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Première STMG
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Suites numériques
Suites numériques Première STMG
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Chapitre 3 : Suites numériques ................................................................................................................................ 2
1 Introduction ....................................................................................................................................................... 2
1.1 Activité 1 .................................................................................................................................................... 2
1.2 Activité 2 .................................................................................................................................................... 2
2 Modes de génération d’une suite .................................................................................................................... 4
2.1 Suite numérique ......................................................................................................................................... 4
2.2 Suite donnée par l’expression de un en fonction de n ........................................................................... 5
2.3 Suite donnée à l’aide d’une relation de récurrence .............................................................................. 5
3 Sens de variation d’une suite ........................................................................................................................... 6
4 Suites arithmétiques .......................................................................................................................................... 7
4.1 Définition .................................................................................................................................................... 7
4.2 Sens de variation d’une suite arithmétique ............................................................................................. 7
4.3 Représentation graphique d’une suite arithmétique.............................................................................. 8
5 Suites géométriques.......................................................................................................................................... 8
5.1 Définition .................................................................................................................................................... 8
5.2 Sens de variation d’une suite géométrique............................................................................................. 9
5.3 Représentation graphique d’une suite arithmétique............................................................................ 10
6 Exercices ......................................................................................................................................................... 11
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Chapitre 3 : Suites numériques
1 Introduction
1.1 Activité 1
1.2 Activité 2
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2 Modes de génération d’une suite
2.1 Suite numérique
Définition : Une suite numérique est une fonction de
Dans l’activité 2, à tout nombre entier naturel (positif) on associe un nombre réel :
0 C0 : le capital de départ
1 C1 : le capital disponible au bout de 1 an,
2 C2 : le capital disponible au bout de 2 ans,
3 C3 : le capital disponible au bout de 3 ans,
…
n Cn : le capital disponible au bout de n années,
Notations et vocabulaire:
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2.2 Suite donnée par l’expression de un en fonction de n
Soit (un) la suite définie sur par :
un = 2n + 1.
u0 = 2 x 0 + 1 = 1
u1 = 2 x 1 + 1 = 3
…
u100 = 2 x 100 + 1 = 201
…
u222 = 2 x 222 + 1 = 445
…
Nous retrouvons la liste A de
l’activité 1.
On peut calculer directement
n’importe quel terme de la suite.
On peut également représenter
graphiquement cette suite dans
un repère orthonormé (O ; ⃗ ; )
2.3 Suite donnée à l’aide d’une relation de récurrence
Exemple 1 :
Reprenons la liste A : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; …
Pour passer d’un terme au suivant, on rajoute 2 : nous avons donc un+1 = un + 2.
Cette relation est appelée relation de récurrence.
Exemple 2 :
Soit la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation de récurrence : un+1 = un × 3.
u1 = 3 ; u2 = 9 ; u3 = 27 ; u4 = 81 ; u5 = 243
On retrouve la liste B de l’activité 1.
Exemple 3 :
Soit la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation de récurrence : un+1 = un + 2n + 3.
u1 =4 ; u2 = 9 ; u3 = 16 ; u4 = 25 ; u5 = 36
On retrouve la liste C de l’activité 1.
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Exemple 4 :
Soit la suite définie par son premier terme u0 = 3 et par la relation de récurrence : un+1 = un + 2n + 3.
u1 = 6 ; u2 = 11 ; u3 = 18 ; u4 = 27 ; u5 = 38
On retrouve la liste D de l’activité 1.
Lorsqu’on définit une suite par une relation de récurrence, les valeurs des termes de la suite
dépendent de sa valeur initiale.
3 Sens de variation d’une suite
Définition :
Une suite (un) est croissante sur si et seulement si pour tout n de , un+1 un.
Une suite (un) est décroissante sur si et seulement si pour tout n de , un+1 un.
Une suite (un) est constante sur si et seulement si pour tout n de , un+1 un.
Une suite monotone est une suite croissante sur ou décroissante sur .
Exemple :
La suite de la liste A étudiée dans l’activité 1 semble monotone (croissante).
Méthode :
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de un+1 – un :
Application :
u0 = 1 et un+1 = un + 2
un+1 - un = 2, donc un+1 un, la suite est bien croissante.
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4 Suites arithmétiques
4.1 Définition
Exemples :
Définition :
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au
précédent un nombre réel constant r appelé raison.
Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + r
Exemples :
Méthode :
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que un+1 – un est constant.
Cette constante est la raison r.
4.2 Sens de variation d’une suite arithmétique
Propriété : Une suite arithmétique de raison r est :
- croissante si r > 0 ;
- décroissante si r < 0 ;
- constante si r = 0.
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4.3 Représentation graphique d’une suite arithmétique
Propriété : La représentation graphique d’une suite arithmétique (un) dans un repère du
plan est constitué des points alignés de coordonnées (n ; un)
Exemple :
Construire la représentation graphique de la suite arithmétique de premier terme U0 = 15 et de
raison − 2.
5 Suites géométriques
5.1 Définition
Exemples :
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Définition :
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le
précédent par une constante q appelé raison.
Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un × q
Exemples :
Méthode :
Pour montrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que
est constant. Cette
constante est la raison q.
5.2 Sens de variation d’une suite géométrique
Propriété : Une suite géométrique de raison r est :
- croissante si q > 1 ;
- décroissante si 0 < q < 1 ;
- constante si q = 1.
