practicum rckring

Practicum Natuurkunde RC-kring - 1

Onderzoek van een RC-kring

Nuttige informatie http://www.cripe.rug.ac.be/Studenten/practicumproeven/RC-kring/rc-kring.htm

1 RC-kring met kanteelspanning

We wensen te weten welke stroom zal lopen in een netwerk dat een weerstand en een condensator in serie bevat (fig. 1).

Figuur 1 Netwerk met een weerstand R en condensator C in serie. De constante spanningsbron V kan afwisselend in en uit dit netwerk gesloten worden met behulp van

schakelaar S.

Alhoewel een elektrische stroom niet door een condensator kan stromen, zullen toch tijdelijke stromen optreden in ketens die een condensator bevatten. Deze stromen zullen aanleiding geven tot het opbouwen van een lading op de platen van de condensator als een constante spanningsbron V aangesloten wordt en tot het wegvloeien van die lading als de spanningsbron verwijderd wordt.

- 1/9 -


Afspraak Grootheden die veranderen in verloop van de tijd noteren we met een kleine

letter: vb. en het spanningssignaal over resp. de weerstand en de Rv Cvcondensator; i de stroom door het netwerk;

Constante waarden (waarden die niet veranderen in de tijd) noteren we met hoofdletter: vb. de constante spanningsbron V. Bijgevolg worden ook maximale waarden en amplitudes met hoofdletter geschreven: vb. Vm de amplitude van het aangelegde spanningssignaal; VR de amplitude van het spanningssignaal over de weerstand;

Opladen van de condensator Als de schakelaar zich in stand b bevindt, volgt uit de wetten van Kirchoff:

qV RiC

= + (1) Om deze vergelijking op te lossen moeten we ze schrijven in de vorm:

dq qV Rdt C

= + met dqidt

= (2) Vergelijking (2) is een differentiaalvergelijking waarin alleen de veranderlijken q en t

voorkomen. De oplossing wordt gegeven door:

(3) /(1 )t RCq CV e= Verder zien we dat:

/t RCdq Vi edt R

= = (4) We kunnen dus ook schrijven:

/v (1 t RCCq V eC

= = ) (5) en

(6) /v t RCR iR Ve= =

Figuur 2 toont het grafisch verloop van en als functie van de tijd. Rv Cv

Merk op dat: - voor 0 en 0

- voor 0 en

Vt i qR

t i q C

= = = = V

De stroom in de RC-keten is in het begin dus V/R en wordt uiteindelijk nul; de lading op de condensatorplaten is in het begin nul en wordt uiteindelijk CV. De grootheid CR = in vergelijkingen (3) tot en met (6) heeft de dimensie van de tijd en wordt de tijdsconstante van de RC-keten genoemd.

Figuur 2 - Grafisch verloop van en als functie van de tijd bij het opladen van de

condensator Rv Cv

- 2/9 -


Uit de betrekking (5) volgt dat na een tijd gelijk aan de spanning over C

toegenomen is tot 63% van de eindwaarde V (reken dit na). Uit de betrekking (6) volgt dat de raaklijn in de topwaarde van in fig. 2 de t-as snijdt in het punt t = RC (ga dit na!).

Rv

Ontladen van de condensator We onderstellen nu dat de schakelaar een voldoende lange tijd (t >> RC) in stand b

gestaan heeft zodat de condensator volledig opgeladen is. We plaatsen dan de schakelaar in stand a. Er is dus geen e.m.k. meer in het circuit: V = 0. Vergelijking (2) wordt dan:

0dq qRdt C

+ = (7) De oplossing van (7) is: , q/0

t RCq q e= 0 is de beginlading van de condensator (merk op dat als t = RC , q = q0.e-1 = 0,37 q0 ).

Vermits dqidt

= , is /0 t RCqi eRC

= (let op het min-teken!)

