1

INENJERSKA M A T E M A T I K A 2

Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih

osnova slian je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole ne znajui

kuda se plovi.

(LEONARDO DA VINCI )

P r e d a v a n j a 1

G L A V A 0

UVOD: PRIPREMNI MATERIJAL

U ovom poglavlju izloit emo samo neke dijelove pripremnog materijala, prvenstveno o

osnovnim matematikim oznakama, terminima i pojmovima iz oblasti savremene teorije metrikih

prostora i nekih njenih primjena koji se koriste u daljnjem izlaganju kursa Inenjerska matematika 2 (IM2), a za koje se inae ne pretpostavlja da su studentu uglavnom poznati iz srednje kole ili da su ih upoznali u univerziteskom nastavnom predmetu Inenjerska matematika

1 u prvom semestru studija.

METRIKI, NORMIRANI, UNITARNI I EUKLIDOVI PROSTORI Teorija graninih vrijednosti je od interesa ne samo u skupu R realnih brojeva, ve i u nekim drugim skupovima razliite prirode, npr. u skupu C kompleksnih brojeva, u viedimenzionalnim Euklidovim prostorima R

n i C

n, u skupovima funkcija, ali i u mnogo optijim skupovima (sasvim

apstraktne prirode) samo uz pretpostavku da je na takvom skupu definirano rastojanje sa odgovarajuim osobinama. Takve strukture nazivamo metriki prostori i obraujemo ih u ovom, uvodnom, poglavlju predmeta Inenjerska matematika 2. Posebno, kao jedan od najjednostavnijih, ali

istovremeno i najvanijih primjera obraujemo sluaj konanodimenzionalnih (n - dimenzionalnih) realnih Euklidovih prostora R

n, jer je poznavanje svojstava tih prostora osnova za prouavanje

znatnog dijela predmeta Inenjerska matematika 2.

0.1. Metriki prostori

U osnovi pojma granine vrijednosti (limesa) u skupu R realnih brojeva je injenica da je izmeu

svaka dva realna broja x, y definirano rastojanje

d (x, y) : = | x y |. Dalji pojmovi, kao to su okolina, limes, konvergencija, neprekidnost i dr., mogu se jednostavno uvesti

pomou pojma rastojanja, to omoguavaju, jasno, i odreene osobine koje ima funkcija rastojanja d.

2

Konvergencija niza (xn) ka x u skupu R znai da su take xn i x na proizvoljno malom rastojanju poevi od nekog dovoljno velikog indeksa n. Ovo svojstvo je fundamentalno u primjenama i moe se proiriti i na proizvoljne skupove ukoliko na njima definiramo rastojanje

izmeu svake dvije take (toga skupa). Uvidjelo se da se rastojanje (izmeu dvije take) moe definirati na razliite naine, ukoliko ono samo zadovoljava tri uslova (tzv. aksiome metrike) opisana u narednoj definiciji pojma rastojanja (udaljenosti) koji je po prvi put apstraktno formulisao

Free*) 1906. godine, dok je sam naziv "metriki prostor" ("metrischer Raum") uveo, kasnije (1914), Hausdorf.

**)

Definicija 0.1.1. Neka je X skup elemenata proizvoljne prirode i d : X x X R funkcija

(preslikavanje) koja svakom ureenom paru (x, y) elemenata x, y skupa X dodjeljuje realan broj

d(x, y). Ako ta funkcija zadovoljava sljedee uslove (tzv. aksiome metrike):

( 1) ( , ) 0, ( ) ;

( 2) ( , ) 0

M d x ypozitivna definitnost

M d x y x y

(M 3) d (x, y) = d ( y, x) (osobina simetrije);

(M 4) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) (nejednakost trougla);

za sve x, y, z X, onda kaemo da je d metrika ili udaljenost (rastojanje) na skupu X. Ureen

par (X, d ) od skupa X i metrike d na skupu X nazivamo metriki prostor.

Ako se uslov (M 2) zamijeni sa slabijim uslovom

(M 2)' x = y d (x, y) = 0, (tj. d (x, y) = 0 ako je x = y),

onda se preslikavanje d naziva pseudometrika, a ureeni par (X, d ) pseudometriki prostor.

Funkciju d : X x X R nazivamo polumetrika ili semimetrika (a par (X, d ) polumetriki ili

semimetriki prostor) ako vrijede uslovi (M 1) (M 3); nesimetrina metrika ako vrijede uslovi

(M 1), (M 2) i (M 4). Funkciju d : X x X R (gdje je R : = R { , + } proireni prostor realnih brojeva) za koju vrijede uslovi (M 1) (M 4) zovemo metrika proirenih realnih

vrijednosti.

Ako se umjesto uslova (M 4) zahtijeva jai uslov

(M 5) d (x, y) max{d (x, z), d (z, y)}

za sve x, y, z X, onda se za funkciju d kae da je ultrametrika, a za par (X, d ) da je

ultrametriki prostor. Primijetimo da se uslov (M 1) u definiciji 0.1.1. pojma metrike moe izostaviti. Naime, za x = y

iz nejednakosti (M 4), na osnovu uslova (M 3), dobijemo da je 2 d (x, z) d (x, x), odakle je (na

osnovu uslova (M 2)) d (x, z) 0 za sve x, z X. Osim toga, uslovi (M 1) i (M 2) mogu se ekvivalentno zamijeniti uslovima (M 2)' i

(M 1)' d (x, y) > 0 ako je x y.

Mnoge probleme matematike analize mogue je obraditi u okvirima metrikih prostora. Ipak, postoje problemi, kako u samoj matematikoj analizi (npr. tako jednostavan pojam kao to je obina

konvergencija funkcija***) ) tako i u drugim oblastima matematike i njihovim primjenama (npr. neki

fizikalni problemi histerezisa i teorije magnetizma, te problemi fiziolokih pragova), koji nisu obuhvaeni teorijom metrikih prostora. To je primoralo matematiare da uvedu i tako opte prostore

kao to su topoloki prostori ali i takve kao to su vjerovatnosni metriki prostori, statistiki metriki prostori (pa ak) i vjerovatnosni topoloki prostori (koji predstavljaju odreene vjerovatnosno statistike generalizacije Frchetovog pojma metrikog prostora uvedenog definicijom 0.1.1.).

____________ *)

M. Frchet (1878 1973) francuski matematiar. **)

Felix Hausdorff (1868 1942) njemaki matematiar. ***)

Naime, pokazuje se da je obina konvergencija nizova funkcija poseban sluaj opteg pojma konvergencije u topolokim prostorima, te da vrijedi injenica : Ako je X neprebrojiv skup, onda ne postoji metrika d na skupu RX svih

funkcija f : R X sa svojstvom da je konvergencija nizova u prostoru (RX, d ) obina konvergencija nizova funkcija (vidjeti, npr., [Sibe Mardei, Matematika analiza u n dimenzionalnom realnom prostoru, Prvi dio, kolska knjiga, Zagreb, I. izd. 1974, II. izd. 1979, teoremi 11. i 12., str. 119. i 120]).

