UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

Poucevanje: Predmetno poucevanje

MARUSA TURK

POZITIVNA MERA IN INTEGRACIJA

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

Poucevanje: Predmetno poucevanje

Matematika in fizika

MARUSA TURK

POZITIVNA MERA IN INTEGRACIJA

MAGISTRSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

Sometor: asist. dr. LUKA BOC THALER

Ljubljana, 2017

Zahvala

Hvala mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za potrpezljivost, strokovno vodenje in nasvete

ter za vlozen trud in cas v moje magistrsko delo.

Hvala mojim starsem in bratoma za podporo, skrb in pomoc v vseh letih izobrazevanja.

Hvala moji druzini, Niki in Marku, ker sta bila in ostaja moja najboljsa druzba na tej poti.

Povzetek V diplomskem delu smo se osredotocili na vpeljavo Lebesguove mere na mnozico

realnih stevil in vpeljali Lebesguov integral, ki odpravi dolocene teoreticne pomanjkljivosti

Riemannovega integrala. Lebesguov integral nam med drugim omogoci precej boljse razume-

vanje osnovnega izreka integralskega racuna. V magistrskem delu bomo obravnavali splosno

teorijo integracije pozitivne mere na nekem merljivem prostoru. Videli bomo, da lahko teorijo

stevilskih vrst med drugim razumemo kot teorijo integracije funkcij, definiranih na naravnih

stevilih z obicajno diskretno mero. Prav tako bomo s pomocjo Rieszovega izreka na nov nacin

vpeljali Lebesgueovo mero. V zadnjem poglavju bomo vpeljali produktno mero.

Kljucne besede: integracija, pozitivna mera, Borelove mnozice, σ-algebra, Lebesguova mera,

Rieszov reprezentacijski izrek, produktna mera.

Abstract In the diploma thesis we focused on the introduction of Lebesgue measure on a set of

real numbers and introduced the Lebesgue integral, which removes certain theoretical weaknes-

ses of the Riemann integral. Lebesgue integrals also provied us with a better understanding of

the fundamental theorem of calculus. In the master’s thesis we will deal with the general theory

of integration of a positive measure in a measurable space. Among other things, we will be able

to consider sums of number series as a theory of integration of functions defined on natural

numbers with the usual counting measure. We will also use the Riesz representation theorem to

give an alternative description of the Lebesgue measure. In the last chapter, product measures

will be introduced.

Key words: integration, positive measure, Borel sets, σ-algebra, Lebesgue measure, Riesz

representation, product measure.

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Topoloski prostori 3

1. Metricni prostor 3

2. Topologija 6

3. Kompaktnost in lokalna kompaktnost 8

4. Hausdorffov prostor 10

Poglavje 3. Merljivi prostori 12

1. σ algebra 12

2. Merljive funkcije 14

3. Pozitivna mera 17

4. Enostavne funkcije 20

Poglavje 4. Integracija 22

1. Integral pozitivne enostavne funkcije 23

2. Integral pozitivne funkcije 26

3. Izrek o monotoni konvergenci 26

4. Integral kompleksne funkcije 30

5. Izrek o dominirajoci konvergenci 31

6. Vloga mnozic z mero nic 33

Poglavje 5. Rieszov reprezentacijski izrek 36

1. Integral kot linearni funkcional 36

2. Rieszov reprezentacijski izrek 37

Poglavje 6. Produktni prostori 44

1. Produktna σ-algebra 44

2. Predmera 44

3. Produktna mera 45

4. Fubinijev izrek 47

Literatura 49

Kazalo

POGLAVJE 1

Uvod

Naj bo F neka druzina podmnozic mnozice X, za katero velja, da je zaprta za komplemente in

stevne unije ter vsebuje mnozico X. Tako druzino F imenujemo σ-algebra mnozic. Ce imamo

na F definirano preslikavo µ : F → [0,∞], za katero velja

µ(∞⋃i=1

Ai) =∞∑i=1

µ(Ai)

za vsak nabor paroma disjunktih mnozic Ai iz F , recemo, da je (X,F , µ) merljiv prostor, µ

pozitivna mera, mnozicam v F pa recemo merljive mnozice. ([6, 10]).

V primeru, ko imamo merljiv prostor (X,F , µ), lahko definiramo merljive funkcije kot preslikave

f : X → [−∞,∞], pri katerih so praslike odprtih mnozic merljive mnozice iz X.

V analizi je verjetno najpomembnejsi primer mere Lebesguova mera, ki jo lahko definiramo na

podmnozicah prostora Rn. Lebesguova mera m je definirana tako, da posplosi pojem volumna

(ploscine v dveh dimenzijah oziroma dolzine v ene dimenziji). Za n-dimenzionalno Lebesguovo

mero veljata, poleg obicajnih lastnosti za mero, se naslednji dve lastnosti:

(1) Za vsak kvader K velja m(K) = V ol(K), kjer je V ol(K) obicajni volumen kvadra,

torej produkt dolzin njegovih stranic.

(2) Za vsako podmnozico A iz Rn, za katero je definirana Lebesguova mera, in za vsak

vektor x ∈ Rn, je translacija A+x tudi Lebesguovo merljiva in velja m(A+x) = m(A).

Izkaze se, da obstaja ena sama maksimalno definirana n-dimenzionalna Lebesguova mera, ki pa

ne more biti definirana na cisto vseh podmnozicah Rn. Zagotovo pa σ-algebra, na kateri je mera

definirana, vsebuje vse odprte (in tudi zaprte) podmnozice Rn. Najmanjsi σ-algebri, ki vsebuje

vse odprte in zato tudi zaprte podmnozice, recemo Borelova σ-algebra, njenim elementom pa

Borelove mnozice ([9]). Lebesguovo mero obicajno vpeljemo dokaj konstruktivno preko zunanje

Lebesguove mere, ki je definirana na vseh podmnozicah Rn, nato pa omejimo druzino mnozic,

tako da dosezemo stevno aditivnost ([13]). Ker je Lebesguova mera med drugim definirana za

vse odprte mnozice, so vse zvezne funkcije Lebesguovo merljive.

Drugi pomemben primer mere je obicajna diskretna mera na mnozici naravnih stevil, za katero

velja µ(A) = #A, kjer je #A ∈ N ∪ 0,∞ stevilo tock v mnozici A ⊂ N. V tem primeru je

σ-algebra kar potencna mnozica P (N), merljive funkcije pa so vsa realna zaporedja.

Ce je (X,M, µ) merljiv prostor, lahko definiramo integral vsake pozitivne merljive funkcije na X

kot supremum integralov enostavnih pozitivnih funkcij. Ce je za poljubno predznaceno merljivo

1

funkcijo f absolutna vrednost |f | integrabilna (integral ima koncno vrednost), lahko definiramo

integral∫f dµ.

V primeru Lebesguove mere m na Rn integral∫f dm imenujemo Lebesguov integral, ki ga

lahko razumemo kot nekaksno izboljsavo oziroma razsiritev obicajnega Riemannovega integrala.

Medtem, ko so Riemannovo integrabilne natanko tiste omejene funkcije na mnozicah s koncno

mero, ki so zvezne skoraj povsod ([11, 1, 2]), pa so med omejenimi funkcijami na mnozicah

s koncno mero Lebesguovo integrabilne natanko vse omejene merljive funkcije. V primeru,

ko oba integrala obstajata, sta seveda enaka. Lebesguov integral je zato bistvena posplositev

Riemannovega integrala.

V primeru obicajne diskretne mere µ na naravnih stevilih, je integral∫f dµ kar vsota vrste∑∞

n=1 f(n), pri cemer so integrabilna natanko vsa absolutno konvergentna zaporedja f(n).Izreki o produktu neskoncnih vrst so v tem primeru zgolj poseben primer Fubinijevega izreka

v teoriji abstraktne integracije ([9]).

Lebesguovo mero lahko dobimo tudi z uporabo Rieszovega reprezentacijskega izreka ([10]).

Vsak zvezen funkcional na zveznih funkcijah s kompaktnim nosilcem, definiranim na lokalno

kompaktnem Hausdorffovem prostoru, lahko namrec predstavimo z integracijo glede na neko

mero. Meri, ki pripada Riemannovemu integralu, gledanemu kot funkcionalu na Cc(Rn), pripada

ravno Lebesguova mera. Tako dobimo bolj abstraktno vpeljavo Lebesguove mere, za katero pa

ni tezko pokazati, da se ujema z obicajno definicijo Lebesguove mere preko zunanje mere.

2

POGLAVJE 2

Topoloski prostori

1. Metricni prostor

Nekateri stejejo za zacetek topologije Euler-jev clanek z originalnim naslovom Solutio proble-

matis ad geometriam situs pertinentis iz leta 1736. Drugi menijo, da so znacilni topoloski

problemi in metode prvic predstavljeni v clanku Analysis situs, ki ga je leta 1895 objavil H.

Poincare. Kakorkoli gledamo, je veja topologije dokaj mlada. S hitrim razvojem in pomemb-

nim vsebinskim pomenom je postala neizogiben predmet vsakega studija matematike. Zaradi

pojma zveznosti, ki ga lahko zgradimo brez sklicevanja na razdaljo, ima pomembno vlogo tudi

pri vpeljavi mere. Preden definiramo topologijo, bomo definirali metricni prostor, nasteli po-

membne lastnosti, izreke in za lazjo predstavo tudi nekaj primerov. Zakaj bomo najprej vpeljali

metricni prostor, bo jasno malo kasneje.

Definicija 2.1. Metricni prostor je neprazna mnozica M skupaj s funkcijo razdalje d : M ×M → R, da velja:

(1) 0 ≤ d(x, y) <∞ za vse x in y ∈M .

(2) d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko x = y.

(3) d(x, y) = d(y, x) za vse x in y ∈M .

(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) za poljubne x, y in z ∈M .

Metricni prostor M z metriko d oznacimo z (M,d). Razdaljo med tockama x in y oznacimo z

d(x, y).

Lastnost (4) v zgornji definiciji imenujemo trikotniska neenakost.

Najbolj preprosti zgledi metricnih prostorov, ki so nam tudi intuitivno najblizje, so razdalje

med tockama v R,R2 in R3.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Funkcija d(x, y) = |x− y|, poda metriko na mnozici realnih stevil. Absolutna vrednost

je vedno nenegativno stevilo, s cimer zadovolji lastnost (1). Edino stevilo, ki je enako 0

v absolutni vrednosti, je 0. Iz tega sledi druga lastnost, da je d(x, y) = 0 natanko tedaj,

ko x− y = 0 oz. x = y. Tretjo lastnost dokazemo z d(x, y) = |x− y| = | − (x− y)| =|y − x| = d(y, x). Trikotniska neenakost sledi iz trikotniske neenakosti za absolutno

3

vrednost:

d(x, z) = |x− z| = |(x− y) + (y − z)| ≤ |x− y|+ |y − z| = d(x, y) + d(y, z).

(2) Dokazimo, da je preslikava definirana z

d(x, y) =

1; x 6= y,

0; x = y

metrika. Lastnosti (1), (2) sta zajeti ze v sami definciji preslikave. Ce je x 6= y, je tudi

y 6= x; analogno tudi za x = y, zato d(x, y) = d(y, x). Dokazati moramo se trikotnisko

neenakost. Moznosti so tri:

ali so vsi elementi med seboj razlicni,

dva elementa sta enaka, tretji je razlicen,

vsi trije elementi so enaki.

V prvi nasteti moznosti so vse tri razdalje enake 1 in zato je trikotniska neenakost

1 ≤ 1 + 1. V drugi je 0 ≤ 1 + 1 ali 1 = 1 + 0. V zadnji moznosti pa je trikotniska

neenakost kar 0 = 0 + 0. Tako metriko imenujemo diskretna metrika.

(3) Naj bo N ⊂ M , kjer je N neprazna mnozica in (M,d) metricni prostor. Potem je

(N, d|N×N) zopet metricni prostor. V nadaljevanju bomo v takih primerih zozitev

d|N×N zaradi enostavnosti pisali kar z d.

Nadaljevali bomo z definicijami nekaterih osnovnih pojmov v metricnih prostorih.

Definicija 2.2. Naj bo (M,d) metricni prostor, a ∈M in r > 0. Mnozici

K(a, r) = x ∈M |d(a, x) < r

in

K(a, r) = x ∈M |d(a, x) ≤ r

sta po vrsti odprta krogla in zaprta krogla s srediscem v a in polmerom r.

Definicija 2.3. Naj bo a ∈M. Okolica tocke a je vsaka podmnozica metricnega prostora M,

ki vsebuje neko kroglo s srediscem v a in pozitivnim radijem r.

Definicija 2.4. Naj bo (M,d) metricni prostor in U ⊂M . Tocka x ∈ U je notranja tocka, ce

je U okolica tocke x. Tocka x ∈ U c je zunanja tocka glede na U, ce je U c okolica za x. Tocke, ki

niso niti notranje niti zunanje, imenujemo robne tocke. Notranje tocke oznacimo z intA, robne

tocke pa z robA.

Vse notranje tocke so vedno v mnozici, vse zunanje tocke pa vedno zunaj nje. Ocitno je, da ce

z Ac oznacimo komplement mnozice A na cel metricni prostor, velja:

notranjost mnozice A so zunanje tocke za Ac,

4

zunanje tocke mnozice A so notranjost mnozice za Ac,

robne tocke mnozice A so robne tocke mnozice Ac.

Definicija 2.5. Mnozica U ⊂M je odprta, ce so vse njene tocke notranje tocke. Ce U vsebuje

vse svoje robne tocke, je zaprta.

Mnozici ∅ in M sta tako odprti kot zaprti.

Primer. Naj bo metricni prostor R z obicajno metriko in A = [a, b]. Notranjost mnozice A je

(a, b), rob mnozice A = a, b in zunanjost je R \ [a, b].

Naj bo A ⊂ M. Potem velja, da je mnozica A odprta mnozica natanko tedaj, ko je Ac zaprta

mnozica. Analogno je tudi mnozica A zaprta mnozica natanko tedaj, ko je Ac odprta mnozica.

Velja namrec, da ce je A neprazna odprta podmnozica metricnega prostora M , ni nobena njena

tocka robna. Zato so robne tocke mnozice A, ki so hkrati tudi robne tocke mnozice Ac, vse

v komplementu. Mnozica Ac zato vsebuje vse svoje robne tocke, torej je zaprta. Iz zaprtosti

mnozice Ac sledi, da je mnozica A odprta, saj vsebuje le notranje tocke.

Vsaka odprta mnozica v ravnini je unija neskoncno mnogo odprtih krogel. Iz tega sledi, da

je unija odprtih mnozic odprta. Analogno ne velja za preseke. Presek vseh odprtih krogel s

srediscem v x je mnozica x. Enoelementna mnozica je odprta natanko takrat, ko je x izolirana

tocka, kot na primer pri diskretni metriki. Zato presek odprtih mnozic ni nujno odprta mnozica.

Medtem pa drzi, da je presek koncno mnogo odprtih mnozic odprt.

Izrek 2.6. Naj bo (M,d) metricni prostor in U druzina vseh odprtih mnozic v M . Potem velja

(1) ∅ ∈ U in M ∈ U ,

(2) U, V ⊂ U ⇒ U ∩ V ∈ U ,

(3) Naj bo Uλ, λ ∈ Λ ⊂ U poljubna druzina odprtih mnozic. Potem je⋃λ Uλ ∈ U .

Dokaz. (1) Sledi direktno iz definicije.

(2) Ce je x ∈ U ∩ V sledi, da obstaja r1 > 0, da velja K(x, r1) ⊂ U in obstaja tak r2 > 0,

da je K(x, r2) ⊂ V . Ce r = minr1, r2 ⇒ K(x, r) ⊂ U ∩ V.

(3) Ce x ∈⋃λ Uλ sledi, da obstaja λ ⊂ Λ, da je x ∈ Uλ. Ker je Uλ odprta, obstaja r > 0,

da je K(x, r) ⊂ Uλ in zato K(x, r) ⊂⋃λ Uλ.

Oglejmo si se preslikave med metricnimi prostori. Navedli bomo definicijo za zvezne preslikave.

Definicija 2.7. Funkcija f : (M1, d1)→ (M2, d2) je zvezna v tocki x1 ∈ M1, ce za vsak ε > 0

obstaja tak δ > 0, da iz d(x1, x2) < δ sledi d(f(x1), f(x2)) < ε. Funkcija je zvezna, ce je zvezna

v vsaki tocki.

5

Opomba 2.8. Zgornjo definicijo bi lahko zapisali tudi brez omembe razdalje.

