primera unidad operaciones a corto plazo ......6 273 problema no. 3: una empresa vende artículos...
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UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN
DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS
CAMPUS VILLA NUEVA
CURSO MATEMATICA FINANCIERA
Lic. Manuel de Jesús Campos Boc
PRIMERA UNIDAD
OPERACIONES A CORTO PLAZO
INTERES SIMPLE
-Concepto: es el rendimiento del capital entregado en préstamo. Es el
precio del dinero. Es la renta que gana un capital. Es el rédito que hay
que pagar por el uso de dinero tomado en préstamo. Es la ganancia
directa producida por un capital.
-Operaciones financieras a corto plazo: corresponde a esta
clasificación todas aquellas operaciones que se realizan hasta un año
plazo. Se aplican principalmente en el interés y el descuento simple. Por
ejemplo:
-Un mes
-Tres meses
-Seis meses
-Un año
-Operaciones financieras a largo plazo: son aquellas operaciones cuyo
término excede del año. Se aplica principalmente en el interese
compuesto y a las anualidades.
-Un año
-Dos años
-Tres años
-Cinco años
Clases de Interés
-Interés Simple: es el rendimiento calculado siempre sobre el capital
original, el cual permanece invariable durante todo el tiempo, por lo que
los intereses que se obtienen en cada periodo, es siempre el mismo.
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Por ejemplo: Prestamos Q100.00 para devolver a los cuatro años, al 15%
de interés anual simple. Al calcular el interés por cada año nos da
Q15.00; al final de los cuatro años tendremos que pagar los Q15.00 de
cada año por 4, es decir Q60.00 de intereses calculados sobre los Q100.00
prestados. Quiere decir que el interés correspondiente a cada periodo
anual siempre es el mismo, Q15.00 por año.
-Interese Compuesto: es el rendimiento que si no se paga en el
periodo, se aumentan al capital y junto con él, produce más interese. Por
lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es mayor, pues está
calculado sobre el capital original más los interese de los periodos
anteriores.
Por ejemplo: tomando el anterior.
-Diferencia entre el interés simple y compuesto: el interés simple se
utiliza más en operaciones a corto plazo, es decir en periodos menores de
un año, ya que en ese lapso tiene más rendimiento que el interés
compuesto, el cual se aplica principalmente en operaciones mayores de un
año, es decir a largo plazo, ya que en ese lapso produce más que el
interés simple.
-Grafica de tiempo y de valor: para plantear y comprender mejor los
problemas de matemáticas financieras, en ellos imaginariamente
describimos valores y tiempo, asumiendo que si en la gráfica nos
movemos de izquierda o derecha, si nos movemos a la derecha en el
tiempo estamos trasladándonos hacia el futuro, y si en la gráfica nos
movemos hacia la izquierda, en el tiempo estamos transportándonos hacia
el pasado. En estas gráficas definimos periodos de tiempo y asignamos
valores.
CAPITAL
INTERES 15AÑOS 2 3 4 TOTALINTERESES 15.00Q 15.00Q 15.00Q 60.00Q
100.00Q
1
15.00Q
%
CAPITAL
INTERES 15AÑOS 2 3 4 TOTALINTERESES 17.25Q 19.84Q 22.81Q 74.90Q
100.00Q
%
1
15.00Q
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Por ejemplo: (Línea del tiempo)
Factores que Intervienen en el Cálculo del Interés
Para poder calcular el interés, son necesarios los tres factores siguientes:
el capital o principal, el tiempo y la tasa de interés. La falta de uno de
ellos es suficiente para ya no calcular el interés. No existe interés si el
capital que se presta es igual a cero. Tampoco se paga el interés si no se
ha definido una tasa a cobrar o bien si no ha pasado tiempo en que se
haya usado el dinero.
-Capital o Principal: definimos de esta maneara al dinero sobre el cual
se aplica el interés. Adquiere bastante importancia saber determinar la
cantidad correcta del capital o principal que servirá de base para el cálculo
del interés.
-Tiempo: es el lapso o periodo durante el cual el capital ha sido prestado.
