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ECUACIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE
NELSON PRADO MENDEZ
INGENIERIA EN SISTEMAS
CALCULO AVANZADO
ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO
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ECUACIONES Y POLINOMIOS DE LEGENDRE
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OBJETIVO
•Conocer el concepto y las aplicaciones de los polinomios y ecuaciones de Legendre
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MARCO TEORICO
En matemáticas al resolver la formula de Rodríguez, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre
llamadas así por el matemático francés Adrien -Marie Legendre. Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas.
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La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Cada polinomio de Legendre P n(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodríguez:
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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE
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Polinomios de Legendre
• Ortogonalizamos {1, x, x2, ..., x n} en C ([-1,1]), con el producto escalar integral ordinario (w(x)=1).
• Fórmula de Rodríguez
• Fórmula iterativa Pk+1(x) = ((2k+1)· x· Pk(x) k·Pk-1(x))/(k+1)
Pk+1(x)=((2k+1). x. P(x) – kPk-1(x))/)k+1)
–
n
n2n
nndx
)1x(d
!n2
1)x(P
-=
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Polinomios de Legendre
Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente:
La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.
)12/(1)1/(1/1
...
)1/(13/12/1
/12/11
nnn
n
n
H
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Polinomios de Legendre
Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1]
Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1]
Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.
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Polinomios de Legendre
Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre
n Pn(x)
0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)4 1/8(35x4-30x2+3)
5 1/8(63x5-70x3+15)
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Polinomios de Legendre
Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales.
n Pn(x)
0 11 x2 ½(3x2-1)3 ½(5x3-3x)
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Polinomios de Legendre
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P4P3 P5
P0
P1
P2
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Polinomios de Legendre
Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(p/2x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre.
Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(p/2x)c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):
1
122
0
00
2)cos(
2
1,
dxx
P
Phc
1
122
1
11 0)cos(
2
3,dxxx
P
Phc
1
132
221
22
22
20)cos()13(
4
5,
dxxx
P
Phc
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Polinomios de Legendre
Con lo cual, la aproximación obtenida es
Cos (p/2x) f(x) = 2/ p + 10/p3 P2(x)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
cos(pi/2x)
f(x)
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Polinomios de Legendre
Ejercicio:
Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(p/2x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre.
Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.
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APLICACIONESMomentos de Legendre
Motivación Definición Aproximación Versión
Computable Función de
reconstrucción
Condiciones de las pruebas
Resultados experimentales
Conclusiones de las pruebas
Conclusiones finales
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Motivación• Reconstrucción
mediante momentos geométricos muy costosa y propensa a errores.
• Cómo reconstruir la imagen con un conjunto finito de momentos.
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Definición
1
1
1
1),()()(
4dxdyyxfyPxP qppq
1)1)(2q(2p
]1,1[,)1(!2
1)( 2 xx
dx
d
pxP p
p
p
pp
El momento de Legendre de orden (p, q) viene dado por:
Donde el polinomio de Legendre de orden (p) se define como:
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Aproximación
M
i
N
jpqpq yxfyxh
1 1
),(),(
donde:
2
2
2
2
)()(),(x
x
xx
yy
yy
qppq dxdyyPxPyxh
Al igual que en el caso de los momentos geométricos, los momentos de Legendre pueden aproximarse por:
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Versión computable
yxyM
ixfy
N
jqPxpP
NM
qppq
),
1()(
1)(
)1)(1(
)12)(12(
Esta es la fórmula empleada para el cálculo computacional de los momentos de Legendre:
El valor de estará comprendido entre [0,255]. ),( yxf
El valor de x e y estará comprendido en un cuadrado [-1,1] x [-1,1] (cambio de variable).
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Función de reconstrucción
),(),(max
yxfyxf M
max
0 0
, )()(),(
M
P
p
q
qqpqqp yPxPyxf
Podemos escribir la función como expansión de series infinitas.
Emplearemos una versión truncada:
),( yxf
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Condiciones de las pruebas
• Imágenes en blanco y negro de 150x150 píxeles
• Cálculo de momentos hasta orden 20
• Precisión de coma flotante: 28 decimales
• Procesador a 1.5 Ghz – 384 Mb RAM
Duración media del cálculo de momentos hasta el orden 20: 1’20”Duración media de la reconstrucción: 1’20”
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Resultados experimentales
Simulación desde momento de orden 0 a 20
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Resultados experimentales
Simulación desde momento de orden 0 a 20
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Conclusiones de las pruebas• Mejores resultados con:
– Tamaños mayores de la imagen– Un mayor número de píxeles negros– Líneas más rectas
Condiciones necesarias para un mejor resultado:– Máquina/s de gran potencia de cálculo– Aumentar el número de momentos– Trabajar con aritmética de grandes números– Utilizar el máximo posible de lugares decimales
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Conclusiones generales
• Los momentos de Legendre son una herramienta eficaz para la reconstrucción de imágenes mediante sus características numéricas.
• El proceso de reconstrucción se comporta de mejor forma para imágenes grandes.
Conforme crece el número de momentos, resulta muy costoso reconstruir una imagen.
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Herramientas Utilizadas
• Microsoft Visual Studio – Visual Basic– Visual C++
• CVIP Tools (manipulado de imágenes)
• Microsoft Access
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BIBLIOGRAFIA
• Image Description using moments (Dr. S. Belkasim).
• On image analisis by moments (Liao-Pawlak)• Image analysis with moment descriptor (Liao-
Pawlak).• On the reconstruction aspects of moments
descriptors (Pawlak).• On image analysis by the methods of moments
(Cho-Huak, Chin).• Orthogonal Legendre moments and their
calculation (Shen-Shen).• Image characterization by fast calculation of low-
order Legendre moments (Shen-Shen).