Funkcija f : (M1, d1)→ (M2, d2) je zvezna v tocki x1 ∈ M1, ce za vsako okolico V tocke f(x1)

obstaja okolica U tocke x1, za katero je f(U) ⊂ V.

Zveznost celotne funkcije lahko definiramo brez omembe posameznih tock.

Trditev 2.9. Funkcija f : (M1, d1) → (M2, d2) je zvezna natanko takrat, ko je praslika vsake

odprte mnozice odprta.

Dokaz. Naj bo f zvezna in V ⊂ M2 neka odprta mnozica. Za x ∈ f−1(V ) je f(x) ∈ V,zato obstaja odprta okolica U za x, da velja f(U) ⊂ V. Iz tega sledi, da je x notranja tocka

f−1(V ). Ker smo izbrali poljubno tocko x, sklepamo, da so vse tocke f−1(V ) notranje, torej je

f−1(V ) odprta.

Obratno: Naj bo praslika vsake odprte mnozice odprta. Izberimo x ∈ M1 in odprto okolico

V za f(x). V tem primeru je f−1(V ) odprta okolica za x, za katero velja f(f−1(V )) ⊂ V, kar

pomeni, da je f zvezna v tocki x.

2. Topologija

Razlog, da smo si tako obsirno ogledali metricni prostor, so ravno odprte mnozice in z njimi

povezana zveznost. Zveznost lahko opredelimo, ko vemo, katere mnozice so odprte. Topoloski

prostor bo mnozica, v kateri smo predpisali, katere podmnozice stejemo za odprte.

Kot smo videli, lahko zveznost definiramo s pomocjo okolice in brez reference na razdaljo. Pri

definiciji topologije, ki sledi, se lahko navezemo na izrek 2.6.

Definicija 2.10. Druzina τ podmnozic mnozice X je topologija na X, ce za τ velja:

(1) ∅ ∈ τ in M ∈ τ ,

(2) U, V ⊂ τ ⇒ U ∩ V ∈ τ,

(3) Naj bo Uλ, λ ∈ Λ ⊂ τ poljubna druzina mnozic iz τ . Potem je⋃λ Uλ ∈ τ.

Topoloski prostor (X, τ) je mnozica X, opremljena s topologijo τ. Elemente mnozice τ imenu-

jemo odprte mnozice v X.

Definicija 2.11. Mnozica V v topoloskem prostoru (X, τ) je okolica tocke x, ce obstaja odprta

mnozica U ⊂ τ, da je x ⊂ U ⊂ V.

Metricni prostori so tudi topoloski prostori, pri cemer vzamemo za topologijo vse odprte

mnozice. Topoloski prostori so tako na primer:

premica: okolica tocke je na primer vsak interval, ki tocko vsebuje v svoji notranjosti

ravnina: okolica tocke je na primer vsak krog, ki tocko vsebuje v svoji notranjosti.

6

prostor: okolica tocke je na primer vsaka krogla, ki tocko vsebuje v svoji notranjosti.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Najmanjsa topologija je trivialna topologija. Topologija τ na mnozici X vsebuje le

elementa ∅ in X.

(2) Nasprotna skrajnost zgornje topologije je diskretna topologija. τ je enaka potencni

mnozici na X. Vsaka tocka x ∈ τ je hkrati odprta in zaprta. To je topologija, ki jo

obicajno vzamemo na naravnih in celih stevilih.

(3) Poiscimo vse topologije na mnozici s tremi elementi. Imenujmo to mnozico X in njene

elemente x, y, z.

τ1 = ∅, X, ; τ2 = ∅, X, x; τ3 = ∅, X, x, y; τ4 = ∅, X, x, x, y; τ5 =

∅, X, x, y, z; τ6∅, X, x, x, y, x, z; τ7 = ∅, X, x, y, x, y;τ8 = ∅, X, x, y, x, y, x, z; τ9 = ∅, X, x, y, z, x, y, x, z, y, z.1

(4) Pomembni primeri topoloskih prostorov so podmnozice topoloskih prostorov. Naj bo

(X, τ) topoloski prostor in A ⊂ X poljubna neprazna podmnozica v X. Ce definiramo

τA = U ′ ⊂ A; U ′ = A ∩ U,U ∈ τ, potem je (A, τA) topoloski prostor. Odprte

mnozice so natanko preseki z A odprtih mnozic v X. Taki topologiji recemo relativna

topologija na A, odprtim (ali zaprtim) mnozicam v A pa relativno odprte (ali zaprte)

mnozice.

Definicija 2.12. Naj bo f : X → Y funkcija med topoloskima prostoroma (X, τX) in (Y, τY ).

Funkcija f je zvezna v tocki x ∈ X, ce za vsako okolico V tocke f(x) v Y obstaja okolica U

tocke x v X, da je f(U) ⊂ V. Zato velja U ⊂ f−1(V ). Funkcija f je zvezna, ce je f−1(V ) odprta

v X za vsako odprto mnozico V v Y .

Naslednja enostavna trditev povezuje lokalno in globalno definicijo zveznosti.

Trditev 2.13. Naj bosta X in Y topoloska prostora. Preslikava f : X → Y je zvezna, ce in

samo ce je f zvezna ob vsaki tocki v X.

Dokaz. Naj bo xo ∈ X in f zvezna. Naj bo V poljubna okolica tocke f(x0) in V1 taka

odprta mnozica, da je f(x) ∈ V1 ⊂ V . Potem je U = f−1(V1) (odprta) okolica tocke x in velja

f(U) ⊂ V .

Obratno predpostavimo, da je f zvezna v vsaki tocki in x ∈ X in V naj bo poljubna odprta

mnozica v Y . Za vsak x ∈ f−1(V ) obstaja odprta okolica Ux tocke x, da je f(Ux) ⊂ V , saj

je V okolica tocke f(x). Ker je f−1(V ) =⋃x∈f−1(V ) Ux in je unija odprtih mnozic odprta, je

f−1(V ) odprta. Torej je f zvezna.

Poglejmo, da so zvezne preslikave zaprte za kompozitum.

1Nasteli smo samo bistveno razlicne topologije na mnozici X.

7

Izrek 2.14. Naj bodo X, Y in Z topoloski prostori in naj bosta preslikavi f : X → Y in

g : Y → Z zvezni. Potem je h = g f : X → Z zvezna.

Dokaz. Ce je mnozica V odprta v prostoru Z, potem je g−1(V ) odprta v Y in

h−1(V ) = f−1(g−1(V )).

Ce je f zvezna sledi, da je h−1(V ) odprta, zato je h zvezna.

Sledijo definicije zaporedja, limite in kompaktnosti v topoloskem prostoru.

Definicija 2.15. Zaporedje je preslikava f : N→ X. Obicajno pisemo x1, x2, x3, ... ali xn∞n=1.

Definicija 2.16. x je limita zaporedja xnn=1 ⊂ X. Pisemo

x = limn→∞

xn,

ce za vsako okolico U tocke x obstaja tak n0, da je xn ⊂ U za vsak n ≥ n0.

V primeru, ko za topoloski prostor vzamemo metricni prostor (M,d) dobimo, da je a ∈ M

limita zaporedja ann∈N natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 obstaja n0 da za vsak n ≥ n0 velja

d(an, a) < ε, kar je obicajna definicija limite zaporedja v metricnem prostoru.

3. Kompaktnost in lokalna kompaktnost

Definicija 2.17. Naj bo K ⊂ X in Uλλ∈Λ druzina podmnozic topoloskega prostora (X, τ).

Pravimo, da je Uλλ∈Λ pokritje mnozice K, ce velja, da je mnozica K vsebovana v⋃Uλ. Ce so

vse mnozice Uλ odprte v X, recemo, da je to odprto pokritje. Pokritje je koncno, ce je indeksna

mnozica Λ koncna.

Definicija 2.18. Naj bo K ⊂ X in Uλλ∈Λ pokritje mnozice K. Ce je Λ′ ⊂ Λ in je Uλλ∈Λ′

tudi pokritje mnozice K, recemo, da je Uλλ∈Λ′ pod pokritje pokritja Uλλ∈Λ.

Definicija 2.19. Naj bo K ⊂ X. Mnozica K je kompaktna, ce za vsako odprto pokritje

mnozice K obstaja koncno podpokritje.

Ce gornja definicija velja v primeru K = X, recemo, da je topoloski prostor (X, τ) kompakten.

Neprazna mnozica K v topoloskem prostoru (X, τ) je kompaktna natanko tedaj, ko je topoloski

prostor (K, τK) kompakten v relativni topologiji.

Oglejmo si, kako je s kompaktnostjo v metricnem prostoru.

Izrek 2.20. Mnozica K ⊂M v metricnem prostoru (M,d) je kompaktna natanko tedaj, ko ima

vsako zaporedje v K podzaporedje, ki v K konvergira.

Dokaz. Najprej bomo dokazali, da ce je mnozica K kompaktna, potem sledi, da ima vsako

zaporedje v K podzaporedje, ki je v K konvergentno. Predpostavimo, da je an tako zaporedje

v K, ki nima konvergetnega podzaporedja, ki bi v K konvergiralo. Nobena tocka iz K torej ni

8

limita nobenega podzaporedja. Torej za vsak x ∈ K obstaja odprta okolica x ∈ Ux, da ima Ux

le koncno clenov zaporedja an. Uxx∈K je odprto pokritje mnozice K, torej obstaja koncno

podpokritje: K ⊂ Ux1 ∪ Ux2 ... ∪ Uxn . Torej je v K samo koncno clenov zaporedja, kar nam da

protislovje.

Obrat je nekoliko bolj zapleten. Bralec si lahko dokaz prebere v [14].

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Mnozica K ⊂ Rn je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena (Heine-Borelov

izrek).

(2) Vsaka podmnozica K v topoloskem prostoru X s trivialno topologijo je kompaktna,

ker ima vsako odprto pokritje lahko le dve mnozici, ∅ in X.

(3) Ce imamo diskretno topologijo, je mnozica K ⊂ X kompaktna natanko tedaj, ko

vsebuje le koncno mnogo tock, ker je vsaka tocka odprta mnozica.

(4) Mnozica R ni kompakten prostor, saj pokritje (−n, n)‖n ∈ N nima koncnega pod-

pokritja. Podoben premislek pokaze, da noben neomejen metricni prostor ne more biti

kompakten, saj pokritje s kroglami K(x, n) za n ∈ N nima koncnega podpokritja.

Izrek 2.21. Naj bo mnozica K kompaktna in mnozica F ⊂ K zaprta v topoloskem prostoru X.

Potem je F kompaktna.

Dokaz. Ce je Vα odprto pokritje od F in W = F c, potem je W ∪⋃α Vα odprto pokritje

K. Zato obstaja taka koncna podruzina Vαi, da velja

K ⊂ W ∪ Vα1 ∪ ... ∪ Vαn .

Iz tega sledi, da F ⊂ Vα1 ∪ ... ∪ Vαn .

Ceprav v splosnih topoloskih prostorih kompaktne mnozice niso nujno zaprte, to velja v me-

tricnih prostorih.

Izrek 2.22. Naj bo mnozica K kompaktna podmnozica v metricnem prostoru (M,d). Potem je

K zaprta.

Dokaz. Predpostavimo, da K ni zaprta. Potem obstaja a ∈ M\K, ki je robna tocka za

K. Za vsako naravno stevilo n lahko najdemo tocko an ∈ K, da je an ∈ K(a, 1/n). Vsako

zaporedje an ⊂ K konvergira proti a 6∈ K, zato nobeno podzaporedje nima limite v K.

Da kompaktne mnozice v splosnem niso zaprte, lahko vidimo na preprostem primeru K = a,X = a, b s topologijo τ = ∅, a, a, b. Mnozica a je kompaktna, saj je koncna, medtem

ko ac = b ni odprta, zato a ni zaprta.

Definicija 2.23. Mnozica X je lokalno kompaktna, ce ima vsaka tocka v X kompaktno okolico.

9

Ocitno je, da je vsak kompaktni prostor lokalno kompakten. Ker so zaprte krogle v Rn kom-

paktne po Heine-Borelovem izreku, je prostor Rn lokalno kompakten.

4. Hausdorffov prostor

Naj bo τ topologija na X, ter A in B neprazni podmnozici mnozice X. Ce obstajata, taki

mnozici U, V ∈ τ, za kateri je A ⊂ U,B ⊂ V in U ∩ V = ∅, recemo, da topologija strogo loci

mnozici A in B.

Definicija 2.24. Prostor (X, τ) je Hausdorffov prostor, ce τ strogo loci vsaki dve razlicni tocki

iz X oz. ce p, q ∈ X in p 6= q, potem ima p okolico U in q okolico V , tako da je njun presek

prazna mnozica.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Vsak metricni prostor (M,d) ima Hausdorffovo lastnost. Ce je d = d(x, y) razdalja

med razlicnima tockama x in y v M, potem odprti krogli K(x, d3) in K(y, d

3) ostro

locita x in y.

(2) Prostor (X, τ) s trivialno topologijo ni Hausdorffov prostor, ce ima vsaj dve tocki, saj

imamo v X le eno netrivialno odprto mnozico.

(3) Prostor (X, τ) z diskretno topologijo je Hausdorffov prostor, saj je vsaka tocka ze

okolica sama sebe.

Trditev 2.25. Prostor (X, τ) je Hausdorffov natanko tedaj, ko za vsak x ∈ X velja⋂U∈U U =

x, kjer je U druzina vseh okolic x.

Dokaz. Predpostavimo najprej, da je X Hausdorffov in naj bo x ∈ X. Potem velja

x ∈⋂U∈U Ux, kjer je U druzina vseh okolic tocke x. Naj bo y ∈ X, y 6= x. Potem obstajata

odprti okolici U za x in V za y, da je U∩V ∅. Zato je y zunanja tocka za U in y 6∈ U in posledicno

y 6∈⋂U∈U U . Pokazimo se obrat. Naj bosta x 6= y tocki iz X in naj velja

⋂U∈U U = x, kjer

je U druzina vseh okolic x. Potem obstaja U okolica tocke x, da y 6∈ U , kar pomeni, da je y

zunanja tocka za U . Posledicno obstaja okolica V tocke Y , da je U ∩ V = ∅.

Izrek 2.26. Naj bo X Hausdorffov prostor. Potem je vsaka koncna podmnozica X zaprta.

Dokaz. Hausdorffov pogoj za locljivost lahko ekvivalentno zapisemo tudi s trditvijo: Naj

bo x ∈ X poljuben in U druzina vseh okolic x. Potem velja⋂U∈U U = x. Iz tega sledi, da je

vsaka eno elementna mnozica zaprta, saj je presek zaprtih mnozic. Ker je unija koncno mnogo

zaprtih mnozic zaprta, so tudi vse koncne mnozice zaprte.

Izrek 2.27. Naj bo X Hausdorffov prostor. Potem je vsaka kompaktna podmnozica v X zaprta.

Dokaz. Naj bo X Hausdorffov prostor in mnozica K ⊂ X kompaktna. Poglejmo, da za

vsak x ∈ Kc obstajata odprti mnozici U in W , da velja

10

x ∈ U ,

K ⊂ W ,

U ∩W = ∅.

Naj bo y ∈ K poljubna tocka. Iz Hausdorffovega pogoja za locljivost sledi, da obstajata

disjunktni odprti mnozici Uy in Vx, tako da x ∈ Ux in y ∈ Vz ter Ux ∩ Vy = ∅. Vy, y ∈ K je

pokritje za K in ker je K kompaktna, obstajajo take tocke y1, ...yn ∈ K, da velja

K ⊂ Vy1 ∪ ... ∪ Vyn .

Definiramo

U = Uq1 ∩ ... ∩ Uqnin

W = Vq1 ∪ ... ∪ Vqn .

Mnozici U in W sta odprti, saj sta koncna preseka odprtih mnozic, in zadoscata pogojem

izreka.

4.1. Urysohnova lema za lokalno kompaktne Hausdorffove prostore in razclenitev

enote.

Izrek 2.28. Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor in U odprta mnozica. Za vsako

kompaktno podmnozico K ⊂ U v X obstaja zvezna funkcija ϕ : X → [0, 1] s kompaktnim

nosilcem, da velja:

(1) suppϕ ⊂ U .

(2) ϕ(x) = 1 za vsak x ∈ K.

Dokaz zgornjega izreka lahko najdemo v [10].

Izrek 2.29. Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor in Uini=1 odprto pokritje kom-

paktne podmnozice K ⊂ X. Potem obstaja druzina zveznih preslikav ρi : X → [0, 1], za katere

je nosilec supp ρi vsebovan v Ui za i = 1, ..., n in velja

ρ1(x) + ...ρn(x) = 1, ∀x ∈ K.

