1/16 - chap.1 : suites arithmétiques

1/16 - Chap.1 : Suites arithmétiques

Chap.1 : Suites arithmétiques

Objectifs du chapitre :C1.a - Savoir montrer qu’une suite est arithmétique.C1.b – Savoir exprimer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de n et effectuer des calculs.C1.c - Savoir prouver que trois nombres sont ou ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique.C1.d – Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.C1.e – Savoir reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Activité d’approche n°1Exercice n°1 :

Voici les premiers termes de suites « logiques » de nombres :a. u : 4 ; 7 ; 10 …b. v : 5 ; 6 ; 7,2…

c. w : 2 ; 6 ; 18…d. x : 5 ; -1 ; -7…

Compléter ces listes jusqu’au huitième terme et exprimer le processus de fabricationde ces suites.

Exercice n°2 :

Soit (un) une suite définie pour tout entier naturel n par : un = 12 n +

53 . Calculer u0 ,

u2 et u10.Exercice n°3 :

Soit (un) une suite définie pour tout entier naturel n par : { u0=3un+1=−2un+5

. Calculer u1

, u2 et u4.Exercice n°4 :

Au mois de novembre 2015, l’imprimerie Farfarelli imprime 2 100 livres. Le directeur décide d’augmenter les cadences. Il demande à ses employés d’imprimer 50 livres de plus chaque mois par rapport au mois précédent. Modéliser la situation et déterminer le nombre de livres imprimés en mai 2016.

Exercice n°5 :Les trois nombres suivants sont-ils les termes d’une suite arithmétique ? Justifier.a) 6; 13; 21 b) 1; -4; -9

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Les parties écrites dans ce type de cadre contiennent des informations sur la méthode d’enseignement et le rôle de chaque partie. Il est vivement conseillé de les lire.Déjà, deux informations importantes :1. Tous les cours, avec les notes manuscrites, sont mis en ligne chaque soir, sur https://scolamath.wordpress.com 2. Tous les numéros d’exercices font référence au manuel Magnard de première, consultable gratuitement, sur https://manuel.sesamath.net


Exercice n°6 :Pour s’acheter une trottinette électrique, Delphine a une somme initiale de 50 euros et économise chaque mois les 75 euros qu’elle gagne en donnant des cours. On appelle un le montant en euros disponible la nième semaine. 1) Que est la nature de la suite (un) ?2) Quel lien existe-t-il entre un et n ?3) En déduire l’argent disponible à la fin de la première année d’économie.

Exercice n°7 :On considère une suite arithmétique (un) telle que u10 = 13 et u12 = 18. Calculer u11.Plus généralement, si on connaît un et un+2, comment calculer un+1 ?

Exercice n°8 :Des travaux sont entamés pour rechercher une nappe d’eau souterraine repérée par un spécialiste du désert. Une entreprise donne l’estimation suivante du coût du forage : le forage du premier mètre coûte 130 euros, le forage du deuxième mètre coûte 52 euros de plus que celui du premier mètre, le forage du troisième mètre coûte 52 euros de plus que celui du deuxième mètre…Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 52 euros de plus que celui du mètre précédent. Pour tout entier n 1, on note : un le coût du forage du nième mètre en euros.Combien coûte le forage de 5 mètres ? de 50 mètres ?

Exercice n°9 :On considère la suite arithmétique (un) dont chaqueterme s’obtient grâce à l’algorithme suivant : 1. Préciser le premier terme u0 et la raison. 2. En déduire la formule explicite de un .

Cours n°1 : Suites arithmétiques

C1.a - Savoir montrer qu’une suite est arithmétique.C1.b – Savoir exprimer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de n et effectuer des calculs.C1.c - Savoir prouver que trois nombres sont ou ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Définition n°1 : Moyenne arithmétique

Soient a et b deux nombres. La moyenne arithmétique de ces deux nombres est donnée par la formule : ……………………………………………

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- Le cours est composé de définitions et de propriétés qui sont à apprendre par coeur (d'où le coeur).- Il est aussi constitué d'exemples qui, aux nombres près, seront exactement les exercices des "se tester" (cf plus loin), des "entrainements" (idem) et des interrogations hebdomadaires. Il faut donc également savoir les faire (d'où le coeur), de mémoire.- Par défaut, la calculatrice est INTERDITE .