3

Primjeri metrikih prostora mogu da budu vrlo raznorodni. Osnovni, inspirativni primjer metrikog prostora je skup realnih brojeva R (to emo kasnije i dokazati) /ili skup kompleksnih brojeva C / sa metrikom d definiranom formulom d(x, y) = | x y |. Najjednostavnije uoptenje prostora R

predstavlja, kao to je poznato iz linearne algebre, n dimenzionalni euklidski prostor Rn iji su elementi ureene n torke x : = (x1, ..., xn) realnih brojeva x1, ..., xn. Na kraju ovog prvog paragrafa vidjet emo da je (Rn, d2) metriki prostor s metrikom

d2(x, y) = 2

1

n

i i

i

x y

, (x : = (x1, ..., xn), y : = ( y1, ..., yn) Rn ),

koja je izvedena iz norme

|| x ||2 = 2

1

n

i

i

x

po formuli d2(x, y) = || x y ||2. Ta se metrika zove obina ili euklidska, a prostor (Rn, d2)

n dimenzionalni realni euklidski prostor Rn. Ako je n = 1, dobijemo prostor R realnih brojeva,

ili realni pravac s (obinom) metrikom d(x, y) = | x y |, (x, y R). U skupu Rn, kao i u bilo kom

skupu, metrika se moe uvesti na vie naina. Jedno od korisnih uoptenja metrike d2 jeste metrika dp (za p 1) koja se uvodi pomou relacije

dp : =

1

1

n pp

i i

i

x y

za sve x : = (x1, ..., xn), y : = ( y1, ..., yn) Rn. (Od uslova (M 1) (M 4) za metriku netrivijalna je

samo provjera uslova (M 4), ali taj uslov slijedi iz nejednakosti Minkovskog*)

1 1 1

1 1 1

n n np p pp p p

i i i i

i i i

x y x y

,

koja se dokazuje u poglavljima o realnim brojevima i o /beskonanim/ redovima). Ponekad se metriki prostor (R

n, dp) oznaava sa Rpn.

Najinteresantniji posebni sluajevi prostora Rnp koje emo posmatrati su za p = 1 kada je

d1(x, y) = 1

n

i i

i

x y

, zatim ve navedeni sluaj p = 2, odnosno Rn2 = Rn i najzad sluaj p =

kada po definiciji stavljamo

d (x, y) = max{| x1 y1 |, | x2 y2 |, ..., | xn yn |}

(uvedenu oznaku d opravdava injenica /koja se lako dokazuje/ da je lim p dp (x, y) = d (x, y)).

Lako se provjeravaju uslovi metrike za funkciju d na prostoru m svih ogranienih nizova

x : = 1 i ix

realnih brojeva, definiranu formulom

d(x, y) = 1

supi

{| xi yi |} (x : = (xi), y : = ( yi) m ).

U skupu C[a, b] svih neprekidnih realnih funkcija f : [a, b] R, definiranih na segmentu

[a, b]( R), uvodi se metrika formulom

d ( f, g) =

maxa x b

| f (x) g (x)| ( f, g C[a, b]) (*)

(prethodni izraz ima smisla prema Weierstassovoj teoremi, a uslovi metrike se lako provjere).

Napomenimo da se u skupu C[a, b] (a i u skupu H djelimino neprekidnih funkcija, tj. funkcija koje

su neprekidne na [a, b], ili im je skup svih taaka prekida konaan i svi su prve vrste) metrika moe uvesti i pomou formule

dp ( f, g) =

1

( ) ( )

b pp

a

f x g x dx

________________ *)

Hermann Minkovski (1864 1909) njemaki matematiar i fiziar.

4

za p 1. Nejednakost trougla slijedi iz integralne nejednakosti Minkowskog, koja se dobije iz obine

nejednakosti Minkowskog, napisane za Riemannove integralne sume. Specijalni sluajevi koji su od posebnog interesa su opet kada je p = 1 (tzv. "integralna metrika"), p = 2 (tzv. "metrika srednjeg

kvadratnog odstupanja" koja je korisna, npr., u teoriji Fourierovih redova) i p = , pri emu se lako

provjeri da je d = d, gdje je funkcija d definirana formulom (*).

Na proizvoljnom skupu X () moemo definirati metriku d formulom

d (x, y) = 1, ,

0, .

x y

x y

Za ovu metriku d se kae da je diskretna, a za (X, d ) da je diskretni prostor.

Neka je (X, d ) metriki prostor, Y podskup od X i dY = d | X x Y (tj. neka je dY restrikcija metrike d na podskup Y skupa X ). Tada je oito i (Y, dY ) metriki prostor. Kaemo da je (Y, dY ) potprostor prostora (X, d ).

Ako za metriki prostor (X, d ) uzmemo Euklidov prostor Rn, onda svaki podskup Y Rn

odreuje metriki prostor (Y, dY ) i tako se dobije mnotvo primjera metrikog prostora.

Zbog jednostavnosti oznaka metrika dY se najee oznaava takoe sa d, pa se govori o potprostoru (Y, d ) (metrikog) prostora (X, d ). Takoe se esto, umjesto (X, d ), pie X i govori metriki prostor X kada je iz konteksta jasno o kojoj se metrici d radi.

Kao jedna od neposrednih posljedica definicije 0.1.1. je i tzv. nejednakost mnogougla

d (x0, xn) d (x0, x1) + d (x1, x2) + + d (xn 1, xn), (0.1.1)

gdje su x0, x1,..., xn proizvoljni elementi skupa X, a d metrika na X.

Nejednakost (0.1.1) predstavlja pooptenje nejednakosti trougla (M 4) i lako se dokazuje matematikom indukcijom po n.

Tvrdnja 1.1.1. Za proizvoljne etiri take x, y, x ', y ' X u svakom metrikom prostoru (X, d )

vrijedi nejednakost

|d (x, y) d (x ', y ' )| d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (0.1.2)

Dokaz: Iz nejednakosti mnogougla (0.1.1) slijedi da je

d (x, y) d (x, x ' ) + d (x ', y ' ) + d ( y, y ' ),

odakle je zbog simetrije funkcije d (tj. zbog uslova (M 3))

d(x, y) d (x ', y ' ) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (0.1.3) Zamijenimo li u nejednakosti (0.1.3) x, y, respektivno, sa x ', y ' i, obrnuto, x ', y ' sa x, y,

dobijemo:

d (x ', y ' ) d(x, y) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ). (0.1.4)

Iz nejednakosti (1.1.4), uzimajui u obzir i nejednakost (0.1.3), dobijemo

(d (x, x ' ) + d ( y, y ' )) d(x, y) d (x ', y ' ) d (x, x ' ) + d ( y, y ' ),

to je ekvivalnetno sa (0.1.2), pa je dokaz tvrdnje 0.1.1. zavren.

Primjer 0.1.1. Dokaimo da je skup R (svih) realnih brojeva zajedno sa funkcijom

d : R x R R, definiranom formulom d (x, y) = | x y |, metriki prostor, a to smo do sada samo

navodili bez dokaza, odnosno dobili kao specijalan sluaj prostora Rn (kada je n = 1).

Zaista, uslovi (M 1) (M 3) za metriku funkciju d direktno slijede iz definicije pojma apsolutne

vrijednosti realnog broja (tj. iz jedne od ove tri meusobno ekvivalentne definicije:

1 | x | = , 0,

, 0;

x x

x x

2 | x | = 2x (aritmetiki korijen, ako je x2 > 0, tj. ako je x 0 );

3 | x | = max { x, x}).

5

Dokaimo da definirana funkcija d na skupu R zadovoljava i uslov (M 4). Za proizvoljne elemente

x, y, z R vai:

| x y | = | x z + z y | = | ( x z ) + ( z y )| | x z | + | z y |.