Dokaz. Vsaka tocka x ∈ K je v neki mnozici Ui. Naj bo Vx odprta okolica tocke x s

kompaktnim zaprtjem Vx ⊆ Ui. Iz odprtega pokritja Vx : x ∈ K mnozice K izberemo koncno

podpokritje Vxj : j = 1, ...,m. Za vsak i naj bo Ki unija tistih mnozic Vxj , ki so vsebovane v

Ui. Po izreku 2.28 obstaja taka funkcija δi, da je supp δi ⊂ Ui in je δi(x) = 1 za vsak x ∈ Ki.

Ker mnozice Ki pokrivajo K, je∑n

i=1 δi(x) ≥ 1 za vsak x ∈ K. Po izreku 2.28 obstaja taka

funkcija δ, da je supp δ ⊂ x ∈ X :∑n

i=1 δi(x) 6= 0 in je δ(x) = 1 za vsak x ∈ K. Naj bo

δ0 = 1 − δ. Funkcija θ =∑n

i=0 δi je povsod pozitivna, saj je δ0(x) = 1 za vsak x, za katerega

je∑n

i=1 δi(x) = 0. Funkcije ϕi = δiθ

(i = 1, ..., n) zadoscajo zakljucku izreka, saj je ϕ0|K = 0 in

zato∑n

i=1 ϕi(x) =∑n

i=0 δi(x)/θ(x) = 1 za vsak x ∈ K.

11

POGLAVJE 3

Merljivi prostori

1. σ algebra

Definicija 3.1. Druzina F podmnozic mnozice X je algebra na X, ce za F velja:

(1) Mnozici ∅ in X sta elementa F .

(2) Ce je E ∈ F , je Ec ∈ F - zaprtost za komplemente.

(3) Ce so E1, E2, . . . , En ∈ F je E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En ∈ F .

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov algeber.

(1) Za poljubno mnozico X je druzina F = ∅, X algebra na X.

(2) Za poljubno mnozico X je potencna mnozica F = P(X) algebra na X.

(3) Naj bo X = 1, 2, 3, 4, 5 in naj bo A = 1, 2 druzina podmnozic na X. Potem

sta

F1 = ∅, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5

in

F1 = ∅, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3,

3, 4, 5, 1, 4, 5, 2, 4, 5, 1, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 4, 5

dve med seboj razlicni algebri, ki vsebujeta A.

Definicija 3.2. Druzina F podmnozic mnozice X je σ-algebra na X, ce za F velja:

(1) Mnozici ∅ in X sta elementa F .

(2) Ce je E ∈ F , je Ec ∈ F - zaprtost za komplemente.

(3) Ce so E1, E2, . . . ∈ F je E1 ∪ E2 ∪ · · · ∈ F .

Elemente druzine F imenujemo merljive mnozice, mnozico X, opremljeno z druzino F , pa

merljiv prostor.

Opazimo, da se definiciji 3.1 in 3.2 razlikujeta samo pri zadnji lastnosti. Pri algebri zahtevamo

le zaprtost za koncne preseke, medtem ko pri σ-algebri zahtevamo zaprtost za stevne preseke.

Zato je vsaka σ-algebra avtomaticno algebra. To sledi tudi iz dejstva, da lahko vsako koncno

unijo mnozic zapisemo kot unijo stevno mnogo mnozic A1 ∪ A2 ∪ ∅ ∪ ∅ · · · .

12

Primeri. Navedimo nekaj primerov.

(1) Na vsaki mnozici seveda lahko vzamemo za σ-algebro kar potencno mnozico. V tem

primeru so vse podmnozice merljive. To je σ-algebra, ki jo obicajno vzamemo na

koncnih mnozicah, ali na mnozicah N oziroma Z.

(2) Naj bo X mnozica, katere moc je vecja od moci mnozice naravnih stevil. Naj bo Fdruzina vseh takih podmnozic E mnozice X, da je vsaj ena od mnozic E in Ec najvec

stevna. Poglejmo, da je F σ-algebra.

Ocitno sta X ∈ F in ∅ ∈ F ter Ec ∈ F , ce je E ∈ F . Naj bo sedaj Enn∈Npoljubno zaporedje mnozic iz F . Ce so vse mnozice najvec stevne, potem je mnozica

E =⋃n∈NEn tudi najvec stevna in zato je E ∈ F . V nasprotnem primeru je ena od

Em mnozica nestevna, Ecm pa je najvec stevna mnozica. Ker je

Ec =⋂n∈N

Ecn ⊂ Ec

m,

je tudi mnozica Ec najvec stevna, torej je E ∈ F .

(3) Naj bo X = 1, 2, 3, ... in F = E ⊂ X : E je koncna ali Ec je koncna. Enostavno

je videti, da je F algebra na X. Ker je ∅ koncna, sta obe mnozici ∅ in X ∈ F . Naj

bosta E,F ∈ F . Ce sta obe E in F koncni, je koncna tudi njuna unija. Poglejmo

primer, ko vsaj ena izmed njiju ni koncna. Predpostavimo, da E ni koncna. Potem

je (E ∪ F )c = Ec ∩ F c ⊂ Ec. Ec je koncna, ker E ni, zato je (E ∪ F )c koncna in je

element F . Ker je (Ec)c = E, ce je E ∈ F , je tudi njen komplement.

Vendar F ni σ-algebra, ker stevna unija⋃∞n=12n /∈ F , medtem ko so vse mnozice

2n ocitno iz F .

(4) Naj bo X = a, b, c in F1 = a, b, c, ∅, X, F2 = b, a, c, ∅, X. Ceprav sta

obe druzini σ-algebri, pa unija F1 ∪ F2 ni σ-algebra, saj a ∪ b = a, b /∈ F .

Naj bo F σ-algebra na mnozici X. Iz definicije sledi, da je F zaprta tudi za stevne preseke,

saj je∞⋂n=1

An =

(∞⋃n=1

Acn

)c

,

in za poljubne komplemente, saj je

A \B = Bc ∩ A.

Izrek 3.3. Naj bo F σ-algebra na X in naj bo f : X → Y poljubna preslikava iz X v mnozico

Y . Naj bo S druzina vseh podmnozic E ⊂ Y , tako da f−1(E) ∈ F , potem je S σ-algebra na Y .

Dokaz. Ker velja f−1(Y ) = X in f−1(∅) = ∅, sta Y in ∅ v S. Ker je f−1(Y − E) =

X − f−1(E), je Ec ∈ S, ce je E ∈ S. Podobno je S zaprta za stevne unije, saj je:

f−1(E1 ∪ E2 ∪ ...) = f−1(E1) ∪ f−1(E2) ∪ . . . .

13

Seveda vsaka druzina podmnozic neke mnozice X se ni σ-algebra. Naslednji izrek definira

najmanjso σ-algebro, ki jo lahko definiramo z vnaprej podano druzino podmnozic.

Izrek 3.4. Naj bo A katera koli druzina podmnozic mnozice X. Obstaja najmanjsa σ-algebra

σ(A) na X, tako da A ⊂ σ(A). Tako σ-algebro imenujemo σ-algebra, generirana z A.

Dokaz. Naj bo Ω druzina vseh σ-algebr F na X, ki vsebujejo A. Ker je druzina vseh

podmnozic iz X, to je P(X), taka σ-algebra, Ω ni prazna. Naj bo σ(A) presek vseh F ∈ Ω, to

je

σ(A) =⋂F∈Ω

F .

Jasno je, da A ⊂ σ(A) in σ(A) lezi v vsaki σ-algebri na X, ki vsebuje A. Da koncamo dokaz,

moramo pokazati se, da je σ(A) dejansko σ-algebra.

Ker sta ∅ in X vsebovana v vsaki σ-algebri iz Ω, sta vsebovani v preseku σ(A). Naj bo sedaj

E ∈ σ(A). Potem je A ∈ F za vsak F ∈ Ω. Ker so F σ-algebre, je EC ∈ F za vsak F ∈ Ω

in zato v preseku σ(A). Poglejmo podobno, da je σ(A) zaprta za stevne unije. Naj bodo An,

n = 1, 2, . . . poljubne podmnozice σ(A). Potem so vse An vsebovane v vsaki σ-algebri F ∈ Ω, in

je zato tudi unija⋃∞n=1An vsebovana v vsaki σ-algebri F ∈ Ω ter zato tudi v preseku σ(A).

Opomba 3.5. Pomemben primer merljivih prostorov so same podmnozice merljivega prostora.

Ce je namrec (X,F) merljiv prostor in E ∈ F neprazna mnozica, je FE = F ∩ E; F ∈ Fσ-algebra na E in je (E,FE) zato merljiv prostor.

Naj bo (X, τ) topoloski prostor. Po izreku 3.4, obstaja najmanjsa σ − algebra B na X, tako

da B vsebuje vse odprte mnozice τ na X. Elemente mnozice B imenujemo Borelove mnozice

na X. Z drugimi besedami: Najmanjsa σ-algebra, ki vsebuje τ, je presek vseh tistih σ-algeber

na X, ki vsebujejo druzino τ. Tako σ-algebro imenujemo Borelova σ-algebra na X.

Vsi intervali, odprte in zaprte mnozice so Borelove mnozice. To smo dokazali tudi v diplomski

nalogi ([13]). Presek stevne druzine odprtih mnozic in unija stevne druzine zaprtih mnozic sta

Borelovi mnozici, ki ju imenujemo zaporedoma Gδ in Fσ. Notacija je Hausdorffova. Crki G in

F sta bili uporabljeni za odprte in zaprte mnozice, δ se nanasa na preseke in σ na unije.

2. Merljive funkcije

Merljive funkcije v teoriji mere so analogne zveznim funkcijam v topologiji. Pri zveznih funkci-

jah so praslike odprtih mnozic odprte mnozice, medtem ko pri merljivih funkcijah zahtevamo,

da so praslike merljivih mnozic merljive mnozice.

Definicija 3.6. Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora. Preslikava f : X → Y je

merljiva, ce je f−1(B) ∈ A za vsako mnozico B ∈ B.Ce je (X,A) merljiv prostor in (Y, τ) topoloski prostor, recemo, da je f : X → Y merljiva, ce

je praslika poljubne odprte mnozice iz Y merljiva.

14

Opomba 3.7. Ce je (Y, τ) topoloski prostor, potem je merljivost definirana tako, da na Y

vzamemo Borelovo σ-algebro.

Merljivost funkcije je odvisna samo od σ-algerb. Ce zelimo dokazati, da je funkcija merljiva,

je dovolj, da preverimo merljivost inverzne slike mnozic, ki generirajo σ-algebro na izbranem

prostoru.

Izrek 3.8. Naj bodo (X,F) ,(Y,S) in (Z, T ) merljivi prostori. Ce sta f : X → Y in g : Y → Z

merljivi, je preslikava h = g f : X → Z merljiva v X.

Dokaz. Ce je podmnozica V merljiva v Z, potem je g−1(V ) merljiva v Y in je

h−1(V ) = f−1(g−1(V )).

Ker je f merljiva sledi, da je h−1(V ) merljiva.

V posebnem primeru, ko je Y = [−∞,∞] lahko merljivost testiramo nekoliko bolj preprosto.

Izrek 3.9. Naj bo F σ-algebra na X. Naj bo f : X → [−∞,∞]. Ce je f−1((a,∞]) ∈ F za

vsak realni a, potem je f merljiva.

Zgornji izrek se velikokrat uporablja kot kriterij za merljivost realnih funkcij.

Dokaz. Naj bo S druzina vseh podmnozic E ⊂ [−∞,∞], tako da f−1(E) ∈ F . Potem je

po izreku 3.3 S σ-algebra. Izberimo tako realno stevilo an < a, da velja an → a, ko n → ∞.

Ker

je (an,∞] ∈ S za vsak n,

[−∞, a) =⋃∞n=1[−∞, an] =

⋃∞n=1(an,∞]c,

sledi, da je [−∞, a) ∈ S. Enako velja za (a, b) = [−∞, b)∩ (a,∞]. Ker je vsaka odprta mnozica

v intervalu [−∞,∞] stevna unija intervalov zgornjega tipa, S vsebuje vsako odprto mnozico.

Zato je funkcija f merljiva.

Taksno karakterizacijo merljivosti lahko uporabimo za dokaz naslednje trditve.

Izrek 3.10. Ce so funkcije fn : X → [−∞,∞] merljive za n = 1, 2, . . . in

g = supn≥1

fn, h = lim supn→∞

fn,

potem sta funkciji g in h merljivi.

Dokaz. Zapisemo lahko enakost g−1((α,∞]) =⋃∞n=1 f

−1n ((α,∞]). Zato po izreku 3.9 vemo,

da je funkcija g merljiva. Isti rezultat drzi seveda tudi za inf namesto sup in ker

h = infk≥1supi≥kfi,

15

sledi, da je tudi funkcija h merljiva.

Opomba 3.11. Naj bo (X,F) merljiv prostor in f : X → [−∞,∞] funkcija, za katero je

x ∈ X : f(x) ≥ r ∈ F za vsak r ∈ Q. Potem je f merljiva funkcija, saj za vsak a ∈ R obstaja

strogo padajoce zaporedje rn racionalnih stevil z limito a. Torej je

f−1((a,∞]) =∞⋃n=1

f−1([rn,∞]),

in ker je po predpostavki f−1([rn,∞]) ∈ F , je tudi f−1((a,∞]) ∈ F . Po izreku 3.9 je zato f

merljiva funkcija.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov merljivih funkcij.

(1) Naj bo (X,F) merljiv prostor. Vzemimo maksimalno σ-algebro F = P(X) in naj bo

(Y,S) poljuben merljiv prostor. Potem je vsaka preslikava f : X → Y merljiva.

(2) Ce na X = N vzamemo maksimalno σ-algebro P(N) in je Y = R ali Y = C, so merljive

funkcije natanko realna ali kompleksna zaporedja.

(3) Trivialni primer je, ko je F = ∅, X trivialna σ-algebra in je na primer Y = R. Potem

so merljive funkcije samo konstante.

Definicija 3.12. Naj bosta X in Y topoloska prostora. Preslikavo f : X → Y imenujemo

Borelova preslikava, ce je f−1(A) Borelova mnozica za vsako odprto mnozico A.

Opomba 3.13. Ker je najmanjsa σ-algebra na Y , ki vsebuje vse odprte mnozice iz Y , ravno

Borelova sigma algebra na Y , bi lahko Borelove preslikave med topoloskima prostoroma f :

X → Y definirali kot merljive preslikave, kjer na obeh mnozicah X in Y za σ-algebro vzamemo

ravno Borelovo σ-algebro.

Ker so praslike odprtih mnozic pri zveznih preslikavah odprte mnozice, so zvezne preslikave

med topoloskima prostoroma tudi Borelove preslikave. Zapisimo to kot trditev.

Trditev 3.14. Naj bo f : X → Y zvezna preslikava med topoloskima prostoroma. Potem je f

Borelova preslikava.

Ni pa tezko najti primera Borelove preslikave, ki ni zvezna. Oglejmo si na primer preslikavo

f : R → R, definirano kot f(x) = 1, ce je x > 0 in f(x) = 0, ce je x ≤ 0. Praslika poljubne

mnozice iz R je ∅, R, (−∞, 0], ali pa (0,∞). Ker so vse te mnozice Borelove, je preslikava

Borelova.

Naslednja dva izreka sledita neposredno iz izreka 3.8.

Izrek 3.15. Naj bo (X,F) merljiv prostor, Y in Z pa topoloska prostora. Naj bo preslikava

f : X → Y merljiva, g : Y → Z pa Borelova. Potem je preslikava h = g f : X → Z merljiva.

Izrek 3.16. Naj bodo X, Y in Z topoloski prostori. Naj bosta preslikavi f : X → Y in

g : Y → Z Borelovi. Potem je preslikava h = g f : X → Z Borelova.

16

3. Pozitivna mera

Zgledi pozitivne mere, ki jih poznajo ze ucenci v osnovni soli, so pojmi dolzine, ploscine in pro-

stornine. Mi se bomo ukvarjali z bolj splosno mero na merljivih prostorih. Veja v matematiki,

ki bo za nas najbolj zanimiva, je teorija mere, ki je bila razvita v poznem 19. in zgodnjem 20.

stoletju. V teoriji integracije vpeljava mere omogoca definicijo integralov na prostorih, ki so

splosnejsi od podmnozic evklidskega prostora.

Pozitivna mera je sistematicni nacin prireditve pozitivnega stevila podmnozicam dane mnozice.

Je preslikava, ki jo bomo oznacevali s crko µ, in ki (nekaterim) podmnozicam mnozice X priredi

nenegativno realno stevilo. Veljati morajo se nekatere lastnosti, ki jih bomo definirali v naslednji

definiciji.

