Aljabar LINEAR

UIN jakarta, pendidikan matematika 2015

• DEFINISI

• HASILKALI DALAM (INNER PRODUCT) PADA SEBUAH RUANG VEKTOR REAL V ADALAH SEBUAH FUNGSI YANG MENGASOSIASIKAN SEBUAH BILANGAN REAL <U, V> DENGAN SEPASANG VEKTOR U DAN V DI DALAM V SEHINGGA AKSIOMA-AKSIOMA BERIKUT TERPENUHI BAGI SEMUA VEKTOR U, V, DAN W DI DALAM V DAN SEMUA BILANGAN SKALAR K.

1. <U, V> = <V, U> (AKSIOMA KESIMETRIAN)

2. <U + V, W> = <U, W> + <V, W>(AKSIOMA PENJUMLAHAN)

3. <KU, V> = K<U, V> (AKSIOMA HOMOGENITAS)

4. <V, V> ≥ 0 DAN <V, V> = 0 JIKA DAN HANYA JIKA V = 0 (AKSIOMA POSITIVITAS)

SEBUAH RUANG VEKTOR REAL YANG MEMILIKI SEBUAH HASILKALI DALAM DISEBUT RUANG HASILKALI DALAM REAL (REAL INNER PRODUCT SPACE)

HASILKALI DALAM

HASILKALI DALAM EUCLIDEAN PADA RN

JIKA U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . . ,VN) ADALAH VEKTOR-VEKTOR PADA RN, MAKA RUMUS

<U, V> = U . V = U₁V₁ + U₂V₂ + . . . + UNVN

MENDEFINISIKAN <U, V> SEBAGAI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN PADA RN.

HASILKALI DALAM EUCLIDEAN ADALAH HASILKALI DALAM TERPENTING PADA RN. TERDAPAT BERAGAM APLIKASI YANG DAPAT MEMODIFIKASI RUANG HASILKALI DALAM EULIDEAN DENGAN MEMBERI NILAI BOBOT YANG BERBEDA PADA SUKU-SUKUNYA.

JIKA W₁, W₂, . . . , WN ADALAH BILANGAN REAL POSITIF DAN AKAN KITA SEBUT SEBAGAI NILAI BOBOT (WEIGHT), DAN JIKA U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . . ,VN) ADALAH VEKTOR-VEKTOR PADA RN, MAKA RUMUS <U, V> = W₁U₁V₁ + W₂U₂V₂ + . . . +WNUNVN MENDEFINISIKAN SEBUAH HASILKALI DALAM PADA RN; HASILKALI DALAM INI DISEBUT SEBAGAI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN BERBOBOT DENGAN NILAI-NILAI BOBOT W₁, W₂, . . . , WN

HASILKALI DALAM EUCLIDEAN BERBOBOT

MISALKAN U =(U₁, U₂) DAN V = (V₁, V₂) ADALAH VEKTOR-VEKTOR R². BUKTIKAN BAHWA HASILKALI DALAM EUCLIDEAN BERBOBOT

<U, V> = 3U₁V₁ + 2U₂V₂

MEMENUHI KEEMPAT AKSIOMA HASILKALI DALAM.

• <U, V> = <V, U>

• JIKA W = (W₁, W₂), MAKA

<U + V, W> = 3(U₁V₁)W₁ + 2(U₂V₂)W₂

= (3U₁W₁ + 2U₂W₂) + (3V₁W₁ + 2V₂W₂)

= <U, W> + <V, W>

• <KU, V> = 3(KU₁)V₁ + 2(KU₂)V₂ = K(3U₁V₁ + 2U₂V₂) = K<U, V>

• <V, V> = 3V₁V₁ + 2V₂V₂ = 3V₁² + 2V₂²

JELASLAH <V, V> = 3V₁² + 2V₂² ≥ 0 DAN <V, V> = 3V₁² + 2V₂² = 0 JIKA DAN HANYA JIKA V = (V₁, V₂) = 0

PANJANG DAN JARAK DI DALAM RUANG HASILKALI DALAM

DEFINISI

JIKA V ADALAH SEBUAH RUANG HASILKALI DALAM, MAKA NORMA

(NORM) ATAU PANJANG (LENGTH) SEBUAH VEKTOR U DI DALAM V

DINOTASIKAN DENGAN ǁUǁ DAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI

ǁUǁ = <U, U>½

JARAK (DISTANCE) ANTARA DUA BUAH TITIK

(VEKTOR) U DAN V DINOTASIKAN DENGAN D(U, V)

DAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI

D(U, V) = ǁU - Vǁ

NORMA DAN JARAK PADA RNJIKA U = (U₁, U₂, . . . ,UN) DAN V = (V₁, V₂, . . . ,VN) ADALAH VEKTOR-VEKTOR PADA RN YANG MEMILIKI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN, MAKA

ǁUǁ = <U, U>½ = (U . U)½ = √U₁² + U₂² + . . . UN²

DAN

D(U, V) = ǁU - Vǁ = <U - V, V - U>½ = [U - V) . (U -

V) ]½

= √(U₁ - V₁)² + (U₂ - V₂)² + . . . (UN -

VN)²

MENGGUNAKAN HASILKALI DALAM EUCLIDEAN

BERBOBOTCONTOH:

U = (1, 0) DAN V = (0, 1) PADA R² YANG MEMILIKI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN, MAKA

ǁUǁ = √ 1² + 0² = 1

D(U, V) = ǁU - Vǁ = √ ǁ(1, -1)ǁ = √ 1² + (-1)² = √ 2

JIKA KITA MENGUBAH HASILKALI DALAMNYA MENJADI HASILKALI DALAM EUCLIDEAN BERBOBOT

<U, V> = 3U₁V₁ + 2U₂V₂MAKA AKAN KITA PEROLEH

ǁUǁ = <U, U>½ =[3 (1)(1) 2(0)(0)] ½ = √ 3

D(U, V) = ǁU - Vǁ = <(1, -1), (1, -1)> ½ = [3(1)(1) + 2(-1)(-1)] ½ = √ 5

1 23Lingkaran dan Bola Satuan di dalam Ruang Hasilkali Dalam

ǀǀ𝑢 ǀǀ=1Yang dimaksud

Bola satuan atau lingkaran satuan pada V,

apabila :

Contoh 5 Lingkaran satuan yang tidak biasa di dalam

jika . Sketsalah lingkaran satuan pada sebuah sistem koordinat xy di dalam x

2

3

y

--

Hasilkali Dalam yang Dihasilkan oleh MatriksMisalkan:

dan

Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik (invertible) dan u . v adalah hasilkali dalam Euclidean pada , maka:

Pada persamaan (7) pada subbab 4.1 berbunyi

Maka (3) dapat dituliskan

Atau:

............(3)

𝑢 .𝑣=𝑣𝑇 𝑢

⟨𝑢 ,𝑣 ⟩=𝑣𝑇 𝐴𝑇 Au

Contoh 6 hasil kali dalam yang dihasilkan oleh matriks identitas

Dengan mensubstitusikan A=I pada (3) maka:

yang telah kita diskusikan pada contoh 2 adalah hasilkali dalam oleh A =

Substitusi pada (4)

Secara umum, hasilkali dalam Euclidean berbobot

Contoh 7 hasilkali dalam pada = tr(

U = dan V =

Maka: ⟨U,V⟩ = 1(-1)+2(0)+3(3)+4(2)=16Norma dari matriks U relatif: = =

Bola satuan di dalam ruang ini terdiri dari semua matriks yang memenuhi = 1 dan bila dikuadratkan

Contoh 8 hasilkali dalam Jika:

p = dan q =

Maka:

Norma dari polinomial p relatif

= =

Bola satuan pada ruang ini terdiri dari semua polinomial p pada yang memenuhi = 1 dan bila dikuadratkan

Contoh 9 hasilkali dalam pada C

aksioma 3

Norma sebuah vektor pada C

Bola satuan dalam ruang ini:

........(7)

...........(8)

Teorema 6.1.1 sifat hasilkali dalam

Contoh 11 menghitung dengan hasilkali dalam

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz

vu

vu.cos

vu

vu,cos

1cos

1,

vu

vu

vuvu ,

32 RdanRpada(Pada Ruang Hasilkali Dalam)

#Prolog…

“Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz”

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam real, maka :

Teorema 6.2.1

vuvu ,

Pembuktian :

Asumsikan bahwa danMisalkan dan t adalah sebuah bilangan real sebarang

Berdasarkan teorema positivitas, hasilkali dalam suatu vektor dengan dirinya sendiri akan selalu memberikan hasil taknegatif, sehingga :

Ketidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa polinomial pangkat duaTidak memiliki akar-akar real atau akar real kembar.Maka

0uvvcvubuua ,,2,

cbtat

vvtvutuu

vtuvtu

2

2

0

,,2,0

,0

cbtat 2

042 acb

0,,4,42 vvuuvu

vvuuvu ,,,2

vuvu

vvuuvu

,

,,, 2

1

2

1

Bentuk Alternatif ketidaksamaan Cauchy-Schwarz

vvuuvu ,,,2 222

, vuvu

65

vuvu ,

#Reminder. Bentuk Utama ::

Teorema 6.2.2

“Sifat-Sifat Panjang”

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sebarang, maka:

)()(

)(

00)(

0)(

segitigaaanketidaksamvuvud

ukkuc

uub

ua

Teorema 6.2.3

“Sifat-Sifat Jarak”

Jika u , v dan w adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasilkali dalam V, dan jika k adalah skalar sebarang, maka:

)(,,,)(

,,)(

0,)(

0,)(

segitigaaanketidaksamvwdwudvudd

uvdvudc

vuvudb

vuda

“Pembuktian teorema 6.2.2 bagian d”

)( segitigaaanketidaksamvuvu

vuvu

vuvu

vvuuvu

vvvuuuvu

vvvuuuvu

vvvuuuvu

vuvuvu

22

222

2

2

2

2

2

,2,

,,2,

,,2,

,

Sifat nilai absolutBerdasarkan teorema 6.2.1

222, vuvu Rumus 6 :

1,

2

vu

vu

kedua sisi dibagi dengan

22vu

1,

1 vu

vu

Ekuivalen dengan :

Sudut diantara vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam umum

Jika adalah sebuah sudut yang ukuran radiannya bervariasi dari 0 sampai Maka akan memiliki nilai yang terletak diantara -1 dan 1 dimana nilai-nilai tersebut muncul tepat satu kali (dapat dilihat di grafik)

cos

Cos

Tan

Sin

Dengan demikian dari persamaan :

Akan terdapat sebuah sudut yang unik sedemikian rupa sehingga :

dan

1,

1 vu

vu

vu

vu,cos

0

didefinisikan sebagai sudut di antara u dan v

Contoh 2

Misalkan memiliki hasil kali dalam euclidian, tentukan cosinus sudut diantara vektor-vektor u = (1, 0, 1,0) dan v = (-3,-3,-3,-3) Jawab :

Maka :

4R

6)3)(0()3)(1()3)(0()3)(1(, vu

6)3()3()3()3(

20101

2222

2222

v

u

vu

vu,cos 2

2

1

2

1

)6)(2(

6

Ortogonalitas

Definisi

Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika 0, vu

2 vektor saling ortogonal = sudut diantara keduanya2

CONTOH ((VEKTOR-VEKTOR ORTOGONAL PADA ))

Misalkan

Manakah diantara matriks-matriks berikut

ini yang ortogonal terhadap A?

22M

31

12A

20

03B

25

12C

JAWAB

Syarat Ortogonal ::

A dan B ortogonal

A dan C tidak ortogonal

0, vu

0)2(3)0)(1()0(1)3(2, BA

6)2(3)5)(1()1(1)2(2, CA

CONTOH 2 ((VEKTOR-VEKTOR ORTOGONAL PADA ))

Misalkan memiliki hasil kali dalam

Dan misalkan p = x q =

Maka ::

2P2P

1

1)()(, dxxqxpqp

2x

1

1

1

1

32 0, dxxdxxxqp

Karena Vektor-vektor p = x dan q=Adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali dalam yang diberikan

