INTRODUCCION

El análisis de la luz polarizada y la determinación de parámetros ópticos característicos

de medios activos a la polarización, constituye un área de trabajo de la óptica que repercutió

desde hace tiempo en diversas ramas de la física de otras ciencias de la naturaleza. No

obstante, recientemente se ha apreciado un renovado interés en esta área, que se ha

concretado en la aparición de una nueva y abundante literatura. En el campo de la

elipsometría cabe destacar los trabajos de R.M.A. Azzam y N.M. Bashara, realizados en una

mayor parte con ayuda del formalismo matemático de R.C Jones y que han dado lugar a un

complejo tratado en el que se recogen las técnicas estáticas y dinámicas más modernas de

determinación de parámetros ópticos.

El estudio del comportamiento de medios ópticos activos a la polarización puede

abordarse en forma general por medio del formalismo Stokes-Mueller. Ahora bien, los

elementos de la matriz de Mueller asociada a un cierto medio óptico no dan por si solos

información directa de los parámetros relevantes en el comportamiento físico de dicho medio,

por lo que resulta conveniente realizar un estudio previo que permita hacer una calificación de

las matrices de Muller de acuerdo con las propiedades de los medios ópticos a que

corresponden, y que faciliten la extracción de parámetros con interpretación física directa a

partir de dichas matrices.

Para la realización de nuestro trabajo hemos considerado las aportaciones de

numerosos autores, quienes utilizan en sus trabajos diferentes formalismos de representación

y tratamiento para luz polarizada y los medios ópticos activos en ella.

FORMALISMO DE REPRESENTACIÓN DE LA LUZ POLARIZADA Y MEDIOS ÓPTICOS

De acuerdo con la teoría electromagnética de la luz, esta se propaga en el espacio en

forma de ondas electromagnéticas transversales, que matemáticamente se presentan como

soluciones de las ecuaciones de Maxwell, y pueden descomponerse en suma de ondas planas

monocromáticas.

Se define el vector luz como el vector campo eléctrico. Dicho vector está bien definido

para cada tipo particular de luz totalmente polarizada, y por lo tanto, la luz polarizada puede

describirse usando los conceptos del cálculo vectorial. Con esta descripción vectorial pueden

resolverse todos los problemas relativos a la propagación, refracción y reflexión de la luz

polarizada en medios ópticos. Sin embargo, los cálculos son frecuentemente muy complicados,

y hacen difícil la solución de dichos problemas. Existe un modelo matricial para cada

descripción de luz polarizada, que permite describir las propiedades ópticas de aquellos

medios materiales que afectan a la polarización de la luz que los atraviesa. La palabra

‘’atravesar’’ indica genéricamente los casos de transmisión y reflexión de la luz.

En general, los haces de luz son policromáticos. Una onda se dice que es

monocromática cuando solo contiene una frecuencia discreta de anchura espectral nula. Un

caso intermedio es cuando la línea espectral tiene un ancho muy pequeño pero no nulo, a

esta se le conoce como casi-monocromáticas.

VECTOR CAMPO ELECTRICO Y ELIPSE DE POLARIZACION

Con el objetivo de presentar una notación consistente y uniforme a lo largo de

nuestro trabajo, una onda plana monocromática uniforme que se propaga en un medio

homogéneo según el eje Z de un sistema cartesiano de referencia XYZ puede

expresarse de la forma

E=EX i⃗+Ey j⃗

Donde i⃑ , j⃑, son vectores unitarios en las direcciones x, y respectivamente y las

componentes vienen dadas por:

EX=AX cos(−wt+ 2πzλ

+δ x)=A X cos (v+δ x )

E y=A y cos(−wt+ 2πzλ

+δ x)=A X cos (v+δ y )

Con v=−wt+ 2 πzλ

De forma compleja

EX=AX ei (v+δ x)

EY=AY ei (v +δ y )

Los parámetros Ax, Ay son amplitudes según los ejes X e Y, λ es longitud de

onda, ω es la frecuencia angular y δ𝑥, δ𝑦 son constantes de fase.

