VISOKA KOLA STRUKOVNIH STUDIJA ZA MENADMENT U SAOBRAAJU-NI

Seminarski rad:

SREDNJE VREDNOSTI STATISTIKOG SKUPA

Predmet:

POSLOVNA STATISTIKA

Profesor: Student:

U Beogradu, 2014. Godine

SADRAJ

1. UVOD .................................................................................................................................31. SREDNJE VREDNOSTI.....................................................................................................4 1. Aritmetika sredina.......................................................................................................51. Geometrijska sredina....................................................................................................71. Harmonijska sredina ....................................................................................................91. Modus.........................................................................................................................101. Medijana.....................................................................................................................111. ZAKLJUAK..................................................................................................................131. LITERATURA ................................................................................................................14

1. UVOD

Obrada rezultata pedagokog eksperimenta poinje statistikom analizom, u kojoj seistrauje statistika masa (osnovni skup ili populacija) u stanju mirovanja, odnosno strukturastatike mase u datom momentu, ili odreenom vremenskom periodu, u kome je onaposmatrana, s tim to se vreme kao faktor uticanja ne uzima u obzir.

Srednji statistiki podaci koji su tabelarno ili grafiki prikazani slue za statistikuanalizu, s ciljem istraivanja pravilnosti i zakonitosti posmatranih masovnih pojava.Statistika analiza i ima taj zadatak da primenom razliitih metoda i postupaka ralani iuporedi podatke, otkrije i formulie zakonitosti koje vladaju u posmatranoj masovnoj pojavi

Koristei relativne brojeve i raspodelu frekvencija moe se stei izvestan globalniutisak o posmatranoj pojavi i posmatranom statistikom skupu. Ipak za dalju i svrsishodnijuanalizu potebne su nam preciznije metode kojima emo masu statistikih podataka obradititako da postane upotrebljiva u procesu donoenja odluka.Analizu statistikih podataka moemo vriti tako to emo definisati izvesne pokazatelje ili parametre ije ce nam vrednosti izraavati odreene sumarne karakteristike datih podataka. Vrednost sumarnih parametara omoguie donoenje zakljuaka o odreenoj pojavi ili procesu koji su izraeni posmatranim podacima.

Prva grupa takvih parametara su tzv. srednje vrednosti ili proseci. Veoma esto sekoriste i u svakodnevnom ivotu (npr. prosean lini dohodak ili prosena produktivnost itd.).Ovi parametri pokazuju neku centralnu vrednost posmatranog obeleja X na elementimastatistikog skupa.Srednje vrednosti ili mere centralne tendencije prezentuju sredinu statistike serije.Najee se oko te srednje vrednosti grupie najvei broj jedinica. Srednje vrednosti se nalaze izmeu najmanje i najvee vrednosti obeleja. Sednja vrednost je reprezentativna vrednost, koja po datim merilima, zamenjuje sve vrednosti obeleja u datoj seriji.

Kao reprezentativni pokazatelj serije srednja vrednost karakterie statistiki skup. Akose posmatra jedan statistiki skup po jednom numerikom obeleju i poe se od individualnihvrednosti tog obeleja, teko e se uoiti bitna i zajednika karakteristika ak i kad supojedinani podaci, grupisanjem u serije, svedeni na manji broj. Zato se nastoji da se ta serijazameni jednim brojem koji omoguava da se uoi karakteristika posmatranog skupa.

Srednje vrednosti: aritmetika, harmonijska geometrijska sredina, modus i medijana.

2. SREDNJE VREDNOSTI

Srednje vrednosti su vrednosti obeleja koje na specifian nain reprezentuju itavustatistiku masu, odnosno zamenjuju sve vrednosti u statistikoj seriji i karakteriu statistikumasu u celini[footnoteRef:1]. [1: www.eccf.su.ac.yu]

Neophodno je da se srednja vrednost odreuje iz homogenog skupa da bi imala znaajreprezentativne i tipine vrednosti. U sluaju da je skup heterogen, potrebno je najpre izvritipodelu skupa u homogene delove, a zatim e se posebno odrediti srednje vrednosti za svakiod tih delova. Mogue je nai srednju vrednost i u heterogenom skupu i raunarski i formalno,ali takva vrednost nema znaaj statistike srednje vrednosti kao reprezentativnog pokazatelja.