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5.3 Représentation graphique d’une suite géométrique
Exemple :
Construire la représentation graphique de la suite (un) de terme général un = 2n , puis de la suite
(vn) de terme général un = 0,2n
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6 Exercices Exercice 1 :
On définit la suite (un) par une relation de la forme un = f (n) . Déterminer u0, u1, u2, u3 et u4. Arrondir
éventuellement à 10-2.
a. Pour n ∈ , un = 2 – 3n ; c. Pour n ∈ , un = (0,2)n ;
b. Pour n ∈ , un = (1,02)n ; d. Pour n ∈ , un =
.
Exercice 2 :
Même énoncé :
a. Pour n ∈ , un = – 2n + 4 ; c. Pour n ∈ , un = 100(0,9)n ;
b. Pour n ∈ , un = 3(1,1)n ; d. Pour n ∈ , un =
.
Exercice 3 :
(un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Dans chacun des cas suivants, Calculer u1, u2, u3,
u4 et u5.
a. u0 =
et r =
; b. u0 = 0,36 et r = ; c. u0 = 1 000 et r = ;
Exercice 4 :
u3 = et r = . Calculer u0.
Exercice 5 :
u4 = et r = . Calculer u0.
Exercice 6 :
a. u2 = et u4 = 30. Calculer r et u0.
b. u2 = et u4 = 118. Calculer r et u0.
Exercice 7 :
La suite arithmétique (un) est définie par : u0 = − 2 et pour tout entier n de , un+1 = un + 2.
1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
2) Représenter graphiquement la suite (un) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).
3) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
Exercice 8 :
La suite arithmétique (un) est définie par : u1 = 2 et pour tout entier n de , un+1 = un −
.
1) Calculer u2, u3, u4 et u5.
2) Représenter graphiquement la suite (un) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).
3) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
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Exercice 9 :
La suite arithmétique (Cn) est définie par : C1 = 5 000 et la raison r = − 500.
1) Ecrire les six premiers termes de la suite arithmétique (Cn).
2) Déterminer l’entier naturel n tel que Cn =
C1.
3) Déterminer le sens de variation de la suite (Cn).
Exercice 10 :
On donne la suite arithmétique (un) définie par son premier terme u0 et une relation de récurrence. Dans chaque
cas, représenter graphiquement la suite (un) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm) et déterminer son sens de
variation.
1) u0 = 2 ; un+1 = un – 2.
2) u0 = 0 ; un+1 = un + 3.
3) u0 = – 1 ; un+1 – un =
.
Exercice 11 :
La figure ci-contre donne la représentation graphique
d’une suite arithmétique (un) de premier terme u0
et de raison r.
1) Déterminer graphiquement u0 et r.
2) Calculer u10.
3) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
Exercice 12 :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 256 et de raison q =
.
Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
Exercice 13 :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. Dans chacun des cas suivants, calculer u1, u2, u3,
u4 et u5.
1) u0 = 1,5 et q = 2.
2) u0 = 10 000 et q = 1,1.
3) u0 = 5 000 et q = 1,03, pour u2, u3, u4 et u5, donner le résultat arrondi à l’unité.
4) u0 = 1 000 et q = 0,9.
Exercice 14 :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
u0 = 1,5 et q = 1,022 5. Déterminer la valeur approchée arrondie à 10-2 de u5.
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Exercice 15 :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
u3 = 24 et q =
. Calculer u0.
Exercice 16 :
(un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.
1) u3 = 51 200 et q = 0,8. Calculer u0.
2) U4 = 20 736 et q = 1,2. Calculer u0.
Exercice 17 :
(un) est une suite géométrique de raison q. u2 = 4 et u4 =
. Calculer q.
Exercice 18 :
Démontrer que 50 000, 48 000, 46 080 peuvent être dans cet ordre, les trois premiers termes u0, u1 et u2 d’une suite
géométrique dont on précisera la raison.
Calculer u5 . Arrondir à 10-2.
Exercice 19 :
Pour chacune des suites suivantes, indiquer s’il s’agit des premiers termes d’une suite arithmétique ou d’une suite
géométrique. Donner la raison.
a) – 45 ; – 30 ; – 15 ; 0.
b) 11 ; 121 ; 1 331 ; 14 641.
c) 1 000 ; 1 050 ; 1 102,5 ; 1 157,625.
d) 500 ; 523,75 ; 547,50 ; 571,25.
Exercice 20 :
La suite (un) est définie par un+1 =
un .
1) Calculer u1, u2, u3 et u4.
2) Représenter graphiquement la suite (un) dans un repère orthogonal.
3) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
Exercice 21 :
La suite géométrique (un) est définie par u1 =
et pour tout entier n de * : un+1 = un.
1) Calculer u2, u3 et u4.
2) Représenter graphiquement la suite (un) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).
3) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
Exercice 22 :
La suite géométrique (vn) est définie par v0 = 1 000 et pour tout entier n de * : vn+1 = vn.
1) Calculer v1, v2, v3 et v4.
2) Déterminer le plus petit nombre entier n tel que vn 2v0
3) Déterminer le sens de variation de la suite (vn).
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Exercice 23 : Exercice 24 :
Exercice 25 : Exercice 26 :
Exercice 26 : Exercice 26 :
Exercice 27 : Exercice 26 :