POJAVI, KI JIH NE MOREMO RAZLOŽITI VOKVIRU KLASIČNE FIZIKE

Serway, 1992

FOTOEFEKT

Fotocelica:

j gostota svetlobnega toka

o energija fotona: W h ; c ; c = svetlobna hitrost frekvenca valovna dolžina svetlobe

o gibalna količina fotona:2 2 2 2

0 0; kjer je lastna energija 0W W c P W

W h hPc c

ANODA

SVETLOBA

e izbiti elektron

napetost

električni tok

zapornanapetost

1 2j j

2j

Albert Einstein(1879 – 1955)

Einsteinova predstava fotona kot»potujočega energijskega paketa«

W h

Tabela: izstopno delo 0 0 0 0,izA h c

Kovina 0Platina 230 nmvolfram, baker 280 nmsrebro 290 nmaluminij, cink 340 nmkalij 560 nm

foton z energijo h

SEVANJE ČRNEGATELESA

Model črnega telesa

Spektri sevanja črnega telesa za različne temperature

mK109.2 3wk (Wienova konstanta)

00

Wienov zakon

max wT k 0.001

v idn

a sv

e tlo

b a

20

11.5

32 10 K

240 10 nm

dj d

o Planck-ov zakon sevanja črnega telesa

12

dd

5

2kThc

echj

Max Planck(1858 - 1947)

o Stefanov zakon

4j T

Jožef Stefan(1835 – 1893)

428 KWm1067.5 (Stefanova konstanta)

Js106.6 34h (Planckova konstanta)

J/k1038.1 23k (Boltzmannova konstanta)

COMPTONSKO SIPANJE

Arthur H. Compton(1892 – 1962)

Sipana svetloba (Serway, 1992)

Shema Comptonovega aparata (Serway, 1992)

valovna dolžina vpadne kratko valovne Rtg -svetlobe

0

' 1 coshcW

Enačbe ne moremo izpeljati v okviru klasične fizike

odbiti elektron

x

y

sipani foton

vpadni foton

p

'

ATOMSKI ČRTASTI SPEKTRI

Niels Bohr(1885 – 1962)

o Energijski nivoji vodikovega atoma so diskretni:

2

13.6 eV 1, 2,3,......nE nn

(8.4.19)

o Valovna dolžina izsevane svetlobe pri prehodih elektrona iz višjega v nižjienergijski nivo za vodikov atom:

'2 2

1 113.6eVn

hn

,

02 ' 2

1 113.6eVn

chn

, 2 ' 20

1 13.6eV 1 1nhc n

,

Paschenevaserija

Balmerjevaserija

Lymanovaserija

torej:

2 '2

1 1 1yR n n

n' > n

7 1

0

13.6eV 1.09678 10yR mhc

= Rydbergova konstanta

n'

n

INTERFERENČNI POJAVI PRI ELEKTRONIH

Interferenčni kolobarji curka elektronov:

J. Strnad, Fizika II

Louis de Broglie(1892 – 1987)

Fotoni:

2 2 2 20W W c P

0 0 W h hW Pc c

hP

22

22

hP k

hW h

P kW

P gibalna količina fotonaW energija fotona

Elektroni:

Bh hP mv

de Broglie-eva valovna dolžina m masa elektronav hitrost elektrona

Interferenca dveh koherentnih EM valovanj:

Gostota energijskega toka EM valovanja v vakuumu: 21 2j E E

1

2

1 0

2 0

i kr t

i kr t

E E e

E E e

cos sincos sin

i

i

e ie i

1 0 1cosE E kr t , 2 0 2cosE E kr t

1 2 1 2

2 * * *1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

* * * * 21 1 2 2

1 2

1 2 1 2 0

2 204 o

2

c s2

ik r r ik r r

E E E E E E E E E E

E E E E E E E

k r rE

E E e e

Pogoj za maksimum (svetle interferenčne proge):

1 21 2

2 , 0, 1, 22

k r r nn r r nk

zaslon

D

d

1r

2r

VALOVNA FUNKCIJA ZA DELEC (funkcija stanja)

o Fotoni : P k2k

W c

0

i kx tE E e

povprečje ni odvisno od frekvence2 2

0 0 012

j wc E c E c

o Delci: po zgledu fotonov poskusimo zapisati valovno funkcijo za curek delcev zdoločeno gibalno količino (P) v smeri x:

, i kx tp x t e

2 2B

B

P mv P h hP k k kh P mv

kin potWW W W W

torej:

,P Wi x t i px Wt

P x t e e

Z uporabo ,p x t lahko opišemo interferenčni poskus zelektroni

o curek elektronov iz oddaljenega izvira z določeno gibalno količinorazdelimo na dva delna curka z isto gibalno količino p in energijo W.

verjetnostna gostota elektronov na zaslonu*

po analogiji z EM valovanjem kjer je*j E E :

curek1: 11

Wi tipxp x e e

curek 2: 22

Wi tipxp x e e

skupno: 1 2p px x

*

1 2 1 2

22 1 2 1

12 1 cos 4cos2

p p p px x x x

x x p x x p

o pogoj za maksimum (ojačanje):

2 1 2 11 2 , 0,1, 2,...2

nx x p n x x np

zaslon

1

2

1x

2x

Uklon curka elektronov na dveh režahdelež elektronov v pasu

med 1 d2

x x in 1 d2

x x je:

d ρN dxN

a,b,c: računalniška simulacija (Higgins,1968)

Interferenčni vzorec elektronovpri prehodu skozi dve reži

1

2

verjetnostna gostota,če bi bila reža 2zaprta

verjetnostna gostota,

če bi bila reža1zaprta

verjetnostna gostota,

česta obe reži odprti

a

b

po 28 elektronih

po 1000 elektronih

c

po 10 000 elektronih

fotografija interferenčnega vzorcauklona elektronov na dveh režah(C. Jönsson, Zeitschrift für Physik,161:454, 1961)

d

d:

izvor elektronov

x

1 2

1 2

x

1 2

Osnove kvantne mehanike

NAČELA KVANTNE MEHANIKE

Načelo statističnega opisa

o Izida poskusa s posameznim kvantnim delcem ne moremo zgotovostjo napovedati (npr. ne moremo napovedati v kateri točki bozadel zaslon naslednji elektron

o V splošnem pa so možne napovedi za množico delcev.o Vpeljemo verjetnostno gostoto *

Bistvene lastnosti interferenčne slike elektronov razložimo s seštevanjem valovnih funkcij.

Valovna funkcija (funkcija stanja)

0

i k r te

gibalna količina elektrona

polna (celotna) energija elektrona

Uvedli smo funkcijo stanja ,r t , ki vsebuje vse informacije o stanju kvantnega delca.Verjetnost, da se delec nahaja na izbranem mestu v volumnu dV okoli točke s krajevnimvektorjem r je * dV , kjer velja:

*d 1

V

V Pričakovana vrednost koordinate x (povprečna koordinata x):

* * dd dx x x x xx x

,

kjer je * verjetnostna gostota

k p

p kW W V

Heisenbergovo načelo nedoločenosti

Werner Heisenberg(1901 - 1976)

x

y

z

x py pz p

Načelo nedoločenosti brani kvantno mehaniko. Heisenberg jeugotovil, da bi se kvantna mehanika zrušila vase, če bi mogli hkratinatančneje izmeriti lego in gibalno količino. Zato je predlagal, naj tone bi bilo mogoče. Fiziki so se zamislili in poskušali, če jim mordato le ne bi uspelo. A nihče od njih ni mogel najti poti, po kateri bibilo mogoče hkrati natančneje izmeriti lego in gibalno količinočesarkoli. In tako kvantna mehanika še nadalje obstaja. (R.P.Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures inPhysics. Quantum Mechanics, New York, Addison – Wesley, 1965,str. A-3 III).

Ocena produkta nedoločenosti legeelektrona ( x ) in nedoločenosti gibalnekoličine elektrona ( p )

xp

h h

foton

pred trkom

elektron

sipani foton

po trku

odbiti elektron

Če pri poskusu s curkom elektronov poskusimo izmeriti skozi katerorežo je šel kak elektron skupna verjetnostna gostota 1 2 nima zadve reži značilnih interferenčnih vrhov in dolin. Verjetnostna gostotaza elektrone, ki so šli skozi desno režo je 2 , verjetnostna gostota zaelektrone, ki so šli skozi levo režo pa je 1

izvor elektronov

1 2

x

x

x

merilnik 1 merilnik 2

1 2

1

2

izvor elektronov

x

1 2

1 2

x

1 2

Načelo superpozicije

Če smo hoteli pojasniti interferenčne poskuse z elektroni smo morali privzeti, da se funkcijestanja (imenovane tudi valovne funkcije – od tod ime »valovna mehanika«) lahkoseštevajo.

To pomeni: če sta 1 in 2 funkciji stanja je tudi vsaka linearna kombinacija

1 1 2 2c c

tudi funkcija stanja, kjer sta c1 in c2 kompleksni števili.