Pri odreivanju i primeni srednjih vrednosti mora biti zadovoljen princip homogenostistatistikog skupa. Prema tome da li se izraunavaju ili odreuju prema poloaju pojedinih vrednosti obeleja, srednje vrednosti se mogu podeliti u dve grupe: potpune srednje vrednosti ipoloajne srednje vrednosti. Potpune srednje vrednosti su: aritmetika sredina, harmonijska sredina i geometrijska sredina. Poloajne srednje vrednosti odreuju se poloajem podataka u nizu.Najvanije poloajne srednje vrednosti su: modus i medijana.[footnoteRef:2] [2: Dr G. Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kola strukovnih studija, aak, str.37.]

Svaka od pomenutih srednjih vrednosti odreuje se posebnim statistikomatematikimmetodama i ima odreene karakteristike. Srednje vrednosti se ne moguizraunati kod svih serija. One se izraunavaju, odnosno odreuju samo kod numerikih(rasporeda frekvencija), a mogu se izraunati iz vremenskih serija.

Srednja vrednost jedne serije ne moe biti manja od najmanje vrednosti obeleja, nitivea od najvee vrednosti obeleja. Srednja vrednost moe biti i neka vrednost koja uopte nepostoji u seriji. Srednja vrednost moe imati i decimalan broj, i ako se vrednosti obelejaizraunavaju u celim brojevima (na primer: prosean broj lanova domainstva moe biti 3,4).

Poeljno je da srednje vrednosti imaju sledee osobine: Ako su sve vrednosti posmatranog obeleja X na statistikom skupu meusobno jednake onda i njihova srednja vrednost treba da je jednaka toj vrednosti. U datom statistikom skupu postoji najmanja i najvea vrednost posmatranog obeleja X. Srednja vrednost treba da je vea od najmanje a manja od najvee vrednosti obeleja X. Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti obeleja X na celim statistikom skupu.

2.1. ARITMETIKA SREDINA

Ovo je najpoznatija srednja vrednost. U svakodnevnom ivotu najvie se koristiaritmetika sredina kao srednja vrednost. Zato se pod pojmom prosek misli na aritmetiku sredinu. Aritmetika srednja vrednost ili prosena srednja vrednost ili samo srednja vrednostima najiru primenu u statistici.

Najee upotrebljivana mera centralne tendencije jeste aritmetika sredina. Ona je ujedno i najlaka za razumevanje obzirom da se neretko koristi u svakodnevnom ivotu (najee koristimo re prosek da izrazimo upravo aritmetiku sredinu). Aritmetika sredina predstavlja prosenu vrednost nekog kontinuiranog niza brojeva.

Neophodan uslov za pravilnu primenu aritmetike sredine jeste da podaci u seriji pokazuju dovoljan stepen homogenosti a kriterijum za odreivanje te homogenosti zavisi od prirode i vrste pojave koja je prikazana u seriji kao i da znamo sutinu i smisao rezultata kojeg elimo da dobijemo.Aritmetika sredina ima dva osnovna naina izraunavanja.Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se: prosta aritmetika sredina , ponderisana (sloena, vagana) aritmetika sredina.

