa po jednim svojim tipičnim sabirkom gde je jedna funkcija koju ćemo naknadno odrediti. Proizvod naznačenih sabiraka

može se napisati u obliku

gde je k=k1+k2+...+kn. Poslije množenja i unošenja x1=x2=...=xn=1 koeficjent uz treba da daje broj varijacije klase k u kojima se x1 pojavljuje k1 puta, x2 se pojavljuje k2 puta, ..., xn se pojavljuje kn puta. Na osnovu formule za broj permutacija sa ponavljanjem dolazimo do zaključka da je

1 2

1 21 2

1 2

... ... ... ... ... ... ...nk k k

k k knn

n

t t tx x x

f k f k f k

1 2

1 21 2

1 2

......

...

n

n

k k kk k k

nn

t t tx x x

f k f k f k

1 2

1 21 2

!... ,

... !nk k kn

n

k tx x x

f k f k f k k

!

kt

k

!f m m

U kombinatorici se pod particijom podrazumjeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su prirodni brojevi pri čemu redosljed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi računa o redosljedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u sledećoj tabeli:

Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od tačaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram »pročita« po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.Problem određivanja broja particija nije jednostavan i on će biti tretiran ovde tehnikom funkcija generatrisa.

Izvodimo funkcije generatrise za brojeve p(n) particija prirodnog broja n pod izvesnim uslovima.Posmatrajmo najprije particije kod kojih su sabirci najviše jednaki m. Jedna takva particija ima oblik gde ki (i=1, 2, . . . , m) označava broj ponavljanja sabirka i u particiji. Tada jeBroj particija oblika (2) jednak je broju načina faktorizacije veličine tn u formi (3). Broj ovih faktorizacija je, očigledno, jednak koeficijentu uz tn funkcije

Stoga je G(t) upravo tražena funkcija generatrisa i ona se može predstaviti u obliku

Ako se ne ograniči veličina sabiraka funkcija generatrisa dobija oblik

1

1 n

n

G t p n t

1 21 2 ... ,mn k k k m

1 21 2 ... .mk k kn mt t t t

2 2 4 21 ... 1 ... 1 ... .m mG t t t t t t t

2

1

1 1 1 1.

1 1 11

m mi

i

G tt t t

t

1

1.

1 i

i

G tt

Pored tretiranja klasičnih kombinatornih problema o kojima je do sada bilo riječi, u novije vrijeme razvili su se unutar kombinatorike razni pravci istraživanja sa veoma kompleksnim sadržajem.

Jedan od njih je teorija grafova kojoj posvećujemo posebno poglavlje.

Osim toga postoji teorija blok-šema, teorija konačnih geometrija, teorija kodova i druge grane. Navodimo neke osnovne pojmove iz ovih disciplina.

1.Blok-šeme. Posmatrajmo konačan skup , (sa v elemenata). Blok-šema je kolekcija D podskupova skupa S koja zadovoljava neke uslove u vezi broja elemenata u podskupovima, broja pojavljivanja svakog elementa skupa S u tim podskupovima i sl.

Podskupovi skupa S koji pripadaju kolekciji D zovu se blokovi.

1 2, ,..., vS s s s

Primjer 1. Neka je S= {1,2,..., 7}. Posmatrajmo kolekciju B1, B2,. . . , B7 podskupova skupa S, gdje je

Svaki blok ove šeme sadrži 3 elementa skupa 5 i svaki se element iz 5 sadrži u 3 bloka. Osim toga svaki par elemenata iz S se sadrži u tačno jednom bloku.U vezi sa ovim primjerom uvodi se sledeća definicija.

Definicija 1. Uravnotežena nepotpuna blok-šema (skraćeno BIBD, prema engleskom: balanced incomplete block design) sa parametrima v, k, b, r, λ je kolekcija od b podskupova (blokova) B1,B2,...,Bb skupa S = {s1, s2, . . . , sv} kod koje svaki blok sadrži k elemenata, svaki element skupa S se nalazi u r blokova i svaki par ele menata iz S se nalazi u X blokova.

1 2 3

4 5 6

7

1,2,4 , 2,3,5 , 3,4,6 ,

4,5,7 , 5,6,1 , 6,7,2 ,

7,1,3 .

B B B

B B B

B

Teorema 1. Ako postoji BIBD sa parametrima v, k, b, r, λ onda važe relacije

Dokaz. Ukupan broj pojavljivanja elemenata skupa S u blokovima je, sjedne strane, vr jer ima v elemenata a svaki se pojavljuje u r blokova i, s druge strane, bk jer ima b blokova svaki sa po k elemenata. Ovo daje prvu relaciju.Da bi dobili drugu relaciju prebrojaćemo na dva načina parove elemenata skupa S koji se pojavljuju u blokovima a koji sadrže jedan fiksiran element si iz S. si se pojavljuje u r blokova a u svakom od njih obrazuje po jedan par sa ostalih k—1 elemenata iz bloka. Dakle, traženi broj je r(k—i). S druge strane, si obrazuje v—I parova sa ostalim elementima skupa S, a svaki takav par se pojavljuje λ puta u blokovima šeme pa se dobija za istu stvar λ (v—1).Ovim je dokaz završen.

