prezentacja multimedialna z przedmiotu „wytrzymaŁoŚĆ materiaŁÓw” sem.iii
DESCRIPTION
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski. PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III. PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH. Elementy: Przestrzeń Czas Ciało. Przestrzeń. Zajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/1.jpg)
PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU
„WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III
1
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
![Page 2: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/2.jpg)
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH
Elementy:Przestrzeń
CzasCiało
![Page 3: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/3.jpg)
PrzestrzeńZajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową,opisaną za pomocą współrzędnych kartezjańskich
prostokątnych. Zwykle będzie to przestrzeńdwuwymiarowa, czasami trójwymiarowa.
x
Microsoft Equation 3.0
y
y
x
z
![Page 4: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/4.jpg)
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH
CzasW statyce uważamy, że procesy nie zależą
od czasu, czyli są stacjonarne
CiałoCiało zajmuje część przestrzeni i jest
obdarzone takimi cechami fizycznymi jak masa. Modelami ciał, stosowanymi w
mechanice są: punkt materialny, tarcza i bryła
![Page 5: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/5.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
Stopniami swobody ciała nazywamy liczbę niezależnych od siebie ruchów, określających położenia ciała w
przestrzeniWażny jest tutaj przymiotnik „niezależny”,
gdyż ruchów od siebie zależnych może być znacznie więcej
![Page 6: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/6.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁAPunkt materialny
u
v
y
x
Na płaszczyźnie
u
v
y
x
z
w
W przestrzeni
2 stopnie swobody 3 stopnie swobody
![Page 7: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/7.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁATarcza materialna na płaszczyźnie
uv
y
x
3 stopnie swobody
![Page 8: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/8.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
4 stopnie swobody
![Page 9: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/9.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
5 stopni swobody
![Page 10: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/10.jpg)
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
BRYŁA W PRZESTRZENI
x
z
y
y
z
z
x
x
y
3 translacje + 3 obroty6 stopni swobody
![Page 11: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/11.jpg)
WIĘZYWięzami nazywamy ograniczenia ruchów,
narzucone na ciało. Więzy zmniejszają liczbę stopni swobody
ciała.Jeśli liczba więzów od siebie niezależnych
jest równa liczbie stopni swobody, ciało pozostaje nieruchome.
Więzy nie mogą być zakładane dowolnie i muszą spełniać warunki, które rzeczywiście odbierają stopnie swobody.
![Page 12: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/12.jpg)
WIĘZY Więzy narzucone na punkt materialny
y
x
Na płaszczyźnie
y
x
z
W przestrzeni
![Page 13: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/13.jpg)
WIĘZYWięzy narzucone na tarczę:
prawidłowo
nieprawidłowo
![Page 14: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/14.jpg)
Podpory
Odebrany jeden stopień swobody – ruch prostopadły do linii przesuwu
Podpora przegubowo-nieprzesuwna
Podpora przegubowo-przesuwna
Odebrane dwa stopnie swobody – ruchy translacyjne
Podpora utwierdzonaOdebrane trzy stopnie swobody – ruchy translacyjne i obrót
![Page 15: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/15.jpg)
Belka swobodnie podparta
![Page 16: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/19.jpg)
WSPORNIK
![Page 20: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/20.jpg)
WSPORNIKI
![Page 21: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/21.jpg)
WSPORNIKI
![Page 22: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/22.jpg)
WSPORNIKI
![Page 23: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/23.jpg)
Rama
![Page 24: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/26.jpg)
Kratownica
![Page 27: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/32.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Skalary a wektorySkalarami nazywamy takie wielkości statyczne, które charakteryzuje tylko jedna liczba. Przykładami skalarów są na przykład: Temperatura [K] Masa [kg] Praca [J] Moc [W] Objętość [m3].