Odavdje je d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ime je pokazano da je uslov (M 4) zadovoljen.

U metrikom prostoru (X, d ) definira se udaljenost take x0X od podskupa A ( X )

formulom

d(x0, A) : = inf { d (x0, a) | aA }. (*)

Skup { d (x0, a) | aA } ogranien je odozdo, jer je d(x0, a) 0 za svaki aA. Zato za svaki A

infimum u (*) postoji, pa je d(x0, a) potpuno odreen realan broj i vrijedi d(x0, A) 0. No, uoimo da

iz x0A slijedi da je d(x0, A) = 0, a da obrnuto ne vrijedi (npr., za X = R i A= R+ = {xR : x > 0} je

d(0, R+) = 0, ali ipak 0R+ ).

Udaljenost izmeu dva podskupa A, B X u metrikom prostoru (X, d ) definira se formulom

d ( A, B) : = inf {d(a, b) | aA, bB}.

Oigledno vrijedi da je d(A, B) 0, te da iz AB slijedi d (A, B) = 0. Obrnuto, iz d (A, B) = 0

ne mora slijediti AB , jer, npr., za A = R+, B = -R = { xR : x < 0} slijedi d(A, B) = 0, ali ipak

AB =.

U preostalom dijelu ovog odjeljka uvodimo neke od osnovnih pojmova i termina pozajmljenih

(preuzetih) iz teorije dvodimenzionalnog i trodimenzinalnog Euklidovog prostora, pa se i neki crtei

koji slue za ilustraciju mogu izraditi tako da asociraju na takve prostore, ali pri tome treba voditi rauna da se osobine koje se dokazuju mogu odnositi i na mnogo apstraktniju situaciju, te da geometrijska intuicija moe ponekad biti sasvim neadekvatna (npr., adherencija otvorene kugle K (a,

r) : {xX | d(x, a) < r} ne mora da se poklopi sa zatvorenom kuglom ( , )K a r : = {xX | d(x, a) r},

pri emu se pod adherencijom skupa A podrazumijeva skup A dat sa A = A A', gdje je A' skup svih taaka nagomilavanja*) skupa A).U vezi sa ovim korisna je Poenkareova**) "definicija": "Matematika je umjetnost davanja istog imena razliitim stvarima." (Vidjeti, npr., u [Dr Duan Adnaevi Dr Zoran Kadelburg : Matematika analiza I, Nauka, Beograd, IV izd. 1995] i [Milan

Merkle : Matematika analiza, Teorija, Akademska misao, Beograd, 2001]).

Definicija 0.1.2. Kaemo da je skup A iz metrikog prostora (X, d ) ogranien (omeen) ako je

skup {d(x, y) | x, y A} ogranien u prostoru R. U sluaju X = R taj se pojam podudara s (u teoriji

realnih brojeva) uvedenim pojmom ogranienog skupa u R.

Za preslikavanje f : T X skupa T u metriki prostor (X, d ) se kae da je ogranieno

(omeeno) ako je f (T ) ( X ) ogranien skup. Specijalno, ogranieno preslikavanje f : T X za

T = N je ogranien niz.

Ako je (X, d ) metriki prostor i ako je skup A ( X ) ogranien, onda oito postoji realan broj

diam (A) : = sup {d(x, y) : x, y A},

koji se zove dijametar skupa A. Ako je A neogranien skup, onda se uzima da je diam ( A ) = + .

________________ *)

koje definiramo u preostalom dijelu ovog paragrafa. Skup A' se zove derivirani ili izvodni skup

skupa A. **)

H. Poincare (1857 1912) francuski matematiar.

6

Uvijek je diam(A) 0, a pomou nejednakosti trougla (M 4) lako se pokazuje da vrijedi formula

diam (A B) diam (A) + d (A, B) + diam (B),

iz koje onda lako zakljuujemo da je unija od konano mnogo ogranienih skupova ogranien skup.

U svakom metrikom prostoru (X, d ) mogu se definirati sljedei pojmovi.

Definicija 0.1.3. Neka je ( > 0) proizvoljan pozitivan broj iz R i neka je x0X, gdje je (X, d )

metriki prostor. Tada se skup taaka K(x0, ) : = {xX : d(x0, x) < } naziva otvorena kugla sa centrom (sreditem) u taki x0 i poluprenikom (radijusa) .

Za 1 2 je K(x0, 1) K(x0, 2). U skupu realnih brojeva R otvorena kugla sa centrom u taki x0 i radijusom je skup svih taaka xR koje zadovoljavaju nejednakost: | x x0 | < (gdje je d(x0, x) = | x x0 |), tj. to je otvoreni interval ( x0 , x0 + ), ( > 0).

Definicija 0.1.4. Neka je proizvoljan pozitivan broj, a x0X, gdje je (X, d ) metriki prostor.

Tada se skup taaka K (x0, ) : = {xX : d(x0, x) } naziva zatvorena kugla sa centrom u taki x0 i poluprenikom .

Prema tome, u skupu R zatvorena kugla sa centrom u taki x0 i poluprenikom je skup svih

taaka xR koje zadovoljavaju nejednakost: | x x0 | , tj. zatvorena kugla K (x0, ) u R je segment [ x0 , x0 + ].

Na sl. 0.1.1. prikazane su kugle (otvorene) u R2 sa centrom u taki x0 : = (0, 0) i radijusom =

1 u razliitim metrikama d1, d2 i d. U Euklidskom prostoru R3, K(x0, ) je kugla (u smislu

elementarne geometrije) bez sfere koja tu kuglu ogranieva (omeuje). U diskretnom prostoru je

K(x0, ) = { x0 } ako je 1 i K(x0, ) = X ako je > 1, tj. moe biti 1 < 2 , a da ipak bude

K(x0, 1) = K(x0, 2).

Definicija 0.1.5. Okolinom U(x0) (ili O(x0)) take x0X u metrikom prostoru (X, d ) naziva

se svaki skup U( X ) (ili O X ) koji u sebi sadri neku otvorenu kuglu sa centrom u taki x0.

Iz definicije 0.1.5. slijedi da je svaka otvorena kugla sa centrom u taki x0 koja pripada metrikom prostoru X je okolina take x0. Ova okolina se naziva i kuglina okolina (ili sferna okolina) take

x0. I nadalje kada spomenemo okolinu neke take mislimo na njenu kuglinu okolinu.

y y y

(0, 1) (0, 1) (0, 1)

(1, 0) (1, 0) x ( 1, 0) (1, 0) x ( 1, 0) (1, 0) x

(0, 1) (0, 1) (0, 1)

Slika 0.1.1.

(Take na rubu iscrtanog podruja ne pripadaju skupu K(x0, ), ali pripadaju skupu K (x0, ).)

7

Navedimo i neka svojstva okolina (koja se lako pokazuju):

I. (Prvo svojstvo za okoline). Ako su U '(x0) ili U ''(x0) dvije okoline take x0, tada postoji

okolina U(x0) koja je sadrana u datim okolinama.

II. (Drugo svojstvo za okoline). Za proizvoljne dvije take x, y X ( x y ) postoje okoline

U(x) i U( y) koje nemaju zajednikih taaka.

