Ponavljanje gradivaPonavljanje gradiva7. razreda7. razreda

U 7. razredu smo učili:- koordinatni sustav u ravnini

- o proporcionalnim i obrnuto proporcionalnim veličinama- postotke i jednostavni kamatni račun- statistiku i vjerojatnost

- o mnogokutima- o sličnim trokutima

- kako riješiti sustav jednadžbi- o linearnim funkcijama i jednadžbi pravca.

- o krugu i kružnici

Sjećaš li se toga?Ponovimo...

(Za ponavljanje određenog poglavlja,samo kliknite gore na naziv.)

1.Koordinatni sustav

u ravnini

Koordinatni sustav na pravcu:Koordinatni sustav na pravcu:

Koordinatni sustav u ravnini:Koordinatni sustav u ravnini:

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

y

.A( )?2

.C( )?-4,2

Gdje je točka B(-3.5)?

.B(-3.5)x

.D( )?2,0

.K( )?0,-4

Gdje je točkaM(-3,-2.5)?

.M(-3,-2.5)

jedinična dužina

Koordinatni sustav na pravcu:Koordinatni sustav na pravcu:

Koordinatni sustav u ravnini:Koordinatni sustav u ravnini:

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

y

.A( )2.B(-3.5)x

Koordinatni sustavu ravnini dijeli ravninuna ___ dijela koji se zovu_________.

4

kvadrantiKako se naziva kojikvadrant?

I.II.

III. IV.os ______apscisa

os _______ordinata

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

y

..B(-3.5)

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

A( )2x

Svaka točka na pravcu ima_____________(koliko koordinata?)jednu koordinatu ,a točke u ravnini_____________dvije koordinate .

.K( )0,-4

.D( )2,0

.M(-3,-2.5)

.-2,1C( )

Pravac je jednodimenzionalan,a ravninadvodimenzionalna!

2.Proporcionalnost i

obrnutaproporcionalnost

Proporcionalne veličine su veličine za koje vrijedi:koliko puta se poveća (smanji) jedna veličina,toliko puta se poveća (smanji) i druga.Proporcionalne veličine imaju konstantan _____omjer,

Prisjetimo se omjera!

Da bi majstor dobio određenu nijansu zeleneboje, žutu i plavu boju treba izmiješati u omjeru 5:2 .

Što to znači?To znači da na svakih 5 dl žute boje trebastaviti 2 dl plave.Koliko plave boje treba staviti na 10 dl žute?4 dl plaveA na 45 dl žute? 18 dl plaveA na 8 dl plave? 20 dl žute

x:y = konst.

Primjer:

Reci nekoliko omjera koji su jednaki zadanom omjeru:8 : 10 = 4 : 5

= 16 : 20= 80 : 100...

Dakle, što možemo napraviti s oba člana omjera, pa da dobijemo omjer jednak početnom?

Oba člana omjera možemo pomnožiti ili podijeliti s istim brojem. Time ćemo dobiti omjer jednak početnom.

Kako se naziva jednakost dvaju omjera,npr. 3 : 7 = 6 : 14 ?

RAZMJER ili PROPORCIJA

Kako naći nepoznati član razmjera?

8 : x = 6 : 3Npr.

6x =

Množimo vanjski član s vanjskim, a unutrašnji s unutrašnjim.(Krenimo s onim parom u kojem je x!)x =

/ :6244

Pogledaj ponovo zadani razmjer,8 : x = 6 : 3 .Jesi li u ovom slučaju logički mogao naći x?Da. Naime, na desnoj strani jednakosti jeprvi član (6) dva puta veći od drugoga (od 3).Onda i na lijevoj strani prvi član (8) morabiti dva puta veći od drugoga (od x),pa je x=4 .

Kako naći nepoznati član razmjera?

8 : x = 6 : 3Npr.

6x = /x =

:6244

Možeš li i ovaj razmjer riješiti logički:21 : x = 7 : 4 ?

