UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERFACULTAD DE INGENIERA QUMICA

ESCUELA ACADMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUMICA

PROBABILIDADES

Presentado al:

Ing. Dr. Sc. Abraham Palacios Velsquez

Realizado por:

MERINO ROJAS , Cristina

Alumno de III ciclo de Ingeniera Qumica

HUANCAYO PERU

DISTRIBUCION BINOMIAL1.Encontrar la probabilidad de que en un examen de verdadero o falso, un estudiante adivine correctamente las respuestas de: a) 12 de 20 preguntas o ms, y b) 24 de 40 preguntas o ms.SOLUCIN:

1. 12 a 20 preguntas )

INFERENCIA: Es 25,11% probable de que un estudiante adivine correctamente 12 de 20 preguntas o ms, en un examen de verdadero o falso.

1. 24 a 40 preguntas a mas

)

INFERENCIA: Es 13.42% probable de que un estudiante adivine correctamente 24 de 40 preguntas o ms, en un examen de verdadero o falso.

2.Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda seis veces se obtengan: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4, f)5 y g) 6 caras.

SOLUCIN:

kpnp(x=k)

a00.560.0156

b10.560.0938

c20.560.2344

d30.560.3125

e40.560.2344

f50.560.0938

g60.560.0156

a) INFERENCIA: Es 1,56% probable de que se no obtenga cara, al lanzar una moneda seis veces.b) INFERENCIA: Es 9,38% probable de que se obtenga 1 cara, al lanzar una moneda seis veces.c) INFERENCIA: Es 23,44% probable de que se obtenga 2 caras, al lanzar una moneda seis veces.d) INFERENCIA: Es 31,25% probable de que se obtenga 3 caras, al lanzar una moneda seis veces.e) INFERENCIA: Es 23,44% probable de que se obtenga 4 caras, al lanzar una moneda seis veces.f) INFERENCIA: Es 9,38% probable de que se obtenga 5 caras, al lanzar una moneda seis veces.g) INFERENCIA: Es 1,56% probable de que se obtenga 6 caras, al lanzar una moneda seis veces.

3.Encontrar la probabilidad de obtener, en dos lanzamientos de un par de dados, la suma 11: a) una vez, y b) dos veces.

SOLUCIN:

a) A= {primer lanzamiento de dos dados, la suma resultante sea 11} B= {segundo lanzamiento de dos dados, la suma resultante sea 11}

Eventos simples: 62=36Probabilidades del evento simple: A= B=

INFERENCIA: Es 10.49% probable de que se obtenga la suma de 11, al lanzar una vez, un par de dados.b) Ahora, en dos lanzamientos de seria:

INFERENCIA: Es 0% probable de que se obtenga la suma de 11, al lanzar dos veces, un par de dados. 3.Cul es la probabilidad de obtener 9 una sola vez en los tres lanzamientos de un par de dados?

SOLUCIN:

A= {lanzamiento de los dados, y obtener la suma de 9}

Eventos simples: 35=243Posibilidades del evento simple:

A=

INFERENCIA: Es 26,34% probable de que se obtenga la suma de 9, un uno de los tres lanzamientos, de un par de dados. 5.Hallar la probabilidad de adivinar, correctamente, por lo menos 6 de 10 respuestas en un examen de verdadero y falso.

SOLUCIN:Sea la ecuacin general para una funcin distribucin binomial:

numero de aciertos k= 6, esto es x=6. el nmero de exmenes es 10, n=10. la probabilidad de xito p, es que salga verdadero, al adivinar el examen V o F es de 0.5.

INFERENCIA: Es 37% probable de adivinar correctamente, por lo menos 6 de 10 respuestas, en un examen de verdadero y falso. 6.Un vendedor de seguros vende plizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad est vivo en 30 aos es 2/3. Encontrar la probabilidad de que en 30 aos estn vivos: a) los 5 hombres, b) por lo menos 3 de estos hombres, c) solo 2 de estos hombres, y d) por lo menos uno de ellos; e) Usar EXCEL para responder los incisos del a) al d).SOLUCIN:

Diseando la tabla para los valores pedidos:a)0,131691= BINOMDIST(5,5,0.66667,0)

b)0,790428= BINOMDIST(2,5,0.66667,1)

c)0,164606= BINOMDIST(2,5,0.66667,0)

d)0,995885= BINOMDIST(0,5,0.66667,0)

, como son 5 hombres, entonces tenemos .SOLUCIN Por lo tanto: INFERENCIA: Es 13,17% probable de que los 5 hombres estn vivos en 30 aos. b)Sea: , como son 5 hombres, entonces tenemos , por lo menos 3 de estos hombres entonces tenemos 2*3=6.SOLUCIN Por lo tanto:INFERENCIA: Es 79,04% probable de que, por lo menos, 3 de los 5 hombres estn vivos en 30 aos.

c) sea: , como son 5 hombres, entonces tenemos , solo 2 de estos hombres de los 5 seria 5-2 = 3; entonces tendramos opciones.SOLUCION Por lo tanto: INFERENCIA: Es 16,46% probable de que, slo estn vivos 2 delos 5 hombres en 30 aos.d) la probabilidad de que un hombre viva es:Desacuerdo a: b) y c) .SOLUCION Por lo tanto: = INFERENCIA: Es 99,59% probable de que uno delos 5 hombres stn vivos en 30 aos.