Definicija 3.17. Naj bo (X,F) merljiv prostor. Pozitivna mera µ je preslikava µ : F → [0,∞],

ce zanjo veljajo naslednje lastnosti:

µ(∅) = 0,

za vsak E ∈ F je µ(E) ≥ 0,

ce so En, n = 1, 2, ... paroma disjunktne podmnozice F , velja: µ(⋃∞i=1 Ei) =

∑∞i=1 µ(Ei).

Trojico (X,F , µ) imenujemo prostor z mero.

Opomba 3.18. Naj bodo E1, E2, . . . , EN disjunktne merljive mnozice in vzemimo En = ∅ za

n > N . Potem velja

µ(N⋃i=1

Ei) = µ(∞⋃i=1

Ei) =∞∑i=1

µ(Ei) =N∑i=1

µ(Ei).

Vsaka pozitivna mera je torej tudi koncno aditivna. Ce neka funkcija µ : F → [0,∞] na

merljivem prostoru (X,F) zadosca prvima dvema tockama iz definicije pozitivne mere, namesto

tretje pa imamo sibkejso koncno aditivnost, bomo taki funkciji rekli koncno aditivna.

Stevna oziroma koncna aditivnost je pomemben koncept, ki ga moramo dobro razumeti. Zato

jo interpretirajmo se z besedami. Mera podmnozice, ki jo lahko razstavimo na koncno ali stevno

stevilo manjsih disjunktnih podmnozic, je vsota mer teh manjsih podmnozic. Ce torej merljivo

mnozico razrezemo na merljive kose, je vsota mer teh kosov enaka meri prvotne mnozice. To

se sklada z intuicijo, ki jo imamo na primer pri ploscinah likov.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov prostorov z mero.

(1) Ce je (X,F , µ) prostor z mero in E ⊂ X merljiva mnozica, lahko na E definiramo mero

µFE, torej samo zozimo definicijsko obmocje mere µ na σ-algebro FE = E ∩ F ; F ∈

F. To mero na E bomo zopet oznacili kar z µ.

(2) Naj bo X koncna mnozica in σ-algebra na X kar P(X). Takoimenovano mero stetja

preprosto definiramo tako, da prestejemo stevilo tock v mnozici. Za A ⊂ X torej lahko

definiramo µ(A) = #A.

17

(3) Podobno lahko definiramo mero stetja na poljubni mnozici X z maksimalno σ-algebro

P(X), pri cemer vzamemo #A =∞ vsakic, ko je A neskoncna mnozica. To je najpo-

gosteje mera, ki jo vzamemo na mnozici naravnih ali celih stevil.

(4) Zelo znana in uporabna mera pri fiziki je tudi takoimenovana Diracova mera δx, kjer

je x ∈ X neka tocka, za σ-algebro pa zopet vzamemo kar potencno mnozico. Za vsako

podmnozico E ⊂ X definiramo Diracovo mero s predpisom

δx(E) = χE(x) =

0, x /∈ E,1, x ∈ E.

(5) Na pravilno definiranih merljivih prostorih so zgledi pozitivnih mer nenegativne adi-

tivne kolicine pri fiziki, npr. masa, energija..., ki zadoscajo ohranitvenim zakonom.

Naj bo µ pozitivna mera na (X,F) in A ⊂ B ⊂ X merljivi mnozici. Hitro vidimo, da je

µ(A) ≤ µ(B), saj je

µ(A) ≤ µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).

Tej lastnosti vsake pozitivne mere recemo monotonost. Opazimo lahko, da smo za dokaz mo-

notonosti uporabili le koncno aditivnost. S pomocjo te lastnosti lahko dokazemo subaditivnost

za poljubno pozitivno mero:

Trditev 3.19. Naj bo (X,F) merljiv prostor in E1, E2, E3, ... stevno zaporedje mnozic iz F .Potem velja

µ

( ∞⋃i

Ei

)≤

∞∑i=1

µ(Ei).

Dokaz. Opazimo, da je E =⋃iEi unija zaporedja disjunktnih merljivih mnozic. Zapisano

drugace E = E1 ∪E2 \E1 ∪E3 \ (E1 ∪E2)∪ . . .. Iz stevne aditivnosti sledi, da lahko zapisemo

mero mnozice E kot vsoto mer teh njenih podmnozic

µ(E) = µ(E1) + µ(E2 \ E1) + µ(E3 \ (E1 ∪ E2)) + · · · .

Monotonost nam na koncu da

µ(E) = µ(E1) + µ(E2 \ E1) + µ(E3 \ (E1 ∪ E2)) + · · · ≤∞∑i=1

µ(Ei).

Trditev 3.20. Naj bo µ : F → [0,∞] pozitivna mera na merljivem prostoru (X,F) in E1 ⊂E2 ⊂ E3 ⊂ ... narascajoce zaporedje mnozic iz F . Potem velja

µ

( ∞⋃n=1

En

)= lim

n→∞µ(En). (1)

Dokaz. Z mnozico E bomo oznacili unijo⋃∞n=1 En. Opazimo, da je mnozica E unija

disjunktnih mnozic. Unija prvih n mnozic v tem zaporedju pa je En oz. µ(En) = µ(E1) +

18

∑n−1i=1 µ(Ei+1 \ Ei). Ker za mero µ velja stevna aditivnost, sledi

µ(E) = µ(E1) +∞∑i=1

µ(Ei+1 \ Ei) = limn→∞

(µ(E1) +

n−1∑i=1

µ(Ei+1 \ Ei))

= limn→∞

µ(En).

Opomba 3.21. Lahko bi pokazali, da je koncno aditivna funkcija mera natanko tedaj, ko

zadosca pogoju (1).

Trditev 3.22. Naj bo (X,F) merljiv prostor z mero µ in (En) padajoce zaporedje mnozic v

F . Ce je µ(E1) <∞, potem je

µ

( ∞⋂n=1

En

)= lim

n→∞µ(En). (2)

Dokaz. Zaporedje mnozic E1 \ En je narascajoce in

E1 \⋂n

En = E1 ∩ (⋂n

En)c = E1 ∩⋃n

Ecn =

⋃n

(E1 \ En).

Iz trditve 3.20 sledi

µ(E1)− µ(∞⋂n=1

En) = µ(∞⋃n=1

(E1 \ En) = limn→∞

µ(E1 \ En) = µ(E1)− limn→∞

µ(En).

Ker je po predpostavki stevilo µ(E1) koncno, ga lahko odstejemo na obeh straneh zgornje

enacbe in s tem je dokaz koncan.

Enakost v enacbi (2) ne velja brez predpostavke, da ima vsaj ena mnozica od mnozic En koncno

mero. Primer: Naj bo µ stevna mera na mnozici 1, 2, 3, ..., naj bo En = n, n+ 1, n+ 2, ....Za n = 1, 2, 3, ... je µ(En) =∞, vendar je njihov presek prazen

⋂En = ∅.

3.1. Lebesguova mera. Najbolj pogosto omenjena in pomembna mera je Lebesguova

mera na Rn, ki jo zelimo razumeti kot posplositev volumna. V diplomskem delu ([13]) smo

vpeljali Lebesguovo mero na R. Sedaj bomo skicirali vpeljavo Lebesguove mero na Rn. Dokaze

bomo opustili, saj so skoraj ekvivalentni tistim v diplomskem delu ([13]).

Mnozici

I = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ai ≤ xi ≤ bi,

kjer so za i = 1, 2, . . . , n a1 ≤ b2 realna stevila, recemo zaprt kvader. Definirajmo

m(I) = (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an).

Naj bo sedaj E ⊂ Rn poljubna mnozica in naj bo

m∗(E) = infE⊂

⋃Ik

∞∑k=1

m(Ik),

kjer so Ik zaprti kvadri. Preslikavo m∗ : P(Rn) :→ [0,∞] imenujemo zunanja Lebesguova mera

na Rn. Ceprav ima tako definirana preslikava kar nekaj smiselnih lastnosti, kot sta na primer

19

prva dva pogoja v definiciji mere, pa se izkaze, da moramo precej zoziti njeno definicijsko

obmocje, da bo postala stevno aditivna. Definirajmo

L = E ∈ P(Rn); m∗(A) = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC) za vsako A ∈ P(Rn).

Izkaze se, da je L σ-algebra in zozitev m∗ : L → [0,∞] mera, ki jo kar oznacimo z m. Druzino

L imenujemo Lebesguova σ-algebra, mero m pa Lebeguova mera.

Dodatno veljajo naslednje lastnosti

(1) Lebesguova mera kvadra se ujema z obicajno prostornino kvadra.

(2) Za vsako Lebesguovo merljivo mnozico E iz Rn in za vsako tocko x0 ∈ Rn je A + x0

:= x+ x0 : x ∈ A Lebesguovo merljiva in velja m(A+ x0) = m(A).

(3) Naj bo mnozica E stevna. Potem je m(E) = 0, saj je vsaka tocka mnozice E v kvadru

z vsemi robovi dolgimi 0.

(4) Ce je m∗(E) = 0 je E merljiva in je m(E) = 0. Prav tako je vsaka F ⊂ E merljiva in

je m(F ) = 0.

3.2. Borelova mera. Naj bo X topoloski prostor. Borelova mera je taka pozitivna mera,

ki je definirana na Borelovih podmnozicah v X. Na lokalno kompaktnih topoloskih prostorih

za Borelovo mero pogosto zahtevamo se regularnost.

Definicija 3.23. Borelova mera µ na lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru X je re-

gularna ce in samo ce

(1) µ(K) <∞ za vsako kompaktno mnozico K ⊂ X.

(2) Za vsako Borelovo mnozico E velja

µ(E) = infµ(V ); E ⊆ V, V odprta v X.

(3) Velja

µ(E) = supµ(K); K ⊆ E, K kompaktna v X,

ce je E odprta mnozica ali ce je E Borelova mnozica s koncno mero.

Ce velja samo lastnost (2), potem je µ na X zunanje regularna. Ce velja samo lastnost (3), je

µ na X notranje regularna.

4. Enostavne funkcije

Z enostavnimi funkcijami so matematicno sklepanje, izreki in dokazi lazji, saj imajo dolocene

lepe lastnosti. Zelo lahko je definirati integral zanje in preprosto aproksimirati bolj splosne

funkcije z zaporedjem enostavnih funkcij. Da jih bomo lahko definirali, moramo najprej defi-

nirati karakteristicno funkcijo.

20

Definicija 3.24. Naj bo E podmnozica mnozice X. Karakteristicna funkcija mnozice E je

preslikava χE : X → R, definirana z

χE(x) =

1; ce x ∈ E,0; ce x 6∈ E.

Ce je (X,F) merljiv prostor in je E merljiva mnozica, je karakteristicna funkcija χE merljiva

funkcija.

Definicija 3.25. Naj bo (X,F) merljiv prostor in f : X → R funkcija. Ce obstajajo razlicna

realna stevila a1, a2, ...an in merljive mnozice A1, A2, . . . , An, da je

s =n∑i=1

aiχAi, (3)

recemo, da je s enostavna funkcija.

Taka reprezentacija enostavne funkcije s se imenuje kanonicna reprezentacija in je seveda

enolicna. Za njo je znacilno, da so mnozice Ai paroma disjunktne. Jasno je, da je funkcija

oblike (3) merljiva natanko tedaj, ko je vsaka mnozica Ai merljiva. Zato so enostavne funkcije

merljive.

Primer enostavnih funkcij so stopnicaste funkcije na realnih stevilih. Funkcija s : I → R je

stopnicasta funkcija na intervalu I ⊂ R, ce je s oblike (3), kjer so Ai ⊂ I intervali. Hitro lahko

vidimo, da vsaka enostavna funkcija na realnih stevilih ni stopnicasta. Ponazorimo s primerom

s(x) = χQ(x) =

1; ce x ∈ Q,0; ce x 6∈ Q.

Izrek 3.26. Naj bo f : X → [0,∞] merljiva. Obstajajo enostavne merljive funkcije sn na X,

tako da velja

(1) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ... ≤ f.

(2) sn(x)→ f(x), ko n→∞, za vsak x ∈ X.

Dokaz. Naj bo xn = 2−n. Vsakemu pozitivnemu stevilu n in vsakemu realnemu stevilu a

ustreza eno samo celo stevilo k = kn(a), za katerega velja kxn ≤ a < (k + 1)xn. Definirajmo

funkcijo

yn(a) =

kn(a)xn; ce 0 ≤ a < n

n; ce n ≤ a ≤ ∞.Potem je vsaka funkcija yn Borelova funkcija na intervalu [0,∞],

a− xn < yn(a) ≤ a 0 ≤ a ≤ n,

0 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ a in yn(a)→ a, ko gre n→∞, za vsak a ∈ [0,∞]. Iz tega sledi, da funkcija

sn = yn f zadovolji oba pogoja in je merljiva po pogoju 3.15 v izreku 3.16.

21

POGLAVJE 4

Integracija

V tem poglavju bomo pogledali, kako lahko definiramo integral merjive funkcije glede na po-

ljubno pozitivno mero. Pred tem pa na kratko ponovimo, kako je definiran Riemannov integral.

Definicija 4.1. Naj bo f : [a, b] → R omejena funkcija. Interval [a, b] razdelimo na n-

podintervalov s tockami a = x0 < x1 < ...xn−1 <n= b in na vsakem podintervalu [xk−1, xk]

izberemo tocko ξk ∈ [xk−1, xk]. Vsoto∑n

k=1 f(ξk)(xk − xk−1) imenujemo Riemannova vsota

funkcije f prirejena delitvi D = x0, x1, x2, ...xn in izbiri tock ξk ∈ [xk−1,xk ]. Oznacimo ϑk =

xk − xk−1 in ϑ(D) = maxk=1,2...n ϑk.

Definicija 4.2. Naj bo f : [a, b]→ R omejena funkcija. Riemannove vsote funkcije f na [a, b]

konvergirajo proti limiti I ∈ R, ce za vsak ε > 0 obstaja ϑ > 0, da je:

|n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1) = I| < ε,

ce bo le ϑ(D) < ϑ za D = x0, x1, ...xn in pri poljubni izbiri tock ξk ∈ [xk−1, ...xk].

Definicija 4.3. Naj bo f : [a, b]→ R omejena. Ce obstaja limita I Riemannovih vsot funkcije

f na [a, b], recemo, da je f na [a, b] integrabilna in definiramo Riemannov integral∫ b

a

f(x)dx = I.

Ker so zvezne funkcije na kompaktnih intervalih enakomerno zvezne, lahko hitro dokazemo, da

so vse zvezne funkcije integrabilne. Bolj splosno: Imamo Lebesguov izrek ([13]).

Izrek 4.4 (Lebesguov izrek). Omejena funkcija f : [a, b] → R je Riemannovo integrabilna

natanko tedaj, ko ima mnozica tock nezveznosti funkcije f Lebesguovo mero 0.

Riemannov integral je zelo uporaben, kadar imamo opravka z zveznimi funkcijami in tistimi

nezveznimi funkcijami, ki nimajo ”prevec”tock nezveznosti. Kot vidimo iz zgornjega izreka, pa

tezava nastopi, ce ima funkcija prevec tock nezveznosti. Kot primer take funkcije si oglejmo

karakteristicno funkcijo racionalnih stevil χQ : [0, 1]→ R.

χQ(x) =

1; x ∈ Q,0; x 6∈ Q.

Ker je funkcija χQ povsod nezvezna, po zgornjem izreku ni Riemannovo integrabilna na [0, 1].

Seveda to lahko vidimo tudi direktno. Pri kateri koli delitvi intervala [0, 1] lahko delilne tocke

izberemo tako, da bo Riemannova vsota enaka 0, ali pa tako, da bo Riemannova vsota enaka 1.

22

Vseeno pa takoj opazimo, da je funkcija χQ skoraj povsod enaka 0, saj je nenicelna le na stevni

mnozici. Zato bi bilo smiselno, da bi bil tudi njen integral enak 0. Problem lahko resimo tako,

da definiramo (Lebesguov) integral funkcije χQ kot∫[0,1]

χQ = 1 ·m(Q ∩ [0, 1]) + 0 ·m([0, 1]\Q) = 0.

Seveda lahko Riemannov integral posplosimo na funkcije vec spremenljivk. Na analogen nacin

kot zgoraj, lahko najprej definiramo Riemannov integral za omejene funkcije, definirane na

kompaktnih kvadrih v Rn. Ce je funkcija definirana na bolj splosni omejeni mnozici, pa jo

najprej z 0 razsirimo, tako da bo definirana na nekem kvadru.

1. Integral pozitivne enostavne funkcije

Definicija 4.5. Naj bo (X,F , µ) prostor z mero in s : X → [0,∞) pozitivna enostavna

funkcija s kanonicno reprezentacijo

s =n∑i=1

aiχAi, .