0, qp2x

Teorema 6.2.4

“Generalisasi Teorema Pythagoras”

Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di dalam sebuah ruang hasilkali dalam , maka 222

vuvu

Bukti :Ortogonalitas u dan v mengimplikasikan bahwa sehingga ::

0, vu

22222,2, vuvvuuvuvuvu

CONTOH 5TEOREMA PHYTAGHORAS PADA

Dalam Contoh 2 kita telah menunjukkan bahwa

vektor-vektor p = x dan q=

Adalah ortogonal relatif terhadap hasilkali

Dalam pada

Dari teorema phytaghoras kita mengetahui

bahwa

maka ::

2p

2x

1

1)()(, dxxqxpqp 2p

222qpqp

5

2,

3

2,

2

11

1

42

1

21

1

22

1

2

11

1

22

11

12

1

xdxxxqqq

dxxdxxxppp

15

16

5

2

3

2

5

2

3

222

2

qp

Kita dapat memeriksa kebenaran hasil ini dengan melakukan integrasi langsung ::

15

16

5

20

3

2

2

))((,

41

1

32

1

1

222

dxxxx

dxxxxxqpqpqp

8KOMPLEMEN ORTOGONAL

“Jika V adalah sebuah bidang yang melalui titik asal dari R3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean,

maka himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap setiap vektor pada V membentuk garis L yang melewati titik asal dan tegak lurus terhadap bidang V.

Garis dan bidang disebut komplemen ortogonal satu sama lain”

“Dalam terminiologi aljabar liniear kita mengatakan bahwa garis ini dan

bidang V adalah komplemen ortogonal satu sama lainnya.”

DefinisiAnggap W adalah suatu subruang dari suatu hasilkali dalam V.

Jika u ortogonal terhadap setiap vektor dalam W vektor u dalam V orthogonal terhadap W; dan

Himpunan semua vektor dalam V yang ortogonal terhadap W disebut komplemen ortogonal dari W.

6.2.5 Sifat-sifat komplemen ortogonal

Jika W adalah sebuah subruang dari suatu ruang hasilkali dalam berdimensi terhingga V, maka :

a) adalah subruang dari Vb) Satu-satunya vektor dimana W dan adalah 0c) Komplemen ortogonal dari adalah W, yaitu = W.

WW

W )(W

= komplemen sebuah subruang W, dibaca”W tegak lurus”

Karena dan W adalah komplemen orthogonal satu sama lain, maka dan W adalah komplemen orthogonal.

WW

W

Kaitan Geometri antara Ruang Nul gengan Ruang Baris

Jika A adalah m x n matrix, maka:

Ruang Kosong A & Ruang baris A adalah komplemen–komplemen ortogonal dalam Rn berkenaan dengan Euclidean inner product.

Ruang Kosong AT & Ruang Kolom A adalah komplemen-komplemenOrtogonal dalam Rm berkenaan dengan Euclidean inner product.

T

A

OR

ME

E 6.

2.

6

1 A Dapat dibalik

2 Ax = 0 hanya memiliki satu solusi

3 Bentek eselon baris tereduksi dari A adalah In

4 A dapat dinyatakan sebagai hasilkali dari matriks-matriks elementer

5 Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1

6 Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1

7 Det(A) 0

8 Range dari TA adalah Rn

9 TA adalah satu ke satu

10

Vektor-vektor kolom dari A bebas linear

11

Vektor-vektor baris dari A bebas linear

12

Vektor-vektor kolom dari A merentang Rn

13

Vektor-vektor baris dari A merentang Rn

14

Vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk Rn

15

Vektor-vektor baris dari A membentuk basis untuk Rn

16

A memiliki rank n

17

A memiliki nulitas 0

18

Komplemen ortogonal ruang nul dari A adalah Rn

19

Komplemen ortogonal ruang baris dari A adalah {0}

T e o r e m a 6 . 2 . 7Jika A adalah sebuah matriks n x n, dan jika TA : Rn Rn adalah perkalian dengan A, maka

pernyataan-pernyataan Berikut ini adalah ekuivalen.