![Page 33: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/33.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Wektory Są to wielkości, do których opisu potrzebnych
jest kilka liczb. Często jest wykorzystywana interpretacja geometryczna wektora. W tej interpretacji wektor jest symbolizowany przez odcinek opatrzony strzałką
Zatem do opisu takiej wielkości potrzeba 3 liczb: Moduł (długość ) wektora Kierunek wektora Zwrot wektora
![Page 34: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/34.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Suma wektorówBAC
A
B
C
A
B
C
ABBAC
B
AC
![Page 35: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/35.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Różnica wektorów
A
BB-
C B)(ABAC
ABBA
![Page 36: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/36.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Iloczyn skalarny wektorów
A
BcosBABA c
ABc
![Page 37: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/37.jpg)
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Iloczyn wektorowy wektorów
A
B
C
BAC
sinBAC
0AC 0BC
B
A
![Page 38: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/38.jpg)
Rzut wektora na oś
x
y
A
xA
yA
x
y
A
xA
yA
B
C
xC
yC
yB
xB
xW
yW W
CBAW
xxxx CBAW
yyyy CBAW
Na płaszczyźnie
![Page 39: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/39.jpg)
Rzut wektora na oś
W przestrzeni
x
y
z
A
yA
xA
zA
x
y
z A
B
C
W
CBAW xxxx CBAW
yyyy CBAW
zzzz CBAW
![Page 40: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/40.jpg)
Zbieżny układ sił Układ sił nazywa się zbieżnym, jeśli
kierunki działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie.
nPPPPP ...321
1P
2P3P P
nP
P – wypadkowa układu sił zbieżnych
![Page 41: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/41.jpg)
Równowaga układu sil zbieżnych
1P
2P
3P
1nP
nP
1P
2P
3P1nP
nP
0....321 ni PPPPP
Na płaszczyźnie 0....321 nxxxxix PPPPP
0....321 nyyyyiy PPPPP
W przestrzeni 0....321 nxxxxix PPPPP
0....321 nyyyyiy PPPPP
0....321 nzzzziz PPPPP
![Page 42: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/42.jpg)
Moment siły względem punktu
W przestrzeni
x
y
z
r
P0M
F
PrM 0
FM 0
x
y
z
1P
2P
3P
nP
0
0
r
n
i
n
iii MPrPrM
1 100
nPPPPP ...321
![Page 43: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/43.jpg)
Moment siły względem osi
P
'P
0
'0
h
PrMM l 0l
0 – dowolny punkt prostej
P’ – rzut siły P na płaszczyznę prostopadłą do l
hPM l '
Moment siły względem l jest równy zeru gdy: Wartość siły P równa jest zeru, Linia działania siły P przecina się z osią l Siła P jest równoległa do osi l
![Page 44: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/44.jpg)
Siły równoległe
1P
2P
S S
1R
2R
R
a b
21 PPR
h1P
Sha
2PS
hb
1PahS
2PbhS
czyli
21 PbPa
1
2
PP
ba
Zgodnie skierowane
![Page 45: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/45.jpg)
Siły równoległe
Przeciwnie skierowane
1P
2P
S
S1R
2R
R
a b
h
12 PPR
1PS
hba
1)( PbahS
2PS
hb
2PbhS
czyli
21)( PbPba
2
1
PP
bab
![Page 46: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/46.jpg)
Para sił
P
P
a
Dwie siły równe i przeciwnie skierowane
0R
Moment pary sił względem dowolnego punktu jest stały
0b ba
aPbaPbPM )(0
M
![Page 47: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/47.jpg)
