probabilidade e estatística(4)
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Conteúdo Programático
• Distribuições de frequência
• Representação gráfica
• Medidas estatísticas
• Noções de probabilidade
• Variáveis aleatórias
• Principais distribuições discretas e contínuas
• Estimação de parâmetros
• Teste de hipóteses
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Bibliografia básica:
• Caroline C. Vieira. Notas de aula
• Mario F. Triola. Introdução à Estatística – 10ª Ed.
• M. N. Magalhães; Antonio C. P. de Lima. Noções deProbabilidade e Estatística – 2002.
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1. Introdução
• Definição de Estatística: é um conjunto de técnicasque nos permite, de forma sistemática, coletar,organizar, descrever, analisar e interpretar dadosoriundos de estudos e experimentos.
• Está dividida em duas áreas:
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• Estatística Descritiva: é utilizada na etapa inicial daanálise para que possamos nos familiarizar com osdados, e tirarmos conclusões informais e diretas arespeito de características de interesse com base nosdados observados.
• Inferência Estatística: Técnicas que permitemextrapolar para a população, conclusões tiradas desubconjuntos ou amostras desta população.
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Conceitos:
• População: é um conjunto de dados / pessoas /objetos / etc. que possuem pelo menos umacaracterística em comum de interesse dopesquisador. Exemplos:
1. a população brasileira.
2. a totalidade dos carros produzidos no Brasil.
3. uma jazida de minério de ferro de determinadamina.
4. o sangue no corpo de uma pessoa.
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• Amostra: é um subconjunto desta população obtidade acordo com certas regras (técnicas deamostragem).
1. a população do Paraná.
2. carros produzidos pela Fiat.
3. um testemunho ou porção retirada da mina.
4. uma ampola de sangue colhida para um exame.
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Estatística Descritiva
Amostragem
População Amostra
Inferência Estatística
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• Dados: Conjuntos de valores, numéricos ou não.Todo dado se refere à determinada característica(variável).
Tipos de Variáveis:
• Qualitativas: quando os possíveis valores queassume representam atributos ou qualidades.
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Podem ser:
• Nominais: o conjunto dos possíveis valores nãopossui uma ordenação natural. Ex: Sexo, Raça,Religião, etc.
• Ordinais: é possível ordenar o conjunto dos possíveisvalores. Ex: Classe Social, Escolaridade do chefe dafamília, etc.
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• Quantitativas: quando os possíveis valores queassume são de natureza numérica. Podem ser:
• Discretas: em geral são fruto de uma contagem. Oconjunto de possíveis valores é enumerável. Ex:Número de filhos na família, número de pessoaschegando em uma fila, número de caras obtidasem 5 lançamentos de uma moeda etc.
• Contínuas: assumem valores em intervalos dosnúmeros reais. Ex: peso, altura, idade, etc.
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2. Estatística descritiva
• Apresentação dos dados: organizar os dados
de maneira prática e racional para o melhor
entendimento do fenômeno que se está
estudando. Pode ser por meio de tabelas e
gráficos.
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2.1. Construção de Tabelas
• O conjunto de informações disponíveis apóstabulação de questionário ou pesquisa de campo édenominado tabela de dados brutos.
• Nela são listados individualmente cada elemento dapopulação ou amostra, com os valores de todas asvariáveis estudadas. (Vide anexo 1)
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• Apesar de conter muita informação, a tabela dedados brutos não é prática para respondermosrapidamente a questões de interesse.
• Assim, a partir da tabela de dados brutosnormalmente construímos uma nova tabeladenominada tabela de frequência.
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• A tabela de frequência mais simples é aquela quelista os valores observados para determinadavariável, e o número de ocorrências (ou frequênciaabsoluta) de cada um destes valores. Exemplos:
Sexo fi
F 37 M 13
total 50
Turma fi
A 25 B 25
total 50
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• fi – Freq. absoluta: nº de elementos pertencentes auma classe.
Outras Freqüências:
• Freqüência acumulada (fa):
fa = freq. absoluta da classe + freq. absoluta dasclasses anteriores
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• Freqüência relativa (fr):
• Freqüência relativa acumulada (fra):
fra = freq. relativa da classe + freq. relativa das classesanteriores
𝑓𝑟 =𝑓𝑟𝑒𝑞. 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒
𝑓𝑟𝑒𝑞. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
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Exemplo:
Idade fi fa fr (%) fra (%)
17 9 9 18 18
18 22 31 44 62
19 7 38 14 76
20 4 42 8 84
21 3 45 6 90
22 0 45 0 90
23 2 47 4 94
24 1 48 2 96
25 2 50 4 100
Total 50 100
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• No caso da variável discreta assumir muitos
valores e no caso das variáveis contínuas, os
dados serão classificados em grupos,
possuindo diversos valores numa classe.
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Exemplo:
Peso PMi fi fa fr fra
44 |- 52 48 11 11 0,22 0,22
52 |- 60 56 19 30 0,38 0,60
60 |- 68 64 7 37 0,14 0,74
68 |- 76 72 7 44 0,14 0,88
76 |- 84 80 1 45 0,02 0,90
84 |- 92 88 4 49 0,08 0,98
92 |- 100 96 1 50 0,02 1,00
Total 50 1
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Definições:
• Limite inferior da classe (LI): é o valor mínimo que avariável alcança.
• Limite superior da classe (LS): é o valor máximo que avariável alcança.
• Amplitude da classe (h): é a diferença entre o LS e oLI de uma mesma classe.
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• Amplitude total (R): é a diferença entre o maior e omenor valor observado.
• Ponto médio da classe (PM): é obtido somando-se oLI e o LS de uma mesma classe, e dividindo-se oresultado por 2.
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2.2. Procedimento para construção detabelas
1. Calcular a amplitude total (R).
2. Estipular o número de classes da tabela (k).Em geral varia de 5 a 20.
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• Critério para escolher k: seja n o número de dados
- se 𝑛 ≤ 25 → 𝑘 = 5
- se 𝑛 > 25 → 𝑘 ≈ 𝑛
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3. Calcular a amplitude das classes (h), de forma queas classes tenham a mesma amplitude. Para isso,toma-se:
• OBS: h deve ser tomado com número de casadecimais igual ou menor que os dados; e seu valordeve, sempre, ser arredondado para cima.
= 𝑅𝑘
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• Exemplo: as notas de 32 estudantes de uma classeestão descritas a seguir.
0,0 0,0 1,0 1,5 2,0 2,0 2,5 3,5
3,5 4,0 4,0 4,0 4,5 4,5 4,5 5,0
5,0 5,0 5,0 5,0 5,5 5,5 6,0 6,0
6,0 6,5 6,5 7,0 7,0 7,0 8,0 8,5
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1. 𝑅 = 8,5 − 0,0 = 8,5
2. 𝑘 = 32 ≈ 5,66 ≈ 6
3. = 8,5 6 ≈ 1,42 ≈ 1,5
• Construir a tabela de freqüência.
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Notas fi fa fr (%) fra (%)
0,0 |- 1,5 3 3 9 9
1,5 |- 3,0 4 7 13 22
3,0 |- 4,5 5 12 16 38
4,5 |- 6,0 10 22 31 69
6,0 |- 7,5 8 30 25 94
7,5 |- 9,0 2 32 6 100
Total 32 100
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2.3. Construção de Gráficos
• Gráfico de Barras: Para cada valor da variável,desenha-se no eixo horizontal (ou vertical) uma barracom altura correspondente a sua freq. absoluta (ourelativa).
• Este tipo de gráfico se adapta melhor às variáveisquantitativas discretas ou qualitativas.
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• Ex: Gráfico de barras para a variável Idade.
0
5
10
15
20
25
17 18 19 20 21 22 23 24 25
Frq
. A
bso
luta
Idade
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• Diagrama circular, disco ou pizza: Tipo de gráficomuito utilizado para representação de variáveisqualitativas.
• Consiste num círculo dividido em setores, cujostamanhos são proporcionais às freq. absolutas ouporcentagens correspondentes.
• É útil quando o número de classes é pequeno.
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• Ex: Gráfico de pizza para a variável OpTV.
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• Histograma: Este é um gráfico que parte de umatabela de freqüência de dados agrupados.
• Este gráfico consiste de retângulos contíguos cujabase é igual à amplitude da classe correspondente eárea igual à freqüência relativa de cada classe.
• A altura de cada retângulo é chamada de densidadeda classe. A densidade da classe i é o valor dado por:
𝑑𝑖 =𝑓𝑟𝑒𝑞. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑖
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑖
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• No caso da primeira classe da tabela de freq. davariável peso temos:
𝑑𝑖 = 0,22 8 = 0,0275
• Obs: o histograma pode ainda ser representado porretângulos contíguos cuja base é igual à amplitudeda classe correspondente e altura igual à freqüênciaabsoluta (ou relativa) de cada classe.
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• Ex: histograma da variável peso.
0,22
0,38
0,14 0,14
0,02
0,08
0,02
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
48 56 64 72 80 88 96
De
nsi
da
de
Peso - Ponto Médio
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• Polígono de Frequência: Este gráfico é obtidounindo-se os pontos médios de cada classe porsegmentos de reta.
• Este gráfico fornece uma melhor idéia da forma dedistribuição dos dados.
• OBS: Devem-se acrescentar classes com freqüênciazero em ambos os extremos da distribuição para ligaro gráfico ao eixo horizontal.
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0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
48 56 64 72 80 88 96
De
nsi
da
de
Peso - Ponto Médio
![Page 38: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/38.jpg)
• Ogiva: Representação gráfica das freqüênciasacumuladas de uma tabela de freqüências de dadosagrupados.
• É uma linha poligonal que parte do eixo horizontal nolimite inferior da 1ª classe e para cada limite superiorindica a freqüência acumulada de sua classe.
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0
11
30
37
44 45
49 50
0
10
20
30
40
50
60
44 52 60 68 76 84 92 100
Freq
. acu
mu
lad
a
Pesos
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2.4. Medidas
• Medidas são resumos ou sumários da informaçãotrazida pela população (ou amostra) em um úniconúmero.
• Existem diferentes classes de medidas, sendo as maisconhecidas as medidas de posição e dispersão.
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Definições:
• Parâmetro: Resumo de uma característica obtido apartir de todos os elementos de uma população. Ex:média populacional (µ), desvio-padrão populacional(σ).
• Estatística: Resumo da característica de interesselevando-se em conta apenas os elementos daamostra. Ex: média amostral ( ), desvio-padrãoamostral (s).
𝑋
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2.4.1. Medidas de posição
• Tendem a representar os elementos comuns
da população (ou amostra). Ex: média, moda,
mediana, quartis, etc.
![Page 43: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/43.jpg)
Medidas de posição
Medidas de tendência central
Medidas Separatrizes
Média
Mediana
Moda
Quartis
Percentis
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• Média amostral ( ): É um valor que representa ocentro de massa ou ponto de equilíbrio dadistribuição (histograma). É calculado por:
𝑿
X =X1 + X2 + ¢ ¢ ¢+ Xn
n=
Pn
i=1 Xi
n
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• Para melhor compreensão do conceito de médiacomo centro de massa, imagine uma amostra com osseguintes valores 8, 9, 5, 5, 4, 3, 6, 4.