Nu is q0 = CV zodat /t RCVi e

R= (dus op t = 0 is Vi

R= )

De ontladingsstroom loopt nu in tegengestelde zin van de opladingsstroom. Neemt men opnieuw t = 0 als omschakeltijdstip, dan wordt het spanningsverloop

over R en C gegeven door:

(8) /v t RCR Ve=

(9) /v t RCC Ve=

Figuur 3 toont het grafisch verloop van vR en vC .

Figuur 3 - Grafisch verloop van en als functie van de tijd bij het ontladen van de

condensator Rv Cv

Indien men de schakelaar S in figuur 1 afwisselend schakelt in de standen b en a,

en in elke stand vasthoudt gedurende een gelijk aantal malen de tijdsconstante, dan wordt de condensator afwisselend opgeladen en ontladen. Figuur 4 geeft het hiermee corresponderende spanningsverloop over de totale RC-keten ( CR vv += ), over R en over C.

- 3/9 -


Figuur 4 - Grafisch verloop van en als functie van de tijd bij het opladen en

ontladen van de condensator met (1) de spanning over het totale netwerk; (2) de spanning over de weerstand; (3) de spanning over de condensator

Rv Cv

Gebruikt men een functiegenerator (ingesteld op kanteelspanning) die verbonden is met de RC-keten zoals in figuur 5, dan bekomt men in de meetketen analoge spanningsvormen zoals in figuur 4 indien de periode van de kanteelspanning beduidend groter is dan de tijdsconstante . Is bijvoorbeeld de generatorfrequentie ingesteld op

01

9, 2 =

dan is de kleinste rekenkundige waarde die bereikt vooraleer een spanningssprong optreedt gelijk aan 1% van de amplitude V van de kanteelspanning (reken dit na!).

Rv

Figuur 5 Netwerk met een weerstand R en condensator C in serie. De functiegenerator (Gener.) kan ingesteld worden op kanteelspanning ( ) of sinusspanning ( ).

- 4/9 -


2 RC-kring met een sinusodale spanningsbron

2.1 Filterwerking We leggen een sinusodale spanning v sini mV t= aan over de RC-keten (zie figuur

5). De index i staat voor ingangsspanning en stelt dus de amplitude (= topwaarde)

van die ingangsspanning voor. Dan kunnen we schrijven mV

v sin en i mq dV t Ri iC d

= = + = qt

(11)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking (zie cursus) is:

( )( ) sinmi t I t = + (12) met

22 1

mm

VI

RC

= +

(13)

en

1tg RC

= (14) Daar de fasehoek positief is blijkt dat de stroom voorloopt op de spanning. Als we

de spanning over de weerstand R beschouwen als een uitgangsspanning en is de

ingangsspanning (figuur 5), dan kunnen we de volgende betrekkingen schrijven. Rv iv

( ) ( )v sin sinR m RRi RI t V t = = + = + (15) Als we alleen de piekwaarde (amplitude) VR van beschouwen: Rv

2

2 1m

RRVV

RC

= +

(16)

of

2

1

11

R

m

VV

RC=

+

(17)

In het bijzonder zal (reken na!):

- voor lage frequenties (d.w.z. voor 1RC zeer groot of

1 > ): 0 en R mV V

Vergelijking (17) is grafisch voorgesteld voor bepaalde waarden van R en C in figuur 6 (R = 105 en C = 0,16 F).

- 5/9 -


Figuur 6 Frequentiekarakteristiek (amplitudeverhouding van het signaal over de

weerstand tot het signaal over het totale netwerk, in functie van de generatorfrequentie) voor een netwerk met weerstand en condensator in serie (R=105

en C=0,16 F). Let op: beide schalen zijn logaritmisch voorgesteld! Bij figuur 6 kunnen we de volgende opmerkingen maken:

1. Bij lage frequenties is VR klein 2. Bij hoge frequenties is VR gelijk aan Vm (in de figuur ongeveer vanaf 10 Hz)

Omdat lage frequenties verzwakt worden en de hoge frequenties niet, noemt men dit circuit een RC-hoge-doorlaat-filter (gemeten over R !).