Da. Naime, prvi član na lijevoj strani (21)je tri puta veći od prvog člana na desnojstrani (od 7).Onda i drugi član na lijevoj strani (x) morabiti tri puta veći od drugog člana na desnoj strani (od 4), pa je x=12 .

Sa 6 litara benzina Fiat Punto može prijeći 100 km (u prosjeku).U rezervoar stane 40 litara.Koliko kilometara Punto može prijeći sa punim rezervoarom?Koje veličine ovdje imamo? Kakve su to veličine? ...Rješenje:

6 litara benzina

100 km40 litara benzina

x km

6 : 40 =

100 : x

6x =x

/ :64000≈ 666.7

Fiat Punto sa punim rezervoarom u prosjeku može prijeći oko 667 km.

Zadatak:

Obrnuto proporcionalne veličine su veličine za koje vrijedi:koliko puta se poveća (smanji) jedna veličina,toliko puta se smanji (poveća) druga.Obrnuto proporcionalne veličine imaju konstantan _______umnožak ,

Mali Mario jako voli sladoled.Od djeda je dobio džeparac.Ako će kupovati sladolede za 8 kuna, moći će ih kupiti 3.Ako ih za iste novce želi kupiti dvostruko više, kakva bi im trebala biti cijena?Cijena bi im trebala biti dva puta manja,dakle 4 kune.Kakve su veličine - broj sladoleda i cijena?To su obrnuto proprcionalne veličine.

Zadatak:x·y = konst.

Stočari Joža i Štef kupili su jednako mnogo hrane za krave.Gazda Joža će s njom svojih 20 krava moći hraniti 15 dana.Koliko će dana gazda Štef s tom hranom moći hraniti svojih 30 krava?Koje veličine ovdje imamo? Kakve su to veličine? ...Rješenje:

20 krava 15 dana30 krava x dana

20 : 30 =x : 15

30x =x =

/ :3030010

Gazda Štef će svoje krave tom hranom moći hraniti 10 dana.

Zadatak:

3.Postoci

Morska voda sadrži 3-4 % soli. Što to znači?

Primjer:

To znači da 100 kg morske vode sadrži 3-4 kg soli.A u nekoliko puta većoj (manjoj) količini morske vode ima točno toliko puta više (manje) soli.Dakle, postoci nam govore koliko je nečega u skupini od ___ .100

S nekim jednostavnijim postocima lakoračunamo i napamet. Prisjetimo ih se!

50% =pola =__12 =0.5

25% =četvrt = __14 =0.25

75% =tri četvrt = __34 =0.75

Morska voda sadrži 3-4 % soli. Što to znači?

Primjer:

To znači da 100 kg morske vode sadrži 3-4 kg soli.A u nekoliko puta većoj (manjoj) količini morske vode ima točno toliko puta više (manje) soli.Dakle, postoci nam govore koliko je nečega u skupini od ___ .

S nekim jednostavnijim postocima lakoračunamo i napamet. Prisjetimo ih se!

100% =cijela cjelina =1

200% = 2dva puta veće od promatrane cjeline=

500% = 5pet puta veće od promatrane cjeline=

100

Vlado ima plaću 4100 kuna.Zadatak A:

2050Ako Anina plaća čini Vladine plaće,njezina je plaća _____ kn.

50 %Ako Anina plaća čini Vladine plaće,njezina je plaća _____ kn.

50 %4100

100%1025

25 %8200

200%6150

150%

Na parkiralištu je 6060 automobila.

Zadatak B:

Tada je crvenih automobila ____ %.5050Od toga je crvenih automobila.

3030Od toga je crvenih automobila.

3030100100

60601010

662525

1515

50%50%

Zadatak C:

Tada je u tom pakovanju ____ čaša.

U jednoj kutiji je 3030 cijelih čaša, a to je pakovanja.50%50%U jednoj kutiji je 3030 cijelih čaša, a to je pakovanja.

606075%75%

404010%10%

300300

A kako postupamo sa "složenijim" postocima?

