polinomi, linearne jednačine i nejednačine

1

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac polinoma NZD polinoma P i Q je polinom D koji ima najveći stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZS polinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1: Nadji NZS i NZD za polinome:

23)(

2)(4)(

2

2

2

+−=

−−=

−=

xxxRxxxQ

xxP

Prvo moramo svaki od njih rastaviti na činioce (naravno , upotrebom postupka navedenog u poglavlju : Transformacije algebarskih izraza).

)2)(1()1(2)1(2223)()1)(2()2(1)2(222)(

)2)(2(24)(

22

22

222

−−=−−−=+−−=+−=

+−=−+−=−+−=−−=

+−=−=−=

xxxxxxxxxxxRxxxxxxxxxxxQ

xxxxxP

NZD je ustvari ‘PRESEK’, odnosno ‘onaj’ koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to očigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je ‘unija’. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2: Nadji NZS I NZD za polinome :

22

22

2

2 babaRbaQabaP

+−=

−=

−=

222

22

2

)(2))((

)(

bababaRbababaQ

baaabaP

−=+−=

+−=−=

−=−=

NZD = →− )( ba jer ga ima u sva tri NZS = →+− )()( 2 babaa deljiv sa sva tri

2

________________________________________________________________

22333

22

222

)24)(2()2(8)2)(2(4

)2(44

babababababababa

bababa

+−+=+=+

+−=−

+=++

Primer 3: Nadji NZS I NZD za polinome:

2

2

yxyBxyxA

+=

−=

__________

)()(

yxyByxxA

+=−=

⇒ NZS = ))(( yxyxxy +−

Šta ćemo sa NZD? Nema činioca koji se sadrži u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kažemo da su uzajamno prosti. Primer 4: Nadji NZS I NZD za polinome:

________________________

2

2

2530910036

159

=−+−

=−

=+

aaa

a

____________________________________________________________________

222

22

)53()25309(25309)53)(53(4)259(410036

)53(3159

−−=+−−=−+−

+−=−=−

+=+

aaaaaaaaa

aa

NZS 2)53)(53(12 −+−= aa Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS )24)(2()2( 222 babababa +−−+= Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome:

__________________________________

22

234

23

)4(31232020512123

=−=−

=++

=+−

xnnnxxxxxxx

3

__________________________________________________________

22

2222234

2223

)2)(2(3)4(3123)2(5)44(520205

)2(3)44(312123

+−=−=−

+=++=++

−=+−=+−

xxnxnnnxxxxxxxxx

xxxxxxxx

NZS 222 )2()2(15 +−= xxnx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome:

______________________________________________________________________

2223

2223

22244

)1)(1()1(1)1(1)1)(1()1(1)1(1

)1)(1)(1(2)1)(1(2)1(222

+−=−+−=++−

++=+++=+++

++−=+−=−=−

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaa

NZS )1)(1)(1(2 2 ++−= aaa Kako upotrebiti NZS? 1) Uprosti izraz:

=+

−−

+− ab

baaba

bbab

a22 najpre treba svaki imenilac rastaviti na činioce=

=+

−−

+− ab

babaa

bbab

a)()(

zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je )( baab − i izvršimo

proširenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proširimo? Gledamo imenilac i NZS, šta je ‘’višak’’,sa tim proširimo. Tako prvi sabirak širimo sa a , jer je ‘’višak’’ kad gledamo )( baab − i )( bab − drugi sa b a treći sa )( ba − . Dakle:

)(2

)(2

)()()(

)())((

222222222

baab

baabb

baabbaba

baabbababaab

bababbaa

−=

−=

−+−+

=−

−−+=

=−

−+−⋅+⋅=

Pre početka (ili po završetku) rada treba postaviti uslove zadataka. Pošto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj.

;0≠a ;0≠b baba ≠⇒≠− 0

2) Uprosti izraz: xxxxx +

+−

+− 222

11

21

=+

++−

+−

=+

+−

+− )1(

1)1)(1(

2)1(

111

21222 xxxxxxxxxxx

šta je problem?

Izrazi )1( x+ i )1( +x nisu, jer važni komutativni zakon )( ABBA +=+ , ali izrazi

)1( −x i(1-x) jesu. Taj problem ćemo rešiti tako što jedan od ta dva izraza ‘’okrenemo’’ i izvučemo minus ispred, jer važi da je )( ABBA −−=−

4

0)1)(1(

0)1)(1(121

)1)(1()1(12)1(1

)1(1

)1)(1(2

)1(1

=+−

=

+−−+−+

=

+−−+−+⋅

=

=+

++−

−−

=

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

Naravno, uslovi zadatka su:

;0≠x ;101 ≠⇒≠− xx 101 −≠⇒≠+ xx 3) Uprosti izraz:

212

46

21

2 −−

−−

+++

aa

aa

aa

=−−

−−

+++

212

46

21

2 aa

aa

aa

=−−

−+−

+++

212

)2)(2(6

21

aa

aaa

aa

=+−

++−+−+)2)(2(

)2)(12(6)2)(1(aa

aaaaa Pazi na znak ispred zagrade!!!

Uvek pokušaj da na kraju rastaviš i brojilac, jer možda ima nešto da se ‘’skrati’’!!! Uslovi zadatka su:

202202

≠⇒≠−−≠⇒≠+

aaaa

=+−

+−)2)(2(

22

aaaa

2+−

aa

=+−

++−−+−+−)2)(2(

242622 22

aaaaaaaaa

=+−

−−+−+−+−)2)(2(

)242(6)22( 22

aaaaaaaaa

=+−

−−)2)(2(

)2(aa

aa

5

4) 23

12213

1 2 +−+

+−−

−− xx

xxx

xx =?

=+−

++

−−

−− 23

12213

1 2 xxx

xx

xx

Izdvojićemo i rastaviti ‘’na stranu’’

)1)(2()2(1)2(2223 22 −−=−−−=+−−=+− xxxxxxxxxx

=−−

++

−−

−− )1)(2(

12213

1 xxx

xx

xx

=−−

++−−−−)2)(1(

)12(1)1)(13()2(xx

xxxxx Pazi na minus!!!

=−−

+++−−−−)2)(1(

12)133(2 22

xxxxxxxx

=−−

++−++−−)2)(1(

121332 22

xxxxxxxx

=−−

+−)2)(1(

42 2

xxxx

12

)2)(1()2(2

−−

=−−−−

xx

xxxx

Uslovi zadatka:

202101≠⇒≠−≠⇒≠−

xxxx

5) 25

22510

12510

1222 −

++−

+++ xxxxx

=?

=−

++−

+++ 25

22510

12510

1222 xxxxx

22

2

22

2

22

22

22

222

22

222

22

)25(4

)5()5(4

)5()5(502502

)5()5()25(225102510

)5()5()25(2)5(1)5(1

)5)(5(2

)5(1

)5(1

−=

−+=

=−+−−+

=−+

−+++++−

=−+

−⋅++⋅+−⋅

=+−

+−

++

xx

xxx

xxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxx

6

Uslovi zadatka: 505

505≠⇒≠−−≠⇒≠+

xxxx

Množenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod običnih razlomaka, s tim da prvo moramo ‘’svaki’’ rastaviti na činioce. Dakle:

DBCA

DC

BA

⋅⋅

=⋅ i CD

BA

DC

BA

⋅=:

1) =+++

⋅−−

aaaa

aaa

2

2

2

2 121

? prvo ‘’svaki’’ rastavimo na činioce !!!