• Façamos um Diagrama de pontos, que é um gráficoútil para visualização de pequenas amostras.
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• Para tanto simplesmente plotamos um ponto paracada valor da amostra sobre um segmento de quecontenha todos os valores. Se houver repetiçõesplotamos um ponto sobre o outro.
R
![Page 47: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/47.jpg)
• Note que a média pode ser pensada como um centrode massa porque se cada ponto tivesse a mesmamassa, digamos 1kg, o triângulo representando amédia equilibraria exatamente estes pesos.
Média = 5,5
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• Se os dados estiverem dispostos em tabela defreqüência como no exemplo abaixo,
Variável fi
X1 f1
X2 f2
... ...
... ...
Xk fk
Total n
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fazemos:
𝑋 =𝑋1𝑓1 + 𝑋2𝑓2 + ⋯ + 𝑋𝑘𝑓𝑘
𝑛=
𝑋𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖=1
𝑛
• Se conhecermos a freqüência relativa, o cálculo damédia passa a ser:
𝑋 = 𝑋1
𝑓1
𝑛+ ⋯ + 𝑋𝑘
𝑓𝑘
𝑛= 𝑋1𝑓𝑟1 + ⋯ + 𝑋𝑘𝑓𝑟𝑘 = 𝑋𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑓𝑟𝑖
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• Exemplo: Para calcularmos a média dos dadosabaixo:
X fi fr
1 3 0,3
2 4 0,4
3 2 0,2
5 1 0,1
Total 10 1
![Page 51: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/51.jpg)
• Pelos dados brutos:
𝑋 =1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5
10=
22
10= 2,2
• Pela freqüência absoluta:
𝑋 =1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 2 + 5 × 1
10= 2,2
• Pela freqüência relativa:
𝑋 = 1 × 0,3 + 2 × 0,4 + 3 × 0,2 + 5 × 0,1 = 2,2
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• Dados agrupados em classe: Para calcularmos
a média nestes casos devemos inicialmente
calcular o ponto médio de cada classe,
denotando-o por PMi.
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• A partir disto calculamos a média utilizando uma dasseguintes expressões:
𝑋 = 𝑃𝑀𝑖𝑓𝑖
𝑘𝑖=1
𝑛 𝑋 = 𝑃𝑀𝑖𝑓𝑟𝑖
𝑘
𝑖=1
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• Vamos calcular a nota média dos 32 alunos de
nosso exemplo a partir da tabela de
distribuição de frequências, incluindo o ponto
médio de cada classe.
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• Assim, pela freq. absoluta: 𝑋 = 153 32 = 4,78
• Já pela freq. relativa: 𝑋 = 4,77
Notas PMi fi PMi*fi fr PMi*fr
0,0 |- 1,5 0,75 3 2,25 0,09 0,0675
1,5 |- 3,0 2,25 4 9 0,13 0,2925
3,0 |- 4,5 3,75 5 18,75 0,16 0,6
4,5 |- 6,0 5,25 10 52,5 0,31 1,6275
6,0 |- 7,5 6,75 8 54 0,25 1,6875
7,5 |- 9,0 8,25 2 16,5 0,06 0,495
Total 32 153 1 4,77
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• Em certas situações, os valores de um conjunto dedados têm graus de importância diferentes, o quenos leva a calcular uma média ponderada.
• Em tais casos, calculamos a média ponderadaatribuindo pesos (w) diferentes aos diversos valores.Assim,
X =w1 x1 + w2 x2 + ¢ ¢ ¢+ wn xn
w1 + w2 + ¢ ¢ ¢+ wn
=
Pni=1 wi xi
Pni=1 wi
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• Exemplo: média ponderada de 3 avaliações.
w1 = 1 x1 = 7
w2 = 1 x2 = 8
w3 = 2 x3 = 6
X =1£ 7 + 1£ 8 + 2£ 6
4= 6; 75
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Média Global:
• Sejam as médias aritméticas de kconjuntos de elementos, respectivamente.A média aritmética da série formada pelo conjunto dos
elementos é dada por:
X1; X2; : : : ; Xk
n1;n2; : : : ;nk
n1 + n2 + ¢ ¢ ¢+ nk
X =n1X1 + ¢ ¢ ¢+ nkXk
n1 + ¢ ¢ ¢+ nk
=
Pki=1 niX i
Pki=1 ni
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• Exemplo: 2 turmas de determinada disciplina.
Turma 1: 40 alunos; média final ( ) = 8,5.
Turma 2: 55 alunos; média final ( ) = 7,0.
Turma 1 + Turma 2 = 95 alunos
X1
X2
X =40£ 8; 5 + 55£ 7; 0
95= 7; 63
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Observações:
• A média é uma medida afetada por valoresextremos.
• Se calcularmos o valor médio de uma variável paratoda a população, teremos a média populacional,normalmente designada pela letra grega µ (mi).Onde:
𝜇 = 𝑋𝑖
𝑁𝑖=1
𝑁
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• Mediana: É o valor que divide o conjunto de
dados ao meio, de tal forma que 50% dos
valores observados são menores ou iguais à
mediana e 50% são maiores ou iguais a ela.
Notação: md ou Md.
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Procedimento para calcular a mediana:
1. Ordenar os dados.
2. Localizar a posição central. Para isto calcula-se:
𝑛 + 1
2
3. Se o número de observações (n) for ímpar, amediana será a observação central; e se n for par, amediana será o ponto médio entre as duasobservações centrais.
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Exemplos:
• quando n é par: 1; 1; 1; 3; 3; 5; 3; 3; 2; 2.
1. 1; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 3; 3 ;5;
2. (10 + 1) 2 = 11 2 = 5,5
![Page 64: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/64.jpg)
• Os dois candidatos a md são o 2 e o 3. Então,tomamos o ponto médio entre eles como amediana:
𝑚𝑑 =2 + 3
2= 2,5
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• quando n é ímpar: 1; 1; 1; 3; 3; 4; 4; 5; 5.
Posição - (9 + 1) 2 = 10 2 = 5
Neste caso, 𝑚𝑑 = 3.
• Observação: a mediana não é afetada por valoresextremos.
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Moda:
• A moda de um conjunto de dados é o valorque ocorre com maior freqüência. Notação:mo ou Mo.
• Exemplo: 1; 1; 3; 3; 5; 3; 3; 2. 𝑚𝑜 = 3.
![Page 67: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/67.jpg)
• Em um conjunto de dados pode haver mais de umamoda.
• Exemplo: 1; 1; 1; 1; 3; 3; 3; 3; 5. 𝑚𝑜1 = 1 e 𝑚𝑜2 = 3.
Neste caso se diz que o conjunto é bimodal.
• Se houver mais de duas modas diz-se que o conjuntoé multimodal. Por outro lado se nenhum valor serepete o conjunto não tem moda.
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Dados agrupados em classe (Método Czuber)
• Uma das formas de se calcular a moda para dadosagrupados é utilizando o Método de Czuber. Essemétodo consiste nos seguintes passos:
1. Localize a classe de maior freqüência (classeMODAL) e os limites superior (L) e inferior (l) destaclasse.
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2. Encontre as seguintes freqüências:
– : freqüência absoluta da classe modal;
– : freqüência absoluta da classe anterior àclasse modal;
– : freqüência absoluta da classe posterior àclasse modal;
fmo
fant
fpos
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3. Aplique a fórmula de Czuber:
mo = l + (L¡ l)fmo ¡ fant
2fmo ¡ (fant + fpos)
• O método de Czuber determina a moda porinterpolação usando a hipótese que leva seu nome:
“A moda divide o intervalo da classe modal emdistâncias proporcionais às diferenças entre a freqüênciada classe modal com a freqüência das classesadjacentes".
![Page 71: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/71.jpg)
• A partir daí, utilizando os conceitos de semelhançados triângulos e observando o histograma abaixovemos que:
¢1 = fmo ¡ fant
¢2 = fmo ¡ fpos
X = mo ¡ l
![Page 72: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/72.jpg)
• Resolvendo a equação para X, temos:
• Dessa Forma,
X
h¡X=¢1
¢2
(onde h = L¡ l)
X =¢1
¢1 +¢2
h
mo = l + (L¡ l)fmo ¡ fant
2fmo ¡ (fant + fpos)
![Page 73: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/73.jpg)
• Exemplo: Para acharmos a moda da variável pesofazemos:
Peso fi
44 |- 52 11
52 |- 60 19
60 |- 68 7
68 |- 76 7
76 |- 84 1
84 |- 92 4
92 |- 100 1
Total 50
Cla
sse
Mo
dal
mo = 52 + (60¡ 52)19¡ 11
2£ 19¡ (11 + 7)
mo = 55; 2
fmo = 19 fant = 11 fpos = 7
![Page 74: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/74.jpg)
Medidas de tendência central – Propriedades:
1. Se somarmos uma constante c a todos os valores deum conjunto de dados, a moda, média e medianaficam também acrescidas dessa constante.
2. Se multiplicarmos uma constante c a todos osvalores de um conjunto de dados, a moda, média emediana ficam também multiplicadas dessaconstante.
![Page 75: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/75.jpg)
Percentil (Pα):
• O percentil de ordem α de um conjunto de
dados é um valor Pα% tal que α% dos valores
são inferiores ou iguais a ele e (100 - α)% dos
valores são maiores ou iguais a ele.
![Page 76: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/76.jpg)
Observações:
• A mediana é o percentil de ordem 50.
• Os percentis de ordem 25, 50 e 75 são chamadosrespectivamente de 1º Quartil, 2º Quartil e 3ºQuartil.
![Page 77: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/77.jpg)
![Page 78: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/78.jpg)
Como calcular:
1. Localizar a classe a qual pertence o percentil Pα
observando:
Lα – limite superior da classe do percentil Pα.
lα – limite inferior da classe do percentil Pα.
![Page 79: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/79.jpg)
2. Encontrar a frequência relativa da classe que
contém o percentil Pα. Denote-a por𝑓𝑟𝛼 .
3. Encontrar a frequência relativa acumulada até a
classe anterior à classe do percentil Pα. Denote-a por
𝑓𝑟𝑎𝑎 .
![Page 80: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/80.jpg)
4. Calcule a diferença 𝛼 − 𝑓𝑟𝑎𝑎 . Esta diferença é a
frequência relativa da classe (lα |- Pα).
l® L®
P®®%
fraa%
![Page 81: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/81.jpg)
5. O valor da mediana é obtido resolvendo-se aseguinte regra de três:
𝐿𝛼 − 𝑙𝛼 → 𝑓𝑟𝛼
𝑃𝛼 − 𝑙𝛼 → 𝛼 − 𝑓𝑟𝑎𝑎
𝑃𝛼 = 𝑙𝛼 + (𝐿𝛼 − 𝑙𝛼)(𝛼 − 𝑓𝑟𝑎𝑎 )
𝑓𝑟𝛼
![Page 82: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/82.jpg)
Exemplo: Para acharmos a mediana e o 1º quartil dasnotas dos alunos de nosso exemplo fazemos:
• Mediana (P50):
1. Classe 4,5|- 6,0.
2. 𝑓𝑟50= 0,31.
3. 𝑓𝑟𝑎𝑎 = 0,38.