Potem definiramo integral s na X kot∫s(x)dµ =

n∑i=1

aiµ(Ai).

Ce je mnozica E ∈ F , definiramo ∫E

sdµ =n∑i=1

aiµ(Ai ∩ E). (4)

Pri tem upostevamo, da je 0 · ∞ = 0 v primeru, ko je µ(E ∩ Ai) =∞.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov

(1) Naj bo funkcija f : R→ R definirana tako kot

f(x) =

1; x ∈ Q,2; x 6∈ Q.

Funkcija f je enostavna funkcija s kanonicno reprezentacijo

f(x) = χQ + 2χR\Q.

Integral funkcije f glede na Lebesguovo mero na R je enak ∞, saj je∫f(x)dm =

∫(χQ + 2χR\Q)dm

= 1 ·m(Q) + 2 ·m(R\Q)

= 1 · 0 + 2 · ∞ =∞.

23

Na mnozici [0, 1] je integral f enak∫[0,1]

f(x)dm =

∫[0,1]

(χQ + 2χR\Q)dm

= 1 ·m(Q ∩ [0, 1]) + 2 ·m((R\Q) ∩ [0, 1])

= 1 · 0 + 2 · 1 = 2.

(2) Zopet bomo izracunali integral glede na Lebesguovo mero na R, tokrat funkciji

s1(x) = 2χ[0,2](x) + 4χ[1,3](x)

s2(x) = 2χ[0,1](x) + 6χ[1,2](x) + 4χ[2,3](x).

Gre za enaki enostavni funkciji z razlicno reprezentacijo, za kateri je kanonicna repre-

zentacija enaka

s(x) = 2χ[0,1)(x) + 8χ1 + 6χ(1,2)(x) + 10χ2 + 4χ(2,3](x).

Ceprav smo v definiciji integrala enostavne funkcije uporabili kanonicno reprezentacijo,

pa to ni potrebno, saj je∫s1 dm = 2 ·m([0, 2]) + 4 ·m([1, 3]) = 4 + 8 = 12,∫

s2 dm = 2 ·m([0, 1]) + 6 ·m([1, 2]) + 4 ·m([2, 3]) = 2 + 6 + 4 = 12,

in ∫s dm = 2 ·m([0, 1)) + 10 ·m(1) + 6 ·m((1, 2)) + 10 ·m(2)

+ 4 ·m((2, 3]) = 2 + 0 + 6 + 0 + 4 = 12.

(3) Naj bo sedaj X = N in za µ vzemimo obicajno mero stetja tock. Naj bo stopnicasta

funkcija f : N → R definirana z f(n) = (−1)n. Naj bo S mnozica sodih stevil, L

pa mnozica lihih stevil. Potem je f = χS − χL. Ta funkcija, sicer stopnicasta, nima

zgolj pozitivnih vrednosti, tako da zaenkrat nasa definicija integrala tega primera se

ne zajema. Vecji problem kot to, je, da niti mnozica sodih, niti mnozica lihih stevil

nimata koncne mere. Ce bi namrec zeleli razsiriti definicijo neposredno na ta primer,

bi morali smiselno razumeti izraz µ(S)−µ(L) =∞−∞. Pravzaprav bi zeleli smiselno

razumeti vsoto −1 + 1− 1 + 1− · · · , za kar pa vemo, da je problematicno.

Trditev 4.6. Naj bo s nenegativna enostavna funkcija na (X,F , µ). Predpis

ϕ(A) =

∫A

s dµ,

kjer je A ∈ F , doloca pozitivno mero na F .

Dokaz. Dokazimo, da je ϕ(E) res pozitivna mera na F . Ker je χ∅ = 0, je ϕ(∅) =∫∅ s dµ =∫

0 dµ = 0. Za dokaz stevne aditivnosti funkcije ϕ pa naj bo Ak poljubno zaporedje paroma

disjunktnih mnozic iz F in A njihova unija. Ce je s =∑n

j=1 cjχEjkanonicni zapis enostavne

24

funkcije s, je sχA =∑n

j=1 cjχA∩Ejza vsako podmnozico A ⊂ X, torej je

ϕ(A) =

∫A

s dµ =

∫sχA dµ =

n∑j=1

cjµ(A ∩ Ej).

Ker je mera µ σ-aditivna, je µ(A ∩ Ej) =∑∞

k=1 µ(Ak ∩ Ej) in sledi

ϕ(A) =n∑j=1

∞∑k=1

cjµ(Ak ∩ Ej) =∞∑k=1

n∑j=1

cjµ(Ak ∩ Ej) =∞∑k=1

∫Ak

s dµ =∞∑k=1

ϕ(Ak).

Trditev 4.7. Za enostavni funkciji s in t na (X,F , µ) velja

∫

(s+ t) dµ =∫s dµ+

∫t dµ; (aditivnost)

∫cs dµ = c

∫s dµ za c ∈ [0,∞].

Dokaz. Dokazimo najprej aditivnost. Naj bosta s =∑m

i=1 ciχEiin t =

∑nj=1 djχFj

ka-

nonicna zapisa. Potem je

s+ t =m∑i=1

n∑j=1

(ci + dj)χEi∩Fj.

Kljub temu da ta zapis ni nujno kanonicen, velja∫(s+ t) dµ =

m∑i=1

n∑j=1

(ci + dj)µ(Ei ∩ Fj). (5)

Ker je ∪nj=1(Ei ∩Fj) = Ei in ∪mi=1(Ei ∩Fj) = Fj, lahko dvojno vsoto na desni strani enacbe (5)

zapisemo kotm∑i=1

n∑j=1

ciµ(Ei ∩ Fj) +m∑i=1

n∑j=1

djµ(Ei ∩ Fj) =m∑i=1

ciµ(Ei) +n∑j=1

djµ(Fj) =

∫s dµ+

∫t dµ.

Drugo tocko dokazemo bolj preprosto:∫cs =

∑caiµ(Ei) = c

∑aiµ(Ei) = c

∫s.

Iz aditivnosti integrala sledi tudi njegova monotonost.

Trditev 4.8. Naj bosta s in t enostavni merljivi funkciji na prostoru (X,F , µ) in 0 ≤ s ≤ t <

∞. Potem velja∫sdµ ≤

∫tdµ.

Dokaz. Opazimo, da je t = s+ (t− s). Torej lahko zapisemo∫t dµ =

∫s dµ+

∫(t− s) dµ.

Ker je enostavna funkcija t− s ≥ 0, po trditvi 4.6 velja∫

(t− s) ≥ 0. Sledi zeljena neenakost∫t dµ ≥

∫s dµ.

25

2. Integral pozitivne funkcije

Definicija 4.9. Naj bo (X,F , µ) prostor z mero, f : X → [0,∞] merljiva funkcija in E ∈ F .

Definiramo ∫E

f dµ = sup0≤s≤f

∫E

s dµ. (6)

Ce je f enostavna nenegativna funkcija, velja po trditvi 4.8 neenakost∫sdµ ≤

∫fdµ za vsako

enostavno funkcijo 0 ≤ s ≤ f . Od tod sledi, da se integrala, definirana v enacbah (4) in (6),

ujemata.

Izrek 4.10. Naj bo (X,F , µ) prostor z mero. Za vse merljive mnozice A,B,E ∈ F in vse

merljive funkcije f, g na X velja:

(a) Ce je 0 ≤ f ≤ g, je∫Ef dµ ≤

∫Eg dµ.

(b) Ce je A ⊆ B in f ≥ 0, je∫Afdµ ≤

∫Bfdµ.

(c) Ce je f ≥ 0 in je konstanta c ≥ 0, je∫cfdµ = c

∫fdµ.

(c) Ce je µ(E) = 0 ali f(x) = 0 za vsak x ∈ E, potem je∫Efdµ = 0.

(d) Ce je f ≥ 0, je∫Efdµ =

∫χEfdµ.

Dokaz. Lastnosti takoj sledijo iz 4.9 in trditve 4.6. Dokazimo prvi dve zgornji lastnosti.

(a) Opazimo, da je g = f + (g− f). Torej lahko zapisemo∫gdµ =

∫fdµ+

∫(g− f)dµ. Ker

je g − f ≥ 0 po trditvi 4.6 velja∫

(g − f)dµ ≥ 0 in iz tega sledi∫gdµ ≥

∫fdµ.

(b) Naj bo s =∑n

i=1 aiχai enostavna funkcija in s ≤ f. Potem velja∫A

f dµ = sup∫A

s dµ = supn∑i=1

aiµ(Ai ∩ A)

in ∫B

fdµ = sup∫B

sdµ = supn∑i=1

aiµ(Ai ∩B).

Ker je µ(Ai ∩ A) ≤ µ(Ai ∩B), zeljena neenakost sledi.

3. Izrek o monotoni konvergenci

Eden najpomembnejsih izrekov v teoriji integriranja je Lebesguov izrek o monotoni konvergenci.

Izrek 4.11 (Izrek o monotoni konvergenci). Naj bo 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ ... ≤ ∞ narascajoce

zaporedje merljivh funkcij na (X,F , µ) z vrednostmi v [0,∞] in naj bo f = limn→∞ fn njihova

limita po tockah. Potem je ∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

26

Dokaz. Zaradi monotonosti integrala je zaporedje stevil∫fndµ narascajoce, torej konver-

gentno v [0,∞]. Naj bo a njegova limita. Ker je fn ≤ f za vsak n, zaradi monotonosti integrala

velja neenakost∫fndµ ≤

∫fdµ, torej tudi

a = limn

∫fn dµ ≤

∫f dµ.

Pokazimo se obratno neenakost. Za vsako merljivo funkcijo f : X → [0,∞] oznacimo z Sf

mnozico vseh takih enostavnih funkcij s : X → [0,∞), da je s ≤ f. Dokazali bomo, da za vsako

konstanto c ∈ (0, 1) in vsako enostavno funkcijo s ∈ Sf velja

c

∫s dµ ≤ a. (7)

Ce nato posljemo c proti 1 in vzamemo supremum po vseh s ∈ Sf , dobimo∫fdµ ≤ a. Za vsak

n naj bo

An = x ∈ X : cs(x) ≤ fn(x).

Mnozice An so merljive in An ⊆ An+1 za vsak n, ker je fn ≤ fn+1. Opazimo, da je⋃nAn = X.

Ker je cs merljiva enostavna funkcija, je po trditvi 4.6 s predpisom

ϕ(B) =

∫B

(cs)dµ

definirana pozitivna mera na F . Po trditvi 3.20 in zaradi monotonosti integrala velja∫(cs) dµ = ϕ(X) = lim

n→∞ϕ(An) = lim

n→∞

∫An

(cs) dµ ≤ limn→∞

∫An

fnd µ.

Integral na levi je enak c∫sdµ, integral na desni v zgornji enacbi pa je pri vsakem n dominiran

z∫fndµ ≤ a (ker je fnχAn ≤ fn). Iz zgornje neenakosti zato takoj sledi neenakost (7).

Opomba 4.12. Oglejmo si, da pod dolocenimi predpostavkami velja analogen izrek za padajoce

zaporedje funkcij. Naj bodo fn : X → [0,∞] merljive na (X,F , µ) in naj velja:

f1 ≥ f2 ≥ f3 ≥ . . . ,

limn→∞ fn(x) = f(x) za vsak x ∈ X,

∫f1dµ ∈ R.

Ce definiramo gn = f1− fn, je zaporedje nenegativnih funkcij gnn∈N monotono narascajoce z

limito f1 − f. Ker je∫f1dµ ∈ R, po izreku o Lebesguovi monotoni konvergenci velja∫

f1dµ− limn→∞

∫fndµ = lim

n→∞

∫gndµ =

∫(f1 − f)dµ =

∫f1dµ−

∫fdµ,

iz cesar sledi

limn→∞

∫fndµ =

∫fdµ.

Naj bo

E1 ⊇ E2 ⊇ E3 · · ·27

zaporedje vgnezdenih mnozic in E = ∩n∈NEn. Ce predpostavimo, da je µ(E1) <∞, in vzamemo

za funkcije fn = χEn ter posledicno f = limn→∞ fn = χE, dobimo

limn→∞

µ(En) = µ(E),

kar je ravno vsebina izreka 3.22.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov uporabe izreka o monotoni konvergenci.

(1) Naj bo X = N in µ obicajna mera stetja tock. Vzemimo pozitivno merljivo funkcijo,

to je pozitivno realno zaporedje f(k) = ak. Naj bo za vsako naravno stevilo n funkcija

fn definirana z fn(k) = f(k) za k ≤ n in fn(k) = 0 za k > n. Potem velja f1 ≤ f2 ≤f3 ≤ · · · in f = limn→∞ fn, zato je po izreku o monotoni konvergenci

limn→∞

∫fn dµ =

∫f dµ.

Seveda je∫fn dµ = a1 + a2 + · · ·+ an ravno n-ta delna vsota vrste

∑∞k=1 ak, medtem

ko je∫f dµ vsota vrste

∑∞k=1 ak.

(2) Naj bo sedaj f : R→ [0,∞] pozitivna merljiva funkcija na R za Lebesguovo mero m.

Ce definiramo fn = χ[−n,n]f , nam izrek o monotoni konvergenci da

limn→∞

∫[−n,n]

f dm =

∫Rf dm.

Trditev 4.13. Ce je f : X → [0,∞] taka merljiva funkcija, da je∫fdµ < ∞, potem je

µ(x ∈ X : f(x) =∞) = 0.

Dokaz. Naj bo mnozica E = x ∈ X : f(x) = ∞. Potem je E merljiva. Potem za vsak

n ∈ N velja

nχE ≤ fχE ≤ f.

Zato nµ(E) =∫nχEdµ ≤

∫fdµ <∞. Ce ti neenakost zapisemo malo drugace, dobimo

µ(E) ≤ 1

n

∫fdµ.

Ker je∫fdµ <∞, sledi, da je µ(E) = 0.

Pokazali smo ze, da je integral aditiven za pozitivne enostavne funkcije. Pokazimo sedaj s

pomocjo izreka o monotoni konvergenci, da je integral celo stevno aditiven za splosne merljive

pozitivne funkcije.

Izrek 4.14. Naj bodo fn : X → [0,∞] merljive za n = 1, 2, 3, ... in

f(x) =∞∑n=1

fn(x) (x ∈ X). (8)

Potem velja ∫f dµ =

∞∑n=1

∫fn dµ. (9)

28

Dokaz. Pokazimo najprej, da za dve funkciji velja∫(f1 + f2) dµ =

∫f1 dµ+

∫f1 dµ.

Naj bosta si in ti taki zaporedji narascajocih pozitivnih enostavnih funkciji, da velja

limi→∞ si = f1 in limi→∞ ti = f2. Potem je si + ti narascajoce zaporedje pozitivnih eno-

stavnih funkcij, da velja limi→∞(si + ti) = f1 + f2. S pomocjo izreka o monotoni konvergenci in

aditiovnosti integrala za enostavne funkcije dobimo∫(f1 + f2) dµ = lim

i→∞

∫(si + ti) dµ

= limi→∞

∫si dµ+ lim

i→∞

∫ti dµ

=

∫f1 dµ+

∫f2 dµ.

Po indukciji sedaj dobimo∫(f1 + f2 + · · ·+ fN) dµ =

∫f1 dµ+

∫f2 dµ+ · · ·+

∫fN dµ

za vsak N . Ce definiramo gN = f1 + f2 + · · · + fN , zapredje gN narasca proti f. Z uporabo

izreka o monotoni konvergenci je zato

∞∑n=1

∫fn dµ = lim

n→∞

N∑n=1

∫fndµ = lim

n→∞

∫gN dµ =

∫f dµ.

Lema 4.15 (Fatoujeva lema). Za vsako zaporedje merljivih funkcij fn : X → [0,∞] je∫lim infn→∞

fndµ ≤ lim infn→∞

∫fndµ.

Dokaz. Naj bo f = lim infn→∞ fn in za vsak n naj bo gn = infj≥n fj. Torej je gn ≤ fn. Po

definiciji je tedaj f = limn→∞ gn. Ker je zaporedje gn narascajoce, je po Lebesguovem izreku o

monotoni konvergenci ∫fdµ = lim

n→∞

∫gndµ ≤ lim inf

n→∞

∫fndµ.

Ta neenakost sledi iz dveh dejstev:

ce za zaporedje realnih stevil velja an ≤ bn za vsak n, potem je lim infn an ≤ lim infn bn,

ce je zaporedje realnih stevil an konvergentno, je lim infn an = limn an.