=++

⋅+−

−)1(

)1()1)(1(

)1( 2

aaa

aaaa ’’Skratimo’’

DC

BA⋅

111

11

=⋅=

Uslov zadatka: 012 ≠−a i 02 ≠+ aa

1≠a , 1−≠a 0, ≠a

2) =+

⋅−−

ababba

abaaba 22

2

2

babaab

baabbaabaa

−=−

=+

⋅+−

1)(

)()(

Uslov zadatka: 0,0,0 ≠+≠≠ baba

3) =−+

−−

95:

325

2

2

2

2

xxx

xxx ?

=+−

+−+−

)3)(3()5(:

)3()5)(5(

xxxx

xxxx

2

)3()5()5(

)3)(3()3(

)5)(5(x

xxxx

xxxx

xx +⋅−=

++−

⋅−+−

Uslovi: 03,03,0 ≠+≠−≠ xxx

3,3 −≠≠ xx

4) 42

44

2

22

21:

21 mmba

mmba

+−−

+++ =?

=+−

−++

+42

44

2

22

21:

21 mmba

mmba

7

))(()1(

))()(()1()1(

)1(

)1())((:

)1(2

22

22

2

22

22

2222

2

22

babam

bababamm

mba

mbaba

mba

+−−

=++−

+−⋅

++

=−

+−++

Uslov zadatka: ,1,, ≠−≠≠ mbxbx ,1−≠x

5) acbcaabcba

22

222

222

+−++−+ =?

=+−++−+

acbcaabcba

22

222

222

’’pretumbajmo’’ ih prvo

=−++−++

222

222

22

bcacacbaba prva tri čine ‘’pun’’ kvadrat

=−+−+

22

222

)()(

bcacba upotrebimo sad razliku kvadrata

bcacba

bcabcacbacba

−+−+

=++−+++−+

))(())((

Uslov: 0≠−+ bca i 0≠++ bca

6) Skrati razlomak: 2365

2

2

+−+−

xxxx

=+−+−

2365

2

2

xxxx =

+−−+−−22623

2

2

xxxxxx

13

)1)(2()2)(3(

)2(1)2()3(2)3(

−−

=−−−−

=−−−−−−

=xx

xxxx

xxxxxx

Uslov: 02 ≠−x 01≠−x

7) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−+ x

yyx

xyxy

yxxyyx 2:2

22 ?

yxyxxy

yxxyyx

xyyxyx

yxxyyxyx

xyyxyx

yxxy

yxxyyx

+=

−⋅

+−

=+−

++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−+

1)()(

)(

2:)(

2

2:)(

2)(

2

2

2222

22

Uslovi: ,0≠x ,0≠y ,0≠+ yx 0≠− yx

8

8) =−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++

− 24:

44

236 2 aa

aa

aa

aa

=−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++

+− 2

4:)2)(2(

42)2(3 a

aaa

aa

aa

a

PAZI: Moramo a−2 da okrenemo: )2(2 −−=− aa , pa (-) izlazi ispred!!!

)4(32

)4)(2(3)2(2

)4)(2(342

)4)(2(312632

42

)2)(2(312)2(3)2(

42

)2)(2(4

2)2(3

2

22

−=

−++

=−+

+

=−+

+−+−−

=−−

⋅+−

+−++−

=−−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++

+−

−

aa

aaaa

aaaa

aaaaaaa

aa

aaaaaaa

aa

aaa

aa

aa

Uslovi: ,2≠a ,2−≠a 4≠a

9) Uprosti izraz: =+

++

++

++

++

+− 16842 1

161

81

41

21

11

1xxxxxx

Ovaj zadatak ne možemo rešiti ‘’klasično’’, probajmo da saberemo prva dva:

212

)1)(1(11

11

11

xxxxx

xx −=

+−−++

=+

+−

Dodajemo mu treći sabirak:

44

22

22

22

22 14

12222

)1)(1()1(2)1(2

12

12

xxxx

xxxx

xx −=

−−++

=+−−++

=+

+−

Ovo radi!!!

824

22

44 18

)1)(1(4444

14

14

xxxxx

xx −=

+−−++

=+

+−

Idemo dalje:

1688

88

88 116

)1)(1(8888

18

18

xxxxx

xx −=

+−−++

=+

+−

Konačno:

321616

1616

1616 132

)1)(1(16161616

116

116

xxxxx

xx −=

+−−++

=+

+−

9

Uslovi: 01 ≠− x i 01 ≠+ x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c i d

)(4

11:

11

4caabcb

ba

cb

a ++−

++

+

=++

−+

++ )(

41

1:

11

4caabcb

ba

cb

a

=++

−+

++ )(

41

1:

11

4caabcb

bab

cbca

Pazi: BCAD

DCBA

=

=++

−+

++ )(

41

:

1

4caabcbab

b

bcca

=++

−+

⋅

+++ )(

41

1

4caabcbb

ab

bccaabc

=++

−+

⋅++

+)(

41)1(4caabcbb

abcaabc

bc

=++

−++++

)(4

)()1)(1(4

caabcbcaabcbabbc Izvučemo gore 4 kao zajednički

[ ]

=++

−++)(

1)1)(1(4caabcb

abbc

[ ] 4

)()(4

)(114 2

=++++

=++

−+++acabcbacabcb

caabcbabbccab

10

11) Ako je 0=++ cba dokazati da je abccba 3333 =++ Dokaz: Podjimo od 0=++ cba cba −=+ kubirajmo ovo 33 )()( cba −=+ 33223 33 cbabbaa −=+++

−−−−−−−−−−−

cbacbaabba −=+→−=+++ 333 )(3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo…

abccba

cabcba3

3333

333

=++

−=−+

12) Ako je 0111=++

cba Dokazati da je:

3−=++

++

+c

bab

aca

cb

Dokaz: Podjimo od:

cabab

cba1

111

−=+

−=+

cabba −=+ / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka

Slično će biti:

2

2

bca

bac

abc

acb

−=+

−=+

=+

++

++

cba

bac

acb

=−−− 222 cab

bac

abc Priširimo ih redom sa ,a b i c

=−−− 333 cabc

babc

aabc izvučemo abc−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= 333

111cba

abc Ajde ovo da nadjemo!!!

3/()111cba

−=+

33223

111131131cbbabaa

−=+⋅⋅+⋅⋅+

2cab

cba

−=+

11

333

111311cbaabba

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

333

11311ccabba

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅++

333

1311cabcba

−=−+

abccba3111

333 +=++ Vratimo se u zadatak:

33

111333

−=⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

abcabc

cbaabc

Malo je zeznuto, pa proučavajte pažljivo!