, 1 1 .vr bk r k v

2. Konačne geometrije. U kombinatorici se takođe proučavaju konačni skupovi objekata koji imaju osobine tačaka i pravih. To su konačne geometrije.

Definicija 2. Projektivna ravan je uređena trojka π={X, Y, ρ), gde je X skup

objekata koje zovemo tačkama, Y skup objekata koje zovemo pravama, ρ binarna relacija u X Y (kod koje x ρ y čitamo »tačka x leži na pravoj y« ili »prava y prolazi kroz lačku x«), pri čemu su ispunjeni sledeći uslovi (aksiome projektivnih ravni):

1° dve različite tačke leže na tačno jednoj pravoj,2° dve različite prave polaze kroz tačno jednu

zajedničku tačku,3° postoje četiri tačke od kojih nikoje tri ne leže na

jednoj pravoj. Primjer 2. Na sl. 1 je prikazana projektivna ravan koja sadrži 7 tačaka

(obilježenih sa 1, 2,... , 7) i 7 pra vih. Pod pravama se ovde podrazumjevaju stranice i visine trougla

kao i upisani krug. Bez teškoća se provjerava da su aksiome 1°—3° iz definicije

2 ispunjene.

Dokazuje se da u projektivnoj ravni kroz svaku tačku polazi konstantan broj pravih i da svaka prava sadrži taj isti broj tačaka. Ako jedna prava sadrži n+1 tačaka broj n se naziva red projektivne ravni.Projektivna ravan reda n sadrži n2+n+1 i tačaka i isto toliko pravih.

3.Kodovi koji ispravljaju greške. Posmatra se skup uređenih n-torki X=(x1, ... , xn), gdje je xr=1, ... ,b (r=1, ... , n). Broj n-torki je bn. Jednakost X=Y n-torki X=(x1, ... , xn) i Y=(y1, ... , yn) važi ako i samo ako je x1=y1, ... , xn=yn.

Definicija 3. Skup n-torki {X1,...,Xn}zove se kod kodovskog rastojanja d, ako je minimum međusobnih rastojanja n-torki iz koda jednak d.

Kod kodovskog rastojanja d=2l + 1 ima sledeću osobinu.

Ako se prilikom rješenja proizvoljne n-torke koda kroz sistem veze pogrešno prenese ne više od koordinata n-torke, u prijemnom uređaju se n-torka može rekonstruisati.

Jedan od osnovnih problema teorije kodova koji ispravljaju greške je sledeći:Koliko postoji n-torki u datom skupu n-torki, čija međusobna rastojanja manja od d, tj. koliko n-torki sadrži najveći kod kodovskog rastojanja d ?Problem je riješen samo za specijalne vrijednosti n, b, l.Za b=2,3 i n=3, 4, ...,12 problem je ekvivalentan problemu sportske (vidjeti primjer).

Dakle, šifrator u sistemu veze ima tri osnovna simbola 0,1 i 2. U elektronskom uređaju to znači, na primer, odsustvo impulsa, pozitivan pravougaoni impuls i negativan pravougaom A. Kad hoćemo da korisne informacije označavamo četvorkama i ako znamo da se kroz sistem najviše jedna komponenta četvorke može pogrešno prenijeti, upotrebljavamo gornji kod. Ovim možemo prenositi najviše devet različitih informacija, na primjer, devet slova.Ako sistem ne pravi više od jedne greške u svakoj četvorci, četvorka se uvek može rekonstruisati.

0 0 0 1 1 1 2 2 2

0 1 2 0 1 2 0 1 2

0 2 1 2 1 0 1 0 2

0 1 2 2 0 1 1 2 0

Interesantno je da se navedeni kod može primjeniti kao »sistem« pri igranju na sportskoj prognozi. Ako je potrebno predvidjeti ishod četiri fudbalske utakmice ij1 i sa 1 pobjedu domaćeg kluba, sa 0 neriješen rezultat i sa 2 pobjedu gostu) tako da se prognoza za najmanje tri utakmice pokaže kao tačna, onda očigledno, potrebno postaviti više prognoza. Ako svakoj četvorci navedenog odgovara jedna prognoza ishoda četiri utakmice, onda je na osnovu ranije, bez obzira na stvarne ishode utakmica, u jednoj od devet imati bar tri tačna rezultata.Tako je, inače, dokazano da je za prognoziranje ishoda pet utakmica, uz uslov da se na jednoj prognozi moraju postići najmanje četiri tačna rezultata, potrebno postaviti 27 prognoza.

4.Latinski kvadrati.Definicija 4. Kvadratna šema sa n vrsta i n kolona, u kojoj su elementi a1, a2,... ,an raspoređeni tako da se svaki element pojavljuje tačno jedanput u svakoj vrsti i tačno jedanput u svakoj koloni, naziva se latinski kvadrat reda n.

Primjer 4. Navodimo tri latinska kvadrata reda 4:

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1

3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3

4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2