Aritmetika sredina moe se raunati i za vie skupova i to je aritmetika sredina aritmetikih sredina. Izraunava se tako to se zbir svih vrednosti obeleja podeli njihovim brojem. Ako posmatrano obeleje oznaimo sa X, njegove vrednosti sa x1 ,x2,.... xi,.... xn, imaemo:

ili prostije =raunava seitmetika sredina

Ako, primera radi, pet sluajno anketiranih turista dnevno troe: 320, 330, 360, 380 i 410 dinara, prosena dnevna potronja, odnosno aritmetika sredina iznosie:

U ovom prostom primeru uoljivo je da se svaka vrednost javlja jedanput .Za sve ovakve negrupisane serije prosek se, kao to vidimo, utvruje jednostavno, re je o tzv.prostoj aritmetikoj sredini.Znatno ee imamo posla sa grupisanim podacima u vidu rasporeda frekvencija, tj.sa skupovima unutar kojih se svaka vrednost obeleja moe javiti vie puFta. Ako, u optem sluaju, vrednosti obeleja oznaimo sa x1, x2,.... xi,.... xn, a odgovarajue frekvencije sa f1, f2, ... fi, ... fn , aritmetika sredina e biti:

tj.

ili prostije[footnoteRef:3] [3: Dr V. olevi, Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 43.]

, gde je

Ovako utvrena prosena vrednost poznata je kao ponderisana aritmetika sredina jer se sve vrednosti uzimaju u zbir onoliko puta koliko se one i javljaju unutar rasporeda. Ponderacioni faktor je, dakle, frekvencija ( f ).

Posmatrajmo, na primer, dnevnu potronju jednog skupa sluajno anketiranih domaih turista. Rezultat ankete u vidu rasporeda frekvencija dat je u tabeli 1.

Tabela 1. Struktura skupa stranih turista prema iznosu dnevne potronje( u dolarima)[footnoteRef:4] [4: Dr V. olevi, Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 43.]

Dnevna potronjaBroj turista (f)XFx

1234

Do 22052001000

220-260152403600

260-3004528012600

300-340253208000

340-38083602880

380 i vie2400800

10028880

U ovom rasporedu vidimo jo jednu mogunost razgranienja grupisanih intervala. Umesto decimalnim brojem (na primer 220 - 259,9), ono je, kao to vidimo, izvreno opisno. Radi izraunavanja prosene dnevne potronje (ponderisane aritmetike sredine) za posmatrani skup turista, moraju se utvrditi sredine grupnih intervala (kolona 3 u tabeli 1.) ipomnoiti odgovarajuim frekvencijama (kolona 2). Imaemo, dakle:

Ponderisana aritmetika sredina, tj.prosena dnevna potronja za posmatrani skupturista, iznosi 288,80 dolara, koliko, u proseku, svaki od posmatranih turista troi dnevno, priemu stvarna potronja svakog pojedinano po pravilu odstupa od ovog proseka.

Aritmetika sredina, jedan broj koji reprezentuje ceo skup podataka, ima vaneprednosti. Prvo, ona je odomaena i intuitivno jasna veini ljudi. Drugo, svi podaci imajuaritmetiku sredinu i to samo jednu. Aritmetika sredina je pogodna za korienje u veini statistikih procedura. Nedostatak aritmetike sredine je to na njenu vrednost utiu ekstremne, jako male i jako velike, vrednosti. Drugi problem to svaki podatak iz serije ulazi u obraun to nije pogodno za serije sa velikim brojem podataka. Trei problem je to ne moe da se izrauna za otvorene klasne intervale tipa "vee od" ili "manje od".[footnoteRef:5] [5: www.knowledge-bank.org]

2.2. GEOMETRIJSKA SREDINA

U analizama vremenskih serija najpogodnija srednja vrednost je geometrijska sredina. Njeno izraunavanje je malo komplikovanije od izraunavanja aritmetike sredine jer zahteva i operacije mnoenja i korenovanja realnih brojeva. Geometrijska sredina niza brojeva je N-tikoren iz proizvoda njegovih lanova. Da bi odredili geometrijsku sredinu za svako N vrednosti obeleja X moraju biti pozitivne. Zato je i upotreba geometrijske sredine ograniena samo na ona obeleja koja su pozitivna.[footnoteRef:6] [6: www.statlab0.fon.bg.ac.rs]

Geometrijska sredina je izraunata srednja vrednost ali se razlikuje od aritmetikesredine i po svojim karakteristikama i po nainu izraunavanja. Geometrijska sredina dobija se kada se iz proizvoda pojedinih vrednosti obeleja date serije izvadi koren iji je izloilac ravan broju svih lanova serije. Geometrijska sredina je N-ti koren proizvoda svih vrednosti negrupisanog numerikog obeleja jednog niza. [footnoteRef:7] [7: Dr G. Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kola strukovnih studija, aak, str.40.]

