PROBABILIDAD IDEAS INTRODUCTORIAS.

Los jugadores han utilizado las posibilidades para realizar apuestas durante toda la historia registrada. Pero no fue sino hasta el siglo XVII que el noble francés Antoine Gombauld (1.607-1.684) cuestionó la base matemática del éxito y el fracaso en las mesas de dados. Le preguntó al matemático Francés Blaise Pascal (1.623-1.662), “¿Cuáles son las posibilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?”. Pascal le resolvió el problema, y se interesó en el asunto de las probabilidades al igual que Gombauld. Compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1.601-1.665), y en las cartas que se escribieron entre sí estos tres personajes constituyen la primera revista académica sobre teoría de la probabilidad. No tenemos registro del grado de éxito obtenido por estos caballeros en las mesas de dados, pero sabemos que su curiosidad y sus investigaciones dieron origen a muchos de los conceptos que estudiaremos en este capítulo.1

Historia y relevancia de la teoría de la probabilidad. Los primeros teóricos fueron: Jacob Bernoulli (1.654-1.705), Abraham de Moivre (1.667-1.754) , el reverendo Thomas Bayes (1.702-1.762) y Joseph Lagrange (1.736-1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1.749-1.827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad.

Necesidad de la teoría de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante en nuestro estudio, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros, que surgió en el siglo XIX, requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida, con el fin de calcular las primas. Medio siglo más tarde, muchos centros de aprendizaje estaban estudiando la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. En la actualidad, la teoría matemática de la probabilidad es la base para las aplicaciones estadísticas tanto en investigaciones sociales como en la toma de decisiones.

Ejemplos del uso de la teoría de la probabilidad. La probabilidad es una parte de nuestras vidas cotidianas. En la toma de decisiones personales y administrativas, nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la teoría de la probabilidad, admitamos o no el uso de algo tan complejo. Cuando escuchamos una predicción de un 70 % de posibilidades de lluvia, cambiamos nuestros planes de salir de día de campo y nos quedamos en casa divirtiéndonos con juegos de mesa. Cuando juega uno de nuestros equipos favoritos de fútbol, hacemos nuestras apuestas con los amigos para proponer un posible ganador. Los administradores que se encargan de inventarios de ropa de moda para mujer deben preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas alcancen o excedan un cierto nivel, y el comprador que adquiere una patineta considera la probabilidad de duración de su pasajero capricho. Antes de tan publicitada pelea de Muhhammed Ali con Leo Spinks, se afirmaba que Ali había dicho: “Les apuesto a que todavía seré el más grande cuando termine la pelea”. Y cuando usted mismo empiece a estudiar para el inevitable parcial de probabilidad, se puede preguntar. ¿Cuál será la probabilidad de que el profesor nos pregunte algo sobre la historia de la probabilidad?. Vivimos en un mundo que es incapaz de predecir el futuro con total certidumbre. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y a utilizar la teoría de la probabilidad. En muchos casos, nosotros, como ciudadanos preocupados, tendremos algún conocimiento sobre los posibles resultados de una decisión. Al organizar esta información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomas una decisión más sólida que la que tomaríamos si sólo diéramos palos de ciego.2

1 Estadística para ADMINISTRADORES. Levin R, Rubin D. PRENTICE-HALL Sexta edición. México.2 Estadística para ADMINISTRADORES. Levin R, Rubin D. PRENTICE-HALL Sexta edición. México.

1

Ejercicio:

1. ¿Quiénes fueron los primeros teóricos que aportaron a la teoría de la probabilidad? enúncielos. ¿Quién fue el más importante de todos y explique por qué?.

