polinomska interpolacija

POLINOMSKA INTERPOLACIJA

Neka je funkcija f data svojim vrednostima yk = f(xk) u taqkamaxk [a, b], (k = 0, 1, . . . , n):

x | x0 x1 . . . xnf(x) | y0 y1 . . . yn

Polinom

Pn(x) = a0xn + a1x

n1 + . . .+ an1x+ an (1)

koji zadovoava uslove

Pn(xk) = yk, (k = 0, 1, . . . , n)

naziva se interpolacioni polinom funkcije f . Taqke xk suqvorovi, a [a, b] interval interpolacije.

Interpolacioni polinom (1) je jedinstven, ali se moe formiratina razliqite naqine.

Lagranov interpolacioni polinom

Interpolacioni polinom oblika

Pn(x) =nk=0

Lk(x)f(xk),

gde je

Lk(x) =(x x0) . . . (x xk1)(x xk+1) . . . (x xn)

(xk x0) . . . (xk xk1)(xk xk+1) . . . (xk xn)

naziva se Lagranov interpolacioni polinom.

Ako f (n+1) C[a, b], tada za svaku taqku x [a, b] postoji taqka (a, b) za koju je

Rn(x) = f(x) Pn(x) = f(n+1)()

(n+ 1)!(x x0)(x x1) . . . (x xn).

Prema tome, za ocenu grexke polinomske interpolacije moe se

koristiti formula

|Rn(x)| Mn+1(n+ 1)!

|(x x0)(x x1) . . . (x xn)|, (2)

gde je Mn+1 = maxaxb

|f (n+1)(x)|.

94 Polinomska interpolacija

Ova ocena se odnosi na sve interpolacione polinome. U speci-

jalnom sluqaju kada je xi = a + ih, (i = 0, 1, . . . , n), h =b an, tj. kada

su qvorovi interpolacije ekvidistantni, za ocenu grexke moe

se koristiti formula

|Rn(x)| Mn+1hn+1

4(n+ 1)!.

Primer 1. Formirati Lagranov interpolacioni polinom fun-

kcije f date tabelom:

x | 1 2 3 5f(x) | 1 5 17 89

Rexee:

P3(x) =(x 2)(x 3)(x 5)(1 2)(1 3)(1 5) 1 +

(x 1)(x 3)(x 5)(2 1)(2 3)(2 5) 5 +

(x 1)(x 2)(x 5)(3 1)(3 2)(3 5) 17+

+(x 1)(x 2)(x 2)(5 1)(5 2)(5 3) 89 = x

3 2x2 + 3x 1.

Primer 2. Sa kojom taqnoxu se moe izraqunati

117 pomouLagranove interpolacione formule za funkciju f(x) =

x ako seza qvorove interpolacije odaberu taqke x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144?

Rexee: Obzirom da je f (x) =3

8x5i M3 =

3

81005, vrednost

117

bie izraqunata sa taqnoxu

|R2(117)| 38 105 1

3!|(117 100)(117 121)(117 144)| = 0.0011475.

Primer 3. Aproksimirati funkciju f(x) = ex Lagranovim in-terpolacionim polinomom na segmentu [0, 0.5] na osnovu sledeihpodataka:

x | 0.0 0.2 0.5f(x) | 1.000000 1.221403 1.648721

Izraqunati f(0.3) i oceniti grexku.

Polinomska interpolacija 95

Rexee:

P2(x) =(x 0.2)(x 0.5)(0 0.2)(0 0.5) 1 +

(x 0)(x 0.5)(0.2 0)(0.2 0.5) 1.221403+

+(x 0)(x 0.2)

(0.5 0)(0.5 0.2) 1.648721 = 0.634757x2 + 0.980064x+ 1;

f(0.3) P2(0.3) = 1.351147.Obzirom da je M3 = e

0.5 = 1.648721, vai ocena

|f(0.3) P (0.3)| 1.6487213!

|0.3(0.3 0.2)(0.3 0.5)| = 0.001648 < 12 102.

Grexka interpolacije moe se umaiti dodavaem novog inter-

polacionog qvora. Meutim, to bi kod Lagranovog interpo-

lacionog polinoma zahtevalo obnovu kompletnog procesa raqu-

naa. U tom smislu se ekonomiqnijim pokazuju utnovi inter-

polacioni polinomi.