Ona se, dobija kada se iz proizvoda pojedinanih vrednosti obeleja date serijeizraunava koren iji je izloitelj jednak broju lanova te serije. Ako posmatrano obeleje oznaimo sa x , njegove pojedinane vrednosti sa x1, x2,...xn, a njihov broj sa N, onda e po prethodno datoj definiciji geometrijska sredina biti:

Izraunavanje geometrijske sredine ima smisla samo za ona obeleja ije su vrednostivee od nule. Polazei od ove predpostavke, logaritmovanjem prethodnog izraza dobijamo:

,odnosno[footnoteRef:8] [8: Dr V. olevi Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 48]

Antilogaritmovanjem:

Dobijamo obrazac za izraunavanje proste geometrijske sredine, sluaj kada se svakavrednost u seriji javlja samo po jedanput. Za razliku od negrupisanih podataka, kod rasporeda frekvencija izraunavamo ponderisanu geometrijsku sredinu prema sledeem obrascu:

Gde je: N = f1 + f2 + ... fi + ... fn = Logoritmovanjem dobijamo:

Odnosno antilogoritmovanje:

Uzmimo za primer, podatke iz tabele 2. na osnovu kojih e ponderisana geometrijskasredina dnevne potronje turista, odnosno logaritam geometrijske sredine biti:

Tabela 2. Obraun geometrijske sredine[footnoteRef:9] [9: Dr V. olevi Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 49.]

Sredine grupnih intervalaBroj turista

xfLog xF log x

20052,3010311,50515

240152,3802134,70315

280452,44716110,1220

320252,5051562,62875

36082,5563020,45040

40022,602065,20412

100245,61377

Poto je nama potrebna geometrijska sredina a ne njen logoritam treba izvriti antilogoritmovanje, pa e odavde geometrijska sredina iznositi:

=285,8

Ovo pokazuje da je za izraunavanje ponderisane geometrijske sredine potrebno logaritme vrednosti x pomnoiti sa odgovarajuim frekvencijama i te proizvode sabrati. Kao to vidimo, geometrijska sredina dnevne potronje turista u naem primeru manja je od aritmetike sredine (288,8 dolara). Opte je pravilo da je geometrijska sredina manja od aritmetike za svaki raspored (izuzimajui sluaj kada su sve vrednosti jednake), mada trebaistai da se geometrijska sredina, zbog svojih osobina, retko koristi kao pokazatelj centralnetendencije rasporeda frekvencija.

Geometrijska sredina je, kao i aritmetika, vea od najmanje i manja od najvee vrednosti u posmatranoj seriji, odnosno:x1 < G < xn ,

a u sluaju jednakosti ovih vrednosti i ona se sa njima izjednauje:

x1 = x2 = ... = xn = a = G.

2.3. HARMONIJSKA SREDINA

Za analizu onih pojava iji je intenzitet obrnuto proporcionalan vrednostima posmatranog obeleja najpogodnija srednja vrednost je harmonijska sredina. Na primer, pri ispitivanju produktivnosti meri se vreme potrebno za izradu nekog proizvoda ali je produktivnost obrnuto proporcionalna tom vremenu pa je zato harmonijska sredina najpogodnija srednja vrednost za razmatranje.Harmonijska sredina niza brojeva je reciprona vrednost aritmetike sredinerecipronih vrednosti lanova tog niza.[footnoteRef:10]Mada u daleko manjoj upotrebi nego to su aritmetika i geometrijska sredina, harmonijska sredina nalazi svoju primenu u istraivanju proseka u sluajevima kada se radi o obrnuto proporcionalnim veliinama. Upotreba harmonijske sredine (H) jo je ogranienija od upotrebe geometrijske sredine. Ona se koristi samo u specijalnim sluajevima gde se problem moe postaviti i u obrnutom, recipronom vidu.[footnoteRef:11] U zavisnosti od toga da li su podaci negrupisani ili grupisani, moe se izraunati prosta ili ponderisana (sloena) harmonijska sredina. [10: www.statlab0.fon.bg.ac.rs] [11: Dr G. Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kola strukovnih studija, aak, str. 41.]

Prosta harmonijska sredina je reciprona vrednost proste aritmetike sredine odreene iz recipronih vrednosti obeleja. Ako se sa x1, x2, x3 ... xn oznae vrednosti obeleja, a sa N njihov broj, obrazac za utvrivanje proste harmonijske sredine bie:[footnoteRef:12] [12: Dr V. olevi, Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 53.]

Harmonijsku srednju vrednost, kao i geometrijsku, ima smisla izraunati samo za on obeleja ije su vrednosti razliite od nule. Ova mera proseka osetljiva je na male vrednosti lanova serije. Za ilustraciju postupka izraunavanja proste harmonijske sredine neka poslui serija od tri lana: x1 = 4, x2 = 8, x3 = 16.

Za ukazivanje na smisao njene primene moe se uzeti sledei primer: u procesu proizvodnje jedan radnik utoi za izradu jednog proizvoda 3 minuta, a drugi radnik 5 minuta. Koje proseno vreme troe oba radnika?

Aritmetika sredina utroenog radnog vremena je: (3+5)/2 = 4 minuta. Ako je za jedinicu proizvoda utroeno proseno 4 minuta, kao to se vidi na osnovu izraunate aritmetike sredine, onda e se u jednom asu proizvesti 15 proizvoda (60/4 = 15), a za jedan radni dan 105 proizvoda (7*17 = 105). Oba radnika proizvee 210 proizvoda. Ako se ovaj obraun sprovede prema individualno utroenom radnom vremenu, prvi radnik sa utrokom od 3 minuta u sedmoasovnom radnom danu proizvee 140 proizvoda (60/3 = 20*7 = 140). Drugi koji troi 5 minuta proizvee 84 proizvoda (60/5 = 12*7 = 84). To znai da e ob radnika prema individualno utroenom vremenu izraziti 224 proizvoda u toku jednog radnog dana.

Kod serija iji podaci pokazuju reciprone odnose ili njihove frekvencije nisu iste izraunava se ponderisana harmonijska sredina. Ona e tada biti reciprona vrednost aritmetike sredine recipronih vrednosti obeleja pomnoenih odgovarajuim frekvencijama.

2.4. MODUS

Kako se i iz naziva moe videti, pozicione srednje vrednosti, za razliku od izraunatih, odreuju se na osnovu mesta pozicije, koju zauzimaju u seriji. Najee koriene meu njima su modus i medijana. Svaka srednja vrednost, izraunata ili poziciona, ima svoje mesto, kako sa aspekta njenog znaaja, tako i sa aspekta njenog izraunavanja, odnosno odreivanja. Koju od njih odabrati kao najpodesniju karakteristiku odgovarajueg rasporeda frekvencija zavisi, ukrajnjoj liniji, od cilja istraivanja.

Od pozicionih srednjih vrednosti najee se primenjuje modus (). Modus jevrednost statistikog obeleja koje se najee javlja u nekom nizu, tj.vrednost obeleja kojojpripada najvea frekvencija[footnoteRef:13]. [13: Dr G. Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kola strukovnih studija, aak, str. 45.]

Modus ili modalna vrednost (obeleava se sa Mo) ne zavisi od same pozicije u statistikom nizu ve od frekvencije. To je ona vrednost koja ima najveu frekvenciju i to je esto jedina informacija o skupu koja se dobija modusom.