Su medición se hace con base en el año. La unidad mínima de medida es
un día.
-Tasa de Interés: es la medida de cobre o pago que se hace por utilizar
o aprovechar determinada suma de dinero. Generalmente se mide por
ciento, y de esa cuenta en los bancos, almacenes, farmacias, restaurantes
y otros, escuchamos diversos porcentajes, 2%, 5%, 12%, 20%, que nos
indican ya sea el recargo, descuento, propina, que se calcula sobre una
cantidad principal (capital) debemos pagar. Estos porcentajes
corresponden a las formas de determinar la tasa de interés.
14 de Enero 30 de Junio 15 de Diciembre
PASADO PRESENTE FUTURO
Origen TIEMPO TOTAL
331 DÍAS
TIEMPO TOTAL Q150.00
166 DÍAS
Q80.00 TIEMPO TOTAL
165 DÍAS
Q70.00
PERIODOS DE TIEMPO (meses de 30 días)
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Homogeneización o Estandarización de los Factores
Para utilizar adecuadamente los factores del interés y aplicarlos en las
formulas correspondientemente, debemos estandarizarlos u
homogeneizarlos y además para facilitarlo se le asigna una Simbología,
así:
Ejemplos:
NOTA:
PARA PODER CALCULAR BIEN EL INTERÉS, DEBEMOS SABER
APLICAR LOS DATOS, TODOS SOBRE UNA MISMA BASE, POR ESO
LA IMPORTANCIA DE SABERLOS HOMOGENEIZAR.
Tanto por uno anual
Calculo sobre los anteriores
BASE PARA LA
ESTANDARIZACIÓNSIMBOLOGÍAFACTORES
Tasa de Interés
Interés
p
n
i
I
Capital o Principal
Tiempo
Unidad de moneda
Un año
p = 5,000.00
p = 12,500.00
n = 8
n = 0.666666666 8 ∕ 12
n = 0.022222222 8 ∕ 360
n = 2 4 ∕ 2
i = 0.25 25 ∕100
i = 0.3 15 ∕100 x 2= 0.30
i = 0.2 5 ∕100 x 4= 0.20
p = 55,124.50
i = 0.25 90 ∕ 360Un plazo de 90 días
Un tiempo de 4 semestres
Una tasa del 25% anual
Una tasa del 15% semestral
Una tasa del 5% trimestral
Un préstamo de Q55,124.50
Un capital de Q5,000.00
Un adeudo de Q12,500.00
Un tiempo de 8 años
Un tiempo de 8 meses
Un tiempo de 8 días
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Formula del Interés Simple
Por definición decimos que el interés simple es el producto de los
elementos que intervienen en su cálculo:
Entonces el interés simple es igual al Principal por el Tiempo por la
tasa de Interés.
Como ya conocemos la simbología a aplicar, podemos definir la formula
así:
Aplicación:
Problema No. 1: Un capital de Q. 18,000.00 invertido durante 15 meses
al 6% de interés simple trimestral. ¿Cuánto producirá de intereses?
Lo primero que debemos hacer es homogeneizar los elementos o datos del
problema, para poderlos relacionar y aplicar correctamente en la formula.
Problema No. 2: El 15 de enero de este año, se contrató un préstamo de
medio millón de quetzales al 2% de interés mensual, se canceló el 15 de
octubre de ese mismo año (año de 365 0 366 días). ¿Cuánto se pagó de
interés?
I = P n i
18,000.00 X 1.25 X 0.24 =
RESPUESTA:
I = P n i
Aplicando la formula:
El interés que produce es Q.5, 400.00
DATOS:P = 18,000.00
n = 1.25
i = 0.24
(Por que la base es el tanto por uno anual, así que el 6% se
divide entre de 100, y como en el año hay 4 trimestres, se
multiplica por 4)
(Por que la base es el año. 15 meses los dividimos entre los
12 meses del un año y da 1.25 )
(Por que la base es la unidad monetaria)
DATOS:P = 500,000.00
n = 0.747945
i = 0.24
( 273 / 365= 0.747945)
(2 /100 X 12 = 0.24 anual)
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Problema No. 3: Una empresa vende artículos electrónicos al contado y
a plazos. Una plancha tiene un precio de contado Q85.00 y se da al
crédito en dos pagos, uno de enganche de Q40.00 y otro a un año plazo.
