Pontok, vonalak, arányok a háromszögben

Katz Sándor

Petőfi S. Ev Gimn. Bonyhád

I. Tétel

Az AA1, BB1, CC1 Ceva szakaszok egy pontra illeszkednek.

Tükrözzük az A1, B1, C1 pontokat rendre az Fa, Fb, Fc pontokra, így az ,

A2, B2, C2 pontokat kapjuk.

A B

C

A1

A2

C2C1

B2

B1

Fc

FaFb

I. Tétel bizonyítása

Ekkor az AA2, BB2, CC2 szakaszok is egy

pontra illeszkednek. Ceva tétel szerint

A számlálók és nevezők helyet cserélnek.

A B

C

A1

A2

C2C1

B2

B1 x

a-xy

b-y

z c-z

1x y z

a x b y c z

Két feladat Igazoljuk, hogy a csúcsokat a szemközti érintési pontokkal összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek! Az elsőt a háromszög Gergonne- a másodikat Nagel-pontnak nevezzük.

Az első állítás Ceva-tételből következik.

Mivel AC1=BC2, ezért a második az I. tétel miatt igaz.

x y

z

A B

C

C1C2

G N

Egy mértani hely

Mi lesz az ABC háromszög AB

oldalára írt téglalapok O

középpontjainak mértani helye?

O

A B

C

Sejtés:

• A mértani hely az AB oldal F,

és az

mc magasság G felezőpontját összekötő

FG szakasz

G

F

BizonyításA CF súlyvonal felezi a PQ szakaszt is, ezért HK középvonal a téglalapban.

FG súlyvonal a CTF háromszögben, ezért a CT-vel párhuzamos HK szakaszt is felezi, így O valóban a téglalap középpontja

A B

C

H

G

FK

O

P Q

T

Egy új nevezetes pont

A magasságpont felező-pontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek. (L)Ez egyszerre mindhárom oldalra rajzolt téglalapnak középpontja

L

Gc

Fc

FaFb

A B

C

Gb

Ga

Legyen Tc’Fc= TcFc .

I. Tétel szerint CTc’, ATa’, BTb’ egy pontra illeszkednek.

Az S középpontú -1/2 arányú hasonlóság ezeket a szakaszokat rendre az FCGc, FaGa, FbGb szakaszokba visz át, így ezek is egy pontra illeszkednek

Első bizonyítás L-re

Gc

Fc

FaFb

A B

C

TcTc’

S

Tb

Tb’Ta’

Ta

Megjegyzés

Az előző bizonyításban nem használtuk fel, a magasságvonalaknak más tulajdonágát, csak azt, hogy egy pontra illeszkednek.

Ezért tetszőleges Ceva-vonalakra igaz, hogy felezőpontjaikat összekötve a szemközti oldal felezőpontjával, az összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek.

Második bizonyítás arra, hogy létezik olyan L pont, amely egyszerre három téglalapnak középpontja

Tekintsük két mértani hely közös L metszéspontját!

Ez az L pont egy AC és egy BC oldalra írt téglalap középpontja.

Megmutatjuk, hogy L egy AB oldalra írt téglalapnak is középpontja.

L

FaFb

A B

C

Gb

Ga

A BC oldal L-re vonatkozó tükörképe P-ben és Q-ban metszi az AC és AB oldalt.

P és Q vetülete BC-n legyen S és R. PQRS L középpontú téglalap.

Ugyanígy kapjuk az L középpontú RUPV téglalapot, és így UV=QS=PR.

Ezért VSUQ is L középpontú téglalap, és P,Q, U, R, S, V egy L középpontú körön van.

L

A B

C

P

Q U

R

SV

L egy tulajdonsága

α és PUS merőleges szárú szögek, ezért egyenlők. Ugyanígy a UPS =β ,ezért USP∆~ABC ∆.

Így AB:BC:CA=US:SP:PU==LX:LY:LZ. Tehát az L pont oldalaktól mért távolságainak aránya L(a,b,c) =a:b:c.

L

A B

C

P

Q U

R

SV

αα β

β

c

a

b X

Y

Z

PR egy tulajdonsága

Az SRP és SUP szögek PS ívhez tartoznak, ezért SRP=α. Mivel PCR=, ezért CPR=β, és CPR∆~ABC∆

Az ilyen egyenest, amely az a oldallal α,b-vel β szöget zár be, AB-vel antiparalel egyenesnek nevezzük.

L

A B

C

P

Q U

R

SV

αα β

β

a

bα

II. tétel

• Ha AA1, BB1, CC1 Ceva-egyenesek, és mindegyiket tükrözzük a velük egy csúcsból induló szögfelezőre, akkor a tükörképek is egy pontra illeszkednek.