Če pišemo:

11 1

ie in 22 2

ie

potem je

*2 *1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 * * * *1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2

c c c c

c c c c c c

torej:

2 2 21 1 2 2c c

Operatorji

Klasična mehanika

Dinamično stanje masne točke je popolnoma določeno v vsakem trenutku, če poznamonjeno lego in gibalno količino.

Dinamične spremenljivke so:

o lega, gibalna količina

o vrtilna količinao kinetična energija kWo potencialna energija pVo celotna energija k pW W V

V klasični mehaniki poznamo vrednosti dinamičnih spremenljivk natančno vsaj v načelu.Možno jih je izmeriti v vsakem trenutku.

Kvantna mehanika

Včasih imenujemo dinamične spremenljivke tudi opazljivke (ali observable). Vendar pa le tev kvantni mehaniki niso merljive brez omejitev, kakor so v Newtonovi mehaniki. To kažeže načelo nedoločenosti. Zato je bolje ne uporabljati imena »opazljivke« in ostati pri terminu»dinamična spremenljivka«.

Dinamičnim spremenljivkam v kvantni mehaniki priredimoOPERATORJE

Obravnavajmo prost delec z maso m , ki se giblje vzdolž osi x in imaostro določeno gibalno količino ,0,0xP p

. Že pri interferenčnihposkusih z elektroni smo zapisali valovno funkcijo takega delca vobliki:

0 exp i k r t

kjer je p k gibalna količina in W polna energija

Za poseben primer gibanja delca z ostro določeno gibalno količino xp

v smeri x-osi zapišemo ustrezno valovno funkcijo v obliki:

0 exp xi p x Wt

Velja:

operator

xi px

Definiramo operator komponente gibalne količine

ˆ xp : ˆ xp ix

ˆ yp iy

ˆ zp iz

Posplošitev na 3–dimenzije: p i

Velja:operator

i Wt

Definiramo operator polne energije: W it

Valovna funkcija delca z ostro določeno gibalno količino:

Valovna funkcija delca, katerega gibalna količina ni ostrodoločena:

Operatorji za komponente krajevnega vektorja , ,r x y z :

ˆˆˆ

x xy yz z

Ker je tudi potencialna energija V r odvisna samo od , ,r x y z velja:

Operator potencialne energije V r V r

x

x

x

x

Operator kinetične energije:

kinetične energija2 2

2 2kmv pW

m

operator kinetične energije2 2

2ˆˆ2 2pTm m

2 2 22

2 2 2x y z

Preizkus (1-D): prost delec z ostro določeno gibalno količino xp za potencialnoenergijo 0V x

2 22 2 2

0 02 22 2 2x xi p x Wt i p x Wtx x

kp pe W e

m x m m

Lastne vrednosti operatorjev:

A A

A je lastna vrednost operatorja A je lastna funkcija operatorja A

V kvantni mehaniki uporabljamo linearne operatorje:

1 2 1 2ˆ ˆ ˆA A A

1 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆA A Ac c c c

Produkt operatorjev v splošnem ni komutativen:

komutator

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆA, B A B BA 0

Pričakovane vrednosti

Že prej smo definirali:

* * ˆd dx x x x x

Posplošitev:

* *ˆ1 - D: A d dA x A x

* ˆ3 - D: A d ,A V

kjer d d d dV x y z

Tabela operatorjev

Operatorji dinamičnih spremenljivk

Dinamična spremenljivka Operatorkoordinata …………………... x x xkoordinata …………………... y y ykoordinata ………………..…. z z zkrajevni vektor …………….. r r rpotencialna energija ...….. V r V V r

komponenta gibalne količine xp ˆ xxp i x i x komponenta gibalne količine yp ˆ yp i y i y komponenta gibalne količine zp ˆ zp i z i z vektor gibalne količine ……. p p i kinetična energija …………. kW 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ 2 2 2T p m m m x y z

polna energija …... kW W V ˆ ˆ ˆH T V

SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA s časovno odvisnostjo

Erwin Schrödinger(1887 – 1961)

Za prost delec z ostro določeno gibalno količino 0V x zapišemo funkcijo

stanja v obliki 0

xi p x Wte . Od tod pa sledi:

22 2

22 2xpT

m x m

W i Wt

Če je delec prost je 0V x , torej2

2xpWm

, zato velja:

ˆ ˆT W , oziroma:

2 2

22i

m x t

časovno odvisna Schrödinger-jeva enačba za prosti delec (1-D)

Posplošitev na 3 – dimenzije2

2

2i

m t

Če na delec deluje zunanja sila

grad ,F V r t

je celotna energija

2

,2pH V r tm

in ustrezen operator V V

Torej je operator celotne energije:

2

2ˆ ,2

H V r tm

Operator H imenujemo Hamiltonov operator (hamiltonijan)

Posplošitev Schrödinger-jeve enačbe za prost delec za primer delca z od ničrazlično potencialno energijo ,V r t je torej:

2

2 ,2

V r t im t

Enačbo imenujemo Schrödinger-jeva enačba s časovno odvisnostjo,katere rešitev je valovna funkcija ,r t

SCHRÖDINGER-jeva ENAČBA brez časovne odvisnosti

Če potencialna energija V r ni odvisna od časa tudi Hamiltonovoperator 2

2H V r

m

ni odvisen od časa.

Časovno odvisno Schrödinger-jevo enačbo 2

2 ,2

V r t im t

poskušamo v tem

primeru rešiti z nastavkom za valovno funkcijo v obliki:

,r t r f t

Če vstavimo enačbo ,r t r f t v enačbo 2

2 ,2

V r t im t

dobimo:

2

2

2i r f t V r r f tt m

oziroma:

2

2dd 2f t

i r r V r r f tt m

/ r f t

2

2

samo funkcija samo funkcija

d1 1d 2t r

f ti r V r rf t t r m

Obe strani zgornje enačbe sta enaki konstanti, ki ju označimo z E. Le v temprimeru je namreč enačba rešljiva. Torej:

d1

df t

i Ef t t

d

df t

i E f tt

2

212

r V r r Er m

Enačbo

2

212

r V r r Er m

zapišemo v obliki (Schrödinger-jeva enačba brez časovne odvisnosti) :

2

2

2V r r E r

m

z rešitvijo

exp i E tf t C

Ker je splošna rešitev ,r t r f t , ne izgubimo nič na splošnosti, čepostavimo C = 1:

, exp i E tr t r

Valovno funkcijo r izračunamo iz Schrödinger-jeve enačbe brez časovne odvisnosti:

2

2

lastnalastna vrednostfunkcijaHamiltonov operator

2V r r E

m

Zgornja enačba je enačba tipa ˆn n nA A . Če eni lastni vrednosti An ustreza več linearnih

neodvisnih lastnih funkcij pravimo tem lastnim funkcijam degenerirane funkcije.

Kaj predstavlja konstanta E, ki ima dimenzijo energije?

Ob upoštevanju definicije Hamiltonovega operatorja lahko zapišemo zadnjo v obliki:

H r E r

Vidimo, da je E je lastna vrednost Hamiltonovega operatorja 2

2

2H V r

m

, funkcija

r pa je ustrezna lastna funkcija.

Če z operatorjem polne energije W it

delujemo na funkcijo

, exp i E tr t r

dobimo:

exp expi E t i E ti r E rt

kjer je E lastna vrednost operatorja polne energije W it

, ,r t pa je

ustrezna lastna funkcija. Iz zgornje enačbe sledi, da je E polna energijasistema.

Funkcija stanja , exp i E tr t r

ustreza ostro določeni polni energiji

sistema. Pričakovana vrednost polne energije za ,r t , E je zato enaka E:

** , , d dE r t i r t V E V E

t

ali

** 3, , d dE r t H r t V E d V E

kjer je d d d dV x y z

Prehod iz kvantne mehanike v klasično (Newton-ovo) mehaniko

Ehrenfestovi enačbi (1–D):

ddxp Vt x

1dd x

xm p

t

Prehod k makroskopskim telesom: x x t

Primer:DELEC V NESKONČNI RAVNI POTENCIALNI JAMI

Klasična mehanika

Spekter energij je zvezen

Kvantna mehanika

Potencialna energija: 0,

,a x a

V xx a

(1)

Ker V za *0 0x za x a

Torej: 0 prix x a

o V področju, kjer 0V x ima Schödingerjeva enačba brez časovne odvisnosti obliko:

22

2

d,

2 dx

E xm x

oziroma

2

22

ddx

k xx

, (2)

vm

L

-a 0 +a x

V x

kjer smo definirali: 22

2mk E

(3)

Splošna rešitev enačbe (2) je:

cos sinx A kx B kx (4a)

Enačbi (4b) :sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih

Ker zahtevamo 0x a , od tod sledi:

cos 0sin 0A kaB ka

(4b)

Enačbi (4b) sta hkrati izpolnjeni v dveh primerih:

I. B = 0, cos ka = 0 II. A = 0, sin ka = 0

, 1,3,5,2nn nk na L

, 2, 4,6,2nn nk na L

lastne funkcije: cosn n nx A k x lastne funkcije: sinn n nx B k x

* 1d 1a

n n na

x x x Aa

1

nB a

1 cos2nnx xaa

1 sin2nnx xaa

1,3,5,n 2, 4,6,n

Torej:

I in II : , 1, 2, 3, 4, 5,nnkL

,

kjer smo kn definirali kot 2

2n n

mk E

(glejte enačbo (3)), od koder sledi:

2 2 2 2 2

2 , 1, 2,3, 4,2 2n

nk nE nm mL

(5)

SKLEP: ENERGIJA JE KVANTIZIRANA!Posledica: črtasti spektri izsevane svetlobe!

