30.10.2017

1

Automatizační technika

Regulátory

Akademický rok 2017/2018

Připravil: Radim Farana

Obsah

• Analogové konvenční regulátory

• Regulátor typu PID

• Regulátor typu PIDi

• Regulátor se dvěma stupni volnosti

• Omezení akční veličiny – windup

• Číslicové regulátory

2

Regulační obvodJe uvažován poměrně obecný regulační obvod, kde GR(s) je přenos

regulátoru, GS(s) – přenos regulované soustavy, GMČ(s) – přenos

měřicího členu, GP(s) – přenos, přes který na regulační obvod působí

poruchová veličina s obrazem V(s), W(s) – obraz žádané veličiny,

E(s) – obraz regulační odchylky, U(s) – obraz akční veličiny,

Y(s) – obraz regulované veličiny.

W s( )G sR( ) G sS( )

G sP( )

G sMČ( )

E s( ) Y s( )U s( )

V s( )

Měřicí člen s přenosem GMČ(s) musí měřit přesně a rychle, a proto ve

většině praktických případů lze předpokládat, že 1)( sGMČ

30.10.2017

2

Regulační obvod

4

Přenos GP(s) umožňuje umístit působení poruchové veličiny V(s) do

libovolného místa regulačního obvodu. Dva nejdůležitější případy, kdy

poruchová veličina V(s) působí na vstupu, resp. na výstupu regulované

soustavy GS(s) pro jsou:

W s( )G sR( ) G sS( )

E s( ) Y s( )

G s G sP S( ) = ( )

V s( )

W s( )G sR( ) G sS( )

G sP( ) = 1

E s( ) Y s( )

V s( )

Pokud poruchové veličiny nelze měřit ani jinak přesněji specifikovat,

pak je vhodné je agregovat do jediné poruchové veličiny V(s) a umístit

ji do nejméně příznivého místa v regulačním obvodě. V případě

integrační regulované soustavy je to její vstup a v případě

proporcionální regulované soustavy její výstup.

Cíl regulace

5

)()(ˆ)()( sWsYtwty

pro regulovanou veličinu platí

)()()()()( sVsGsWsGsY vywy

kde je přenos řízení a přenos poruchy

)()(1

)()()(

sGsG

sGsGsG

SR

SRwy

)()](1[

)()(1

)()( sGsG

sGsG

sGsG Pwy

SR

Pvy

Pro dosažení cíle regulace požadujeme:

1)( sGwy 0)( sGvy

Cíl regulace

6

0)(ˆ0)( sEte

pro regulační odchylku platí

)()()()()( sVsGsWsGsE vewe

kde je odchylkový přenos řízení a odchylkový přenos poruchy

)(1)()(1

1)( sG

sGsGsG wy

SR

we

)()](1[)()(1

)()( sGsG

sGsG

sGsG Pwy

SR

Pve

Pro dosažení cíle regulace požadujeme:

0)( sGwe 0)( sGve

30.10.2017

3

a pro nesingulární GP(s)

i podmínka

Cíl regulace

7

pro kmitočtový přenos řízení lze psát

1)j()j(

1

1

)j()j(1

)j()j()j(

SR

SR

SRwy

GG

GG

GGG

a je zřejmé, že platí

1)(1)j(0)j(

)j(

sGG

G

Gwywy

S

R

1)(1)j()j()j( sGGGG wywySR

bude-li zajištěna dostatečně vysoká hodnota modulu kmitočtového přenosu

regulátoru pak bude splněna s dostatečnou přesností podmínka

)j()j(mod)( RRR GGA

1)( sGwy

0)( sGvy

Cíl regulace

8

Vysoké hodnoty modulů AR(ω) nebo Ao(ω) musí být zajištěny v rozsahu

pracovních úhlových kmitočtů při současném zabezpečení stability a

požadované kvality regulačního pochodu. Toho lze dosáhnout vhodně

zvoleným regulátorem a jeho následným správným seřízením.

Průmyslové regulátory se vyrábějí v různých verzích a modifikacích, a

proto budou uvedeny pouze základní struktury a modifikace běžně

používaných konvenčních regulátorů.

Analogové (spojité) konvenční regulátory

9

jsou realizovány jako kombinace základních třech činností (složek):

• proporcionální – P,

• integrační – I,

• derivační – D.

Regulátor u něhož vystupují všechny tři činnosti se nazývá proporcionálně

integračně derivační regulátor nebo zkráceně regulátor typu PID a jeho

vlastnosti v časové oblasti mohou být popsány vztahem

t

teTe

Ttek

D

t

ter

I

er

P

tertu D

t

I

P

t

d

)(dd)(

1)(

d

)(dd)()()(

0

1

0

10

kde jsou:

r0, r–1 a r1 – váhy proporcionální, integrační a derivační složky regulátoru,

kP – zesílení regulátoru,

TI a TD – integrační a derivační časová konstanta regulátoru

představují tři stavitelné parametry regulátoru.

30.10.2017

4

Stavitelné parametry regulátoru

10

Úkolem seřízení regulátoru je zajištění požadavků na kvalitu regulačního

pochodu vhodnou volbou hodnot jeho stavitelných parametrů pro konkrétní

regulovanou soustavu.

Mezi stavitelnými parametry regulátoru platí převodní vztahy

,,, 110 DP

I

PP Tkr

T

krkr

0

1

1

00 ,,

r

rT

r

rTrk DIP

Protože váha proporcionální složky r0 je identická se zesílením kP, proto se i

pro ni používá často název zesílení regulátoru.

Rozměr váhy proporcionální složky r0 a zesílení regulátoru kP je dán podílem

rozměru akční veličiny u(t) a rozměru regulační odchylky e(t). Časové

konstanty TI a TD mají rozměr času. Rozměr váhy integrační složky r–1 je dán

podílem rozměru proporcionální složky r0 a rozměru času, rozměr váhy

derivační složky je dán násobkem rozměru váhy proporcionální složky r0 a

rozměru času.

Regulátor typu PID

11

Použitím Laplaceovy transformace za předpokladu nulových počátečních

podmínek získáme přenos regulátoru typu PID

sT

sTksr

s

rr

sE

sUsG D

I

PR

11

)(

)()( 1

10

Integrační složka (I) zajišťuje vysokou hodnotu modulu kmitočtového přenosu

regulátoru PID při nízkých úhlových kmitočtech a především v ustálených

stavech (ω = 0), derivační složka (D) při vysokých úhlových kmitočtech a

proporcionální složka (P) v celém pracovním pásmu úhlových kmitočtů, ale

především pro střední úhlové kmitočty.

Vhodnou volbou jednotlivých složek P, I a D, tj. vhodnou volbou hodnot

stavitelných parametrů regulátoru r0, r–1 a r1, příp. kP, TI a TD lze dosáhnout

vysoké hodnoty modulu kmitočtového přenosu regulátoru nebo modulu

kmitočtového přenosu otevřeného regulačního obvodu, a tím i splnění cíle

regulace.

Regulátor typu PID

12

0

I D

P

11

j

j

rr

T

k

T

k

I

P

I

P

11 j

j

rr

TkTk DPDP

00 rr

kk PP

ω

)(RA

30.10.2017

5

Konvenční analogové regulátory

13

Typ Přenos )(sGR

1 P Pk

2 I sTI

1

3 PI

sTk

I

P

11

4 PD sTk DP 1

5 PID

sT

sTk D

I

P

11

6 PIDi sTsT

k D

I

P

1

11

Regulátor PID s interakcí

– Sériové zapojení

PI a PD regulátoru

Regulátor typu PID

14

U regulátoru typu PID lze všechny jeho stavitelné parametry nastavit

nezávisle, a proto regulátoru s paralelní strukturou se také říká – regulátor typu

PID bez interakce

)(sW )(sE )(sU

)(sY

PksTI

1

sTD

Regulátor typu PIDi

15

Regulátor typu PID lze rovněž realizovat pomocí sériové struktury –

regulátor typu PID s interakcí

)(sW )(sE )(sU

)(sY

Pk

sTI

1sTD

sT

sTsTksT

sTksG

I

DIPD

I

PR

)1)(1(

PD

1

PI

11)(

který lze snadno upravit na strukturu paralelní

)1

1

11()( s

T

TT

TT

s

T

TT

k

T

TTksG

D

DI

DI

I

DI

P

I

DIPR

30.10.2017

6

Regulátor typu PIDi

16

Mezi stavitelnými parametry paralelní a sériové struktury platí jednoduché

převodní vztahy:

I

DDDIIPP

T

Ti

i

TTiTTikk

1,,,

I

DDDIIPP

T

TTTTTkk

4

1

2

1,,,

Koeficient i se nazývá činitel interakce. Hodnoty stavitelných parametrů kP, TI

a TD regulátoru typu PID (tj. bez interakce) jsou tzv. efektivní hodnoty, protože

většina metod seřizování předpokládá standardní paralelní strukturu regulátoru

typu PID, proto nastavené hodnoty stavitelných parametrů regulátoru typu PIDi

(tj. s interakcí) je třeba přepočíst na hodnoty efektivní (skutečné). Pokud se

neprovede přepočet, maximální chyba může činit 25 %.

U regulátoru typu PID se sériovou strukturou, tj. typu PIDi vystupuje

omezení (viz vztah pro β), které však většinou není podstatné 4

1

I

D

T

T

Regulátor typu PIDi

17

2

0

0

]dB[

)(RL

Pklog20

IT

1

DT

1

IT

1

DT

1 ]s[

1

]s[1

[rad]

)(R

2

logaritmické kmitočtové charakteristiky regulátoru typu PID s interakcí, tj.

regulátoru typu PIDi

Vlastnosti regulátoru typu PID

18

Derivační složka má z teoretického hlediska kladný stabilizující vliv na

regulační pochod. Z praktického hlediska má však derivační složka velmi

nepříjemnou vlastnost, která spočívá v zesilování šumu o vysokých úhlových

kmitočtech a rychlých změn. Např. pokud derivační složka regulátoru typu

PD nebo PID

t

teTk

t

ter DP

d

)(d

d

)(d1

zpracovává regulační odchylku e(t), na kterou je aditivně namodulován šum

o amplitudě aS a úhlovém kmitočtu ωS, tj.

tate SS sin)(

pak na výstupu derivační složky dostaneme

]cosd

)(d[ ta

t

teTk SSSDP

je užitečná část t

te

d

)(dta SSS cos parazitní část derivační složky

30.10.2017

7

Vlastnosti regulátoru typu PID

19

Z toho vyplývá, že při vyšších úhlových kmitočtech ωS, bude parazitní část

převládat nad užitečnou částí a výstup z derivační složky může způsobit

nesprávnou činnost nejen vlastního regulátoru, ale i celého regulačního obvodu.

Z tohoto důvodu ideální derivační činnost je prakticky nepoužitelná. Pro snížení

vlivu parazitní části se používá vnitřní filtr s přenosem

NsTs

N

T DD

1,

1

1

1

1

kde N = 5 ÷ 20, příp. α = 0,05 ÷ 0,2

Úkolem vnitřního filtru je potlačit parazitní šum, který obsahuje především

regulovaná veličina y(t). Při hodnotách α ≤ 0,1 se zásadním způsobem

neovlivní výsledné vlastnosti regulátoru, a proto se při seřizování regulátorů

většinou neuvažuje. Vnitřní filtr je v průmyslových regulátorech většinou

přednastaven na hodnotu α = 0,1 (N = 10).

Přenos regulátoru typu PID s vnitřním filtrem má tvar

1

11)(

sT

sT

sTksG

D

D

I

PR

Regulátor se dvěma stupni volnosti

20

Konvenční regulátory i s případným vnitřním filtrem umožňují takové seřízení,

které zajistí požadovaný regulační pochod pouze z hlediska žádané veličiny

w(t) a poruchové veličiny v(t) působící na výstupu regulované soustavy, tj. i

pro GP(s) = 1.

Pokud GP(s) ≠ 0, pak se většinou volí kompromisní seřízení. Speciálně, pokud

GP(s) obsahuje integrační činnost. Kompromisní seřízení není vždy možné, a

proto se v poslední době stále častěji používají regulátory se dvěma stupni

volnosti. Přenos regulátoru typu PID se dvěma stupni volnosti může být

popsán v obrazech vztahem

)]()([)(1

)()()( sYscWsTsEsT

sYsbWksU D

I

P

kde je:

b – váha žádané veličiny u proporcionální složky,

c – váha žádané veličiny u derivační složky.

Obě váhy se mohou měnit v rozmezí od 0 do 1.

Pro b = c = 1 vztah vyjadřuje rovnici standardního regulátoru typu PID

Regulátor se dvěma stupni volnosti

21

Regulační obvod s regulátorem se dvěma stupni volnosti může být

transformován na schéma se vstupním filtrem v žádané veličině o přenosu

1

1)(

2

2

sTsTT

sbTsTcTsG

IDI

IDIF

W s( )G sS( )G sR( )

G sP( )

G sF( )

V s( )

Y s( )

GR(s) je přenos standardního regulátoru PID

sT

sTksG D

I

PR

11)(

30.10.2017

8

Regulátor se dvěma stupni volnosti

22

Regulátor typu PI se dvěma stupni volnosti lze popsat vztahem

)](1

)()([)( sEsT

sYsbWksUI

P

a vstupní filtr přenosem

1

1)(

sT

sbTsG

I

IF

Podobně regulátor typu PD se dvěma stupni volnosti lze popsat vztahem

)]()([)()( sYscWsTsEksU DP

a vstupní filtr přenosem

1

1)(

sT

scTsG

D

DF

U jednodušších regulátorů se dvěma stupni

volnosti váhy b a c mohou být nulové, nebo

jednotkové.

Omezení akční veličiny – windup

23

Velmi nepříjemným jevem při použití regulátoru s integrační složkou při

omezení akční veličiny, tj. při existenci nasycení, je pokračující integrace, tzv.

windup.

sTI

1

e 1u u

0 mu

mu

u

1u

mu

mu

wdT

3t 2t 0e

0e

0 1t

mu

)(tu

)(1 tu

)(te

t

windup zpoždění, které je

příčinou vystupování

velikých a dlouho trvajících

překmitů v regulačním obvodu,

a tím zhoršení kvality regulace

wdT

Omezení akční veličiny – windup

24

Opatření proti pokračující integraci se nazývá antiwindup

sTI

1

e 1u u

a

)(1 tu

a

1 w

dT

3t 2t 0e

0e

0 1t

mu

)(tu

)(te

t

když u1(t) překročí hodnotu u(t) = um,

projeví se záporná zpětná vazba a vstup

integrátoru je zmenšován o veličinu

a[u1(t) –u(t)] a to způsobí pokles

výstupní veličiny integrátoru u1(t).

Průběhy u1(t) a u(t) ukazují, že

implementací opatření atiwindup došlo

k podstatnému snížení windup zpoždění wdT

30.10.2017

9

Regulátor PI s opatřením antiwindup

25

sTI

1

e u

a

Pk

Pokračující integrace – windup vystupuje především v analogových

regulátorech. V číslicových regulátorech opatření antiwindup se jednoduše

řeší zastavením integrace (sumace) při nasycení.

Číslicové regulátory

26

w(kT) e(kT)y(t)

u(kT) v(t)

ČR Č/A S

uT(t)

A/Čy(kT)

Blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

Kompaktní ČR

Číslicové regulátory

27

číslicový (diskrétní) regulátor typu PSD (proporcionálně sumačně

diferenční)

,])1[()()()(

])1[()()()()(

0

0

D

D

S

k

i

S

P

P

Dk

iI

P

TkekTeKiTeKkTeK

TkekTeT

TiTe

T

TkTekkTu

kde je:

KP – váha proporcionální složky,

KS – váha sumační složky,

KD – váha diferenční složky,

T – vzorkovací perioda,

kT – diskrétní čas.

Pro stavitelné parametry číslicového

regulátoru PSD platí

T

TkK

T

TkKkK

DPD

I

PSPP ,,

TK

KTT

K

KTKk

P

DD

S

PIPP ,,

30.10.2017

10

Číslicové regulátory

28

Přírůstkové algoritmy

)()1()( kTeT

TTkukTu

I

I

)()1()()1()( kTeT

TTkekTekTkukTu

I

pPS

TkegTkegkTegTkukTu )2()1()()1()( 210 PSD

T

T

T

Tkg D

I

p 10

T

Tkg D

p 211 T

Tkg D

p2

Číslicové regulátory

29

)(kTu

)2

()(T

tutuT

)2

(T

tu

)(tu

22

TT

t

kT0 T T2 T3 T4

Z průběhu vyplývá, že tvarovaná akční veličina uT(t) pro malou hodnotu

vzorkovací periody T může být nahrazena spojitou akční veličinou u(t) zpožděnou

o polovinu vzorkovací periody, tj. u(t – T/2) .

Číslicové regulátory

30

Náhradní blokové schéma regulačního obvodu s číslicovým regulátorem

)(sW

)(sGR

)(sV

sT

2e

)(sGS

)(sY

30.10.2017

11

Volba vzorkovací periody

31

Vzorkovací perioda T Proces

(10 ÷ 500) μs přesné řízení a modelování, elektrické systémy; energetické

systémy; přesné řídicí roboty

(0,5 ÷ 20) ms stabilizace výkonových systémů, letové simulátory, trenažéry

(10 ÷ 100) ms zpracování obrazů, virtuální realita, umělé vidění

(0,5 ÷ 1) s monitorování a řízení objektů; chemické procesy, elektrárny

(1 ÷ 3) s regulace průtoků

(1 ÷ 5) s regulace tlaku

(5 ÷ 10) s regulace hladiny

(10 ÷ 20) s regulace teploty

Pro volbu vzorkovací periody T neexistují jednoznačná pravidla a doporučení. Pro

orientační hrubou volbu lze použít následující doporučení.