1

VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE

Brojevi 1x i 2x su rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax ako i samo ako je

abxx −=+ 21 i

acxx =⋅ 21

Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja 1x i 2x napravimo kvadratnu jednačinu: 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxx ili bi možda bilo preciznije

[ ] 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxxa najčešće se ovde uzima 1=a , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) 2,3 21 −== xx b) Jedno rešenje je ix 211 += a) ,31 =x 22 −=x

6)2(31)2(3

21

21

−=−⋅=⋅+=−+=+

xxxx

Formula je 0)(6

21

1

212 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅++−−32143421xxxxxxa

Pa je [ ] 062 =−− xxa najčešće se uzima ______

1=a ⇒ 062 =−− xx

b) ix 211 += , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: ix 212 −=

www.matematiranje.com

2

=−=−=−⋅+=⋅

=−++=+222

21

21

41)2(1)21()21(22121

iiiixxiixx

(pošto je 12 −=i ) 541 =+= Zamenimo u formulu: 0)( 2121

2 =⋅++− xxxxxx 0522 =+− xx je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini 0)13(2 =++− mxmmx odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: 521 =+ xx Rešenje: Kako je 521 =+ xx ⇒ Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za 1x i 2x jednačine: 0)1(342 =−+− kxx važi 03 21 =− xx

Rešenje: 414

21 =−

−=−=+abxx

_________________21

21

034

⎭⎬⎫

=−=+

xxxx

rešimo kao sistem

__________________

21

21

034=+−

=+xx

xx

3144 122 =⇒=⇒= xxx

Kako je 2111

)1(31321 =⇒=−⇒−

=⋅⇒=⋅ kkkacxx


mcmb

ma

=+−=

=)13(

mm

mmxx

abxx

13)13(21

21

+=

+−−=+

−=+

21

12153

513

513

=

−=−−=−

=+

=+

m

mmm

mmm

m

)1(34

1

−=−=

=

kcba

3

Primer 4: U jednačini 0)1(2 =++− mxmx odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost 102

221 =+ xx

Rešenje: Ovaj izraz 2

221 xx + → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo

je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: 2

22121

221 2)( xxxxxx ++=+

Odavde je: 2 2 2

1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + − ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: 102)(10 21

221

22

21 =−+⇒=+ xxxxxx

33

9

9110

10212102)1(

2

1

2

2

2

2

−==±=

=

−=

=−++

=−+

mmm

mm

mmmmm

Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine 02 =++ qpxx tako da

njena rešenja budu qxpx

==

2

1

Rešenja:

⇒ ⇒⎭⎬⎫

=⋅−=+

qqppqp

002

=−=+

qpqqp


mcmb

a

=+−=

=)1(

1⇒

1 2

1 2

( 1) 11

1

b mx x ma

c mx x ma

− ++ = − = − = +

+ = = =

qcpb

a

=⇒=

= 1

qacxx

ppabxx

==⋅

−=−=−=+

21

21 1

4

Iz druge jednačine sistema: 0)1(0 =−⇒=− pqqpq pa je q = 0 ili 1=p Za ⇒= 0q vratimo u prvu jednačinu: 000202 =⇒=+⇒=+ ppqp Za 202021 −=⇒=+⇒=+⇒= qqqpp Dakle ta kvadratna jednačina je:

02 =++ qpxx ⇒ 02 =x za 0=p i 0=q ⇒ 022 =−+ xx za 1=p ∧ 2−=q

Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: cbxax ++2 gde su →cba ,, brojevi i 0≠a . Brojevi ba, i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su 1x i 2x rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax onda je:

))(( 212 xxxxacbxax −−=++

Primer1: Kvadratni trinom: a) 652 ++ xx b) 222 ++ xx rastaviti na činioce. a) 0652 =++ xx najpre rešimo kvadratnu jednačinu: Formula: )2)(3()2)(3(1))(( 21 −−=−−=−− xxxxxxxxa Dakle: )2)(3(652 −−=++ xxxx www.matematiranje.com

65

1

=−=

=

cba

1242542

=−=−=

DD

acbD

23

215

2

2

1

2,1

==

±=

±−=

xx

aDbx

5

b) 0222 =++ xx ⇒ 2,2,1 === cba 484 −=−=D

)1)(1(1))(( 21 ixixxxxxa ++−+=−− Dakle: )1)(1(222 ixixxx ++−+=++

Primer 2: Skratiti razlomak: 12712823

2

2

−−−+

xxxx

Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.

0823 2 =−+ xx

Dakle: )2)(34(3))((823 21

2 +−=−−=−+ xxxxxxaxx

012712 2 =−− xx

Dakle: 21 2

4 312 7 12 ( )( ) 12( )( )3 4

x x a x x x x x x− − = − − = − +

Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com

ixix

iix

−−=+−=

±−=

±−=

11

2)1(2

222

2

1

2,1

823

−===

cba 2 4

4 4 3 84 96100

D b acDDD

= −= + ⋅ ⋅= +=

26

10234

68

6102

6102

2

2

1

2,1

2,1

−=−−

=

==+−

=

±−=

±−=

x

x

x

aDbx

127

12

−=−=

=

cba 2 4

4 4 3 ( 12)49 576625

D b acDDD

= −= − ⋅ ⋅ −= +=

1,2

1,2

1

2

27 25

247 25 32 4

24 24 37 25 18 3

24 24 4

b Dxa

x

x

x

− ±=

±=

+= = =

−= = − = −

6

2

2

33 2 8

12 7 12x xx x+ −

=− −

4( )3

x − ( 2)

12

x +

4( )3

x −

233 4( )( ) 44

x

xx

+=

++

Naravno uz uslov

34

034

≠

≠−

x

x i

43

043

−≠

≠+

x

x

Primer 3: Skratiti razlomak: 32

12

3

−−+xx

x

Rešenje: 0322 =−− xx Dakle: )1)(3())1()(3(1())((32 21

2 +−=−−−=++=−− xxxxxxxxaxx

→+13x ćemo rastaviti po formuli: 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + − + VIDI POLINOMI

pa je: )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx Vratimo se u razlomak:

3

2

( 1)12 3

xxx x

++=

− −

2( 1)( 3) ( 1)

x xx x

− +

− +

2 13

x xx− +

=−

naravno uz uslov 3

03≠

≠−xx

i 1

01−≠≠+

xx

U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:

realna i pozitivna ⇔ ,0≥D 0,0 ><ac

ab www.matematiranje.com

32

1

−=−=

=

cba

16124

42

=+=−=

DD

acbD

13

2422

2

1

2,1

2,1

−==

±=

±−=

xx

x

aDbx

7

2) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:

realna i negativna ⇔ ,0≥D 0,0 >>ac

ab

Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je 0≥D

→ abxx −=+ 21 i

acxx =⋅ 21

1) 1x i 2x pozitivna ⇒ 2) 1x i 2x negativna ⇒ (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine 01232 =−+− mxx budu pozitivna. Rešenja: Iz 01232 =−+− mxx vidimo da je

0≥D , 0<ab , 0>

ac

mDmD

mDacbD

813489

)12(14)3(4

2

2

−=+−=

−⋅⋅−−=

−=

0≥D ⇒ ( Pazi: znak se okreće)

⇒<−

⇒< 0130

ab Zadovoljeno!!!

01

120 <−

⇒>m

ac

2112

012

<

<<−

m

mm

⎥⎦⎤

⎜⎝⎛∈

813,

21m

00

00

21

21

>⇒>⋅

<⇒>+

acxx

abxx

00

00

21

21

>⇒>⋅

>⇒<+

acxx

abxx

123

1

−=−=

=

mcba

813

1380813

≤

−≥−≥−

m

mm


NEKE VAŽNE NEJEDNAKOSTI:

1) za sve 02 ≥x Rx∈ Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: → za 0)2(44 22 ≥+=++ xxx Rx∈∀ → za 0)1(12 22 ≤−−=−+− aaa Ra∈∀ → jer 022 ≥+− yxyx

43

24222

222

222

222 y⎛

Izvršili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02

2

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

yx i 04

3 2

≥y , a onda je i

njihov zbir >0

2) zyxzyx++≥

+++2

3222

Dokaz: ⇒

yyxyyyxyyxy +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝

+−

0)1)1

0)1

2

2

2

≥

≥−

zyx

x

(

zyxzyxzyxzyx

zyxzyxzzyyxx

zyx

++≥+++

++≥+++

++≥+++

≥+−++−++−

≥−+−+−

23

)(232223

01212120)1()1()1(

222

222

222

222

222

0( ≥−

( −

3) Dokazati da za ⇒ 0>∀a 221≥+a

Dokaz:

0120)1(

2

2

≥+−

≥−

aaa

aaa :/212 ≥+ (podelimo sa a )

21≥+

aa

1


4) Dokazati da za i 0≥∀x 0≥∀y

2yxxy +

≤

(geometrijska sredina < aritmetička sredina)

Dokaz: Podjimo od ( )

xyyxxyyx

yxyx

yyxx

yx

≥+

=+

≥+−

≥+−

≥+

2

2:/2

02

02

022

2

Naravno jednakost važi ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,∀

3

3333 cbaxyz ++

≤

Dokaz: Uvodimo najpre smene:

3

3

3

czbyax

=

=

= Treba onda dokazati:

3

3333 cbaxyz ++

≤

033

333

333

≥−++

++≤

abccbacbaabc

Kako je (proveri množenjem)

))((3 222333 acbcabcbacbaabccba −−−++++=−++

odavde je sigurno 0≥++ cba [ ] 0)()( −+−+− acb

)(21 222222 ≥=−−−++ cbaacbcabcba

2


Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3

333 cbaabc ++≤

Odnosno

33 zyxxyz ++

≤ Pazi: Znak = je ako je zy == x

3

1

LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK Neka su dati skupovi A i B. Ako svaki elemenat Ax∈ odgovara tačno jedan elemenat

By∈ , kažemo da se skup A preslikava u skup B. Takvo preslikavanje nazivamo funkcijom. Zapisujemo:

BAf →: ili )(xfy =

Domen Kodomen Najpoznatiji oblik linearne funkcije je: nkxy += (eksplicitni) Grafik ove funkcije je prava. K- je koeficijenat pravca, odnosno αtgk = gde je α - ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x-ose, n - je odsečak na y-osi

Pošto je prava odredjena sa dve svoje tačke, grafik ucrtamo tako što u malu tablicu uzmemo 2 proizvoljne vrednosti za x, pa izračunamo y ili još bolje, 0=x i 0=y , pa nadjemo nepoznate: 22 += xy Za

Zaz za x=0

2202 =+⋅=y 1022

−==+

xx

0=y

2

PAZI: Ako je funkcija samo kxy = (bez n) onda grafik prolazi kroz kordinatni početak i moramo uzimati dve različite vrednosti za x. Primer: xy 2−= x = 0 pa je y = 0 x = 1 pa je y = -2

Kako nacrtati grafike 2=x ili ?3−=y Važno je zapamtiti: → 0=y je x-osa → 0=x je y-osa → ax = , grafik je paralelan sa y-osom i prolazi kroz a → by = , grafik je paralelan sa x-osom i prolazi kroz b

3

Dakle: 2=x 3−=y Nula Funkcije: je mesto gde grafik seče x-osu a dobija se kad stavimo 0=y pa

izračunamo koliko je x. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

knx Funkcija može biti rastuća ili opadajuća. Ako je k>0

funkcija je rastuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi oštar ugao, a ako je k<0 funkcija je opadajuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi tup ugao. Znak funkcije: Funkcija je pozitivna za y>0 tj. 0>+ nkx i grafik je iznad x-ose. Funkcija je negativna za y<0 tj. 0<+ nkx i grafik je ispod x-ose

4

Rastuća Opadajuća

0=y za nkx −= 0=y za

nkx −=

0>y za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈ ,

nkx 0>y za ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈

nkx ,

0<y za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈

nkx , 0<y za ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−∈ ,

nkx

Ako se u zadatku kaže da grafik prolazi kroz neku tačku ),( 00 yx onda koordinate te tačke smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednačini nkxy += Dakle: nkxy += 00 Dva grafika 11 nkxy += i 22 nkxy += će biti paralelna ako je 21 kk = , a normalna ako je 121 −=⋅kk . Dakle: - uslov paralelnosti je 21 kk = - uslov normalnosti je 121 −=⋅kk Da nas ne zbuni: Prava može biti zadata i u drugim oblicima:

0=++ cbyax ili 1=+yb

xa

Mi ovde izrazimo y (ipsilon) i ‘’pročitamo’’ k i n :

5

bcx

bay

caxbycbyax

−−=

−−==++ 0

pa je: ,bak −=

bcn −=

______________________

bxaby

aabbxayabaybx

abby

ax

+−=

+−==+

⋅=+

:/

/1

pa je: ,bak −= bn =

1) Proučiti promene i grafički prikaži funkcije:

a) 121

−= xy b) 42 +−= xy

_________________________________________________

a) 121

−= xy za 0=x ⇒ 110 −=−=y

za 0=y ⇒ 0121

=−x ⇒ 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula finkcija: 2=x 3. Znak: 0>y za ),2( ∞∈x 0<y za )2,(−∞∈x

4. Monotonost: Funkcija je rastuća jer je 021>=k

6

b) 42 +−= xy za 0=x ⇒ 440 =+=y za 0=y ⇒ 042 =+− x ⇒ 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula funkcije: 2=x 3. Znak: 0>y za )2,(−∞∈x 0<y za ),2( ∞∈x 4.Monotonost: funkcija je opadajuća jer 02 <−=k

5) U skupu finkcija y=(a-4)x-(3a-10). (a realan parametar), odrediti parametar a tako da tačka M(1,2) pripada grafiku funkcije. Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen grafik. M(1,2) tačka pripada grafiku pa njene koordinate Stavljamo umesto x i y. 1=x i 2=y

242

262622

10342)103(1)4(2)103()4(

==

−=+−=

+−−=−−⋅−=−−−=

aaa

aaa

aaaxay

42)4(2

)1023()42(

+−=−−−=

−⋅−−=

xyxy

xy 42 +−= xy

7

6) U skupu funkcija 32)2()( +−−= axaxf , odrediti parameter a tako da grafik funkcije odseca na y-osi odsečak dužine 5. 32)2()( +−−= axaxf nkxy += Pošto je n -odsečak na y-osi, a ovde je 32 +−= an , to mora biti:

122

352532

−==−

−=−=+−

aaaa

7) Date su familije funkcija 7)52( +−= xmy i 3)10( −−= xmy Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni? 7)52( +−= xmy ⇒ 52 −= mk 3)10( −−= xmy ⇒ mk −= 10 uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle:

53

15153

51021052

=

=

=+=+−=−

m

m

mmm

mm

8) Nacrtati grafik funkcije

1−= xy Najpre definišemo apsolutnu vrednost:

⎩⎨⎧

<−≥

=0,

0,xx

xxx

Dakle,treba nacrtati dva grafika

8

1−= xy 1−= xy 1−−= xy za 0≥x za 0<x

Kako grafik važi samo za 0≥x njegov deo (isprekidano) za 0<x nam ne treba. Kako grafik 1−−= xy važi za 0<x i njegov isprekidani deo nam ne treba. 9) Dat je skup funkcija y=(4m)x-(3m-2), (m realan broj) a) Odrediti m tako da funkcija ima nula x=2 b) Za nadjenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije. y=(4m-6)x-(3m-2) a) 2=x za 0=y ⇒

20105

0231280)23(2)64(

==−

=+−−=−−⋅−

mm

mmmm

1−−= xy 1−= xy

1−= xy

9

42)223()624(

−=−⋅−−⋅=

xyxy

10) Dat je skup funkcija ),1()2( −−−= kxky gde je k realan parameter. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije

62 −= xy . Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik.