ZADACI ZA VEBU

U zadacima 1.-2. nai Lagranov interpolacioni polinom za

funkciju y = y(x) zadanu tabliqno:

1.

x | 2 1 2 3y | 12 8 3 5

2.

x | 0 2 3 4y | 7 11 28 63

3. Formirati Lagranov interpolacioni polinom za funkciju

f(x) = ex ako se za qvorove interpolacije odaberu taqke x0 =1, x1 = 2, x2 = 3. Oceniti grexku interpolacije za x = 1.5.

4. Data je funkcija f(x) =451

10x2 + 1.

(1) Aproksimirati funkciju f na segmentu [2, 2] Lagrano-vim interpolacionim polinomom ako se za qvorove inter-

polacije odaberu taqke x0 = 2, x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2.(2) Uporediti grafike funkcije f(x) i dobijenog polinoma

P4(x).


5. Dokazati da se Lagranov interpolacioni polinom za ek-

vidistantne qvorove moe napisati u obliku

Pn(x) = Pn(x0 + ht) =t(t 1) . . . (t n)

n!

ni=0

(1)ni(ni

)t iyi,

gde je t = (x x0)/h.

6. Na osnovu vrednosti funkcije f(x) =12pi

x0

et2

dt u taqkama x1

i x2 (0 < x1 1) konstruisan je Lagranov interpola-

cioni polinom P1(x). Dokazati da je

|f(x) P1(x)| < (x2 x1)2

22pie

.

Rezultati:

1. P3(x) = 115x3 3

20x2 +

241

60x 3.9

2. P2(x) = x3 2x+ 73. P2(x) = 0.0735x

2 0.4530x+ 0.7474; |R2(1.5)| 0.013954. P4(x) = 100x

4 510x2 + 451

Napomena: Ako su qvorovi interpolacije ekvidistantni, moe

se dokazati da je

limn max2x2

|f(x) Pn(x)| =,

xto ukazuje na jedan od najveih paradoksa u numeriqkoj matema-

tici. Naime, prirodno je oqekivati da ukoliko se poveava broj

qvorova iz intervala [a, b], utoliko e interpolacioni polinomboe aproksimirati vrednosti funkcije f u svim taqkama izmeuqvorova. Meutim, sa poveaem broja qvorova poveava se i

stepen interpolacionog polinoma qime se poveava i mogunost

egove oscilatornosti na raqun veeg broja realnih nula. U

prethodnom zadatku interpolacioni polinom P4(x) uzima qak inegativne vrednosti na [2, 2], bez obzira xto je f(x) > 0, x [2, 2].utnovi interpolacioni polinomi

Interpolacioni polinom oblika

Pn(x) = f(x0) + f [x0, x1](x x0) + f [x0, x1, x2](x x0)(x x1) + . . .++ f [x0, x1, . . . , xn](x x0)(x x1) . . . (x xn1)


je utnov interpolacioni polinom za neekvidistantne qvo-

rove. Ovde su

f [x0, x1] =f(x1) f(x0)

x1 x0 , f [x0, x1, x2] =f [x1, x2] f [x0, x1]

x2 x0 ,

podeene razlike. Uopxte, podeena razlika k-tog reda u qvoru

xi se definixe rekurzivno formulom

f [xi, xi+1, . . . , xi+k] =f [xi+1, . . . , xi+k] f [xi, . . . , xi+k1]

xi+k xi .

Za ocenu grexke interpolacije moe se koristiti ocena (2).

Primer 1. Data je funkcija f(x) = ex, x [0, 0.5].(1) Aproksimirati funkciju f utnovim interpolacionimpolinomom na osnovu podataka

x | 0.0 0.2 0.5f(x) | 1.000000 1.221403 1.648721

(2) Izraqunati f(0.3) sa taqnoxu do1

2 103.

Rexee: Na osnovu tablice podeenih razlika

i xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]

0 0.0 1.0000001.107015

1 0.2 1.221403 0.6347561.424393

2 0.5 1.648721

je

P2(x) = 1 + 1.107015(x 0) + 0.634756(x 0)(x 0.2) == 0.634756x2 + 0.980064x+ 1.

Dae je f(0.3) P2(0.3) = 1.351147 sa taqnoxu

|f(0.3) P2(0.3)| e0.5

3!|0.3(0.3 0.2)(0.3 0.5)| = 0.00165.Ova ocena ne garantuje traenu taqnost.

