facebook – Skripte Matematika Za Efzg

1. grupa

Dijagonalna matrica je ona matrica kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale nula!

Skalarna matrica je dijagonalna matrica kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki!

Gornja trokutasta matrica je ona matrica kojoj su elementi ispod glavne dijagonale nula!

Donja trokutasta matrica je ona matrica kojoj su elementi iznad glavne dijagonale nula!

Ako su bilo koja 2 retka u determinanti jednaka, rezultat determinante je nula!

Ako su u bilo kojem retku ili stupcu determinante sve nule, rezultat determinante je nula!

Matrica je regularna ako je det≠0

Matrica je singularna ako je det=0

Vektori su linearno nezavisni ako je det≠0

Vektori su linearno zavisni ako je det=0

Vektori čine bazu ako je det≠0

Vektori ne čine bazu ako je det=0

Sustav ima samo trivijalno/jedinstveno/točno jedno rješenje ako je det≠0

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja ako je det=0

Sustav ima i netrivijalno rješenje ako je det=0

Jedan od vektora se može izraziti kao linearna kombinacija preostalih ako je det=0

Matrica ima inverz ako je det≠0

Sustav je Cramerov ako je det≠0

Input-output tablica

Q Qij q

Ako je zadana tablica kreće se od formule

Q – ukupni output q – finalna potražnja,

A – matrica tehničkih koeficijenata, T – matrica tehnologije

3. grupa

Parcijalna integracija

Površina

facebook – Skripte Matematika Za Efzg

2. grupa

, npr.

, npr.

Pravila za domenu

, - pod korijenom ne smije biti negativan broj

, - u logaritmu mora biti pozitivan broj

,

- u nazivniku ne smije biti nula

U zadacima s riječima nepoznanice nikad ne smiju biti negativne! Uvjet npr.

Limesi

Asimptote

Vertikalna asimptota -> nazivnik izjednačiti s nulom i rješenja su vertikalne asimptote

Horizontalna asimptota ->

Kosa asimptota ->

Ako je kod horizontalne, nema horizontalne asimptote.

Ako je kod kose, nema kose asimptote.

Homogenost

Zbroj koeficijenata elastičnosti jednak je stupnju homogenosti!

Koeficijent elastičnosti

x-nepoznanica, y-funkcija

| | > 1 elastična funkcija

| | < 1 neelastična funkcija

| | = 1 jedinično elastična funkcija

Ekonomske primjene

Granični trošak je derivacija ukupnog troška,

Prosječni trošak je ukupni trošak kroz količina,

Prihod je cijena puta količina,

Dobit je prihod minus trošak,

Ukupni trošak je integral graničnog troška,

facebook – Skripte Matematika Za Efzg

Intervali rasta i pada funkcije

1. Odrediti domenu

2. Izračunati 1. derivaciju funkcije i izjednačiti s nulom

3. Rješenja jednadžbe su stacionarne točke (provjeriti domenu)

4. Nacrtati tablicu intervala i uvrstiti bilo koji broj iz svakog intervala u 1. derivaciju

-ako je rezultat pozitivan funkcija na tom intervalu raste, ako je negativan, funkcija na tom

intervalu pada

5. Uvrstiti vrijednost stacionarne točke u početnu funkciju

Intervali konveksnosti i konkavnosti funkcije

1. Odrediti domenu

2. Izračunati 1. derivaciju funkcije

3. Izračunati 2. derivaciju funkcije i izjednačiti s nulom

4. Rješenja jednadžbe su točke infleksije (provjeriti domenu)

5. Nacrtati tablicu intervala i uvrstiti bilo koji broj iz svakog intervala u 2. derivaciju

-ako je rezultat pozitivan funkcija je na tom intervalu konveksna, ako je negativan, funkcija je na tom

intervalu konkavna

6. Uvrstiti vrijednost točke infleksije u početnu funkciju

Ekstremi funkcije s jednom varijablom (nepoznanicom)

1. Odrediti domenu

2. Izračunati 1. derivaciju funkcije i izjednačiti s nulom

3. Rješenja su ekstremi funkcije (provjeriti domenu)

4. Izračunati 2. derivaciju funkcije i u nju uvrstiti ekstreme

-ako je rezultat pozitivan, ekstrem je minimum, ako je rezultat negativan, ekstrem je maksimum

5. Uvrstiti ekstreme u početnu funkciju

Ekstremi funkcije s dvije varijable (bez uvjeta)

1. Izračunati prve derivacije funkcije i izjednačiti ih s nulom

2. Rješenja su kandidati za ekstreme funkcije (zapisati točku T)

3. Izračunati sve druge derivacije funkcije i uvrstiti ih u Hesseovu matricu

4. Izračunati determinantu Hesseove matrice

-ako je rezultat pozitivan točka je ekstrem, zatim gledamo prvi član determinante, ako je on

pozitivan ekstrem je minimum, ako je on negativan, ekstrem je maksimum

-ako je rezultat (determinante) negativan ta točka nije ekstrem

5. Uvrstiti ekstreme u početnu funkciju

Ekstremi funkcije s dvije varijable s uvjetom

1. Iz uvjeta izraziti jednu varijablu i uvrstiti ju u funkciju (dobivamo funkciju s 1 varijablom)

2. Izračunati 1. derivaciju funkcije i izjednačiti s nulom

3. Uvrstiti rješenje u uvjet da dobijemo drugu koordinatu ekstrema

4. Rješenja su ekstremi funkcije (zapisati točku T)

5. Izračunati drugu derivaciju funkcije i u nju uvrstiti ekstreme

-ako je rezultat pozitivan, ekstrem je minimum, ako je rezultat negativan, ekstrem je maksimum

6. Uvrstiti ekstreme u početnu funkciju

facebook – Skripte Matematika Za Efzg

4. grupa

Kredit

, ako se traži m:

m – broj mjeseci na koji je odobren kredit

q – godišnji anticipativni kamatnjak

C – iznos odobrenog kredita

p – udio u gotovini (učešće)

R – mjesečna rata

Kuk – ukupne kamate

Zajam

Zajam uz jednake anuitete

– formula za višu godinu

Zajam uz jednake otplatne kvote

- formula za višu godinu

a – anuiteti

C0 – iznos zajma

I – kamata

R – otplatne kvote

C – ostatak duga

n – broj godina

p – kamatna stopa (kamatnjak)

facebook – Skripte Matematika Za Efzg

Neprekidno ukamaćivanje (prirast)

Cn – konačna vrijednost

C0 – početna vrijednost

n – broj godina

p – prirast

Složeni kamatni račun

Cn – konačna vrijednost

C0 – početna vrijednost

n – broj godina

p – kamatna stopa (kamatnjak)

K – kamate

Prenumerando/postnumerando (konstantne uplate/isplate)

- konačna vrijednost uplata/isplata izvršenih početkom razdoblja (prenumerando)

- konačna vrijednost uplata/isplata izvršenih krajem razdoblja (postnumerando)

- početna vrijednost uplata/isplata izvršenih početkom razdoblja (prenumerando)

- početna vrijednost uplata/isplata izvršenih krajem razdoblja (postnumerando)

R – iznos konstantnih uplata/isplata

Formule u slučaju da obračun i kamatna stopa nisu oboje godišnji

Relativni kamatnjak:

Konformni kamatnjak:

Ako nije naglašeno koristi se konformni kamatnjak!