62)1()2(

−=−−−=

xykxky

422

==−

kk

32)14()24(

−=−−−=

xyxy

1

LINEARNE NEJEDNAČINE

Linearne nejednačine rešavamo slično kao i jednačine (vidi linearne jednačine) koristeći ekvivalentne transformacije. Važno je reći da se smer nejednakosti menja kada celu nejednačinu množimo (ili delimo) negativnim brojem. Primer: 2 10x Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti

10

25

x

x

Naravno i ovde se može deliti da nejednačina ima rešenja, nema rešenja ili ih pak ima beskonačno mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednačinu) 1) Reši nejednačinu: 3( 2) 9 2( 3) 8x x x → oslobodimo se zagrada

862963 xxx → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu 3 9 2 6 8 6x x x

10 2020102

x

x

x

Uvek je ‘’problem’’ kako zapisati skup rešenja? Možemo zapisati Rx 2x a ako je potrebno to predstaviti i na brojevnoj pravoj:

2 88- ( , 2)x Pazi: Kad i uvek idu male zagrade ( ) Kod znakova < i > male zagrade i prazan kružić Kod < , > idu srednje zagrade i pun kružić Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu rešenja, dok , govore da su i ti brojevi u rešenju.


2 10102

5

x

x

x

2

aax

23

2) Reši nejednačinu: 12

233

12

aa

12

233

12

aa → celu nejednačinu pomnožimo sa 6 (NZS za 3 i 2)

6269466924

6)23(3)12(2

aaaa

aa

145 a → pazi: delimo sa (-5) pa se znak okreće

542

514

a

a

U skupu R su rešenja

542,a

PAZI: Da nam npr. traže rešenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2} 3) Reši nejednačinu: 32 axax

32 axax → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu

aaxaaxx

3)2(32

Kako sad? Da li je izraz a2 pozitivan ili negativan, ili možda nula? Moramo ispisati sve 3 situacije!!!

aax 3)2(

02 a 02 a 02 a 2a 2a 2a okreće se znak 030 x

aax

23 30 x

Ovde je svaki Rx rešenje


3

Rešenje bi zapisali:

Za 2a

,23

aax

Za 2a Rx

Za 2a

aax

23,

4) Rešiti nejednačine: a) 0)4()1( xx b) 0)5()3( xx Kod ovog tipa nejednačina koristićemo da je:

0BA )0,0( BA v )0,0( BA 0BA )0,0( BA v )0,0( BA

Naravno iste ‘’šablone’’ koristimo i za znakove > i < a za 0BA i 0

BA

gde još vodimo računa da je 0B . a) ( 1)( 4) 0x x

)04,01( xx v )04,01( xx )4,1( xx v )4,1( xx Sada rešenja ‘’spakujemo’’ na brojevnoj pravoj!!! ),4( x )1,(x Rešenje je )1,(x ),4( www.matematiranje.com

4

5,3x

b) 0)5()3( xx

)05,03( xx v )05,03( xx )5,3( xx v )5,3( xx prazan skup Dakle, konačno rešenje je 5,3x

5) Reši nejednačinu 6 23

xx

PAZI: Da bi koristili ‘’šablon’’ na desnoj strani mora da je nula, pa ćemo zato -2 prebaciti na levu stranu!!! → sad može ‘’šablon’’

)0x-30312( x ili )0x-30312( x ( 3 12 -x< 3)x )3-x123( x )3x,4( x ili )3x,4( x (3, 4)x →konačno rešenje prazan skup 6) Rešiti nejednačinu: (po n )

5113

nn

Ovde moramo rešiti 2 nejednačine, pa ćemo ‘’upakovati’’ njihova rešenja.

03

312

03

266

03

)3(26

0236

236

xx

xxx

xxx

xxxx

5

Prva nejednačina: Ili

Dakle: 4 2 01

nn

)01n024( n ili )01n024( n

)1n21( n ili )1n

21( n

Za I deo rešenje je Druga nejednačina:

511

nn 05

11

nn 0

1551

nnn

Dakle: 01

64

nn

)01n064( n ili )01n064( n

)1n23( n ili )1n

23( n


131

nn

10 311 3 30

14 20

1

nnn n

nnn

1,n

,

21n

1, 1 ,2

n

6

23,n ,1n

Za II deo rešenje je

23,n ,1

‘’Upakujmo’’ sada I i II rešenje da bi dobili konačno rešenje ove dvojne nejednačine:

Rešenje prve nejednačine smo šrafirali udesno, a druge ulevo …Na taj način vidimo gde se seku, odnosno gde je konačno rešenje… Dakle, konačno rešenje je:

NAPOMENA: Umesto šablona ovde smo mogli koristiti i ‘’tablično’’ rešavanje koje je detaljno objašnjeno u delu kvadratne nejednačine.


3 1, ,2 2

n

1

LINEARNE JEDNAČINE

Pod linearnom jednačinom ‘’po x’’ podrazumevamo svaku jednačinu sa nepoznatom x koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika:

bxa

gde su a i b dati realni brojevi. Rešenje ove jednačine je svaki realan broj 0x za koji važi:

0a x b

Ako nam posle rešavanja ostane jednačina većeg stepena (drugog, trećeg …) onda nju probama da rastavimo na činioce i koristimo: 0BA 0A 0B

0 CBA 0A 0B 0C Za svaku linearnu jednačinu važi:

a x b

a

bx ,0a 0b

ako je 0a 0 ba Nema rešenja Primer: ima beskonačno Primer mnogo rešenja Primer: Svaki broj je rešenje Deljenje sa 0 nije

dozvoljeno (za sad)


52

10102

x

x

x

00 x ?07

70

x

x

2

Kako rešavati jednačinu?

- Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako što celu jednačinu pomnožimo sa NZS

- Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) množeći ‘’svaki sa svakim’’. - Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka =.

(PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) - ‘’sredimo’’ obe strane (oduzmemo i saberemo) i dobijemo bxa

- Izrazimo nepoznatu a

bx

VAŽNO: Ako negde vršimo skraćivanje moramo voditi računa da taj izraz koji kratimo mora biti različit od nule. U suprotnom se može desiti apsurdna situacija.

Primer: Rešiti jednačinu: 02

x

x

Ako skratimo x xx

0 0x ?

Ne smemo skratiti jer je uslov 0x

ZADACI:

1) Reši jednačinu Nema razlomaka i zagrada tako da odmah ‘’prebacujemo’’ nepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 2) Reši jednačinu xxx 10)116(4)32(3 (oslobodimo se zagrada)

3(2 3 ) 4(6 11) 106 9 24 44 10

9 24 10 6 4416 48

48163

x x x

x x x

x x x

x

x

x


9 2 5 22 5 2 97 7

77

1

x x

x x

x

x

x

3

2) Reši jednačinu 5 2 3 6 527 2 14

y y y

14/14

562

3227

5

yyy Nadjemo NZS za 7, 2 i 14; to je 14. Celu jednačinu

)56(1)32(728)5(2 yyy pomnožimo sa 14. 2 10 28 14 21 6 52 14 6 21 5 10 28

6 44446223

y y y

y y y

y

y

y

4) Reši jednačinu 132)4()3( 22 xxx 132)4()3( 22 xxx

2 2

2

( 6 9) ( 8 16) 2 13x x x x x

x

26 9x x 8 16 2 13

6 8 2 13 9 1612 6

612

12

x x

x x x

x

x

x

5) Reši jednačinu 3

12

2

xx

PAZI: Ovde odmah postavi uslove: 02 x 2x

31

22

xx 03 x 3x

Množe se unakrsno : 2( 3) 1 ( 2)2 6 22 2 6

8

x x

x x

x x

x


4


21

635

x

x

x

x Uslovi: 02 x

2x

5 1 2 3 / 6( 2)3( 2) 2 2( 2)2( 5) 3( 2) 3(2 3)2 10 3 6 6 92 3 6 6 9 10

7 25

257

x xx

x x

x x x

x x x

x x x

x

x


148

1212

2

x

x

xx

x

2 1 8 2 1 ....... / (2 1)(2 1)2 1 (2 1)(2 1) 2 1

x xx x

x x x x

Uslovi: 012 x 012 x 12 x 12 x

21

x 21

x

8) Reši jednačinu 215 xx

Ovd moramo najpre da definišemo apsolutnu vrednost:

0,

0,

Dakle: 5 1, za 5 1 0

5 1(5 1), za 5 1 0x x

xx x

=

),15(,15

x

x

5151

x

x

Sad rešavamo dve jednačine:


2 2

2 2

2 2

(2 1) 8 (2 1)4 4 1 8 4 4 14 4 4 4 1 1 8

8 8

1

x x

x x x x

x x x x

x x

x

5

99

3422324

2)32()4(

x

x

x

xx

xx

Uslov 51

x Uslov51

x

(5 1) 25 1 24 2 14 1

14

x x

x x

x

x

x

Ovo rešenje je ''dobro'' jer je51

21 I ovo je ‘’dobro’’ jer je

51

41

9) Reši jednačinu 2324 xx Najpre definišemo obe apsolutne vrednosti:

),4(

,44

x

xx

0404

x

x=

).4(,4

x

x

44

x

x

II

I

Uslov

Uslov

),32(

,3232

x

xx

032032

x

x=

),32(,32

x

x

2323

x

x

IV

III

Uslov

Uslov

Zadatak ćemo podeliti na 4 dela u zavisnosti od uslova: i) I i III uslov:

4x i 23

x

,4x Nije ''dobro'' rešenje jer ne zadovoljava ,4x ii) I i IV uslov

,4x 23

x

Ovde nema rešenja x

5 1 26 2 16 3

3612

x x

x

x

x

x

6

3113

43232324

2)32()4(

x

x

x

xx

xx

5342

23242)32()4(

x

x

xx

xx

iii) II i III uslov

4x i 23

x

4,

23

x

Dobro je rešenje 1 3 ,43 2

iv) II i IV uslov

,4x i 23

x

23,x

‘’Dobro’’ rešenje, jer

23,5

Zaključak: rešenja su 113

x i 2 5x

10) Rešiti i diskotuvati jednačinu u zavisnosti od parametra a) 3 1 5mx m x sve ‘’sa x’’ prebacujemo na jednu stranu, sve što nema x na drugu

mxmx 315 Izvučemo x kao zajednički ispred zagrade

mmx 31)5( 1 3

5m

xm


7

Diskusija:

Za 5m 0

531 x nemoguća, nema rešenja

Za 5m 5

31

m

mx jednačina ima rešenja I to beskonačno mnogo jer Rm

b) 2 4 8 7 5ax a a x Diskusija:

Za 052 a 25

a Jednačina nemoguća

Za 052 a 52

a jednačina ima mnogo rešenja

Jednačine imaju veliku primenu u rešavanju takozvanih ‘’problemskih’’ zadataka. Važno je dobro proučiti tekst, ako treba skicirati problem i naći vezu izmedju podataka. 11) Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko će godina otac biti dva puta stariji od sina? Obeležimo sa X-broj godina koji treba da prodje. Otac → 43 godine Sin → 18 godina Kako godine teku i za oca i za sina, to je: Otac → 43+X Sin → 18+X U zadatku se kaže da će otac biti dva puta stariji od sina: 2 (18 ) 4336 2 432 43 36

7

x x

x x

x x

x

2 5 8 7 4(2 5) 9 3

9 32 5

ax x a a

x a a

ax

a

8

Proverimo: Kroz 7 godina otac će imati 43+7=50 godina, a sin 18+7=25 godina, pa je otac zaista dva puta stariji od sina.

12) Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 52

da bi smo dobili

razlomak 75

?

75

52

x

x Množimo unakrsno

7(2 ) 5(5 )14 7 25 57 5 25 142 11

112

x x

x x

x x

x

x

13)

Učenik je prvog dana pročitao 41

knjige, drugog dana 32

od ostatka knjige,a trećeg dana

poslednjih 40 stranica. Koliko ima stranica ta knjiga? Obeležimo sa x-broj stranica knjige.

x41 I Dan 2 3

3 4x II Dan 40 str.→ III dan

1 24 3

x 3

404

1 2 404 43 404

3 404

1 404

160

x x

x x x

x x

x x

x

x

Knjiga ima 160 strana. www.matematiranje.com

9

14) Jedan radnik može da završi posao za 9, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridruži treći radnik, oni će taj poso završiti za 4 dana. Za koje bi vreme treci radnik sam završio posao? Neka je x-vreme za koje treći radnik završi posao. Kako razmišljamo?

Ako prvi radnik sam završi posao za 9 dana onda će za 1 dan odraditi 91 posla.

Slično će drugi radnik za 1 dan odraditi 121 posla, a treći

x

1 deo posla.

Znači da oni zajedno za 1 dan odrade x

1121

91

deo posla, Kako rade 4 dana, to je:

1 1 1 4 19 12

4 4 4 1 ........ / 369 1216 12 144 3628 36 144

8 144

18

x

xx

x x x

x x

x

x

Dakle, treći radnik bi sam završio posao za 18 dana.


1

31224)(

7643)(

23

23

++−=

−+−=

xxxxQ

xxxxP

POLINOMI SA JEDNOM PROMENLJIVOM

Oblika su:

1

1 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−

−= + + + +

Ovaj oblik se dobija ''sredjivanjem” polinoma (sabiranjem, oduzimanje...) i naziva se

kanonički, x-je promenljiva 1 0, ,...,n na a a−

su koeficijenti (konstante), n je prirodan broj

ili nula.

Ako je 0≠na , onda kažemo da je polinom P stepena n , pa je na ‘’najstariji’’

koeficijenat.

Primer: 7264)( 23+−+= xxxxP

- ovaj polinom je stepena 3 a najstariji koeficijenat je 4.

- zanimljivo je da se član bez x-sa, takozvani slobodni član dobija kad umesto x stavimo

0, tj. 3 2(0) 4 0 6 0 2 0 7 7P = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = → 7)0( =P , ili za

polinom 1

1 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−

−= + + + + → 0)0( aP =

- takodje ako umesto x stavimo 1 imamo 01 ...)1( aaaP nn +++=−

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA: Primer:

)31224()7643()()( 2323++−+−+−=+ xxxxxxxQxP

312247643 2323++−+−+−=

−−−−−−−−−−−−

xxxxxx

=krenemo sa sabiranjem članova sa najvećim stepenom pa dok ne

dodjemo do ‘’slobodnih članova’’, to jest onih bez x-sa

3 27 6 18 4x x x= − + −

)31224()7643()()( 2323++−−−+−=− xxxxxxxQxP

=pazi: Minus ispred zagrade menja znak svim članovima u zagradi 312247643 2323

−−+−−+−=−−−−−−−−−−−−

xxxxxx

3 22 6 10x x x= − − − −

Najbolje je da podvlačite slične monome kako se ne bi desila greška u sabiranju

(oduzimanju) www.matematiranje.com

2

74)(

32)(

2−+=

−=

xxxQ

xxP

MNOŽENJE POLINOMA

Primer 1. Pomnožiti sledeće polinome:

Rešenje: )74()32()()( 2

−+⋅−=⋅ xxxxQxP

Kako množiti?

