Persamaan Garis Dan Bidang Di R3

Oleh : Arman Setyawan

( 12.01.044 )Taufiqul Hakim ( 12.01.036 )

Teknik Perminyakan Reg A

Definisi Dalam ruang ( R3 ) dinyatakan dengan sebuah vektor yang mempunyai 3 buah sumbu yaitu x, y, z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal

Hasil Kali Silang Antara ( u ) Dan ( v )

dimana i, j, dan k merupakan vektor - vektor satuan dalam R3

Contoh SoalJika u=(2, 3, -1) dan v=(-4, 2, 8), tentukan u x v dan v x u.

Bahwa u x v = - (v x u)

Sifat – Sifat Hasil Kali Silang1. u.(u x v) = 02. v.(u x v) = 03. u x v = -(v x u)4. u x (v+w) = (u x v) + (u x

w)5. (u + v) x w = (u x w) + (v x

w)6. k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)7. u x 0 = 0 x u = 08. u x u = 0

Bidang Ruang Pada Dimensi 3• Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat

ditentukan jika kemiringan dan salah satu titik yang terletak pada bidang tersebut diketahui.

• Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat digambarkan dengan menggunakan suatu vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang.

x

y

z

n

..

Persamaan Bidang Pada Ruang Dimensi 3

( a, b, c ) . ( x-x0, y-y0, z-z0) = 0

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 --- --- (i)

Persamaan (i) disebut sebagai bentuk NORMAL – TITIK dari persamaan suatu bidang

Misalkan n =(a,b,c) adalah vektor normal dari bidang yang melewati titik P0(x0,y0,z0) dan P(x,y,z) dimana P0P adalah vektor ortogonal terhadap n

P0P .n = 0x

y

z

n

..P(x,y,z)

P0(x0,y0,z0)

Contoh Soal

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik Po ( 2, -3, 1 ) dan tegak lurus terhadap vektor n = ( 2, 1, 4 )Penyelesaian :Berarti vektor Po P tegak lurus terhadap vektor n, sehingga

( a, b, c ).( x-x0, y-y0, z-z0)

( 2, 1, 4 ).( x – 2, y + 3, z – 1 ) = 02 (x – 2 ) + 1 ( y + 3 ) + 4 (z – 1 ) = 02x + y +4z – 4 + 3 -4 = 0 2x + y + 4z – 5 = 0

Persamaan Garis Pada Ruang Dimensi 3

Diketahui bahwa garis l melalui titik P0 dan P serta sejajar dengan vektor v. Jika terdapat suatu skalar T, maka diperoleh persamaan berikut :

P0P = t vdan;

(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc )

x-x0 = ta x = x0 + ta …..(i) y-y0 = tb y = y0 + tb …..(ii)

z-z0 = tc z = z0 + tc …..(iii)

persamaan (i), (ii), (iii) disebut persamaan parametrik untuk garis l

x

y

z

v =(a, b, c)

P(x,y,z)

P0(x0,y0,z0)

l

P0

P

Contoh SoalTentukan persamaan garis yang sejajar dengan vektor v = ( -2,-1, 3 ) dan melalui titik Po ( 0,2,1 )

Penyelesaian :Berarti vektor P0P sejajar dengan vektor arah v

(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc )( x - 0, y-2, z – 1 ) = ( -2t, -t, 3t )JadiX = -2t, y = 2 – t, z = 1 – 3t

Terima Kasih