A B

C

A1

A2

C2C1

B2

B1

Bizonyítás

A CC1 szakasz (félegyenes) azon P pontok halmaza, amelyeknek az a és b oldaltól mért távolságának aránya P(a,b)=x:y egy adott érték.

A CC2 tükörkép pedig azon Q pontoké, amelyekre

A B

C

C2C1

x

P

y

b a f

1 1( , ) ' : ' : :Q a b x y y x

x y

Qx’ y’

Vegyük fel az CC1 és BB1 szakaszokat, amelyek P metszéspontjának a, b, c oldalaktól mért távolsága x, y, z.

Tükrözzük CC1-et és BB1-et a szögfelezőre.

CC2 és BB2 Q metszéspontjának oldalaktól mért aránya

A B

C

C2C1

x Py

b a

z

c

1 1 1( , , ) : :Q a b c

x y z

Q

B1

B2

Vegyük fel a P-re illeszkedő AA1 szakaszt, amely bármely pontjának a b és c oldaltól mért távolságaránya y:z.Tükrözzük AA1-et az A-ból induló szögfelezőre, a tükörkép AA2.

AA2 azon pontok halmaza, amelyeknek a b és c oldaltól mért távolságaránya .

Q-ra ez teljesül, tehát Q illeszkedik AA2-re.

A B

C

C2C1

x Py

b a

z

c

Q

B1

B2

A1

A2

1 1:

y z

II. tétel következményeiTükrözzük a súlyvonalakat az azonos csúcsból induló szögfelezőre! Az így kapott egyeneseket a háromszög szimmediánjainak nevezzük.

A II. tétel szerint a szimediá-nok egy pontra illeszkednek.

Ez a pont a háromszög Lemoine-pontja.

L

A szimedián tulajdonságai

1 1: : :x y b a

a b

Az FAC és FAB háromszög területe egyenlő ax/2=by/2 .

Ebből

Így a CG szimmedián bármely pontjának az a és b oldalaktól mért távolságának aránya a:b.

Következmény:

S(a,b,c) =

L(a,b,c)= a : b : c. Ezért L azonos a „téglalapos” L-lel.

A B

xy

C

F

ab

G

1 1 1: :

a b c

A szimmedián egy tulajdonsága

2

2

sinsinsin

sin

HGAG kb b

GKGB ka a

Ha G(a,b)=a:b, akkor GK=ka és GH= kb.

Ebből is következik, Ceva tétel szerint, hogy a szimmediánok egy pontra illeszkednek:

A B

C

b

G

a

kakbH

K

βα2 2 2

2 2 21

b c a

a b c

Új pont származtatása a magasságvonalakból

Ha a magasságvonalakat tükrözzük a szögfelezőkre, akkor szintén egy K pontra illeszkedő egyeneseket kapunk.

CK és CB egyaránt 90°-α szöget zár be a BC oldallal CK=KB, tehát K illeszkedik az fBC oldalfelező merőlegesre.

Ugyanígy fAC-re és fAB- re is, tehát K a háromszög köré írt középpontja. A

C

B

K

M

α

90°-α

90°-α

fBC

Milyen arány tartozik K-hoz és M-hez?KF=Rcos α, ugyanígy KG=Rcos β, KH=Rcos .Tehát K(a,b,c)=(cos α :cos β : cos ).

II. tétel szerint :

(Igazoljuk ezt közvetlenül is!)

Vajon mely ponthoz tartozik

(sin α:sin β : sin ), ill.

(1/sin α : 1/sin β : 1/sin ) arány?

Mely ponthoz tartozik (1:1:1) arány?

C

B

K

M

α

90°-α

90°-α

fBC

α

A

F

R

R

H

G

1 1 1( , , ) : :

cos cos cosM a b c

FeladatAz ABC háromszög talpponti háromszöge A’B’C’.

Mutassuk meg, hogy az ábra szerint berajzolt AA1, BB1, CC1 egyenesek egy pontra illeszkednek.

A B

A’

C

B’

C’

C1

A1

B1

Ismét az antiparalel egyenesABA’B’ húrnégyszög, ezért B’A’C =α, és így B’A’ antiparalel szakasz AB-vel.

Ha AB-t tükrözöm f-ra, akkor antiparalel szakaszt kapok és C középpontú hasonlóággal ez bármely más antiparalel szakaszba átvihető.

Ennek inverze a CC1 egyenest a CC2 egyenesbe viszi át, az ilyenekről viszont már meg-mutattuk, hogy a Gergonne pontban metszik egymást. A B

A’

C

B’

C’α

α

α

C2f

C1

Irodalom:

Surányi László:

A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól I-II.

KöMaL 1984. évi 7. és 8/9. szám

Gerőcs László:

A háromszög egy nevezetes vonalárólA Matematika Tanítása1993. év 2. szám