Polígonos

 

Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama lados.

La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos.

También se define como una poligonal cerrada.

El polígono más pequeño es el triángulo, que tiene tres lados y tres ángulos.

El polígono es la frontera que separa al plano en dos regiones: una que está dentro, llamada región interior del polígono y una exterior, llamada región exterior del polígono. El plano es la unión de estos tres subconjuntos.

 

Un polígono está formado por elementos básicos. Éstos son:

1. vértice

2. lado

3. ángulo interior

4. ángulo exterior

5. diagonal

 

 

 

 

1.  Vértice: es el punto de intersección de dos segmentos contiguos. Se designan con una letra mayúscula A, B, C, D...

                                    

2. Lados: es cada uno de los segmentos de recta que forman el polígono. Se designa con dos letras mayúsculas ubicadas en sus extremos, o con una letra minúscula en correspondencia con el vértice opuesto: AB = d, BC  =  e , CD =  a, DE = b, EA = c

3. Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados del polígono.  El ángulo interior se designa con una letra griega o con las tres letras mayúsculas de los vértices que correspondan.

                                

4. Angulo exterior: es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. Generalmente se designa con la letra griega del ángulo interior adyacente acompañada de un subíndice                   

                               

5.  Diagonal: es el trazo que une dos vértices no consecutivos del polígono.  Se designa con las dos letras mayúsculas correspondientes a los vértices que se unen, o por una letra d con subíndice: AC =d1, AD =   d2.

                            

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.

Elementos secundarios de un polígono

En todo polígono (el triángulo es un polígono) podemos obtener elementos secundarios como:

Bisectrices, se denomina bisectriz al rayo que dimidia al ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

Simetrales, la simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo.

Alturas, una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto.

Transversales, la transversal es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Medianas, son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo.

Ver Polígono inscrito y circunscrito.

Círculo y Circunferencia

 

Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse más o menos "redondeadas".

Desde la antigüedad, el hombre se ha inquietado por conocer cuál es el perímetro de una rueda o de un platillo circular, para esto ha utilizado su ingenio; por ejemplo, ideó un procedimiento para trazar un círculo sin compás. ¿Cómo funciona este procedimiento?

En primer lugar se requiere tener un cordel y dos estacas con punta; en segundo lugar, se determina un punto a partir del cual se trazará el círculo. A dicho punto se le identificará con el nombre de centro del círculo.

El cordel debe amarrarse a ambas puntas de las estacas y una de éstas se clavará en el punto escogido como centro. La otra estaca, con el cordel bien estirado marcará, entre el centro y la punta de la estaca, el radio del círculo que trazaremos haciendo girar la estaca hasta que se dibuje claramente, en el suelo o en la superficie elegida. la circunferencia.

Llamaremos círculo a la superficie interior que se encuentra limitada por la circunferencia trazada por el cordel

(Ver: Elementos de la circunferencia y del círculo

Ver, en Internet, apuntes gratuitos:

http://www.eneayudas.cl/apt.htm)

.

Si éste es un círculo, entonces, ¿qué es una circunferencia?

Una circunferencia es una línea curva y cerrada, en la cual todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro.

A partir del centro se había estirado un cordel al que se le identificó con el nombre de radio. ¿Qué es el radio?

Radio es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella.

Si el segmento de recta llamada radio se prolonga, se tendrán dos radios o bien un diámetro, entonces, ¿qué es un diámetro?

Diámetro es la recta que, pasando por el centro de la circunferencia, une dos puntos de ella.

Elaborados los conceptos de círculo y de circunferencia pensemos en el problema de cómo saber las medidas de una rueda.

Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda.

Si dividimos la longitud entre el diámetro de la rueda obtenemos un valor que es independiente del tamaño de la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamaño que sea, al dar una vuelta completa recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud entre el diámetro de la rueda siempre obtenemos el mismo valor.

Este hecho era conocido por los babilonios y ya se encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se conservan en el Museo Británico.

Esta relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es, posiblemente, la más popular de todas las constantes matemáticas: el número Π (pi). Dicho número, irracional, ha ocupado a generaciones de matemáticos y su atractivo perdura en nuestros días, y para fines prácticos se considera que su valor es de 3,1416.

Conocemos el valor del número Π, pero ¿cómo podríamos demostrar prácticamente que en todo círculo existe una relación constante entre el diámetro y la circunferencia.

Para hacerlo debemos operar de la siguiente manera:

Tomamos dos círculos (a y b), que son de diferente tamaño y diferente diámetro. Pero sabemos que en ambos casos el diámetro cabe tres veces y una pequeña fracción (equivalente más o menos a un séptimo) en toda la circunferencia.

Luego tomaremos dos trozos de cordel, cada uno del tamaño del diámetro de cada círculo, y con ellos podremos comprobar lo anterior al colocarlos en forma sucesiva sobre las circunferencias.