……………………………………………………………………………………….

Définition n°2 : Suite arithmétiques

Une suite (un) est dite arithmétique s’il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, ………………………………………………………..(un terme s’obtient à partir du précédent en …………………… toujours le ……………… nombre)Le réel r s’appelle la ……………………. de la suite arithmétique.

C1.a - Savoir montrer qu’une suite est arithmétique :Exemple n°1 :

Pour s’acheter une trottinette électrique, Sarah a une somme initiale de 20 euros et économise chaque semaine les 30 euros qu’elle gagne en faisant du babysitting. Pour tout entier naturel n, on note un la somme économisée, exprimée en euros, après n semaines. 1. Montrer que cette suite (un) est arithmétique.2. Déterminer sa raison.3. Déterminer son premier terme.

Propriété n°1 : Expression d’une suite arithmétique en fonction de n Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 .Alors, pour tout entier n :un = ………………………….

C1.b – Savoir exprimer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de n et effectuer des calculs :Exemple n°2 :

a. On reprend l’exemple n°1. Déterminer quand Sarah pourra s’acheter sa trottinette électrique sachant qu’elle coûte 850 euros.

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b. (vn) est une suite arithmétique de raison -3, et telle que v3 =-7. Calculer v100.

C1.c - Savoir prouver que trois nombres sont ou ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique.Exemple n°3 :

Les nombres −13

, – 25

et - 23

sont-ils les termes consécutifs d’une suite

arithmétiques ?

FIN du cours n°1

Entraînement n°1 :

Objectif : Savoir Objectif : C1.a – Savoir déterminer, à partir de la forme canonique, l’axe de symétrie et le sommet de la courbe représentative d’un polynôme du second degré.Objectif : C1.b – Savoir exprimer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de n et effectuer des calculs.Objectif : C1.c - Savoir prouver que trois nombres sont ou ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 :

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Chaque section est structuré de la même manière : - Une activité d’approche (pour découvrir la notion)- Le cours avec les exemples.- Les « Se tester » (qui annoncent les contenus des interrogations hebdomadaires).- Les exercices supplémentaires.Un chapitre contient deux ou trois sections, suivies d’exercices de synthèse.


Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°2 :Compléter :Définition n°2 : Suite arithmétiques


(Se tester C1.1) - Exercice n°1 (Calculatrice INTERDITE ) [/3] Pour s’acheter une trottinette électrique, Sarah a une somme initiale de 60 euros et économise chaque semaine les 10 euros qu’elle gagne en faisant du babysitting.Pour tout entier naturel n, on note un la somme économisée, exprimée en euros, après n semaines. 1. Montrer que cette suite (un) est arithmétique.2. Déterminer sa raison.3. Déterminer son premier terme.

(Se tester C1.1) - Exercice n°2 (Calculatrice INTERDITE ) [/2] a. On reprend l’exercice précédent. Déterminer quand Sarah pourra s’acheter sa trottinette électrique sachant qu’elle coûte 850 euros. b. (vn) est une suite arithmétique de raison -4, et telle que v3 =-9. Calculer v100.

(Se tester C1.1) - Exercice n°3 (Calculatrice INTERDITE ) [/2]

Les nombres 9 ; −23

; −79

sont-ils les termes consécutifs d’une suite géométrique ?

Indices et résultats du se tester C1.1

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Chaque section est structuré de la même manière : - Une activité d’approche (pour découvrir la notion)- Le cours avec les exemples.- Les « Se tester » (qui annoncent les contenus des interrogations hebdomadaires).- Les exercices supplémentaires.Un chapitre contient deux ou trois sections, suivies d’exercices de synthèse.

- TOUS les « Se tester » et TOUS les exercices sont suivis des résultats (ce ne sont pas les solutions). Pour les « Se tester » suivants, ils seront sur la page suivante).Ceci permet de savoir si on a juste ou faux, sans avoir la correction.Si vous êtes en classe, et que votre résultat est faux, refaites une fois l’exercice. Si vous avez à nouveau faux, appelez le professeur.- À noter qu’on attend de vous une rédaction et un raisonnement, pas seulement des résultats (c'est pourquoi ils sont fournis). Un exercice dans lequel ne figure que les résultats est considéré comme un travail non fait et est sanctionné par le cours correspondant à copier plusieurs fois.