E x2

A x2+

Ey2

A y2−2( Ex E y

Ax A y)cos δ=sin2 δ

Dicha ecuación representa una elipse denominada elipse de polarización, cuya

excentricidad y orientación de ejes en el plano XY depende de δ, pero no de t ni de z

Sea: αtan α=

A y

A x

Ecuacionesa. tan (2 x )=¿ tan (2α ) cos (δ )¿b. sin (2Ψ )=¿ sin (2α )sin (δ ) ¿c. cos (2α )=¿cos (2Ψ ) cos (2 x )¿

d. tan ( δ )=¿ tan (2Ψ )sin (2 X )

¿

Ψ la elipticidad de la elipse de polarización, y 𝑥 el azimuth del semieje de la

elipse con respecto a la dirección positiva del eje 𝑥.

CALCULO DE JONES

Un vector Jones es una vector columna compuesto de dos elementos complejos que son componentes E𝑥 y E𝑦 del vector luz E. el vector de Jones, en el caso más general de polarización elíptica es:

ε=(E x

E y)=e iu( Ax

A y)

Con: u=v+δ x+δ y

2

δ=δ y−δ x

En otros casos se usa el vector Jones normalizado de forma que la intensidad valga la unidad, es decir

ε t ε=A x2+A y

2=1

Dos estados de polarización de vectores de Jones Ɛ y Ɛ’, se dicen ortogonales cuando

ε t ε '=ε 't ε=0

Cuando la onda de luz monocromática como la dada por E=EX i⃗+Ey j⃗ atraviesa un medio óptico lineal que no produce efectos incoherentes, la onda emergente es una transformación lineal de ella del tipo

E 'X=A1 EX+A3E y

E ' y=A4 EX+A2E y

Donde A1, A2, A3, A4, son coeficientes complejos que dependen de la naturaleza del medio óptico. Por lo tanto, la transformación matricial

|E 'XE ' y|=|A1 A3

A4 A2||EX

E y|

Representado: ε '=Jε

Donde J es la matriz compleja

J=(A1 A3A4 A2)

A la matriz J se le denomina matriz de Jones asociada al medio óptico. Los elementos de J suelen denotar de dos formas alternativas, que son:

Ahora bien cuando denotemos una matriz con la letra J, se tratara de una matriz de Jones.

FORMALISMO DE STOKES MULLER

Un vector de Stokes es un vector columna compuesto por cuatro elementos reales S0, S1, S2, S3; que cuando corresponden un haz de luz totalmente polarizada, están definidos de la siguiente forma.

J=(J11 J12J21 J22)=(J 1 J3

J 4 J 2)

Por comodidad, utilizaremos abreviaturas para indicar los distintos formalismos. Usaremos JFC (formalismo de cálculo de jone).

FORMALISMO DE SKOES-MULLER

Presentamos a continuación en resumen del formalismo de vectores de Stokes y matrices de Müller. Al que denominaremos abreviadamente SMF (Stokes-Muller formalismo)

S0=EX E 'X+EY E 'Y

S1=EX E 'X−EY E 'Y

S2=EX E 'Y+EY E 'X

S3=i (EX E 'Y−EY E 'X )

Otra forma de escribir los parámetros de Stokes es:

S0=A x2+Ay

2

S1=Ax2−A y

2

S2=2 A x A ycos δ

S3=2 Ax A ysin δ

O también teniendo en cuenta

S0=I

S1=I cos2Ψ cos 2x=I cos2α

S2=I cos2Ψ sin 2 x=I sin α cosδ

S3=I sin 2Ψ=I sin 2α sin δ

Es de señalar que en este caso de luz totalmente polarizada se cumple la siguiente relación

S02=S1

2+S22+S3

2

En general, la luz se presenta como una superposición de gran número de trenes de ondas simples con fases independientes. La superposición incoherente de un numero cualquiera que

de haces de luz viene caracterizada por un vector de Stokes que es la suma de los vectores Stokes asociados a dicho haces. Los parámetros de Stokes del haz total son