Množi se ‘’svaki sa svakim’’. Najbolje je da prvo odredimo znak ,( +=+⋅+ ,+=⋅−− ,−=⋅−+ )−=⋅+− , onda pomnožimo brojke i na kraju nepoznate.

Naravno da je 2xxx =⋅ , 32 xxx =⋅ , 422 xxx =⋅ , itd. (ovde koristimo pravila iz

stepenovanja: nmnm xxx +=⋅ )

Vratimo se na zadatak:

=−+⋅− )74()32( 2 xxx

=+−−−+−−−−−−−−−−−

211231482 223 xxxxx sad saberemo( oduzmemo) slične monome

212652 23+−+= xxx

Primer 2. Pomnožiti sledeće polinome:

152)(

74)(

2

2

++=

−+−=

xxxB

xxxA

Rešenje:

)152()74()()( 22++⋅−+−=⋅ xxxxxBxA

4 3 2 3 2 22 5 8 20 4 14 35 7x x x x x x x x= − − − + + + − − −

4 3 22 3 5 31 7x x x x= − + + − −


3

______________

)(

2

)(

2

42

12)2(:)652(

xx

xxxx

+−−

−=−+−

__________

2

6

−++−

+−

x

x

2

412

2

652 2

−+−=

−

+−

xx

x

xx

xx

x2

2 2

=

1−=−

x

x

DELJENJE POLINOMA

Podsetimo se najpre deljenja brojeva.

Primer: 248423:57146 =

______

46−

111

______

92−

194

_______

184−

106

_____

92−

4 - ostatak

Možemo zapisati: 23

42848

23

57146+=

deljenik ostatak

rešenjedelilac delilac

= +

Probajmo sad sa polinomima:

Primer 1:

POSTUPAK

→ Podelimo ‘’prvi sa prvim’’

i upišemo 2x u rešenju

→ 2x pomnožimo sa deliocem i potpišemo

ispod 2x²-5x

→ promenimo znake (ono u zagradi)

→4 Ostatak → prvi se uvek skrate a druge saberemo

-5x+4x=-x

Dakle: → dopišemo +6

→ opet delimo ‘’prvi sa prvim’’

→ množimo sa deliocem

→ promenimo znake i saberemo


4

5)1(:)542( 223−+=++−+ xxxxxx

_____________

2

)(

3

)( xx−

−+

10

___________

)()(55

55

++

−−

+−

x

x

1

105

1

542 223

++−+=

+

+−+

xxx

x

xxx

____________

)(

2

)(

2 4

xx

xx

−−

+

−

23

xx

x=

2x2x

23 2xx +23 2xx +

2222 xxx =−

xx

x=

2

55

−=−

x

x

Primer 2: POSTUPAK → Podelimo ‘’prvi sa prvim’’

upišemo u rešenje

→ pomnožimo sa deliocem i potpišemo

ispod

→ promenimo znake kod

→ prvi se uvek ‘’skrate’’, a

→ spustimo - 4x → opet ‘’prvi u prvom’’ → x množimo sa deliocem → menjamo znake kod x²+x → prvi se skrate a -4x-x=-5x → spuštamo +5 Dakle: → → -5·(x+1)=-5x-5 → promenimo znake i prvi se skrate

→ 5+5=10

Primer 3:

155)32(:)523( 22234+−=−+−++− xxxxxxxx

______________________

2

)(

3

)(

4 32 xxx+−

−−+

3 2

3 2

( ) ( ) ( )

___________________________

5 5

5 10 15

x x x

x x x+ + −

− + +

− − +

__________________________

)()(

2

)(

2

453015

51415

+−−

−+

−−

xx

xx

→+− 4044x ostatak

4 3 2

2

2 2

3 2 5 44 405 15

2 3 2 3

x x x x xx x

x x x x

− + + − − += − + +

+ − + −


5

_____________

3

)(

4

)( xx+

−−

⇒−=

−+−=

−⋅+⋅−=

−+−=

7)2(

712208)2(

726252)2(

765)(

23

23

P

P

P

xxxxP

Primer 4:

1)1(:)1( 234+++=−− xxxxx PAZI:

Kad skratimo ‘’prve’’ a drugi nisu istog

stepena prepišemo ih, prvo onaj sa većim

pa sa manjim stepenom, to jest: +x³-1

Nema ostatka

Dakle: 11

1 234

+++=−

−xxx

x

x

U nekim zadacima interesovaće nas samo ostatak koji se dobija deljenjem dvaju

polinoma a ne i količnik. Tu nam pomaže Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma P(x) sa (x-a) jednak je P(a), to jest vrednosti polinoma P(x) u tački x = a. Ako je P(a)=0, deljenje je bez ostatka.

Primer1: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 765 23−+− xxx sa 2−x

Najpre rešimo x-2=0, pa je x = 2

onda uporedjujemo x-a i x-2→ a=2

Sada je

Ostatak je -7


_____________

2

)(

3

)(

3 1

xx

x

+−

−+

−+

12−x

____________

)(

2

)(

xx+

−

−

1−x

_________

)()(

1+

−

−x

6

6116)( 23−+−= xxxxP

0)1(

61161)1(

6111161)( 23

=

−+−=

−⋅+⋅−=

P

P

xP

0)( =aP

_______________

)(

2

)(

2

55

115

xx

xx

−+

+−

+−

____________

)()(

66

66

+−

−

−

x

x

)3)(2(

)2(3)2(

−−=

−−−=

xx

xxx

Primer2: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 652 3+− xx sa 1+x

Pazi , ovde je a = -1, jer je x+1=0

x = -1

Ostatak je 13

Još jedna izuzetna primena Bezueve teoreme je kod rastavljanja polinoma na činioce. Mi

smo do sada naučili da faktorišemo polinome drugog stepena. Za polinome trećeg i

četvrtog stepena postoje algoritmi, ali su suviše teški, dok za polinome petog i većeg

stepena ne postoji univerzalan način da se faktorišu, odnosno reše.

Kako nam to pomaže Bezuova teorema?

Primer1: Dat je polinom Izvrši njegovu faktorizaciju.

POSTUPAK za x=1 → uočimo ‘’slobodan’’ član, to jest onaj bez x-sa.

ovde je to 6. → on se može podeliti: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6

→redom zamenjujemo ove brojeve dok ne

dobijemo da je

→ našli smo da je a=1

→ podelimo polinom sa )1()( −=− xax

65)1(:)6116( 223+−=−−+− xxxxxx

_____________

2

)(

3

)(

xx+

−

−

Nema ostatka

Ovim smo smanjili stepen polinoma i sad već 652+− xx znamo da rastavljamo

63265 22+−−=+− xxxxx

⇒=−

++=−

+−⋅−−⋅=−

+−=

13)1(

652)1(

6)1(5)1(2)1(

652)(

2

2

P

P

P

xxxP

6116)( 23−+−= xxxxP

7

04)1(

4432141412121)1( 234

≠=

++−−=+⋅+⋅−⋅−=

P

P

044321)1(

4)1(4)1(2)1(2)1()1( 234

=+−−+=−

+−⋅+−⋅−−⋅−−=−

P

P

_______________

2

)(

3

)(

23

33

33

xx

xx

++

−−

−−

____________

)()(

44

44

−−

+

+

x

x

______________

)()(

2

44

44

xx

x

++

−−

+−

Dakle: 3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x− + − = − − −

Primer 2:

Izvršiti faktorizaciju polinoma: 4 3 2( ) 2 2 4 4P x x x x x= − − + +

Posmatrajmo broj 4 (slobodan član). Pošto njega možemo podeliti sa

+1, -1, +2, -2,+4, -4, redom menjamo u polinom dok ne bude P(a)=0

Za x = 1

Idemo dalje:

Za x = -1

Dakle, delimo sa 1)1( +=−− xx

43)1(:)4432( 23234+−=+++−− xxxxxxx

_____________

3

)(

4

)(

xx−

−

+

Dalje gledamo 43)( 23

1 +−= xxxP

Za x=-1 04314)1(3)1()1( 23

1 =+−−=+−−−=−P

Opet delimo sa (x+1)

44)1(:)43( 223+−=++− xxxxx

____________

2

)(

3

)(

xx−

−

+

22 )2(44 −=+− xxx

8

Konačno rešenje je: )44)(1)(1(4432 2234+−++=++−− xxxxxxxx

22 )2()1( −+= xx

Primer 3:

Odrediti realan parametar m tako da polinom 5 3 2( ) 3 2 8P x x mx x x= + + − + bude deljiv

sa x + 2.

Rešenje:

Iz x+2 = 0 je x = -2 , pa je a = -2

5 3 2

5 3 2

( ) 3 2 8

( 2) ( 2) ( 2) 3( 2) 2( 2) 8

( 2) 32 8 12 4 8

( 2) 8 8

( 2) 0 jer u zadatku kaže da je P(x) deljiv sa -2

8 8 0

1

P x x mx x x

P m

P m

P m

P

m

m

= + + − +

− = − + − + − − − +

− = − − + + +

− = − −

− =

− − =

= −

Primer 4:

Odrediti realne vrednosti parametara a i b tako da polinom 3 2( ) 5 4P x ax bx x= − − + pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, a pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2. Rešenje:

Kako pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, to je ( 1) 6P − =

3 2

3 2

( ) 5 4

( 1) ( 1) ( 1) 5( 1) 4

( 1) 9

9 6

3

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

a b

= − − +

− = − − − − − +

− = − − +

− − + =

− − = −

+ =


9

Kako pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2, to je (1) 2P =

3 2

3 2

( ) 5 4

(1) 1 1 5 1 4

(1) 1

1 2

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

= − − +

= ⋅ − ⋅ − ⋅ +

= − −

− − =

− =

Dalje oformimo sistem jednačina:

3

3

a b

a b

a b

+ =

− =

+ 3

a b

=

− 3

2 6 3 0

Rešenja su 3, 0

a a b

a b

=

= → = → =

= =


1

)(555 baba )2(242 baba

)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab

Transformacije algebarskih izraza

Kako dati izraz rastaviti na činioce? Prati sledeći postupak: 1) Izvuči zajednički iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni

zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )

A B A B A B

I I II II I II A AB B A B

I I II II I II A AB B A B

A B

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIR KUBOVA

( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKE

A B A AB B

A B A B A AB B

A B A A B AB B

A B A A B AB B

3) Ako neće ništa od ove dve stavke, ‘’sklapamo’’ 2 po 2, 3 po 3. itd.

PRIMERI

Izvlačenje zajedničkog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da ništa ne ostaje pišemo 1. 3) 4)

bbba 27 baa 7 Ako nije jasno šta treba izvući ispred zagrade, možemo svaki član rastaviti:

bbbaab

2714 3 i

baaba 77 2

Zaokružimo (podvučemo) iste i izvučemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)

)12(33233363 22

yxxyyxyyxyxx

xyxyyx

WWW.MATEMATIRANJE.COM

2

6) 333223 91518 bababa

bbbaaabbbaabbaaa 333536

)356(3 22 abbaba Naravno, možemo razmišljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajednički je 3 Za 3a , 2a i 3a zajednički je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajednički je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx 8) )1(11 mmm aaaaaaa 9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa 10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn )43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!

UPOTREBA FORMULA:

2 2 ( ) ( )A B A B A B

1) )2)(2(24 222 xxxx 2) )3)(3(39 222 aaaa 3) )1)(1(11 222 xxxx 4) )12)(12(12144 222 yyyy 5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata ‘’SVAKI’’ član mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx

7) 2 2

2 2 2 22 2

1 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5

x y x y x y x y

8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx ))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com

3

xxAB

BB

xAxA

84224162

22

22 )4(168 xxx

xxAB

BB

xAxA

105225252

22

Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!!

9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1

)14)(12)(12()1)2)((12)(12(

2

22

aaa

aaa

2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B

1) 1682 xx Gledamo prvi i treći član jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je ↑ ↑ 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy 4) 222 )2(44 bababa 5) 222 )3(96 bababa 6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y 7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je

aBaB

AA

1,001,05,025,0

22

2

8) 222 )22,0(48,004,0 bababa

3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B

Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba člana moraja biti ‘’na treći’’

333 28 xx Znači x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com

4

)198)(1()46296)(1(

22)3()3()23(

2

2

22

aaa

aaaa

aaa

2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx 3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy 4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najčešće napravi greska: xA 5 ,

1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx

5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B

3 3 2 2( )( )A B A B A AB B 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x 2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a

3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y

4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyxBA

754)1(

442212)1(44)22(12)1(

22

22

22

xyyyxxyx

yyyxxyxxyx

yyyxxyxxyx

5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:

3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B 1)

33

3

Pr

2

Pr

23 6128

BoverioveriA

yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB

3)2( yx 2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je

yBBy

xAxA

464 33

33

3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b


5

SKLAPANJE ‘’2 po 2’’

U situaciji kad ne možemo izvući zajednički, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje ‘’2 po 2’’.

Primeri:

1) ayaxyx 22 izvlačimo ispred zagrade zajednički za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896

3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!!

)4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!!

)14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa

)()( abybax Ovde moramo ‘’okrenuti’’ izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopiš ''prva dva'' i ''druga dva'' možda je bolja neka druga kombinacija!!

)21()12( xbxa Slično kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,

))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com

6

22

2

2

4)3(16)3(

7996

x

x

xx

8) 762 xx Ovo liči na kvadrat binoma ali očigledno nije. Ne možemo izvući zajednički iz svih, niti sklopiti ‘’2 po 2’’ Šta raditi? Naravno, učinici II godina srednje škole i stariji znaju da treba iskoristiti da je

))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje škole moramo raditi ovako:

1. način: 762 xx ideja je da se srednji član napiše kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to možemo učiniti na veliki broj načina. Onaj prvi je kad posmatramo član bez x-sa i kako njega možemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to ćemo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. način: 762 xx izvršimo dopunu do ‘’punog’’ kvadrata, što znači da moramo dodati (i oduzeti) drugi član na kvadrat.

7336 222

xx

zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.

)1)(7(

)43)(43(

xx

xx

Ti naravno izabereš šta ti je lakše, odnosno šta više voli tvoj profesor. Evo još par primera: 9) ?652 xx 1.način: Kako je 236 to ćemo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx

2.način: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.

Znači 22

25

25

, pa je:


7

)3)(2(21

25

21

25

21

25

41

25

424

425

25

22

2

2

xx

xx

x

x

x

)5)(2(23

27

23

27

23

27

49

27

440

449

27

22

2

2

xx

xx

x

x

x

625

25565

2222

xxxx

10) ?1072 xx 1.način: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx

2.način: 1027

277107

2222

xxxx

polinomi, linearne jednačine i nejednačine

Documents