Tópicos especiales

DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES PI-D

CURSO:

SEMINARIO DE TOPICOS

PROFESOR:

MACHUCA MINES

CICLO : X

NOMBRES Y APELLIDOS:

-ROY PAUCAR QUISPE

-DAVID SAENZ MONTALVAN

-LUIS PANTA VASQUEZ

INTRODUCCION

Se le denomina de esta forma a un proceso controlado por un sistema de compensación en

lazo cerrado, basado en un regulador de acciones proporcional, integral y derivativo o PID,

de tal forma que se logran características dinámicas estables, o dicho de otra forma se

logra que el sistema responda a cambios en sus variables en una forma estable.

Controlador PID .- El regulador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es parte de un

sistema de control realimentado, cuyo propósito es hacer que el error en estado

estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida del proceso, sea cero de

manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la acción integral.

Además el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la acción

derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.

Los controladores PID son suficientes para resolver el problema de control de muchas

aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinámica del proceso lo permite (En

general, procesos que pueden ser descritos por dinámicas de primer y segundo orden).

El controlador PID es un elemento importante en sistemas de control distribuido, de tal

forma que un gran porcentaje de reguladores utilizados en la industria son del tipo PID, y

más específicamente del tipo PI, demostrando que el usuario busca la simplicidad en los

algoritmos de control.

El regulador PID se utiliza en el control de procesos industriales con mucha frecuencia

como controlador en la implementación de esquemas de compensación en sistemas de

control, por lo regular de un grado de libertad.

-El esquema utiliza un solo regulador, aunque este regulador pueda variar más de un

parámetro de regulación.

-El esquema más utilizado en sistemas de control de procesos industriales es el de

compensación en serie, o cascada.

DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES PI-D

Sistema de control con PI-D digital en su forma de velocidad

Donde Gp (z )=z{1−e−Tssx

20s2+4 s+20 }

La frecuencia de muestreo es igual a Ws= 60 rad/seg

Para las dos estructuras de control se pide:

a) Determinar las ganancias Kp, Ki, Kd de los controladores para que los polos en lazo

cerrado se ubiquen en el plano Z en z=0.6+0.6j, z=0.6-0.6j, z=0.35, Evaluar las

funciones de transferencia pulso.

b) Mostrar las gráficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de un escalón unitario en

r(kT) y evalué Mp, td, tp, tr, ts.

c) Mostrar las gráficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de una rampa unitaria en

r(kT) y evalué analítica y gráficamente ess

SOLUCION

a)

Transformando

clcclose allclear allNus=20;Des=[1 4 20 0];[r,p,k] = residue(Nus,Des)syms s xm=20/(s^3+4*s^2+20*s);

ilaplace(m)

ans =

1 - exp(-2*t)*(cos(4*t) + sin(4*t)/2)

Gp (z )=(1−e−2∗t∗(cos (4∗t )+ sin (4∗t )2 )) z−1z

Gp (z )=(1−e−2∗t∗cos (4∗t )−e−2∗t∗sin (4∗t )

2) z−1z

Gp (z )=(1− 1−e−2 t cos 4 t z−1

1−2e−2 t cos 4 t z−1+e−4 t z−2−12

e−2 t sen 4 t z−1

1−2e−2 t cos 4 t z−1+e−4 t z−2) z−1z

Gp (z )=( 1−2e−2 t cos 4 t z−1+e4 t z−2−1−e−2 t sen 4 t+e−2t cos4 t z−1

1−2e−2 t cos 4 t+e−4 t z−2) z−1z

Gp (z )= e4 t z−2+(−2e−2 t cos 4 t−e−2 t sen4 t−e−2t cos 4 t )−e4 t z−2−(−2e−2 t cos 4 t−e−2 t sin 4 t+e−2t cos 4 t )z−1

1−2e−2 t cos4 t+e−4 t z−2

Se tiene:

Ws=60 rad /segt=0.1047

Reemplazando:

Gp (z )= 0.09414 z+0.0818z2−1.482 z+0.6578

Y ZR z

=(K p+K i

zz−1

)Gp( z)

1+(K p+K izz−1

+KD( z−1 )z

)Gp(z)

Y ZR z

=(K p ( z−1 )+Ki z )Gp(z )