Kod negrupisanih podataka modus se ne izraunava, ve se samo posmatranjem niza iz njega izdvaja ona vrednost koja ima najveu frekvenciju. Na isti nain se odreuje moduskod podataka koji su grupisani kao numerike vrednosti sa odgovarajuim frekvencijama.[footnoteRef:14] [14: www.supa.pharmacy.bg.ac.rs]

Modus je ona vrednost obeleja X koji ima najveu frekvenciju u posmatranom statistikom skupu ili ona vrednost u ijoj se okolini najee pojavljuju izmerene vrednosti obeleja X na statistikom skupu. Kad je obeleje x grupisano i dato raspodelom frekvencijaza modus se uzima sredina onog grupnog intervala koji ima najveu frekvenciju.[footnoteRef:15] [15: www.statlab0.fon.bg.ac.rs]

Za rasporede frekvencija po neprekidnim vrednostima obeleja modus nije tako uoljiv. Treba ga traiti u intervalu sa najveom frekvencijom, tzv. modalnom intervalu.Odreuje se tzv.interpolacijom kroz modalni interval pomou obrasca:

Gde je Mo vrednost modusa, L1 donja granica modalnog intervala, i veliina grupnog intervala a f1, f 2 i f3 frekvencije predmodalnog, modalnog i poslemodalnog intervala respektivno.

Modus kao srednja vrednost pogodan je pokazatelj za unimodalne rasporede, i toposebno ako je frekvencija modalne vrednosti velika. U tom sluaju modus je tipina vrednostkoja pokazuje u pravom smislu centralnu tendenciju posmatrane serije. Iako se znatno ree primenjuje od aritmetike sredine, modus je za neke vrste istraivanja pogodniji, jer daje jasniju informaciju o tendenciji okupljanja vrednosti obeleja oko srednje vrednosti.

2.5. MEDIJANA

Medijana () je poziciona srednja vrednost i nalazi se u sredini serije, iji su lanovi rasporeeni po veliini vrednosti obeleja. Medijana je vrednost statistikog obeleja kojastatistiki skup deli na dva jednaka dela.[footnoteRef:16] [16: Dr G. Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kola strukovnih studija, aak, str.42.]

Medijana predstavlja drugaiju meru centralne tendencije u odnosu na aritmetiku sredinu. Medijana, takoe, jeste neka vrsta prosene vrednosti. Medijana nekog kvatnitativnog skupa podataka jeste srednji broj u situaciji kada se sve vrednosti poreaju od najnie do najvie ili obrnuto. Ukoliko je niz brojeva neparan, onda je medijana broj u sredini. Ukoliko je broj paran, onda je medijana srednja vrednost srednja dva broja. U nekim situacijama medijana je bolja mera centralne tendencije u odnosu na aritmetiku sredinu.

Medijana je ona vrednost obeleja koja se nalazi u sredini serije iji su podaci sreenipo veliini od najmanje do najvee vrednosti, odnosno vrednosti koja itav skup podatakaserije deli na dva jednaka dela, tako da jedna polovina ima manju, a druga polovina veuvrednost od medijane. Za razliku od aritmetike sredine koja se definie kao tipina vrednostobeleja, medijana je vrednost obeleja za tipinu jedinicu.

Pri odreivanju medijane treba razlikovati sluajeve kada je, prvo, broj jedinica neparan, i, drugo, paran. Ako je u pitanju negrupisana serija sa neparnim brojem podataka, tada je njen srednji lan deli na dva jednaka dela. Tako e u seriji podataka o starosti zaposlenih u jednoj turistikoj agenciji, sreenih po veliini:24, 26, 28, 30, 35

Medijana biti 28, jer se ta vrednost nalazi u sredini ove serije. Dakle, za neparne nizovenegrupisanih podataka medijana se odreuje jednostavno traenjem srednjeg lana niza iji supodaci sreeni po veliini.[footnoteRef:17] [17: Dr V. olevi, Dr V. Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu, BMG-NM, Beograd,2007, str. 58.]

Ako je u pitanju negrupisana serija sa parnim brojem podataka, tada se dve vrednostinalaze u njenoj sredini, pa se njihov prosek (aritmetika sredina) uzima kao vrednost medijane. Ako predhodnoj seriji dodamo, na primer, jo jednu vrednost (38) dobiemo novuseriju podataka o starosti zaposlenih:24, 26, 28, 30, 35, 38,

u kojoj e medijana biti 29, tj.aritmetika sredina dva sredina podatka (28 i 30).