![Page 83: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/83.jpg)
Assim, 50% dos alunos tiraram notas inferiores a 5,1.
4. 𝛼 − 𝑓𝑟𝑎𝑎 = 0,5 − 0,38 = 0,12.
5. 𝑃50 = 4,5 + 6,0 − 4,5 0,12
0,31≅ 5,1
![Page 84: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/84.jpg)
• 1º quartil (P25):
1. Classe 3,0|- 4,5.
2. 𝑓𝑟25= 0,16.
3. 𝑓𝑟𝑎𝑎 = 0,22.
4. 𝛼 − 𝑓𝑟𝑎𝑎 = 0,25 − 0,22 = 0,03.
5. 𝑃25 = 3,0 + 4,5 − 3,0 0,03
0,16≅ 3,3.
Assim, 25% dos alunos tiraram notas inferiores a 3,3.
![Page 85: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/85.jpg)
2.4.2. Medidas de variabilidade
• Medem o espalhamento ou dispersão dos
dados. Complementam importantes
informações escondidas pelas medidas de
posição.
![Page 86: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/86.jpg)
• Exemplo: Desempenho de dois alunos em 5avaliações:
Aluno 1: 55; 57; 60; 62; 66. 𝑋 = 60 e 𝑚𝑑 = 60.
Aluno 2: 38; 49; 60; 72; 81. 𝑋 = 60 e 𝑚𝑑 = 60.
![Page 87: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/87.jpg)
• Amplitude total (R):
• A amplitude total de um conjunto de dados édefinida como a diferença entre o maior e o menorvalor observado.
Ex: - Aluno 1: 𝑅 = 11.
- Aluno 2: 𝑅 = 43.
![Page 88: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/88.jpg)
•
• A variância é uma medida de dispersão que leva emconta todas as observações feitas. Ela mede adispersão dos dados em torno da média amostral .
• Considere as observações X1, X2, ... , Xn:
Variância amostral (𝑺𝟐):
![Page 89: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/89.jpg)
![Page 90: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/90.jpg)
• Temos
![Page 91: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/91.jpg)
• Assim define-se a variância amostral como:
𝑆2 = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
![Page 92: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/92.jpg)
Ex: - Aluno 1:
𝑆2 = 55 − 60 2 + 57 − 60 2 + ⋯ + 66 − 60 2
𝑛 − 1
𝑆2 =25 + 9 + 0 + 4 + 36
4=
74
4= 18.5
![Page 93: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/93.jpg)
- Aluno 2:
𝑆2 = 38 − 60 2 + 49 − 60 2 + ⋯ + 81 − 60 2
𝑛 − 1
𝑆2 =484 + 121 + 0 + 144 + 441
4=
1190
4= 297.5
![Page 94: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/94.jpg)
• Observação: Se calcularmos a variância de umapopulação de tamanho N, teremos a variânciapopulacional, normalmente designada pela letragrega σ (sigma). Onde:
𝜎2 = 𝑋𝑖 − 𝜇 2𝑁
𝑖=1
𝑁
![Page 95: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/95.jpg)
• Inconvenientes da variância:
1. As unidades de medida da variância amostral são o
quadrado da unidade original da variável (m2 para
altura, kg2 para peso, etc).
![Page 96: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/96.jpg)
• Para evitar-se este desconforto estabeleceu-se odesvio padrão amostral definido por:
que mostra a variabilidade medida na unidadeoriginal da variável analisada.
𝑆 = 𝑆2 = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
![Page 97: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/97.jpg)
•
2. Não permite comparar a variabilidade de dadosmedidos em diferentes unidades de medida oumedidos na mesma unidade mas com médiasdiferentes.
Ex: - Aluno 1: 𝑆 = 18,5 = 4,3.
- Aluno 2: 𝑆 = 297,5 = 17,2.
![Page 98: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/98.jpg)
• Aqui a solução foi a criação de uma medida chamadacoeficiente de variação que não sofre influência nemda média nem da unidade de medida. O coeficientede variação é definido como:
• Amostra –
• População –
𝐶𝑉 = (𝑆 𝑋 ) × 100
𝐶𝑉 = (𝜎 𝜇) × 100
![Page 99: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/99.jpg)
• Exemplo: Em qual grupo há mais variação em tornoda média:
CVa =
p0; 0025
1; 70£ 100 = 2; 9%
CVp =
p2; 25
60£ 100 = 2; 5%
![Page 100: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/100.jpg)
• Fórmula da variância amostral abreviada:
𝑆2 =1
𝑛 − 1 𝑋𝑖
2𝑛
𝑖=1−
𝑋𝑖𝑛𝑖=1 2
𝑛
![Page 101: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/101.jpg)
• Dados agrupados em classes: Para calcular avariância nestes casos, considere o ponto médio decada classe, denotado por PMi e faça
𝑆2 = (𝑃𝑀𝑖 − 𝑋 )2 ∙ 𝑓𝑖
𝑘𝑖=1
𝑛 − 1
ou
𝑆2 =1
𝑛 − 1 𝑃𝑀𝑖
2𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1−
𝑃𝑀𝑖𝑘𝑖=1 𝑓𝑖
2
𝑛
![Page 102: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/102.jpg)
• Exemplo:
Freq. cardíaca PMi fi PMi*fi PMi2*fi
60 |- 65 62,5 11 687,5 42968,75
65 |- 70 67,5 35 2362,5 159468,75
70 |- 75 72,5 68 4930 357425
75 |- 80 77,5 20 1550 120125
80 |- 85 82,5 12 990 81675
85 |- 90 87,5 10 875 76562,5
90 |- 95 92,5 1 92,5 8556,25
95 |- 100 97,5 3 292,5 28518,75
Total 160 11780 875300
![Page 103: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/103.jpg)
• Assim,
𝑋 = 11780 160 = 73,6
𝑆2 =1
159 875300 −
11780 2
160 = 50,3
𝑆 = 50,3 = 7,1
• Observação: A variância também é afetada porvalores extremos.
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Variância – Propriedades:
1. Se somarmos uma constante c a todos os valores deum conjunto de dados, a variância não sofrealteração.
2. Se multiplicarmos uma constante c a todos osvalores de um conjunto de dados, a variância ficamultiplicada pela constante ao quadrado (c2).
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2.5. Assimetria
Definição:
– Uma distribuição é simétrica quando a metadeesquerda da mesma é a imagem-espelho dametade direita.
– Uma distribuição de dados é assimétrica quandoum dos lados da mesma apresenta-se maisprolongado que o outro.
![Page 106: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/106.jpg)
• Distribuição simétrica:
moda = mediana = m¶edia
X = mo =md ¹= Mo = Md
![Page 107: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/107.jpg)
• Tipos de assimetria
– Assimetria à direita ou positiva: a distribuiçãoapresenta uma cauda mais acentuada à direita.
moda ·mediana · m¶edia
![Page 108: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/108.jpg)
– Assimetria à esquerda ou negativa: a distribuiçãoapresenta uma cauda mais acentuada à esquerda.
m¶edia ·mediana ·moda
![Page 109: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/109.jpg)
3. Probabilidade
3.1. Conceitos iniciais
• Probabilidade é a medida de incerteza sobrealgum fenômeno aleatório de interesse.
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• Fenômeno Aleatório: é um acontecimento cujo
resultado não pode ser previamente previsto com
certeza. Um experimento aleatório pode fornecer
diferente resultados, mesmo que seja repetido
sempre da mesma maneira. Exemplos:
![Page 111: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/111.jpg)
1. O resultado do seu time no próximo jogo do
Campeonato Brasileiro;
2. A altura de um aluno sorteado ao acaso nesta sala;
3. A taxa de inflação do mês de dezembro de 2011;
4. O resultado do lançamento de um dado.
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• Espaço amostral (Ω ou S): é o conjunto de
todos os resultados possíveis de um
fenômeno ou experimento aleatório. Pode ser
finito ou infinito, de acordo com a quantidade
de possíveis resultados.
![Page 113: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/113.jpg)
• O espaço amostral de cada um dos exemplosanteriores é:
1. Ω = derrota, empate, vitória;
2. Ω = 0; 1;
3. Ω = ;
4. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
R
![Page 114: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/114.jpg)
• Evento (A; B; C; ... ;Z): é qualquer subconjunto doespaço amostral (Ω). Exemplos:
1. Seu time não perde – A = empate, vitória;
2. A altura do aluno está entre 1,40 e 1,60 – B = (1,40;1,60);
3. A taxa de inflação de dezembro de 2011 é menor ouigual a 10% – C = (- ; 0,10];
4. Ocorre uma face par – D = 2; 4; 6.
1
![Page 115: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/115.jpg)
• Evento elementar: é um resultado ou evento que nãopode mais ser decomposto em componentes maissimples.
Eventos especiais:
• Evento impossível ( ): é o evento que nunca ocorre.
• Evento certo (Ω): é o evento que sempre ocorre.
∅
![Page 116: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/116.jpg)
• União de eventos (𝑨 ∪ 𝑩): representa a ocorrência de
pelo menos um dos eventos A ou B, ou seja, A ou B ou
ambos.
Ω
![Page 117: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/117.jpg)
EX: Experimento: lançamento de um dado.
• Evento A – ocorre face par.
• Evento B – ocorre face inferior a 4.
𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 4, 6
![Page 118: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/118.jpg)
• Interseção de eventos (𝑨 ∩ 𝑩): representa a
ocorrência simultânea de A e B.
Ω
![Page 119: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/119.jpg)
EX: no nosso exemplo anterior.
• Evento A – ocorre face par.
• Evento B – ocorre face inferior a 4.
𝐴 ∩ 𝐵 = 2
![Page 120: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/120.jpg)
• Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos: São
eventos que não podem ocorrer simultaneamente. A
e B são disjuntos se e somente se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Ω
![Page 121: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/121.jpg)
• Eventos complementares (𝑨 ou 𝑨𝒄, ou 𝑨′ ): O evento
𝐴 ocorre se o evento A não ocorre. É formado por
todos os pontos de Ω que não estão em A. A e 𝐴 são
complementares se, e somente se, 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ e
𝐴 ∪ 𝐴 = Ω.
Ω
![Page 122: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/122.jpg)
•
• Observação: É importante relembrar as leis de
Morgan:
EX: No lançamento de um dado, se A → ocorrer face
par, então B → ocorrer face ímpar é o evento
complementar de A.
(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵 e (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ 𝐵
![Page 123: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/123.jpg)
3.2. Interpretações de probabilidade
• Probabilidade é uma função 𝑃(∙) definida do
conjunto de todos os possíveis subconjuntos de Ω em
[0;1]. Esta função atribui chances de ocorrência de
cada evento de Ω.
![Page 124: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/124.jpg)
• Definição clássica de probabilidade: Seja um
experimento aleatório com espaço amostral finito
Ω = 𝜔1 , 𝜔2 , ⋯ , 𝜔𝑛. Se tivermos evidências de que
todos os resultados têm a mesma chance de
acontecer, define-se:
𝑃 𝜔𝑖 =1
𝑛 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛
![Page 125: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/125.jpg)
• Para 𝐴 ⊂ Ω defini-se:
𝑃 𝐴 =# 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
# 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 Ω=
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
Neste caso dizemos que os resultados 𝜔𝑖 são
equiprováveis.
![Page 126: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/126.jpg)
Exemplos:
1. Qual e a probabilidade de se extrair um ás de um baralho bem misturado de 52 cartas?
n(A) = 4; n(Ω) = 52
𝑃 𝐴 =4
52=
1
13≅ 0,08
![Page 127: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/127.jpg)
2. Ɛ – lançar duas moedas e observar a configuraçãoobtida. c = cara; k = coroa.
Ω = cc; ck; kc; kk
• Qual a probabilidade de se obter zero caras? E umacara?
A – zero caras → A = kk → 𝑃 𝐴 = 1 4 .
B – uma cara → B = ck; kc → 𝑃 𝐵 = 2 4 .
![Page 128: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/128.jpg)
Aproximação da probabilidade pela freqüênciarelativa.
• Realize (ou observe) um experimento aleatório Ɛ umgrande número de vezes.
• Registre quantas vezes o evento A ( ) ocorreefetivamente.
A½ Ð
![Page 129: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/129.jpg)
• Então, a probabilidade de ocorrência do evento A éestimada como se segue
𝑃 𝐴 =# 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴
# 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
![Page 130: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/130.jpg)
• Lei dos Grandes Números: Ao se repetir umexperimento um grande número de vezes, aprobabilidade pela freqüência relativa de um eventotende para a probabilidade teórica.
• A lei dos Grandes Números afirma que aaproximação pela freqüência relativa tende amelhorar quando o número de observaçõesaumenta.
![Page 131: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/131.jpg)
• Formalmente, tem-se que: Considere n repetições“independentes” de um experimento aleatório Ɛ.Seja A um evento qualquer. Defina:
• A probabilidade frequencial de A é então dada por:
𝑃𝑛 𝐴 =# 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴
# 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑃 𝐴 = lim𝑛→∞
𝑃𝑛 𝐴
![Page 132: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/132.jpg)
Exemplos:
1. Num lançamento de um dado, a probabilidade deocorrência da face i é dada por:
• Quando o número de lançamentos é muito grande,fri se estabiliza. Daí, toma-se fri como a probabilidadede ocorrência da face i.
𝑓𝑟𝑖 =# 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑖
# 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜
![Page 133: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/133.jpg)
2. Suponha que temos uma linha de produção emgrande escala. Retiramos n itens desta linha deprodução, e a cada retirada contamos o número deitens defeituosos (A = item defeituoso)
![Page 134: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/134.jpg)
• Podemos então afirmar que a probabilidade
frequencial de um item defeituoso nesta linha
de produção é 0,05.
![Page 135: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/135.jpg)
3.3. Regras básicas de probabilidade
1. 𝑃 Ω = 1.
2. 𝑃 ∅ = 0.
3. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, para qualquer evento A.
![Page 136: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/136.jpg)
4. Regra da adição:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Se A e B forem disjuntos, então:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
•
![Page 137: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/137.jpg)
5. 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴).
Como A e 𝐴 são complementares temos 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅
e 𝐴 ∪ 𝐴 = Ω. Então, pela regra da adição,
𝑃 Ω = 𝑃 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 e pela regra 1,
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴 = 1, logo 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴 .
![Page 138: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/138.jpg)
6. Se 𝐴 ⊂ B, então 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵).
Podemos escrever B como 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵). Os
eventos A e 𝐴 ∩ 𝐵 são disjuntos, então pela regra da
adição podemos escrever 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
Como, pela regra 3, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≥ 0 logo 𝑃(𝐵) ≥ 𝑃(𝐴).
![Page 139: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/139.jpg)
• Exemplo: Distribuição de alunos segundo o sexo e aescolha do curso.
Curso
Sexo
TotalHomens (H) Mulheres (M)
Matemática Pura (P) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C) 20 10 30
Total 115 85 200
![Page 140: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/140.jpg)
- 𝑃 𝑃 ∪ 𝐸 = 𝑃 𝑃 + 𝑃 𝐸 =110
200+
30
200=
140
200= 0,7
- 𝑃 𝐴 ∪ 𝑀 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝑀 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝑀)
=30
200+
85
200−
15
200=
100
200= 0,5
- 𝑃 𝐶 = 1 − 𝑃 𝐶 = 1 −30
200=
170
200= 0,85
![Page 141: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/141.jpg)
3.4. Probabilidade condicional
• Para dois eventos A e B do espaço amostral
definimos:
Definição: A probabilidade condicional de um evento
A dado um evento B, denotada por 𝑃(𝐴|𝐵), é,
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃(𝐵) ≠ 0
•
![Page 142: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/142.jpg)
• A probabilidade condicional de A dado B revela a
incerteza que se tem sobre o evento A supondo
conhecida a verdade sobre o evento B. Podemos
interpretá-la como a chance relativa de A restrita ao
fato de que B ocorreu.
![Page 143: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/143.jpg)
Exemplos:
1. Uma urna contém 2 bolas brancas (B) e 3 bolasvermelhas (V). Suponha que são sorteadas duasbolas ao acaso, sem reposição.
![Page 144: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/144.jpg)
2. As informações abaixo se referem aos candidatosque prestaram vestibular na UFES em 2010:
Homem (H) Mulher (M) Total
Aprovado (A) 8 14 22
Reprovado (R) 4 6 10
Total 12 20 32
![Page 145: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/145.jpg)
• Um aluno é sorteado ao acaso. Qual é aprobabilidade de:
• Ser mulher e ter sido aprovado?
• Se é mulher, ter sido aprovada?
• Ser mulher dado que foi aprovado?
![Page 146: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/146.jpg)
• Soluções:
a. 𝑃 𝑀 ∩ 𝐴 = 14 32 ≅ 0,44
b. 𝑃 𝐴 𝑀 =𝑃(𝐴∩𝑀)
𝑃(𝑀)=
14 32
20 32 =
14
20= 0,70
c. 𝑃 𝑀 𝐴 =𝑃(𝐴∩𝑀)
𝑃(𝐴)=
14 32
22 32 =
14
22≅ 0,64
![Page 147: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/147.jpg)
• Propriedades:
1. 𝑃 Ω|B = 1
2. 𝑃 ∅|B = 0
3. 0 ≤ 𝑃(𝐴|𝐵) ≤ 1, para qualquer evento A.
4. 𝑃 𝐶 ∪ 𝐷|𝐵 = 𝑃 𝐶|𝐵 + 𝑃 𝐷|𝐵 − 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷|𝐵)
5. 𝑃 𝐶 ∪ 𝐷|𝐵 = 𝑃 𝐶|𝐵 + 𝑃 𝐷|𝐵 ⇔ 𝐶 ∩ 𝐷 = ∅
6. 𝑃 𝐴 |𝐵 = 1 − 𝑃(𝐴|𝐵)
![Page 148: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/148.jpg)
3.5. Regra da multiplicação
• A definição de probabilidade condicional pode serreescrita para fornecer uma expressão geral para aprobabilidade da interseção de dois eventos:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃(𝐴)
![Page 149: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/149.jpg)
Exemplo:
• Acredita-se que na população do ES 20% de seus
habitantes sofrem algum tipo de alergia, sendo
classificados como alérgicos para fins de saúde
pública. Sendo alérgico, a probabilidade de ter
reação a certo antibiótico é de 0,5. Para os não
alérgicos esta probabilidade é de apenas 0,05.
![Page 150: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/150.jpg)
• Escolhendo-se uma pessoa ao acaso da população doES, qual a probabilidade de que ela:
a. Seja do grupo dos alérgicos e tenha alergia aoingerir o antibiótico?
b. Seja do grupo dos não alérgicos e não tenhaalergia ao ingerir o antibiótico?
![Page 151: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/151.jpg)
• Solução: Se fizermos A → ser do grupo dos alérgicos e
B → ter reação, temos:
a. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴 = 0,5 × 0,2 = 0,10
b. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴 = 0,95 × 0,8 = 0,76
![Page 152: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/152.jpg)
3.6. Regra da probabilidade total
• A regra da multiplicação é útil para
determinarmos a probabilidade de um evento
que depende de outros eventos.
![Page 153: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/153.jpg)
Exemplo:
• Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A e B
produzem 2/3 e 1/3 da produção total,
respectivamente. Da produção de cada máquina 2%
e 0,8%, respectivamente, são parafusos defeituosos.
Escolhendo-se aleatoriamente um parafuso, qual a
probabilidade que ele seja defeituoso?
• Claramente a resposta depende de qual máquina
produziu aquele parafuso.
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• Se chamarmos A → parafuso produzido pela máquina
A, B → parafuso produzido pela máquina B e D →
parafuso é defeituoso podemos afirmar que:
𝐷 = 𝐷 ∩ 𝐴 ∪ (𝐷 ∩ 𝐵)
Ω
![Page 155: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/155.jpg)
• E como 𝐷 ∩ 𝐴 e (𝐷 ∩ 𝐵) são disjuntos podemos
escrever que:
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐷 ∩ 𝐵
= 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐷 𝐵 𝑃 𝐵
𝑃 𝐷 = 0,02 × 2 3 + 0,008 × 1 3 = 0,016
![Page 156: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/156.jpg)
• Para generalizarmos o conceito da probabilidadetotal, definimos:
• Definição: Dizemos que os eventos A1; A2; ... ; Anformam uma partição do espaço amostral se:
1. 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗
2. 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 = Ω
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• Podemos assim enunciar o Teorema daProbabilidade Total:
• Seja A1; A2; ... ; An uma partição do espaço amostrale seja B um evento qualquer, então,
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𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑛
𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐵 𝐴1 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐵 𝐴2 𝑃 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐵 𝐴𝑛 𝑃 𝐴𝑛
𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑖 𝑛
𝑖=1
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3.7. Independência
• Definição: Dois eventos A e B são independentes se aocorrência de um não afeta a probabilidade deocorrência do outro. Assim, tem-se que:
1. 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)
2. 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵)
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• Dessa forma, para dois eventos independentes aregra da multiplicação reduz-se a:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
![Page 161: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/161.jpg)
Exemplos:
1. Urna → 2 bolas brancas (B) e 3 bolas vermelhas (V).
Sorteia-se 2 bolas ao acaso, com reposição.
![Page 162: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/162.jpg)
• Uma empresa produz peças em duas
máquinas (1 e 2). Estas máquinas podem
apresentar desajustes com probabilidade 0,05
e 0,1, respectivamente. Suponha que as
máquinas trabalhem de forma independente.
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• No início do dia um teste é realizado e caso a
máquina esteja fora do ajuste a mesma pára de
operar e vai para manutenção. Para que se cumpra o
nível mínimo de produção diária é necessário que
pelo menos uma máquina esteja funcionando. Qual a
probabilidade de que a empresa cumpra a produção
do dia?
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• Solução: Se fizermos O1 → máquina 1 está operando e
O2 → máquina 2 está operando, a probabilidade de
que a produção seja cumprida é:
𝑃 𝑂1 ∪ 𝑂2 = 𝑃 𝑂1 + 𝑃 𝑂2 − 𝑃(𝑂1 ∩ 𝑂2)
![Page 165: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/165.jpg)
• Mas pela independência:
𝑃 𝑂1 ∩ 𝑂2 = 𝑃 𝑂1 × 𝑃 𝑂2 = 0,95 × 0,9 = 0,855
∴ 𝑃 𝑂1 ∪ 𝑂2 = 0,95 + 0,9 − 0,855 = 0,995
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3.8. Teorema de Bayes
• Partindo da definição de probabilidadecondicional e usando a comutatividade dainterseção podemos escrever:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃(𝐴)
![Page 167: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/167.jpg)
• E agora, usando o segundo e quarto termos daigualdade vem um resultado útil que nos permiteescrever a probabilidade de A dado B em termos daprobabilidade de B dado A:
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴 𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵
![Page 168: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/168.jpg)
• Partindo desta expressão, e escrevendo odenominador usando a regra da probabilidade total,obtemos o Teorema de Bayes:
• Teorema de Bayes: Se A1; A2; ... ; An for umapartição de Ω e B um evento qualquer, então:
𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =𝑃 𝐵 𝐴𝑖 𝑃(𝐴𝑖)
𝑃 𝐵 𝐴1 𝑃 𝐴1 + ⋯ + 𝑃 𝐵 𝐴𝑛 𝑃 𝐴𝑛
![Page 169: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/169.jpg)
Exemplos:
1. Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20%de todo o leite que consome da fazenda F1, 30% dafazenda F2 e o restante da F3.
• A vigilância sanitária inspecionou as fazendas desurpresa e observou que 20% do leite produzido nafazenda F1 estava adulterado por adição de água, omesmo ocorrendo com 5% e 2% respectivamentenas fazendas F2 e F3.
![Page 170: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/170.jpg)
• Na indústria de sorvete os galões de leite sãoarmazenados sem identificação das fazendasprodutoras. Um galão é sorteado ao acaso naindústria. Calcule:
a. A probabilidade de que o galão esteja adulterado.
b. A probabilidade do galão estando adulterado ter
vindo da fazenda F1.
![Page 171: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/171.jpg)
• Solução: Seja A → o leite está adulterado e Fi → o
leite veio da fazenda Fi .
![Page 172: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/172.jpg)
a. 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐹1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐹2 ∪ 𝐴 ∩ 𝐹3
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹1 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹2 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐹3
𝑃(𝐴) = 𝑃 𝐴 𝐹1 𝑃 𝐹1 + 𝑃 𝐴 𝐹2 𝑃 𝐹2 + 𝑃 𝐴 𝐹3 𝑃 𝐹3
Assim:
𝑃 𝐴 = 0,2 × 0,2 + 0,05 × 0,3 + 0,02 × 0,5 = 0,065
![Page 173: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/173.jpg)
b. Pelo teorema de Bayes, temos:
𝑃 𝐹1 𝐴
=𝑃 𝐴 𝐹1 𝑃(𝐹1)
𝑃 𝐴 𝐹1 𝑃 𝐹1 + 𝑃 𝐴 𝐹2 𝑃 𝐹2 + 𝑃 𝐴 𝐹3 𝑃 𝐹3
𝑃 𝐹1 𝐴 =0,2 × 0,2
0,065≅ 0,615
![Page 174: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/174.jpg)
2. Das pacientes da clínica de Ginecologia com idade
acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40%
são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter
tido um distúrbio hormonal no último ano é de
10%, enquanto para as demais esta probabilidade
aumenta para 30%.
![Page 175: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/175.jpg)
• Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida aoacaso ter tido um distúrbio hormonal no últimoano?
b. Se a paciente escolhida tiver tido um distúrbio, quala probabilidade dela ser solteira?
c. Escolhemos duas pacientes ao acaso e comreposição, qual a probabilidade de pelo menos umater o distúrbio?
![Page 176: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/176.jpg)
• Solução: Sejam os eventos S → paciente é solteira e
H → paciente teve distúrbio hormonal no último
ano.
a. 𝑃 𝐻 = 𝑃 𝐻 𝑆 𝑃 𝑆 + 𝑃 𝐻 𝑆 𝑃 𝑆
𝑃 𝐻 = 0,1 × 0,4 + 0,3 × 0,6 = 0,22
b. 𝑃 𝑆 𝐻 =𝑃 𝐻 𝑆 𝑃(𝑆)
𝑃 𝐻 =
0,1×0,4
0,22≅ 0,188
![Page 177: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/177.jpg)
c. Seja Hi o evento de que a i-ésima paciente tenha
tido distúrbio hormonal. Daí:
𝑃 𝐻1 ∪ 𝐻2 = 𝑃 𝐻1 + 𝑃 𝐻2 − 𝑃(𝐻1 ∩ 𝐻2)
𝑃 𝐻1 ∪ 𝐻2 = 𝑃 𝐻1 + 𝑃 𝐻2 − 𝑃(𝐻1) × 𝑃(𝐻2)
𝑃 𝐻1 ∪ 𝐻2 = 0,22 + 0,22 − 0,222 ≅ 0,392
![Page 178: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/178.jpg)
4. Variáveis Aleatórias
• Sabe-se que um espaço amostral (Ω ou S) é oconjunto de todos os resultados possíveis de umfenômeno ou experimento aleatório.
• Em muitos casos não estamos interessados nadescrição detalhada de todos os resultados, e é maisinteressante resumirmos o resultado através denúmeros.
![Page 179: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/179.jpg)
• Definição: Uma variável aleatória (v.a.) é uma funçãoque confere um número real a cada resultado noespaço amostral de um experimento aleatório.
• Uma variável aleatória é denotada por uma letramaiúscula (por ex. X) e os valores que ela podeassumir como xi.
![Page 180: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/180.jpg)
Exemplos:
1. E – lançar duas moedas. O espaço amostral destaexperiência é Ω = cc; ck; kc; kk onde c = cara e k =coroa. Uma variável aleatória pode ser “número decaras”, X = 0; 1; 2.
![Page 181: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/181.jpg)
2. E – jogar um dado duas vezes. X = soma das duasfaces obtidas.
Ω = (1; 1) … (1; 6)
⋮ ⋱ ⋮(6; 1) … (6; 6)
![Page 182: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/182.jpg)
Classificação:
• Variável aleatória discreta: assume valores numconjunto finito ou infinito enumerável. EX: n° defilhos, n° de peças defeituosas em um lote, bitstransmitidos que foram recebidos com erros.
![Page 183: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/183.jpg)
• Variável aleatória contínua: seu conjunto de
valores é qualquer intervalo dos números
reais, o que seria um conjunto infinito não
enumerável. EX: peso, altura, corrente
elétrica, pressão, temperatura, tempo.
![Page 184: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/184.jpg)
4.1. Variáveis aleatórias discretas
Alguns modelos de variáveis aleatórias discretas:
1. Um sistema de comunicação por voz de umaempresa possui 48 linhas externas. A cada intervalode tempo o sistema é supervisionado e registra-se onúmero de linhas em uso. Se fizermos X = númerode linhas em uso. Os valores possíveis de X = 0; 1;2; ...; 48.
![Page 185: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/185.jpg)
2. No processo de fabricação de semicondutores ofabricante deve se preocupar com o número departículas contaminantes. Se definirmos a variávelaleatória Y = número de partículas contaminantesem uma pastilha, os valores possíveis de Y = 0; 1;2; ....
![Page 186: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/186.jpg)
• Modelo Probabilístico: Um modelo probabilísticoconsiste em atribuir a cada valor da v.a. X a suaprobabilidade de ocorrência.
• A função que atribui a cada valor xi de X a suaprobabilidade é chamada de função deprobabilidade.
![Page 187: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/187.jpg)
• Assim se X é uma variável aleatória assumindoos valores x1, x2, ... , xn a função deprobabilidade associada a X é:
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖 𝑖 = 1, 2, …
![Page 188: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/188.jpg)
• A distribuição de probabilidades de umavariável aleatória X é uma descrição das
probabilidades associadas com os possíveisvalores de X. Esta descrição pode ser realizadaem forma de tabelas ou gráficos.
![Page 189: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/189.jpg)
• No exemplo da variável aleatória “número de carasnum lançamento de duas moedas” (supondo que asmoedas sejam honestas e os lançamentosindependentes) temos a seguinte distribuição deprobabilidades:
![Page 190: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/190.jpg)
• São propriedades da função de probabilidade:
1. 0 ≤ 𝑝𝑖 ≤ 1
2. 𝑝𝑖𝑖 = 1
![Page 191: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/191.jpg)
• Exemplo: Com os dados do último censo a assistente
social do centro de saúde constatou que na região
20% das famílias não têm filhos, 30% possuem 1
filho, 35% possuem 2 filhos e as demais se dividem
igualmente entre 3, 4 ou 5 filhos. Suponha que uma
família seja escolhida aleatoriamente e defina a v.a.
N como o número de filhos desta família. Construa a
função de probabilidade para N.
![Page 192: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/192.jpg)
• Solução: Se N é o número de filhos na família temosque os valores possíveis de N são: 0; 1; 2; 3; 4; 5.Supondo que todas as famílias têm chances iguais deserem sorteadas:
nº de filhos 0 1 2 3 4 5
pi 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05
![Page 193: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/193.jpg)
4.1.1. Média e variância de uma variável aleatória discreta
• A média ou valor esperado de uma variável aleatóriadiscreta X é dada pela expressão:
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑝𝑖
𝑖
![Page 194: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/194.jpg)
• A variância de X é dada pela expressão:
𝜎2 = 𝑉 𝑋 = (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑝𝑖 = 𝑥𝑖2𝑝𝑖 − 𝜇2
𝑖𝑖
• O desvio padrão da v.a. X é, então, dado por:
𝜎 = 𝜎2
![Page 195: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/195.jpg)
• Exemplo: Um canal digital transmite dados com certaprobabilidade de erro. Seja X o número de bitsrecebidos com erro nos quatro próximos bitstransmitidos. Os valores possíveis de X são 0; 1; 2; 3;4. Suponha que tenhamos as seguintesprobabilidades:
𝑃 0 = 0,6561; 𝑃 1 = 0,2916; 𝑃 2 = 0,0486;
𝑃 3 = 0,0036; 𝑃 4 = 0,0001.
Calcule a média e a variância da v.a. X.
![Page 196: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/196.jpg)
Solução:
• Cálculo da média
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 0𝑃 0 + 1𝑃 1 + 2𝑃 2 + 3𝑃 3 + 4𝑃(4)
𝜇 = 0 0,6561 + 1 0,2916 + 2 0,0486 + 3 0,0036 + 4 0,0001
𝜇 = 0,4
![Page 197: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/197.jpg)
• Cálculo da variância e do desvio padrão
𝑥𝑖2𝑝𝑖
𝑖
= 02𝑃 0 + 12𝑃 1 + 22𝑃 2 + 32𝑃 3 + 42𝑃(4)
𝑥𝑖2𝑝𝑖
𝑖
= 02 0,6561 + 12 0,2916 + 22 0,0486
+32 0,0036 + 42 0,0001 = 0,52
𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 0,52 − 0,42 = 0,36
∴ 𝜎 = 0,36 ≅ 0,6
![Page 198: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/198.jpg)
4.2. Distribuições discretas mais comuns
• Estudaremos nesta seção a distribuição deprobabilidade de algumas variáveis aleatórias,
que por possuírem características especiaiscomuns são agrupadas em “famílias”.