Una vez comprobado lo anterior, y sabiendo que el valor representado con la letra griega Π es de 3,1416, tenemos que:

El perímetro del círculo o bien la longitud de la circunferencia será siempre igual al producto de Π (pi) por el diámetro de la misma. O bien, será igual al producto de Π por el doble del radio.

Quedando la fórmula de la siguiente manera:

Veamos ahora cómo se utiliza el valor de Π (pi)

Problema:

La boca de un pozo mide 0,75 metro de radio, ¿cuál es su perímetro?

P = Π d                                         P = 2 Π r

d = 2 r = 2 (0,75) = 1,50 m             P = 2 (3,1416) (0,75)

P = (3,1416) (1,50)                       P = (6,289) (0,75)

P = 4,71 m                                    P = 4,71 m

De esta manera se tiene que la longitud de la boca del pozo es de 4,71 m.

Ver: Elementos de la circunferencia y del círculo

Ver, en Internet, apuntes gratuitos:

http://www.eneayudas.cl/apt.htm

COLEGIO PARTICULAR LEONARDO DA VINCI

UNIDAD ACADÉMICA II

CALAMA

PROFESORA: Rossana Herrera C.

Contenido : Circunferencia (área y perímetro).

I. Ítem de desarrollo (15 puntos)

Nombre: ………………………….. Curso: 8° A B Fecha: 14/06/2006

Para realizar cada uno de los ejercicios. Considera π = 3.

1. Lee y luego responde.

Cuando realizaste la actividad del cordel (ver figura). ¿Qué relación o razón estableciste entre el largo de una circunferencia y la medida de su diámetro? Explica.

(1 punto)

2. Calcula el perímetro de cada circunferencia, sabiendo la medida del

radio (r).

a) r = 25 cm ► ___________ d) r = 15 m ► ___________

b) r = 55 cm ► ___________ e) r = 10 km ► ___________

c) r = 30 m ► ___________ f) r = 22 km ► ___________

(3 puntos)

3. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida del

perímetro (P).

a) P = 18 cm ► ___________ c) P = 30 m ► ___________

b) P = 24 cm ► ___________ d) P = 12 m ► ___________

(2 puntos)

4. Calcula el área de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r).

a) r = 4 cm ► ___________ d) r = 11 m ► ___________

b) r = 8 cm ► ___________ e) r = 12 km ► ___________

c) r = 9 m ► ___________ f) r = 15 km ► ___________

(3 puntos)

5. Calcula el radio de cada círculo, sabiendo la medida del área (A).

a) A = 12 cm2 ► _________ c) A = 27 m2 ► _________

b) A = 300 cm2 ► _________ d) A = 48 m2 ► _________

(2 puntos)

6. Observa la figura. Luego calcula área y perímetro de ambas circunferencias y/o círculos, según corresponda.

G F

E D

20 cm

10 cm

A B C

20 cm 10 cm

Perímetro circunferencia menor ► _________

Perímetro circunferencia mayor ► _________

Área circunferencia menor ► _________

Área circunferencia mayor ► _________

(4 puntos)Puedes utilizar este espacio para hacer tus cálculos.

Contenido : Superficies y volúmenes.

I. Ítem de desarrollo (15 puntos)

1. Calcula la superficie total de los siguientes poliedros.

Nombre: ………………………………..….. Curso: 8 A Fecha: 19/10/2006

Lee atentamente cada una de las preguntas y revisa tus respuestas antes de entregar la evaluación.

10 cm

10 cm 6 cm

15 cm

27 cm 5 cm

8 cm

ST ► ST ►

(6 puntos)

2. Calcula el volumen de los siguientes prismas.

12 m 2 m

2 m

4 m 6 m

2 m

V ► V ►

(4 puntos)

3. Observa la figura que muestra una pirámide de base cuadrada. Luego responde las preguntas.

Determina el volumen de la pirámide de la figura.

(5 puntos)

Determina la superficie de la pirámide de la figura.

(5 puntos)

4. Determina la superficie y el volumen de una esfera de diámetro 12 cm.

(5 puntos)

Lee y luego responde las preguntas 5, 6 y 7.

“Una figura esta compuesta por un cubo de arista 12 cm, un cilindro y un cono. Uno sobre otro, coincidiendo todas las bases y alturas”

5. ¿Cuál es el volumen del cono?

(5 puntos)

6. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

(5 puntos)

7. ¿Cuál es el volumen del cono?

(5 puntos)

¡Da lo mejor de ti!