Lastne funkcije so ortogonalne : * d 0a

m na

x x x

, če n m

Verjetnostna gostota:

0 x-a +a

23

22

21

02468

10121416

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Energijski nivoji Valovne funkcije

-a 0 a x

1

2

3

4 n x

2

2 2

8n

ma E

x

o Končna potencialna jama

0,

0,( )

a x aV x

V x a

o Klasična slika: energijski spekter je vedno zvezen

če je2

02xp V Vm

je delec vedno ujet v potencialni jami

najmanjša možna energija je lahko nič.

2

-a +a0

3

2

1

x

0V

Primer:HARMONSKI OSCILATOR

Potencialna energija:

Razvoj potencialne energije okrog točke x = a:

21' ''2

' je ni

č ker je minimum

'' je

V x V a x a V a x a V a

V a

V a k

212

V x V a k x a

Izhodišče koordinatnega sistema premaknem v minimum potencialne energije:

Čeizberemo:

00

V ain a

21

2V x k x Hook-ov zakon

o Schrödinger-jeva enačba brez časovne odvisnosti za potencialno energijo: 212

V k x :

x

V(x)

x

V(x)

a

22

22

12 2d x

k x x E xm dx

(1)

Uvedemo nove brezdimenzijske spremenljivke:

2E

(2)

kjer je12k

m

x , (3)

kjer je1 14 2

2

mk m

Ob upoštevanju definicij (2) in (3) sledi iz enačbe (1) :

2

22 0

dd

(4)

o Asimptotske oblika enačbe (9.5.4) za 2 :2

22 0d

d

(5)

Rešitev enačbe (5) za mora biti končna. Nastavek za splošno rešitev enačbe (5)zato napišemo v obliki:

2 2H e , (6)

kjer je H neznana funkcija. Nastavek (6) vstavimo v enačbo (4). Tako dobimo novoenačbo za H :

2d d2 1 0d dH H H , (7)

ki jo imenujemo Hermitova diferencialna enačba.

Rešitev Hermitove diferencialne enačbe so Hermitovi polinomi nH , kjer

2 1, 0,1, 2,3, 4,5,...n n (8)

Hermitovi polionomi:

0

1

22

33

4 24

1

2

4 2

8 12

16 48 12

H

H

H

H

H

Ob upoštevanju enačbe (8) in enačbe (2) sledi:

2 2 1E n

.

Iz enačbe (9) pa lahko izrazimo lastne energije:

1 , 0,1,2,3, ...2nE n n

, (10)

kjer km

.

1 , 0,1,2,...2nE n n

Lastne funkcije so torej: 2 2 , 0,1, 2,3n n nN H e n . (11)

Vrednosti normalizacijske konstante Nn določimo iz pogoja * d 1:n n

1 22 !n

nN n (12)

V x

h

x0E

1E2E3E4E

Verjetnostna gostota:

a) Primer: 2-atomna molekula, katere atoma sta vezana z efektivno interakcijsko silo, kijo opišemo v okviru Hookovega zakona z efektivno interakcijsko konstanto k:

reducirana masak integracijska konstanta

212

V x kx

1 , 0,1, 2,32nE n n

0

0

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

n = 1

n = 2

n = 0

2n

1 2

1 2

m mm m

k

r

1m

2m

12

,k

x

V(x)

r = a

V(r)

Tabela: Osnovne vibracijske frekvence in efektivna interakcijska konstanta za nekatere2-atomne molekule

molekula frekvenca absorbcijesvetlobe za prehod iz stanja

n=0 v stanje n=1

interakcijska konstanta k[N/m]

HF 138.72 10 Hz 970HCl 138.66 10 Hz 480HBr 137.68 10 Hz 410HI 136.69 10 Hz 320CO 136.42 10 Hz 1860NO 135.63 10 Hz 1530

Iz: G. M. Barrows, The Structure of Molecules, New York, W. A. Benjamin, 1963.