modulo 6 probab il i dade
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Básico Probabilidade
Análise Combinatória
Básico de Probabilidade
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Análise Combinatória
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Princípio Multiplicativo
Arranjos
Permutações
Combinações
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Princípio
Multiplicativo
PARTE I
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Cidade A
Cidade B
Cidade C
Princípio Multiplicativo
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3 Caminho 5
Caminho 4
Existem 3 caminhos entre A e
B
Existem 2 caminhos entre B e
C
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1) Uma mulher possui 6 calças e 8 blusas, de quantas formas ele pode vestir usando uma blusa e uma calça?
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2) Uma mulher possui 6 calças, 8 blusas 3 casacos, de quantas formas ele pode vestir usando uma blusa, uma calça e um casaco?
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3) Em uma festa existem 30 homens e 12 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?
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4) De quantas formas podemos responder a 5 perguntas de uma prova, cuja resposta para cada pergunta seja “sim“ou ”não”?
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5) Uma sala tem 3 portas, de quantas maneiras distinta ela pode ser aberta?
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6) (Petrobras/Cesgranrio/2010) Mariana foi passar um fim de semana na casa de uma amiga e levou na bagagem cinco camisetas (branca, azul, rosa, vermelha e preta) e três bermudas (marrom, azul e preta). De quantos modos Mariana poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para se vestir, se ela deseja que as peças escolhidas sejam de cores diferentes?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
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7) (Petrobras/Cesgranrio/2010) Há cinco poços de petróleo a serem perfurados (P1,P2,P3,P4,P5) e apenas três sondas disponíveis para perfuração (S1,S2,S3).A sonda S1 só pode ser utilizada para a perfuração dos poços P4 e P5. As sondas S2 e S3 podem ser utilizadas para perfuração de qualquer dos cinco poços. Serão perfurados, inicialmente, apenas três dos cinco poços e, para isso, cada sonda será alocada a um único poço. Quantas maneiras distintas há para se alocarem as três sondas?
a) 8 b) 10 c) 15 d) 24 e) 40
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8) Analista-MPOG/ESAF/05)Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a :
a) 80
b) 72
c) 90
d) 18
e) 56
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9)( IBGE/NCE-UFRJ/05) Pretendemos usar os algarismos 0,1,2 e 3 para formar números de três algarismos distintos, como 230 por exemplo. Nesse caso,podemos formar a seguinte quantidade de números maiores que 201:
a) 11
b) 15
c) 24
d) 36
e) 48
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O Dilema da Contagem !
ESSE PROBLEMA DEVE SER RESOLVIDO COMO UM
ARRANJO OU COMBINAÇÃO ?
Faça a seguinte pergunta a você mesmo:A ordem dos elementos é relevante ?
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A ordem dos elementos é
relevante
SIM ARRANJOPOSSO
REPETIR ELEMENTOS
SIMARRANJO COM
REPETIÇÃO
NÃOARRANJO SEM
REPETIÇÃO
NÃO COMBINAÇÃOPOSSO
REPETIR ELEMENTOS
SIM
NÃOCOMBINAÇÃO
SEM REPETIÇÃO
COMBINAÇÃO SEM REPETIÇÃO
COMBINAÇÃO COM
REPETIÇÃO
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“A ordem dos elementos é
relevante !”
ARRANJO
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10) Quantos números com dois algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 3, 4 e 8?
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11) Quantos números com dois algarismos não distintos podem ser formados usando os algarismos 3, 4 e 8?
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12) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?
a) Distintos (arranjos sem repetição);
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13) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?
b) Não distintos (arranjos com repetição);
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14) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?
c) Pares distintos (arranjos sem repetição);
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15) Quantos números com 3 algarismos podem se formados usando os algarismos 9, 7, 4 e 1?
d) Pares não distintos (arranjos com repetição).
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16) Quantos números pares e com 3 algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 1, 4 e 7?
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17) Quantos números pares e com 3 algarismos não distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 1, 4 e 7?
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18) (CESPE/BB/2009) Considerando que as equipes A,B,C,D e E disputem um torneio que permite as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir.
1)O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.
2)O total das possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.
3)Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 24.
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Exemplos : De quantas maneiras 5 atletas podem chegar ao final de uma corrida ?
5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1
FATORIAL (!)O fatorial de um número somente está definido para números naturais !!! Portanto não existe fatorial de números negativos (-6!) , raízes (√ 5 !) e fracionários ( 6/4 !).
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0! = 1
1! = 1
2! = 2 x 1= 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 720
FATORIAL (!)
Exemplos de Fatoriais
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7! 7 x 6 x 5 x 4!
4! 4!
OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):
=
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19) 8!/6!
20) 12!10 !/(3x4)
OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):
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21) 4!(8-6)!/ 3!(5-4)!
22) 4!/0!
OPERAÇÕES COM FATORIAL (!):
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ARRANJO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO)
A (n,p) = A =
n – elementos à disposição
p – tamanho do grupo
n
p n ! (n – p) !
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23) Quantos números com 4 algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas os algarismos 7, 9, 4, 3, 2 e 1?
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24 ) Em um campeonato de basquete, participam 14 times. Quantos são os resultados são possíveis para os três primeiros lugares?
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25) De um baralho de 52 cartas, 4 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas é possível obter?
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26) (PUC-MG) O número inteiro positivo que verifica a equação A (n,3) =3.(n-1) é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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27) ( BB/Cesgranrio/2010) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes.
a) 12 b) 24 c) 48 d) 90 e) 120
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ARRANJO COM REPETIÇÃO
A (n,p) = np
n – elementos à disposição
p – tamanho do grupo
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28) Quantos números com 3 algarismos não distintos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
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29) (professor) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos com repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:
a) 1.370
b) 39.000
c) 468.000
d) 650.000
e) 3.276.000
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Exercícios Complementares
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30) (UFRN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
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31) (MACK-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a)1680
b) 8!
c) 8.4!
d) 8! /4
e) 32
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32) As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França) De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso.
a) 60
b) 45
c) 125
d) 81
e) 120
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33) (UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:
a) 1.370
b) 39.000
c) 468.000
d) 676.000
e) 3.276.000
![Page 47: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/47.jpg)
34) (PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é:
a) 67.600.000
b) 78.624.000
c) 15.765.700
d) 1.757.600
e) 5.760.000
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Permutação
Parte II
É um caso especial de Arranjo !
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Pn = n!
É quando estamos utilizando (arranjando) todos os elementos do grupo !!!
A Permutação sem repetição
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A (n,p) = n!/ (n!- p!)
A(n,n)= n!/(n!- n!) = n!/(0!)= n!/1= n!
A (n,n) = Pn = n!
A Permutação sem repetição
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35) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra IME?
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36) (Petrobras/Cesgranrio/2010) A vitrine de uma determinada loja possui 5 lugares para colocação de manequins. Considerando que a loja possui 5 manequins, em quantas formas diferentes eles podem ser arrumados?
a) 120 b) 100 c) 50 d) 25 e) 15
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37 ) ( BB/Cesgranrio/2010) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes.
a) 12 b) 24 c) 48 d) 90 e) 120
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Exemplo :Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra ANA?
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
n!
(x1! . x2! . ...nx!)
(x1, x2,..xn)
P(n) =
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38) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra OSSOS ?
39) Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra PARALELEPIPEDO?