S0=∑i

S0i; S1=∑

iS1

i; S2=∑i

S2i; S3=∑

iS3

i

S0= ⟨ Ax2+A y

2 ⟩S1=⟨ A x

2−A y2 ⟩

S2= ⟨2 A x A y cosδ ⟩S3= ⟨2 A x A y cosδ ⟩

} seconsideracomo definiciongeneral de parametrosdeStokes

por la siguiente condición(S02≥S1

2+S22+S3

2 )

En el caso de luz natural los promedios se anulan salvo S0, y el vector de Stokes correspondiente es

SN=(IN

000

)Un haz de luz parcialmente polarizada puede considerarse como la superposición incoherente de dos haces, uno de los cuales es de luz totalmente polarizada y el otro de luz no polarizada

S=SP+SN

Donde:

S=(S0S1S2S3

);SP=(IP

S1S2S3

);SN=(I N

000

)Con:

IP=√(S12+S22+S3

2 )IN=S0−I P

Se define el grado de polarización G de un haz de luz de un vector S como

G=IP

S0

Así mismo nos interesa definir la forma cuadrática semidefinida positiva

F=S02 (1−G2 )∧G=√(1− F

S02 )

Las magnitudes G y F adoptan valores en los siguientes rangos

0≤G≤1; 0≤ F≤S02

De forma que para luz totalmente polarizada G=1, F=0; y para luz natural G=0, F=S02.

Un vector de Stokes puede definirse en términos de intensidad total I, el grado de polarización G, el azimuth X y la elipticidad Ψ del haz de luz al que corresponde, en la forma

S=I (1

GCos 2ΨCos2 xGCos2ΨSin2 x

GSin2Ψ)

De esta expresión se deduce que el vector de Stokes contiene toda la información acerca de la elipse de polarización y del grado de polarización. Sin embargo. Al contrario que el vector de Jones, el vector de Stokes no contiene información acerca de la fase absoluta del haz de luz al que corresponde.

MEDIOS OPTICOS TIPO N

Denominamos formalismo de la matriz de coherencia (CMF), al que utiliza dicha matriz para representar el estado de polarización de la luz.

Consideramos un haz de luz de matriz de coherencia ꝭ=¿Ɛx ƐT >¿ que atraviesa un medio óptico de tipo N de matriz de Jones J. el haz emergente tendrá asociada una matriz de coherencia ꝭ 'tal que

ρ'= ⟨ ε ' x ε 'T ⟩=⟨Jε ' x εT J T ⟩=J ⟨εx ε T ⟩ JT=Jρ JT

MEDIOS OPTICOS DE TIPO G

Llamamos vectores coherencia o vector densidad D asociado a un haz de luz, al definido como

D= ⟨ Ex E ¿⟩=(⟨ Ax

2 ⟩⟨ A x A y e

−iδ ⟩⟨ Ax A ye

iδ ⟩⟨ Ay

2 ⟩ )Los elementos de D los denotamos de la siguiente forma

D=(D0

D1

D2

D3)

Y vienen denotados por los elementos ꝭ i de la matriz de coherencia asociada al mismo haz de luz del siguiente modo

d0=ρ1

d1=ρ3

d2=ρ4

d3=ρ2

Las dos ecuaciones igualdades pueden relacionarse de forma vectorial

S=U D∨D=U−1S

Donde U es la siguiente matriz unitaria

U=(1 0 0 11 0 0 −1001i

1 0−i 0

)Considerando un medio óptico de matriz de Muller asociada M, sobre el que incide un haz de luz de un vector de Stokes S y de vector de coherencia D. los vectores de Stokes S’ y de coherencia D’ al haz emergente han de cumplir.

D'=U−1S1=U−1MS=U−1M U D

Lo cual indica que para toda matriz de Muller M, existe una única matriz V tal que

V=U−1M U

D'=VD

Los elementos de la matriz están sometidos a la condición de hermeticidad =ꝭ ꝭ ꝭ T , es decir

ℑ ( ρ1 )=ℑ ( ρ2 )=0

ρ3¿=ρ4

Y por lo tanto ℑ (d0 )=ℑ (d3 )=0

d2¿=d1

Las componentes d i'(i=0, 1, 2,3) del vector D’, están sujetas también a las condiciones de la

igualdad anterior. esto implica que los 16 elementos complejos de una matriz V han de estar sometidos a un conjunto de 16 restricción, de forma que, en general, solo dependa de 16 parámetros independientes, al que la matriz de Mueller M.