(z−1 )+K p (z−1 )+Kiz+KD (z−1)2

z

xzz

Y ZR z

=(K p z

2−Kpz+Ki z2 )Gp(z)z ( z−1 )+(K ¿¿ p z+Ki z2+KD z2−2 zKD+KD)Gp¿

Y ZR z

=(K p z

2−Kpz+Ki z2 )Gp ( z )

z ( z−1 )+( z2 (k p+Ki+Kd )−z (2kD+Kp )+Kd )Gp

Ko=Kp+Ki

Ki=Kp+Ki+KD=KD+Kp+Ki

K 2=2KD+Kp=2KD+Kp

K 3=KD

K 4=Kp

Y ZR z

=(z2Ko−z K 4 )Gp ( z )

z ( z−1 )+(z2 K1−z K 2+K3 )Gp

Y ZR z

=( z2 K0−z K4 )(0.09414 z+0.0818)

z ( z−1 ) ( z2−1.482 z+0.6578 )+(K1 z2−K2 z+K3 ) (0.09414 z+0.0818 )

Y (z)R (z)

=0.09414 K0 z

3+(0.0818K0−0.09414K 4)z2+0.0818K4 z

z4−(2.482−0.09414K 1) z3+(2.1398+0.0818K1−0.09414K2 ) z2−(0.6578−0.09414K3+0.0818K2 )Z+0.0818K3

P ( z )=(z−0.6−0.6 j)(z−0.6+0.6 j)( z−0.35)(z−z4)

P ( z )=z4−(1.55+z4 ) z3+(1.14+z4 ) z2−(0.252+1.14 z4 )+0.252 z4

a1 a2 a3 a4

a:

2.482−0.09414K1=1.55+z4

2.1398+0.0818K1−0.09414K2=1.14+1.55Z4

0.6568−0.09414K3−0.0818K 2=0.252+1.14 Z4

0.0818K3=0.252 z4

Ordenando:

0.09414K 1+0+0+z4=0.932

0.0818K1−0.09414 K2+0−1.55 z 4=−0.998

0+0.0818K 2−0.09414K3−1.14 z 4=−0.4058

0+0+0.0818K3−0.252 z 4=0

K1=3.950 4

K2=4.8308

K3=1.7255

z 4=0

Por lo tanto:

Kd=1.7255

Kp=1.3798

Ki=0.8451

Ko=Kp+Ki=2.2249

K 4=KD=1.7255

Y (z )R (z )

=(2.2249 z¿¿2+1.255 z)(0.09414 z+0.06578)z4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905Z+0.1411

¿

Y (z )R (z )

= 0.2094 z3+0.0195 z2+0.1411 zz4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905Z+0.1411

b)

U (z)R (z)

= 1Gp(z)

xY (z)R (z)

U (z)R (z)

= z2−1.482 z+0.65780.09414 z+0.0818

Y (z)R (z)

U (z)R (z)

=(2.2249 z2−1.7255 z )(0.09414 z+0.0818)

(0.09414 z+0.0818)(z4−2.1101 z3+2.0082 z2+0.1411)

U (z )R (z )

= 2.2249 z4−5.0228 z3+4.0207 z2−1.135 zz4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905 z+0.144

E ( z)R (z )

=1−Y ( z )R ( z )

E ( z)R (z )

= z4−2.3195 z3+1.9887 z2−1.0316 z+0.1411z4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905 z+0.144

%ControladorGdz=tf(Kp,1,T)+tf(Ki*[1 0],[1 -1],T)+tf(Kd*[1 -1],[1 0],T)Gaz=tf(Kp,1,T)+tf(Ki*[1 0],[1 -1],T)Gbz=tf(Kd*[1 -1],[1 0],T) GlczY=feedback(Gaz*Gpz,Gdz/Gaz,-1)step(GlczY,5) GlczU=1/Gpz*GlczYHold step(GlczU,5) GlczE=1-GlczY step(GlczE,5)

Respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón:

De la última gráfica se obtiene:

Sobreimpulso porcentual MP= 41.04%

Tiempo de pico tp=4.19 seg

Tiempo de subida tr=0.314 seg

Tiempo de establecimiento=2.3 seg.

c)

Se puede establecer las siguientes comparaciones

U(kT) del sistema ante entradas de un escalón

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Respuesta del error ante una rampa de los sistemas

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de