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Exercícios Complementares
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40) (UFSC) Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas?
a) 12
b) 30
c) 6
d) 24
e) 18
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41) (CEFET-PR) Dentre as permutações das letras da palavra triângulo, o número das que começam por vogal é:
a) P9
b) P8
c) 2. P8
d) 4. P8
e) 4. P7
![Page 59: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/59.jpg)
42) (FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d)120
e)144
![Page 60: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/60.jpg)
43) (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:
a) 12
b) 36
c) 48
d) 60
e) 72
![Page 61: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/61.jpg)
44) (UFSC) Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas?
a) 48
b) 24
c) 96
d)120
e) 36
![Page 62: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/62.jpg)
45) (CEFET-PR) O número de anagramas de 6 letras que podemos formar com as letras da palavra PEDRAS, começando e terminando com uma letra que represente consoante, é:
a) 72
b) 480
c) 192
d) 432
e) 288
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46) (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O ?
a) 7!
b) 5!
c) 30
d) 60
e) 90
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47 ) (MACK-SP) O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei) é:
a) 8!
b) 504
c) 5040
d) 8
e) 4
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48) (FGV-SP) Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
a) (N!)²
b) (N!)².2
c) (2N)!
d) (2N)!. 2
e) N!
![Page 66: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/66.jpg)
Combinação
Parte III
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A ordem dos elementos não é
relevante !
Combinação
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COMBINAÇÃO SIMPLES (SEM REPETIÇÃO)
C (n,p) = C =
n – elementos à disposição
p – tamanho do grupo
n
p n !
p!(n – p) !
Combinação de “n” elementos agrupados “p” a “p”
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49) Deseja-se formar uma comissão de 3 membros e dispõe-se de 10 funcionários. Quantos comissões podem ser formadas?
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50) (AFTN/98) Uma empresa possui 20 funcionários dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é:
![Page 71: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/71.jpg)
51) Temos 4 cadeiras numeradas de 1 a 4 e desejamos escolher 3 lugares entre os existentes. De quantas formas isso pode ser feito?
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52) (BB/Cesgranrio/2010) Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas na qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo.
Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes:
a) As contas pequenas são todas da mesma cor;
b) Contas grandes devem ter cores diferentes;
c) Se as contas pequenas forem da cor “x”, nenhuma conta grande pode ser da cor “x”
Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas, vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor um colar?
a) 28 b) 30 c) 32 d) 40 e) 42
![Page 73: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/73.jpg)
53 (ANP/Cesgranrio/2008) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (01,02,03.....59,60). A aposta mínima é feita escolhendo-se seis dessas dezenas. José pensou em oito dezenas diferentes, e resolveu fazer o maior número de apostas mínimas , combinando as oito dezenas escolhidas de todas as maneiras possíveis. Quantas apostas fez José ?
a) 28 b) 48 c) 56 d) 98 e) 102
![Page 74: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/74.jpg)
54) De um grupo de 9 professores 4 lecionam matemática. De quantos modos pode-se formar uma comissão com 3 componentes de forma que pelo menos 1 dentre os escolhidos seja professor de matemática?
![Page 75: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/75.jpg)
55) De quantas maneiras podemos colocar 12 pessoas em 4 quartos A, B, C e D de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas, em C fiquem 3 pessoas e em D fiquem 2 pessoas?
![Page 76: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/76.jpg)
56) De quantas formas podemos escolher 6 cartas de um baralho de 52 cartas de modo que em cada escolha haja no mínimo uma “Dama”?
![Page 77: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/77.jpg)
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
(m+p-1)!
p! [(m+p-1)-p] !
(p)C(m+p-1) =C(m,p)
* =
Exemplo :Uma loja vende 3 tipos de roupas: camisas, saia e calça. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 peças de roupa?
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57) (BB/Cesgranrio/2010) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas, repetidas ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos, sendo n igual
a ) 4 b) 10 c) 12 d) 16 e) 20
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Exercícios
Complementares
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58)(TFC/ESAF-1995) Quantas comissões de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa ?
a)120
b)210
c)720
d)4050
e)5041
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59)(AFRFB/ESAF/2009) Sabe-se que os pontos A,B,C,D,E,F e G são coplanares, ou seja estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a :
a)16
b)28
c) 15
d)24
e)32
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60)(ESAF/ANEEL/TÉCNICO/2006): Em um plano, são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 25 pontos é igual a :
a) 2.180
b) 1.180
c) 2.350
d) 2.250
e) 3.280
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61)(SFC/AFC/ESAF-2000) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de elementos de X é igual a :
a)10
b)20
c)35
d)45
e)90
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62) ( ANEEL/ESAF/2004)Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três tenham menos de 18 anos, que uma tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se para seleção doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a :
a) 85 b) 220 c) 210 d) 120 e) 150
![Page 85: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/85.jpg)
63) (TFC/ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é :
a)128
b)495
c)545
d)1485
e)11.880
![Page 86: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/86.jpg)
64)(TFC/ESAF-2008) Uma turma de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 5 formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que em cada comissão deve haver 3 rapazes e 2 moças, é igual a :
a) 2.500
b) 5.400
c) 5.200
d) 5.000
e) 5.440
![Page 87: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/87.jpg)
65)(FISCAL DO TRABALHO/ESAF-2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentam-se para seleção quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a :
a) 120
b) 1.220
c) 870
d) 760
e) 1.120
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GABARITO1) 48 12) 24 23) 360 34) B 45) E 56) C(52,6) – C
( 48,6)
2) 144 13) 64 24) 2.184 35) 6 46) D 57) E
3) 360 14) 6 25) 6.497.400(52x51x50x49)
36) A 47) C 58) B
4) 32 15) 16 26) 3 37) B 48) B 59) A
5) 8-1 = 7 16) 12 27) 24 38) 10 49) 120 60) A
6) 13 17) 32 28) 216 39) 14!/(3!.2!x2!x3!) 50) 5.400 61) A
7) 24 18) E,E,C 29) 650.000 40) B 51) 4 62) C
8) 72 19) 56 30) 20 41) D 52) C 63) B
9) 11 20) 11!.10! 31) 1.680 42) B 53) A 64) B
10) 6 21) 2 32) 60 43) E 54) 74 65) E
11) 9 22) 24 33) 468.000 44) A 55) 277.200
![Page 89: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/89.jpg)
BásicoProbabilidade
![Page 90: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/90.jpg)
Experimento Determinístico
É um tipo de experimento que sempre apresenta o mesmo
resultado e pode ser explicado através de uma função
matemática.
![Page 91: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/91.jpg)
Exemplo de Experimento Determinístico
Um corpo caindo de um topo de um edifício, sempre cairá no mesmo
tempo e chegará ao solo na mesma velocidade, evidentemente
desprezando velocidade do vento e outras variáveis de pouca
importância.
![Page 92: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/92.jpg)
Experimento Aleatório
São experimentos que se realizados sob as mesmas condições produzem resultados imprevisíveis. Alguns possuem uma tendência natural que são chamados de equiprováveis.
![Page 93: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/93.jpg)
Experimento Aleatório Não Equiprovável
São experimentos que realizados sob as mesmas condições as chances de resultados não são as mesmas para um mesmo elemento
Ex: resultado uma partida de futebol.
![Page 94: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/94.jpg)
Experimento Aleatório Equiprovável
Lançar um dado não viciado 600 vezes e observar o resultado na face
superior. Encontraremos resultados muito próximos de 100 vezes para
cada uma das 6 faces, mas não podemos afirmar que teremos 100
exatamente cada face.
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Experimento Aleatório Equiprovável
Resultado do lançamento de um dado de seis faces não viciado
600 vezes.
Total 1 2 3 4 5 6
600 105 98 102 95 101 99
![Page 96: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/96.jpg)
Espaço Amostral de um Experimento Aleatório
São todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplo:Lançamento de um dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
![Page 97: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/97.jpg)
Evento ou Experimento (E)
Exemplo:
Determinar o sub-conjunto dos números pares e o sub-conjunto dos números impares no lançamento de um dado.
E (pares): {2, 4, 6}
E (impares): {1, 3, 5}
É um subconjunto de um espaço amostral.
![Page 98: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/98.jpg)
Evento ou Experimento (A)
A probabilidade de ocorrer um evento (A) é igual ao número de vezes que ele ocorre em relação ao número
total de casos.
P(A) =Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
![Page 99: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/99.jpg)
Exemplos
1) Qual a probabilidade de um lançamento de um dado observar:
a) Número 4 na face superior: P(4) = 1/6
b) Número 1 na face superior: P(1) = 1/6
c) Número par na face superior: P(par) = 3/6 ou 50%
2) Qual a probabilidade de lançar uma moeda observarmos cara na face superior :
P(cara) = 1/2
![Page 100: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/100.jpg)
Evento Impossível
É quando o evento não faz parte do espaço amostral estudado.
Exemplo:
Ao lançarmos um dado observarmos o número 7 :
P(7) = 0/6 = 0
![Page 101: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/101.jpg)
Evento Certo
É quando ele coincide com o espaço amostral.
Exemplo: Ao lançarmos um dado o resultado ser igual ou menor que seis.
P( 6) = 6/6 = 1 = 100%
![Page 102: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/102.jpg)
TEORIA DE CONJUNTOS APLICADA À PROBABILIDADE
Exemplo 1 - no lançamento de um dado teremos o seguinte espaço amostral:
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
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Probabilidade da União do Eventos
P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
A probabilidade de ocorrerem pelo menos um dos dois eventos
que pertencem a um mesmo espaço amostral e que não se
excluem mutuamente é :
![Page 104: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/104.jpg)
Exemplo Probabilidade da União
Qual a probabilidade no lançamento de um dado ocorrer o número par
ou um múltiplo de 3?
P(Par M3*) = P(par) + P(M3) - P(A B) 3/6 + 2/6 - 1/6
4/6 = 2/3* Múltiplo de 3.
![Page 105: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/105.jpg)
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos de um mesmo espaço amostral são
mutuamente exclusivos se a ocorrência de um exclui a
ocorrência do outro, isto é, A B = 0.
![Page 106: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/106.jpg)
Evento Mutuamente Exclusivos
A probabilidade será
P(A B)=P(A)+P(B)
![Page 107: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/107.jpg)
Exemplo Mutuamente Exclusivos
Qual a probabilidade de ocorrer um número par ou o
número 5?
P(Par 5)=P(par)+P(5) 3/6 + 1/6=
4/6= 2/3
![Page 108: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/108.jpg)
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de um evento dado que um outro evento
ocorreu é:
P(B /A) = P(B ∩ A) P(A)
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Probabilidade Condicional
P(B / A) = n(B ∩ A) n(A)
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Espaço amostral do lançamento de dois dados
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2.4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
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Probabilidade Condicional
Qual a probabilidade de ocorrer o número 2 no dado 1 de um lançamento de dois
dados considerando que tenha ocorrido a soma das faces igual a 6?
A soma ser 6 é o sub-conjunto :
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
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Probabilidade Condicional
Uma vez que já ocorreu o evento A :
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
Qual a probabilidade de ocorrer 2 (dois) no primeiro dado é representado apenas pelo
sub-conjunto B = {2,4} P (B/A) = 1/5 = 0,2 ou 20%
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Probabilidade Condicional
A probabilidade de ocorrer dois no primeiro dado (evento B) uma vez
que já ocorreu a soma seis (evento A) nos dois dados é :
P(B/A) = (1/36) / (5/36) = 1/5
P(B/A) = n(B ∩ A) n(A)
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Probabilidade da Intersecção
Aplicada no caso de eventos dependentes ou Independentes
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Eventos Dependentes
P(A B) = P(A) P(B/A)
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Exemplo de Dependentes
Uma urna com 10 bolas sendo, 3 amarelas, 5 brancas e 2 vermelhas.Qual a probabilidade de retirar sem reposição 1 bola branca e a segunda 1 amarela ? Aplicando a probabilidade da intersecção :
P (Branca Amarela) = (5/10) . (3/9) = 15/90 = 1/6
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Eventos Independentes
P(A B) = P(A) P(B)
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Exemplo de Independentes
Uma urna com 10 bolas sendo, 3 amarelas, 5 brancas e 2 vermelhas.Qual a probabilidade com reposição de 1 bola branca e a segunda 1 amarela ? Aplicando a probabilidade da intersecção
P (Branca Amarela) =(5/10) . (3/10) = 3/20 =0,15
15%
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Exercícios
Didáticos
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1) Uma urna contem quatro bolas numeradas com 1, 2, 3 e 4. Retirando-se ao acaso e simultaneamente duas bolas dessa urna, qual a probabilidade aproximada de se obter soma igual a 6 em cada par de bolas.
a) 100%
b) 50%
c) 75%
d) 33,33%
e) 16,66%
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2) Um dado viciado foi fabricado com a probabilidade de ocorrer PAR na face superior ser o dobro da probabilidade de ocorrer um número IMPAR na face superior, em cada lançamento. Os números PARES e IMPARES entre-si têm a mesma probabilidade de ocorrência. Responda as duas próximas questões.
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2.1) A probabilidade de ocorrer número par e a probabilidade de ocorrer número ímpar respectivamente será:
a) 1/3 e 2/3
b) 4/9 e 5/9
c) 5/9 e 4/9
d) 2/3 e 1/3
e) 2/9 e 7/9
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2.2) A probabilidade de ocorrer números múltiplos 3 será:
a) 2/3
b) 2/5
c) 1/3
d) 3/5
e) 1/2
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3) Um baralho de 52 cartas é subdividido em quatro naipes: espadas, ouros, copas e paus.
3.1) Retirando uma carta ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja de ouros ou de copas?
3.2) Retirando-se duas cartas ao acaso com reposição da primeira carta, qual a probabilidade da primeira ser de ouros e a segunda de copas?
3.3) Recalcular a probabilidade anterior se não houver reposição da primeira carta?
3.4) Havendo reposição, qual a probabilidade de sair a primeira carta de ouros ou então a segunda de copas?
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4) Dos 10 (dez) cheques devolvidos por um determinado banco, 6 (seis) foram por insuficiência de fundos ( código 11) e 4 (quatro) por não conferir a assinatura ( código 22). De um envelope contendo todos os cheques retiram-se 2(dois) desses cheques e qual a probabilidade do segundo cheque ser :
•
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4.1) do código (11) uma vez que o primeiro também foi :
![Page 127: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/127.jpg)
4.2) do código (11) uma vez que o primeiro foi do código 22 :
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4.3) do código (22) uma vez que o primeiro também foi:
![Page 129: Modulo 6 Probab Il i Dade](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081800/55721173497959fc0b8efe49/html5/thumbnails/129.jpg)
4.4) do código (22) uma vez que o primeiro foi do código (11):
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5) Qual a probabilidade de um piloto de Kart vencer uma determinada corrida, uma vez que suas “chances”, segundo os especialistas é de “5” para “3” :
a) 100%
b) 166%
c) 133%
d) 60%
e) 80%
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6) A população de uma certa localidade é constituída somente de indivíduos das raças A, B e C na proporção de 10%, 30% e 60% respectivamente. Suponha que 13% de A, 5% de B e 2% de C são portadores de uma doença H. Sabendo que uma pessoa deste lugar é portadora de H, determinar a probabilidade de ser da raça B :
a) 30% b) 13% c) 15% d) 37,5% e ) 40%
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Gabarito
1- e 4.2 – 4/15
2.1 - d 4.3 – 4/30
2.2 – c 4.4 – 4/15
3.1 - 1/2 5- d
3.2 - 1/16 6 – d
3.3 – (13/52) x ( 13/51)
3.4 – 1/2
4.1 – 1/3