7.Un examen consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO ,suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a la pregunta a ninguna de las preguntas y , en consecuencia, contestan al azar hallar :a) Probabilidad de obtener cinco aciertos.b) Probabilidad de obtener algunos aciertos.c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos SOLUCIN Suceso Suceso Distribucin binomial de parmetros a)

K=5N=10 P=0.5Q=0.5Nmeros combinatorios

INFERENCIA: La probabilidad de obtener cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 24.61%

b)Hacerlo de esta forma resultara muy pesado. Lo hacemos por suceso contrarios a ``no obtener aciertoCalculamos la probabilidad de no obtener ninguna cierto

INFERENCIA: La probabilidad de no obtener cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 0 %

c)

INFERENCIA: La probabilidad de obtener al menos cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 62.31 %8.La probabilidad de que un alumno de 1 de bachillerato repita curso es de 0.3.elegimos 20 alumnos al azar Cul es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores?SOLUCION

Probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores K=4N=20 P=0.3 Q=0.5 Nmeros combinatorios

INFERENCIA: La probabilidad de que un alumno de 1 de bachillerato repta curso es de 0.3.elegimos 20 alumnos al azar es de 13%9.. Calcular la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean nios.

SOLUCIN

N=4(hijos)Probabilidad de tener tres hijos K=3N=4 P=0.5 Q=0.5 Nmeros combinatorios

INFERENCIA: La probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean nios es de 25%

10.De lo tornillos que se producen en una mquina, 10% est defectuoso. Encontrar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 400 tornillos producidos con esta mquina: a) cuando mucho 30, b) entre 30 y 50, c) entre 35 y 45, y d) 55 o ms de los tornillos estn defectuosos.SOLUCIN:1. Cuando mucho 30

)

INFERENCIA: Es 5,67% probable de que se encuentre, cuando mucho, 30 tornillos defectuosos, de una muestra de 400 tornillos producidos al azar.

1. Entre 30 y 50)

INFERENCIA: Es 91,98% probable de que se encuentre, entre 30 y 50 tornillos defectuosos, en una muestra de 400 tornillos producidos al azar.

1. Entre 35 y 45 )

INFERENCIA: Es 64.04% probable de que se encuentre, entre 35 y 45 tornillos defectuosos, en una muestra de 400 tornillos producidos al azar.

DISTRIBUCION NORMAL1.En un examen de estadstica, la puntuacin media es 78 y la desviacin estndar es 10.a) Determinar las puntuaciones estndar de dos estudiantes cuyas calificaciones fueron 93 y 62, respectivamente.b) Determinar las calificaciones de dos estudiantes cuyas puntuaciones estndar fueron -0.6 y 1.2, respectivamente. SOLUCIN:

a)

INFERENCIA: Las puntuacin es estndar de dos estudiantes, con respecto a la media, en un examen de estadstica, son 1.5 y -1.6 respectivamente.

b)

INFERENCIA: Las calificaciones de dos estudiantes, con respecto a la media, en un examen de estadstica, son 72 y 90 respectivamente.

2. Encontrar: a) la media, b) la desviacin estndar de las calificaciones obtenidas en un examen en el que 70 y 80 corresponden a las puntuaciones estndar -0.6 y 1.4, respectivamente.

SOLUCION:a)

INFERENCIA: La media, de las calificaciones obtenidas en un examen, es 73.

b)

INFERENCIA: La desviacin estndar, con respecto a la media, de las calificaciones obtenidas en un examen es 5.3. Hallar el rea bajo la curva normal entre: a) z=-1.20 y z=2.40, b) z=1.23 y z=1.87, y c) z=-2.35 y z=-0.50, d) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL.SOLUCIN:

a) z1=-1.20 y z2=2.40p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.99180 0.11507P (z) = 0.87673

INFERENCIA: El rea, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-1.20 y 2.40, respectivamente), es el 87.673% del rea total.

b) z1=-1.23 y z2=1.87p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.96926 0.10935P (z) = 0.85991INFERENCIA: El rea, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-1.23 y 1.87, respectivamente), es el 85.991% del rea total.

c) z1=-2.35 y z2=0.50p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.69146 0.00939P (z) = 0.68207INFERENCIA: El rea, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-2.35 y 0.50, respectivamente), es el 68,207% del rea total.4. Hallar el rea bajo la curva normal: a) a la izquierda de z=-1.78, b) a la izquierda de z=0.56, c) a la derecha de z=-1.45, d) correspondiente a z2.16, e) correspondiente a -0.80z1.53, y f) a la izquierda de z=-2.52 y la derecha de z=1.83; g) Resolver los incisos del a) al f) usando EXCEL.

SOLUCIN:

a) A la izquierda de z=-1.78p (z) = 0.03754

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, que est a la izquierda de z (-1.78), es el 3.754% del total.

b) A la izquierda de z=0.56p (z) = 0.71226

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, que est a la izquierda de z (0.56), es el 71.226% del total.c) A la derecha de z=-1.45p (z) = 1-0.07353 = 0.92647

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, que est a la derecha de z (-1.45), es el 92.647% del total.

d) Correspondiente a z 2.16p (z) = 1- 0.98422 = 0.01578

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, Correspondiente a z 2.16, es el 1,578% del total.

e) Correspondiente a -0.80z1.53p (z) = 0.93699 0.21186 = 0.72513

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, Correspondiente a -0.80z1.53, es el 72,513% del total.

f) A la izquierda de z=-2.52 y a la derecha de z=1.83p (z) = p (z1) + [1-p (z2)] = 0.00587 + [1- 0.96638] = 0.03949

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, que est a la izquierda de z=-2.52 y a la derecha de z=1.83, es el 3.949% del total.