Równoległe przesunięcie siły
P
A B
P
P
A B
P
a a
aPM
![Page 48: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/48.jpg)
Redukcja płaskiego układu sił
1P
2P
3P
nP
A
1h 1P
111 hPM 2h
222 hPM
2P
3h
333 hPM
3P
nh
nP
nnn hPM
nPPPPP ...321
nMMMMM ...321
nMMMMM ...321
nxxxxx PPPPP ...321
nyyyyy PPPPP ...321
![Page 49: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/49.jpg)
Równowaga płaskiego układu sił
1P
2P
3P
nP
1P
2P
3PnP
1P
2P 3PnP0...321 nxxxx PPPP
0...321 nyyyy PPPP
0...321 nMMMM
1M
2M
3M
nM
![Page 50: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/50.jpg)
Redukcja przestrzennego układu sił
x
y
z
0P
P
M
![Page 51: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/51.jpg)
Równowaga przestrzennego układu sił
x
y
z
0
0...321 nPPPP 0...321 nMMMM
0...321 nxxxx PPPP
0...321 nyyyy PPPP
0...321 nzzzz PPPP
0...321 nxxxx MMMM
0...321 nyyyy MMMM
0...321 nzzzz MMMM
![Page 52: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/52.jpg)
Próba rozciągania pręta stalowego
P
A
l
l
Naprężenie: MPaAP
2111mNPa
PaMPa 6101
Odkształcenie: ll
[niemianowane]
H
E
P
E
Prawo Hooke’a
E Moduł Younga
Stal: GPaE 206
tgE
![Page 53: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/53.jpg)
Próbka betonowa
tgE
P
P
f
f4,0
Beton GPaE 3226
![Page 54: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/54.jpg)
Siły w prętach kratownic
Metoda równoważenia węzłów
Statyczna wyznaczalność
02 wpr
gdzie
r – liczba reakcji podpórp – liczba prętóww – liczba węzłów
3r 25p 14w
0142253
AH
AV BV
![Page 55: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/55.jpg)
Siły w prętach kratownicMetoda równoważenia węzłów
1N
2N
x
y 02NPx
01NPy
Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się dwa pręty siły w nich są zerowe
1N
2N
3N
Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się trzy pręty, przy czym dwa pręty leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest zerowa
21 NN
03 N
Przypadki szczególne
x
y
![Page 56: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/56.jpg)
Siły w prętach kratownicMetoda Rittera
D D
KK
G G
AVBV
AH
D
K
G
AH
AV
dDM d 0
GM g 0g
KPy 0
y
Punkty Rittera
![Page 57: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/57.jpg)
Siły w prętach kratownicPrzykład – kratownica o pasach równoległych
D D
KK
G G
AVBV
AH
a a a a a a
h
P
03231
A
B
A
H
PV
PV
D
K
G
g
y
d
3P
033
hDaPM d
h
a a a
PhaD
023
hGaPM g
PhaG
32
0sin3
KPPy
sin3PK
G G
SS
S
03
SPPy
3PS
![Page 58: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/58.jpg)
Siły w prętach kratownicPrzykład -Kratownica wspornikowa z drugorzędnym podwieszeniem
PP P
a a a a a a a a
a
a1S
1K01 S
01 K2S
2S
PPS 2
P
2K
2K
x
x22
022
2
2
PK
PKPx
![Page 59: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/59.jpg)
Siły w prętach kratownicPrzykład- kratownica o pasach nierównoległych
AV
AH
BV
P
2
0PVV
H
BA
A
G G
KK
D D
2P
G
K
D
d
Dr
dx
02 Ddd rDxPM
D
d
rxPD
2
g
Gr
gx
02
Ggg rGxPMG
g
rxPG
2
k
kx
Kr
02
Kkk rKxPMK
k
rxPK
2
![Page 60: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/60.jpg)
Naprężenia normalne i styczne
P
x
y
P
A
y
0PAP yy
AP
y
y
0xP
A
y
![Page 61: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/61.jpg)
Naprężenia normalne i styczne
A
y
tn
cosA
0coscos AAP yn