Grexka interpolacije se moe smaiti uvoeem novog interpo-

lacionog qvora, npr. x3 = 0.4. U tu svrhu je utnov interpola-cioni polinom znatno pogodniji od Lagranovog jer ne zahteva


ponavae celog raqunskog procesa. Naime,

P3(x) = P2(x) + f [x0, x1, x2, x3](x x0)(x x1)(x x2).Prema tome, tablicu podeenih razlika dopuavamo novim in-

terpolacionim qvorom:

i xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, xi+1, xi+2, xi+3]

0 0.0 1.0000001.107015

1 0.2 1.221403 0.6347561.424393 0.220198

2 0.5 1.648721 0.7228351.568960

3 0.4 1.491825

Odavde je

P3(x) = P2(x) + 0.220198x(x 0.2)(x 0.5) == 0.220198x3 + 0.480618x2 + 1.002084x+ 1,

pa je f(0.3) P3(0.3) = 1.349826 sa grexkom

|f(0.3)P3(0.3)| e0.5

4!|0.3(0.30.2)(0.30.5)(0.30.4)| = 0.0000412 < 1

2104.

Prviutnov interpolacioni polinom za ekvidistantne qvo-

rove je polinom

Pn(x) = Pn(x0 + hs) =

= y0 + sy0 +s(s 1)

2!2y0 + . . .+

s(s 1) . . . (s n+ 1)n!

ny0,

gde je s =x x0h

, xi = x0 + ih, (i = 0, 1, . . . , n); h =xn x0

n), dok su ky0

konaqne razlike:

y0 = y1 y0, 2y0 = y1 y0, . . . .Uopxte je

kyi = k1yi+1 k1yikonaqna razlika k-tog reda.

Prvi utnov interpolacioni polinom je preporuqivo koris-

titi na poqetku intervala interpolacije gde je veliqina s malapo apsolutnoj vrednosti. Grexka interpolacije je

Rn(x) = f(x) Pn(x) = hn+1 s(s 1) . . . (s n)(n+ 1)!

f (n+1)()


gde je (x0, xn). Ako nije poznat analitiqki izraz funkcije f ,koristi se aproksimativna ocena grexke:

Rn(x) s(s 1) . . . (s n)(n+ 1)!

n+1y0.

Tablice konaqnih razlika se obiqno formiraju do onih konaqnih

razlika koje su u granicama date taqnosti.

Za interpolaciju na kraju intervala interpolacije pogodno je ko-

ristiti drugi utnov interpolacioni polinom za ekvidis-

tantne qvorove:

Pn(x) = Pn(xn + hs) =

= yn + syn1 +s(s+ 1)

2!2yn2 + + s(s+ 1) . . . (s+ n 1)

n!ny0.

Ovde je s =x xnh. Za ocenu grexke koristi se formula

Rn(x) = hn+1 s(s+ 1) . . . (s+ n)

(n+ 1)!f (n+1)(),

odnosno aproksimativna formula

Rn(x) s(s+ 1) . . . (s+ n)(n+ 1)!

n+1y0.

Primer 2. U tablici su date vrednosti funkcije

(x) =12pie

x2

2

(gustina normalne raspodele). Primenom prvog utnovog inter-

polacionog polinoma izraqunati (2.08) sa taqnoxu do 0.5 103.

Rexee: Tablicu konaqnih razlika moemo formirati do konaq-

nih razlika treeg reda, budui da su one u granicama date taq-

nosti .


x y y 2y 3y

2.0 0.0539910.010007

2.1 0.043984 0.0014980.008509 0.000137

2.2 0.035475 0.0013610.007148 0.000146

2.3 0.028327 0.0012150.005933 0.000148

2.4 0.022394 0.0010670.004866 0.000147

2.5 0.017528 0.0009200.003946

2.6 0.013582

Za x = 2.08 je s =2.08 2.0

0.1= 0.8, pa je

P2(2.08) = 0.053991 + 0.8 (0.010007) + 0.8 (0.2)2!

0.001498 = 0.04586556.

Aproksimativna grexka je

|R2(2.08)| |0.8 (0.2) (1.2)|3!

0.000137 = 0.000004383 < 12 105.

