prismas módulo 21 – frente 4 apostila 3 teoria – pág. 20 e 21 exercícios – pág. 30
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PrismasMódulo 21 – Frente 4
Apostila 3Teoria – pág. 20 e 21Exercícios – pág. 30
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O prisma e suas formas
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O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.
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Definição Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.
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Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de faces
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
bases (polígonos congruentes).
faces laterais (paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.
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Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de arestas
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
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Elementos principais do prisma
h
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
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Nomenclatura dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrilátero
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
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Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal
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Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado, também, pela
posição das arestas laterais em relação ao plano da base.
Dizemos que ele é:
prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;
prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.
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Classificação dos prismas
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal
oblíquo
hh
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Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e aBase é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
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Prisma quadrangulares
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Prismas quadrangulares Todo prisma cujas bases são paralelogramos é
chamado paralelepípedo.
Paralelepípedo
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Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
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Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo
retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
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Estudo geral do prisma
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Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos;
A
B
C
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Áreas no prisma No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
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Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
3
5
64
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
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Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒
23x2√3 = 24√3
⇒ x2 = 16
⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 144 m2
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Princípio de Cavalieri
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Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
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Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um
mesmo plano , se
Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
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Princípio de Cavalieri A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.
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Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = AB.h
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h60º
Exemplos As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos
lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma.
6
45
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Exemplos O volume de um prisma hexagonal regular é igual a
486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total.
L
h
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Paralelepípedos e CubosMód. 22 – Frente 4
Apostila 3Teoria – pág. 21 e 22Exercícios – pág. 31
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Estudo do cubo
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Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das arestasa
aa
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a
aa
Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas
d
Dd → diagonal da face
D → diagonal do cubo
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Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
aa
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
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Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
aa
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
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Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de
aresta a, obtemos a figura.
aa
a
a
a
a
a
AT = 6a2
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Exemplo A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter
a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo?
AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3
d = a√2 ⇒ d = 3√2
D = a√3 ⇒ D = 3√3
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O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo
como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.
V = 1 u3
1 u1 u
1 u1 u
Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.
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O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo
como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume.
V = 1 u3
1 u1 u
1 u1 u
Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.
Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.
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Volume O volume de um sólido qualquer, numa certa
unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido.
Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo?
V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3
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Volume do cubo Analise as três figuras a seguir.
a = 1 uV = 1 u3
a = 2 u a = 3 uV = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3
De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é
V = a3
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Exemplo Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área
da superfície total e o volume desse cubo?
D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = √3
6 ⇒ a = 2√3 m
AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2
V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3
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Estudo do Paralelepípedo retângulo
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Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
ac
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
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ba
Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
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b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a,
b e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2
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Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3
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Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um
paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.
ac
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
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Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
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Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
Logo a = 4, b = 6 e c = 10.
D = √42 + 62 + 102
D = √16 + 36 + 100
D = √152
D = 2√38
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Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitárioV = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por
V = a.b.c
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Observação Podemos interpretar o volume de um
paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.
V = abc
V = AB.h
ab
c
A = ab
= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)
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Exemplos Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo
retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros?
A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela.
V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3
Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3.
V = 2 400 dm3 = 2 400 L
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Exemplos Uma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.