5. Si z est distribuida normalmente con media 0 y varianza 1, hallar: a) Pr {z-1.64}, b) Pr {|z|1} y c) Pr {-1.96z1.96}.

SOLUCIN:

a) Pr {z-1.64}p (z) =1- 0.0505 = 0.94950 = 94.950%

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, cuando z=-1.64, es probable que sea 94.950% del total.

b) Pr {-1.96z1.96}p (z) = 0.97500 0.02500 = 0.95 = 95%

INFERENCIA: El rea bajo la curva normal, cuando -1.96z1.96, es probable que sea el 95% del total.6. Hallar el valor de z tal que: a) el rea a la derecha de z sea 0.2266, b) el rea a la izquierda de z sea 0.0314, c) el rea entre -0.23 y z sea 0.5722, d) el rea entre 1.15 y z sea 0.0730 y e) el rea entre z y z sea 0.9000.SOLUCION:

a) El rea a la derecha de z sea 0.2266p (z) = 1-0.2266 = 0.7734 = 0.75

INFERENCIA: El valor de z, cuando el rea a su derecha sea 0.2266, es 0.75.

b) El rea a la izquierda de z sea 0.0314p (z) = 0.0314 = -1.86

INFERENCIA: El valor de z, cuando el rea a su izquierda sea 0.0314, es -1.86.

c) El rea entre -0.23 y zsea 0.57220.5722 = p (z) p (-0.23)p (z) = 0.9813 = 2.08

INFERENCIA: El valor de z, cuando el rea est entre -0.23 y zpara que resulte 0.5722, es 2.08.

d) el rea entre 1.15 y zsea 0.07300.0730 = p (z) p (1.15)p (z) = 0.9479 = 1.625

INFERENCIA: El valor de z, cuando el rea est entre 1.15 y zpara que resulte 0.0730, es 1.625.

e) el rea entre z y zsea 0.90000.9000 = p (z) p (-z) = p (z) [1-p (z)]1.9000 = 2*p (z) p (z) = 0.95 = 1.645

INFERENCIA: El valor de z, cuando el rea est entre z y zpara que resulte 0.9000, es 1.645.

7. Encontrar z1, si Pr {z z1}=0.84, donde z est distribuida normalmente con media 0 y varianza 1.SOLUCION:

Pr {zz1}0.84 =1-p (z1) P (z1) = 0.16 = -0.995

INFERENCIA: El valor de z1, cuando Pr {z z1}=0.84, es -0.995.

8. Empleando el apndice I, encontrar las ordenadas en la curva normal correspondientes a: a) z=2.25, b) z=-0.32, c) z=-1.18, y d) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL.SOLUCION:

a) z1=2.25P (z) = 0.0317

INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=2.25, es 0.0317.

b) z1=-0.32P (z) = 0.3790

INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=-0.32, es 0.3790.

c) z1=-1.18P (z) = 0.1989

INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=-1.18, es 0.1989.9. Las estaturas de hombres adultos tienen la misma una distribucin normal cuya media es 70 in, y cuya desviacin estndar es 3 in. a) Qu porcentaje mide menos de 65 in? b) Qu porcentaje mide ms de 72 in? c) Qu porcentaje mide entre 68 y 73 in?

SOLUCION:

a)

INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 4.78% miden menos de 65 in.

b)

INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 25.25% miden ms de 72 in.

c)

INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 58.89% miden entre 68 y 73 in.

10. Las cantidades gastadas, por determinado grupo de edad, en la compra de artculos en lnea tienen una distribucin normal cuya media es $ 125 y cuya desviacin estndar es $ 25. a) Qu porcentaje gasta ms de $ 175? b) Qu porcentaje gasta entre $ 100 y $ 150? c) Qu porcentaje gasta menos de $ 50?

SOLUCION:

a)

INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artculos en lnea, el 2.28% gastan ms de $175.

b)

INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artculos en lnea, el 68.27% gastan ms entre $100 y $150.

c)

INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artculos en lnea, el 0.14% gastan menos de $50.11. En un examen final la calificacin media es 72 y la desviacin estndar es 9. Los estudiantes que forman parte del 10% superior obtienen A como nota. Cul es la calificacin mnima para A?

SOLUCION:

INFERENCIA: La calificacin mnima para A, con respecto a la media, en un examen final, es 84. 12. Si un conjunto de medidas tiene como distribucin normal, Qu porcentaje de las medidas difiere de la media en: a) ms de media desviacin estndar, y b) menos de tres cuartos de desviacin estndar?

SOLUCION:

a) = p (0.5) =0.69146 = 69.15%INFERENCIA: El porcentaje que difiere a la media en , es 69,15%, con respecto a la media.

b) = p (-0.75) =0.22663 = 22.66%

INFERENCIA: El porcentaje que difiere a la media en , es 22.66%, con respecto a la media.13. Si es la media y s es la desviacin estndar de un conjunto de mediciones distribuidas normalmente, Qu porcentaje de las mediciones: a) est dentro del rango 1.2s, b) estn fuera del rango 1.2s, y c) son mayores que 1.5s?SOLUCION:

a) 1.2sz=1.2 =p (1.2) p (-1.2)= 0.88493 0.11507 = 0.76986 = 76.99%INFERENCIA: El porcentaje que est dentro del rango 1.2s, es 76,99%, con respecto a la media

b) 1.2sz=1.2 =p (-1.2) + [1- p (1.2)]= 0.11507 + 0.11507 = 0.23014 = 23.014%INFERENCIA: El porcentaje que est fuera del rango 1.2s, es 23.014%, con respecto a la media

c) 1.5sz=-1.5 =1- p (-1.5)= 1 - 0.06681 = 0.93319 = 93.319%INFERENCIA: El porcentaje que son mayores a 1.5s, es 93.319%, con respecto a la media.