0sincos AAP yt
czyli
2cos y
2sin21sincos yy
zatem
y 21
max
y max przy 0
przy 00 4590212sin
![Page 62: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/62.jpg)
Dwuwymiarowy stan naprężenia
1 1
2
2
1
2
AcosA
sinA
n
t
0sinsincoscos 21 AAAPn
0cossinsincos 21 AAAPt
zatem 2
22
1 sincos
cossin)( 21
Ale jest
2sin21cossin
)2cos1(21sin
)2cos1(21cos
2
2
zatem
2sin)(21
2cos)(21)(
21)2cos1(
21)2cos1(
21
21
212121
![Page 63: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/63.jpg)
Dwuwymiarowy stan naprężenia
2sin)(21
2cos)(21)(
21
21
2121
Podnieśmy obustronnie do kwadratu, potem dodajmy stronami
221
2221 )](
21[)](
21[
gdyż 12cos2sin 22
Koło Mohra22
02
0 )()( ryyxx
0x
0y
x
y rW naszym przypadku
2
1
2
y
x
![Page 64: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/64.jpg)
Dwuwymiarowy stan naprężenia
1 1
2
2
xy
2
1
2
y
x
x
y
x
y
0
![Page 65: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/65.jpg)
Przestrzenny stan naprężenia
x
y
zz
x
y
xyyx
yzzy
zx
xz
jiij
![Page 66: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/66.jpg)
Stan odkształceniaz
z
dx
dx)1(
dy)1(
dy
dzdz)1(
Współczynnik Poissona
Względna zmiana objętości
v
dzdydxV dxdydzV odksz )1()1()1( Objętość
dzdydxdzdydxdxdydz
VVV odksz
)1()1()1(
1)21)(1(1)1)(1( 222 )21( gdyż
02 03
Współczynniki Poissona:5,00 Stal - 3,0 Beton - 2,015,0 Guma - 5,0
5,00
![Page 67: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/67.jpg)
Uogólnione prawo Hooke’a
x
y
zz
x
yy
x
z
)]([1
)]([1
)]([1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
G
G
G
zxzx
yzyz
xyxy
Prócz tego:(jeśli izotropia)
)1(2
EG
G - Moduł Kirchhoffa
Po odwróceniu: zyxxE
)1(
)21)(1(
zxyyE
)1(
)21)(1(
yxzzE
)1(
)21)(1(
zxzx
yzyz
xyxy
G
G
G
![Page 68: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/68.jpg)
Związki fizyczne przy odkształceniach postaciowych
Czyste ścinanie:
1
1
1
1
24
Koło Mohra
22
EE
1)]([1
21
21
241
24)24
(
tg
tg
tgtg
tgtgtg
21
21
)24
(
tg
21
21
11
2 2
G
)1(2
EG G - Moduł Kirchhoffa
![Page 69: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/69.jpg)
Płaski stan naprężenia
c
a
b
ac
bc
x
y
z 0zc
)1( zc
z
0)(1
yxz
)(
1)1(
)21)(1(
2
yxyxxE
yx
E
)21()21()21)(1( 2
)(1 2 yxx
E
)(1 2 xyy
E
![Page 70: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/70.jpg)
Płaski stan odkształcenia
x
y
z
Bardzo długi kształt pryzmatyczny
z
0z
0)( yxz
yxxE
)1(
)21)(1(
xyyE
)1(
)21)(1(
![Page 71: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/71.jpg)
Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach
l4,0 l6,0
P
A B
AV BV04,0 lPlVM BA
PVB 4,0
PVA 6,0
x
xPlM 6,0 lx 4,00
,x
xPlM 4,0 lx 6,00 , Pl24,0M
PT 6,0 lx 4,00
lx 6,00 , PT 4,0
P4,0
P6,0T
Jeżeli w przedziale nie działa żadne obciążenie, wykres momentów w tym przedziale jest linią prostą
![Page 72: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/72.jpg)
Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach
Microsoft Equation 3.0
A B
AV BVl
qx
02lqllVM AB
2qlVA
2qlVB
)(222
xlqxxqxxqlM
qxqlT 2
M
T 2ql
2ql
8
2ql
![Page 73: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/73.jpg)
Momenty statyczne figur płaskich
x
A
y
dAA
x ydAS1x
x
y
Tu jest 00 xSy
1y
1y
ale 0011 xSy
sx
sy
syy
sy
sx
sxx
Istnieje taka oś A
sxs dAyySxs
0)(
Podobnie A
sys dAxxSys
0)(