Primetimo da je stvarna grexka |(2.08)0.04586556| = |0.045861076 . . . 0.04586556| = 0.000004484 . . . za nijansu vea od aproksimativne.Primer 3. Primenom drugog utnovog interpolacionog polino-

ma izraqunati priblino sin 100 na osnovu vrednosti funkcijef(x) = sin x datih tabelom:

x y y 2y 3y

50 0.08715634713

70 0.121869 14834565 42

90 0.156434 19034375

110 0.190809

Oceniti grexku, a zatim izraqunati sin 100 primenom prvog ut-novog interpolacionog polinoma.


Rexee: Obzirom da je s =100 110

20= 0.5, na osnovu tabele konaq-nih razlika (za konaqne razlike su upisane samo znaqajne cifre)

dobija se

sin 100 P3(100) = 0.190809+(0.5) 0.034375+ (0.5) 0.52!

(0.000190)+

+(0.5) 0.5 1.5

3! (0.000042) = 0.173647875.

U ovom sluqaju je max5x11

|f (4)(x)| = sin 110 = 0.1908 . . . < 0.2, pa je

|R3(100)| < |(0.5) 0.5 1.5 2.5|4!

0.2 = 0.0078125.

Dobijena priblina vrednost podudara se sa taqnom vrednoxu

sin 100 = 0.173648177 . . . na svih prvih pet decimala. To znaqi da jestvarna grexka znatno maa od proceene.

Na osnovu prvog utnovog interpolacionog polinoma, za s =100 50

20= 2.5, dobija se

sin 100 0.087156 + 2.5 0.034713 + 2.5 1.52!

(0.000148)+

+2.5 1.5 0.5

3! (0.000042) = 0.173647875.

Primedba:

Dobijeni rezultati su identiqni. Obzirom na jedinstvenost in-

terpolacionog polinoma, to se moglo i oqekivati. Meutim, u

praksi to nije uvek tako zbog grexaka zaokrugivaa koje se

javaju u procesu izraqunavaa. Upravo sa tog (numeriqkog)

stanovixta utnovi interpolacioni polinomi nisu naroqito

pogodni, pa se daje prednost interpolacionim polinomima sa cen-

tralnim razlikama.

ZADACI ZA VEBU

1. Odrediti utnov interpolacioni polinom funkcije f(x) =

cospix

12ako se za qvorove interpolacije odaberu taqke x0 =

0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Izraqunati zatim cospi

10i oceniti

grexku.

2. Konstruisati utnov interpolacioni polinom za funkciju

f(x) = lnx ako su qvorovi interpolacije x0 = 9, x1 = 10, x2 =12, x3 = 15 koristei vrednosti ln2 = 0.693147, ln3 = 1.098613 iln5 = 1.609438. Izraqunati zatim ln11 i oceniti grexku.


3. Izraqunati

2 sa taqnoxu do 0.0001 pomou interpolacionogpolinoma funkcije f(x) =

x na odseqku [1.69, 2.25].

4. Dokazati da je

kyi =kj=0

(1)j(k

j

)yk+ij .

5. Dokazati da je

f [x0, x1, . . . , xk] =kj=0

yjwk(xj)

,

gde je wk(x) =ki=0

(x xi).

U zadacima 6.-9. na osnovu tabliqnih vrednosti izraqunati

vrednosti funkcije y = f(x) na skupu X.

6.

x | 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5y | 1.958 2.107 2.268 2.443 2.632 2.841 3.071 3.324

X = {1.89, 2.43}.7.

x | 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10y | 0.742 0.789 0.835 0.880 0.924 0.967 1.008 1.046

X = {0.83, 0.97}.8.

x | 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05y | 1.5827 1.4865 1.3721 1.2383 1.0838 0.9071 0.7069 0.4817

X = {2.72, 2.93}.9.

x | 10 15 20 25 30 35 40 45y | 0.985 0.966 0.940 0.906 0.866 0.819 0.766 0.707

X = {23, 41}.


10. Izraqunati vrednosti integralnog sinusa Si(x) =

x0

sin t

tdt u

taqkama x = 0.26 i x = 0.45 na osnovu sledee tabele vrednostifunkcije Si(x):

x | 0.17 0.22 0.27 0.32 0.37 0.42 0.47 0.52Si(x) | 0.16978 0.21941 0.26891 0.31819 0.36720 0.41591 0.46427 0.51225

11. Na osnovu tablice vrednosti funkcije f(x) = ln x

x | 0.4 0.5 0.7 0.8ln x | 0.916291 0.693147 0.356675 0.223144

izraqunati priblino ln 0.6 i oceniti grexku.