1 er ex : 1. Réponse donné. ( Indication : la somme gagnée chaque semaine est ….) 2. 10 3. 602 ème ex : a. n = 14. b. -3973 ème ex : Non

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1 Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 :

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°2 :Compléter :Définition n°2 : Suite arithmétiques


(Se tester C1.1) - Exercice n°4 (Calculatrice INTERDITE ) [/3] Pour s’acheter une trottinette électrique, Sarah a une somme initiale de 80 euros et économise chaque semaine les 10 euros qu’elle gagne en faisant du babysitting.Pour tout entier naturel n, on note un la somme économisée, exprimée en euros, après n semaines. 1. Montrer que cette suite (un) est arithmétique.2. Déterminer sa raison.3. Déterminer son premier terme.

(Se tester C1.1) - Exercice n°5 (Calculatrice INTERDITE ) [/2] a. On reprend l’exercice précédent. Déterminer quand Sarah pourra s’acheter sa trottinette électrique sachant qu’elle coûte 850 euros. b. (vn) est une suite arithmétique de raison -4, et telle que v3 =-8. Calculer v100.

(Se tester C1.1) - Exercice n°6 (Calculatrice INTERDITE ) [/2]

Les nombres −23

; −1924

; 253

sont-ils les termes consécutifs d’une suite

géométrique ?

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- TOUS les « Se tester » et TOUS les exercices sont suivis des résultats (ce ne sont pas les solutions). Pour les « Se tester » suivants, ils seront sur la page suivante).Ceci permet de savoir si on a juste ou faux, sans avoir la correction.Si vous êtes en classe, et que votre résultat est faux, refaites une fois l’exercice. Si vous avez à nouveau faux, appelez le professeur.- À noter qu’on attend de vous une rédaction et un raisonnement, pas seulement des résultats (c'est pourquoi ils sont fournis). Un exercice dans lequel ne figure que les résultats est considéré comme un travail non fait et est sanctionné par le cours correspondant à copier plusieurs fois.



1 er ex : 1. Réponse donné. ( Indication : la somme gagnée chaque semaine est ….) 2. 10 3. 802 ème ex : a. n = 11. b. -3963 ème ex : Non

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1Interrogation n°1 :

Objectif : Savoir Objectif : C1.a - Savoir montrer qu’une suite est arithmétique.Objectif : C1.b – Savoir exprimer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de n et effectuer des calculs.Objectif : C1.c - Savoir prouver que trois nombres sont ou ne sont pas les termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Se tester : Entraînement : Interrogation :

Activité d’approche n°2 : la notation « sigma » : Σ

Lorsque l’on souhaite faire la somme de nombreux termes, on utilise le symbole grec

Σ qui se lit « sigma ».

Par exemple, si (un) est une suite numérique de premier terme u0 et que l’on souhaite calculer la somme de ses 5 premiers termes, alors il faut effectuer le calcul suivant : u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5

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Les exemples du cours, les entraînements, les « Se tester », et les Interrogations sont identiques, aux valeurs près :


Avec le symbole Σ, cette somme s’écrit :

u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = ∑k=0

5

uk

Et se lit « somme des uk pour k allant de 0 à 5 », k parcourt tous les entiers entre 0 et 5.

Exercice n°1 :

Écrire à l’aide du symbole Σ, les sommes suivantes :

a. A = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7.b. B = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + … ...+ u13 + u14. c. C = u6 + u7 + u8 + u9 + … ...+ u131 + u132.

Exercice n°2 :Écrire sous forme développée les sommes :

a. ∑k=0

5

uk

b. ∑m=1

9

um

c. ∑i=3

7

ui

Exercice n°3 :1. Recopier et remplir le tableau suivant :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

2k + 3 …. …. …. …. …. …. …. …. ….

2. Calculer ∑k=0

8

2 k+3.