Punkt przecięcia się tych osi nazywa się środkiem ciężkości figury
A A A
ss dAyydAdAyy 0)( ale A
sx AySAdA 0 ASy x
s
PodobnieAS
x ys
Moment statyczny figury względem osi x
![Page 74: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/74.jpg)
Środki ciężkości figur płaskich
x xb
h
222
2
0
2
00
hbhbhybydydxShhb
x
Figury symetryczne (prostokąt, koło)
bhA 22hh
bhbhys
2
0 0
22
0 0
sinsinrr
x ddddSs
d y
d
r
03
)11(3
cos33
2
0
rrSsx
sy
![Page 75: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/75.jpg)
Środki ciężkości figur płaskich
y
x
a
b
syy
�x
Równanie brzegu yba
�x
A
b x
x ydydxydAS0 0
)( ydyxb
0 33
2
0
32 ab
babdyy
ba b
bab
abASy x
s 322
3
2
0 0
2
0 0
sinsinrr
x ddddSs
333
0 32
3)11(
3cos rrrS
sx
2
21 rA
rr
rASy x
s 342
32
23
syr
r2
![Page 76: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/76.jpg)
Momenty bezwładności figur płaskich
x
A
y
dA
x
y
sx
sy
a
b
sxx
02 dAyJA
x
Szczególnie ważne są momenty bezwładności względem osi przechodzących przez środek ciężkości
ayy s
dAaydAyJA
sA
x 22 )( dAadAyadAyAA
sA
s 22 2
AA
sA
sx dAadAyadAyJ 22 2
Ponieważ xs przechodzi przez środek ciężkości, zatem
0 xA
s SdAy
czyli AaJJsxx
2 Wzór Steinera
![Page 77: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/77.jpg)
Momenty bezwładności figur płaskich
Prostokąt
2h
2h
b
sx sx dydxyJb
h
hxs
0
2
2
2 dyyb
h
h
2
2
22
2
3
3
h
h
yb
)]24
(24
[33 hhb
12
3bh
y
x
b
h
hys 32
y
�x
Trójkąt
Równanie brzegu yhb
�x
A
h x
x dyydxdAyJ0 0
22 )( dyyxh
2
0
dyyhb h
0
3
44
34 bhhhb
sxsx
AyJJ sxxs 2
294
42
3 bhhbh
294
42
3 bhhbh
36)
92
41(
33 bhbh
![Page 78: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/78.jpg)
Momenty bezwładności figur płaskich
d y
d
r
Koło
2
0 0
322
0 0
22 sinsinrr
x ddddJs
r
xsJ
0
42
0 42sin
2
44
)02
2(44 rr
Rura
zr
wr
)(4
44wzx rrJ
s
![Page 79: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/79.jpg)
Naprężenia normalne przy zginaniu
xy
zdx
d
![Page 80: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/80.jpg)
Naprężenia normalne przy zginaniu
dx
)(dxdx
z
d
M
x y
z
z
dddz
dxdx
)()(
zEE
![Page 81: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/81.jpg)
Naprężenia normalne przy zginaniu
Równania równowagi
A
ix dAP 0 A
zdAE 0
A
iy zdAMM 0 A
EJdAzEM
2
EJM
1
zJM
EJMzE W
Mmax
W Wskaźnik wytrzymałości
Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju
![Page 82: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/82.jpg)
Naprężenia styczne przy zginaniu
dx
M
T
dTT
dMM
0
d
x
z
2h
![Page 83: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/83.jpg)
Naprężenia styczne przy zginaniu
x
dx
NdNN
b
y
h
z
h
z
SJMbd
JMdAN
22
y
z
2h
d
y
h
z
SJdMMbd
JdMMdNN
2
0bdxNdNNPx JbTS
JbS
dxdM
bdxdN yy
1
![Page 84: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/84.jpg)
Prostokąt
bhT
23
max b
h
)4
(2
22 2
zhbdbS
h
zy
)4
(2
12 22
3 zhbbbh
T
bhT
23
max
JbTS y
![Page 85: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/85.jpg)
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
sM
sM
dx
dx
ds
d
dxds
dxd
dxdGG
d
![Page 86: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/86.jpg)
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
r
dA
dAdxdGdAdM s
2
dAdxdGM
As
2
A
dAdxdG 2
dxdGJ
0
gdzie dAJA 2
0 Biegunowy moment bezwładności
0GJM s
0J
0JM s Rozkład liniowy