Definicija 0.1.6. Taka x0X1 ( X ) je unutranja taka skupa X1 ako postoji otvorena kugla

K(x0, ) takva da je K(x0, ) X1 ; x0 X1 naziva se spoljanjom takom u odnosu na skup X1( X ) ako postoji otvorena kugla K(x0, ) takva da je K(x0, ) X1 = . Taka x0 X1 naziva

se izoliranom (izolovanom)takom skupa X1 ako postoji otvorena kugla K(x0, ) takva da je K(x0, ) X1 = {x0}.

Definicija 0.1.7. Za skup X1 ( X ) kae se da je otvoren skup ako su sve njegove take

unutranje.

Definicija 0.1.8. Taka x0X naziva se takom gomilanja (takom nagomilavanja) skupa

X1 ( X ) ako svaka okolina U(x0) take x0 sadri bar jednu taku yX1, y x0. Taka gomilanja

moe, a ne mora pripadati skupu X1.

Vai sljedea tvrdnja, koju navodimo bez dokaza.

Tvrdnja 0.1.2. U svakom metrikom prostoru otvorena kugla je otvoren skup.

Prema tome (otvoreni) interval u skupu realnih brojeva R je otvoren skup (u odnosu na obinu

/euklidsku/ metriku d (definiranu formulom d(x, y) = | x y | ).

Posljedica ove tvrdne je tree svojstvo za okoline:

Ako taka y pripada kuglinoj okolini U(x), y x, onda postoji kuglina okolina take y koja je sadrana u okolini U(x).

Tvrdnja 0.1.3. Proizvoljna okolina U(x0) take gomilanja x0 skupa X1 ( X ) sadri

beskonaan skup taaka skupa X1.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da okolina U(x0) sadri konaan broj taaka x1, x2, ..., xn X1 meusobno razliitih i razliitih od take x0. Prema navedenim osobinama za okoline slijedi da

postoje okoline U *(x0), U 1(x1), U

2(x2), ...., U

n(xn) koje se sadre u okolini U(x0) i koje nemaju

zajednikih taaka. Slijedi da okolina U *(x0) ne sadri ni jednu taku skupa X1 razliitu od x0, pa taka x0 nije po definiciji taka gomilanja. Ovim je tvrdnja i dokazana.

Po definiciji se uzima da su prazan skup i itav metriki prostor X otvoreni skupovi.

Definicija 0.1.9. Neka je X metriki prostor. Za skup X1 X kaemo da je zatvoren ako on

sadri sve svoje take gomilanja.

Dokazuje se da vai sljedea teorema koju navodimo bez dokaza.

Teorema 0.1.1. U svakom metrikom prostoru zatvorena kugla je zatvoren skup.

Prema tome, svaki segment [a, b] R je zatvoren skup.

8

Vai i sljedea teorema koju takoe navodimo bez dokaza.

Teorema 0.1.2. Neka je X metriki prostor i neka je X1 X. Da bi skup X1 bio otvoren

potrebno je i dovoljno da njegov komplement 1

~X bude zatvoren.

Definicija 0.1.10. Niz u skupu X je svako preslikavanje x : N X skupa prirodnih brojeva u

skup X.

Vrijednost x(n)X za nN naziva se n ti lan niza i najee se oznaava sa x n, tj. x(n) = x

n, pa se govori o nizu 1 n nx

ili (x n).

Ako je X metriki prostor (ili, optije, topoloki prostor), postavlja se pitanje konvergencije niza

(xn) iz X prema taki x0X. Intuitivno govorei, radi se o sluaju kada se lanovi niza s dovoljno visokim indeksima n nalaze proizvoljno blizu take x0.To se svojstvo niza definira na sljedei nain.

Definicija 0.1.11. Za niz (xn) elemenata metrikog prostora X kaemo da je konvergentan u

metrikom prostoru (X, d ) ako postoji taka x0X i ako za svaki > 0 postoji prirodni broj N = N() tako da je za svaki n > N zadovoljena nejednakost:

d(xn, x0) < .

U ovom sluaju kaemo da niz (xn) konvergira ili tei ka taki x0X ili kaemo da je taka x0

granina vrijednost niza (xn), to kratko piemo:

lim (xn) = x0 ili lim xn = x0 ili lim n xn = x0 ili (xn) x0 za n + ili xn x0.

Ako niz (xn) nije konvergentan, onda kaemo da je on divergentan.

Kada konvergentnom nizu (xn) pridruujemo graninu vrijednost x0, govorimo da vrimo

granini prelaz n .

Ekvivalentna definicija datoj definiciji pojma konvergentnog niza je sljedea definicija:

Definicija 0.1.12. Niz (xn) elemenata metrikog prostora X naziva se konvergentnim u

metrikom prostoru X ako postoji taka x0X takva da je

limn

d (xn, x0) = 0.

Definicija 0.1.13. Neka je X metriki prostor. Za niz (xn), xnX za svaki nN kaemo da

je Cauchyjev ili fundamentalan niz ako za svaki > 0 postoji prirodni broj N = N() takav da je za n, m > N zadovoljena nejednakost:

d(xn, xm) < .

Definicija 0.1.14. Za metriki prostor X kaemo da je potpun (ili kompletan) ako svaki njegov

fundamentalni niz konvergira ka nekom elementu tog prostora.

Primjer 0.1.2. Skup realnih brojeva R je potpun metriki prostor (v. teoremu iz teorije nizova

realnih brojeva, koja predstavlja potreban i dovoljan uslov za konvergenciju niza iji su elementi realni brojevi).

9

Teorema 0.1.3. Svaki fundamentalni niz u metrikom prostoru je ogranien.

Dokaz: Neka je niz (xn) fundamentalni niz. Tada postoji prirodan broj N takav da je d (xn,

xm) < 1 (uzeli smo da je = 1) za n, m > N. Specijalno je d (xn, xN+1) < 1 za n > N. Oznaimo sa ri : = d (xi, xN+1) za i = 1, 2, ..., N i sa r : = max{1, ri}, pri emu je 1 i N. Oigledno je d (xn,

xN+1) r za svaki nN, ime je teorema i dokazana.

Tvrdnja 0.1.4. Svaki konvergentan niz u metrikom prostoru je fundamentalan niz.

Dokaz: Zaista, neka je niz (xn) konvergentan niz u metrikom prostoru (X, d ) i neka konvergira

ka elementu x0X. Uzmimo proizvoljan > 0. Tada za 2

> 0 postoji prirodni broj N = N() takav

da je d(xn, x0) < 2

za n > N. Sada iz nejednakosti

d(xn, xm) d(xn, x0) + d(xm, x0)

slijedi da je

d(xn, xm) < , za n, m > N, pa je po definiciji posmatrani niz fundamentalan.

Openito u metrikom prostoru fundamentalni nizovi nisu konvergentni. Npr., ako je X = (0, 1] (

R), onda je niz (xn), xn = 1

nX, fundamentalan niz budui da je (xn) konvergentan u [0, 1]. No, u

prostoru (0, 1] niz 1

n

ne konvergira. Meutim, ipak se lako pokazuje injenica da ako je (xn)

fundamentalan niz u metrikom prostoru (X, d ) i ako neki podniz (kn

x ) niza (xn) konvergira prema

x0X, onda i niz (xn) konvergira prema x0.

Primijetimo da openito konvergencija nekog podniza ne povlai konvergenciju niza (npr. podniz 1, 1, ... niza 0, 1, 0, 1, ... konvergira, a ipak niz 0, 1, 0, 1, ... ne konvergira).