Exercice n°4 :

Calculer ∑j=0

5

j ( j+1 ).

Cours n°2 : Somme de termes d’une suite arithmétique

C1.d – Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.C1.e – Savoir reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Définition n°1 : Notation sigma

u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … … + un – 1 se note …………………………

Propriété n°1 : Somme de termes d’une suite arithmétiques

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.La somme Sn des n premiers termes de la suite un est obtenue par :

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Sn = ……………………….. = …………………… ...

… .. =

n…………………………….× (p……………………………….. +d……………………………………..)

2

C1.d – Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.Exemple n°1 :

On considère une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme -3. Calculer la somme des 30 premiers termes de cette suite.

C1.e – Savoir reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.Exemple n°2 :

Des travaux sont entamés pour rechercher une nappe d’eau souterraine repérée par un spécialiste du désert. Une entreprise donne l’estimation suivante du coût du forage : le forage du premier mètre coûte 130 euros, le forage du deuxième mètre coûte 52 euros de plus que celui du premier mètre, le forage du troisième mètre coûte 52 euros de plus que celui du deuxième mètre…Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 52 euros de plus que celui du mètre précédent. Combien coûte un forage de 50 mètres ?

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Usage de la calculatrice à travers un exemple :

CASIO :

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TEXAS :

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FIN du cours n°2 Premier ‘Se tester’ du cours n°2 :

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°3 :Compléter :

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Propriété n°1 : Expression d’une suite arithmétique en fonction de n Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 .Alors, pour tout entier n :un = ………………………….

(Se tester C1.2) - Exercice n°7 [/3] On considère une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 3. Calculer la somme des 35 premiers termes de cette suite.

(Se tester C1.2) - Exercice n°8 [/2] Des travaux sont entamés pour rechercher une nappe d’eau souterraine repérée par un spécialiste du désert. Une entreprise donne l’estimation suivante du coût du forage : le forage du premier mètre coûte 174 euros, le forage du deuxième mètre coûte 56 euros de plus que celui du premier mètre, le forage du troisième mètre coûte 56 euros de plus que celui du deuxième mètre…Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 56 euros de plus que celui du mètre précédent. Combien coûte un forage de 56 mètres ?


1 er ex : La somme des 35 premiers termes vaut 2485.2 ème ex : Un forage de 56 mètres coûte 3254 euros.

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2 Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 :

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :Savoir n°3 :Compléter :Propriété n°1 : Expression d’une suite arithmétique en fonction de n Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 .Alors, pour tout entier n :un = ………………………….

(Se tester C1.2) - Exercice n°9 [/3] On considère une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme -1. Calculer la somme des 39 premiers termes de cette suite.

(Se tester C1.2) - Exercice n°10 [/2] Des travaux sont entamés pour rechercher une nappe d’eau souterraine repérée par un spécialiste du désert. Une entreprise donne l’estimation suivante du coût du forage : le forage du premier mètre coûte 190 euros, le forage du deuxième mètre coûte 57 euros de plus que celui du premier mètre, le forage du troisième mètre coûte 57 euros de plus que celui du deuxième mètre…Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 57 euros de plus que celui du mètre précédent. Combien coûte un forage de 43 mètres ?


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1 er ex : La somme des 39 premiers termes vaut 4407.2 ème ex : Un forage de 43 mètres coûte 2584 euros.

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2Interrogation n°2 :

Objectif : Savoir Objectif : C1.d – Savoir calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.Objectif : C1.e – Savoir reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

Exercices de synthèse :

Exercice n°11

Exercice n°12

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Exercice n°13

Exercice n°14

Résultats des exercices de synthèse :1 er ex : 1. v2 = 39, v3 = 48. S3=117. 2. Réponse donnée. 3. vn = 21 + 9n. 4. 2 310 km.2 eme ex : 1. u1 = 115, u2 = 120, S3 =345. 2. Réponse donnée. 3. un = 110 + 5n 4. 2 360€.3 ème ex : 1. 200 2. réponse donnée ; 200 3. 5000+200n 4. 6000.4 ème ex : 1. 0,25% 2.a. réponse donnée ; 5. b. 2000+5n ; 2 035.

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