Si la empresa tiene políticas de cargar un 20% de interés anual por
financiamiento, de qué valor debe ser el segundo y último pago.
Como vemos, hay que establecer bien el capital base para la operación.
Si se considera un capital de Q85.00, no se toma en cuenta el engancha y
la respuesta seria incorrecta.
DATOS:
P = 45.00
n = 1
i = 0.20
(Precio de contado Q85.00, pero se recibe un enganche de
Q40.00, el financiamiento que se otorga es 85-40=45)
45.00 X 1 X 0.20 =
RESPUESTA: El interés que produce es 9.00Q
Aplicando la formula:
I = P n i
MESES DIAS
Enero = 16
Febrero = 28
Marzo = 31
Abril = 30
Mayo = 31
Junio = 30
Julio = 31
Agosto = 31
Septiembre = 30
Octubre = 15
TOTAL = 273
273 / 365
0.747945
500,000.00 X 0.747945 X 0.24 =
RESPUESTA:
I = P n i
El interés que produce es 89,753.40Q
Aplicando la formula:
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Luego, el paso será de Q45.00 de la deuda y Q9.00 de interés. Quiere
decir que hay que hacer un segundo pago de Q54.00. Esta última suma,
constituida por el capital y el interés calculado, se le conoce también como
MONTO, los que se estudiara más adelante.
Interés en Fracción de Año
Cuando se tiene que calcular el interés para fracción de año, se presentan
cuatro métodos que benefician en más o en menos a quienes tengan que
cobrar o pagar el interés.
La fórmula del interés siempre es la misma, I=P n i, teniendo el cuidado
de que el valor de “n” estará definido por el método que se trate. Por lo
tanto, la fórmula del interés “n” puede ser de cuatro formas siguientes:
NOTA: El valor de “n” está definido en los paréntesis, según el
método.
Cálculo del Tiempo en Fracción de Año
(Asignación de valores de “t” y “n”)
Si hoy recibimos una cantidad de dinero en calidad de préstamo, la cual
pagamos el día de mañana, cuanto tiempo nos cobran de interés (uno o
dos días). Tanto el día que se recibe el dinero, como el día en que se
paga, se conocen como días terminales, de los cuales, para el computo del
tiempo se toma en cuenta uno solo de ello, el primero o el ultimo.
METODODETERMINACION
DE "n"Exacto t=365 ó t=366
Ordinario t=360
Obligaciones h=360
Mixto h=365
t= número exactos de días
entre fechas
h= número de días entre
fechas, considerando todos los
meses de 30 días
SIGNIFCADO DE:
METODO FORMULA
EXACTOI = P x i x (t/365) ó
(t/366)
ORDINARIO I = P x i x (t/360)
OBLIGACIONES I = P x i x (h/360)
MIXTO I = P x i x (h/365)
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En Guatemala la Junta Monetaria ha distado resoluciones al respecto,
contenidas dentro de las Medidas y Políticas Monetarias, en las cuales
señala que: “Para el cálculo de interés y recargo se incluirá el día de
apertura de la cuenta o entrega de los fondos y se excluirá el día de
vencimiento de la obligación”. Es decir se incluye el primer día terminal y
se excluye el último.
Entre dos fechas cualquiera, podemos encontrar el número de días
exactos (t), o bien el número de días considerando todos los meses de 30
días (h). Siempre, insistimos, hay que computar uno sólo de los días
terminales.
Volviendo a la pregunta de cuantos días calcular si recibimos un préstamo
hoy y lo pagamos mañana. Vemos que hay dos días terminales, hoy y
mañana, de los cuales solamente habrá que tomar uno, por lo tanto el
plazo del préstamo es de un día.
