probab i lida des
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Supongamos que un suceso E tiene h posibilidades de ocurrir entre un total de n posibilidades, cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás.
Definición Clásica de Probabilidad,
ó «a piori»
n
h}EPr{p
Entonces, la probabilidad de que ocurra E (o sea un éxito) se denota por:
El total de las n posibilidades; las n resultados posibles del ensayo, experimento, etc.; se llama el espacio muestral y se denota por S
EJEMPLO: Sea el suceso E: obtener un número par en la tirada de un dado
Entonces E: obtener dos ó cuatro ó seis (obtener un número par en la tirada de un dado)
El espacio muestral S de los resultados posibles son: obtener uno, dos, tres, cuatro, cinco ó seis
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E = { 2, 4, 6 }
2
1
6
3}parobtenerPr{
La definición como frecuencia relativa, o probabilidad empírica, de un suceso se toma como la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso cuando el numero de observaciones es muy grande. La probabilidad misma es el límite de esa frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.
Definición como frecuencia relativa,
ó «a posteriori»
)EPr(frlimn
La frecuencia relativa de un suceso tiende a aproximarse
a su probabilidad cuando el número de pruebas crece
indefinidamente.
Ejemplo: se ha lanzado una moneda 200 veces. El número
de caras después de 20, 40, 60, ... , 200 se da en la tabla:
Pruebas 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Nº de caras 11 18 31 42 48 59 72 83 92 101
Fr. relativa 0,550 0,450 0,517 0,525 0,480 0,492 0,514 0,519 0,511 0,505
La probabilidad de
obtener cara en un
lanzamiento es 0,5
0,5 Los valores de la
frecuencia relativas obtenidas
se aproximan a 0,5.
6
0,42
0,46
0,5
0,54
0,58
20 60 100 140 180
Trazando la poligonal de frecuencias relativas correspondiente al
número de caras obtenidas al lanzar una moneda 20, 40, 60, … 200
veces, se observa:
p(cara) = 0, 5
La frecuencia relativa
tiende a la probabilidad
7
Se llama probabilidad a cualquier función p
que asigna a cada suceso E del espacio
muestral S un valor numérico p(E), verificando
los siguientes axiomas:
1.- No negatividad: 0 ≤ p(E)
2.- p(S) = 1
PROBABILIDAD AXIOMATICA
3.- Aditividad:
p(E1 E2) = p(E1) + p(E2)
si E1 ∩ E2 = Ø
(donde Ø es el conjunto vacío).
Kolmogorov A.
(1903- 1987)
8
SUCESOS INDEPIENDIENTES Y SUCESOS
DEPENDIENTES
Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que
E2 ocurra dado que haya ocurrido E1 se denota por
Pr{E2 E1}, o Pr{E2 dado E1} y se llama la
probabilidad condicional de E2 dado E1.
Si la ocurrencia o no de E1 no afecta para nada la
probabilidad de ocurrencia de E2, entonces
Pr{E2 E1} = Pr{E2} y diremos que E1 y E2 son
sucesos independientes, caso contrario, se dirá que
son sucesos dependientes.
Si denotamos por E1E2, el suceso de que “ambos E1
y E2 ocurran”, llamado un suceso compuesto,
entonces
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2 E1}
En particular,
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2} para sucesos
independientes
Para tres sucesos E1, E2 y E3, tenemos
Pr{E1E2E3} = Pr{E1} Pr{E2 E1} Pr{E3 E1E2}
En general, si E1, E2, E3, … En son n sucesos
independientes con probabilidades respectivas p1,
p2, p3, ... pn, entonces la probabilidad de que ocurran
E1 y E2 y E3 y … En es pl p2 p3 pn.
EJEMPLO: Sean E1 y E2 los
sucesos «cara en el primer
lanzamiento» y «cara en el
segundo lanzamiento» de una
moneda. Si la moneda no está
«trucada» los son sucesos
independientes y la probabilidad
de que salga cara en ambos
intentos es:
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2} = 0,5 0,5 = 0,25
EJEMPLO. Una bolsa contiene 3
bolas azules y 2 bolas rojas. Sea E1 el
suceso «la primera bola extraída es
roja» y E2 el suceso «la segunda bola
extraída es roja» en extracciones sin
reposición.
La probabilidad de que la primera bola sea roja es
La probabilidad de que la segunda sea roja, dado
que ya lo haya sido la primera, es:
Luego la probabilidad de que ambas sean rojas es
Pr{E2 E1} = 1/(3 + 1) = 1/4.
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2 E1} = 2/5 1/4 = 1/10.
Pr{E1} = 2/(3 + 2) = 2/5
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o más sucesos se llaman sucesos mutuamente
excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye
la de los otros. Si E1 y E2 son sucesos mutuamente
excluyentes, entonces Pr{E1E2} = 0.