Tvrdnja 0.1.5. Neka je X potpun metriki prostor. Da bi niz (xn), xnX za nN, bio

konvergentan potrebno je i dovoljno da on bude fundamentalan niz.

Dokaz: Zaista, ako je niz konvergentan, onda je prema tvrdnji 0.1.4. on i fundamentalan, a onda

je on i konvergentan u potpunom metrikom prostoru, ime je tvrdnja 0.1.5. i dokazana.

Primjer 0.1.3. Svaki segment [a, b] ( R) je potpun metriki prostor, dok prostor racionalnih

brojeva Q( R) nije potpun jer nije zatvoren u R.

0.2. Normirani prostori

U realnim vektorskim prostorima R2 i R

3 definira se intenzitet ( modul ) vektora kao duina dui

kojom je taj vektor predstavljen, odnosno kao rastojanje vrha vektora od ishodita. Meutim, pojam

intenziteta vektora u R2 ili u R

3 proiruje se i na vektore u proizvoljnom vektorskom prostoru, tako

da imamo sljedeu definiciju.

Definicija 0.2.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem skalara R ili C. Norma na X je

svako preslikavanje || || : X R, koje zadovoljava sljedee uslove (aksiome norme) :

10

(N 1) || x || 0, || x || = 0 x = 0X (0X - neutralni /nula/ element u skupu X );

(N 2) || x || = | | || x || (homogenost norme) ; (N 3) || x + y || || x || +|| y || (nejednakost trougla),

za sve x, y X i za svaki skalar R (odnosno C). Ureeni par (X, || ||) vektorskog (realnog, odnosno kompleksnog) prostora X i norme na X zove se normirani (realni, odnosno kompleksni)

(vektorski) prostor.

Vrijednost || x || za xX zove se norma vektora x.

Polje realnih brojeva R predstavlja vektorski prostor nad samim sobom, pa polje R moemo smatrati realnim normiranim vektorskim prostorom pri emu se norma proizvoljnog njegovog

elementa podudara sa njegovom apsolutnom vrijednosti tog elementa, tj.

|| x || = | x | za xR.

Primijetimo da se za razliku od metrike, koja se moe definirati na proizvoljnom nepraznom skupu,

norma definira samo na vektorskim prostorima. Zato su normirani prostori bogatiji svojstvima od

metrikih prostora.

Lako se vidi da je funkcija d : X x X R definirana formulom

d (x, y) = || x y ||, (0.2.1) gdje je (X, || ||) normirani prostor, metrika na X. Dakle, u svakom normiranom prostoru X sa

normom || || moe se definirati udaljenost d (x, y) taaka x, y X formulom (0.2.1), tako da je

X metriki prostor sa metrikom d. Iz (0.2.1) imamo da je || x || = d (x, 0).

Meutim, obrnuto ne vai u optem sluaju, tj. ako je na vektorskom prostoru X definirana

metrika d, onda funkcija x || x || definirana formulom || x || = d (x, 0), (xX ), ne mora biti

norma na X, jer uslovi iz definicije 0.2.1. ne moraju biti ispunjeni. Npr., funkcija d : X x X R

definirana formulom d(x, y) = 1 ako je x y i d(x, x) = 0 je metrika na R2, ali d(x, 0) nije

norma na R2.

Pojam okoline u normiranom prostoru (X, || ||) uvodi se pomou metrike definirane formulom

(0.2.1), a na isti nain se definira konvergencija, Cauchyjev niz i ostali pojmovi koje smo definirali u

proizvoljnom metrikom prostoru. Npr., otvorena kugla sa sreditem u taki x0X radijusa rR+

definira se kao skup {xX : || x x0|| < r }.

Neka su d1 i d2 dvije metrike na istom skupu X. Kaemo da su metrike d1 i d2 ekvivalentne

(ili uniformno ekvivalentne) ako postoje brojevi 1 > 0, 2 > 0 tako da za sve x, y X vrijede nejednakosti:

d1(x, y) 1 d2(x, y) , d2(x, y) 2 d1(x, y).

Metrike d2, d i d1 na Rn (tj. na direktnom proizvodu od n primjeraka metrikog prostora R)

meusobno su ekvivalentne. To slijedi iz nejednakosti

d (x, y) d2(x, y) n d

(x, y), d

(x, y) d1(x, y) n d

(x, y),

d2 (x, y) d1(x, y) n d2

(x, y),

koje se lako dokau.

Ekvivalentnost normi definira se na isti nain kao i ekvivalentnost metrika.

11

Definicija 0.2.2. Za normirani prostor X kaemo da je potpun (ili kompletan) ako svaki

Cauchyjev niz (xn) u X konvergira ka nekom elementu x0X. Potpun normiran vektorski prostor

zove se Banachov prostor ili (kratko) B prostor.

0. 3. Unitarni prostori. Euklidovi n dimenzionalni prostori

Definirajmo skup Rn, nN : Rn =

puta

x x x n

R R R kao direktni proizvod od n faktora skupa

realnih brojeva, tj. Rn = {( 1, 2, ..., n) : iR, i = 1, 2, ..., n} pri emu svaki element ili taka

x Rn predstavlja ureenu n torku ili n slog :

x = ( 1, 2, ..., n).

Brojevi 1, 2, ..., n su koordinate take x.

U skupu Rn definira se unutranja (binarna) operacija + (koju zovemo zbrajanje ili sabiranje)

kao preslikavanje Rn x R

n Rn, koja je definirana formulom:

x + y = ( 1, 2, ..., n) + ( 1, 2, ..., n) = ( 1 + 1, 2 + 2, ..., n + n), gdje je x = ( 1, 2, ..., n) i y = ( 1, 2, ..., n); x i y su proizvoljni elementi iz Rn.

Lako se vidi da ureeni par (Rn, +) predstavlja komutativnu grupu sa neutralnim elementom 0 nR =

= 0 = (0, 0, ..., 0) i inverznim elementom x = ( 1, 2, ..., n) za element x = ( 1, 2, ..., n).

U skupu Rn se definira i spoljanja kompozicija puta " " koju zovemo mnoenje realnim

brojevima elemenata iz Rn i to kao preslikavanje R

n x R

n Rn definirano formulom:

( 1, 2, ..., n) = ( 1, 2, ..., n) = ( 1, 2, ..., n), gdje su R i x = ( 1, 2, ..., n) Rn proizvoljni elementi.

Lako se provjeri da je algebarska struktura (Rn, +, ) vektorski prostor nad poljem realnih brojeva

R. Elemente iz Rn, tj. ureene n torke x : = ( 1, ..., n), zovemo vektori iz prostora Rn.

U prostoru Rn uvodi se i operacija skalarni proizvod kao preslikavanje: R

n x R

n R koje

ureenom paru vektora x = ( 1, 2, ..., n) i y = ( 1, 2, ..., n) pridruuje realan broj kojeg oznaavamo sa (x ; y) (ili sa (x | y) ) a definiran je formulom:

(x ; y) = 1

n

i i

i

R. (0.3.1)

Lako se vidi da vae sljedee osobine skalarnog proizvoda definiranog formulom (0.3.1):

(U 1) (x ; x) 0 ;

(U 2) (x ; x) = 0 x = 0 nR ( 0 nR - neutralni element u prostoru Rn) ;

(U 3) (x ; y) = ( y ; x) (osobina simetrije) ;

(U 4) (x1 + x2 ; y) = (x1 ; y) + (x2 ; y) (osobina aditivnosti);

(U 5) ( x ; y) = (x ; y) (osobina homogenosti), gdje su x, y, x1, x2 R

n i R proizvoljni elementi.