Imponiendo las condiciones de la igualdad anterior a los vectores de D y D’, se comprueba que los elementos vij de la matriz V, están sujetos a las siguientes restricciones

v10=v10¿ v11=v22

¿

v01=v02¿ v21=v12

¿

v13=v23¿ v31=v32

¿

ℑ (v∞ )=ℑ (v03)=ℑ (v30 )=ℑ (v33 )=0

RELACIONES RELATIVAS A CARACTERIZACION DE LA LUZ

En el caso de luz totalmente polarizada es fácil comprobar que se cumple la relación.

S j=εT σ j ε

O bien de forma implícita:

S0=|ε1|2+|ε2|

2

S1=|ε1|2−|ε2|

2

S2=2 ε 1ε 2cos δ

S3=2 ε1ε 2sin δ

δ=(arg ε2−arg ε1 )

Recíprocamente

|ε1|2=12 (S0+S1 )

|ε2|2=12 (S0−S1 )

tan δ=S3S2

Las relaciones del vector de Jones con la matriz de coherencia y vector coherencia asociadas al mismo haz de luz totalmente polarizada, son las siguientes

ρ1=d0=|ε1|2

ρ2=d3=|ε2|2

ρ3=d1=ε1 ε2e−iδ

ρ3=d1=ε1 ε2 eiδ

Recíprocamente

|ε1|2=ρ1=d0

|ε2|2=ρ2=d3

δ=arg ρ4=−arg ρ3=arg d2=−arg d1

RELACIONES RELATIVAS A CARACTERISTICA DE MEDIOS OPTICOS

Un sistema óptico de tipo N tiene asociada una matriz de Jones J y también una de Mueller M. supongamos que sobre el sistema incide un haz de luz vector de Jones Ɛ y un vector Stokes S.

El haz emergente se caracteriza también por unos vectores de Jones y de Stokes Ɛ’ y S’ respectivamente.

ε ' x=∑l=1

2

J kl εl ;k=1 ,2

S 'i=∑j=1

3

mij S j ; i=0 ,1 ,2 ,3

ε 'T σ i ε'=∑

j=0

3

mij (εT σ i ε )∨ ε ' T σ i ε'=εT(∑j=0

3

mijσ i)ε⇒ ε 'T σ i ε

'=εT (JT σ i J ) ε

⇒ JT σ i J=∑j=0

3

mijσ i=0 ,1 ,2,3

La última expresión sirve para obtener los elementos de una matriz en función de la otra, como indicamos a continuación.

2m00=J ¿11J 11+J¿

12J 12+J ¿21 J21+J ¿

22 J 222m01=J¿

11J 11+J ¿21 J 21−J ¿

12 J12−J¿22J 22

2m02=J ¿11J 12+J ¿

21 J22+J ¿12 J 11+J ¿

22 J 212m03=i (J ¿

11J 12+J¿21 J22−J¿

12J 11−J ¿22 J21 )

2m10=J¿11J 11+J ¿

12 J12−J ¿21 J21−J¿

22J 222m11=J ¿

11 J11+J ¿22 J22−J¿

21 J21−J¿12J 12

2m12=J¿12J 11+J¿

11 J12−J¿22 J21−J¿

21J 222m13=i (J¿

11J 12+J¿22J 21−J¿

21J 22−J ¿12 J 11)

2m20=J ¿11J 21+J ¿

21 J11+J ¿12 J22+J ¿

22 J 122m21=J¿

11J 21+J¿21J 11−J ¿

12 J22−J¿22J 12

2m22=J ¿11J 22+J ¿

21 J12+J ¿12 J 21+J¿

22J 112m23=i (J¿

11J 22+J¿21 J12−J¿

12J 21−J ¿22 J 11)