r
max0
max WM s
gdzie rJW 0
0 Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu
![Page 87: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/87.jpg)
Skręcanie prętów o przekroju niekołowym
Nie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Rozwiązania są przybliżone
h
b
max
max W połowie dłuższego boku
W przybliżeniu
2max bhM s
bh
1 2 4 8
208,0 246,0 282,0 307,0 333,0
![Page 88: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/88.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Założenia:
n
n
Jeśli pręt ściskany lub rozciągany to: nn
n - Naprężenie niszczące
W złożonym stanie naprężenia nie sposób ustalić naprężenia niszczącego zxyzxyzyx ,,,,,
Skoncentrujmy się na stanie płaskim ,, yx
Ustalenie , jaki jest wpływ składowych stanu naprężenia na bezpieczeństwo konstrukcji to przedmiot hipotez wytrzymałościowych
![Page 89: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/89.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
2
1
2
y
x
Stan naprężenia w punkcie można opisać albo za pomocą ,, yx
albo też naprężeń głównych 21,
Wytężenie materiału to funkcja ),(),,( 21 WW yx
Porównajmy to z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo
AP P
AP
Zatem: )(),(),,( 21 WWW yx
![Page 90: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/90.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Postać funkcji W zależy od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej
Wprowadźmy pewne zastępcze naprężenie ( naprężenie zredukowane)
zależne od lub
Dla tego naprężenia ocenimy bezpieczeństwo tak jak przy rozciąganiu osiowym
Zatem musi być
red
21, ,, yx
nredn
![Page 91: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/91.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza największego naprężenia normalnego
1 red lub 2 red Gdyż naprężenia główne nie muszą być uporządkowane
2
1
21
21
n
n
n n
K
KTo oznacza, że jeśli któreś z naprężeń głównych osiągnie wartość to jest to naprężenie niszczące
n
![Page 92: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/92.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Zgodność hipotezy z doświadczeniem
Czyste ścinanie 12
1
1
1
1
22
1 1
1
Z doświadczenia wynika, że dla metali jest
nn 6,0
Czyli zniszczenie materiału nastąpi nie w punktach K, ale wcześniej
Hipoteza największego naprężenia stycznego ma obecnie tylko znaczenie historyczne
![Page 93: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/93.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza największego naprężenia stycznego (Coulomba-Tresci)
Zakłada się, że o zniszczeniu materiału decydują największe naprężenia stycznePrzy rozciąganiu osiowym jest
045max
2max
Przy zniszczeniu więc 2n
n
W stanie dwuwymiarowym
max
1
2
221
max
Warunek maksymalnego naprężenia stycznego
nn max czyli
22221 nn
nn 21
czyli 1 red lub 2 red
lub 21 red
![Page 94: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/94.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
2
1
21
21
n
n
n n
n21
1
n21
2
22
2n
nn
2max
2n
222
221
4)(21
2
4)(21
2
yxyx
yxyx
2221 4)( yxred
W belce zginanej 0y 22 4 xred
Czyste ścinanie 2red
nn 6,0
![Page 95: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/95.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa)