2.2 Differentirende en integrerende netwerken Beschouwen we hetzelfde netwerk van figuur 5. Onderstel een weerstand en een

condensator, zodanig dat over een bepaald frequentiegebied RC ongeveer nul is. Uit vergelijkingen (15) en (17) volgt dan:

)2

sin(v += tRCVmR

tRCVmR cosv = (18) Als we nu vi afleiden (differentiren) bekomen we:

tVdtd

mi cosv = (19)

Uit (18) en (19) volgt:

dtdRC iRvv = (20)

De betekenis van vergelijking (20) is dat als RC 0 het RC-filter netwerk de operatie differentiren uitvoert; d.w.z. het uitgangssignaal over R is evenredig met de afgeleide naar de tijd van het ingangssignaal. Deze eigenschap wordt toegepast in computers.

Nu kan men ook bewijzen dat de spanning op de condensator evenredig is met

de integraal van de ingangsspanning wanneer RC . Cv

iv

Neem de algemene uitdrukkingen vCq = en dtdC

dtdq v=

Hieruit volgt: iCdt

dqCdt

d 11v ==

en: = idtC1v

- 6/9 -


Dit wordt dus in ons geval:

+= dttIC mC )sin(1v )cos(v += tC

ImC (21)

Als we nu onderstellen dat RC (dus R en C zeer groot), dan is RV

I mm = en 0 = en kunnen we schrijven voor vergelijking (21)

tRCVm

C cosv = (22) Vermits tVmi sinv = , kunnen we (22) schrijven als

= dtRC iC v1v (23)

3 Werkopdracht

Het gedrag van de RC-kring wordt experimenteel onderzocht in het geval van aangelegde kanteel- en sinusspanningen. Deze spanningen worden geleverd door een functiegenerator. Enkel het spanningsverloop over R wordt onderzocht en dit met behulp van een twee-kanaals-oscilloscoop (zie figuur 7 en notas over oscilloscoop). De twee kanalen kunnen in Y-t-mode afzonderlijk geregeld worden maar gebruiken wel dezelfde tijdsbasis.

(a) (b)

Figuur 7 (a) Afbeelding uit opdracht 3.1 van het oscilloscoopscherm met het

spanningssignaal van de generator bovenaan en het spanningssignaal over de weerstand onderaan. (b) overzicht van het bedieningspaneel van de oscilloscoop.

Alvorens over te gaan tot de definitieve metingen is het aan te raden zich vertrouwd

te maken met het gebruik van de generator (zie figuur 8) en de oscilloscoop. Bekijk hiervoor rechtstreeks het uitgangssignaal van de generator met de oscilloscoop (respecteer de verbindingen met de massa!) en controleer ingestelde en afgelezen frequenties en amplitudes van de kanteel- en de sinusspanningen.

Bij het uitvoeren van de hieropvolgende werkopdracht is het aan te raden een zo groot mogelijke uitgangsspanning van de functiegenerator (amplitude = MAX) te gebruiken. Zet symmetry en D.C. offset op nul (wit streepje naar boven). Plaats bij de oscilloscoop beide kanalen in DC-mode.

- 7/9 -


Figuur 8 Bedieningspaneel van de functiegenerator met de voornaamste regelknoppen: bovenaan: frequentiebereik en functievorm midden: ingestelde frequentie en eenheid onderaan:frequentie-fijnregeling (frequency), signaalsymmetrie (symmetry), amplitude, gelijkspanningsbasis (D.C. offset).

3.1 Studie van de RC-kring met kanteelspanning In dit gedeelte bestuderen we het spanningsgedrag in het RC-netwerk. Men beschikt

over 2 weerstanden en 2 condensatoren waarmee men dus verschillende RC-ketens kan vormen:

R1 = 104 , R2 = 103 , C1 = 0,1 F , C2 = 0,01 F

Kies R1 = 104 en C1 = 0,1 F en bereken de tijdsconstante = RC . Verbind het RC-netwerk met de functiegenerator (Figuur 9). Stel de functiegenerator in op kanteelspanning met de D.C.-offset Onderzoek met kanaal 1 van de oscilloscoop de spanning over de functiegenerator

en met kanaal 2 de spanning over R.

Opmerking Let op de verbindingen met de aarde!!!

Figuur 9 Schema van de aansluiting van het RC-netwerk met de functiegenerator en de oscilloscoop.

- 8/9 -


Bekijk eerst het signaal van de functiegenerator en zijn verticale positie t.o.v. de 0 V lijn (te zien in GND-mode). Het signaal moet er ongeveer uitzien zoals in figuur 4(1), met de spanning die wisselt tussen een constante positieve waarde en 0 V.

Stel de frequentiegenerator in op de waarde 0 zoals bepaald door (10) en ga na met de oscilloscoop of we een spanningsvorm bekomen zoals in figuur 4(2). (Dit moet niet geschetst worden !)

Ga nu eerst na hoe figuur 4(2) verandert voor 1 2 31 1 , en

10 2 3 = = = .

Schets deze figuren voor 3 periodes en voor de frequenties 1 , 2 en 3 (let op de juiste positie t.o.v. de GNDlijn !!). Vermeld duidelijk de meetomstandigheden zoals de generatorfrequentie, de tijdbasis en de Y-versterking van de oscilloscoop.

Trek een besluit over de verschillen tussen de 3 schetsen. Beantwoord hierbij o.a. volgende vragen :

Waarom is de spanning over de weerstand gedurende een halve periode negatief ?

Bij welke schetsen komt de spanning over de weerstand niet terug naar nul en waarom ?

Stel de generator terug in op frequentie 1. We zullen nu grafisch de tijdsconstante bepalen (zie figuur 2(a)). Stel hiervoor de oscilloscoop zodanig in dat het hele scherm ingenomen wordt door n figuur zoals figuur 2(a) en dat het af te lezen -interval een zo groot mogelijk aantal schermverdelingen bevat (grootste nauwkeurigheid). Schets de figuur op uw verslagblad en vermeld weer de meetomstandigheden.

Lees de experimenteel gevonden tijdsconstante af en vergelijk ze met de berekende -waarde.

3.2 Studie van de RC-kring met sinusspanning In dit gedeelte bepalen we telkens de verhouding VR/Vm (dit is de verhouding van de

amplitudes van en van , zie paragraaf 2.1) in functie van de frequentie van een

sinusodale ingangsspanning. Rv iv

Stel de generator in op sinusodale spanning. Kies nu R1 = 104 en C2 = 0,01 F en pas de schakeling aan Bereken opnieuw de -waarde. Stel de generator in op 10 Hz en meet de topwaarde van op kanaal 1 en van

op kanaal 2. Zorg ervoor een zo groot mogelijke Y-uitwijking te bekomen op het oscilloscoopscherm, om een optimale nauwkeurigheid te verkrijgen.

iv

Rv

Doe analoge metingen bij frequenties = 20, 40, 60, 80, 100, 200, 400, ... tot 10000 Hz.

Maak een tabel van alle meetwaarden met volgende kolommen: frequentie, topwaarde van , topwaarde van , verhouding v/d topwaarden. iv Rv

Maak op semi-logaritmisch papier een grafiek van deze verhouding VR/Vm als functie van de frequentie (frequentie uitzetten op de logaritmische as).

Lees uit de grafiek de waarde VR/Vm af bij 12

= en vergelijk met de theoretische waarde.

Besluit niet vergeten !

- 9/9 -

Onderzoek van een RC-kringNuttige informatie1 RC-kring met kanteelspanningOpladen van de condensatorOntladen van de condensator

2 RC-kring met een sinusodale spanningsbron2.1 Filterwerking2.2 Differentirende en integrerende netwerken

3 Werkopdracht3.1 Studie van de RC-kring met kanteelspanningOpmerking

3.2 Studie van de RC-kring met sinusspanning

practicum rckring

Documents