Si E1 + E2 denota el suceso de que «ocurra E1 o bien E2 o
ambos a la vez», entonces
Pr{E1 + E2} = Pr{E1} + Pr{E2} – Pr{E1E2}
En particular,
Pr{E1 + E2} = Pr{E1} + Pr{E2} para sucesos mutuamente
excluyentes
Como extensión de esto, si E1 E2, … En son n sucesos
mutuamente excluyentes con probabilidades respectivas p1,
p2, p3, ... pn es p1 + p2 + p3 + ... + pn
El resultado (5) se puede generalizar a tres o más sucesos
mutuamente excluyentes
A
)()()()( BAPBPAPBAPA U B
A B
A B
B
A B )()()( BPAPBAPA B
A U B
Acontecimientos mutuamente excluyentes
o incompatibles (regla de la adición)
Acontecimientos
compatibles
Probabilidad condicional
)(
)()(
BP
BAPBAP
A
S espacio muestral
B
“tamaño” de uno con
respecto al otro
No confundir probabilidad condicionada
con intersección.
En ambos se mide efectivamente la
intersección, pero…
En P(A∩B), intersección con respecto a
P(S)=1
En P(A|B) , intersección con respecto a
P(B)
15
Sistema exhaustivo y excluyente de acontecimientos
A1 A2
A3 A4
Son una colección de acontecimientos
A1, A2, A3, A4…
La unión de todos ellos completan el
espacio muestral (S)
y sus intersecciones son vacias
S
16
A1 A2
A3 A4
B
Todo acontecimiento B, puede ser descompuesto en componentes
de dicho sistema.
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
Teorema de la probabilidad total
Si conocemos la probabilidad de B en
cada uno de los componentes de un
sistema y excluyente de
acontecimientos
se puede calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
= P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)
17
A1 A2
A3 A4
B
Si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de
ocurrencia de cada Ai.
P(B)
)A P(B B)|P(A i
i
P(B) se puede calcular usando el
teorema de la probabilidad total
= P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4)
Teorema de Bayes
18
Teorema de Bayes
jjj
iiii
APABP
APABP
BP
BAPBAP
)
)
().(
().(
)(
)()(
Thomas Bayes
(?- 1761)
y se utiliza cuando se tienen
eventos condicionados; se sabe de
la ocurrencia del evento B
Le pide a un vecino que mientras usted sale de
vacaciones le riegue una planta enfermiza. Si la planta
no se riega, la probabilidad de que la planta muera es
de 75%; si la planta se riega, la probabilidad de que la
planta muera es de 15%. Usted estima que su vecino
se acordará de regar la planta con una probabilidad de
80%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la planta aún esté
viva cuando usted regrese de sus vacaciones?
b) Si encuentra la planta muerta, ¿Cuál es la
probabilidad de que a su vecino se le haya olvidado
regarla? 19
Tres joyeros idénticos tienen cada uno dos cajones. Cada cajón
del primero contiene un reloj de oro, y cada uno del segundo
un reloj de plata, En un cajón del tercero hay un reloj de oro y
en el otro uno de plata. Si seleccionamos un joyero al azar,
abrimos uno de sus cajones y en el hay un reloj de plata, ¿cuál
es la probabilidad de que en el otro cajón haya un reloj de oro?
20
J1
J2
J3 RO
RP
RP
RP
RO
RO
)3J/P(p)3J(p)2J/P(p)2J(p)1J/P(p)1J(p
)3J/P(p)3J(p)P/3J(p
3
1
5,03/113/103/1
5,03/1)P/3J(p
• Un dado ha sido trucado de manera que la
probabilidad de sacar un número par es el
doble que la de sacar un número impar. Se
lanza, a la vez, el dado trucado con otro no
trucado. Calcular la probabilidad de obtener
al menos un número impar.
21
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Variables discretas:
Si una variable X puede tomar un conjunto discreto de
valores X1, X2, …, XK, con probabilidades respectivas
p1, p2, ... pK, donde p1 + p2 + … + pK = 1, decimos que
tenemos definida una distribución de probabilidad
discreta para X. La función p(X), que tiene valores p1,
p2, ... pK para X = X1, X2,..., XK, se llama función de
probabilidad o una función de frecuencia de X. Como X
puede tomar ciertos valores con ciertas probabilidades,
se le llama una variable aleatoria discreta. Una variable
aleatoria se conoce también como variable estocástica.
El juego de la chica y la grande consiste en tirar un par de dados y si la suma de
los puntos de las caras superiores da entre 2 y 6, entonces es “chica”; si la suma de
los puntos de las caras superiores da entre 8 y 12, entonces es “grande”; si la suma
de los puntos de las caras superiores da 7, entonces es “siete”. Si un apostador
juega y gana entonces el mesero le devuelve la apuesta y como premio otro monto
similar a la apuesta. En caso de que el apostador apueste al “siete” y gane,
entonces el mesero le devuelve la apuesta y un monto igual al doble de la apuesta
como premio. Si pierde, pierde la apuesta.
Calcular la probabilidad de que al tirar el par de dados caiga: a) grande b) siete.
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
7
1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6
2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6
3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6
4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6
5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6
6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6
P(2) = (2,78%) 36
1
P(3) = (5,56%) 18
1
36
2
P(4) = (8,33%) 12
1
36
3
P(5) = (11,11%) 9
1
36
4
P(6) = (13,89%) 36
5
P(7) = (16,66%) 6
1
36
6
P(8) = (13,89%) 36
5P(9) = (11,11%)
9
1
36
4P(10) = (8,33%)
12
1
36
3
P(11) = (5,56%) 18
1
36
2P(12) = (2,78%)
36
1
1 - 1 1 - 2 1 - 3 1 - 4 1 - 5 1 - 6
2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 5 2 - 6
3 - 1 3 - 2 3 - 3 3 - 4 3 - 5 3 - 6
4 - 1 4 - 2 4 - 3 4 - 4 4 - 5 4 - 6
5 - 1 5 - 2 5 - 3 5 - 4 5 - 5 5 - 6
6 - 1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 6 - 6
2,78 + 5,56 + 8,33 + 11,11 + 13,89 + 16,66 + 13,89 + 11,11 + 8,33 + 5, 56 + 2,78 = 100
Suma de todas las probabilidades:
2 3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
4
6
8
10
12
1416
18
20
puntos
[%]p
Distribución de probabilidades:
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(x) (%) 2,78 5,56 8,33 11,11 13,89 16,66 13,89 11,11 8,33 5,56 2,78
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Variables continuas:
Las ideas anteriores se extienden a variables que pueden
tomar un conjunto continuo de valores. El polígono de
frecuencias relativas de una muestra se convierte en una
curva continua de ecuación Y = p(X). El área total bajo esa
curva y sobre el eje X es 1, y el área entre X – a y X – b
(sombreada en la figura) da la probabilidad de que X esté
entre a y b, que se denota por Pr{a < X < b}.
Llamamos a p(x) una función densidad de probabilidad, o
brevemente una función densidad, y cuando tal función es
dada decimos que se ha definido una distribución de
probabilidad continua para X. La variable X se llama
entonces una variable aleatoria continua.
)X(p
Xa b
Pr{a < X < b}
ESPERANZA MATEMÁTICA
Si p es la probabilidad de que una persona reciba
una cantidad S de dinero, la esperanza matemática
(o simplemente esperanza) se define como pS.
Análisis combinatorio
Principio fundamental
Si un suceso puede ocurrir de n1 maneras, y si cuando
éste ha ocurrido otro suceso puede ocurrir de n2
maneras, entonces el número de maneras en que
ambos pueden ocurrir en el orden especificado es n1n2.
Hay 4 3 = 12 caminos
distintos para ir desde
A hasta B
A C B
EJEMPLO: ¿de cuántas maneras distintas se
puede ir de A hasta B?
El número de permutaciones de n objetos diferentes
tomados todos a la vez es n!
!123)2()1( nnnnPn
Dados n objetos distintos, llamamos permutación a
una ordenación particular de los n objetos.
Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres
letras a, b, c:
Permutaciones
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
2.800670.442.571121 ...181920factores10
Un comentarista deportivo de fútbol sugería que para
conseguir el equipo ideal de entre los 20 jugadores
(excluido el arquero) de la selección, el entrenador
debería probar todas las posibilidades para dar con el
10 ideal. ¿Le daría tiempo en una liga?
Permutaciones (sin repetición)
Según la regla del producto, las maneras de escoger r
elementos distintos de entre un total de n según
un determinado orden, será igual al producto de:
123 ... 1)r(nr)(n
123 ...2)(n1)(nn
r)!(n
n!P rn,
1112 ...18192010!
20!
10)!(20
20!P20,10
En el problema
anterior:
1)r(n...2)(n1)(nnP rn,
Permutaciones (sin repetición)
Esta expresión se conoce como permutación de n elementos
tomados de r en r, y se representa por Pn,r.
Habitualmente se expresa como:
504789P9,3
Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo
9 números, pero ahora como segundo número podemos usar
también el 0, luego tenemos 9 posibles candidatos...:
641899
Al tratarse de números el orden importa y además nos
dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
¿Cuantos números de tres cifras distintas y significativas
se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Y si admitimos el 0?
Combinaciones (sin repetición) ¿Cuántas posibles combinados (mezclas) de dos
bebidas podemos hacer con ginebra, vodka y tequila?
Si el orden importara tendríamos 3 · 2 = 6.
Pero en realidad: (g, v) = (v, g), (g, t) = (t, g) y (t, v) = (v, t),
porque el orden no importa. De modo que debemos
dividir entre 2: 6 / 2 = 3.
¿Cuántas posibles combinados de tres bebidas
podemos hacer con ginebra, vodka, tequila y ron?
De nuevo, si el orden importara tendríamos 4 · 3 · 2 = 24.
Pero en realidad: (g, v, t) = (g, t, v) = (v, g, t) = etc...,
porque el orden no importa. De modo que debemos
dividir entre 3!: 24 / 3! = 4.