Petr Šidlof

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu

Kinematika – popis pohybu (nezkoumá příčiny pohybu)

Širší souvislosti:

Mechanika

Courtesy Oroco Kinematics & Dynamics

mechanika tuhých těles

mechanika poddajných těles

mechanika tekutinhydrostatika

dynamika tekutin

statika

kinematika

dynamika

statika

kinematika

dynamika

+ teoretická mechanika, relativistická mech., kvantová mech., ...

Úvod

Kinematika hmotného bodu

Kartézské souřadnice

(posuvný pohyb)Polární souřadnice

(rotační pohyb)

Nejjednodušší případ – pohyb s jedním stupněm volnosti:

čas t [s]

poloha x [m]

rychlost v [m/s]

zrychlení a [m/s2]

čas t [s]

úhel φ [rad]

úhlová rychlost ω [rad/s]

úhlové zrychlení ε [rad/s2]

Veličiny

Kinematika hmotného bodu

Kinematika přímočarého pohybu

dráha .. x(t)

rychlost .. v(t)

zrychlení .. a(t)

skalární funkce času

Definice:

)t(x)t(xdtd

ttxttx

lim)t(v 0t

)t(x)t(v)t(v

dtd

ttvttv

lim)t(a 0t

Pozn.: 21 Cdttvtx,Cdttatv)tv(dtd

ta

spec. 002

0 xtvta21

tx,vtatvkonsta

Pozn.: průměrná rychlost tx

v

Kinematika hmotného bodu

Příklad – kinematika přímočarého pohybu

Jaký čas a dráhu potřebuje na start-stop 0 - 100km/h – 0?

ŠKODA AUTO a.s.

Řešení:

Uvažujeme-li konstantní výkon P = 118kW, hmotnost m = 1955 kg a koeficient smykového tření f = 0.6 (suchý rozehřátý asfalt), dostáváme řešením diferenciálních rovnic teoretické hodnoty tR = 6.39s (118.3 m), tB = 4.71 s (65.5 m).

Rozjezd:

Brždění:

xxmtvtFtP

xmamfgmFT

Kinematika hmotného bodu

Kinematika křivočarého pohybu (2D)

Poloha, rychlost, zrychlení: skalár → vektor

→

Trajektorie: spojitá (rovinná) křivka

Rozklad rovinného pohybu: dva současně probíhající pohyby

a) kartézské souřadnice

b) polární souřadnice

c) tečný-normálový systém

Kinematika hmotného bodu

Křivočarý pohyb v kartézských souřadnicích (1)

Rozklad pohybu - projekce do kartézského souřadného systému

)t(y

)t(x)t(r

y

x

2

2

2

2

y

x

a

a

)t(ydtd

)t(xdtd

)t(vdtd

)t(vdtd

tvdtd

)t(a

y

x

v

v

)t(ydtd

)t(xdtd

trdtd

)t(v

Kinematika hmotného bodu

• rychlost – tečna k trajektorii

Křivočarý pohyb v kartézských souřadnicích (2)

A. poloha

tvtvtvtv 2y

2x

B. rychlost

)t(y

)t(x)t(r

2

1

t

t

dttvts

• velikost rychlosti

• dráha uražená za čas

tv

tvtr

tdd

tvy

x

Kinematika hmotného bodu

at(t) ... tečné zrychlení – mění velikost rychlosti

an(t) .. normálové zrychlení – mění směr rychlosti

Křivočarý pohyb v kartézských souřadnicích (3)

C. zrychlení

ta

tatv

tdd

tay

x

Pozn.: jiný užitečný rozklad – tečné a normálové souřadnice

tvdtd

tat

R(t) .. lokální poloměr křivosti trajektorie

→ an nulové v přímkových úsecích a inflexních bodech

tRtv

ta2

n

Kinematika hmotného bodu

Příklad – kinematika křivočarého pohybu

Zanedbáme-li odpor vzduchu působící na projektil, jaký je optimální úhel náměru α tak, aby střela dolétla co nejdále?

USS Benfold destroyer firing from a 127mm caliber Mark 45 gun

Řešení:

• rozklad pohybu do směrů x-y

• řešení dvou pohybů, výpočet doby dopadu td

• maximalizace x(td)

Kinematika hmotného bodu

Křivočarý pohyb v polárních souřadnicích (1)

POLOHA:

• x(t), y(t) → r(t), j(t)

• jednotkové vektory

- mění se v čase!

te,ter j

tetrtr rP

polohový vektor

radiální souřadnice

jednotkový vektor

j)t(yi)t(xtrP

Polohový vektor v polárních souřadnicích

Kartézské souřadnice:

Kinematika hmotného bodu

Křivočarý pohyb v polárních souřadnicích (2)

RYCHLOST:

j

j

j

vv

r

rrPP

rere

dted

rdt

rdetr

dtd

tv

r

tetrtr rP

vr ... radiální rychlost

vφ .. tangenciální rychlost

j rr ee

jφcosiφsine

jφsiniφcose

φ

r

φφe

φjφcosiφsin

dtφd

φded

dted

φ

rr

jj

re...dt

ed

Kinematika hmotného bodu

Křivočarý pohyb v polárních souřadnicích (3)

ZRYCHLENÍ:

j

jj

j

jjj

jjjjj

er2rerr

ererrerer

tvdtd

ta

a

r

a

2

rr

PP

r

j j

reretv rP

ar ... radiální zrychlení

aφ .. tangenciální zrychlení

j rr ee

jcosisine

jsinicoser

jj

jj

j

φφe

φjφcosiφsin

dtφd

φded

dted

φ

rr

jj

re...dt

ed

Speciální případ – kruhový pohyb (r = konst.)

2r

r

ra

0v

rεa

rωv

φ

φ

Kinematika hmotného bodu

Příklad – pohyb popsaný v polárních souřadnicích

Rameno vačkového mechanismu se otáčí konstantní úhlovou rychlostí 30 ot/min. V čase t = 0 s je úhel natočení φ(0) = 0 rad. Tvar vačky je popsán funkcí r(φ) = 20 + 15 cos(φ) mm.

Vypočítejte rychlost a zrychlení kladky P v čase t.

Řešení:

• přepočet úhlové rychlosti do SI

• výpočet radiální a tangenciální rychlosti, velikosti rychlosti

• výpočet tečného a odstředivého zrychlení, velikost zrychlení

2r

r

φrra

rv

φr2φra

φrv

φ

φ

Kinematika hmotného bodu

Popis pohybu ve 3D

Kartézský systém

(x,y,z)

Cylindrické (válcové) souřadnice

(ρ, φ, z)

Sférické souřadnice

(r, θ, φ)