Zakłada się, że miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego.Energia właściwa odkształcenia sprężystego w stanie płaskim wynosi:
)(21' yyxxV
E
E
E
xyy
yxx
)1(2
)(1
)(1
2' )(6
21yxobj
EV
postobj VVV '''
)6)[(6
1 2222'
yxyxpost
EV
W stanie jednoosiowym jest
22'
6)1(2
6)1(2
redpostEE
V
![Page 96: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/96.jpg)
Hipotezy wytrzymałościowe
Porównując wyrażenia na energię odkształcenia postaciowego
2
6)1(2
redE )6)[(
61 2222
yxyxE222 3 yxyxred
Czyste ścinanie 3 red nnn 58,033
nn 6,0
Równanie konturu na płaszczyźnie naprężeń głównych
2122
21
2 n
2
1
21
21
n
n
n n
n58,0
Elipsa
![Page 97: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/97.jpg)
Stateczność konstrukcji
Pręt rozciągany
Pręt ściskany
Pręt osiowo ściskany Pręt mimośrodowo ściskany
Oś pręta Oś prętaNie ma takich prętów
Model Rzeczywistość
![Page 98: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/98.jpg)
Stateczność konstrukcji Utrata stateczności w sensie matematycznym. Jest to wrażliwość obiektu na małe zakłócenia stanu.Równowaga kulki w polu grawitacyjnym.
Równowaga stateczna Równowaga obojętna Równowaga niestateczna
Warunkiem koniecznym równowagi statecznej jest warunek kinematycznej niezmienności
Równowaga obojętna
Równowaga obojętna
Równowaga niestateczna
![Page 99: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/99.jpg)
Stateczność konstrukcjiWarunek kinematycznej niezmienności nie jest warunkiem dostatecznym
Warunek ten jest narzucony na wartość obciążenia
P
S
P
krPP
P
S
P
krPP
Wyboczenie
P
krP
Punkt bifurkacji
![Page 100: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/100.jpg)
Stateczność konstrukcjiZadanie wyznaczenia siły krytycznej dokonane zostało przez Eulera w 1744 r.
2min
2
lEJPkr
y
y
minJJ y
y
y
minJJ y
y
y
minJJ y
minJJ x
x x
- Moduł Younga - długość pręta - najmniejszy moment bezwładnościE l minJ
![Page 101: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/101.jpg)
Stateczność konstrukcjiRóżne rodzaje podparcia
krP
l
krP
l
l
krP
l2l
ll71,0
Ogólnie
llw 71,0llw 5,0llw 2llw
llw
2min
2
wkr l
EJP
1 2 5,0 71,0
wl - długość wyboczeniowa
krP
![Page 102: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/102.jpg)
Stateczność konstrukcjiSmukłość pręta
ilw
i – promień bezwładności pręta
AJi min
2min
2
wkr l
EJP 2
min2
w
kr
lAEJ
AP
2
2
E
kr
kr
E
22
Równanie hiperboli
prR plR
prkr R
prgr R
E
Wyboczenie sprężyste
![Page 103: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/103.jpg)
Stateczność konstrukcji
gr 0
kr
plR Hiperbola Eulera
Prosta Tetmajera-Jasińskiego
Parabola Johnsona-Ostenfelda
Wyboczenie niesprężysteWzrost ściskania Zmniejszenie ściskania
Wzór Tetmajera-Jasińskiego
gr
prplplkr
RRR
Wzór Johnsona-Ostenfelda
22
2
4
ER
R plplkr
plRE2
0
0 2
24
22
2pl
pl
plplkr
RR
EE
RR
gr prprplplkr RRRR
![Page 104: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/104.jpg)
Stateczność konstrukcjiPrzeskok węzła kratownicy
04
![Page 105: PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012904/5681659d550346895dd87795/html5/thumbnails/105.jpg)
KONIECPREZENTACJI MULTIMEDIALNEJ
Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW”
SEM.III
105
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski