Ejercicios pag. 35-37

1.-Si R es el evento de que un convicto haya cometido un asalto a mano armada y D el de que

promoviera el uso de las drogas, exprese en sus propias palabras que probabilidades se indica n

como:

a) P(R | D); indica la probabilidad de que un convicto haya cometido un asalto a mano armada

dado que promoviera el uso de drogas.

b) P(D'| R); de acuerdo con la indicación en D como el evento de que un convicto promoviera el

uso de drogas y que D' es el complemento de D, es decir, es el evento que se da si D no ocurre,

entonces podemos decir que indica la probabilidad de que un convicto no haya promovido el uso

de drogas dado que cometió un asalto a mano armada.

c) P(R' | D') interpretando la simbología encontramos que ambas partes son complementos de los

eventos, entonces podemos decir que indica la probabilidad de que un convicto no haya cometido

un asalto a mano armada dado que tampoco promoviera el uso de drogas.

7.-Se saca una carta de un paquete normal y se dice que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que

sea mayor que 2 pero menor que 9?

Tenemos un espacio muestral de 52 cartas, de cuatro tipos diferentes; corazones rojos(Cr),

daimantes rojos (Dr), tréboles negros (Tn) y espadas negras (En), cada tipo con 13 cartas, como las

cartas rojas corresponden a los corazones y a los diamantes tenemos que hay 26 cartas rojas en

total, 13 dimantes y 13 corazones, por lo tanto existe ((26)/(52)) de probabilidades de que sea una

carta roja, de este total 12 son las cartas que cumplen con las condiciones , es decir ((12)/(52)),

entonces el evento A lo definimos como la carta que se sacó entre 2 y 9 A={3,4,5,6,7,8}

P(Cr)∩P(Dr) = (((12)/(52)))(((12)/(52)))= (9/(169))

entonces la probabilidad de que la carta sea mayor que 2 pero menor que 9 es igual a (9/(169))

Ejercicios pags. 17-19 libro Walpole

1.- A los participantes en una convención se les ofrecen 6 recorridos por día para visitaar lugares

de interés durante los tres días de duración del evento. ¿en cuántas formas puede una persona

acomodarse para hacer alguno de ellos?

6 recorridos

3 días de duración

(6)(3)=18

R: 18 formas.

2.- En un estudio médico, los participantes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo con su

tipo de sangre, AB⁺,AB⁻,A⁺,A⁻,B⁺,B⁻,O⁺ u O⁻, y su presión sanguínea (baja, normal o alta).

Encuentre el número de formas posibles para clasificar a un paciente.

tenemos 2 grupos para Paciente: el grupo de presión (el cual consta de 3 elementos ) n₁=3 y el de

los tipos sanguíneos (con 8 elementos) n₂=8, entonces tenemos que la multiplicación de estos dos

nos dará las formas posibles de clasificación de un paciente; n₁∗ n₂=24

(3)(8)=24

R: 24 formas

3.- Si un experimento consiste en lanzar un dado y después seleccionar aleatoriamente una letra

del alfabeto en inglés, ¿Cuántos puntos habrá en el espacio muestral?

un dado tiene 6 posibles opciones

el alfabeto inglés tiene 26 posibles puntos entonces:

(6)(26)= 126

R: hay 156 puntos muestrales

4.- Los estudiantes de un colegio privado de Humanidades se clasifican como estudiantes de

primer año, de segundo, de penúltimo y de ultimo, también de acuerdo con su sexo: hombres o

mujeres. Encuentre el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este

colegio.

son 4 clasificaciones para los etudiantes

2 tipos de sexo

(2)(4)=8

R: 8 clasificaciones

5.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en cuatro colores distintos para cada

uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores

cuantos pares diferentes deberán colocar en el aparador.

Se multiplican 4 (que son los diferentes colores) por 5 (que son los diferentes estilos de zapato)

para encontrar combinaciones posibles los diferentes estilos se zapato con los colores diferentes:

5 x 4 = 20

R: 20 pares diferentes que se podrán mostrar en el aparador

6.- Un estudiante de primer año debe tomar un curso de Ciencia, uno de Humanidades y otro de

Matemáticas ¿En cuántas formas puede acomodar su horario?

7.- Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una

casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseños diferentes, 3 sistemas de calefacción,

cochera con puertas, o sin ellas,, y patio o pórtico. ¿Cuántos planes distintos están disponibles

para el comprador?

2*(3P2)=12

12*4=48

8.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya sea líquido, en tabletas o en

cápsulas, a 5 diferentes fabricantes, y todas las presentaciones en concentración regular o alta.

¿En cuántas formas diferentes puede un médico recetar la medicina a un paciente que sufre de

este padecimiento?

5*2*3=30

9.- En un estudio de economía de combustibles, se prueban 3 carros de carretera con 5 diferentes

marcas de gasolina, en 7 sitios de prueba en distintas regiones del país. Si se utilizan 2 pilotos en el

estudio y las pruebas ser realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones ¿Cuántas se

necesitaran?