Izrek 4.16. Naj bo funkcija f : X → [0,∞] merljiva in

ϕ(E) =

∫E

fdµ (E ∈ F). (10)

Potem je ϕ pozitivna mera na F in ∫gdϕ =

∫gfdµ (11)

29

za vsako merljivo funkcijo g na X ∈ [0,∞].

Dokaz. Naj bodo E1, E2, E3, ... disjunktne mnozice iz F in E1 ∪E2 ∪ ... = E. Potem velja

χEf =∑∞

j=1 χEjf in zato

ϕ(E) =

∫χEfdµ, ϕ(Ej) =

∫χEj

fdµ.

Iz izreka 4.14 sledi

ϕ(E) =∞∑i=1

ϕ(Ej). (12)

Ker je ϕ(∅) = 0, je ϕ res mera.

Pokazimo sedaj se drugi del izreka. Iz 10 sledi, da je 11 res za vse karakteristicne funkcije

g = χE, E ∈ F , in posledicno zato za vse enostavne funkcije g. Ker je vsaka pozitivna merljiva

funkcija g limita narascajocih enostavnih funkcij, splosni primer sledi iz Lebesguovega izreka o

monotoni konvergenci.

4. Integral kompleksne funkcije

Tudi v tem poglavju bo (X,F , µ) merljiv prostor. Razsirjeno kompleksno ravnino bomo

oznacevali s C = C ∪ ∞.

Definicija 4.17. Naj bo (X,F , µ) prostor z mero. Merljiva funkcija f : X → C je integrabilna

na X, ce velja ∫|f |dµ <∞. (13)

Mnozico vseh integrabilnih kompleksnih merljivih funkcij f na X oznacimo z L1(X).

Ce je f : X → C merljiva funkcija, je merljiva tudi |f |, saj je kompozitum funkcije f z zvezno

preslikavo z 7→ |z|.

Opomba 4.18. Za funkcijo f ∈ L1(X) je integral v enacbi (13) koncen. Po izreku 4.13 ima zato

funkcija |f | µ-skoraj povsod koncno vrednost. Na mnozici z mero 0 lahko f spremenimo tako,

da ima povsod koncne vrednosti. Zato bomo v nadaljevanju predpostavili, da ima integrabilna

funkcija vrednosti samo v C.

Definicija 4.19. Naj bo f : X → C merljiva funkcija. Naj bo f = u + iv, kjer sta u in v

realni funkciji na X. Ce je f ∈ L1(X), definiramo∫f dµ =

∫u dµ+ i

∫v dµ. (14)

Opomba 4.20. Ce je f iz L1(X), sta iz L1(X) tudi realni in imaginarni del u in v, saj velja

|u| ≤ |f | in |v| ≤ |f |.

Trditev 4.21. Naj bosta f in g elementa prostora L1(X) ter α in β kompleksni stevili. Potem

je tudi vsota αf + βg ∈ L1(µ) in velja∫(αf + βg)dµ = α

∫fdµ+ β

∫gdµ. (15)

30

Dokaz zgornje trditve bomo prepustili bralcu.

Izrek 4.22. Za vsako funkcijo f ∈ L1(X) velja neenakost∣∣∣∣ ∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.Dokaz. Kadar je

∫fdµ = 0, ni kaj dokazovati. Zato privzemimo, da je kompleksno stevilo

α =∫fdµ nenicelno. Potem obstaja tako kompleksno stevilo ω, z absolutno vrednostjo 1, da

je αω = |α|. Naj bo u realni del ωf. Potem je u ≤ |ωf | = |f |. Zato∣∣∣∣ ∫ fdµ

∣∣∣∣ = |α| = ωα = ω

∫fdµ =

∫(ωf)dµ =

∫udµ. (16)

V tej enakosti smo upostevali, da je u realni del, zato je tudi njegov integral realno stevilo. Ker

je u ≤ |ωf | = |f |, iz enacbe 16 in monotonosti integrala sledi neenakost∣∣∣∣ ∫ fdµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |dµ.

Definicija 4.23. Naj bo f : X → [−∞,∞] merljiva funkcija in naj bo f = f+− f− razcep na

pozitiven in negativen del, kjer sta

f+ = maxf, 0, f− = max−f, 0.

Ce je vsaj eden od integralov ∫E

f+dµ,

∫E

f−dµ

koncen, definiramo ∫E

fdµ =

∫E

f+dµ−∫E

f−dµ.

Naj bo f : X → [−∞,∞]. Ker velja |f+| ≤ |f | in f− ≤ f in je f = f+ − f−, je f ∈ L1(X)

natanko tedaj, ko sta obe funkciji f+ in f− ∈ L1(X). Ceprav smo pri splosnih kompleksnih

funkcijah integral definirali le za integrabilne funkcije, pa vcasih pri relanih funkcijah integral

definiramo tudi, ce je le ena od f+ in f− integrabilna. Seveda v tem primeru integral zavzame

vrednosti ±∞.

Naj bo (X,F , µ) prostor z mero, f : X → C in E merljiva mnozica v X. Potem z rahlo

zlorabo notacije recemo, da je f ∈ L1(X), ce je f |E ∈ L1(E), kjer vzamemo za prostor z mero

(E,FE, µ). Za funkcije iz L1(E) lahko definiramo integral∫Ef dµ =

∫f |E dµ.

5. Izrek o dominirajoci konvergenci

Izrek o dominirajoci konvergenci je eden od pomembnejsih izrekov, ki nam omogoca zamenjavo

limite in integrala.

Izrek 4.24. Naj bo fn zaporedje merljivih kompleksnih funkcij na prostoru (X,F , µ), ki

konvergira skoraj povsod f(x) = limn→∞ fn(x). Ce obstaja kaksna funkcija g ∈ L1(µ), da je

31

|fn(x)| ≤ g(x) za skoraj vsak x, potem je

limn→∞

∫|fn − f |dµ = 0, (17)

in

limn→∞

∫fndµ =

∫fdµ. (18)

Dokaz. Dokaz bomo povzeli po [6]. Ker zaporedje fn konvergira skoraj povsod proti f,

obstaja taka mnozica N0 ∈ F , da je µ(N0) = 0 in f(x) = lim fn(x) za vsak x ∈ N c0 . Ker velja

neenakost |fn(x)| ≤ g(x) za skoraj vsak x, obstaja taka mnozica Nn ∈ F , da je µ(Nn) = 0 in

|fn(x)| ≤ g(x) za vsak x ∈ N cn in n = 1, 2, .... Mnozica N = ∪∞n=0Nn ima mero 0 in za vsak

x ∈ N c velja hkrati

|f(x)| ≤ g(x) limnfn(x) = f(x).

Ker je µ(N) = 0, so vsi integrali po mnozici N enaki 0, zato smemo privzeti, da zaporedje

fn(x) konvergira proti f(x) za vsak x in da je |fn(x)| ≤ g(x) za vsak x. Natancneje receno, v

zgornjem izreku nadomestimo fn s f cnhiNC in f s fχNc , ki so vse merljive.

Ker je |fn| ≤ g za vsak n, je tudi |f | ≤ g in zato |fn − f | ≤ 2g. Merljive funkcije 2g − |fn − f |so torej nenegativne in konvergirajo po tockah proti 2g. Po Fatoujevi lemi je zato∫

2gdµ =

∫lim infn→∞

(2g − |fn − f |)dµ

≤ lim infn→∞

∫(2g − |fn − f |)dµ

=

∫2gdµ− lim sup

n→∞

∫|fn − f |dµ.

Ko odstejemo na obeh straneh∫

2gdµ, dobimo

lim supn

∫|fn − f |dµ ≤ 0.

To pomeni, da mora zaporedje nenegativnih stevil∫|fn− f |dµ konvergirati proti 0. S tem smo

dokazali enakost (17), enakost (18) pa sledi iz nje, saj je po 4.22∣∣∣∣ ∫ fndµ−∫fdµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∫ (fn − f)dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |fn − f |dµ→ 0.

Primeri. Oglejmo si dva primera.

(1) Naj bo X = (0, 1] z Lebesguovo mero m. Oglejmo si funkcije

fn(x) = nxe−n2x2.

32

Po tockah funkcije konvergirajo proti limitni funkciji f(x) = 0, vendar konvergenca ni

enakomerna. Vseeno velja

limn→∞

∫[0,1]

fn(x) dm = limn→∞

∫ 1

0

nxe−n2x2dx

= limn→∞

∫ 1/n2

0

e−u

2ndu

= limn→∞

1− e−1

2n2

2n= 0

To lahko vidimo tudi z uporabo izreka o dominirajoci konvergenci, saj so vse funkcije

manjse ali enake konstantni funkciji g(x) = 12e

, kar lahko hitro vidimo z odvajanjem

funkcije fn. Ker so konstante integrabilne na [0, 1], bo limita integralov enaka integralu

limitne funkcije f(x) = 0.

(2) Vzemimo zopet Lebesguovo mero m, tokrat na R. Poglejmo, da preslikava

f 7→∫f(x) cos tx dm

preslika L1(R) v zvezne funkcije na R. Naj bo tn zaporedje realnih stevil, ki konvergira

proti t in definirajmo hn(x) = f(x) cos tnx. Potem velja po tockah limn→∞ hn(x) =

f(x) cos tx. Ker je |hn(x)| = |f(x) cos tnx| ≤ |f(x)| in je po predpostavki f integra-

bilna, lahko uporabimo izrek o dominirajoci konvergenci

limn→∞

∫f(x) cos tnx dm =

∫( limn→∞

f(x) cos tnx) dm =

∫f(x) cos tx dm,

kar natanko pomeni zveznost. Kot lahko vidimo iz dokaza, bi lahko analogno izjavo

dokazali za kateri koli prostor z mero.

6. Vloga mnozic z mero nic

Lebesguova mera na Rn ima lastnost, da je vsaka podmnozica mnozice z mero nic tudi merljiva.

To ni nujno res za splosne prostore.

Definicija 4.25. Prostor z mero (X,F , µ) je poln, ce je za vsako mnozico N ∈ F z mero 0

vsaka njena podmnozica E ⊆ N merljiva. Taki meri recemo polna mera.

Oglejmo si, da lahko vsak prostor z mero dopolnimo do polnega prostora z mero.

Trditev 4.26. Naj bo (X,F1, µ) merljiv prostor in naj bo F2 druzina vseh takih podmnozic

E ⊂ X, za katere obstajata mnozici A in B ∈ F1, tako da A ⊂ E ⊂ B in µ(B \ A) = 0.

Definirajmo µ(E) = µ(A). Potem je F2 σ-algebra na X in µ pozitivna mera na F2.

Torej lahko vsak merljiv prostor (X,F , µ) dopolnimo do polnega prostora s povecanjem σ-

algebre F in razsiritvijo te mere na vecjo σ-algebro, tako da bodo vse podmnozice mnozic z

mero 0 merljive.

33

Dokaz. Najprej se prepricajmo, da je F2 σ-algebra, ki vsebuje F1.

Ce je E ∈ F1, potem je E ∈ F1, saj je E ⊂ E ⊂ E. Zato sta tudi ∅ in X v F2.

Ce je A ⊂ E ⊂ B, potem je Bc ⊂ Ec ⊂ Ac. Ker velja Ac\Bc = Ac ∩ B = B\A, iz

E ∈ F2 sledi Ec ∈ F2.

Naj bodo sedaj Ei, i = 1, 2, . . . iz F2. Potem velja Ai ⊂ Ei ⊂ Bi, kjer imajo vse Bi\Aimero 0. Naj bo E =

⋃Ei, A =

⋃Ai in B =

⋃Bi. Potem je A ⊂ E ⊂ B in

B \ A =∞⋃i=1

(Bi \ A) ⊂∞⋃i=1

(Bi \ Ai).

Stevne unije mnozic z mero nic imajo mero nic, iz cesar sledi, da je E ∈ F2.

Preveriti moramo tudi, da je µ dobro definirana za vsak E ∈ F2. Predpostavimo, da A ⊂ E ⊂B, A1 ⊂ E ⊂ B1, in µ(B \ A) = µ(B1 \ A1) = 0. Ker A \ A1 ⊂ E \ A1 ⊂ B1 \ A1, sledi, da je

µ(A \A1) = 0, zato µ(A) = µ(A∩A1). Iz istega razloga tudi µ(A1) = µ(A1 ∩A). S tem smo se

prepricali, da je µ(A1) = µ(A).

Dokazati moramo se, da je funkcija µ stevno aditivna. Ce so mnozice Ei disjunktne, enako

velja za mnozice Ai. Zato lahko (glej tretjo tocko dokaza, da je F2 σ-algebra) zapisemo

µ(E) = µ(A) =∞∑1

µ(Ai) =∞∑1

µ(Ei),

s cimer smo dokazali, da je µ stevno aditivna na F2.

Primeri. Oglejmo si dva primera. Pri prvem gre za poln merljiv prostor, pri drugem pa prostor

ni poln.

(1) Lebesguova mera µ na R je polna translacijsko invariantna mera na σ-algebri, ki vsebuje

intervale v R, da velja m([0, 1]) = 1. Vsaka druga mera s temi znacilnostmi je razsiritev

Lebesguove mere.

(2) Poglejmo, da Lebesguova mera na Borelovi σ-algebri na R ne more biti polna. Ker

so Borelove mnozice stevni preseki in stevne unije intervalov v R, je moc Borelove

σ-algebra enaka moci realnih stevil. Obicajna Cantorjeva mnozica na intervalu [0, 1]

je merljiva (ker je zaprta) in ima mero 0. Ker je moc Cantorjeve mnozice enaka moci

realnih stevil, je moc P(C) strogo vecja od moci realnih stevil. Zato vse podmnozice

Cantorjeve mnozice ne morejo biti Borelove mnozice.

Definicija 4.27. Merljiva funkcija f : X → C je skoraj povsod enaka 0 glede na mero µ, ce

µ(x ∈ X : f(x) 6= 0) = 0.

Ce sta f in g merljivi funkciji in ce je njuna razlika g− f skoraj povsod enaka 0 glede na µ oz.

µ(x : f(x) 6= g(x)) = 0 (19)

34

potem sta funkciji f in g µ-skoraj povsod enaki.

Splosneje bomo rekli, da neka lastnost velja skoraj povsod na X, ce velja na komplementu

mnozice z mero 0.

Ce je mera µ razvidna iz konteksta, bomo namesto izraza µ-skoraj povsod uporabljali izraz

skoraj povsod.

Biti skoraj povsod enak, je ekvivalencna relacija na prostoru merljivih funkcij. Oznacimo jo z

∼. Velja

refleksivnost: Ker je f = f povsod, velja f ∼ f,

simetricnost: Jasno je, da je x : f(x) 6= g(x) = x : g(x) 6= f(x).

tranzitivnost: Naj bo f ∼ g in g ∼ h. Ker sta f in h merljivi po predpostavki, je

x : f(x) 6= h(x)

merljiva mnozica in velja

x : f(x) 6= h(x) ⊆ x : f(x) 6= g(x) ∪ x : g(x) 6= h(x).

Refleksivnost in simetricnost sta jasni sami po sebi. Tranzitivnost pa je posledica dejstva, da

ima unija dveh mnozic z mero 0, mero 0.

Naj bo f ∼ g. Ker je integral funkcije na mnozici z mero 0 enak 0, je f integrabilna natanko

tedaj, ko je g tudi integrabilna, in integrala sta enaka. Torej ce f ∼ g, potem za vsak E ∈ Fvelja ∫

E

fdµ =

∫E

gdµ. (20)

35

POGLAVJE 5

Rieszov reprezentacijski izrek

V diplomskem delu smo ze na zacetku definirali Lebesguovo mero in nasteli njene lastnosti.

Tokrat pa jo bomo vpeljali s pomocjo Riemannovega integrala in Rieszovega reprezentacijskega

izreka. Pokazali bomo namrec, da lahko na primernih topoloskih prostorih vsak pozitivni line-

arni funkcional na prostoru zveznih funkcij s kompaktnim nosilcem predstavimo kot integracijo

glede na neko mero.

1. Integral kot linearni funkcional

V kompleksnem vektorskem prostoru lahko elemente (vektorje) sestevamo in mnozimo s kom-

pleksnim skalarjem, tako da velja:

(1) ~a+~b = ~b+ ~a (komutativnostni zakon)

(2) ~a+ (~b+ ~z) = (~a+~b) + ~z (asociativnostni zakon)

(3) ~a+ 0 = ~a ∀~a ∈ V (nicelni vektor)

(4) ~a+ (−~a) = 0 ∀~a ∈ V (enotski vektor)

(5) α(β~a) = (αβ)~a ∀~a ∈ V in ∀α ∈ C

(6) α(~a+~b) = α~a+ α~b in (α + β)~a = α~a+ β~a (distributivna zakona)

Definicija 5.1. Linearna preslikava vektorskega prostora V1 v vektorski prostor V2 je preslikava

Λ : V1 → V2, tako da

Λ(α~a+ β~b) = αΛ~a+ βΛ~b (21)

za vsak ~a in ~b ∈ V1 in za vse skalarje α, β ∈ C.