Za serije grupisanih podataka, raspored frekvencija po neprekidnim obelejima, medijana se utvruje interpolacijom izmeu donje i gornje granice intervala (medijalni interval) u kome se medijana nalazi: ili

gde je Me vrednost medijane, L1 i L2 donja i gornja granica medijalnog intervala, N broj vrednosti u seriji, f1 zbir frekvencija (kumulirana frekvencija ispod) predmedijalnog intervala, f2 zbir frekvencija (kumulirana frekvencija iznad) posle medijalnog intervala fme frekvencija medijalnog intervala, a i veliina intervala.

Poto vrednost medijane u najveoj meri zavisi od broja i redosleda vrednosti u seriji, za njeno utvrivanje nije neophodno raspolagati svim vrednostima, ako su one poreane po veliini. Ovo svojstvo dozvoljava mogunost da se, na primer, srednji vek trajanja odreene vrste sredstava za prevoz turista (brodova, autobusa i sl.) odredi i pre rashodovanja svih raspoloivih sredstava, tako to se medijana nae im broj rashodovanih sredstava pree polovinu njihovog broja. Isto tako, u sluajevima kada je teko pribaviti tane numerike vrednosti za sve lanove serije ali ih je lako rangirati, mogue je nai sredinji lan i tano izmeriti njegovu numeriku vrednost, koja onda predstavlja celu seriju u smislu medijane.

Medijana se ne moe odrediti kada otvoreni grupni interval sadri vie od polovine svih jedinica. U praksi takvi su sluajevi retki jer je za pravilno grupisanje uslov da otvoreni grupni interval ima to manju frekvenciju. Takoe, ona nee biti podesan pokazatelj rasporeda ako su krajnje vrednosti obeleja ekstremne i karakteristine da posmatranu pojavu.

Medijana ima neke prednosti u odnosu na aritmetiku sredinu. Naprimer, na vrednost medijane ne utiu ekstremne vrednosti, lako se razume i moe se izraunati na osnovu bilo kojih podataka, moe se raunati i za otvorene intervale. Nedostaci medijane su to su procedure u kojima se ona koristi kompleksnije od onih u kojima se koristi aritmetika sredina, podaci se moraju pre odreivanja medijane srediti u rastui niz itd.[footnoteRef:18] [18: www.knowledge-bank.org]

3. ZAKLJUAK

Statistika istrauje pojave koje su po svojoj prirodi varijabilne, koje imaju masovne karakteristike i ije ponaanje u masi, na naem nivou intelektualnog razvoja, nije unapred odreeno egzaktnim uzrono-posledinim zakonitostima. Posmatranjem i analiziranjem pojava na velikom broju sluajeva, statistika donosi odreene zakljuke o masovnom ponaanju tih pojava, te se najee i predstavlja kao nauni metod kvantitativnog istraivanja masovnih pojava.

Kada govorimo o srednjim vrednostima, bilo izraunatim, bilo pozicionim, moramo imati u vidu da svaka od njih u praksi ima svoje mesto, kako sa stanovita znaaja tako i sa stanovita izraunavanja. Koju srednju vrednost odabrati kao najpodesniju karakteristiku distribucije frekvencija zavisie, u krajnjoj liniji, od cilja istraivanja.

4. LITERATURA

Doc. dr Milan Stankovi POSLOVNA STATISTIKA, Visoka kola strukovnih studija za menadment u saobraaju.

Dr Goran Kvrgi OSNOVI FINANSIJSKE STATISTIKE, Visoka poslovna kolastrukovnih studija, aak, 2008.god.

Dr Vladislav olevi, Dr Violeta Toi STATISTIKA sa primenom u turizmu,BMG-NM, Beograd, 2007.god.

www.eccf.su.ac.rs www.knowledge-bank.org www.statlab0.fon.bg.ac.rs www.supa.pharmacy.bg.ac.rs

14