2. Enuncie algunos casos en los cuales se ve claramente que surge la necesidad de usar la teoría de la probabilidad.

3. De 5 ejemplos del uso de la teoría de la probabilidad. Ojalá uno de ellos sea de su experiencia.

Experimento: El término experimento se usa en estadística en un sentido mucho más amplio que en física y química. El lanzamiento de una moneda, por ejemplo, se considera un experimento estadístico. Otros ejemplos son: lanzar un dado, seleccionar un fusible de una cierta partida y observar si es defectuoso o no, y enviar un vehículo tripulado a Marte. Si bien los experimentos arriba mencionados parecen bastante dispares, todos tienen dos propiedades en común. Una de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden especificarse de antemano y la segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada experimento. Al lanzar una moneda por ejemplo, no sabemos si el resaltado será cara o sello. Análogamente, estamos inciertos acerca de si el fisible seleccionado será defectuoso o no. Finalmente, si se envía un vehículo a Marte estamos inciertos acerca de si se obtendrá éxito o habrá fracaso.

Ejercicio:

1. “El uso de este producto puede ser peligroso para su salud. Este producto contiene sacarina, que ha demostrado producir cáncer en animales de laboratorio.” ¿De qué manera pudo haber desempeñado un papel la teoría de la probabilidad en la afirmación anterior?

2. Una compañía embotelladora de gaseosas muy conocida decide alterar la fórmula de su producto más antiguo y de mayor venta. ¿De qué manera la teoría de la probabilidad pudo estar implicada en la toma de tal decisión?

Ejercicio:

Se da la siguiente lista de experimentos y usted debe colocar al frente los resultados posibles de cada experimento:

EXPERIMENTO RESULTADOS POSIBLES1. Lanzamiento de una moneda.

2. Lanzamiento de un dado.3. Selección de un fusible.4. Envío de un vehículo a Marte.

Ejemplo: Se lanzan dos monedas simultáneamente. Los cuatro resultados posibles de este experimento son:

Primera moneda Segunda moneda. ResultadosC CC

CS CSC SC

SS SS

2

El anterior esquema se conoce como diagrama de árbol. Nos damos cuenta que en el anterior ejemplo aparecen cuatro resultados posibles.

El espacio muestral es entonces: Ω = CC, CS, SC, SS . (Ω = letra griega Omega)

Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. A cada punto de él lo llamamos punto muestral.

Ejercicio:

1. Al lanzar dos monedas simultáneamente, cuántos puntos muestrales tiene Ω ?

2. Mediante un diagrama de árbol halle el espacio muestral para el experimento que consiste en lanzar cuatro monedas simultáneamente. ¿Cuántos puntos muestrales tiene Ω ?

3. Cuántos resultados posibles tiene el experimento de lanzar k monedas, con k > 0, o k dados con k >0. (simultáneamente)

4. De acuerdo a la anterior fórmula escriba en la siguiente tabla los resultados posibles al efectuar los siguientes experimentos: (muestre los procedimientos)

EXPERIMENTO RESULTADOS (CIFRA EN NÚMERO)Lanzamiento de 2 monedas Simultáneamente.Lanzamiento de dos dados Simultáneamente.3. Lanzamiento de 5 monedas Simultáneamente.

Ejemplo: Se lanzan simultáneamente dos dados no cargados. Los 36 resultados posibles de este experimento son:

PRIMER SEGUNDO DADODADO 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

El espacio muestral de este experimento es:

Ω = (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1).(3,2),(3,3),(3,4),(3,5).(3.6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(,4,6),(5,1,),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5,),(5,6),(6,1), (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

Ejercicio:

1. Se lanza un dado.

a. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado sea par.b. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado sea impar.c. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado sea mayor que 4

2. Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente.

a. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga exactamente una cara.

3

b. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga al menos una cara.

3. Se lanzan un par de dados.

a. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que la suma de los puntajes sea 9.b. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que la suma sea 4 o 5.c. Enumere los elementos de Ω contenidos en el suceso de que la suma de los puntajes sea 11 o

12.

4. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso manufacturero y observar si son defectuosos o no defectuosos: D = defectuoso, B = No defectuoso.

Enumérense todos los elementos del espacio muestral Ω. Enumérense los elementos contenidos en el suceso de que el número de piezas defectuosas

sea cero. Enumérense los elementos contenidos en el suceso de que el número de piezas buenas sea

cero. ¿Cómo puede definirse el suceso A = DDB, DBD, BDD ?