5C2*(7*3)=10*21=210

10.- ¿En cuántas formas diferentes pueden contestarse 9 preguntas de cierto o falso?

Explicación: Si una operación puede realizarse en n₁ formas, y si para cada una de éstas puede

efectuarse en una segunda en n₂ formas, y para cada una de las dos primeras se puede efectuar

una tercera en n₃ formas, y así, sucesivamente, entonces la secuencia de k operaciones puede

hacerse en n1,n2,n3... nk formas.

Solución:

Cierto o falso = 2 formas que se efectúan 9 veces.

=n₁xn₂xn₃xn₄xn₅xn₆xn₇xn₈xn₉

=2x2x2x2x2x2x2x2x2

=512

R: 512

11.- Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles

respuestas, de las cuales sólo 1 es correcta.

a)¿En cuántas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?

45=1024

b) ¿En cuántas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener

todas las respuestas incorrectas?

35=243

12.- ¿Cuántas permutaciones diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra columna?

a) Permutaciones con la palabra columna

Columna tiene 7 letras, de modo que n=7 como se piden permutaciones, el resultado es:

nPr=5040

n=7

r=7

R: 504

b)Permutaciones de la palabra columna que empiezan con m

Como se tiene por condición que las permutaciones comiencen con la letra m, entonces n=6, así

que el resultado es:

nPr=720

n=6

r=6

R: 720

13.- Un testigo de un accidente de transito en el que el causante huyo, le indica al policía que el

numero de matricula del automóvil tenia las letras RLH seguidas por 3 dígitos, el primero de los

cuales era un 5. Si el testigo puede recordar los otros dos dígitos pero esta seguro de que los 3

eran diferentes, encuentre el numero máximo de registros de automóvil que debe verificar la

policía

RLH fijas

5 fijo

sobran dos lugares x y

del 0 al 9 son 10 dígitos pero ya usamos 1 el cinco (5)

entonces son 9 dígitos en x

y son 8 dígitos en y

entonces 9*8= 72

R: 72

14.- a) ¿De cuántas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobus?

b) Si 3 de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuántas formas es esto posible?

c) Si 2 personas se rehúsan a seguirse una a la otra, ¿en cuántas formas es esto posible?

Solución a)

Dado que tenemos un número de personas igual a 6 entonces

n₁=6,n₂=5,n₃=4,n₄=3,n₅=2,n₆=1 es decir que hay n₁∗n₂∗n₃∗n₄∗,n₅∗n₆ maneras de que se puedan

formar las personas para subir al autobús, entonces; 6x5x4x3x2x1= 720

Solución b)

Las 3 personas que van juntas se pueden permutar y formarse de 3*2*1 = 6 formas y las personas

que restan se pueden formar de 3*2*1= 6 formas, y ademas las 3 personas juntas se pueden

formar en 4 posiciones para que cumplan con la restriccion de ir una tras de otra, por lo tanto

tienes 36 formas para cada posicion y cuatro posiciones;

3! para n₁ tenemos 6

4!=24 para n₂ tenemos 24

n₁*n₂=(6*24)=144

Solución c)

6!-(5!*2)=480

15.- Un constructor desea edificar 9 casas, cada una con diferente diseño ¿En cuántas formas

puede colocar estas casas si 6 terrenos están de un lado de la calle y 3 están en el lado opuesto?

9P9=362880

16.-a)¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con 0,1,2,3,4,5 y 6, si cada uno puede

utilizarse una vez?

6P6*6!/4!=6*(6*5)=6*30=180

b)¿Cuántos de estos números son nones?

75

c)¿Cuántos son mayores que 330?

105

17.-¿En cuántas formas pueden sentarse en línea 4 niños y 5 niñas, si deben colocarse

alternadamente?

4!*5!=24*120=2880

18.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes

pueden sentarse

a) Sin restricciones?

Aquí como no importa el orden pues solo utilizamos el factorial del total de n= 8! = 40320

R: 40320

b) Si se sientan por parejas?

384

c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha todas las mujeres? 576

M M M M H H H H

4! X 4! = 576

Ya que se pueden acomodar los hombres 24 formas diferentes (hay que contarlas) y las mujeres

también. Así que la multiplicación entre ambos es el resultado

R: 576

19.- En un concurso regional de deletreo, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el

número de puntos muestrales en el espacio 5 para el número de ordenes posibles al final del

evento para

a) los 8 finalistas

8!=40320

b) las primeras 3 posiciones

8*7*6=336

20.- ¿En cuántas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con

8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas?

8P5=6720

21.- Encuentre el número de formas en las cuales pueden asignarse 6 profesores a las 4 secciones

de un curso introductorio de psicología, sin ninguno cubre más de una sección.

6P4=360

22.- Se sacan tres boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer

premio. Encuentre el número de puntos muestrales en S para otorgarlos si sólo un concursante

conserva un boleto.

40*39*38=59280

23.-¿En cuántas formas pueden plantarse en círculo 5 árboles diferentes?

(5-1)!=4!=24

24.- ¿En cuántas formas pueden acomodarse en un círculo los 8 vagones cubiertos de una

caravana proveniente de Arizona?