Ejemplos: Valores de h. (En este caso todos los meses se consideran de
30 días, por lo tanto es más fácil)
Ejemplos: Valores de t. (En este caso hay que considerar los días que
tiene cada mes según el calendario, no es más difícil sino más laborioso
que determinar h.
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Hoy Mañana
Dos días terminales
Un dia plazo
1.- Del 15 de enero 15 de septiembre del mismo año
2.- Del 23 de febrero 23 de agosto del mismo año
3.- Del 10 de abril 18 de enero siguiente año
4.- Del 19 de septiembre 4 de agosto siguiente año
5.- Del 7 de febrero 24 de diciembre mismo año
6.- Del 8 de marzo 6 de enero siguiente año
h=(10x30)+15= 315
h=( 10x30) + 17 = 317
h=(9x30)+28= 298
h= 8 x 30= 240
h= 6 x 30= 180
h= (9X30) + 8= 278
Del 15 de enero
Al 15 de septiembre
Enero 16
Febrero 28
Marzo 31
Abril 30
Mayo 31
Junio 30
Julio 31
Agosto 31
Sep 15
TOTAL 243
del mismo año
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Ahora que ya conocemos los cuatro métodos de interés simple podemos
resolver el siguiente problema.
Ejemplo: Hallar el interés simple que gana Q152, 345.00 al 15% anual, si
se colocaron el 10 de abril y se retiraron el 10 de junio del 2014.
1.-Método ordinario
2.- Método exacto
3.- Método de las obligaciones
DATOS:
P = 152,345.00 n = 0.1694 (61 / 360 = 0.1694)
i = 0.15 (15/100= 0.15)
Meses Días "t"
Abril (30-10= 20) 20
Mayo 31
Junio 10
TOTAL DE DIAS 61
DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS
152,345.00 X 0.1694 X 0.15 =
RESPUESTA:
Aplicando la formula:
I = P n t/360 i
El interés que produce es 3,872.10Q
Meses Días "t"
Abril (30-10= 20) 20
Mayo 31
Junio 10
TOTAL DE DIAS 61
DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS
152,345.00 X 0.1671 X 0.15 =
RESPUESTA:
Aplicando la formula:
I = P n t/365 i
El interés que produce es 3,819.06Q
DATOS:
P = 152,345.00 n = 0.1671 (61 / 365 = 0.1671)
i = 0.15 (15/100= 0.15)
DATOS:
P = 152,345.00 n = 0.1667 (60 / 360 = 0.1666)
i = 0.15 (15/100= 0.15)
Meses Días "h"
Abril (30-10= 20) 20
Mayo 30
Junio 10
TOTAL DE DIAS 60
DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS
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4.- Método mixto
Con base en el problema anterior, podemos establecer que el método de
interés simple que produce mayor rendimiento es el método ordinario, por
lo que es el que tiene mayor aplicación. Generalmente al no señalar la
clase de método a aplicar, se utiliza el método ordinario.
En el sistema bancario, operaciones activas (prestamos, descuento de
documentos y otros productos financieros) se aplica el método de interés
simple exactos.
En el caso de los bonos y el pago de sus cupones, se aplica el método del
interés simple de las obligaciones. (De los bonos y obligaciones se deriva
su nombre).
Y el método mixto, que produce menor rendimiento, es el que menos se
utiliza. Es muy raro establecer su aplicación.
152,345.00 X 0.1667 X 0.15 =
RESPUESTA:
Aplicando la formula:
I = P n h/360 i
El interés que produce es 3,808.63Q
DATOS:
P = 152,345.00 n = 0.1644 (60 / 365 = 0.1644)
i = 0.15 (15/100= 0.15)
Meses Días "h"
Abril (30-10= 20) 20
Mayo 30
Junio 10
TOTAL DE DIAS 60
DIAS EXACTOS ENTRE FECHAS
152,345.00 X 0.1644 X 0.15 =
RESPUESTA:
Aplicando la formula:
I = P n h/365 i
El interés que produce es 3,756.45Q
1.- Método Ordinario Genero interese por 3,872.10
2.- Método Exacto Genero interese por 3,819.06
3.- Met. de la obligación Genero interese por 3,808.63
4.- Método mixto Genero interese por 3,756.45
RESUMEN DE LOS METODOS
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Formulas Derivadas del Interés
Si conocemos el interés podemos establecer las fórmulas para el Principal,
la tasa de interés y el tiempo, con la simple transposición de los términos
de la formula I = P x n x i, así:
En el casos del tiempo “n” tenemos que interpretar el resultado, ya que
depende del método que se esté aplicando, el número de días que resulte
de la formula puede corresponder a días calendario “t”, o a días
comerciales “h”.