5. Un experimento consiste en lanzar simultáneamente una moneda y un dado. Enumérense los elementos del espacio muestral.

Probabilidad: A cada punto muestral (resultado de un experimento) se le asignará una ponderación que mide la verosimilitud de su ocurrencia. Esta ponderación se denomina probabilidad del punto muestral.

Probabilidad de un suceso:

La probabilidad de un suceso A, designada por P(A), es la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales de A. Esta definición se ilustra por los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras al lanzar tres monedas?Solución: El espacio muestral es:

Ω = CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS. La probabilidad de cada punto muestral es 1

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. Como el suceso de “obtener exactamente dos caras”

es el subconjunto A =CCS, CSC, SCC , la probabilidad de A es: P(A) = 1

8 +

1

8 +

1

8 =

3

8

Ejercicio: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior:

1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?.2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello?.3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener no más de dos caras?.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 al lanzar dos dados no cargados?Solución: El espacio muestral consiste en 36 puntos, siendo la probabilidad de cada uno de 1/36 . Como el suceso “Obtener un 7” es el subconjunto:

P(A) =(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), la probabilidad de obtener un 7 es:P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/36

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REGLAS DE LA PROBABILIDAD:

La probabilidad de un punto muestral varía de 0 a 1.

La suma de las probabilidades asignadas a todos los puntos muestrales en un espacio muestral debe ser 1.

Una probabilidad cercana a 0, corresponde a un resultado cuya ocurrencia es poco verosímil; en cambio, una probabilidad cercana a 1 corresponde a un resultado altamente verosímil.

De acuerdo a las anteriores dos reglas es bueno tener en cuenta las siguientes conclusiones:

P(Ω) = 1; ya que el espacio muestral es el suceso que contiene a todos los puntos muestrales.

P( Ф) = 0 ; ya que el conjunto vacío es el suceso que no contiene ningún punto muestral. P(A’) = 1 - P (A); es decir, la probabilidad de que el suceso A no ocurra, designada por P(A’), es

igual a 1 menos la probabilidad de que A ocurra. Así, la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado es 1/6, entonces la probabilidad de no obtener un 5 es:

1 - 1/6 = 5/6. De la misma manera si se tiene que la probabilidad de que llueva un determinado día es 1/4, entonces la probabilidad de que no llueva será: 1 - 1/4 = 3/4

Ejercicio:

1. Si la probabilidad de pasar el parcial de probabilidad es de 0.6, entonces cuál será la probabilidad de no pasar el parcial de probabilidad?

2. Si la probabilidad de que esta noche llueva es de 0.6, entonces cuál es la probabilidad de que no llueva esta noche?

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es decir la ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro (u otros)Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. Obsérvese que esta definición no indica que esos eventos deban necesariamente ocurrir en forma conjunta, como lo ilustra el siguiente ejemplo:

En un estudio de la conducta de los consumidores, un analista clasifica a las personas que entran en una tienda de aparatos de sonido de acuerdo con su sexo (“masculino” o “femenino”) y su edad (“menor de 30” o “mayor de 30”). Los dos eventos o clasificaciones, “masculino” y “femenino” son mutuamente excluyentes puesto que ninguna persona podría clasificarse en ambas categorías. De manera similar, los eventos “menor de 30” o “mayor de 30” , son también mutuamente excluyentes.. Sin embargo, los eventos “masculino” y “menor de 30” no son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar podría estar en ambas categorías.

Ejercicio: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior podría usted mencionar 3 ejemplos más en donde se presenten casos que no sean mutuamente excluyentes.

LISTA COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVA

Cuando en una lista de los posibles eventos que pueden resultar de un experimento se incluyen todos los resultados posibles, se dice que la lista es colectivamente exhaustiva. En el ejemplo de la

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moneda, la lista, cara y sello, es colectivamente exhaustiva (a menos, por supuesto, que la moneda caiga parada cuando la lancemos). En una campaña presidencial, la lista de resultados “candidato liberal y candidato conservador” no es una lista colectivamente exhaustiva, pues puede haber un candidato independiente o de algún otro partido que esté participando en las elecciones.

Una lista colectivamente exhaustiva presenta todos los resultados posibles. Por ejemplo, los estudiantes de una escuela, pueden estar a tiempo o no estar en el salón cuando se pasa lista. Algunos eventos probabilísticos son mutuamente excluyentes. Un estudiante no puede dormir hasta tarde y al mismo tiempo llegar puntual a una clase de primera hora.

Ejercicio:

Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes y si son exhaustivos.Al lanzar dos dados:

a. Un total de 5 puntos y un 5 en un dado.b. Un total de 7 puntos y un número par de puntos en ambos dados.c. un total de 9 puntos y un dos en uno de los dados.d. un total de 10 puntos y un cuatro en un dado.

Dé la probabilidad para cada uno de los siguientes resultados al lanzar dos dados:1, 2, 5, 6, 7, 10, 11.

Reglas de la adición

Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes

Hemos dicho que A y B son mutuamente excluyentes si: A B =Ф. Luego, Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes (en el sentido que no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), entonces la regla de la adición da:

P(A B) = P(A) + P(B).

La regla de la adición vale también en el caso de más de dos sucesos. Así, si A,B y C son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurran A o B o C es igual a la suma de sus probabilidades; en símbolos,

P (ABC)= P(A) + P(B) + P(C).

Regla de la adición para sucesos no excluyentes

Para eventos que no son mutuamente excluyentes, se le resta a la suma de las probabilidades simples de dos eventos la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos, es decir:

P(A B) = P(A) + P(B) P A B( )

La anterior fórmula se puede utilizar en todo caso, puesto que si los dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de la intersección será cero, es decir la probabilidad de la intersección no se cuenta.

Ejercicio:

1. La probabilidad de que llueva el 26 de marzo es 0.10; de que truene es 0.05 y de que llueve y truene es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueve o truene en ese mismo día?

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2. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0.80; una máquina lavadora es 0.50 y de que tengan ambos es 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga televisor o máquina lavadora?

3. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un día es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0 autos 1 auto o 2 autos en ese día? (indicación: P( )=1).

Los siguientes diagramas de Venn indican el número de resultados de un experimento correspondiente a cada evento, y el número de resultados que no corresponden a ningún evento. Tomando en cuenta estos diagramas, dé las probabilidades que se piden:

4. Total de resultados = 60

A B 4211 7

Hallar: P(A) P(B) P(AB)

5. Total de resultados = 50

Hallar: P(A) P(B) P(AB)

Eventos Independientes

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.

Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno sí afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.

Ejemplo. Se considera que los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda, dos veces seguidas son eventos independientes porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra o una cara o un sello en el segundo lanzamiento.. La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas son

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eventos dependientes, porque las probabilidades asociadas con la segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción. En forma específica, si saliera un “as” en la primera extracción, entonces la probabilidad de que salga un “as” en la segunda extracción es la razón del número de ases que sigue habiendo en el mazo con respecto al número total de cartas o 3/51.

Probabilidad condicional

Cuando dos eventos son dependientes, se utiliza el concepto de probabilidad condicional para designar la probabilidad de ocurrencia de un evento relacionado. La expresión indica la

probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A. Nótese que “ ” no es una fracción.

No se requieren expresiones de probabilidad condicional para eventos independientes porque, por definición, no existe relación entre la ocurrencia de esos dos eventos. Por lo tanto, si los eventos A y B son independientes, la probabilidad condicional siempre es igual a la probabilidad

simple (no condicional) . Por lo tanto, un enfoque que permite probar la independencia de dos eventos A y B consiste en comparar.

P (B/A) = P (B)P (A/B) = P (A)

Reglas de la multiplicación

Las reglas de la multiplicación se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B. Es decir se refieren a la intersección de A y B: .

Existen dos variaciones a la regla de la multiplicación de acuerdo a si los eventos son independientes o dependientes. La regla de la multiplicación para eventos independientes

1) P(A y B) = P (A ∩ B) = p(A) P(B)

Regla de la multiplicación para eventos dependientes

Para eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A. Se obtiene un valor equivalente si se invierte la posición de los dos eventos. Por ello, la regla de la multiplicación para eventos dependientes es:

2) P(A y B) = y 3) P (B y A) =

A la fórmula 2 y 3 se les denomina con frecuencia la regla general de la multiplicación, debido a que para eventos que son independientes, la probabilidad condicional P(B/A) es siempre igual al valor de la probabilidad no condicional P(B), lo cual da como resultado que la fórmula 2 sea equivalente a la fórmula 1 para eventos independientes.

Ejemplo: Suponga que se sabe que un conjunto de 10 refacciones contiene ocho en buen estado (B) y dos partes defectuosas (D). Si se seleccionan al azar dos refacciones sin reemplazo, la secuencia de posibles resultados y las probabilidades correspondientes son las que se ilustran en el diagrama de árbol de la figura 1. (los subíndices indican la posición secuencial de los resultados) con base en la regla de la multiplicación para eventos dependientes, la probabilidad de que las dos refacciones seleccionadas estén ambas en buen estado es?

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P (B1 y B2) = P(B1)P(B2/B1) 7/9 B2 B1

8/10

2/9 D2

B28/9

2/10 D1

1/9 D2

Ejercicios complementarios

1) El experimento consiste en seleccionar al azar 2 bolas sin reemplazo de una urna que contiene 12 bolas de las cuales 9 bolas son azules y el resto rojas. Con base en la regla de la multiplicación para eventos dependientes, ¿La probabilidad de que las 2 bolas seleccionadas sean ambas azules es?

2) El experimento consiste en seleccionar al azar 2 bombillas sin reemplazo; de una caja que contiene 8 bombillas de las cuales se sabe que hay 3 bombillas defectuosas y el resto buenas. Con base en la regla de la multiplicación para eventos dependientes, ¿La probabilidad de que las 2 bombillas seleccionadas sean ambas defectuosas es?

Dibujar diagramas de árbol para los siguientes experimentos y dar los correspondientes valores de probabilidad, demostrar que la sumatoria de los resultados es uno.

Ejercicios complementarios para la regla de la multiplicación.

1. Un gato se encuentra en el copo de un árbol muy alto. La probabilidad de que llegue un socorrista es de 0.4 y la probabilidad de que llegue su ama a rescatarlo es de 0.3

¿Cuál es la probabilidad de que llegue el socorrista y su ama a rescatarlo?

2. La probabilidad de que un avión despegue a tiempo y de que llegue a tiempo a su destino es de 0.2 La probabilidad de que el avión despegue a tiempo es de 0.3, la probabilidad de que el avión llegue a tiempo es de 0.6.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que usted llegue a tiempo, dado que el avión despegó a tiempo?

b. ¿cuál es la probabilidad de que su avión despegue a tiempo dado que usted llegó a tiempo?

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Probabilidad condicional

Ejemplo: Una Universidad ha hecho una encuesta entre 400 de sus egresados para averiguar:

1. ¿Cuántos de ellos ha hecho algún Postgrado y si se han graduado en el?2. Si trabajan en el campo de su formación o en otro campo.

P O T S G R A D O

TABAJO

Ninguno Está estudiando sin grado

Graduado

En el campoDe la

formación30 125 145

300

En otro campo

20 75 5 100

50 200 150 400

Preguntas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un egresado de la Universidad éste esté estudiando algún Postgrado?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya graduado y trabaje en el campo de formación?3. ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en otro campo?4. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora esté estudiando Postgrado y trabaje en el campo de

formación?5. ¿Cuál es la probabilidad de que en éste momento no estudie Postgrado y trabaje en el campo

de formación?6. ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en el campo de formación dado que estudia Postgrado

actualmente?

Respuesta inmediata: Solo 200 estudian Postgrado y de ellos 125 trabajan en el campo de formación. (dado que: Reduce el universo) entonces la respuesta será: 125/200.Nota: Primero miramos la frase que está después de dado que , pues éste reduce el tamaño total.

Visto de otra forma:A: “Trabajan en el campo de formación” ; B: “ Estudia Postgrado”

Calculemos:

P(A∩B) = Probabilidad (trabaje en el campo y estudie Postgrado) P(B) Probabilidad (estudie Postgrado)

P(A∩B) = 125/400 = 125/200 P(B) 200/400

Conclusión: =

Otras preguntas:

1. La probabilidad de que (no esté estudiando Postgrado dado que trabaja en otro campo).2. La probabilidad de que (trabaje en otro campo dado que es graduado del Postgrado)

Ejercicio: Serían o no independientes los eventos:

A = “Está estudiando Postgrado” B = “Trabaja en otro campo”

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=

=

Ejercicios complementarios

1) El secretario de un sindicato, el señor García redactó una lista con un conjunto de demandas saláriales y de prestaciones que se presentará al gerente de la empresa.Para darse una idea del grado de apoyo que existe entre los dos grupos principales de trabajadores, los maquinistas (M) y los inspectores (I). Tomó 30 trabajadores de cada grupo con los siguientes resultados.

AF AL I LO FO TOTALESM 9 11 2 4 4 30I 10 3 2 8 7 30

TOTALES 19 14 4 12 11 60

La anterior tabla se conoce como una tabla de doble entrada o tabla de contingencia, en donde:AF = Apoyo fuerte, AL = Apoyo leve, I = Indecisos, LO = Levemente opuestos, FO = Fuertemente opuestos.a. ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista seleccionado al azar del grupo sondeado apoye

levemente al paquete?b. ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector seleccionado al azar del grupo sondeado esté

indeciso con respecto al paquete?c. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista o inspector) seleccionado al azar

del grupo sondeado apoye al paquete ya sea fuerte o levemente?d. ¿Cuál es la probabilidad de que exista apoyo fuerte sobre el paquete dado que el seleccionado

al azar es un inspector?

2) A continuación tenemos una distribución de frecuencias de las comisiones anuales por ventas tomadas de un estudio de 300 vendedores promedio.

COMISIÓN ANUAL FRECUENCIA$ 0 a $ 5.000 15

$ 5.000 a $ 10.000 25$ 10.000 a $ 15.000 35$ 15.000 a $ 20.000 125$ 20.000 a $ 25.000 70$ 25.000 en adelante 30

Basándose en esta información. ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor promedio obtenga una comisión de: a) Entre $ 5.000 y $ 10.000 ; b) menor de $ 15.000 ; c) más de $ 20.000, y d) entre $ 15.000 y $ 20.000?

3) El gerente administrativo de una compañía de seguros tiene los siguientes datos acerca del funcionamiento de las fotocopiadoras de la compañía:

COPIADORA DIAS EN FUNCIONAMIENTO DIAS FURA DE SERVICIO1 209 512 217 433 258 24 229 315 247 13

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¿Cuál es la probabilidad de que una fotocopiadora esté fuera de servicio?

4) Suponga que un estudiante optimista estime que la probabilidad de obtener una calificación final de "5" en el curso de probabilidad es de 0.60 y que la probabilidad de obtener un 4 es de "0.40". Por supuesto, no puede obtener ambas calificaciones en forma final ,puesto que son mutuamente excluyentes.

a. Determine la probabilidad condicional de que obtenga un "5" dado que de hecho ha recibido una calificación final de "4", utilizando la fórmula de cálculo apropiada.

b. Aplique una prueba apropiada para demostrar que esos eventos mutuamente excluyentes son dependientes.

5) De 100 personas que presentaron solicitud para un puesto de analista de sistemas en una empresa grande el año pasado, 40 tenían alguna experiencia de trabajo (ET) y 30 tenían un certificado profesional (CP). Sin embargo, 20 de los solicitantes tenían tanto experiencia de trabajo como certificado profesional, y, por ello, están incluidos en ambos conteos.

a. Construya un diagrama de Venn Euler para ilustrar estos eventos.b. ¿Cuál es a probabilidad de que un solicitante elegido aleatoriamente tenga experiencia de

trabajo o certificado profesional?c. ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido aleatoriamente tenga experiencia de

trabajo o certificado profesional?d. ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido aleatoriamente tenga experiencia de

trabajo o certificado profesional, pero no ambas cosas?

6) De 300 estudiantes de negocios, 100 están inscritos en contabilidad y 80 en estadística para negocios. Estas cifras de inscripción incluyen 30 estudiantes que, de hecho, están inscritos en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar esté inscrito en contabilidad o en estadística para negocios?

7) Se seleccionaron 3 carreras de la universidad para saber si los estudiantes estaban de acuerdo o no sobre una reforma en el currículo, se entrevistaron (encuestaron) 1.000 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un estudiante aleatoriamente este:

a. Sea estudiante de Ingeniería Industrial?b. De acuerdo con el cambio curricular?c. Esté indeciso dado que es de electrónica?d. No esté de acuerdo dado que es de Economía?e. No sea de Industrial ni de economía dado que está en desacuerdo?

CARRERAS DE LA UNIVERSIDADINDUSTRIAL ELECTRÓNICA ECONOMÍA CIVIL TOTALES

De acuerdo 150 100 35 45 330Desacuerdo 120 90 75 60 345

Indecisos 85 70 70 100 325TOTALES 355 260 180 205 1.000

8) Se tienen los siguientes eventos de acuerdo a la tabla del ejercicio anterior:A: " Es estudiante de Economía" B: " Está en desacuerdo"Probar la dependencia de los anteriores eventos.

9) Elaborar una atabla de doble entrada de orden 3 x 4 y agregar el enunciado. Formular 5 preguntas, de las cuales 2 sean sencillas y 3 condicionadas y responderlas.

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10) Se decide seleccionar a 200 liberales, 150 conservadores, 150 independientes de los votantes del norte del país y se les clasifica respecto a la ley del aborto según estén a favor, en contra o no hayan decidido.

LEY DELABORTO

AFILIACIÓN POLÍTICALiberales Conservadores Independientes TOTAL

A FAVOR 82 70 62 214EN CONTRA 93 62 67 222SIN DECISIÓN 25 18 21 64TOTAL 200 150 150 500

¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada esté:1. Entre los liberales?2. Entre los Independientes?3. Entre los conservadores?4. A favor del aborto en Colombia?5. En contra del aborto en Colombia?6. Indeciso acerca del aborto en Colombia?7. A favor dado que es Conservadora?8. A favor dado que es Liberal?9. En contra del aborto en Colombia dado que no es Independiente?10. No sea Liberal dado que está en contra del aborto en Colombia?

11) Se tiene una muestra aleatoria de 1.000 votantes registrados en Barranquilla. Se clasifican de acuerdo con sus ingresos como: (bajo, medio, alto) y si están a favor o en contra de su nueva reforma fiscal impuesta.

REFORMAIMPOSITIVA

NIVEL DE INGRESOSBAJO MEDIO ALTO TOTAL

A FAVOR 182 213 203 598EN CONTRA 154 138 110 402TOTAL 336 351 313 1.000

¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada esté:1. En nivel bajo de ingresos?2. En nivel medio de ingresos?3. En nivel alto de ingresos?4. A favor de la nueva reforma?5. En contra de la nueva reforma?6. A favor de la nueva reforma dado que pertenece a nivel alto?7. Esté en contra de la nueva reforma dado que pertenece a nivel bajo?8. A favor de la nueva reforma dado que pertenece a nivel medio?9. Esté a favor de la nueva reforma dado que no es de clase media?10. No sea de clase media dado que está en contra de la nueva reforma?

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