12. Primenom interpolacije odrediti karakteristiqni polinom

Q() = det(A I) matrice

A =

1 3 1 42 4 1 13 5 4 24 3 1 2

.Rezultati:

1. 0.9511 0.0012. 2.3979 0.00033. 1.4142

6. f(1.89) = 2.092, f(2.43) = 3.144

7. f(0.83) = 0.817, f(0.97) = 0.942

8. f(2.72) = 1.5463, f(2.93) = 0.9805

9. f(23) = 0.921, f(41) = 0.755

10. Si(0.26) = 0.25903, Si(0.45) = 0.44497

11. ln 0.6 0.509975, = 0.5 102

12. Q() = 4 112 + 72 + 72 93 ( Uputstvo: konstruisati nekiod interpolacionih polinoma funkcije Q() u pet qvorova in-terpolacije, npr. za 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4)

Interpolacioni polinomi sa centralnim razlikama


Neka je funkcija f zadana na skupu ekvidistantnih qvorova

xi = x0 + ih, (i = 0,, 1 . . .).

Centralne razlike se definixu na sledei naqin:

yi = yi+1 yi, 2yi = yi+1 yi, . . . (i = 0,1, . . .).

Jedna varijanta tablice centralnih razlika data je u sledeoj

tabeli.

x y y 2y 3y 4y 5y 6y

x3 y3y3

x2 y2 2y3y2 3y3

x1 y1 2y2 y3y1 3y2 5y3

x0 y0 2y1 4y2 6y3

y0 3y1 5y2

x1 y1 2y0

4y1y1

3y0x2 y2

2y1y2

x3 y3

Prva Gausova interpolaciona formula je oblika

Pn(x) = Pn(x0 + hq) =

= y0 + qy0 +q(q 1)

q!2y1 +

q(q2 12)3!

3y1 +q(q2 12)(q 2)

4!4y2+

+ q(q2 12)(q2 22) . . . (q2 (n 1)2)

(2n 1)! 2n1y(n1)+

+q(q2 12) . . . (q2 (n 1)2)(q n)

(2n)!2nyn + ,

gde je q =x x0h. Ova interpolaciona formula koristi centralne

razlike koje su u istoj vrsti kao qvor x0 i centralne razlike unarednoj vrsti.

Druga Gausova interpolaciona formula je oblika


Pn(x) = Pn(x0 + hq) = y0 + qy1 +q(q + 1)

2!2y1 +

q(q2 12)3!

3y2+

+q(q2 12)(q + 2)

4!4y2 + + q(q

2 12) . . . (q2 (n 1)2)(2n 1)!

2n1yn+

+q(q2 12) . . . (q2 (n 1)2)(q + n)

(2n)!2nyn + .

Ovde se koriste centralne razlike koje pripadaju vrsti qvora x0i centralne razlike u prethodnoj vrsti.

Za Gausove interpolacione formule koriste se sledee ocene

grexke:

R2n 2n+1y1

(2n+ 1)!q(q2 12) (q2 n2)

i

R2n1 2ny0

(2n)!q(q2 12) (q2 (n 1)2)(q + n).

Stirlingova interpolaciona formula je poluzbir prve i dru-

ge Gausove interpolacione formule:

Pn(x) = Pn(x0 + hq) = y0 + qy1 +y0

2+q2

2!2y1+

+q(q2 12)

3!

3y2 +3y12

+q2(q2 12)

4!4y2 +

+q(q2 12) (q2 (n 1)2)

(2n 1)! 2n1yn +2n1y(n1)

2+

+q2(q2 12) (q2 (n 1)2)

(2n)!2nyn + .

Grexka Stirlingove formule je

Rn 2n+1y(n+1) +2n+1yn

2(2n+ 1)!q(q2 12) (q2 n2).

Beselova interpolaciona formula je oblika

Pn(x) = Pn(x0 + hq) =

=y0 + y1

2+ (q 1

2)y0 +

q(q 1)2!

2y1 +

2y02

+q(q 1)(q 12 )

3!3y1+

+ q(q2 12) (q2 (n 1)2(q n)

(2n)!

2nyn +2ny(n1)2

+

+q(q2 12) (q2 (n 1)2(q n)(q 12 )

(2n+ 1)!2n+1yn + .