Napomenimo da se skalarni proizvod moe definirati i na proizvoljnom vektorskom prostoru. U

tom smislu imamo sljedeu definiciju:

Definicija 0.3.1. Unitarnim ili prethilbertovim realnim prostorom naziva se realni vektorski

prostor X s preslikavanjem X x X R koje svakom ureenom paru (x, y) elemenata x,y X

pridruuje broj (x ; y)R tako da vrijede gore navedena svojstva (U 1) (U 5).

12

Ovako definirano preslikavanje esto se naziva skalarnim mnoenjem ili skalarnim proizvodom/

produktom (ili unutranjim proizvodom).

Definicija 0.3.2. Unitarni prostor Rn

u kome je definiran skalarni proizvodformulom (0.3.1)

naziva se realni n dimenzionalni Euklidov (euklidski) prostor i esto se obiljeava sa En ili En.

Za dva elementa x, y unitarnog prostora X kaemo da su ortogonalni ili okomiti (normalni) ako

je (x ; y) = 0. Primijetimo da je uvijek (x ; 0) = 0 = (0 ; y), (x, y X ).

Napomenimo da se u sluaju kompleksnog vektorskog prostora X skalarni proizvod definira kao preslikavanje skupa X x X u polje kompleksnih brojeva C za koje vrijede gore navedeni uslovi (U 1),

(U 2), (U 4) i (U 5), a uslov (U 3) se zamjenjuje uslovom

(U 3)' (x ; y) = ( ; )y x ,

gdje z oznaava kompleksan broj konjugiran broju z. Osnovni primjer kompleksnog unitarnog

prostora je prostor Cn = {( 1, ..., n) : i C; i = 1, ..., n}, a standardna formula za skalarni

proizvod u Cn glasi

(x ; y) = 1

n

i i

i

, (x = ( 1, ..., n), y = ( 1, ..., n) Cn).

Za svaki vektor x unitarnog vektorskog prostora X je (x ; x) 0, pa je potpuno odreen nenegativan broj

|| x || : = ( ; )x x . (0.3.2)

Lako se vidi da je funkcija || || : X R definirana formulom (0.3.2) norma na X.

Prema tome, norma u Euklidovom prostoru Rn

zadana je formulom

|| x || = 2

1

n

i

i

, (0.3.3)

gdje je x = ( 1, 2, ..., n), a koja se naziva i kuglinom (sfernom) normom i esto oznaava sa || ||2.

Dokaimo da je formulom (0.3.2) definirana norma na X. Zaista, uslovi (N 1) i (N 2) u definiciji pojma normiranog prostora oigledno su zadovoljeni, pa samo treba dokazati da je zadovoljen i uslov

(N 3). U tom cilju navedimo bez dokaza sljedeu teoremu.

Teorema 0.3.1. (Schwarzova nejednakost)*)

. U svakom unitarnom vektorskom prostoru X

vrijedi nejednakost :

|(x ; y)| || x || || y ||, (0.3.4)

gdje su x i y proizvoljni elementi iz X, pri emu znak jednakosti vrijedi ako i samo ako su vektori x, y linearno zavisni.

Iz Schwarzove nejednakosti slijedi poznata Cauchyjeva nejednakost:

2 2

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

(0.3.5)

koja vai za proizvoljne realne brojeve 1, 2, ..., n, 1, 2, ..., n . Naime, dovoljno je primijeniti formulu (0.3.4) na vektore x = ( 1, 2, ..., n), y = ( 1, 2, ..., n) iz Euklidovog prostora Rn.

Dokaimo sada da funkcija || || : X R definiranaformulom (0.3.2) zadovoljava i uslov (N 3) u

definiciji normiranog prostora. Kako je

13

|| x1 + x2 ||2 = (x1 + x2 ; x1 + x2) = (x1 ; x1) + 2 (x1 ; x2) + (x2 ; x2) = || x1 ||

2 + 2 (x1 ; x2) + || x2 ||

2

|| x1 ||2 + 2 |(x1 ; x2)| + || x2 ||

2,

to primjenom Schwarzove nejednakosti dobijemo

|| x1 + x2 ||2 || x1 ||

2 + 2 || x1 || || x2 || + || x2 ||

2 = (|| x1 || + || x2 ||)

2,

to pokazuje da je || x1 + x2 || || x1 || + || x2 ||, tj. vriejdi (N 3).

Primijetimo da za x1 0, x2 0 u (N 3) vrijedi znak jednakosti akko postoji > 0 takav da je

x2 = x1.

Primjenom nejednakosti trougla (N 3) na Rn dobije se sljedea nejednakost za proizvoljne realne

brojeve 1, 2, ..., n, 1, 2, ..., n:

2 2 2

1 1 1

n n ni i i i

i i i

.

Iz prethodnog slijedi da je svaki realni unitarni prostor ujedno i normirani, pri emu se uvijek podrazumijeva da je norma u unitarnom prostoru zadana formulom (0.3.2). No, obrnuto ne vrijedi, jer

postoje normirani prostori u kojima se norma ne moe dobiti na opisani nain ni iz jednog skalarnog proizvoda (x ; y).

Teorema 0.3.2. U realnom unitarnom prostoru X za normu || x || = ( ; )x x vrijede jednakosti

|| x + y ||2 + || x y ||2 = 2 (|| x ||2 + || y ||2) (0.3.6)

(x ; y) = 1

4(|| x + y ||2 || x y ||2), (x, yX ). (0.3.7)

Dokaz: Iz relacija

|| x + y ||2 = (x + y ; x + y) = || x ||2 + 2 (x ; y) + || y ||2,

|| x y ||2 = (x y ; x y) = || x ||2 2 (x ; y) + || y ||2 sabiranjem dobijemo realciju (0.3.5) koja se zove jednakost paralelogramaa, a oduzimanjem

dobijemo (0.3.7).

Napomenimo da je relacija paralelograma (0.3.6) potreban i dovoljan uslov da bi normirani prostor

bio unitaran.

Definicija 0.3.3. Potpun unitaran vektorski prostor zove se Hilbertov prostor ili (kratko) H prostor.

Osim primjera (Rn, || ||2), navedimo jo neke vane primjere normiranih prostora.

Primjer 0.3.1. Ureeni par (Rn, || ||) vektorskog prostora Rn i funkcije || x || = max {|

i| :

i{1, ..., n}} je normirani vektorski prostor, jer je uslov (N 1) oito ispunjen, a vrijede i uslovi (N 2)

i (N 3) budui da je

|| x || = max {| i| : i{1, ..., n}} = | | max {| i| : i{1, ..., n}} = | | || x ||,

| i + i| | i| + | i| max {| i| : i{1, ..., n}} + max {| i| : i{1, ..., n}} = || x || + || y || , odakle je max {| i + i| : i{1, ..., n}} || x || + || y || , pa je || x + y || || x || + || y || . Primijetimo da u normiranom prostoru (R

n, || ||), n 2, ne vrijedi jednakost paralelograma

(0.3.6). Naime, ako je, npr., x = (1, 0, ..., 0), y = (0, 1, 0, ..., 0), onda je || x || = 1, || y || = 1,

__________ *)

Ova se nejednakost, pa i njeni specijalni sluajevi: Cauchyjeva nejednakost i nejednakost Bunyakovskog, zove jo i nejednakost Cauchy Schwarz Bunyakovskog (kratko: CSB ili CBS nejednakost).

