wytrzymałość materiałów - charakterystyka
TRANSCRIPT
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 87
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
MECHANIKA CIAŁ ODKSZTAŁCALNYCH
LITERATURA PRZEDMIOTU:
Wydanie 5 poprawione – 2012
Wydanie 2 poprawione – 2012
MAPA MYŚLI
przedstawiająca podstawowe pojęcia statyki
(mechaniki ciał sztywnych)
oraz wytrzymałości materiałów
(mechaniki ciał odkształcalnych).
Mapa myśli pokazuje związki między podstawowymi poję-
ciami statyki i wytrzymałości materiałów.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 88
Mo
me
nty
:
- zg
ina
jące
- skrę
ca
jace
OB
LIC
ZE
NIA
WY
TR
ZY
MA
ŁO
ŚC
IOW
E
KO
NS
TR
UK
CJ
I
Do
św
iad
cze
nie
Pra
wo
fiz
yczn
e
Pra
wo
Ho
oke
’a
Ug
óln
ion
e
pra
wo
Ho
oke
’a
Ko
nie
c s
wo
bo
dn
y
Utw
ierd
ze
nie
Prz
eg
ub
ru
ch
om
y
Prz
eg
ub
nie
ruch
om
y
Sp
osó
b p
od
pa
rcia
ko
nstr
ukcji
Siły
ze
wn
ętr
zn
e b
iern
e
Inte
rpre
tacja
zn
akó
w
w r
ów
na
nia
ch
sta
tyki
Ob
cią
że
nia
ko
nstr
ukcji:
mo
me
nty
,
siły
sku
pio
ne
, siły
ro
zło
żo
ne
Re
akcje
po
dp
oro
we
Siły
ro
zło
żo
ne
Mo
me
nty
wzg
lę-
de
m p
un
ktu
lu
b o
si
Siły
sku
pio
ne:
- n
orm
aln
e
- sty
czn
e
Siły
ze
wn
ętr
zn
e c
zyn
ne
Siły
we
wn
ętr
zn
eM
eto
da
myślo
wych
prz
ekro
jów
Na
prę
że
nia
no
rma
lne
, sty
czn
e
Sta
ny n
ap
ręże
nia
(je
dn
oo
sio
wy, p
łaski, p
rze
str
ze
nn
y)
Na
prę
że
nia
głó
wn
e
Od
kszta
łce
nia
Sta
ny o
dkszta
łce
nia
Prz
em
ieszcze
nia
Hip
ote
za
ge
om
etr
yczn
a
Hip
ote
za
pła
skic
h p
rze
kro
jów
Ukła
dy s
ił: p
łaskie
, p
rze
str
ze
nn
e
Ukła
dy s
ił: z
bie
żn
e, ró
wn
ole
głe
,
do
wo
lnie
skie
row
an
e
Ide
nty
fika
cja
ukła
du
sił:
RS
= ?
n
= ?
Ró
wn
an
ia r
ów
no
wa
gi
Sta
tyka
, p
raw
a s
taty
ki
Ukła
d s
taty
czn
ie n
iew
yzn
acza
lny
n >
RS
Ukła
d s
taty
czn
ie w
yzn
acza
lny
n =
RS
Sto
pie
ń s
taty
czn
ej
nie
wyzn
acza
lno
ści
X =
n -
RS
Ukła
d r
ów
na
ń g
eo
me
tryczn
ych
X
Ro
zw
iąza
nie
ukła
du
ró
wn
ań
nS
iły w
ew
nę
trzn
e,
na
prę
że
nia
Od
kszta
łce
nia
,
prz
em
ieszcze
nia
Hip
ote
za
wytr
zym
ało
ścio
wa
Wa
run
ek
wytr
zym
ało
ścio
wy
Do
bó
r:
- o
bcią
że
ń
- w
ym
iaró
w
Kla
syczn
e m
eto
dy
wytr
zym
ało
ści ko
nstr
ukcji
Ch
ara
kte
rysty
ki g
eo
me
tryczn
e
fig
ur
pła
skic
h:
- p
ole
po
wie
rzch
ni
- śro
de
k c
iężko
ści
- m
om
en
ty s
taty
czn
e
- m
om
en
ty b
ezw
ład
no
ści
- g
łów
ne
mo
me
nty
be
zw
ład
no
ści
Mo
de
l ko
nstr
ukcji
Sp
osó
b o
bcią
że
nia
ko
nstr
ukcji
Wa
ły
Prę
ty
Be
lki
Prę
ty
uo
gó
lnio
ne
Ra
my, łu
ki
Pły
ty,
po
wło
ki
Prę
ty
cie
nko
ście
nn
e
Ro
zcią
ga
nie
Skrę
ca
nie
Zg
ina
nie
Ob
cią
że
nia
zło
żo
ne
Wytr
zym
ało
ść
zło
żo
na
Me
tod
y
en
erg
ety
czn
e
Me
tod
y
nu
me
ryczn
e
Do
św
iad
cza
lne
me
tod
y
wytr
zym
ało
ści m
ate
ria
łów
Me
tod
a e
lem
en
tów
sko
ńczo
nych
ME
S
Za
łoże
nia
, u
pro
szcze
nia
Pro
ce
du
ry, m
eto
dy
Te
oria
sp
rężysto
ści
Te
oria
pla
sty
czn
ości
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 89
CHARAKTERYSTYKA
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki
oraz wnioski wypływające z doświadczenia.
Pomostem łączącym mechanikę ciał sztywnych z wytrzyma-łością jest wspomniana już zasada zesztywnienia.
Pojęcie „wytrzymałość materiałów” można traktować jako ce-chę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu się niszczącemu działaniu sił.
Zadania „wytrzymałość materiałów” jako przedmiotu opisują-cego zachowanie się ciał odkształcalnych:
określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości),
wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obcią-żeniami (określanie sztywności konstrukcji).
Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki o praktycz-nym, inżynierskim charakterze. W rozwiązywaniu konkretnych zadań wykorzystuje się pewne uogólnienia i uproszczenia. Uproszczenia dotyczą opisu właściwości materiału i opisu kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki uproszczeniom rze-
czywisty obiekt zostaje przekształcony w pewien model, który umożliwia rozwiązanie problemu za pomocą określonego
schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy) musi zachowywać istotne dla rozwiązywanego problemu cechy i właściwości rzeczywistego obiektu.
UPROSZCZENIA W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW:
modelu ciała ciało jednorodne,
właściwości materiału ciało izotropowe, którego właści-wości we wszystkich kierunkach są identyczne (ciało ani-zotropowe – różne właściwości), ciało sprężyste
sposobu rozwiązywania uproszczenia inżynierskie.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 90
Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem cia-
ła jednorodnego, izotropowego, idealnie sprężystego
i charakteryzuje się praktycznym, inżynierskim podej-
ściem do rozwiązywanych problemów.
UWAGA: powyższy model ciała stanowi podstawę klasycznej wytrzymałości materiałów. Współczesny rozwój techniki wyma-ga zastosowania materiałów o wysokim stopniu zaawansowania technologicznego (materiały high-tech, high-technology)
1.
Wytrzymałość materiałów bada przede wszystkim siły
wewnętrzne, będące wynikiem oddziaływania między po-szczególnymi cząstkami ciała jednorodnego.
Jednym z głównych zadań wytrzymałości materiałów jest
rozwiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych, w których liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi. W praktyce inżynierskiej spotyka się przede wszystkim zadania statycznie niewyznaczalne.
PODSTAWOWYMI MODELAMI NOMINALNYMI W WYTRZY-
MAŁOŚCI MATERIAŁÓW SĄ PRĘTY, WAŁY I BELKI.
PRĘTY – ROZCIĄGANIE
WAŁY – SKRĘCANIE
BELKI –ZGINANIE
PRĘT UOGÓLNIONY ROZCIĄGANIE + SKRĘCANIE +
+ ZGINANIE
1 Patrz rozdział 14: Zagadnienia wybrane
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 91
Model nominalny (fizyczny) w sposób uproszczony powinien wiernie przedstawiać badany fragment rzeczywistości (muszą być spełnione prawa podobieństwa modelowego). Korzysta on ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uprosz-czenia, będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów, muszą być w modelu nominalnym odpowiednio uzasadnione i doświadczalnie zweryfikowane.
Pręt uogólniony, uzupełniony o pojęcia siły uogólnionej oraz prze-mieszczenia uogólnionego stanowi podstawowe narzędzie umożliwiają-ce zastosowanie w praktyce inżynierskiej METOD ENERGETYCZNYCH.
SIŁY WEWNĘTRZNE
W wytrzymałości materiałów siły zewnętrzne czynne są siłami obciążającymi konstrukcję. Siły zewnętrzne bierne ujawniają się po uwolnieniu konstrukcji od więzów. Dla ujawnienia sił we-
wnętrznych korzysta się z tzw. zasady myślowych przekro-
jów.
Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu my-
ślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji i myślowego
(wirtualnego) rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki te-mu rozdzieleniu ujawniają się siły wewnętrzne, które muszą być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na rozpatrywaną część ciała.
PŁASZCZYZNA MYŚLOWEGO PRZEKROJU
- siły zewnętrzne czynne i bierne
1F
3F
M1
M2
4F
2F
MiFi ,
Idea myślowych przekrojów
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 92
Siły wewnętrzne w myślowo podzielonym ciele stałym
Uporządkowane siły wewnętrzne
N – siła normalna (siła osiowa),
TY, TZ – siły poprzeczne (siły tnące, siły ścinające),
MX – moment skręcający,
MY, MZ – momenty zginające.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 93
PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻEŃ:
rozciąganie (ściskanie), gdy działa tylko siła N; siła N skie-rowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą do-datnią, powodującą rozciąganie (znak „+”); siła N skierowana do wewnątrz powoduje ściskanie (znak „–”);
ścinanie, gdy działa jedna z sił poprzecznych TY lub TZ;
skręcanie, gdy działa moment skręcający MX;
zginanie, gdy działa jeden z momentów zginających; moment MZ powoduje zginanie przekroju w płaszczyźnie XY (piono-wej), natomiast moment MY zginanie w płaszczyźnie XZ (po-ziomej).
W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone
przypadki obciążenia, będące kombinacją wymienionych wy-
żej prostych przypadków. Złożone przypadki obciążeń są ko-
lejną charakterystyczną cechą wytrzymałości materiałów.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 94
NAPRĘŻENIA
Statycznie równoważne układy sił
STATYKA CIAŁA SZTYWNEGO – analiza sił zewnętrznych (badanie związków miedzy obciążeniami i reakcjami więzów).
WYTRZYMAŁOŚC MATERIAŁÓW – analiza „wytrzymałości” konstrukcji (zdolności do przenoszenia obciążeń i zachowania sztywności – podatności na odkształcenia).
Do oceny wytrzymałości danego przekroju
wprowadzono pojęcie naprężenia.
Definicja naprężenia
Naprężeniem w punkcie C nazywa się wektor zdefiniowa-
ny zależnością:
dA
dN
A
NlimA
0.
Jednostką naprężenia jest paskal [Pa]: 2m
niuton .
PRAKTYKA INŻYNIERSKA: megapaskal, 1 MPa = 106 Pa.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 95
ZWIĄZKI MIĘDZY SIŁAMI WEWNĘTRZNYMI
I NAPRĘŻENIAMI
Schemat sił wywołanych naprężeniami w myślowym przekroju z układem osi XYZ:
UWAGA: równania statyki można formułować tylko dla sił. W równaniach równowagi dla przestrzennego układu sił wystę-
pują siły xdA, xydA, xzdA. Dla sześciu równań statyki otrzymu-je się:
A A A
xzzxyyx dAT,dAT,dAP ,
A A
xzxy
A
xyxzx .ydAσM,zdAσM,dAzτyτM
Poniższa tabela pokazuje związek między naprężeniami i siłami wewnętrznymi:
Naprężenia
normalne :
rozciąganie prętów N, zginanie w płaszczyźnie pionowej MZ, zginanie w płaszczyźnie poziomej MY
Naprężenia
styczne xy, xz:
ścinanie TY, ścinanie TZ, skręcanie MXY
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 96
ODKSZTAŁCENIA I PRZEMIESZCZENIA Działanie sił – odkształcenia i przemieszczenia.
Odkształcenia i przemieszczenia
RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ:
– liniowe, które są określane jako wektor o początku w pew-nym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym samym punkcie ciała odkształconego,
– kątowe, które są określane za pomocą kąta zawartego po-między dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatry-wanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształce-niu.
Przemieszczenia ciała są wynikiem odkształceń.
Wydłużenie liniowe (odkształcenie wzdłużne, wydłużenie względne, jednostkowe, właściwe) określa się z zależności
.dy
dy'dy
y
y'ylim,
dx
dx'dx
x
x'xlim
yy
xx
00
Odkształcenia postaciowe (odkształcenie poprzeczne, kąt od-kształcenia postaciowego) są określone:
.yx,xy 0
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 97
DOŚWIADCZALNE PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA. – określa związek pomiędzy naprężeniami i odkształceniami, – dostarcza podstawowych informacji o właściwościach wy-
trzymałościowych materiałów, – umożliwia prowadzenie obliczeń wytrzymałościowych wyko-
rzystujących warunek wytrzymałościowy.
Wykres rozciągania dla materiału z wyraźną granicą plastyczności
Odcinek OA – liniowa zależność między obciążeniem i wydłu-
żeniem. Jest to więc zakres ważności prawa Hooke'a. Prawo Hooke’a to związek fizyczny:
E
= F/A0, – naprężenie, A0 – początkowy przekrój próbki;
= L/L0, – wydłużenie względne próbki, L0 – początkowa długość próbki;
E – współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący odkształ-calność materiału, moduł (współczynnik) sprężystości
wzdłużnej, moduł Younga [MPa].
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 98
Punkt A – granica proporcjonalności. Punkt B – granica sprężystości. Punkt C, D – granica plastyczności. Punkt E – wytrzymałość na rozciąganie
(wytrzymałość doraźną).
Za pomocą statycznej próby rozciągania określa się podsta-wowe właściwości mechaniczne (wytrzymałościowe) stosowa-nych w praktyce inżynierskiej materiałów konstrukcyjnych:
– moduł Younga E [MPa,
– współczynnik Poissona, wyrażona jako stosunek wydłużenia
poprzecznego do wzdłużnego, oznaczona symbolem
,'
– wydłużenie wzdłużne, ' – wydłużenie po-przeczne; liczba Poissona mieści się w prze-
dziale 0 < < 0,5 ( = 0 – korek, beton, = 0,5 – kauczuk);
– granica plastyczności Re [MPa];
– wytrzymałość na rozciąganie Rm [MPa],
– wydłużenie, zdefiniowane zależnością ,%L
LLA u 100
0
0
gdzie: L0 – długość początkowa próbki, Lu – długość próbki po zerwaniu;
– przewężenie, zdefiniowane zależnością ,%A
AAZ
u
u1000
gdzie: A0 – początkowy przekrój próbki, Au – przekrój próbki po zerwaniu.
PRAWO HOOKE’A: E
.
Naprężenie: A
P , wydłużenie:
L
L ,
Druga postać prawa Hooke’a: .
AE
LPL
EA – sztywność przekroju na rozciąganie.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 99
Wykresy rozciągania dla najczęściej stosowanych materiałów w budowie maszyn:
Porównanie wykresów rozciągania stali węglowej poddanej obróbce cieplnej
Wykres rozciągania materiału bez wyraź-nej granicy plastyczności (wyznaczanie
umownej granicy plastyczności)
Porównanie wykresów rozciągania stali, duralu (stopy AL.) i brązu (stopy Cu)
Wykres ściskania i rozciągania żeliwa
NAPRĘŻENIA DOPUSZCZALNE
Naprężenia dopuszczalne są miarą wytężenia materiału:
,nnieb
dop
gdzie: nieb – naprężenie przyjęte za niebezpieczne (granica plastycz-
ności, wytrzymałość materiału na rozciąganie), n – współczynnik bezpieczeństwa.
Współczynnik bezpieczeństwa n musi być większy od 1.
Wyznaczanie właściwego współczynnika bezpieczeństwa należy do trudniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Przy dobo-rze n należy uwzględnić wiele czynników, co wymaga dużej wiedzy teo-retycznej oraz olbrzymiego doświadczenia zawodowego (patrz tablica).
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 87
Wg: M. E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: WZORY, WYKRESY I TABLICE WYTRZYMAŁOŚCIOWE. Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 2007
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 87
W przypadku braku bliższych danych, w pierwszym przybliżeniu moż-na określić współczynnik bezpieczeństwa jako iloczyn czterech współ-czynników cząstkowych z tablicy przedstawionej na poprzedniej stronie:
4321 xxxxn
gdzie x1 – współczynnik pewności założeń przy budowie modelu mate-matycznego, x2 – współczynnik ważności projektowanego wyrobu, x3 – współczynnik jednorodności materiału, x4 – współczynnik zachowania kształtu. Dla danych przedstawionych w tabeli, współczynnik bezpie-
czeństwa n = 1,0 6,12.
Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa to jedno z podsta-wowych zagadnień w projektowaniu. Wymagania:
Znajomość całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicz-
nych i eksploatacyjnych – WIEDZA SYSTEMOWA, z uwzględnie-niem wpływu działalności inżynierskiej na środowisko (otoczenie).
Posiadanie wiedzy teoretyczną (wiedza jawna), oraz odpowiedniej
wiedzy praktycznej (wiedza ukryta).
Odpowiedzialność i samokontrola, asertywność, umiejętność
podejmowania decyzji i skalkulowanego ryzyka.
CZYNNIKI WPŁYWĄJACE NA WYBÓR WSPÓŁCZYNNIKA
BEZPIECZEŃSTWA:
1. Niejednorodna struktura materiału (wtrącenia).
2. Naprężenia wstępne (obróbka cieplna, naprężenia montażowe, na-prężenia termiczne).
3. Charakter obciążenia:
losowość obciążenia (obciążenia przypadkowe),
zmienność obciążenia (zmęczenie materiałów),
obciążenia dynamiczne (udarowe).
4. Warunki eksploatacji (zużycie, korozja).
5. Spiętrzenia naprężeń (karby, niedokładności wykonania i obciąże-nia).
6. Niedoskonałość metod obliczeniowych:
zbyt daleko idące uproszczenia,
błędy modelowania,
niedoskonałość metod analitycznych.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 88
W nowocześnie rozumianej wytrzymałości materiałów zaczyna domi-nować tendencja do precyzyjnego określania rzeczywistych współczyn-ników bezpieczeństwa. Jest to zagadnienie o złożonym charakterze, wymagającym uwzględnienia następujących aspektów:
ekonomicznych (kosztów projektowanych konstrukcji),
bezpiecznej pracy konstrukcji,
niezawodnej pracy konstrukcji.
Uwzględnienie tych i innych aspektów powoduje, że obliczenia wy-trzymałościowe stają się coraz bardziej skomplikowane, odpowiedzialne i wymagają stosowania najnowszych osiągnięć nauki, techniki kompute-rowej i informatyki. OBLICZENIA TE MAJĄ CHARAKTER SYSTEMOWY
(MECHATRONICZNY) – PROJEKTOWANIE SYSTEMOWE (projekto-
wanie uwzględniające optymalizację konstrukcji).
Konstrukcja bezpieczna oprócz spełnienia warunków bezpiecznej
pracy (wytrzymałości i sztywności) musi także sygnalizować przeciąże-
nie konstrukcji (rysy, pęknięcia, osiadanie). Konstrukcja powinna być tak zaprojektowana, aby umożliwić ewakuację ludzi i sprzętu (nie ulegać nagłemu, nie sygnalizowanemu zniszczeniu).
WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY
Warunek wytrzymałościowy (warunek wytrzymałości) ma postać:
.dopmax
Warunek wytrzymałościowy stanowi podstawę obliczeń wytrzymało-ściowych na „naprężenia dopuszczalne”. Prostota tego warunku powo-duje, że dominuje on w procesach projektowania większości konstrukcji inżynierskich. Z warunku wynika, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy element, w którym pojawią się naprężenia do-puszczalne. Korzystanie z niego umożliwia zrealizowanie obu zadań wy-trzymałości materiałów, czyli:
– określenie dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o znanych wy-
miarach,
– określenie koniecznych wymiarów konstrukcji dla zadanego ob-
ciążenia. Postawą obliczeń wytrzymałościowych są właściwości materiału uzy-
skane za pomocą statycznej próby rozciągania.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 89
INNE WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE: Warunek sztywności konstrukcji
dopLL .
Warunek stateczności konstrukcji (konstrukcje cienkościenne)
krPP , gdzie Pkr to obciążenie krytyczne dla danej konstrukcji.
Warunek wytrzymałości zmęczeniowej. Inne – np. warunek na pełzanie(wzrost odkształceń przy stałym po-
ziomie naprężeń), relaksacja (zmiana naprężeń przy stałym poziomie odkształceń).
PRAKTYKA INŻYNIERSKA: jednoczesne spełnianie ww. warunków.
Obliczenia wytrzymałościowe oparte na koncepcji naprężeń dopusz-
czalnych są powszechnie stosowane w praktyce inżynierskiej. Ich wadą
jest to, że o bezpieczeństwie całej konstrukcji decyduje wartość na-
prężenia w jednym tylko miejscu. Jest to sposób projektowania zakła-dający, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy ele-ment. Gdy w konstrukcji występują spiętrzenia naprężeń, ścisłe trzyma-
nie się tego sposobu (koncepcji, filozofii projektowania) prowadzi do jej przewymiarowania. W związku z tendencją do urealniania współczynni-ków bezpieczeństwa coraz częściej stosuje się inne koncepcję obliczeń wytrzymałościowych.
INNE METODY PROJEKTOWANIA
BEZPIECZNYCH KONSTRUKCJI
1. Metoda obciążeń granicznych – dopuszcza występowanie w konstruk-cji odkształceń plastycznych (schematyzacja wykresów rozciągania).
2. Metoda naprężeń granicznych: obciążenie obliczeniowe )e(
ii PP ,
gdzie )e(
iP – i-te obciążenie charakterystyczne (przenoszone siły, ciężar
własny, temperatura itp.), i – współczynniki obciążeń stałych, zmien-nych oraz uplastycznienia materiału.
3. Metoda stanów granicznych – stanu granicznego nośności lub stanu granicznego użytkowania. Metoda oparta jest na skodyfikowanych międzynarodowych przepisach i normach (Eurokody).
4. Metoda elementów skończonych MES (Finite Element Metod FEM)
Zalety MES: określanie rzeczywistych współczynników bezpieczeństwa, odejście od filozofii projektowania na „najbardziej obciążony element”
i dążenie do wyrównania wartości naprężeń w całej konstrukcji.
Wady MES: eksperyment numeryczny, konieczność doświadczalnej weryfikacji rozwiązań.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 90
ZASADA SUPERPOZYCJI Podstawa: prawo Hooke’a (liniowy związek między obciążeniem i odkształceniem).
Rezultaty działania kilku sił są równe sumie (algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów,
otrzymywanych w wyniku działania każdej siły oddzielnie.
ZADANIA STATYCZNIE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
W wytrzymałości materiałów przeważają zagadnienia sta-
tycznie niewyznaczalne, tzn. takie, gdzie liczba niewiadomych przekracza liczbę równań równowagi, które mogą być napisane dla tego zagadnienia. Różnica między liczbą niewiadomych a
liczbą równań równowagi określa tzw. stopień statycznej nie-
wyznaczalności zadania.
Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego: – określenie stopnia statycznej niewyznaczalności zadania
i wielkości statycznie niewyznaczalnych,
– utworzenie odpowiedniej liczby tzw. równań geometrycz-
nych z wykorzystaniem warunków nierozdzielności (łączno-ści) konstrukcji.
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI ZALEŻY
OD SPOSOBU PODPARCIA KONSTRUKCJI.
INTERPRETACJA ZNAKÓW W RÓWNANIACH STATYKI w
wytrzymałości materiałów wymaga bezwzględnego przestrze-
gania zasady zgodności odkształceń elementów konstruk-
cji ze znakami sił założonymi w równaniach statyki.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 91
Zadania statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne
Schemat konstrukcji
Schemat sił
Liczba równań statyki
RS
Liczba nie-
wiadomych n
Stopień statycznej niewyznaczalno-
ści
X = n – RS
2 2 0
2 3 1
1 1 0
1 2 1
2 2 0
2 3 1
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 92
RACHUNEK JEDNOSTEK
Wielokrotności i podwielokrotności jednostek podstawowych:
mega (M) 106 1000000
kilo (K) 103 1000
centy (c) 10–2
0,01
mili (m) 10–3
0,001
mikro () 10–6
0,000001
nano (n) 10–9
0,000000001
PRZELICZNIK JEDNOSTEK
KONTROLA POPRAWNOŚCI WZORÓW
PRZYKŁAD Za pomocą prawa Hooke'a obliczyć przelicznik jednostek, je-
żeli P jest wyrażone w kiloniutonach [kN], L w metrach [m], E w megapaskalach [MPa], A w centymetrach kwadratowych [cm
2].
.mmm
mm
m
cm
kN
MN
cmMN
mkN
cmm
MN
mkNL
,mmEA
PLL
43
2
24
32
3
2
2
101
10
1
10
10
1
PRZYKŁAD Określić związek pomiędzy momentem skręcającym, mocą i
liczbą obrotów wału przenoszącego tę moc.
Z dynamiki znany jest wzór: N = M , gdzie N [kW] – moc, MS
[Nm] – moment skręcający, [rad/s] – prędkość kątowa. Po
podstawieniu: = 2, gdzie [1/s] – częstość kątowa, n = 60 [obr/min], otrzymuje się:
.mN9550mN3,9549mN2
1060
s
1
60
2min
obr1
kW1
s
mN10
min
obr
kW
n
NM
33
S