P = n = i =I I I
i x n P x i P x n
P = P =
P = P =
i = i =
i = i =
n = n =
P x (h/360)
I
P x (h/365)
I
P x i
I
P x i
I
P x (t/365)
I
P x (t/360)
I
i x (t/365)
I
i x (h/360)
i x (t/360)
I
i x (h/365)
DEPENDIENDO EL METODO DE INTERÉS SIMPLE A APLICAR, VARIARA EL
VALOR DE "n" Y LAS FORMULAS QUEDARAN ASÍ:
I I
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Aplicación para determinar el Principal, la Tasa de Interés y
Tiempo partiendo del Interés.
Problema No 1:
Qué tiempo estuvo prestado un capital de Q7, 500.00 que al final generó
intereses de Q800.00 y la tasa que cobro fue del 5% anual.
Problema No. 2:
A qué tasa de interés se concedió un préstamo de Q10, 000.que al final de
5 años ganó Q800.00.
DATOS:
P = 7,500.00 I = 800.00 n = ?i = 0.05
DATOS:
P = 10,000.00 I = 800.00 n = 5i = ?
TASA DE INTERÉS
i = I 800.00
P x n 10,000.00 x 5
RESPUESTA:
1.6 anual (0.0160 x 100 = 1.6)Tasa de Interés:
Aplicando la formula:
la tasa de interés es 0.0160
NOTA: COMO NO INDICA METODO SE ASUME QUE ES EL ORDINARIO
TIEMPO
n = I 800.00
P x i 7,500.00 x 0.05
RESPUESTA:
Años: 2
Meses: 1 (48-30=18 días)
Dias: 18
(0.133333333 x 360= 48 días)
(2 -2.133333333)
Aplicando la formula:
El tiempo es de 2.133333333
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Problema No. 3:
Qué capital es necesario depositar en un banco que abona el 1.25% de
interés simple mensual, si queremos ganar Q5, 000.00 de interés cada 6
meses.
Variaciones en la Tasa de Interés
A veces se registran cambios en las tasas de interés sobre las inversiones.
Por ejemplo: Se ha invertido Q500.00 al 9% anual durante 10 días, y
luego esa misma suma gano intereses al 8% anual por 40 días. ¿Qué
intereses se cobrarían al final del plazo? (usar año comercial)
Primer paso: datos
Segundo Paso: la línea del tiempo
DATOS:
P = ?I = 5,000.00 n = 0.50 (1 año / 2 semestres)
i = 0.15 (1.25 /100 x 12)
CAPITAL
P = I 5,000.00
i x n 0.15 x 0.50
RESPUESTA:
Aplicando la formula:
El capital es 66,666.67Q
LINEA DE TIEMPO
Principal
500.00
Tasa de Interés 0.09 0.08
10 DIAS 40 DIAS
TOTAL
50 DIAS
CAMBIO DATOS:TASA DE INTERÉS P = 500.00
I = ?n = 10 40i = 0.09 0.08
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Tercer paso: la formula a utilizar.
1.- Si se toma año de 360 días. (Comercial)
2.- Si se toma año 365 o 366.
Cuarto paso: realizar la operación.
Respuesta: los intereses cobrados al final de plazo son de Q5.69
h h360 360
i+iP=I
t t365 365
I = P i + i
10 40
360 360
I = 500.00 0.09 x 0.02778 + 0.08 x 0.11111
I = 500.00 +
I = 500.00
I =
0.09 + 0.08
0.00250 0.00889
0.01139
5.69
I = 500.00