Grexka Beselove formule je


Rn =h2n+2f (2n+2)()

(2n+ 2)!q(q2 12) (q2 n2)(q (n+ 1)),

gde je [x0 nh, x0 + nh].Sve navedene interpolacione formule se koriste za interpola-

ciju funkcije u sredini intervala interpolacije. Pri tome se

qexe upotrebavaju Stirlingova i Beselova interpolaciona

formula. Praktikuje se da se Stirlingova formula koristi kada

je |q| 0.25, a Beselova kada je 0.25 |q| 0.75.Primer 1. Za funkciju y = f(x) datu tabelom

x | 3 4 5 6 7 8y | 9 16 30 72 124 155

izraqunati priblino f(5.4) pomou prve Gausove, druge Gausovei Stirlingove interpolacione formule.

Rexee: Formirajmo najpre tablicu centralnih razlika:

x y y 2y 3y 4y 5y

3 97

4 16 714 21

5 30 28 3942 18 26

6 72 10 1352 31

7 124 2131

8 155

U tablici su podvuqene vrednosti koje se neposredno koriste u

interpolacionim formulama. Obzirom da vrednost 5.4 pripadasredini intervala interpolacije, uzimamo x0 = 5. Dae je q =5.4 5

1= 0.4 i

f(5.4) P4(5.4) = 30 + 0.4 42 + 0.4 (0.6)2!

28 + 0.4(0.42 12)3!

(18)+

+0.4 (0.42 12) (1.6)

4! (39) = 43.5744,


na osnovu prve Gausove, drugom Gausovom formulom je

f(5.4) P4(5.4) = 30 + 0.4 14 + 0.4 1.42!

28 + 0.4(0.42 12)3!

21+

+0.4 (0.42 12) 2.4

4! (39) = 43.5744,dok se primenom Stirlingove interpolacione formule dobija

f(5.4) P4(5.4) = 30 + 0.4 14 + 422

+0.42

2! 28 + 0.4(0.4

2 12)3!

21 182

+

+0.42(0.42 12)

4! (39) = 43.5744.

Primer 2. Primenom Beselove interpolacione formule izraqu-

nati priblino cos 140 na osnovu vrednosti funkcije f(x) = cos xdatih tabelom

x y y 2y 3y

110 0.981630.000726

130 0.97437 0.001180.00844 0.00001

150 0.96593 0.001190.00963

170 0.95630

Rexee: Neka je x0 = 130. Tada je q = (140 130)/20 = 0.5, pa u ovomsluqaju otpadaju qlanovi neparnog reda. Dakle,

cos 140 0.97437 + 0.965932

+0.5 (0.5)

2 0.00118 0.00119

2= 0.970298.

ZADACI ZA VEBU

1. Izraqunati f(0.95) na osnovu podataka

x | 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3f(x)| 0.6875 0.8299 0.9739 0.9659 0.6139

korixeem prve Gausove, druge Gausove i Stirlingove inter-

polacione formule.

2. Izraqunati priblino vrednost f(1.34627) korixeem nekeod Gausovih formula ako je funkcija f data vrednostima


x | 1.335 1.340 1.345 1.350 1.355 1.360f(x) | 4.16206 4.25562 4.35325 4.45522 4.56184 4.67344

3. Data je funkcija f(x) tablicom

x | 750 760 770 780 790 800 810 820f(x) | 2.76806 2.83267 2.90256 2.97857 3.06173 3.15339 3.25530 3.36987

Primenom Beselove interpolacione formule izraqunati f(78030).

Rezultati:

1. 0.9930 (u sva tri sluqaja)2. 4.3793. 3.01918

Hermitov interpolacioni polinom

Neka interpolacioni qvorovi x0, x1, . . . , xm funkcije f pripadajusegmentu [a, b]. Ako u svakom interpolacionom qvoru raspolaemopodacima

f(xi), f(xi), . . . , f (i1)(xi), (i = 0, 1, . . . ,m)

onda je

mi=0

i = n + 1 ukupan broj podataka za funkciju f . Na in-

terpolacioni polinom Hn(x) nalau se zahtevi

H(k)n (xi) = f(k)(xi)

za i = 0, 1, . . . ,m; k = 0, 1, . . . , i 1. Ovaj problem se moe rexitipomou Hermitovog interpolacionog polinoma

Hn(x) = Pm(x) + (x x0)(x x1) . . . (x xm)Hk(x)gde je Pm(x) Lagranov interpolacioni polinom dobijen na os-novu podataka (xi, f(xi)) (i = 0, 1, . . . ,m), a Hk(x) polinom stepenak = n m 1 koji se odreuje korixeem ostalih podataka zafunkciju f .

Ako je f neprekidna funkcija zajedno sa svojim izvodima do(n+ 1)-vog reda na odseqku interpolacije [a, b], onda je

Rn(x) = f(x)Hn(x) = f(n+1)()

(n+ 1)!(x x0)0(x x1)1 . . . (x xm)m ,

gde je (a, b), a i predstava vixestrukost qvora xi.Primer: Formirati Hermitov interpolacioni polinom funkcije

f na osnovu podataka


x | 1 0 2f(x) | 0 7 3f (x) | 8 5 55f (x) | 10

Rexee: Obzirom da je dato sedam podataka, interpolacioni po-

linom e biti stepena ne vixeg od xest. Traimo ga u obliku

H6(x) = P2(x) + x(x+ 1)(x 2)H3(x)gde se Lagranov interpolacioni polinom P2(x) dobija na osnovuvrednosti funkcije u taqkama x0 = 1, x1 = 0, x2 = 2 :

P2(x) =(x+ 1)(x 2)(0 + 1)(0 2) (7) +

(x+ 1)(x 0)(2 + 1)(2 0) 3 = 4x

2 3x 7.

Ostaje da se odredi polinom H3(x). Diferenciraem polinomaH6(x) dobijamo

H 6(x) = 8x 3 + (3x2 2x 2)H3(x) + x(x+ 1)(x 2)H 3(x)odakle, obzirom na interpolacione zahteve H 6(1) = 8, H 6(0) =5, H 6(2) = 55, sledi da je

H3(1) = 1, H3(0) = 1, H3(2) = 7.Dae je

H 6 (x) = 8 + (6x 2)H3(x) + (6x2 4x 4)H 3(x) + x(x+ 1)(x 2)H 3 (x)i, obzirom na zahtev H 6 (0) = 10,

H 3 (0) = 1.Sada se primeuje ve opisani postupak za nalaee polinoma

H3(x):H3(x) = P

2 (x) + x(x+ 1)(x 2)k, (k = H0(x)),gde je

P 2 (x) =(x 0)(x 2)

(1 0)(1 2) 1+(x+ 1)(x 2)(0 + 1)(0 2) 1+

(x+ 1)(x 0)(2 + 1)(2 0) 7 = x

2+x+1.

Kako je, dae,

H 3(x) = 2x+ 1 + (3x2 2x 2)k,iz uslova H 3(0) = 1 dobijamo k = 1, pa je H3(x) = x3x+1. Konaqnoje

H6(x) = x6 x5 3x4 + 2x3 + 5x2 5x 7.

ZADACI ZA VEBU

U zadacima 1.-3. formirati Hermitov intrpolacioni poli-

nom na osnovu datih podataka za funkciju f .


1.

x | 1 0 1f(x) | 6 1 2f (x) | 10 4 2f (x) | 0

2.

x | 0 1 2f(x) | 1 0 1f (x) | 1 0f (x) | 10

3.

x | 1 0 1f(x) | 1 1 1f (x) | 0 5f (x) | 28

Rezultati:

1. H6(x) = x6 4x+ 12. H5(x) = x

5 2x4 2x3 + 5x2 x 13. H5(x) = x

5 + x4 2x2 + 1

Inverzna interpolacija

Problem inverzne interpolacije sastoji se u tome da se na os-

novu zadane vrednosti y funkcije f odredi odgovarajua vred-nost argumenta x. Ako je f monotona funkcija na [a, b], a qvoroviinterpolacije neekvidistantni, problem se moe rexiti pomou

Lagranovog interpolacionog polinoma tako xto se y uzima zanezavisno promenivu, a x za funkciju:

x =(y y1) (y yn)(y0 y1) (y0 yn)x0 +

(y y0) (y yn)(y1 y0) (y1 yn)x1 + +

+(y y0) (y yn1)

(yn y0) (yn yn1)xn.


Takoe se moe primeniti utnov interpolacioni polinom sa

podeenim razlikama funkcije x = f1(y):

x = x0 + (y y0)f1[y0, y1] + (y y0)(y y1)f1[y0, y1, y2] + + (y y0) (y yn1)f1[y0, y1, . . . , yn].

Primer 1. Na osnovu tablice vrednosti funkcije y = f(x)

x | 10 15 17 20f(x) | 3 7 11 17

odrediti x za koje je y = 10.

Rexee: Primenom Lagranovog interpolacionog polinoma do-

bija se

x =(10 7)(10 11)(10 17)(3 7)(3 11)(3 17) 10 +

(10 3)(10 11)(10 17)(7 3)(7 11)(7 17) 15+

+(10 3)(10 7)(10 17)(11 3)(11 7)(11 17) 17 +

(10 3)(10 7)(10 11)(17 3)(17 7)(17 11) 20 =

= 16.64

Primer 2. Metodom inverzne interpolacije rexiti jednaqinu

x lnx 1 = 0.

Rexee: Lako se uveriti da jedino rexee jednaqine pripada

intervalu (1.6, 1.9). Na odseqku [1.6, 1.9] funkcija f(x) = xlnx 1monotono raste jer je f (x) = lnx + 1 > 0 za x [1.6, 1.9]. Samimtim na tom odseqku postoji f1. Na osnovu vrednosti f(1.6) =0.2479952, f(1.7) = 0.0979324, f(1.8) = 0.0580148 i f(1.9) = 0.2195226moemo obrazovati tabelu za formirae utnovog interpola-

cionog polinoma funkcije x = f1(y):

i y x f1[yi, yi+1] f1[yi, yi+1, yi+2] f1[yi, yi+1, yi+2, yi+3]

0 0.2479952 1.60.6663876

1 0.0979324 1.7 0.08217050.6412426 0.0270049

2 0.0580148 1.8 0.06954520.6191651

3 0.2195226 1.9


Traeni polinom ima oblik

P3(y) = 1.6 + 0.6663876(y + 0.2479952) 0.0821705(y + 0.2479952)(y + 0.0979324)++ 0.0270049(y + 0.2479952)(y + 0.0979324)(y 0.0580148).Rexee jednaqine dobija se ako se u formulu uvrsti y = 0:

P3(0) = 1.6 + 0.1652609 0.0019956 0.000038 = 1.7632273.Obzirom na posledi sabirak, moemo smatrati da je rexee

jednaqine x = 1.76323 0.00004.Ako su qvorovi interpolacije ekvidistantni, f monotona funkci-ja i f(x0) = y0 < y < y1 = f(x1), primenom prvog utnovog interpo-lacionog polinoma problem inverzne interpolacije se svodi na

nalaee nepokretne taqke preslikavaa

q = (q),

gde je

(q) =y y0y0

2y0

2!y0q(q 1)

ny0n!y0

q(q 1) (q n+ 1).

Ako je h dovono malo i f C(n+1)[a, b], iteracioni procesqn = (qn1), (n = 1, 2, . . .)

konvergira rexeu q. Za poqetnu aproksimaciju se obiqno uzima

q0 =y y0y0. Traena vrednost za x se odreuje na osnovu formule

x = x0 + qh.

Primer 3. Funkcija f je data tabelom

x | 1.0 1.2 1.4y | 35 55 63

Za koju vrednost x je y = 40?

Rexee: Formirajmo tablicu konaqnih razlika:

x y y 2y

1.0 3520

1.2 55 128

1.4 63


Poqetna aproksimacija je q0 =y y020

= 0.25. Dae je

q1 = q0 2y0

2!y0q0(q0 1) = 0, 194,

q2 = q0 2y0

2!y0q1(q1 1) = 0.203,

q3 = q0 2y0

2!y0q2(q2 1) = 0.201,

q4 = q0 2y0

2!y0q3(q3 1) = 0.201i

x = x0 + qh = 1.04.

ZADACI ZA VEBU

1. Rexiti jednaqinu tgx = 1.767 na osnovu tablice vrednostifunkcije f(x) = tgx:

x | 600 610 620y | 1.732 1.804 1.881

2. Koristei vrednosti funkcije y = log x date u tablici

x | 20 25 30y | 1.3010 1.3979 1.4771

nai x takvo da je log x = 1.35.

3. Metodom inverzne interpolacije odrediti sa taqnoxu do

105 koren jednaqinex+ 1 1

x= 0

koji pripada intervalu (0.7, 0.8).

Rezultati:

1. x = 60.49480

2. x = 22.415

3. x = 0.75487

polinomska interpolacija

Documents