![Page 199: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/199.jpg)
4.2.1. Distribuição Bernoulli
Muitos experimentos são tais que os resultadosapresentam ou não uma determinada característica.Por exemplo:
• Uma moeda é lançada: o resultado é cara ou não;
• Uma peça é escolhida ao acaso de um lotecontendo 500 peças: essa peça é defeituosa ounão;
![Page 200: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/200.jpg)
• Em ambos os casos, estamos interessados naocorrência de sucesso ou fracasso.
• OBS: A palavra sucesso como usada aqui é arbitráriae não representa, necessariamente, algo bom
![Page 201: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/201.jpg)
• Definição: Seja X uma variável aleatória que assumeos valores 1 (sucesso) e 0 (fracasso). Diz-se que X temdistribuição Bernoulli com parâmetro p, onde p é aprobabilidade de sucesso.
• Notação: X ~ Bernoulli(p)
![Page 202: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/202.jpg)
• A função de probabilidade de X é:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝𝑥(1 − 𝑝)1−𝑥 , 𝑥 = 0 𝑜𝑢 1
![Page 203: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/203.jpg)
• Assim temos:
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑃 𝑋 = 𝑥 1
𝑥=0= 0𝑃 𝑋 = 0 + 1𝑃 𝑋 = 1
𝐸 𝑋 = 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝
𝑉 𝑋 = 𝑥2𝑃 𝑋 = 𝑥 1
𝑥=0− 𝐸 𝑋 2
𝑉 𝑋 = 02𝑃 𝑋 = 0 + 12𝑃 𝑋 = 1 − 𝑝2
𝑉 𝑋 = 𝑃 𝑋 = 1 − 𝑝2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝)
![Page 204: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/204.jpg)
4.2.2. Distribuição Binomial
• Se realizarmos n experimentos de Bernoulli de forma
independente e se cada experimento tem
probabilidade de sucesso igual a p (fixo), então a
variável aleatória que conta o número de sucessos
nestes n experimentos tem distribuição binomial.
![Page 205: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/205.jpg)
Por exemplo:
• Uma moeda é lançada três vezes; qual é aprobabilidade de se obter duas caras?
• Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, deum lote de 500 peças; qual é a probabilidade de quepelo menos duas sejam defeituosas; sabendo-se que10% das peças do lote são defeituosas?
![Page 206: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/206.jpg)
• Imagine o experimento de Bernoulli (E) em que:
• Vamos realizar n repetições independentes de E,chamando X do número de sucessos nas nrepetições.
𝐸 = 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 → 𝑝
𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜 → 1 − 𝑝
![Page 207: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/207.jpg)
O resultado desta experiência é um vetor (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛)
em que cada resultado pode ser um sucesso (S) ou um
fracasso (F). Se quisermos calcular 𝑃(𝑋 = 𝑘) teremos:
𝑃 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ⋯𝑆𝑆𝑆 𝐹𝐹𝐹 ⋯ 𝐹𝐹 = 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
k n - k
•
![Page 208: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/208.jpg)
• Mas quantos vetores de tamanho n com k sucessos e(n – k) fracassos podem ser formados?
• Para responder a essa pergunta, basta calcularmos onúmero de permutações possíveis de n elementoscom k e (n – k) repetições.
![Page 209: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/209.jpg)
• Dessa forma, o número de permutações procuradoé:
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !=
𝑛
𝑘
• Agora é intuitivo ver que a probabilidade procuradaé:
𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝑛
𝑘 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 .
![Page 210: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/210.jpg)
Definição: Uma distribuição de probabilidade Binomialresulta de um experimento que satisfaz os seguintesrequisitos:
1. O experimento tem um número fixo de tentativas;
2. As tentativas devem ser independentes;
3. Cada tentativa deve ter todos os resultadosclassificados em duas categorias;
4. A probabilidade de um sucesso em cada tentativa,denotada por p, permanece constante.
![Page 211: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/211.jpg)
• A variável aleatória X, correspondente ao número
total de sucessos nas n tentativas do experimento,
tem distribuição Binomial com parâmetros n e p e
função de probabilidade:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛
𝑥 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 , 𝑥 = 0, 1, 2, ⋯ , 𝑛.
• Notação X~Binomial(n; p)
![Page 212: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/212.jpg)
Exemplos:
1. Um professor de Psicologia planeja dar um teste
surpresa que consiste em 4 questões de múltipla
escolha, cada uma com 5 alternativas possíveis (a,
b, c, d, e), uma das quais é correta. Suponhamos
que um aluno despreparado faça adivinhações
aleatórias. Qual é a probabilidade de que este aluno
acerte exatamente três questões?
![Page 213: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/213.jpg)
• Solução: Primeiramente, note que esseprocedimento satisfaz os 4 requisitos para umadistribuição binomial.
Se chamarmos de sucesso o fato da resposta estar
correta, vemos que 𝑃 𝑆 = 15 = 0,2; uma vez que
para cada questão há 5 respostas possíveis (a, b, c, d,
e), uma das quais é correta.
•
![Page 214: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/214.jpg)
• A variável aleatória X, número de respostas corretasdentre as 4 questões, pode assumir os valores 0, 1,2, 3, 4.
• Dessa forma, X ~ Binomial(4; 0,2).
![Page 215: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/215.jpg)
• Assim, a probabilidade de 3 respostas corretas é:
𝑃 𝑋 = 3 = 4
3 0,23(1 − 0,2)4−3
𝑃 𝑋 = 3 =4!
3! 4 − 3 !× 0,008 × 0,8 ≅ 0,026
![Page 216: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/216.jpg)
2. Uma linha de produção em grande escalaproduz 6% de itens defeituosos. 30 itens da
produção semanal são observados. Calcular aprobabilidade de se observar pelo menos 2itens defeituosos?
![Page 217: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/217.jpg)
• Solução: Seja X = número de itens defeituosos dentreos 30 observados. X = 0, 1, 2, ..., 30.
• X ~ Binomial(30; 0,06)
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 < 2
Onde,
𝑃 𝑋 < 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1
![Page 218: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/218.jpg)
𝑃 𝑋 < 2 = 30
0 0,06 0 0,94 30 +
30
1 0,06 1 0,94 29
𝑃 𝑋 < 2 = 0,156256 + 0,299213 = 0,455469
∴ 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 0,455469 ≅ 0,545
![Page 219: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/219.jpg)
• A figura a seguir mostra exemplo de
distribuições binomiais. Para n fixo (no
exemplo n = 20) à medida que p aumenta de 0
a 0,5 a distribuição se torna mais simétrica. O
mesmo acontece se p diminui de 1 a 0,5.
![Page 220: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/220.jpg)
![Page 221: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/221.jpg)
![Page 222: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/222.jpg)
• Média e variância de uma distribuiçãobinomial:
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
![Page 223: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/223.jpg)
• Exemplo: No exemplo anterior da linha de produção,tem-se que o número esperado de itens defeituososdentre os 30 observados è:
• A variância e o desvio padrão são respectivamente:
𝐸 𝑋 = 30 × 0,06 = 1,8
𝑉 𝑋 = 30 × 0,06 × 0,94 = 1,692
𝐷𝑃 𝑋 = 1,692 = 1,3
![Page 224: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/224.jpg)
4.2.3. Distribuição de Poisson
• É útil para descrever as probabilidades do
número de ocorrências num campo ou
intervalo contínuo (em geral tempo ou
espaço).
![Page 225: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/225.jpg)
• Por exemplo, a v.a. de interesse pode ser:
– Nº de peças defeituosas substituídas num veículodurante o primeiro ano de vida;
– Nº de erros tipográficos por página, em um materialimpresso;
– Nº de acidentes por mês, em determinada rodovia;
– Número de clientes que chegam ao caixa de umsupermercado por hora;
![Page 226: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/226.jpg)
• A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nasseguintes hipóteses:
1. A probabilidade de ocorrência é a mesma para dois
intervalos quaisquer de igual comprimento.
2. A probabilidade de duas ou mais ocorrências
simultâneas é aproximadamente zero.
3. O número de ocorrências em qualquer intervalo é
independente do número de ocorrências em outros
intervalos.
![Page 227: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/227.jpg)
• A função de probabilidade de Poisson édefinida pela seguinte equação:
P (X = x) =e¡¸¸x
x!
![Page 228: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/228.jpg)
Onde,
• - probabilidade de x ocorrências em um
intervalo.
• - base dos logaritmos naturais ( ).
• - taxa de ocorrências no intervalo considerado.
P(X =x)
e e =2;71828
¸
![Page 229: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/229.jpg)
• OBS: o número de ocorrências não tem limitemáximo. Ela é uma v.a. discreta que pode assumiruma sequência infinita de valores (X = 0, 1, 2, ...).
• Média e variância de uma distribuição de Poisson
𝐸 𝑋 = 𝜆
𝑉 𝑋 = 𝜆
![Page 230: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/230.jpg)
Exemplos:
1. Suponha que estejamos interessados no número decarros que chegam a um caixa automático drive-thru de um banco durante um período de 15minutos nas manhãs de fins de semana.
• Considere que a análise dos dados históricos mostreque o número médio de carros que chegam noperíodo considerado é igual a 10.
![Page 231: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/231.jpg)
• Determine a probabilidade de:
a) Exatamente 5 carros chegarem em 15 min.?
X = nº de carros que chegam em um período de 15 min qualquer.
P (X = 5) =e¡10105
5!= 0; 0378
![Page 232: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/232.jpg)
b) Um carro chegar em um período de 3 mim.?
Y = nº de carros que chegam em um período de 3 minqualquer.
Número esperado de carros que chegam em um período de 3 min
¸= 3£10
15= 2 =)
![Page 233: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/233.jpg)
• Portanto,
2. Suponha que os defeitos em fios para tear possamser aproximados por um modelo de Poisson commédia de 0,2 defeitos por metro. Inspecionando-sepedaços de fio de 6 metros de comprimento,determine a probabilidade de se encontrar menosde 2 defeitos.
P (Y = 1) =e¡221
1!= 0; 2707
![Page 234: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/234.jpg)
¸= 6£0;2 = 1;2
P (X · 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
=e¡1;21; 20
0!+
e¡1;21; 2
1!
= 0; 301 + 0; 3612 = 0; 6622
![Page 235: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/235.jpg)
4.3. Variáveis aleatórias contínuas
• Vimos que uma v.a. contínua é uma função X,definida sobre o espaço amostral Ω, que assumevalores num intervalo dos números reais.
• Ex: tempo de vida de uma lâmpada, nível decolesterol no soro sanguíneo, tempo de espera deum cliente para ser atendido num banco, duração deuma chamada telefônica, etc.
![Page 236: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/236.jpg)
• Distribuições de probabilidade contínuas: Dado que
uma v.a. contínua X assume um conjunto infinito não
enumerável de valores, torna-se impraticável a idéia
de atribuir uma probabilidade a cada possível valor
de X, como era feito no caso de uma v.a. discreta.
• Agora, o procedimento para a obtenção de
probabilidades levará em conta intervalos de valores
e usará o histograma.