Pretvorimo u razlomke:7 % = ___7

100 147 % = ___147100 6.8 % = ___6.8

100____681000=

Pretvorimo u decimalne brojeve:7 % =0.07 147 % =1.47 6.8 % =0.068

Pretvorimo u postotke:4.7 =470 % 0.91 =91 % 0.3 =30 %__35 = 3 : 5 =0.6 = 60 %__94 = 9 : 4 =2.25 =225 %6 = 600 %__12 = 50 %

(Točku pomaknemo dva mjesta ulijevo!)

(Točku pomaknemo dva mjesta udesno!)

U postotnom računu imamo tri osnovna tipa zadataka:

II. 27 % od 40 je _____

III. 61 % od _____ je 70

___27100 · 40 = 0.27· 40 = 10.8

10.8

"od" znači "puta"

"od" znači "puta"

0.61 /:0.61x ≈ 114.8

114.8

Pri rješavanju tekstualnih zadataka, prvo iz teksta zadatka složimo izraz poput gornjih,a zatim ga riješimo.

I. ____ % od 82 je 13Prvo razlomkom izrazimo koji dio od 82 čini 13!__1382 = 13:82 = 0.159Traži se postotak.

Pa pretvorimo to u postotak!= 15.9 %

15.9

· x = 70

Zadatak:U hotelu Dupin je 420 gostiju. 40% gostiju su Hrvati.a) Koliko je Hrvata u tom hotelu?

40 %___40100 · 420 = 168

168 U hotelu DupinU hotelu Dupinje 168 Hrvata.je 168 Hrvata.

b) Od svih gostiju, 250 je žena, a ostalo su muškarci.Koliki je postotak žena?

____ %___250420 = 250 : 420 ≈ 0.6 = 60 %

60

A postotak muškaraca?100 % - 60 % = 40 %Žene čine 60%, a muškarci 40% gostijuŽene čine 60%, a muškarci 40% gostijuhotela Dupin.hotela Dupin.

od 420 je _____

od 420 je 250

Zadatak:U hotelu Dupin je 420 gostiju. 40% gostiju su Hrvati.a) Koliko je Hrvata u tom hotelu?

___40100 · 420 = 168

U hotelu DupinU hotelu Dupinje 168 Hrvata.je 168 Hrvata.

c) 8% Čeških gostiju sudjelovalo je na plesnom natjecanju.

Oni su činili 5 parova (10 natjecatelja).Koliko je bilo Čeških gostiju?

8 %0.08 / :0.08

x = 125

125

Bilo je 125 Bilo je 125 Čeških gostiju.Čeških gostiju.

od _____ je 10

40 % 168od 420 je _____

· x= 10

4.

Statistika i vjerojatnost

Statistika je grana matematike koja se bavi načinimaprikupljanja i obrade podataka.Primjer: U sljedećim grafikonima prikazana je prodaja novogodišnjih jelki tijekom jednog tjedna:

19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.18.12.

= 10 jelki

0

10

20

30

40

50

60

70

18.12. 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.

0

10

20

30

40

50

60

70

18.12. 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.

datum br. jelki

18.12. 2019.12. 3020.12. 3521.12. 3022.12. 5023.12. 5524.12. 60

Ukupno prodano: 280 jelki

7%11%

13%

11%

18%

20%

20% 18.12.19.12.20.12.21.12.22.12.23.12.24.12.

Kako se zove koji od ovih dijagrama?

TABLIČNI PRIKAZTABLIČNI PRIKAZ SLIKOVNI DIJAGRAMSLIKOVNI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAMKRUŽNI DIJAGRAM

STUPČASTI DIJAGRAMSTUPČASTI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAMLINIJSKI DIJAGRAM

Koliko je jelki prodano 20.12.? Prikazuju li svi dijagrami isto?20.12. prodano je 35 jelki. Svi dijagrami to pokazuju.

??

Možeš li reći što/kolike su ovdje frekvencije, a što/kolike relativne frekvencije?

19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.18.12.

= 10 jelki

0

10

20

30

40

50

60

70

18.12. 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.

0

10

20

30

40

50

60

70

18.12. 19.12. 20.12. 21.12. 22.12. 23.12. 24.12.

datum br. jelki

18.12. 2019.12. 3020.12. 3521.12. 3022.12. 5023.12. 5524.12. 60

Ukupno prodano: 280 jelki

7%11%

13%

11%

18%

20%

20% 18.12.19.12.20.12.21.12.22.12.23.12.24.12.

TABLIČNI PRIKAZTABLIČNI PRIKAZ SLIKOVNI DIJAGRAMSLIKOVNI DIJAGRAM KRUŽNI DIJAGRAMKRUŽNI DIJAGRAM

STUPČASTI DIJAGRAMSTUPČASTI DIJAGRAM LINIJSKI DIJAGRAMLINIJSKI DIJAGRAM

U ovom primjeru frekvencije nam govore koliko je jelkiprodano koji dan.

A relativne frekvencije nam govore koji je dio od ukupnogbroja jelki prodan koji dan. Relativne frekvencije mogu bitiizražene u postocima, razlomcima ili decimalnim brojevima.

datum br. jelki

18.12. 2019.12. 3020.12. 3521.12. 3022.12. 5023.12. 5524.12. 60

Zadatak:Izračunaj koliko je prosječno po danu prodano jelki.Kako računamo prosjek?

Prosječnu vrijednost računamo tako dazbrojimo sve vrijednosti,a zatim dobiveni rezultat podijelimos brojem koliko smo vrijednosti zbrojili.Ovdje ćemo računati:

20 + 30 + 35 + 30 + 50 + 55 + 60 =280280 : 7 =40

U prosjeku je po danu prodano 40 jelki.

Vjerojatnost...U matematici, vjerojatnost nekog događaja je broj između

Vjerojatnost 1 opisujeVjerojatnost 0 opisujeVjerojatnost 0.5 opisuje

Ostali brojevi između 0 i 1 opisuju ostale manje ili više vjerojatne događaje.

siguran događaj.nemoguć događaj.

na pola vjerojatan događaj.

0 i 1.

Za vjerojatnost koristimo oznakuP.

Zadatak:U akvariju su ribice.

Nestašni mačak Garfild pokušava ih uloviti.

Sve su ribice jednako brze.

P(crvena) = 210

___ =15__

P(zlatna) = 4

10___ =

25__

P(prugasta) = 3

10___

P(ljubičasta) = 110

___

Kolika je vjerojatnost da će Garfild prvo uloviti:

Općenito:

P(neka boja) = ________________________broj ribica te bojeukupan broj svih ribica

?

?

Zadatak:Mario zna da će mu baka doći u posjetu idući tjedan, ali nema pojma koji bito dan moglo biti.Kolika je vjerojatnost da će on od prve pogoditi koji će to dan biti?

P(pogodak) = 17

__

Kolika je vjerojatnost da on od prve neće pogoditi?

P(promašaj) = 67

__ (Na koja dva načina to možemo izračunati?)

Zadatak:U nedjelju će se igrati nogometna utakmica između NK Vesela kopačka iNK Vatreni.Ako je vjerojatnost da pobijedi Vesela kopačka 0.4, kolika je vjerojatnost da pobijede Vatreni?

P(Vatreni) =

Zadatak:Na utrci konja vjerojatnost da pobijedi konj Vihor je 70 %. Kolika je vjerojatnost da on ne pobijedi?

P(ne Vihor) =

0.6

30 %

5.

Mnogokuti i krug

Mnogokut jedio ravnine omeđen dužinama koje se ne sijeku.U mnogokute spadaju: - trokuti

- četverokuti- peterokuti

- šesterokuti, sedmerokuti...Za mnogokut ćemo reći da je pravilan ako su mu sve stranice

jednakih duljina i svi kutovi jednakih veličina.Koji od likova na gornjim slikama su pravilni?Kako inače nazivamo pravilni trokut?

- jednakostraničan trokutA pravilni četverokut?

- kvadrat

?kružnica

?krug

jeskup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od neke (središnje) točke

jedio ravnine omeđen kružnicomS

Nazivi i oznake vezani uz krug i kružnicu:

Sr r - radijus ili polumjer kružnice

d

d - dijametar ili promjer kružnice

S - središte kružnice/kruga

S

kružni luktetiva S

kružni isječak

S

kružni odsječak

S

tangenta kružnice jepravac koji dodiruje kružnicuu točno jednoj točkidiralištetangente i kružnice

Kako crtamo tangentu u zadanoj točki kružnice?Okomito na radijus!

S

sekanta kružnice

sjecišta

??

S S

obodni središnjijekut čiji je vrhna kružnici ičiji kraci sijekukružnicu

jekut čiji je vrh

u središtu kružnice(i čiji kraci sijekukružnicu)

S

Obodni kutovinad istim lukom

imajujednake veličine!

SAko imamo obodni i središnji kut

nad istim lukom,tada je veličina središnjeg kuta

_____ kut _______ kut

dva puta veća od veličine obodnog!

Talesov poučak:Talesov poučak:

S S S

Obodni kut nad promjerom kruga uvijek jepravi kut!

Opseg (bilo kojeg lika) jeduljina njegovog ruba,a površina jeveličina njegove unutrašnjosti.Za opseg koristimo m, dm, cm, mm..., a za površinum2, dm2, cm2, mm2...

Opseg mnogokuta računamo tako dazbrojimo duljinesvih njegovih stranica.Npr.

abb

c c O =a + 2b + 2cOpseg pravilnog sedmerokuta: O =7aOpseg pravilnog n-terokuta: O =n·a

Opseg kruga: O =2rΠ Π ≈ 3.14

Površina kruga: P =r2 ΠS

r

r·r ) ( r2 =

(koje mjerne jedinice?)

Ponovimo formule za opsege i površine trokuta i četverokuta...Koje vrste trokuta poznajemo (podjela s obzirom na stranice)?

jednakostraničantrokut

jednakokračantrokut

raznostraničantrokut

pravokutantrokut

abb caa

O = 3aP = aa v

2

vaava

O = a + 2bP = aa v

2

bava

O =a + b + cP = aa v

2

Koji trokut ima "drugačiju" formulu za površinu?

cb

a

O = a + b + cP = a b

2P = bb v

2 P = bb v2

P = cc v2

P = cc v2

? ? ?

Što je va?

?

a -b -

osnovicakraci

a, b -c -

katetehipotenuza

vc

Četverokuti...Koje vrste četverokuta poznajemo?pravokutnik kvadrat paralelogram romb

trapez deltoid

ab

ab

O =2a + 2bP =a · b

?a

aa

a

O = 4aP =a · a

?a

ba

b

O =2a + 2bP =a · va

?

Što je va?

vaa

aa

a

O = 4aP =a · va

?va

?a

bc

d

O =a + b + c + d

P =

v

(a+c) v2

a, c -b, d -

osnovicekraci

a c ?b b

aa

O =2a + 2b

P =1 2dd2

Što su d1 i d2 ?

d1d2

pravokutnik kvadrat paralelogram romb

trapez deltoid

ab

ab

O =2a + 2bP =a · b

aa

aa

O = 4aP =a · a

ab

ab

O =2a + 2bP =a · va

aa

aa

O = 4aP =a · va

ab

cd

O =a + b + c + d

a c ?b b

aa

O =2a + 2b

d1d2

Ova formula za površinu vrijedikod svih četverokuta koji imaju okomite dijagonale!Koji od gornjih četverokuta imaju okomite dijagonale?

P = dd2

? ?dd ? ?d2d1

P =1 2dd2Po kojoj god formuli računali

površinu kvadrata,dobit ćemo isto rješenje!Isto vrijedi i za ostale likove.

P = (a+c) v2 P =

1 2dd2

Izračunaj opseg i površinu ovog lika:

6 cm

7

O =O = 7 + 6 + 7 +

==

2r2

=

r Π =

3 Π ≈3 · 3.14 ≈9.42 cm

O ≈ 7 + 6 + 7 + 9.42O ≈ 29.42 cm

duljina ruba duljina polukružnice

P =P1 + P2

P1

P2

P1 = a · bP1 = 6 · 7P1 = 42 cm2

P2 = površinapolukruga

P2 = 2r2

P2 = 3 22

P2 ≈ 9 3 14.2

P2 ≈14.13 cm2

P ≈42 + 14.13P ≈56.13 cm2

7

?

?

U ovoj cjelini uvježbali smo i kako transformirati formule.Npr.

Nađi formulu za va ako je P = aa v2 .

P = aa v2 ·2

2P= a · va

a · va 2P= : a

va = 2Pa

Prvo prepišemo zadanu formulu.

Sad se sjetimo za što tražimo formulu! Za va.Onda va mora biti na lijevoj strani! Ako nije, zamijenimo strane...

Riješimo se razlomka!

Ponovo se sjetimo za što tražimo formulu! Za va.Onda va mora biti sam na lijevoj strani. Riješimo se onoga što smeta na lijevoj strani!

Zbroj kutova: - trokuta je 180˚360˚- četverokuta je

Kn = (n-2)·180˚- n-terokuta je

Zadatak:Koliki je (jedan) kut pravilnog deseterokuta? Kako to možemo izračunati?

Pravilni deseterokut ima 10 jednakih kutova.Prvo izračunamo zbroj svih 10 kutova, a zatim veličinu jednog.

K10 =(10-2)·180˚K10 =8 · 180˚K10 =1440˚

jedan kut:

α =1440˚:10α = 144˚

zbroj svih kutova:α =K10:10

Svaki kut pravilnog deseterokuta ima 144˚.

6.

Sličnost trokuta

Za dva trokuta reći ćemo da su slična ako su im:1. odgovarajuće stranice proporcionalne2. odgovarajući kutovi jednaki .

AA

BB CC

DD

EE FFa

bc

d

efαβ γ

δ

ε φ

∆ ABC ~ ∆ DEF ako:1. a : d = b : e = c : f

2. α = δ , β = ε ,γ = φ

Ako želimo provjeriti jesu li dva trokuta slična, moramo liprovjeravati i proporcionalnost svih stranica i jednakosti svih kutova?Ne. O tome nam govore poučci o sličnosti!Koje poučke o sličnosti trokuta znaš?

S-S-S poučak

S-K-S poučak

K-K (-K) poučak

?Ako dva trokuta imaju proporcionalne stranice,tada su oni slični (tj. tada su im i odgovarajući kutovi jednaki).

?Ako dva trokuta imaju dvije proporcionalne stranicei ako se podudaraju u kutu između njih,tada su ti trokuti slični (tj. tada su im sve stranice proporcionalne i podudarajuse u sva tri kuta).

?Ako se dva trokuta podudaraju u kutovima,tada su ti trokuti slični (tj. tada su im i stranice proporcionalne).Dovoljno je provjeriti podudaranje u samo dva kuta.

Kolika je visina zgrade koja ima sjenu dugu 15 metaraako čovjek visok 1.80 m u istom trenutku ima sjenu dugu 0.8 m?

Zadatak 1.:

15 m

1.8 m1.8 m

0.8 m

xx

x : 1.8 =15 : 0.8

0.8 x = 27 /: 0.8

x = 33.75

Zgrada je visoka 33.75 metara.

Koliki su x i y:

p1

p2

p1 p2

3 x2.5

4.5

3 : x =2.5 : 4.5

2.5 x =13.5 /: 2.5

x = 5.4

Zadatak 2.:

1y

1 : y =2.5 :

2.5 y = 7 /: 2.5

y = 2.8

7

7

x = ? y = ?

Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanjazadanu dužinu podijelio na 5 jednakih dijelova?

Zadatak 3.:

AA BBTT11 TT22 TT33 TT44

5jednakihudaljenosti!

Paralele!Time smo pronašli točkekoje dužinu ABdijele na 5 jednakih dijelova.

Kako bi koristeći geometrijski pribor, bez mjerenja i računanjazadanu dužinu podijelio u omjeru 2:52:5 ?

Zadatak 4.:

CC DD

Zadani omjer 2:52:5 nanesemona pomoćni polupravac!

22

55

Paralelno!

TT

Time smo pronašli točku TTkoja dužinu CDdijeli u omjeru 2:5 2:5 .

Kako bismo se uvjerili da točka TT zaista dijeli zadanu dužinu u omjeru 2:5 2:5 ?

22 55

7.

Sustav dviju jednadžbis dvije nepoznanice

Primjer sustava:x + y = 33x - y = 5

Riješiti sustav značinaći brojeve koje u obje jednadžbemožemo uvrstiti umjesto x i y, pa da dobijemo jednakosti.

Možeš li napamet (pogađajući) naći rješenje gornjeg sustava?

x = 2, y = 1Rj. ( 2, 1 )

Sustave možemo rješavati raznim metodama:- pogađanjem (ako je sustav jednostavan)- metodom supstitucije (substituere (lat.) - zamijeniti)- metodom suprotnih koeficijenata- grafičkom metodom- metodom komparacije...

Sljedeće sustave riješi metodom supstitucije (u bilježnicu) :Zadatak 1.:

a) 3x - y = 3x + 2y= 8

b) 6x - 2y = 23x - 4y = 22

Rj. ( 2, 3 ) Rj. ( -2, -7 )

Sljedeće sustave riješi metodom suprotnih koeficijenata:Zadatak 2.:

a) -3x - 2y =143x - 6y =66

b) 6x - 5y = -16-4x - 3y = -2

Rj. ( 2, -10 ) Rj. ( -1, 2 )

Riješi sustave:Zadatak 3.:

a) __x3 - __y

2 + 1 = 0

-2 (x - 3y) = y + 2

Rj. ( -6, -2 )

__xy = __1

y2 -b)

____32-x - ____2

y+1 = ____4y+1

Rj. ( 1, 1 )

8.

Linearna funkcija i jednadžba pravca

Funkcija jepravilo po kojemsvakom elementu jednog skupapridružujemotočno jedan element nekog drugog ili tog istogskupa.Kako čitamo ovo:

f(2) = 5 → ef od 2 jednako je 5 Što to znači?To znači da funkcija f broju 2 pridružuje broj 5. 2 ↦ 5

Kako čitamo ovo:g(x) = 2·x → ge od x jednako je 2 puta x

Što to znači? Kakva pridruživanja vrši funkcija g?

Funkcija g svakom broju x pridružuje 2·x,tj. dvostruki broj.

Zadatak:Zadana je funkcija f(x) = 2x-7 .Izračunajmo što ta funkcija pridružuje brojevima -1 i 3.

f (-1) =

2∙(-1) - 7f (-1) =

-2 -f (-1) =

-97

Time smo izračunali da ova funkcija broju -1 pridružuje broj

f (3) = 2∙3 - 7f (3) = 6 -f (3) = -1

7

-9.

Linearna funkcija je funkcija oblikaf(x) = ax + b ,

pri čemu su a i b

Za svaku od sljedećih funkcija reci da li je linearna:g(x) = 2x - 7 → je, a = , b =2 -7h(x) = -x + 5 → je, a = , b =-1 5f(x) = x → je, a = , b =1 0f(x) = x · x → nije

→ nijek(x) = 4x -__5x

f(x) = -0.3x + __89

__89→ je, a = , b =-0.3

racionalni brojevi, a ≠0.

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .Ako želimo prikazati što ta funkcija pridružuje nekim brojevima, to možemo učiniti pomoću tablice:

xf(x) = 2x-1

1 2 4 0 -1?1 ?3 ?7 ?-1 ?-3

Kako bismo u koordinatnom sustavu predočilita ista pridruživanja?

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

xf(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

Sve ucrtane točke leže na istom ______.

pravcuGraf linearnelinearne funkcijefunkcije uvijek je ______pravacpravac !

y=2x

-1

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

xf(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

y=2x

-1

Očitaj sa grafa: f(-2) = -5f(2.5) = 4f(0.5) = 0f( ___ ) = -4-1.5

-1.5

Primjer:Zadana je funkcija f(x) = 2x-1 .

xf(x) = 2x-1

1 2 4 0 -11 3 7 -1 -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

y=2x

-1

Pripada li točka (20,40) tom grafu?To na crtežu ne vidimo, pa provjerimo računski:

f (20) = 2 ∙20 -f (20) = 3

9

1Dakle, točka (20,40) ne pripada grafu funkcije f,a pripada mu točka (20,39) .

Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružujevrijednost nula.

Kolika je nultočka funkcije f iz prošlog primjera?Možemo li je očitati sa grafa?

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

y=2x

-1

Pogledamo u kojoj točki graf sijeće os x.Toj točki funkcija f pridružuje nulu!

0.50.5

Dakle, f(0.5) = 0,pa je 0.50.5 nultočka funkcije f.

Nultočka funkcije je broj kojem funkcija pridružujevrijednost nula.

A kako bismo računski našli nultočku iste funkcije, f(x) = 2x-1 ?

Pošto je nultočka vrijednost kojoj funkcija pridružuje nulu,krenimo od:

f(x) = 02x - 1 = 0 Nađimo x koji to zadovoljava!2x = / : 2

x = 0.5

Došli smo do istog rješenja kao ikad smo očitavali sa grafa,nultočka je broj 0.50.5 .

1

Koeficijenti linearne funkcije:

f(x) f(x) == aa xx ++ bb

?koeficijent smjerakoeficijent smjera ?odsječak na osi yodsječak na osi y

- govori namda li funkcija raste ili padaAko je a > 0, tada funkcija _____.rasteAko je a < 0, tada funkcija _____.padaAko je a = 0, tadafunkcija niti ne raste niti ne pada,

- govori namu kojoj točkigraf funkcije sijeće os y

ili nagibnagib

njezin je graf vodoravan.

Zadatak:

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

Što sa grafa možemo zaključiti o:- koeficijentu smjera ? a > 0 a > 0 (funkcija raste)- odsječku na osi y ? b = -2b = -2- nultočki funkcije ? xx00 = 1 = 1

Zadan je graf funkcije f:

Umjesto f(x) možemo pisati y , npr.yy == -2x-2x ++ 11 .

Ako u koordinatnom sustavu nađemo sve točke (x,y) koje tozadovoljavaju, one će ležati na istom ______.pravcu

Stoga kažemo da je yy == -2x-2x ++ 11 ______________.jednadžba pravcajednadžba pravcaKako nacrtati taj pravac?

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

xy =

1 2-2x+1 ?-1 ?-3

y=-2x+1

Ako dva pravca imaju jednake koeficijente smjerajednake koeficijente smjera, tada suti pravci _______.paralelniparalelni

Npr. koji su od ovih pravaca paralelni:y = 3x - 4y = 2x - 4y = 3x + 1y = -2x - 4

Zadatak:U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo pravce:

y = 4x - 5y = 4x = -2y = -xx = 4y = -3

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1234

-4-3-2-1

x

5

-5

y

1 2xy = 4x-5 ?-1 ?3

y=4x

-5

y=4

x=-2

1 2xy = -x ?-1 ?-2

y=-x

x=4

y=-3

Zadatak:Nađi jednadžbu pravca koji prolazi točkom (2,-4) i imakoeficijent smjera -1 .

y = ax + baa, bb = ?aa == -1-1

y = -1x + by = -x + b

bb = ?

x y

-4-2 + b =-4

b = -4+ 2b = -2bb == -2-2

yy ==

= - + Izračunajmo b!b

-x-x -- 22

2

Time smo došli do kraja ponavljanja gradiva 7. razreda.

Gradiva je puno,no ako si u 7. razredu redovito radio,

vjerujem da si se brzo podsjetiosvega što si zaboravio.

Puno sreće i uspjehau 8. razredu!!!

Prezentaciju napravila:Prezentaciju napravila:

Antonija HorvatekAntonija Horvatekrujan 2007.rujan 2007.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija Horvatek

Matematika na dlanuhttp://www.antonija-horvatek.from.hr/