2m30=i (J¿21 J11+J¿

22 J12−J¿11J21−J ¿

12 J22 )2m31=i (J¿

21 J11+J¿12J 12−J ¿

11 J21−J¿22 J12 )

2m32=i (J¿21 J12+J ¿

22 J11−J¿11 J22−J¿

12 J21 )2m33=J¿

22J 11+J¿11J 22−J ¿

12 J21−J¿21J 12

Y recíprocamente los elementos Jkl (k , l=1 ,2) en forma polar como

Jkl=|Jkl|ei θkl

Se puede probar que:

2|J 11|2=m00+m01+m10+m11

2|J 12|2=m00−m01+m10−m11

2|J 21|2=m00+m01−m10−m11

2|J 22|2=m00−m01−m10+m11

cos (θ12−θ11)=m02+m12

[ (m00+m10 )2− (m01+m11)2 ]12

sin (θ12−θ11)=−(m03+m13 )

[(m00+m10 )2−(m01+m11)2 ]12

cos (θ21−θ11)=m20+m21

[ (m00+m01)2− (m10+m11)

2 ]12

sin (θ21−θ11)=m30+m31

[(m00+m01 )2−(m10+m11)2 ]12

cos (θ22−θ11)=m22+m33

[ (m00+m11 )2−(m10+m01)2 ]12

sin (θ22−θ11)=m32+m23

[(m00+m11)2−(m10+m01 )2 ]

12

Es señalar que al pasar de la matriz de jones a la de Muller, se pierde la información acerca del retardo global que introduce el sistema óptico correspondiente.

Una forma más compacta de presentar es la siguiente:

M=(12 (α12+α 2

2+α32+α 4

2 )12 (α 12−α 2

2+α32−α4

2)β14+ β32γ 14+γ32

12 (α12−α 2

2−α 32+α 4

2 ) β13+β42 −γ 13−γ 42

12 (α12+α 2

2−α32−α 4

2 ) β13−β42 −γ13+γ 42

β14−β32 β12+β34 γ12+γ 34γ 14−γ32 γ 12+γ34 β12−β34

)

Donde

α i2=J i J i

¿=|J i|2, i=1 ,2,3 ,4

β ij=β ji=ℜ (J i J j¿ )=ℜ (J j J i

¿)

γij=γ ji=ℑ (J i J j¿)=ℑ (J j J i

¿)

i , j=1 ,2 ,3 ,4

Si a una matriz de jones le corresponde una matriz de Mueller M, esta tiene la forma y es inmediato comprobar que a las matrices de jones JT y J’T les corresponden las matrices de Mueller MT y M’ respectivamente, siendo M’ la matriz siguiente

M’=(m00 m10 m20 −m30

m01 m11 m21 −m31

m02

−m03

m12

−m13

m22 −m32

−m23 m33)

Que puede escribirse como:

M '=Q MT Q

Con:

Q=(1 0 0 00 1 0 00000

1 00 −1

)Donde la matriz Q es ortogonal, con det Q=−1 y no corresponde a ningún sistema óptico con entidad física real.

Vamos a buscar las relaciones entre la matriz de jones J con la matriz V asociada al mismo medio óptico tipo N.

V=J x J ¿

Es decir:

V=(J 1 J1

¿ J 1J3¿ J 3 J1

¿ J 3 J 3¿

J 1J 4¿ J 1J2

¿ J3J 4¿ J3 J 2

¿

J 4 J 1¿

J4 J 4¿

J 4J 3¿

J 4J 2¿

J 2 J1¿ J 2 J3

¿

J2J 4¿ J2 J 2

¿)Recíprocamente, obtenemos los elementos J i=|J i|ei θi en función de los elementos vij

|J1|2=v00 |J 2|

2=v33|J3|

2=v03 |J 4|

2=v30

θ1−θ2=arg (v11)=−arg (v22)θ1−θ3=arg (v01 )=−arg (v02 )θ1−θ4=arg (v10 )=−arg (v20 )

Nos damos cuenta de las relaciones que ligan las matrices M y V que corresponden a un mismo medio óptico tipo G.

Sabemos que V=u−1M u donde u es la matriz unitaria.