V posebnih primerih, kjer je polje skalarjev V2∼= C (ali R), Λ imenujemo linearni funkcional.

Linearni funkcional je zato kompleksna funkcija na V1, ki zadovolji (21).

Naj bo sedaj X topoloski prostor in f : X → C funkcija. Nosilec funkcije f , supp f , je zaprtje

mnozice

x ∈ X : f(x) 6= 0.

Mnozico zveznih funkcij f : X → C s kompaktnim nosilcem bomo oznacili s Cc(X).

Cc(X) je vektorski prostor, ker velja:

36

(1) supp (f + g) ⊂ supp f ∪ supp g in je supp f ∪ supp g kompaktna mnozica (unija koncno

mnogo kompaktnih mnozic je kompaktna mnozica) ter supp (f+g) zaprta podmnozica

te kompaktne mnozice.

(2) Vsota dveh zveznih kompleksnih funkcij je zvezna, kar velja tudi za skalarni produkt

zvezne funkcije.

Definicija 5.2. Linearni funkcional Λ na vektorskem prostoru Cc(X) je pozitiven, ce Λf ≥ 0,

kadarkoli je f ≥ 0.

Trditev 5.3. Pozitiven linearni funkcional Λ na prostoru Cc(X) je monoton: ce f ≤ g, potem

Λf ≤ Λg.

Dokaz. Ker velja g ≥ f, velja tudi g − f ≥ 0. Ker je Λ pozitiven, je

Λ(g − f) ≥ 0⇒ Λg = Λf − Λf + Λg = Λf + Λ(g − f) ≥ Λf.

Naj bo µ poljubna Borelova mera na X, za katero je µ(K) < ∞, ce je K kompaktna mnozica

v X. Potem so zvezne funkcije na X merljive, in ce je f ∈ Cc(X), je f integrabilna. Zato lahko

definiramo

Λ(f) =

∫fdµ

za vsak f ∈ Cc(X). Λ je zaradi monotonosti integrala pozitiven linearni funkcional.

2. Rieszov reprezentacijski izrek

Izrek 5.4. Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor in naj bo Λ pozitiven linearni

funkcional na Cc(X). Obstaja ena sama regularna Borelova mera µ na X, za katero velja

Λf =

∫fdµ (22)

za vse funkcije f v Cc(X).

Dokaz. Dokaz izreka bomo povzeli po [10]. Dokazimo najprej enolicnost mere. Ce seved

ta obstaja. Zaradi spodnje regularnosti mere je jasno, da je µ dolocena na B z njeno vrednostjo

na kompaktnih mnozicah. Zato je dovolj, da dokazemo µ1(K) = µ2(K) za vse K kompaktne v

X. Fiksirajmo K in ε > 0. Zaradi zgornje regularnosti mer obstaja V odprta v X, K ⊂ V in

µ2(V ) < µ2(K) + ε. Po Urysohnovi lemi obstaja f : X → [0, 1], da je supp f ⊂ V , f ≡ 0 na K.

Zato velja

µ1(K) =

∫χKdµ1 ≤

∫fdµ1 = Λf =

∫fdµ2 ≤

∫χV dµ2 = µ2(V ) < µ2(K) + ε.

Zato µ1(K) ≤ µ2(K). Ce zamenjamo µ1 in µ2 dobimo obratno neenakost in s tem je enolicnost

mere µ dokazana.

37

Mero µ bomo skonstruirali na smiselno definirani σ-algebri F tako, da bo avtomaticno zunanje

regularna. Nato bomo pokazali, da F vsebuje vse Borelove mnozice in da je notranje regularna

za odprte mnozice in za Borelove mnozice s koncno mero.

Za vsako odprto mnozico V v X definiramo

µ(V ) = supΛf ; f : X → [0, 1], supp f ⊂ U. (23)

Ce je V1 ⊂ V2, iz enacbe 23 sledi µ(V1) ≤ µ(V2). Naj bo E ⊂ X poljubna. Definirajmo

µ(E) = infµ(V ); E ⊂ V . (24)

Definicija se na odprtih mnozicah ujema s (23), saj iz V1 ⊂ V2. Iz enacbe 23 sledi µ(V1) ≤ µ(V2).

Monotonost se deduje tudi na splosne mnozice.

Da bo µ zadoscala pogojem mere, moramo domeno definicije µ precej zmanjsati. Naj bo F1

razred takih E ⊂ X, da velja

µ(E) <∞.

µ(E) = supµ(K); K ⊂ E, K kompaktna.

Naj bo koncno F razred vseh E ⊂ X, tako da E ∩K ∈ F1 za vsako kompaktno mnozico K.

Pokazali bomo, da je (X,F , µ) prostor z mero, da F vsebuje Borelove mnozice in da je µ na

Borelovi σ-algebri zunanje regularna.

(1) Pokazimo najprej stevno subaditivnost: Ce so E1, E2, E3, ... poljubne podmnozice v X,

potem velja

µ

( ∞⋃i=1

Ei

)≤

∞∑i=1

µ(Ei). (25)

Najprej dokazimo, da velja subaditivnost za dve odprti mnozici, torej

µ(V1 ∪ V2) ≤ µ(V1) + µ(V2). (26)

Izberimo g : X → [0, 1] z supp g ⊂ V1 ∪ V2. Po izreku 2.29 obstajajata taki funkciji

h1, h2 : X → [0, 1] da velja supphi ⊂ Vi in h1(x) + h2(x) = 1 za vsak x v nosilcu

funkcije g. Zato velja supp (hig) ⊂ Vi, g = h1g + h2g in zato

Λg = Λ(h1g) + Λ(h2g) ≤ µ(V1) + µ(V2). (27)

Ker velja zgornja neenakost za vsako taksno funkcijo g sledi 26. Po indukciji imamo

koncno subaditivnost za odprte mnozice. Poglejmo se splosen primer, ko imamo

opravka z neskoncno poljubnimi mnozicami. Ce velja µ(Ei) =∞ za vsak i, potem ja-

sno velja (25). Predpostavimo, da µ(Ei) <∞ za vsak i. Izberimo ε > 0. Iz enacbe (24)

dobimo, da obstajajo mnozice Ei ⊂ Vi, tako da µ(Vi) < µ(Ei) + 2−iε, za i = 1, 2, 3, ...

Naj bo V =⋃∞i=1 Vi in izberimo zvezno f : X → [0, 1], supp f ⊂ V. Ker ima f kom-

pakten nosilec in je Vi pokritje za supp f , velja supp f ⊂ V1 ∪ .. ∪ Vn ze za nek n.

38

Sedaj imamo

Λf ≤ µ(V1 ∪ .. ∪ Vn) ≤ µ(V1) + · · ·+ µ(Vn) ≤∞∑i=1

µ(Ei) + ε.

Ker zgornja neenakost drzi za vse take f in ker je⋃∞i=1 Ei ⊂ V, sledi da

µ

( ∞⋃i=1

Ei

)≤ µ(V ) ≤

∞∑i=1

µ(Ei) + ε,

kar dokazuje (25), saj je ε poljuben.

(2) Poglejmo, da je vsaka kompaktna mnozica K v F1, in velja

µ(K) = infΛf ; f : X → [0, 1], f |K ≡ 1. (28)

Med drugim to pokaze, da je mera kompaktnih mnozic koncna, da je mera zunanje

regularna za kompaktne mnozice in da so kompaktne mnozice vsebovane v F .

Naj bo f : X → [0, 1], f |K ≡ 1, 0 < α < 1 in Vα = x : f(x) > α. Potem K ⊂ Vα in

αg ≤ f, kadarkoli je g : X → [0, 1] in supp g ⊂ Vα. Zato je µ(K) ≤ µ(Vα) = supΛg; g :

X → [0, 1]; supp g ⊂ Vα ≤ α−1Λf. Ko gre α→ 1, zakljucimo

µ(K) ≤ Λf. (29)

Zato je µ(K) < ∞. Ker za K seveda velja notranja regularnost, velja K ∈ F1. Za

poljuben epsilon > 0 obstaja K ⊂ V , da velja µ(V ) < µ(K)+ε. Naj bo f : X → [0, 1],

f |K ≡ 1 in supp f ⊂ V . Potem je

µ(K) ≤ Λf ≤ µ(V ) ≤ µ(K) + ε.

Zato dobimo 28.

(3) Pokazimo, da je µ za vsako odprto mnozico notranje regularna, torej so odprte mnozice

V z µ(V ) <∞ v F1.

Naj bo α realno stevilo, tako da je α < µ(V ). Zato obstaja f : X → [0, 1], supp f ⊂ V ,

da je α < Λf . Potem velja

α ≤ µ(supp f) ≤ µ(V ).

Ker je α < µ(V ) poljuben, dobimo notranjo regularnost.

(4) Poglejmo, da je µ stevno aditivna na F1: Naj bodo E =⋃∞i=1Ei, kjer so E1, E2, E3, ...

paroma disjunktni elementi od F1. Potem velja

µ(E) =∞∑i=1

µ(Ei). (30)

Ce je µ(E) <∞, potem je E ∈ F1.

Najprej bomo pokazali, da velja

µ(K1 ∪K2) = µ(K1) + µ(K2), (31)

39

ce sta K1 in K2 disjunktni kompaktni mnozici. Izberimo ε > 0. Po Urysohnovi lemi

obstaja f ∈ Cc(X), tako da f(x) = 1 na K1, f(x) = 0 na K2 in 0 ≤ f ≤ 1. Po drugi

tocki iz dokaza obstaja funkcija g : X → [0, 1] tako da je g ≡ 0 na K1 ∪K2 in

Λg < µ(K1 ∪K2) + ε.

Opazimo, da je fg ≡ 1 na K1 in (1− f)g ≡ 1 na K2. Ker je Λ linearna, sledi iz enacbe

(29), da velja

µ(K1) + µ(K2) ≤ Λ(fg) + Λ(g − fg) = Λg < µ(K1 ∪K2) + ε.

Ker je bil ε poljuben, enacba (31) sledi iz druge tocke v dokazu. Oglejmo si sedaj

splosen primer. Ce je µ(E) = ∞, potem enacba (30) sledi iz druge tocke dokaza.

Zato predpostavimo, da velja µ(E) < ∞, in izberimo ε > 0. Ker so Ei ∈ F1, imamo

kompaktne mnozice Hi ⊂ Ei z

µ(Hi) > µ(Ei)− 2−iε (i = 1, 2, 3, ...). (32)

Naj bo Kn = H1 ∪ ... ∪Hn. Z uporabo indukcije in (31), dobimo

µ(E) ≥ µ(Kn) =n∑i=1

µ(Hi) >n∑i=1

µ(Ei)− ε. (33)

Ker enacba (33) velja za vse n in vsak ε > 0, leva stran enacbe (30) ni manjsa od

desne strani. Skupaj z ze dokazano subaditivnostjo smo pokazali (30). Naj bo sedaj

µ(E) <∞ in ε > 0. Ce vzamemo dovolj velik N , iz 30 dobimo

µ(E) ≤N∑i=1

µ(Ei) + ε. (34)

Iz enacbe 33 sledi da je µ(E) ≤ µ(KN) + 2ε, zato je µ notranje regularna na E in

E ∈ FF .

(5) Naj bo E ∈ F1 in ε > 0. Pokazimo, da obstajata taka kompaktna mnozica K in odprta

mnozica V, da je K ⊂ E ⊂ V in µ(V \K) < ε.

Iz definicije µ inF1 obstajata K ⊂ E in E ⊂ V , tako da velja

µ(V )− ε

2< µ(E) < µ(K) +

ε

2.

Ker je V \K odprta, je V \K ∈ F1 po tocki tri iz dokaza. Zato iz tocke stiri sledi

µ(K) + µ(V \K) = µ(V ) < µ(K) + ε.

(6) Naj bosta A in B iz F1. Pokazimo, da so A\B, A ∪B in A ∩B tudi iz F1.

Naj bo ε > 0. Iz prejsnje tocke dobimo mnozici Ki in Vi tako da velja K1 ⊂ A ⊂V1, K2 ⊂ B ⊂ V2 in µ(Vi\Ki) < ε, za i = 1, 2. Ker velja

A \B ⊂ V1 \K2 ⊂ (V1 \K1) ∪ (K1 \ V2) ∪ (V2 \K2),

40

iz subaditivnosti dobimo

µ(A\B) ≤ ε+ µ(K1\V2) + ε. (35)

Ker je K1 \ V2 zaprta in zato kompaktna podmnozica A \ B, iz enacbe 35 sledi, da je

µ na A \ B notranje regularna. Zato A \ B ∈ F1. Ker je A ∪ B = (A\B) ∪ B, nam

cetrta tocka da A ∪B ∈ FF . Ker velja A ∩B = A\(A\B), je tudi presek element F1.

(7) Pokazimo sedaj, da je F res σ-algebra, in da vsebuje vse Borelove mnozice.

Naj bo K poljubna kompaktna mnozica v X. Ce je A ∈ F , potem je Ac ∩ K =

K \ (A ∩ K). Ker je Ac ∩ K razlika dveh elementov iz F1, je Ac ∩ K ∈ F1. Torej je

Ac ∈ F . Naj bo A =⋃∞i=1Ai, kjer je vsaka mnozica Ai ∈ F . Oznacimo z B1 = A1 ∩K

in

Bn = (An ∩K)\(B1 ∪ ... ∪Bn−1) (n = 2, 3, 4, ...). (36)

Z indukcijo vidimo, da je Bn zaporedje disjunktnih elementov iz F1. Iz tocke stiri v

dokazu sledi, da je A ∩K ∈ F1 in zato je A ∈ F . Torej je F σ-algebra. Ce je mnozica

C poljubna zaprta mnozica v X, je C ∩K kompaktna, zato je C ∩K ∈ F1 in C ∈ F .

Ker F vsebuje vse zaprte mnozice, vsebuje vse Borelove mnozice v X.

(8) Poglejmo, da F1 vsebuje natancno tiste mnozice E ∈ F , za katere je µ(E) <∞.

Ena smer je preprosta. Ce je E ∈ F1, potem iz tock dva in pet sledi, da je E ∩K ∈ F1

za vsako kompaktno mnozico K in zato je E ∈ F . Predpostavimo sedaj, da E ∈ F in

µ(E) <∞, in izberimo ε > 0. Potem obstaja mnozica E ⊂ V z µ(V ) <∞. Po tockah

stiri in sest obstaja K ⊂ V , da je µ(V \K) < ε. Ker je E∩K ∈ F1, obstaja kompaktna

mnozica H ⊂ E ∩K z µ(E ∩K) < µ(H) + ε. Ker je E ⊂ (E ∩K)∪ (V \K), sledi, da

velja µ(E) ≤ µ(E ∩K) + µ(V \K) < µ(H) + 2ε. µ je na E torej notranje regularna in

zato je E ∈ F1.

(9) Da je µ mera na F , vidimo takoj iz prejsnje tocke in dokazane aditivnosti v tocki stiri.

(10) Na koncu pokazimo se, da za vsako funkcijo f ∈ Cc(X), velja Λf =∫fdµ.

Dovolj je, da to dokazemo za realne funkcije f. Dovolj je tudi, da dokazemo neenakost

Λf ≤∫fdµ. (37)

za vsako realno funkcijo f ∈ Cc(X). Linearnost Λ namrec pokaze, da je

−Λf = Λ(−f) ≤∫

(−f)dµ = −∫fdµ,

kar skupaj z enacbo (37) pokaze, da dejansko drzi enakost v (37). Naj bo K = supp f

nosilec realne funkcije f ∈ Cc(X) in naj bo [a, b] interval, ki vsebuje sliko funkcije f.

Izberimo ε > 0 in yi za i = 0, 1, ..., n, tako da yi − yi−1 < ε in

y0 < a < y1 < ... < yn = b. (38)

41

Naj bo

Ei = x : yi−1 < f(x) ≤ yi ∩K (i = 1, ..., n). (39)

Ker je f zvezna, je f Borelovo merljiva in mnozice Ei so zato disjunktne Borelove

mnozice, katerih unija je ravno K. Obstajajo odprte mnozice Vi, da velja Ei ⊂ Vi in

µ(Vi) < µ(Ei) +ε

n(i = 1, ..., n), (40)

tako da velja f(x) < yi + ε za vse x ∈ Vi. Naj bodo hi : X → [0, 1] take, da velja

supphi ⊂ Vi in∑hi = 1 na K. Zato je f =

∑hif in druga tocka v dokazu pokaze,

da velja

µ(K) ≤ Λ(n∑i=1

hi) =n∑i=1

Λhi.