14

|| x + y || = 1, || x y || = 1, pa oito nije ispunjen uslov (0.3.6). Zato u Rn ne postoji skalarni

proizvod (x ; y) takav da se ( ; )x x podudara s polaznom normom || x || .

Primjer 1.3.2. Ureen par (Rn, || ||1) vektorskog prostora Rn i funkcije || ||1 : R

n R zadane

formulom || x ||1 = 1

ni

i

, x = ( 1, ..., n) Rn, je oito normirani prostor. Za p 2 ni ova norma

nema svojstvo paralelograma (0.3.6).

Za n = 1 je R1 = R i za svaki xR je || x ||2 = || x || = || x ||1 = | x |.

Ako u vektorskom prostoru Rn ne specificiramo normu, onda emo uvijek podrazumijevati da je

taj prostor snabdjeven (euklidskom) normom || x ||2 = 2

1

ni

i

izvedenom iz skalarnog proizvoda

euklidskog prostora Rn. Naime, || || i || ||1 u R

n su ekvivalentne normi || ||2.

Jedno od bitnih svojstava prostora Rn (nN) sadrano je u sljedeoj injenici:

Svaki n dimenzionalni realni prostor Rn s metrikom d2, d ili d1 je Banachov prostor, a svaki

n dimenzionalni euklidski prostor (Rn, d2) je Hilbertov prostor.

Primjer 0.3.3. U prostoru kompleksnih brojeva C (koji se moe smatrati realnim vektorskim prostorom za koji je dim C = 2, jer kompleksni brojevi 1, i ine jednu bazu prostora C, gdje je i

imaginarna jedinica) uvodi se norma kao apsolutna vrijednost, tj. za z = +i je || z || = | z | =

= 2 2 .

Primijetimo da je i svaki potprostor Y normiranog prostora X takoe normirani prostor u odnosu na normu koja se dobije restrikcijom norme sa prostora X na Y.

Zadatak 0.3.1. Ispitati da li je (R, d), gdje je R skup realnih brojeva a d funkcija koja je definirana

formulom

||1ln),( xy eeyxd , potpun metriki prostor.

Zadatak 0.3.2.* a) Dokaite da je ( nR , d ) metriki prostor, pri emu je

d(x, y) = 2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ( )n n

za sve x : = 1 2( , , ... , )n , y : = 1 2( , , ..., )n nR ,

(R skup / svih / realnih brojeva, N skup /

svih / prirodnih brojeva, n N, nR = R x R x x R).

b) Dokaite da niz (xm) 1m

taaka xm = 1 2( , , ... , )m m m

n nR konvergira (u odnosu na metriku d )

taki x : = 1 2( , , ... , )n nR ako i samo ako niz (

k

i ) 1k

realnih brojeva k

i konvergira u

(prostoru) R ka i za svaki i = 1, ..., n (tj. da je konvergencija niza taaka u Euklidovom n-

dimenzionalnom realnom metrikom prostoru ( nR , d ) ekvivalentna konvergenciji po koordinatama u R ). _________________________ * Zadatak je bio zadan za domau zadau (DZ) iz IM2 (u prethodnim akademskim godinama).

15

c) Ustanovite da je metriki prostor ( nR , d ) potpun i separabilan i da nije kompaktan. (Za metriki prostor (X, d ) kaemo da je separabilan ako u njemu postoji prebrojiv skup A koji je svuda gust, tj.

koji ima svojstvo da za svaku taku x X i svaki 0 postoji taka a A , takva da je ( , )d x a .

Podskup A metrikog prostora je kompaktan akko svaki niz u A ima konvergentni podniz s limesom u A, tj. akko svaki niz taaka iz A ima bar jedan podniz koji konvergira ka nekoj taki skupa A.

Napomenimo da je u prostorima nR sa euklidskom metrikom kompletan/potpun skup isto to i

zatvoren, a kompaktan isto to i zatvoren i ogranien.)

Zadatak 0.3.3. Neka su funkcije d, e: N N R definirane formulama

|,|),( nmnmd nmnm

nme ,(,11

),( N).

Dokazati da:

(i) metrike d, e su ekvivalentne,

(ii) u prostoru (N, e) niz (xn ), gdje je ,nxn je Cauchyjev,

(iii) prostor (N, e) nije potpun, dok je (N, d ) potpun.

Zadatak 0.3.4. Neka je 1N N p , gdje p N i neka je funkcija 111 : NNe R definirana formulama

),((,||

),(1 nmmn

nmnme N N), n

npnenpe (,

1),(),( 11 N), .0),(1 ppe

Dokazati da:

(i) 1e je metrika na 1N ;

(ii) Prostor ( 1N , 1e ) nije diskretan;

(iii) Prostor ( 1N , 1e ) je potpun i kompaktan.

...................................

16

G L A V A 1

UVOD U ANALIZU (REALNIH) FUNKCIJA VIE (REALNIH) PROMJENLJIVIH

1.1. Funkcije vie realnih promjenljivih opta svojstva i predstavljanje

1.1.1. Pojam funkcije on n realnih promjenljivih

Definicija 1.1.1. Realna funkcija od n (nN) realnih promjenljivih je svako preslikavanje

f : X Y, gdje je X Rn, Y R.

Taka xX je ureena n torka*) x : = (x1, ..., xn), (xiR, i = 1, n ), pa je y = f (x) =

= f ((x1, ..., xn)) = f (x1, x2, ..., xn), pri emu je yY. Ovo i predstavlja objanjenje naziva realna

funkcija od n realnih promjenljivih. Tom funkcijom preslikavamo proizvoljnu taku x ije su

koordinate x1, ..., xn (R) u broj f (x1, ..., xn) (R) i esto piemo (x1, ..., xn) f (x1, ..., xn),

((x1, ..., xn) X ). Ako je n = 1, preslikavanje f predstavlja realnu funkciju jedne realne promjenljive

(mi emo, u daljnjem, ako drugaije ne bude naznaeno, pretpostaviti da je n 2).

Definicija 1.1.2. Svako preslikavanje f : X Y ; gdje je X Rn, Y Rm, pri emu za xX,

f (x) je neka ureena m torka: ( 1(x), 2(x) ..., m(x)) Y i j (x) = j (x1, ..., xn)R za j = 1, 2, ..., m, naziva se vektorskom funkcijom od n realnih promjenljivih.

Primjer 1.1.1. Funkcije definirane na realnom Euklidovom prostoru E2 formulama (x, y) x,

(x, y) y zovemo prva odnosno druga projekcija. Te se funkcije pooptavaju na realni Euklidov

prostor En (= Rn) tako da je i ta projekcija (i = 1, ..., n) zadana formulom

(x1, ..., xn) xi .

Oito da su te funkcije definirane na cijelom skupu Rn, a funkcijska vrijednost moe biti svaki realni

broj.

Graf(ik) realne funkcije f : D K od n realnih promjenljivih je skup G( f ) : = {((x1, ..., xn),

f (x1, ..., xn)) | (x1, ..., xn)D} ( D x K) i isti se esto oznaava i sa ( f ), Gf i dr.