14. En el problema 88 encontrar la constante a tal que el porcentaje de casos: a) dentro del rangoassea 75%, y b) menores que as sea 22%.SOLUCION:

d) asz=a0.75 =p (a) p (-a) =2*p (a) - 10.875= p (a) a = 1.15INFERENCIA: Para que el porcentaje sea 75% dentro del rango s, el valor de a es 1.15, con respecto a la media

e) asz=-a0.22 =p (-a)0.22 =1 p (a) a=1.17

INFERENCIA: Para que el porcentaje sea 22% cuando sean menores a s, el valor de a es - 1.17, con respecto a la media.

T- STUDENT

1.El ciclo medio de vida operativa de una muestra aleatoria de 10 focos es de 400 horas con la desviacin estndar de la muestra de 200 horas .se supone que el ciclo de vida operativo de los focos en grl tiene una distribucin aproximadamente normal.Estimacimos el ciclo medio de vida operativa de la poblacin de focos aplicando un 95% de confianza.SOLUCIN:

S=200Media: 4000

2. Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin fue?:

520521511513510

513522500521495

496488500502512

510510475505521

506503487493500

GRAFICA

Se puede concluir que la media poblacional no es 500, por que la muestra poblacional est por encima de esta, y por lo tanto debera estar por encima de 5003. El ciclo medio de operativa de una muestra aleatoria de 10 focos es de 4000 horas con la desviacin estndar de la muestra de 200 horas se supone que el ciclo de vida operativo de los focos en gl tienen una distribucin aproximada normal. Estimacin el ciclo de vida operativa de la poblacin de focos aplicando un 95% de confianza.

SOLUCION:

INFERENCIA: los lmites de la grfica es entre (3856.84;4143.16)4. Sea x una v.a. que se distribuye segn una t de student de n grados de libertad comprobar que

SOLUCION:Como la distribucin t de student es simtrica se verifica que por lo tanto, luego que evidentemente es cierto5.El valor t con V = 14 grados de libertad que deja un rea de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha, es t0.975=-t0.025 = -2.145

SOLUCION:

= 0.025

5.Encuentre la probabilidad de t0.025 < t < t0.05.

SOLUCIN:

= 0.05= 0.025

Como t0.05 deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025 deja un rea de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P (t0.025 < t < t0.05) = 0.925

6.Encuentre k tal que P (k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal.

SOLUCIN:

t

T=-1,761K

t =1.761 con 14 grados de libertad => 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. SE resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a . Luego se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de est en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:P (-2.977 < t < -1.761) = 0.045

7.El contenido de siete contenedores similares de cido sulfrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribucin aproximadamente normal.

SOLUCIN:

La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son:x = 10 y s= 0.283En la tabla se encuentra que t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

INFERENCIA: Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores est entre 9.47 y 10.26 litros.

8.Un artculo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustin residual en segundos de especmenes tratados de ropa de dormir para nios:

9.85 9.93 9.75 9.77 9.679.87 9.67 9.94 9.85 9.759.83 9.92 9.74 9.99 9.889.95 9.95 9.93 9.92 9.89

Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustin residual promedio. Supngase que el tiempo de combustin residual sigue una distribucin normal.

SOLUCIN: La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son:x = 9.8525 y s= 0.0965En la tabla se encuentra que t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% para es:

INFERENCIA: se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustin residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos.

9.El Instituto Elctrico Edison publica cifras del nmero anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos electrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9 kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal.

SOLUCIN:

= 46 kilowatt-horas= 11.9 kilowatt-horax = 42 kilowatt-horan = 12

= 0.05Regin de rechazo

Ho; = 46 kilowatt-horaH1; < 46 kilowatt-horaSi tR -1.796 No se rechaza HoRegin de aceptacin= 0.05

Si tR < -1.796 Se rechaza Ho

tL= -1.796 = 46

10.Un artculo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada espcimen falla es la siguiente en MPa:19.8 18.5 17.6 16.7 15.815.4 14.1 13.6 11.9 11.411.4 8.8 7.5 15.4 15.419.5 14.9 12.7 11.9 11.4 10.1 7.9Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, y utilicese a = 0.05. Calcule el valor de P.

SOLUCIN: = 10Ho

s = 3.55x = 13.71H1region de rechazo

n = 22= 0.05

Ho; = 10H1; > 10Regin de aceptacin= 0.05

Si tR1.721 no se rechaza Ho.Si tR> 1.721 se rechaza Ho.

= 10 tL= 1.721

INFERENCIA: Como 4.90 >1.721 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de eficiencia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa.

CHI-CUADRADO

1. Si es una variable aleatoria con una distribucin . Hallar tal que y SOLUCIN:

De donde LUEGO:

2. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndarminuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.SOLUCIN:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

INFERENCIA: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2).

3.Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza s2=6, tenga una varianza muestral:a) Mayor que 9.1b) Entre 3.462 y 10.745

SOLUCIN:

a) 24 grados de libertad => de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

b) y

24 - 13.846 => 0.95 42.98 => 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. = 0.05= 0.05

Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

= 0.01= 0.95

,98

=>

1-/2/2

4.Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal.

SOLUCIN:

; => varianza

1-/2=0,025/2=0,025

INFERENCIA: tiene un nivel de confianza del 95,3%.

1-/2=0,025/2=0,025

5.En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%.

SOLUCIN:

=0,05

Regin de rechazoRegin de aceptacinX(0.05, 9)= 16.919

s2= 0.0002n = 10s2 = 0.0003a= 0.05

Ho; s2= 0.0002H1; s2> 0.0002

Si XR16.919 no se rechaza Ho.Si XR>16.919 se rechaza Ho.