Ker velja hif ≤ (yi + ε)hi in ker yi − ε < f(x) na Ei, imamo

Λf =n∑i=1

Λ(hif) ≤n∑i=1

(yi + ε)Λhi

=n∑i=1

(|a|+ yi + ε)Λhi − |a|n∑i=1

Λhi

≤n∑i=1

(|a|+ yi + ε)[µ(Ei) + ε/n]− |a|µ(K)

=n∑i=1

(yi − ε)µ(Ei) + 2εµ(K) +ε

n

n∑i=1

(|a|+ yi + ε)

≤∫fdµ+ ε[2µ(K) + |a|+ b+ ε].

Ker je bil ε poljuben, je dokaz koncan.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov uporabe Riszovega izreka. Za nas je najpomembnejsi prvi

primer, ki pokaze alternativno vpeljavo Lebesguove mere.

(1) Naj bo Cc(Rn) prostor zveznih funkcij s kompaktnim nosilcem na Rn. Definirajmo

linearni funkcional Λ : Cc(Rn)→ C kot

Λf =

∫Rn

f(x)dx,

kjer za integral vzamemo Riemannov integral. Rieszov reprezentacijski izrek nam da

regularno Borelovo mero µ na Borelovi σ-algebri na Rn, da je∫Rn

f(x)dx =

∫Rn

f(x)dµ

za vsako funkcijo f ∈ Cc(Rn). Mera µ se ne more biti Lebesguova mera, saj ni polna.

Ce mero (in s tem seveda Borelovo σ-algebro) napolnimo, dobimo ravno Lebesguovo

mero na Rn. Tako je avtomaticno jasno, da nam Riemannov in Lebesguov integral na

Rn za funkcije iz Cc(Rn) data isto vrednost.

42

(2) Naj bo X poljuben lokalno kompakten Hausdorffov prostor in x0 ∈ X neka tocka.

Vzemimo linearni funkcional Λ : Cc(X)→ C, definiran kot

Λf = f(x0).

Zopet nam Rieszov reprezentacijski izrek da regularno Borelovo mero µ, da bo veljalo

f(x0) =

∫f dµ

za vsako funkcijo f ∈ Cc(X). Mera µ je na Borelovih mnozicah enaka Diracovi meri

v tocki x0. Ker je X\x0 odprta mnozica z mero 0, je napolnitev Borelove σ-algebre

kar P(X) in napolnitev mere µ res Dircova mera δx0 : P(X)→ 0, 1.

43

POGLAVJE 6

Produktni prostori

1. Produktna σ-algebra

Zacnimo z vpeljavo produktne σ-algebre. Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora. Pod-

mnozico A × B od mnozice X × Y, kjer sta A ∈ A in B ∈ B merljivi podmnozici X in Y

zaporedoma, imenujemo merljiv pravokotnik.

Definicija 6.1. Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora. Produktna σ-algebra, ki jo

oznacimo s A⊗ B, je σ-algebra na X × Y generirana z druzino vseh merljivih pravokotnikov:

A⊗ B = σ(A×B : A ∈ A, B ∈ B).

Kartezicni produkt prostorov (X,A) in (Y,B) je merljiv prostor (X × Y,A⊗ B).

Definicija 6.2. Naj bo E ⊂ X × Y. Za vsaka x ∈ X in y ∈ Y definiramo x-prerez Ex ⊂ Y in

y-prerez Ey ⊂ X od E s predpisom

Ex = y = Y : (x, y) ∈ E

in

Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E.

Vsi prerezi merljivih mnozic so merljivi:

Izrek 6.3. Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora in E ∈ A ⊗ B. Potem je Ex ∈ B za

vsak x ∈ X in Ey ∈ A za vsak y ∈ Y.

Dokaz. Naj boM = E ⊂ X×Y ; ∀x ∈ X. ∀y ∈ Y.Ex ∈ B ∧Ey ∈ A. PotemM vsebuje

vse merljive pravokotnike, ker so x-prerezi od A × B bodisi ∅ bodisi B ter y-prerezi bodisi ∅bodisi A. Mnozica M je tudi σ-algebra, saj ce E ⊂ X × Y in x ∈ X, potem (Ec)x = (Ex)

c in( ∞⋃i=1

Ei

)x

=∞⋃i=1

(Ei)x.

Iz tega sledi, da je M⊃ A⊗B. S tem smo dokazali izrek.

2. Predmera

Definicija 6.4. Naj bo druzina A podmnozic mnozice X algebra na X. Predmera λ na A je

funkcija λ : F → [0,∞], za katero velja:

(1) λ(∅) = 0,

44

(2) ce je Ai ∈ A : i ∈ N stevna druzina disjunktnih mnozic na A, tako da je∞⋃i=1

Ai ∈ F ,

potem velja

λ

( ∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

λ(Ai).

Predmera je koncno aditivna, saj lahko za i ≥ N vzamemo Ai = ∅. Zanjo velja tudi monotonost,

saj ce je A ⊂ B, potem velja λ(A) ≤ λ(A) + λ(B \ A) = B.

S pomocjo predmere bomo definirali zunanjo mero.

Definicija 6.5. Naj bo A algebra na X in λ predmera. Zunanjo mero λ∗ : P(X) → [0,∞],

prirejeno λ, definiramo za vsako mnozico E ⊂ X s predpisom

λ∗(E) = inf

∞∑i=1

λ(Ai) : E ⊂∞⋃i=1

Ai

,

kjer so Ai ∈ A.

Za zunanjo mero λ∗ velja λ∗(∅) = 0, monotonost, torej ce je A ⊂ B, je λ∗(A) ≤ λ∗(B), ter,

najpomembneje, stevna subaditivnost, to je λ(∪∞n=1An) ≤∑∞

n=1 λ∗(An). Ni pa λ∗ nujno stevno

aditivna. Stevno aditivna lahko postane, ce ustrezno skrcimo druzino mnozic na tiste, za katere

velja naslednji pogoj.

Definicija 6.6. Mnozico E imenujemo Caratheodory merljiva, ce za vsako mnozico A velja

λ∗(A) = λ∗(A ∩ E) + λ∗(A ∩ Ec).

Izrek 6.7. Naj bo druzina A algebra na X in λ predmera na A. Naj bo F druzina vseh

Caratheodory merljivih mnozic v X za zunanjo mero λ∗, prirejeno λ. Potem je F σ-algebra,

A ⊂ F in λ∗|F mera na (X,F).

Dokaz izreka bomo izpustili, ker je skoraj identicen dokazu analognega izreka pri vpeljavi Le-

besguove mere preko zunanje mere ([13]).

3. Produktna mera

Produktno mero bomo vpeljali s pomocjo predmere. Podobno kot v prejsnem poglavju bomo

najprej definirali zunanjo mero na produktih merljivih prostorov, kjer bodo predmere definirane

na merljivih pravokotnikih.

Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora. Presek merljivih pravokotnikov je merljiv prav-

kotnik

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)

45

in komplement merljivih pravokotnikov je koncna unija merljivih pravokotnikov

(A×B)c = (A×B) ∪ (A×Bc) ∪ (Ac ×Bc).

Zato druzina koncnih unij merljivih pravokotnikov na X × Y generira algebro E .

Najprej bomo definirali predmero na merljivh pravokotnikih, nato sledi predmera, definirana

na E . Za merljiv pravokotnik A×B ⊂ X × Y je predmera λ(A×B) podana s predpisom

λ(A×B) = µ(A)ν(B).

Na koncni uniji disjunktnih merljivih pravokotnikov A1×B1, . . . , An×Bn je predmera podana

z λ(A1 ×B1 ∪ . . . ∪ An ×Bn = λ(A1 ×B1) + · · ·+ λ(An ×Bn).

Definirana funkcija λ je seveda koncno aditivna na pravokotnikih. Da je zares predmera, sledi

iz naslednjega izreka.

Izrek 6.8. Ce je merljiv pravokotnik A × B stevna unija disjunktnih merljivh pravokotnikov

Ai ×Bi : i ∈ N, potem je

λ(A×B) =∞∑i=1

λ(Ai ×Bi).

Dokaz. Ce je A × B =⋃∞i=1(Ai × Bi) disjunktna unija, karakteristicno funkcijo χA×B :

X × Y → [0,∞] potem lahko zapisemo kot

χA×B(x, y) =∞∑i=1

χAi×Bi(x, y) =

∞∑i=1

χAi(x)χBi

(y).

Ce pri fiksnem x izraz integriramo po Y in uporabimo izrek o monotoni konvergenci, dobimo

χA(x)ν(B) =∞∑i=1

χAi(x)ν(Bi).

Ce nato izraz se enkrat integriramo po X in zopet uporabimo izrek o monotoni konvergenci,

dobimo zeleno enakost

µ(A)ν(B) =∞∑i=1

µ(Ai)ν(Bi).

Izrek 6.7 nam sedaj omogoca, da definiramo mero na σ-algebri A×E , generirani z E . To mero

oznacimo z µ⊗ ν in ji recemo produktna mera.

Opomba 6.9. V literaturi je produktna mera vsaka mera na A × B, ki se na pravokotnikih

obnasa kot zgoraj definirana predmera λ. Mi smo eno taksno mero skonstruirali, vendar v

splosnem ne velja, da je produktna mera ena sama. Izkaze se, da je produktna mera enolicna,

ce sta X in Y σ-koncna prostora, kar pomeni, da ju lahko izcrpamo s stevno mnogo mnozicami

s koncno mero.

46

4. Fubinijev izrek

Naj bosta sedaj (X,A, µ) in (Y,B, ν) merljiva prostora in f : X × Y → C merljiva funkcija

na (X × Y,A × B, µ ⊗ ν) . Za vsak x ∈ X oznacimo z fx : Y → C funkcijo, definirano s

fx(y) = f(x, y), ter za vsak y ∈ Y funkcijo fx : Y → C, definirano s f y(y) = f(x, y). Oglejmo

si, da so vse funkcije fx in f y merljive. Naj bo x ∈ X poljuben. Potem je f−1x (U) = (f−1(U))x

merljiva po izreku 6.3. Analogno lahko vidimo, da so f y merljive.

Izrek 6.10. Predpostavimo, da sta (X,A, µ) in (Y,B, ν) σ-koncna merljiva prostora in f mer-

ljiva funkcija na X × Y .

(1) Ce je 0 ≤ f ≤ ∞, velja∫fdµ⊗ dν =

∫ (∫f ydµ

)dν =

∫ (∫fxdν

)dµ.

(2) Ce je f kompleksna funkcija in ce je kateri izmed integralov∫ (∫|f y|dµ

)dν,

∫ (∫|fx|dν

)dµ

koncen, je f ∈ L1(X × Y ).

(3) Ce je f ∈ L1(X × Y ), so fx ∈ L1(Y ) za vsak x ∈ X\E, µ(E) = 0 in f y ∈ L1(X) za

vsak y ∈ Y \F , ν(F ) = 0, in velja∫fdµ⊗ dν =

∫Y \F

(∫f ydµ

)dν =

∫X\E

(∫fxdν

)dµ.

Dokaz Fubinijevega izreka bomo izpustili, povejmo samo idejo dokaza prve tocke. Najprej

pokazemo, da prva tocka velja za karakteristicne funkcije merljivih pravokotnikov in sklepamo,

da velja zato za karakteristicne funkcije vseh merljivih mnozic. Posledicno velja prva tocka

za vse enostavne funkcije in po izreku o monotoni konvergenci nato za vse pozitivne merljive

funkcije, saj so monotona limita enostavnih funkcij.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov uporabe Fubinijevega izreka

(1) Vzemimo X = Y = R in na obeh prostorih vzemimo obicajni Lebesguovi meri mx

in my. Ker lahko R izcrpamo s stevno mnogo intervali oblike (−n, n), sta seveda oba

prostora σ-koncna. Na produktnem prostoru R×R vzemimo produktno mero mx×my

in za f in L1(R× R) dobimo Fubinijev izrek∫fdmx ⊗my =

∫R

(∫Rf(x, y)dmy

)dmx =

∫R

(∫f(x, y)dmx

)dmy.

Produktna mera mx ⊗ my ni povsem enaka Lebesguovi meri m na R2. Naj bo na

primer S ⊂ R nemerljiva mnozica na X = R in E ⊂ Y = R taka, da je my(E) = 0.

Potem je sicer S×E Lebesguovo merljiva podmnozica R2, saj je podmnozica mnozice

R × E, ki ima mero 0, medtem ko m1 ⊗ m2 ni merljiva. Produktne mere nasploh

nimajo nujno lastnosti, da so podmnozice mnozic z mero 0 merljive. Velja pa, da je

47

napolnitev produkta Lebegueovih mer na Rk in Rl ravno Lebesguova mera na produktu

Rk+1. Napolnitev prostora (X,F , µ) dobimo tako, da mero smiselno razsirimo na

najmanjso σ-algebro, ki poleg F vsebuje tudi vse podmnozice mnozic iz F z mero 0.

Pri Fubinijevem izreku za Lebesguovo mero na R2 moramo zato upostevati, da so fx

in f y na sploh merljive le skoraj povsod, kar pa ob pravem razumevanju ne vpliva na

integracijo.

(2) Vzemimo sedaj X = Y = N z obicajno mero stetja tock µ. Fubinijev izrek je v

tem primeru izrek o vsoti produkta vrst. Naj bo amn ∈ C|m,n ∈ N zaporedje

kompleksnih stevil, tako da∞∑m=1

( ∞∑n=1

|amn|)<∞.

Potem velja∞∑

n,m=1

anm =∞∑m=1

( ∞∑n=1

amn

)=∞∑n=1

( ∞∑m=1

amn

).

(3) Oglejmo si se primer, ko je X = N z obicajno mero stetja tock in Y = R z Lebesguovo

mero. Ce namesto f(n, x) pisemo fn(x), nam Fubinijev izrek da menjavo vrstnega reda

vsote in integrala

∞∑n=1

(∫fn(x) dm

)=

∫ ( ∞∑n=1

fn

)dm,

ce seveda velja∫

(∑∞

n=1 |fn|) dm <∞.

48

Literatura

[1] Globevnik, J., Brojan, M. Analiza 1. Matematicni rokopisi (stevilka 25), DMFA-zaloznistvo, Ljubljana,

2016.

[2] Globevnik, J., Brojan, M. Analiza 2. Dostopno prek: http://www.fmf.uni-lj.si/~globevnik/

skriptaII.pdf (15.7.2017).

[3] Dobovisek, M., Riemannov in Lebesguov integral v Rn. Izbrana poglavja iz matematike in racunalnistva

(stevilka 35). DMFA Slovenije, Ljubljana, 1997. 127 str.

[4] Drnovsek, R., Resene naloge iz teorije mere. Izbrana poglavja iz matematike in racunalnistva (stevilka 40).

DMFA - zaloznistvo. Ljubljana, 2001. 64 str.

[5] LaValle, S., Planning algorthms. Cambridge University Press, 2006. Dostopno na:

http://planning.cs.uiuc.edu/node190.html (15.7.2017).

[6] Magajna, B., Osnove teorije mere. Podiplomski seminar iz matematike (stevilka 27). DMFA - zaloznistvo,

Ljubljana, 2011. 140 str.

[7] Mrcun, J., Topologija. Izbrana poglavja iz matematike in racunalnistva (stevilka 44). DMFA - zaloznistvo,

Ljubljana, 2008. 156 str.

[8] Probst K., Slagle N., Usselman L., ed. , Probability. Dostopno na:

http://theanalysisofdata.com/probability/E1.html (15.7.2017).

[9] Royden, H., Fitzpatrick P., Real Analysis. Forth edition. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 2010. 505 str.

[10] Rudin, W. Real and complex analysis. Third edditon. McGraw-Hill Book Company, New York, 1987.

xiv+416 str.

[11] Slapar, M. Zapiski predavanj iz osnov matematicne analize. Ljubljana: Narodna univerzitetna knjiznica.

Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/OMA.pdf (15.7.2017).

[12] Pavesic, P., Splosna topologija. Izbrana poglavja iz matematike in racunalnistva (stevilka 43). DMFA -

zaloznistvo, Ljubljana 2008. 100 str.

[13] Turk, M. Lebesguova mera in Riemannov integral. Diplomsko delo. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pe-

dagoska Fakulteta, 2014.

[14] Vrabec, J, Metricni prostori. DMFA - zaloznistvo, Ljubljana, 1990. 240 str.

[15] Mera (matematika). Dostopno na: http://www2.arnes.si/ sscesss3/ new page 3.htm (15.7.2017).

49