![Page 237: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/237.jpg)
• Considere uma distribuição de freqüências com 9classes:
Peso fi fr
x0 |- x1 f1 fr1
x1 |- x2 f2 fr2
x2 |- x3 f3 fr3
x7 |- x8 f8 fr8
x8 |- x9 f9 fr9
Total n
![Page 238: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/238.jpg)
• Lembre-se que na construção de um histograma, aaltura correspondente a cada retângulo equivaledensidade da classe, onde . Dessa forma, aárea de cada retângulo é igual a freq. relativa daclasse.
• Assim, dado que a soma das freq. relativas é igual a1, a área total do histograma e do polígono defreqüências também é 1.
𝑑𝑖 = 𝑓𝑟/
![Page 239: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/239.jpg)
di
![Page 240: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/240.jpg)
• Considere o intervalo (x1,x2). Temos que a
probabilidade de um ponto qualquer cair
entre x1 e x2 será aproximadamente igual a
área do retângulo hachurado.
![Page 241: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/241.jpg)
• Se diminuirmos a amplitude dos intervalos,
(aumentando, assim, o número de intervalos)
tornando a mesma infinitamente pequena, o
polígono de freqüências passará a ser uma
curva.
![Page 242: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/242.jpg)
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎
di
![Page 243: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/243.jpg)
Essa curva é a representação gráfica de uma função da
v.a. X, denotada por 𝑓(𝑥) e chamada função de
densidade de probabilidade. Esta função deve
satisfazer as seguintes propriedades:
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ −∞, ∞ ;
2. A área definida por 𝑓(𝑥) tem que ser igual a 1.
•
![Page 244: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/244.jpg)
• Uma vez que, para v.a. contínuas, as probabilidades
são definidas para intervalos de valores e são obtidas
como áreas sob a curva 𝑓(𝑥), temos que:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑥 = 0;
Uma vez que só temos uma linha, cuja área é zero.
![Page 245: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/245.jpg)
4.3.1. Média e variância de uma variável aleatória contínua
• A média ou valor esperado de uma variável aleatóriadiscreta X é dada pela expressão:
¹ = E(X) =
Z 1
¡1
x f(x) dx
![Page 246: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/246.jpg)
• A variância de X é dada pela expressão:
• O desvio padrão da v.a. X é, então, dado por:
𝜎 = 𝜎2
¾2 = V (X) =
Z 1
¡1
(x¡ ¹)2 f(x) dx
¾2 = V (X) =
Z 1
¡1
x2 f(x) dx¡ ¹2
![Page 247: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/247.jpg)
• Exemplo: Arqueólogos estudaram certa região eestabeleceram um modelo teórico para a variável C,comprimento de fósseis na região (em cm). Suponhaque C é uma variável aleatória contínua com aseguinte função densidade de probabilidade:
Calcule a média e a variância da v.a. C.
f(c) =
8<
:
140
¡c10
+ 1¢; se 0 · c · 20
0 caso contr¶ario
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Solução:
• Cálculo da média
𝜇 = 𝑐1
40
𝑐
10+ 1 𝑑𝑐
20
0
= 1
400
𝑐3
3
0
20
+ 1
40
𝑐2
2
0
20
=35
3
![Page 249: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/249.jpg)
• Cálculo da variância e do desvio padrão
𝑐2𝑓(𝑐)𝑑𝑐20
0
= 𝑐21
40
𝑐
10+ 1 𝑑𝑐
20
0
𝑐2𝑓(𝑐)𝑑𝑐20
0
= 1
400
𝑐4
4
0
20
+ 1
40
𝑐3
3
0
20
=500
3
𝜎2 =500
3−
35
3
2
= 30,56 𝑐𝑚2
∴ 𝜎 = 30,56 = 5,53 𝑐𝑚
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• Propriedades da média:
1. 𝐸 𝑐 = 𝑐
2. 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋)
3. 𝐸 𝑐𝑋 + 𝑏 = 𝑐𝐸 𝑋 + 𝑏
4. 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸(𝑌)
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• Propriedades da variância:
1. 𝑉 𝑐 = 0
2. 𝑉 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋)
3. 𝑉 𝑐𝑋 + 𝑏 = 𝑐2𝑉(𝑋)
4. 𝑉 −𝑋 = 𝑉(𝑋)
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4.4. Distribuições contínuas mais comuns
4.4.1. Distribuição Uniforme
• Definição: Uma v.a. contínua tem umadistribuição uniforme se todos os valores queassume são igualmente prováveis.
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• Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua nointervalo [a, b], a < b, se sua função densidade deprobabilidade é dada por:
𝑓 𝑥 =
1
(𝑏 − 𝑎) , 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
![Page 254: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/254.jpg)
• Notação: X ~ Uniforme[a, b]
![Page 255: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/255.jpg)
• Exemplo: Uma professora planeja a aula tão
cuidadosamente, que a duração de suas aulas é
distribuída uniformemente entre 50 e 52 minutos.
Isto é, qualquer tempo entre 50 e 52 minutos é
possível, e todos esses valores possíveis são
igualmente prováveis.
![Page 256: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/256.jpg)
• Se selecionarmos aleatoriamente uma aula edesignarmos X a v.a. representativa do tempo deaula, então, X tem uma distribuição definida pelafunção densidade
𝑓 𝑥 =
1
2 , 𝑠𝑒 50 ≤ 𝑥 ≤ 52
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
![Page 257: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/257.jpg)
![Page 258: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/258.jpg)
• Ache a probabilidade de uma aula durar mais de 51,5minutos.
𝑃 𝑋 > 51,5 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎
𝑃 𝑋 > 51,5 = 0,5 × 0,5 = 0,25
![Page 259: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/259.jpg)
• Média e variância de uma distribuição UniformeContínua
𝐸 𝑋 = 𝑎 + 𝑏 2
𝑉 𝑋 = 𝑏 − 𝑎 2 12
![Page 260: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/260.jpg)
• Exemplo: No exemplo anterior relacionado à duração
de aula de uma determinada professora, designou-se
X a v.a. representativa do tempo de aula (em min.),
onde X seguia uma distribuição Uniforme[50, 52].
Dessa forma, o tempo esperado de aula é:
𝐸 𝑋 =52 + 50
2= 51
![Page 261: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/261.jpg)
• A variância e o desvio padrão são respectivamente:
𝑉 𝑋 =(52 − 50)2
12=
4
12≅ 0,333
𝐷𝑃 𝑋 = 0,333 ≅ 0,578
![Page 262: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/262.jpg)
4.4.2. Distribuição Exponencial
• Uma v.a. contínua X, assumindo valores não
negativos, segue o modelo Exponencial com
parâmetro 𝛼 > 0 se sua densidade é:
𝑓 𝑥 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
![Page 263: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/263.jpg)
• Notação: X ~ Exp(α).
![Page 264: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/264.jpg)
• Para calcular probabilidades com a exponencial,precisamos resolver a integral correspondente aointervalo de interesse. Assim,
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
= − 𝑒−𝛼𝑥 𝑎𝑏 = 𝑒−𝛼𝑎 − 𝑒−𝛼𝑏
![Page 265: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/265.jpg)
• Esta distribuição tem sido amplamente utilizada nasáreas de física, engenharia, computação e biologia.
• Variáveis como a vida útil de equipamentos, temposde falha, tempos de sobrevivência de espécies eintervalos entre solicitações de recursos são algumasdas quantidades que têm sido modeladas pelaexponencial.
![Page 266: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/266.jpg)
• Média e variância de uma distribuiçãoExponencial
𝐸 𝑋 = 1 𝛼
𝑉 𝑋 = 1 𝛼2
![Page 267: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/267.jpg)
• Exemplo: Uma indústria fabrica lâmpadas especiais
que ficam em operação continuamente. A empresa
oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a
lâmpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas
lâmpadas é modelada através da distribuição
Exponencial com parâmetro 1 8000 . Determine a
proporção de trocas por defeito de fabricação.
![Page 268: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/268.jpg)
Solução: Representemos pela v.a. T, o tempo de vida da
lâmpada, e assim T ~ Exp(1 8000 ). A probabilidade
desejada será:
𝑃 𝑇 < 50 = 1
8000𝑒−
18000
𝑡 𝑑𝑡50
0
𝑃 𝑇 < 50 = − 𝑒−1
8000𝑡
0
50
= 𝑒−1
8000×0 − 𝑒−
18000
×50
𝑃 𝑇 < 50 = 1 − 𝑒−50
8000 ≅ 0,006
![Page 269: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/269.jpg)
• Dessa forma, a proporção de trocas por defeito defabricação será de aproximadamente 0,6%.
• Esse número é relativamente pequeno, o que não é
surpresa, tendo em vista que, como o parâmetro é
𝛼 = 1 8000 , a duração média das lâmpadas é
𝐸 𝑇 = 1 𝛼 = 8000 horas.
![Page 270: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/270.jpg)
4.4.3. Distribuição Normal
• Dizemos que uma variável aleatória contínua X temdistribuição Normal com parâmetros e 2, se suafunção densidade é dada por:
𝑓 𝑥 =1
𝜎 2𝜋𝑒𝑥𝑝 −
1
2𝜎2(𝑥 − 𝜇)2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞
![Page 271: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/271.jpg)
xµ
• Notação: X ~ N(𝜇, 𝜎2).
![Page 272: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/272.jpg)
• Propriedades da Normal:
1. 𝑓 𝑥 é simétrica em relação a .
2. 𝑓 𝑥 → 0 quando 𝑥 → ±∞.
3. O valor máximo de 𝑓 𝑥 ocorre quando 𝑥 = 𝜇.
![Page 273: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/273.jpg)
• A distribuição Normal é completamente especificadapela média μ e pela variância σ2 (parâmetros dadistribuição). A figura a seguir mostra exemplo dedistribuições Normais.
![Page 274: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/274.jpg)
• Como calcular Probabilidades para distribuiçãoNormal ?
Z ~ N(0,1) – distribuição Normal Padrão.
𝑃(𝑍 ≤ 𝑧1) são tabeladas (valores de z entre -3 e 3)
![Page 275: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/275.jpg)
• Exemplos: Termômetros Científicos – livro:Introdução à Estatística – Mário F. Triola.
z1
![Page 276: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/276.jpg)
Procedimento para achar escores z a partir de áreasconhecidas.
1. Desenhe uma curva em forma de sino e identifiquea região sob a curva que corresponde àprobabilidade dada. Se esta região não for umaregião acumulada à esquerda, trabalhe com regiõesconhecidas que sejam acumuladas à esquerda.
![Page 277: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/277.jpg)
• Usando a área acumulada à esquerda, localize aprobabilidade mais próxima no corpo da tabela dadistribuição Normal e identifique o escore zcorrespondente.
• Exemplos: Termômetros Científicos – livro:Introdução à Estatística – Mário F. Triola.
![Page 278: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/278.jpg)
• Como calcular probabilidades para uma N(μ,σ2)?
![Page 279: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/279.jpg)
• A fim de que possamos calcular probabilidades para
distribuições Normais não-padronizadas, iremos
transformar uma v.a. X ~ N(𝜇, 𝜎2) em uma v.a. com
distribuição Normal padrão (Z ~ N(0,1)).