INFERENCIA: no se rechaza Ho y tiene un nivel de eficiencia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor.

6.Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2= 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use= 0.05.Solucin:Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo.Datos:= 0.0002n = 10s2 =0.0003= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;= 0.0002H1;> 0.0002

Regla de decisin:Si X2R16.919 no se rechaza Ho.Si X2R>16.919 se rechaza Ho.Clculos:

Justificacin y decisin:Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor.Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.

7.El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es= 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un= 0.05 y calcule el valor de P.Solucin:Datos:= 18n = 10s=4.8= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;= 18H1;18

Regla de decisin:Si 2.7X2R19.023 no se rechaza Ho.Si X2R19.023 se rechaza Ho.Clculos:

Justificacin y decisin:Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho,y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2.Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R= 11.52 este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 yP= (2)(0.2423) = 0.4846

8.Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin.Solucin:Datos:= 6n = 20s=4.51Ensayo de hiptesis:Ho;= 6H1;< 6Clculos:

Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el rea que se encuentra es la que est a la derecha de este valor. Como la media de esta distribucin ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza Hoy se concluye que la desviacin estndar disminuyo, pero si se utiliza un valor de= 0.05, entonces no se rechaza Hoy se concluira que la desviacin estndar no disminuy. La decisin depende del error tipo I que est dispuesto a tolerar el investigador.

9.Un fabricante X concluye que su producto tendr una vida til de 10 aos. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8-9.7-10.5-12.1-13.3-13.4-10.3-8.5-15.0-10.5-7.6-6.3. Teniendo en cuenta una desviacin poblacional de 1.2 aos.De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviacin poblacional es de 1.2 aos?

10. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.Solucin:Como este es un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y 19.023.

y

Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de

CONDICIONAL1.Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francs?

Y la probabilidad de que sea chica y no estudi francs?

2.De modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

3.Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuacin, se extrae una segunda bola. Se pide:1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

3.Probabilidad de que las dos bolas extradas sean del mismo color.

4.En una clase en la que todos practican algn deporte, el 60% de los alumnos juega al ftbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si adems a y un 60% que no juega al ftbol, cul ser la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:1 Juegue slo al ftbol.

2Juegue slo al baloncesto.

3Practique uno solo de los deportes.

4No juegue ni al ftbol ni al baloncesto.

6.En una ciudad, el 40% de la poblacin tiene cabellos castaos, el 25% tiene ojos castaos y el 15% tiene cabellos y ojos castaos. Se escoge una persona al azar:1 Si tiene los cabellos castaos, cul es la probabilidad de que tenga tambin ojos castaos?

2Si tiene ojos castaos, cul es la probabilidad de que no tenga cabellos castaos?

3Cul es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaos?

7.En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:7Cul es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, qu probabilidad hay de que sea hombre?

8.Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un nmero menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ms, nos vamos a la urna B. A continuacin extraemos una bola. Se pide:1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

2Probabilidad de que la bola sea blanca.

9.Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.1 Si va a realizar el examen, cul es la probabilidad de que haya odo el despertador?

2Si no realiza el examen, cul es la probabilidad de que no haya odo el despertador?10 En una estantera hay 60 novelas y 20 libros de poesa. Una persona A elige un libro al azar de la estantera y se lo lleva. A continuacin otra persona B elige otro libro al azar.1 Cul es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligi una novela, cul es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesa?

11.Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el nmero de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:1 Con una persona sin gafas.

2Con una mujer con gafas.

12.En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que slo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lzaro llavero y, de l, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:1 Cul ser la probabilidad de que se acierte con la llave?

2Cul ser la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, cul ser la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

ADITIVA1. Un espacio maestral est formado por cinco eventos sencillos con estas probabilidades:P (E1)=P (E2)=0.15 P(E3)=0.4 P(E4)=2P(E5)

a) Entre las probabilidades para los eventos sencillos E4 y E5.P (E1)+P (E2)+P (E3)+P (E4)+P (E5)=10.15+0.15+04+2P (E5)+P (E5)=1P (E5)=0.1P (E4)=0.2

b) Encuentre las probabilidades para estos dos eventos:

A= {E1, E3, E4}B= {E2, E3}P(A)=P (E1)+P (E3)+P (E4)P (A)= 0.15+0.4+0.2P(A)=0.75P (B)=P (E2)+P (E3)P (B)=0.15+0.4P (B)=0.55c) Haga una lista de los eventos sencillos que se encuentren en el evento A o en el evento B o en ambos. E1,E2,E3,E4d) Haga una lista de eventos sencillos que se encuentren en el evento Ay en el B. E32. Un espacio muestral contiene 10 evento sencillos E1, E2, E3,, E10. SI P (E1)=3P (E2)=0.45 y los restantes eventos sencillos son igualmente probables, encuentre las probabilidades de estos eventos restantes. P (E1)=3P (E2)=0.45 P (E2)=0.15P (E1)=0.45P (E3)= P (E4)= P (E5)= P (E6)= P (E7)= P (E8)= P (E9)= P (E10)=X=0.05P (E1)+P (E2)+P (E3)++P (E10)=10.45+0.15+P (E3)++P (E10)=10.6+8X=1X=0.05

3. Tiros libres. Una jugadora de baloncesto acierta 70% de sus tiros libres. Cuando ella lanza u par de tiros libres. Los cuatro los cuatro eventos posibles y tres de sus posibilidades asociadas se dan en la tabla.Evento SimpleResultado Del Primer Tiro.Resultado Del Segundo Tiro.Probabilidad

1EncestaEncesta0.49

2EncestaFallaX

3FallaEncesta0.21

4FallaFalla0.09

a) Encuentre la probabilidad de que la jugadora enceste en el primer tiro y en el segundo falle.P (1)+P (2)+P (3)+P (4)=10.49+P (2)+0.21+0.09=1P (2)=0.21La probabilidad de que la jugadora enceste en el primer tiro y en el segundo falle es de un 21%

b) Encuentre La probabilidad de que la jugadora enceste al menos uno de los dos tiros libres.

A= {Enceste en al menos uno de los tiros libres.P(A)=P (1)+P (2)+P (3)P(A)=0.49+0.21+0.21P(A)=0.91La probabilidad de que la jugadora enceste al menos uno de los dos tiros libres es de 91%4. Cuatro monedas un frasco contiene cuatro monedas: una de cinco, una de 10, una de 25 y una de 50.Se seleccionan 3 monedas del frasco.a) Haga una lista de los eventos simples.E1: Obtener 5-10-25.E2: Obtener 5-10-50.E3: Obtener 5-50-25.E4: Obtener 50-10-25.

b) Cul es la probabilidad de que de la seleccin contenga la moneda de 50 centavos.A= {contenga la moneda de 50 centavos.P(A)=P (E2)+P (E3)+P (E4)P(A)=3/4=75%La probabilidad de que el seleccionado contenga monedas de 50 centavos es de un 75%c) Cul es la probabilidad de que la suma total sacada sea igual a 60 centavos o ms?B= {la suma total sacada sea 60 centavos o masP (B)= P (E2)+P (E3)+P (E4)P (B)=3 /4=75%La probabilidad de que la suma total sea 60 centavos o ms es de un 75%

5. El primer da de clases de jardn de nios, el maestro selecciona al azar uno de sus 25 estudiantes y registra el gnero del estudiante, as como si haba tenido preescolar.a) Cmo describira usted el experimento?b) Construya un diagrama de rbol para este experiment Cuntos evento simples hay ah?preescolar89

sin preescolar62

c) Cul es la probabilidad de que el estudiante seleccionad al azar sea hombre? Cul es la probabilidad de que el estudiante sea mujer y no haya tenido preescolar? A={Al escoger sea hombreP(A)=P (H) con pre + P (H) sin preP(A)=8/25+6/25=0.56=56%La probabilidad de que al escoger aleatoriamente al estudiante que sea hombre es de un 56%

B= {Al escoger sea mujer y no tenga preescolar.P (B)=P (M) sin pre.P (B)=2/25=0.08=8%La probabilidad que al escoger aleatoriamente al estudiante que sea mujer sin preescolar es de 8%

6. Un tazn contiene tres pelotas rojas y dos amarillas. Dos de ellas se seleccionan al azar y se al azar y se registran sus colores. use un diagrama de rbol para hacer una lista de los 20 eventos simples del experimento, teniendo en mente en el que se sacan las pelotas.SEGUNDA SELECCIONPRIM ERA SELECCION

7. El problema de la urna, continua consulte el ejercicio 7. una pelota se selecciona al azar del tazn que contienen tres pelotas rojas y dos amarillas. se toma nota de su color, la pelota se devuelve al tazn antes de seleccionar una segunda pelota. haga a lista de los otros cinco eventos simples que deben agregarse al espacio muestral del ejercicio 7.

8. Un estudio clasifico a un gran nmero de adultos de acuerdo a si se considera que si necesitan lentes para corregir su vista para leer y si lentes para leen. Las proporciones que caen en las 4 categoras se muestran en la tabla siguiente. (obsrvese que una pequea porcin, 0.02 de adultos usaba lentes cuando de hecho se considera que no los necesitan).Se considera que necesitan lentesSiNo

Si0.440.14

No0.020.40

Si un solo adulto se selecciona de este grupo grande encuentre la probabilidad de cada evento.a) Se considera que el adulto necesita lentes. A= {El adulto necesita lentesP(A)=00.44+0.14=0.58=58%

Segn un estudio clsico la probabilidad de que un adulto necesite lentes es de 58%b) El adulto necesita lentes para leer pero no los usa. B= {El adulto necesite lentes para leer pero no los usaP (B)=0.14=14%

Segn un estudio clsico la probabilidad de que un adulto necesite lentes para leer pero que no los use es de 58%

c) El adulto usa lente para leer, los necesite o no. C= {el adulto usa lentes pero, los necesite o no.P(C)=0.44+0.02=0.46=46%

Segn un estudio clsico la probabilidad de que un usa lentes pero, los necesite o no es de 58%

9. Ruleta. el juego de la rueda que contiene 38 buchacas. treinta y seis buchacas numeradas 1, 2, 3,4,,36 y las dos restantes estn marcadas 0 y 00. La rueda se hace girar y una buchaca es identificada como la ganadora. Suponga que la observancia de cualquier buchaca es igualmente probable que cualquier otra.a) Identifique los eventos simples en un solo giro de la ruede de la ruleta. PROBABILIDAD E1: Ganadora el numero 1 1/38 E2: Ganadora el numero 2 1/38 E3: Ganadora el numero 3 1/38 E4: Ganadora el numero 4 1/38 E5: Ganadora el numero 5 1/38 E6: Ganadora el numero 6 1/38 E7: Ganadora el numero 7 1/38 E8: Ganadora el numero 8 1/38 E9: Ganadora el numero 9 1/38 E10: Ganadora el numero 10 1/38 E11:Ganadora el numero 11 1/38 E12:Ganadora el numero 12 1/38 E13: Ganadora el numero 13 1/38 E14: Ganadora el numero 14 1/38 E15: Ganadora el numero 15 1/38 E16: Ganadora el numero 16 1/38 E17: Ganadora el numero 17 1/38 E18: Ganadora el numero 18 1/38 E19: Ganadora el numero 19 1/38 E20: Ganadora el numero 20 1/38 E21: Ganadora el numero 21 1/38 E22: Ganadora el numero 22 1/38 E23: Ganadora el numero 23 1/38 E24: Ganadora el numero 24 1/38 E25: Ganadora el numero 25 1/38 E26: Ganadora el numero 26 1/38 E27: Ganadora el numero 27 1/38 E28: Ganadora el numero 28 1/38 E29: Ganadora el numero 29 1/38 E30: Ganadora el numero 30 1/38 E31: Ganadora el numero 31 1/38 E32: Ganadora el numero 32 1/38 E33: Ganadora el numero 33 1/38 E34: Ganadora el numero 34 1/38 E35: Ganadora el numero 35 1/38 E36: Ganadora el numero 36 1/38 E37: Ganadora el numero 0 1/38 E38: Ganadora el numero 00 1/38

b) Asigne probabilidades a los eventos simples. (ARRIBA).

c) Sea A el evento que usted observa ya sea 0 o 00. Haga una lista de los eventos simples del evento A y encuentre P(A). A1=Observar 0. A2=Observar 00. P(A)=P(A1)+P(A2)P(A)=1/38+1/38=0.053=5.3%

La probabilidad de observar 0o00 es de 5.3%

d) Suponga que usted aposto en los nmeros del 1 al 18. Cul es la probabilidad de que uno de sus nmeros sea ganador? P(C)=P(E1)+P(E2)+..+P(E18) P(C)=1/38+1/38+.+1/38 18 VECES P(C)= 18/38=0.474=47.7%La probabilidad de que acierte una de los nmeros apostados es 47.7%10. un sistema detector de humo utiliza dos aparatos, A y B. Si hay humo, la probabilidad de que este sea detectado por el aparato A es .95 , por el aparato .98 ,y por ambos .94%a. Si hay humo, encuentre la probabilidad de que este sea detectado por el aparato A o el B o por ambos aparatos.b. encuentre la probabilidad de que el humo no sea detectado.SOLUCION:a) A:{Detector de humo con el aparato A} B:{Detector de humo con el aparato B}AB:{Detector de humo de ambos aparatos}P(A)=0.95P (B)=0.98P (AB)=0.94P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P (AB) =0.95+0.98-0.94P (AB) =0.99=99%INFERENCIA: El 99 % la probabilidad de que el humo sea detectado por el aparatos A o B o por ambos.b)P [(AB)C]=P(AC)+P(BC)-P[(AB)C]P [(AB)C] =0.05+0.02-0.06P [(AB) C] =0.1=1%

INFERENCIA: El 1% es La probabilidad de que el humo no sea detectado

TEOREMA DE BAYES

1.En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide ms de 1.80m Cual es la probabilidad de que sea mujer?Z > 1.80 m A = HombreB = MujerP (A) = .60P (B) = .40P (Z/A) = .20P (Z/B) = .01Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80,Utilizando el teorema de Bayes:

P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.

Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80 es .032 = 3.2 %2. Regla de bayes II. Si se realiza un experimento ,puede ocurrir uno y solo uno de los tres eventos mutuamente excluyentes ,,, son estas probabilidades : Las probabilidades de que ocurra un cuarto evento A, dado que ocurre , son Si se observa al evento A, encuentre.SOLUCION:

INF: La probabilidad de que el evento A encuentre es de 22,22%

INF: La probabilidad de que el evento A encuentre es de 27,8%

INF: La probabilidad de que el evento A encuentre es de 50%

3. Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avin. Cada forma de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.

Para escoger el mtodo de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realiz en bicicleta.

Sea B el evento que no llegue a destino.

IP(bicicleta/B) =0,4054 4. En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuacin se vuelve a sacar otra bola que es verde. Cul es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, cul es la probabilidad de que la primera sea verde?. Y azul?. Un diagrama nos aclara la situacin

En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y anlogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

COMPLEMETARIAS

1.Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:

P[A'] = 0,6 P[B] =0,3 P[A' B'] =0,9

a Son independientes A y B?

bCalcula P[A' / B].

Solucin: a P[A' B'] P[A B '] 1 P[A B] 0,9 P[A B] 0,1

P[A'] 1 P[A] 0,6 P[A] 0,4

Por tanto, A y B no son independientes.

b Como:

necesitamos calcular P[A' B]:

P[A' B] P[B] P[A B] 0,3 0,1 0,2

Por tanto:

2.Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 0 al 9. Cul es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo nmero?

Solucin:

Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es: cul es la probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?

Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo nmero ser:

3.En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36 saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.Escogemos uno de los viajeros al azar.

aCul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?bCul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls?cCul es la probabilidad de que solo hable francs?

Solucin:

Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francs".

a Tenemos que hallar P[I F]:

4.Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.

aCul es la probabilidad de obtener un nmero par?bSabiendo que sali un nmero par, cul es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Solucin:

Hacemos un diagrama en rbol:

5. Extraemos dos cartas de una baraja espaola (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:

a)Las dos de oros.b)Una de copas u otra de oros.

c)Al menos una de oros.d)La primera de copas y la segunda de oro.Solucin:

6.Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisin. Los resultados son:

- A 32 personas les gusta leer y ver la tele.- A 92 personas les gusta leer.- A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:a Cul es la probabilidad de que no le guste ver la tele?bCul es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?cCul es la probabilidad de que le guste leer?

Solucin:

Vamos a organizar la informacin en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele".

7.El 1% de la poblacin de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa poblacin:

a Cul es la probabilidad de que el individuo d positivo y padezca la enfermedad?B Si sabemos que ha dado positiva, cul es la probabilidad de que padezca la enfermedad?Solucin:

Hacemos un diagrama en rbol:

a P[Enfermo y Positiva] 0,0097

8.a)Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5. Cul es la probabilidad de que las dos elijan el mismo nmero?

b)Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5, cul es la probabilidad de que las tres elijan el mismo nmero?

Solucin:

a)Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es: cul es a probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?

9.En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemticas, 16 que han aprobado ingls y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.Elegimos al azar un alumno de esa clase:

a Cul es la probabilidad de que haya aprobado ingls y matemticas?b.Sabiendo que ha aprobado matemticas, cul es la probabilidad de que haya aprobado ingls?c.Son independientes los sucesos "Aprobar matemticas" y "Aprobar ingls"?

Solucin:

Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:

Llamamos M "Aprueba matemticas", I Aprueba ingls".

10.Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Despus extraemos una bola de B.

a Cul es la probabilidad de que la bola extrada de B sea blanca?bCu es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

Solucin:

Hacemos un diagrama en rbol:

MULTIPLICATIVA

1. Comida en e restaurant Gerard's Un restaurant francs en Riverside, California, ofrece un men especial de verano en el que, por un costo fijo por comida, se puede escoger una de dos ensaladas, una de dos entradas y uno de dos postres. Cuntas comidas diferentes hay?

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIN2 ensaladas * 2 entradas * 2 postres = 8 comidas diferentes

2. Cul es la probabilidad de obtener tres caras lanzando tres monedas? Cul es la probabilidad de obtener dos o ms caras? Lanzar 100 veces una moneda y observar la frecuencia con la que aparecen al menos dos caras.SOLUCION P= =12.5%Existe la probabilidad de 12.5% de obtener tres caras lanzando tres monedas. P= =33.33%Existe la probabilidad de 33.33% de obtener dos o ms caras

3.Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Cul es la probabilidad de que 2 bolas extradas sean ambas negras?

SOLUCION

P= =10%Existe la probabilidad de 10% de que las bolas extradas sean ambas negras.

3. Cuntos nmeros de dos cifras pueden formarse con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5, suponiendo que no pueden repetirse estos? Y si se permite la repeticin de los guarismos? SOLUCION

P= = 20; Se puede formar 20 nmeros sin que se repitan los nmeros.

P= = 25; Se puede formar 25 nmeros si se permite la repeticin de los nmeros.

4. Cuntos nmeros de tres cifras pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, si no se permite repeticin? Cuntos de estos sern pares?SOLUCION

P= = 48Se puede formar 48 nmeros sin que se repitan los nmeros.

5. De cuntas maneras puede formarse con 9 hombres una comisin de 3? SOLUCION P= = 84 Se podria formar de 84 maneras diferentes una comisin de compuesta por 3 personas.

6. Hay 6 caminos que van de A a B y 3 de B a C. De cuntas maneras se puede ir de A a C pasando por B?SOLUCION

P= = 18Se puede ir de 18 maneras diferentes de A a C pasando por B.

7. Cuntas cantidades diferentes de dinero pueden formarse con seis monedas de valores distintos?SOLUCION

P= 6= 720Se puede formar 720 cantidades diferentes con seis monedas de distinto valor.

8. De cuntas maneras pueden dividirse 6 nias y 4 nios en dos grupos de 2 nios y 3 nias?SOLUCION P= = 120Se puede formar de 120 maneras diferentes grupos compuestos por 2 nios y 3 nias.

9. En un campeonato de liga de pelota base con 8 equipos, Cuntos encuentros sern necesarios si cada equipo ha de jugar dos veces en su campo con cada uno de los dems? SOLUCION

P= = 56

Sern necesarios 56 encuentros para que cada equipo juegue 2 veces en su campo

10. Cuntos equipos de futbol pueden formarse con 12 hombres que pueden ocupar cualquier posicin delantera y 10 hombres que puedan ocupar cualquiera de las dems posiciones?Delanteros:4Resto:7 SOLUCION

P= = 615

Habr 615 formas diferentes de formar un equipo con las condiciones dadas

11. Cuntas seales puede transmitir un barco con 5 banderas diferentes si cada bandera puede ocupar 5 posiciones? SOLUCION

P= 5= 120Se puede formar de 120 maneras con 5 banderas formando seales distintas

12. Cuntas placas de matrcula de cinco smbolos pueden hacerse siendo los dos primeros letras y los tres ltimos nmeros?

SOLUCION

P= = 530712000Se puede hacer de 530712000 maneras diferentes para formar placas de matrculas.13. Cuntas diagonales tiene un polgono de 12 lados? SOLUCION

Un dodecgono tiene 54 diagonales, 14. Cul es la probabilidad de obtener un 7 con 2 dados?SOLUCION

P= =16.66%Existe la probabilidad de 16.66% de obtener un 7 al tirar dos dados

15. Cul es la probabilidad de que 2 cartas extradas de una baraja ordinaria sean espadas?SOLUCION

P= =5.88%Existe la probabilidad de 5.88% de obtener dos espadas al extraer dos cartas de de una baraja

16. Cul es la probabilidad de que un grupo de 5 cartas contenga exactamente 2 ases? SOLUCION

Hay un 3.99% de que en un grupo de 5 cartas tomadas al azar, esta contenga exactamente 2 ases

llega 0.97

auto 0.3

bicicleta 0.5

avin 0.2

llega 0.95

no llega 0.05

no llega 0.03

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