Funkcije dvije ili vie promjenljivih mogu biti zadane formulom (analitikim izrazom), tablino, grafiki i dr. Ako je realna funkcija f od n realnih promjenljivih zadana eksplicitnom formulom, onda se (ako

drugaije nije potpuno specificirano / naznaeno) pod domenom D( f ) obino podrazumijeva

prirodni domen, tj. skup svih taaka (x1, ..., xn)Rn za koje svaki od izraza u toj formuli ima smisla

(uzima realnu / konanu / i odreenu vrijednost) i koji zadovoljava, eventualno, postavljene uslove, a pod kodomenom se uvijek podrazumijeva skup R (ili, ako je u datom sluaju od interesa sirjektivnost funkcije f, pod kodomenom se podrazumijeva skup Im( f ), tj. skup svih vrijednost funkcije f ), osim

kada se posebno istakne drugaije.

Grafik G( f ) realne funkcije z = f (x, y) dviju realnih promjenljivih x, y je skup svih taaka

X (x, y, z) R3 koje zadovoljavaju sljedee uslove:

( i ) Svaka taka X (x, y, z) tog skupa ima apscisu i ordinatu koje predstavljaju koordinate neke

take M(x, y)D( f ) i ima aplikatu z = f ( M );

________________ *)

Umjesto f : X Y, esto se pie f : D K, ili f : D R ako je K R. Takoe, umjesto x : = (x1, ..., xn), piemo X : = (x1, ..., xn) ili T : = (x1, ..., xn)

17

( ii ) Svaka taka X (x, y, z) R3 za koju taka M(x, y) pripada domenu D( f ), a aplikata je

jednaka vrijednosti funkcije f u taki M, pripada grafiku funkcije f.

Dakle, geometrijski (grafiki) se funkcija (x, y) z = f (x, y) predstavlja (predouje) s povri u prostoru R

3 (sl. 1.1.1). No, analogno kao i u sluaju funkcija jedne promjenljive, ne moe se ni svaka

realna funkcija dviju realnih promjenljivih grafiki predstaviti. Funkcija z = f (x, y) esto se grafiki prikazuje i pomou nomograma ili pomou nivo linija.

Nivo linije ili nivoske linije ili izolinije (izoterme, izobare,

ekvipotencijalne linije, ekviskolarne linije i sl.) funkcije f su krive

(odnosno, skupovi taaka) zadane jednainama z = f (x, y), z = C

(CR). Projekcija nivo linija na ravan Oxy su krive zadane

jednainom *)

f (x, y) = C (CR).

Du svake krive f (x, y) = C1, f (x, y) = C2, ..., gdje su C1, C2, ...

realne konstante, skalar z ostaje konstantan i mijenja se samo pri

prelazu take (x, y) s jedne krive na drugu. Mjesta gdje se takve uzastopne krive pribliavaju, pokazuju da se tu funkcija f bre mijenja. Pomou ovih krivih moe se

ispitati oblik povri date jednainom z = f (x, y). Na mjestima gdje su krive guste, povr ima vei pad, a na mjestima gdje su rijetke, povr ima manji pad. Metod(a) reprezentiranja realne funkcije f od dvije realne promjenljive pomou (projekcija) nivookih linija u ravni(ni) sastoji se u sljedeem: zada

se nekoliko realnih brojeva C1, C2, ... i nacrtaju krive (u ravni Oxy)

f (x, y) = C1, f (x, y) = C2, ...

Realna funkcija od tri i vie realnih promjenljivih predstavlja se najzgodnije nomogramom. Funkcija u = f (x, y, z) moe se predstaviti i nivo povrima (nivoskim povrima, ekviskalarnim

povrima): u = f (x, y, z), u = C (R). Za razne vrijednosti realnog parametra C dobijemo razne

nivo povri, koje predouju kako se mijenja vrijednost funkcije ako se mijenjaju nezavisne

promjenjljive x, y, z. Ako su negdje u prostoru nivo povri (numerisane u jednakim razmacima za vrijednosti od u) guste (rijetke), znai da e se tamo vrijednost od u mijenjati naglo (sporo) ako se vrijednosti od x, y, z mijenjaju tako kako to odgovara pomjeranju take (x, y, z) u smjeru normalnom

na nivo povr na tom mjestu.

Napomenimo da se realna funkcija od tri i vie realnih promjenljivih ne moe geometrijski

predoiti (predstaviti), jer se za n 3 ne moe dati odgovarajua geometrijska interpretacija

Euklidovog prostora Rn+1, ve se u takvim sluajevima odgovarajui problemi analiziraju analitiki

na osnovu definicije prostora Rm.

Primjer 1.1.2. Odrediti nivo linije (nivo skupove) i nacrtati grafik realne funkcije f dviju realnih promjenljivih zadane formulom

f (x, y) = 2 2x y .

Rjeenje: Nivo linije funkcije z = f (x, y) zadane su jednainama

z = f (x, y), z = C (R).

Njihove projekcije na ravan Oxy imaju jednainu f (x, y) = C (CR), odnosno, u posmatranom

sluaju te projekcije su zadane sa

2 2x y = C (C [0, +)), jer se za C < 0 dobije prazan skup.**)

_________ *)

Ponekad se na ovaj nain definira pojam nivo linije. **)

Potekoe koje nastaju u vezi sa definicijom krive, odnosno povri, kao i uslova za funkciju f, pa da jednaina f (x, y) = C (odnosno f (x, y, z) = C ) definira krivu (odnosno povr), mogu se u definiciji pojmova nivo linija (odnosno nivo povri) izbjei upotrebom termina nivo skup umjesto nivo linija (odnosno nivo povri) i, dalje, upotrebom termina skup umjesto naziva krivih (odnosno povri).

z

z = f (x ,y)

X(x,y,z)

0

y

M x

Slika 1.1.1.

18

Kako je

2 2x y =

2 2

2 2 2

2 2 2 2

0, za 1,

1, za 1 2 ,

2, za 2 3 ,

x y

x y

x y

to za C = 0 projekcija nivo skupa na ravan Oxy je otvoreni krug zadan nejednainom x2 + y2 < 1;

za C = 1 projekcija nivo skupa na ravan Oxy je prsten zadan formulom 1 x2 + y2 < 4, dok za C

= 2 projekcija nivo skupa na ravan Oxy predstavlja prsten zadan sa 4 x2 + y2 < 9, itd. (sl. 1.1.2).

Na osnovu toga, zakljuujemo da je grafik zadane funkcije amfiteatar sa beskonano mnogo

stepenica (sl. 1.1.3).

Zadatak 1.1.1.* Odredite i grafiki prikaite nivoske linije i skicirajte grafik funkcije f iz R2 u R

zadane formulom f (x, y): = 2 2

1

2 4x x y .

Zadatak 1.1.2.*Neka je zadana realna funkcija f od dvije realne promjenlji formulom3 3( , ) : .f x y x y

a) Odredite i geometrijski predstavite prirodni domen Dom( f ) . b) Ustanovite osnovna svojstva (ogranienost, povezanost, konveksnosat, otvorenost /zatvorenost) skupa Dom( f ). (Za podskup A metrikog prostora X kaemo da je povezan ako je povezan kao potprostor od X, tj.

ukoliko ne postoje neprazni otvoreni podskupovi U, V X takvi da je AU V i (U V ) A . Podskup Y ureenog skupa (X,