Capítulo 10:

 Ejercicios prácticos

En esta unidad didáctica le adjuntamos algunos ejercicios para que practique los conceptos que hemos tratado durante este curso. Veamos:

1.Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º. Seleccione una respuesta:

a)60º

b)32º

c)42º

2.¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta:

a)Rectángulo

b)Acutángulo

c)Obtusángulo

3.¿Qué es un paralelogramo? Seleccione una respuesta:

a)Polígono de cuatro lados iguales dos a dos

b)Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos

c)Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos

4. ¿Qué es el diámetro? Seleccione una respuesta:

a)Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro

b)Segmento que une dos puntos de la circunferencia

c)Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia

5.Calcula el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es 22,6 cm. Seleccione una respuesta:

a)141,928 cm

b)140,753 cm

c)137,053 cm

6.Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Halla la longitud de la hipotenusa. Seleccione una respuesta:

a)7

b)6

c)5

7.Halla la circunferencia de un círculo de 8,74 cm de radio. Seleccione una respuesta:

a)60,3

b)54,9

c)44,8

8.Halla el área del círculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida de su radio. Seleccione una respuesta:

A)300 cm cuadrados

b)205 cm cuadrados

c)240 cm cuadrados

9.Halla el área de un rectángulo de 3 y 7 cm. Seleccione una respuesta:

a)32

b)21

c)18

10.Halla el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una respuesta:

a)3

b)6

c)4

Geometría plana. Ejercicios

1Determinar e l lado de un t r iángulo equ i lá tero cuyo per ímetro es igua l a l de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán igua les sus áreas?

2Calcu lar e l área de un t r iángulo equ i lá tero inscr i to en una c i rcunferenc ia de rad io 6 cm.

3Dado un t r iángulo equ i lá tero de 6 m de lado, ha l lar e l área de uno de los sectores determinado por la c i rcunferenc ia c i rcunscr i ta y por los rad ios que pasan por los vér t ices .

4Determinar e l área de l cuadrado inscr i to en una c i rcunferenc ia de long i tud 18.84 m.

5 En un cuadrado de 2 m de lado se inscr ibe un c í rcu lo y en este c í rcu lo un cuadrado y en este ot ro c í rcu lo . Ha l lar e l área comprendida entre e l ú l t imo cuadrado y e l ú l t imo c í rcu lo .

6 Ca lcu lar e l área de la corona c i rcu lar determinada por las c i rcunferenc ias inscr i ta y c i rcunscr i ta a un cuadrado de 8 m de d iagonal .

7 En una c i rcunferenc ia de rad io igua l a 4 m se inscr ibe un cuadrado y sobre los lados de este y hac ia e l exter ior se construyen t r iángulos equ i lá teros . Ha l lar e l área de la est re l la as í formada.

8 E l per ímetro de un t rapec io i sósce les es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respect ivamente. Ca lcu lar los lados no para le los y e l área.

9 S i los lados no para le los de un t rapec io i sósce les se pro longan, quedar ía formado un t r iángulo equ i lá tero de 6 cm de lado. Sab iendo que e l t rapec io t iene la mi tad de la a l tura de l t r iángulo , ca lcu lar e l área de l t rapec io .

10 E l área de un cuadrado es 2304 cm². Ca lcu lar e l área de l hexágono regu lar que t iene su mismo per ímetro .

11 La super f ic ie de una mesa está formada por una parte centra l cuadrada de 1 m de lado y dos semic í rcu los adosados en dos lados opuestos . Ca lcu la e l área.

12Hal lar e l área de un sector c i rcu lar cuya cuerda es e l lado de l t r iángulo equ i lá tero inscr i to , s iendo 2 cm e l rad io de la c i rcunferenc ia .

13 Ha l lar e l área de l sector c i rcu lar cuya cuerda es e l lado de l cuadrado inscr i to , s iendo 4 cm e l rad io de la c i rcunferenc ia .

14Dadas dos c i rcunferenc ias concéntr icas de rad io 8 y 5 cm, respect ivamente, se t razan los rad ios OA y OB, que forman un ángulo de 60° . Ca lcu lar e l área de l t rapec io c i rcu lar formado.

15Calcu la e l área sombreada, sab iendo que e l lado de cuadrado es 8 cm y e l rad io de l c í rcu lo menor mide 2 cm.

16Calcu la e l área de la parte sombreada, s i e l rad io de l c í rcu lo mayor mide 6 cm y e l rad io de los c í rcu los pequeños mide 2 cm.

17 Ca lcu la e l área de la parte sombreada, s iendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de c i rcunferenc ia de centros B y D.

18A un hexágono regu lar 4 cm de lado se le inscr ibe una c i rcunferenc ia y se le c i rcunscr ibe ot ra . Ha l lar e l área de la corona c i rcu lar as í formada.

19 En una c i rcunferenc ia una cuerda de 48 cm y d is ta 7 cm de l centro . Ca lcu lar e l área de l c í rcu lo .

20Los catetos de un t r iángulo inscr i to en una c i rcunferenc ia miden 22.2 cm y 29.6 cm respect ivamente. Ca lcu lar la long i tud de la c i rcunferenc ia y e l área de l c í rcu lo .