A padronização de x é feita usando-se a fórmula:
𝑍 =𝑋 − 𝜇
𝜎
•
![Page 280: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/280.jpg)
• Qual a distribuição de X - μ?
![Page 281: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/281.jpg)
• Qual a distribuição de Z = (X-μ)/σ?
![Page 282: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/282.jpg)
• Resultado Importante: Se X ~ N(𝜇, 𝜎2), então:
𝑍 =𝑋 − 𝜇
𝜎 ~ 𝑁(0, 1)
e
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑍 ≤𝑥 − 𝜇
𝜎
![Page 283: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/283.jpg)
• Exemplo: Doentes sofrendo de certa moléstia sãosubmetidos a um tratamento intensivo cujo tempode cura foi modelado por uma densidade Normal, demédia 15 e desvio padrão 2 (em dias).
• Seja X a v.a. que denota o tempo de cura, temos queX ~ N(15, 4).
![Page 284: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/284.jpg)
• Calcule a probabilidade do tempo de cura:
a. Ser superior a 17 dias?
b. Ser inferior a 20 dias?
c. Estar entre 14 e 17 dias?
![Page 285: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/285.jpg)
• Solução:
a. 𝑃 𝑋 > 17 = 𝑃 𝑍 >17−15
2 = 𝑃 𝑍 > 1
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1 = 1 − 0,8413 = 0,1587
b. 𝑃 𝑋 < 20 = 𝑃 𝑍 <20−15
2 = 𝑃 𝑍 < 2,5 = 0,9938
![Page 286: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/286.jpg)
c. 𝑃 14 < 𝑋 < 17 = 𝑃 14−15
2< 𝑍 <
17−15
2
= 𝑃 −0,5 < 𝑍 < 1
= 𝑃 𝑍 < 1 − 𝑃(𝑍 < −0,5)
∴ 𝑃 14 < 𝑋 < 17 = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328
![Page 287: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/287.jpg)
• Uma questão interessante seria saber o tempomáximo necessário para a recuperação de 25% dospacientes, ou seja,
𝑃 𝑋 < 𝑥 = 0,25
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑍 ≤𝑥 − 15
2 = 0,25
![Page 288: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/288.jpg)
• A partir da tabela da Normal padrão obtemos:
𝑥 − 15
2= −0,67 ⇒ 𝑥 = 13,66
Assim, 25% dos pacientes ficarão curados antes de 14
dias, aproximadamente.
Dessa forma, 𝑥 = 𝜇 + (𝑧𝜎).
•
•
![Page 289: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/289.jpg)
4.5. Distribuições amostrais
4.5.1. Distribuição de médias amostrais.
• Considere uma população com parâmetros µ (média)e σ2 (variância).
• Se tirarmos uma amostra aleatória de tamanho n ecalcularmos sua média, teremos um valor para .𝑋
![Page 290: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/290.jpg)
• Se retirarmos outras amostras de tamanho n da mesma
população, obteremos outros valores para 𝑋 que serão
diferentes do primeiro.
Logo 𝑋 é uma variável que muda de valor de amostra
para amostra.
•
![Page 291: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/291.jpg)
![Page 292: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/292.jpg)
![Page 293: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/293.jpg)
![Page 294: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/294.jpg)
![Page 295: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/295.jpg)
• Se associarmos a cada valor de 𝑋 a probabilidade da
amostra que lhe corresponde, 𝑋 passa a ser uma
variável aleatória.
Assim, 𝑋 tem uma distribuição de probabilidade que
recebe o nome de distribuição amostral de 𝑋 .
•
![Page 296: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/296.jpg)
• Exemplo: Selecionamos todas as possíveis amostrasde tamanho 2, com reposição, da população 1, 3, 5,5, 7. Existem 5x5 = 25 possibilidades:
1 e 1 1 e 3 1 e 5 1 e 5 1 e 7
3 e 1 3 e 3 3 e 5 3 e 5 3 e 7
5 e 1 5 e 3 5 e 5 5 e 5 5 e 7
5 e 1 5 e 3 5 e 5 5 e 5 5 e 7
7 e 1 7 e 3 7 e 5 7 e 5 7 e 7
![Page 297: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/297.jpg)
• E suas médias são: 1, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 5, 5,6, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 6 e 7, respectivamente.
• Como cada amostra tem probabilidade de ocorrênciaigual a 1/25, a distribuição amostral de é dada por:
𝑋 1 2 3 4 5 6 7
𝑃(𝑋 = 𝑥 ) 1
25 225 5
25 625 6
25 425 1
25
![Page 298: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/298.jpg)
• Note que a média e variância populacionais são,respectivamente:
𝜇𝑋 = 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑖𝑝𝑖 = 4,2𝑖
𝜎𝑋 2 = 𝑉 𝑋 = 𝑥 𝑖
2𝑝𝑖 − 𝜇𝑋 2 = 2,08
𝑖
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 4,2 e 𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 4,16,
![Page 299: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/299.jpg)
• Verificamos, aqui, dois fatos:
– primeiro, a média das médias amostrais (𝜇𝑋 )
coincide com a média populacional (𝜇);
– segundo, a variância de 𝑋 é igual à variância de X,
dividida por n = 2.
Esses dois fatos não são casos isolados. Na realidade,
temos o seguinte resultado.
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• Teorema: Seja X uma v.a. com média 𝜇 e variância 𝜎2,
e seja 𝑋1, ⋯ , 𝑋𝑛 uma amostra aleatória de X.
Então,
𝜇𝑋 = 𝐸 𝑋 = 𝜇 e 𝜎𝑋 2 = 𝑉 𝑋 = 𝜎2
𝑛
OBS: O desvio padrão de 𝑋 é comumente chamado de
erro padrão de 𝑋 e denotado por 𝜎𝑋 .
•
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Teorema Central do Limite (TCL)
• Dado:
1. A v.a. X tem uma distribuição (que pode ou não
ser normal) com média 𝜇 e desvio padrão 𝜎.
2. Amostras aleatórias, todas de tamanho n, são
selecionadas da população. (As amostras são
selecionadas de modo que todas as possíveis
amostras de tamanho n têm a mesma chance de
serem escolhidas).
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• Conclusão:
A distribuição das médias amostrais (𝑋 ) irá se
aproximar de uma distribuição normal à medida que n
aumentar. Ou seja,
𝑋 ~N 𝜇, 𝜎2
𝑛 .
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Regras práticas comumente utilizadas:
1. Se a população não for normalmente
distribuída, eis uma diretriz em comum: para
amostras de tamanho n maior que 30, a
distribuição de 𝑋 pode ser razoavelmente bem
aproximada pela distribuição normal. A
aproximação se torna melhor à medida que o
tamanho amostral n aumenta.
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• OBS: Populações com distribuições muitoassimétricas, requerem tamanhos de amostra muitomaiores que 30.
2. Se a população for normalmente distribuída, então
𝑋 será normalmente distribuída para qualquer
tamanho amostral n.
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• Exemplo: Em uma certa cidade, a duração de
conversas telefônicas em minutos, originárias de
telefones públicos, segue um modelo Exponencial
com parâmetro 1/3. Observando-se uma amostra
aleatória de 50 dessas chamadas, qual será a
probabilidade delas, em média, não ultrapassarem 4
minutos?
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• Solução: Representando por X a duração das
chamadas, temos que X ~ Exp(1/3). Dessa forma,
tem-se que: 𝐸 𝑋 = 3 e 𝑉 𝑋 = 9.
Admitindo uma amostra suficientemente grande, pelo
TCL temos que: 𝑋 ~N(3; 9/50).
•
![Page 307: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/307.jpg)
• Dessa forma, podemos calcular a probabilidadedesejada da seguinte forma:
• Tendo em vista o alto valor de probabilidadeencontrado, podemos dizer que é praticamente certoque a media amostral estará abaixo de 4 min.
𝑃 𝑋 ≤ 4 = 𝑃 𝑍 ≤4 − 3
9 50 = 𝑃 𝑍 ≤ 2,36 = 0,9909
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4.5.2. Distribuição de proporções amostrais
• Uma aplicação do TCL relaciona-se coma distribuiçãoda proporção amostral. Recorde que a proporçãoamostral é definida como a fração de indivíduos comuma dada característica em uma amostra detamanho n, isto é,
𝑝 =𝑛° 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑í𝑣. 𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑛
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• Se construirmos para o i-ésimo indivíduo uma v.a.
𝑌𝑖 tal que
𝑌𝑖 = 1, 𝑠𝑒 𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣í𝑑𝑢𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Podemos reescrever a proporção amostral como
𝑝 =𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑛
𝑛=
𝑌𝑖𝑛𝑖=1
𝑛= 𝑌.
•
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• Logo, a proporção amostral nada mais é do que a média
de v.a.’s convenientemente definidas.
Assumindo que a proporção de indivíduos com a dada
característica na população é p e que os indivíduos são
selecionados aleatoriamente, temos que 𝑌1 , ⋯ , 𝑌𝑛
formam uma seqüência de v.a.’s independentes com
distribuição de Bernoulli.
•
![Page 311: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/311.jpg)
Assim, 𝐸 𝑌𝑖 = 𝑝 e 𝑉 𝑌𝑖 = 𝑝(1 − 𝑝). Logo,
𝐸 𝑝 = 𝐸 𝑌𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛 = 𝑝
𝑉 𝑝 = 𝑉 𝑌𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛 =
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
•
![Page 312: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/312.jpg)
• Tendo em vista o TCL temos que para n
suficientemente grande,
𝑌 ~ N 𝑝,𝑝(1−𝑝)
𝑛
e dessa forma,
𝑌 − 𝐸(𝑌 )
𝑉 𝑌 =
𝑝 − 𝑝
𝑝(1 − 𝑝) 𝑛
𝑛→∞ 𝑁(0, 1).
![Page 313: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/313.jpg)
• Exemplo: Suponha que a proporção de peças fora deespecificação em um lote é de 40%. Tomada umaamostra de tamanho 30, a probabilidade de estaamostra fornecer uma proporção de peçasdefeituosas menor que 0,50 pode ser calculada deforma exata pela Binomial e aproximada pelo modeloNormal.
![Page 314: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/314.jpg)
• Solução: Seja X a v.a. representando o número depeças defeituosas na amostra. Claramente, X ~Binomial(30; 0,40). Logo, se representa a proporçãoamostral de peças defeituosas, temos que
𝑃 𝑝 < 0,50 = 𝑃 𝑋 30 < 0,50 = 𝑃(𝑋 < 15)
= 30
𝑖 0,40𝑖 0,6030−𝑖
14
𝑖=0= 0,825.
![Page 315: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/315.jpg)
• Considerando agora a aproximação pelanormal, temos, como conseqüência do TCL
𝑝 ~𝑁 0,40; 0,40 × 0,60
30
![Page 316: Probabilidade e Estatística(4)](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022013111/54e5033d4a79597b7b8b4d93/html5/thumbnails/316.jpg)
• Assim,
• Temos, então, mesmo para uma amostra não muitogrande, uma proximidade razoável entre as duasrespostas.
𝑃 𝑝 < 0,50 ≅ 𝑃 𝑍 <0,50 − 0,40
0,40 × 0,60 30
𝑃 𝑝 < 0,50 ≅ 𝑃 𝑍 < 1,12 = 0,8686;