M=uV u−1

De forma explícita desarrollando obtenemos

V=12 (

m00+m01+m10+m11 m02+m12+i (m03+m13 ) m02+m12−i (m03+m13 ) m00−m01+m10+m11

m10+m21−i (m30+m31 ) m22+m33+i (m23+m32 ) m22−m33− i (m23+m32) m20−m31− i (m20−m31 )m10+m21+i (m30+m21 )m00+m01−m10−m11

m22−m33+i (m23+m32 )m02−m12+i (m03−m13 )

m22+m33−i (m23−m32) m20−m31+i (m20−m31)m02−m12−i (m03−m13 ) m00−m01−m10+m11

)Y recíprocamente

M=12 (

v00+v02+v10+v13 v00+v02+v10+v13 v01+v02+v31+v32 −i (v01−v02+v31−v32 )v00+v02−v10−v13 v00−v03−v20+v13 v01+v02−v31−v32 −i (v01−v02−v31+v32)v10+v12+v10+v13

i (v10+v12−v10−v13)v10−v13+v20−v13

i (v10−v20−v13−v23)v11+v12+v21+v32 −i (v11−v12+v31−v22)i (v11+v12−v21+v32 ) v11−v12−v31+v22

)POLARIZADORES PARCIALES

En forma JCF un polarizador parcial se caracteriza por matriz hermética con autovalores reales no negativos. Dichos autovalores son precisamente los coeficientes principales de transmisión en amplitud P1P2≠0.

Los coeficientes P1P2 se pueden tomar valores tales que

0≤P1≤1

0<P2<1

0<detH<1

La detH=P1 P2 vemos que

Esto significa que la matriz H tiene una inversa H-1 pero esta matriz no una matriz de jones pues bien

det H−1= 1det H

>1

Si al pasar la luz por un polarizador, se produce una pérdida de intensidad a la salida, la cual no puede ser compensada por ningún medio óptico pasivo. No obstante existe un medio óptico cuya matriz de jones es:

H '=λ H−1

Donde λ es un número real tal que λ<det H y por lo tano H H '=λI

En el formalismo JCF, un polarizador lineal queda representado por una matriz de jones HP que es referida a sus ejes en diagonal

H P=(P1 00 P2)

Entonces en el formalismo SMF, por una matriz de Mueller, Kp queda referida por sus ejes de la siguiente manera

K P=12 (

P12+P2

2 P12−P2

2 0 0P12−P2

2 P12+P2

2 0 000

00

2P1 P20

02 P1P2

)La matriz KP puede ponerse en la forma diagonal Kd por medio de una matriz C (matriz modal) del modo siguiente

K d=C K PC−1

K p=C−1 KdC

Donde Kd y C son:

K d=(P12 0 0 00 P2

2 0 000

00

P1P20

0P1 P2

)C=C−1= 1

√2 (1 1 0 01 −1 0 000

00

√20

0√2)

Polarizadores totales

Las matrices HT , KT asociados a un poalrizador total (lineal, circular o eliptico) en los formalizmos de JCF y SMF respectivaente, se caracterizan por tener nulo uno de sos autovalores y por lo tanto, son matrices singulares. Una propiedad interesante de HT , KTes

que son identidades . Estas matrices realizan el papel de proyectores en los espacios de Jones y de Stokes.

Un polarizador total lineal queda representado por una matriz de Jones

Y por lo siguiente la matriz de Mueller

Que puede escirbirse como

RETARDADORES IDEALES

La matriz de Mueller asociada a un retardo ideal (lineal, circular, eliptico), tiene la

propiedad de que deja invariante en el parámetro (intensidad), y produce un giro del

vector de Stokes en la esfera de Poincare. Ello permite escirbir de la siguiente forma:

Donde es una matriz de 3x3 asociada a una rotación genérica en el subespacio

que contiene las coordenadas

Un retardador ideal queda representado en el formalismo de JCF por una matriz unitaria

tal que , dicha matriz corresponde a una rotación de determinado angulo

del vector de Stokes en la esfera de Poincare, en torno a un cierto eje cuya dirección esta

dada por un vector unitaio , de donde podemos expresarlo de la siguiente manera

RETARDADORES NO IDEALES

Es conocido el hecho de que por efecto de las reflexiones internas multiple, todo retardador lineal presenta en realidad diferentes transmitancias para luz polarizada lineal según sus dos líneas neutras. el efecto es equivalente al producido por un retardador lineal ideal junto con un polarizador parcial lineal alineado con el, referida a sus propios ejes puede escribirse como:

Donde es el retardo de fase efectivo característico del reatardador, y son coeficientes principales de transmisión en amplitud según las líneas neutras del retardador.

La matriz obtenida a partir de

es la siguiente

Donde

Si el eje rápido del retardador presenta un angulo con el eje X de referencia, la matriz asociada al retardador bien dada por:

Descomposición polar

La matriz de Mueller de tipo N es y su homomorfo 2:1 es

, esta ecuación puede expresarse de la siguiente manera

, donde A es un elemento genérico del grupo .

Por consiguiente la Matriz y el homomorfo

, estas dos expresiones muestran un caso particular del teorema de descomposición polar de un operador lineal, donde toda matriz de Mueller se redefine de la

siguiente forma y toda matriz de Jones puede definirse de la

siguiente manera .

Donde , son siempre únicas y las matrices son únicas, salvo en el caso que M y J(Matriz de Mueller y Jones) sean singulares.

Teoremas

En la recopilación de trabajos clásicos clásicos de R. C. Jones se demuestran una serie de teoremas de equivalencia, establecidos para medios tipo N y para una longitud de onda dada.

C. Whitney genaraliza algunos de estos teoremas basandoise en la algebra de Pauli y en el teorema de descomposición polar de una matriz correspondiente a un operador lineal.

1. Un sistema óptico que contiene un numero cualquiera de retardadores (lineales, circulares o elípticos) es ópticamente equivalente a un retaradador elíptico.

2. Todo retardador elíptico es ópticamente equivalente a un sistema compuesto por dos retardadores lineales (no de modo unico).

3. Un sistema óptico compuesto por un numero cualquiera de retardadores (lineales, circulares o elipticos), es opticamnete equivalente a un sistema que contiene un

retardador lineal y un rotor.

4. Un sistema óptico compuesto por un numero cualquiera de retardadores (lineales, circulares o elipticos), es ópticamente equivalente a un sistema que contiene dos retardadores lineales.

5. Los polarizadores elíptico parcial (total) es ópticamente equivalente a un sistema formado por un polarizador parcial (total) lineal situado entre dos retardadores lenales iguales cuyos ejes son perpendiculares.

6. Teorema de reciprocidad en el formalismo CVFla matriz V asociada en el formalismo CVF a un sistema óptico que es atravesado por un haz de luz en un cierto sentido, debe transponerse en orden a obtener la matriz asociada al mismo sistema óptico, en el mismo formalismo, cuando este atravesando un haz de luz en el mismo sentido.

7. Teorema de reciprocidad en el formalismo SMF

sabemos que a una matriz de Jones J le corresponde cuando la luz pasa por sentido apuesto. Anterior mente vimos que para toda matriz J le corresponde una

matrices M y V, de manera analógica toda matriz le corresponde y estas pueden considerarse como sumas de matrices de tipo N

con de tipo N para tod

si la luz atraviesa el sistema el sistema en sentido opuesto, la matriz correspondientes serán

8. Torema general de equivalencia

cosideremos un sistema lineal formado por una sucesión de medio ópticos de tipo N, la matriz de Mueller M asociada al sistema equivalente se obtiene como producto ordenado de las matricez asociadas a los distintos medios siguientes

Para toda matriz ascociada a un medio óptico genérico cuyo eje principal

presenta un angulo respecto al eje X de referencia, se cumple las propiedades siguientes:

aplicando estas propiedades a la matriz de Mueller se optiene

Donde Para senos y cosenos lo definimos de la siguiente forma

Sustituyendo en la matriz tenemos las siguientes matricez

Tenemos cada matriz ahora bien para optener las componentes de la matriz de Mueller de la siguente ecuación desarrollamos la ecuación siguente

Ahora las componenetes de la matriz M son las siguientes

Resolviendo y reemplazando optenemos :

9. Teorema de descomposición polareste teorema habla sobre las propiedades de polarización de un medio óptico tipo N que viene dada por 7 parametros independientes, de los cuales 4 corresponden a un polarizador parcial equivalente y tres al retardador equivalente.