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es (n-1)!

Solución:

n=8

= (8-1)!

= (7)!

= 7x6x5x4x3x2x1

= 5040

R: 5040

25.-¿Cuántas permutaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra infinito?

8!/(3!*2!)=3360

26.-¿En cuántas formas pueden plantarse, a lo largo de la línea divisora de una propiedad, 3

robles, 4 pinos y 2 arces, si no se distingue entre los árboles de la misma clase?

9!/(4!*3!*2!)=1260

27- Un colegio participan 12 partidos de futbol en 1 temporada. ¿De cuantas maneras puede el

equipo terminar la temporada con 7 victorias, 3 derrotas y 2 empates?

Entonces

7!=5040

3!=6

2!=2

7!*2!*3!=60480 posibilidades que tenemos

12!= 479001600 posibilidades que existen

12! / (7!*2!*3!) = 7920 posibilidades

R: 7920

28.-Nueve personas salen de viaje para esquiar en 3 vehículos cuyas capacidades son, 2, 4, y 5

pasajeros, respectivamente ¿En cuántas formas es posible transportar a las 9 personas hasta el

albergue con todos los vehículos?

9C1*8C3*5C5 +9C1*8C4*4C4+9C2*7C3*4C4+9C2*7C2*5C5+9C2*7C4*3C3

= 9*56*1 + 9*70*1 + 36*35*1 + 36*21*1 + 36*35*1

=4410

29.- ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recien graduados y con las

mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma?

Solución;

R: 56

30.- Es un estudio que realizaron en California, el decano Lester Breslow y el James Ensversity of

California en Los Ángeles, se concluyó que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un

hombre puede alargarse, en promedio 11 años y la de las mujeres 7. Estas reglas son:

1. No fumar

2. Hacer ejercicio regularmente

3. Tomar alcohol solo en forma moderada

4. Dormir 7 u 8 horas

5. Conservar un peso apropiado

6. Desayunar

7. No comer entre alimentos

¿En cuántas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas?

A) actualmente las viola todas?

Pues aquí solo hacemos ya que n=7 y queremos solo 5 de esas y nos da

un total de 21 formas.

R:21

b) si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna.

Ahora no tomares las 7 ya que se elimina la de bebidas alcohólicas y como en el menú siempre

estará el desayuno. Habrá 6 opciones y elegiremos 4 de ellas. Pero como existe repeticiones hay q

restárselas.

y de estas combinaciones se repiten 5 entonces se las restamos y nos da

como resultado final. 10

R:10

Introducción

Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de bioestadística y más utilizada

en la práctica es la distribución normal, también llamada distribución gaussiana. Su importancia

se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenómenos

naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribución.

—Caracteres morfológicos (como la talla o el peso), o psicológicos (como el cociente intelectual)

son ejemplos de variables de las que frecuentemente se asume que siguen una distribución

normal.UNIDAD 6: MODELOS PROBABILÍSTICOS BÁSICOS

“DISTRIBUCIÓN NORMAL”—La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés

Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró

desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca,

más comúnmente, como la"campana de Gauss"

. La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros,

su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por m y s.

Propiedades de la distribución normal

—Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.—La curva normal es asintótica

al eje de abscisas. Es por ello, cualquier valor entre -¥ y +¥ es teóricamente posible. El área total

bajo la curva es, por tanto, igual a 1.——Es simétrica con respecto a su media m . Según esto, para

este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la

media, y un 50% de observar un dato menor.——El área bajo la curva comprendido entre los

valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En

concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo (μ-

1.96σ ; μ+1.96σ).——La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la

curva es igual a una desviación típica (s). Cuanto mayor sea s, más aplanada será la curva de la

densidad.

—La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto

correspondiente al promedio del universo m. La distancia entre el eje de simetría de la campana

y el punto de inflexión de la curva es igual a s, la desviación standard de la población.

— No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma

común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más

utilizada es ladistribución normal estándar, que a una distribución de media 0 y varianza 1. Así, la

expresión que define su densidad se puede de la Ecuación: como el

exponente es el que determina la poosicion de la grafica y también la probabilidad

normal podemos simplificarla de la siguiente

manera: La ecuación que

determina la curva en forma de campana. Así, se dice que una característica X sigue una

distribución normal de media m y varianza s, y se denota como

Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución

normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos

donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho

(Determinado por la desviación standard).

a partir de esto se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o

igual a un cierto valor Z, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del

comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución

aproximadamente normal.

Cálculo de probabiladades en distribuciones normales

—La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.—Estas probabilidades

nos dan la función de distribución Φ(k).

entonces:

Φ(k) = P(z ≤ k)

tablas

Áreas bajo la curva normal estándar.

Los valores de la tabla que no se muestran en representan la probabilidad de observar un valor

menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el

segundo decimal en la cabecera de la tabla.

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)—

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K

ejemplos

—En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución

normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se

espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.solución

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a) sabiendo que: P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

—Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una

distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una desviación estándar de 10

Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso

superior a 100 Kg?