Dada la matriz de Jones asociada a un polarizador parcial de la forma donde C y S son:

Donde son coeficientes principales de transmisión de amplitud para los autoestados de polarización ortogonales invariantes

La nueva matriz de Jones será de la siguiente forma

Análogamente, la matriz de Mueller asociada ala mismo polarizador parcial elíptico es

Comparando las siguientes ecuaciones

Vemos que esta en un caso particular, pues corresponde a

El hecho de elegir se debe a que el sistema de Mueller depende de 8 parametros

de los cuales solo 7 son independientes, lo

que da la libertad en la elección de . Hallando los elementos de de la matriz M

De lo cual optenemos la siguente relacion

INDICES DE POLARIZACION Y DESPOLARIZACION

Dado un medio óptico O, este tiene asociadas dos matrices de Mueller , que corresponde a los dos sentidos en que la luz puede incidir sobre O.

Consideremos el conjunto de Stokes

Que demotaremos abreviadamente como

Cuando el medio óptico O es atravesado en sentido directo por un haz de luz cuyo vector de

Stokes asociado a tendrán un vector de Stokes para el cual la forma cuadrática toma el valor:

Los valores promedio de estas formas cuadráticas para cada dos vectores de Stokes asociados

a haces de luz de estados de polarización ortogonales son:

Lo cual el promedio total es

El factor nos da el promedio de los cuadrados de las intensidades de luz despolarizada

que emerge de para haces de luz de vectores de Stokes que indicen en sentido directo.

Para luz incidente en sentido directo podemos establecer que:

no despolariza la luz polarizada lineal según los ejes XY

no despolariza la luz polarizada lineal a grados con respecto a los ejes XY.

no despolariza la luz polarizada circular

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

Dispositivo de Analisis

La matriz de Mueller y el vector de Stokes , corresponden a un haz de luz emergente del

dispostivo cuyo vector de Stokes es un haz de luz problema, la cual tiene la siguiente relación:

Y la intensidad de luz emergente es

Donde

Según lo estudiado en un plano XYZ la luz se propaga en la dirección Z y el eje de polarización

del polarizador lineal que coincide con el eje X, con la condición y que es el angulo que forma el eje X en un instante incial.

Ahora la nueva ecuación seria

Los parámetros del vector de Stokes S correspondientes al haz de luz problema son

Calibrado

Una forma de optener parámetros es realizar un registro cuando incide el dispositivo un haz de luz polarizada lineal sobre el eje X de referencia

Los coeficientes de Fourier al análisis de la señal de intensidad de luz son

Los parámetros son definidos como

Eso permiete obtener del siguiente modo:

Bibliografía

“Statiscal behavior of the Q-factor in optical transmission systems due to the polarizacion mode dispercion” - Beltrame D., F. Matera, D. le Guen and M. Henry – ed. 2000

“Measurement of temporal variations in fiber transfer characteristics to polarization-mode dispersion’’ – Bahsoun S., J. Nagel and Poole – ed. 2007

‘’Solarizatiuon induced distortions in optical fiber netwoks’’- Huttner B., C. Geiser and Gisin –ed.2001

‘’Analyzer polarization mode dispertion ’’- Jackson K., A. bhat, V. Chandraiah, R. E. Frangmann and S. C. Mettler – ed. 2001

‘’A new calculus of the treatment of the optical systems and determinations of the matrix’’ – compilation Jones R. C. for Karlsson M. and J. Brentel and P. Anderkson – ed. 2000

‘’A new calculus of the treatment of the optical systems properties of the N-matrices’’ – compilation Jones R. C. for Karlsson M. and J. Brentel and P. Anderkson – ed. 2002