problem 111) s=-1 -...
TRANSCRIPT
problem 111) s+1=0 koku nedir → s=-1 s+5=0 koku nedir → s=-5 s-15=0 koku nedir → s=+15 -------------------------- -------------------------- problem 121) s+K=0, K sifirdan sonsuza kadar degisirse kok nasil degisir.
Cevap: K sifirdan sonsuza degisirse kok sifirdan eksi sonsuza kadar degisir.
s+K=0 denkleminin koklerinin geometrik yeri --------------------- ----------------------------------------- problem 131) s2+2s+K=0 , K sifirdan sonsuza kadar degisirse kokler nasil degisir. K=0, s2+2s=0 koku nedir → s1=-2, s2=0 K=0.1 s2+2s+0.1=0 koku nedir → s1=-1.94, s2=-0.05
--------------------------- ---------------------------- -
K s2+2s+K=0 rin kokleri 0 s1=-2, s2=0 0.1 s1=-1.94, s2=-0.05 0.5 s1=-1.70, s2=-0.29 0.9 s1=-1.31, s2=-0.68 1 s1=-1, s2=-1 1.1 s1=-1-0.31j, s2=-1+0.31j 1.5 s1=-1-0.707j , s2=-1+0.707j 2 s1=-1-1j, s2=-1+1j 5 s1=-1-2j, s2=-1+2j 10 s1=-1-3j , s2=-1+3j 100 s1=-1-9.95j , s2=-1+9.95j 10000 s1=-1-99.9j , s2=-1+99.9j ∞ s1=-1-∞j , s2=-1+∞j
Imag
Reel
‐2 ‐1
s2+2s+K=0 denkleminin koklerinin geometrik yer
K=0K=0
K=∞
K=∞
Imag
Reel
A
K s+K=0 kokleri
0 0 1 -1 2 -2 10 -10 ∞ -∞
141) G(s)=1s
1+
Y=KG(X-Y) Y+KGY=KGx Y/X=KG/(1+KG)
K1sK
1s1K11s
1K
KG(s)1KG(s)
X(s)Y(s)
++=
++
+=+
=
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
151) G(s)=2ss
12 +
K2sK
2s1K12s
1K
KG(s)1KG(s)
X(s)Y(s)
2
2
2
++=
++
+=+
=s
s
s
--------------------------------------------- ---------- -
X(s) G(s)
Y(s) K
X(s) G(s)
Y(s) K
241)
G(s)= 2s32s +
3)K(2ss3)K(2s
s32sK1
s32sK
KG(s)1KG(s)
X(s)Y(s)
2
2
2
+++
=+
+
+
=+
=
s2+K(2s+3)=0 denkleminin koklerinin geometrik yeri
242)
G(s)= 2s32s + , H(s)=
1ss+ ,
Y=KG(X-HY) Y+KGHY=KGx Y/X=KG/(1+KGH)
3)sK(2s1)(ss1)3)(sK(2s
1ss
s32sK1
s32sK
KG(s)1KG(s)
X(s)Y(s)
2
2
2
+++++
=
++
+
+
=+
=
X(s) G(s)
Y(s) K
H(s)
X(s) G(s)
Y(s) K
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
K=0
K=0.5
17)
Y=KGE, E=X-C, C=HY Y=KG(X-HY)=KGX-KGHY Y+KGHY=KGX Y(1+KGH)=KGX Y/X=KG/(1+KGH)
B(s)A(s)
bb......sbsaa......sasaG(s)01
1-M1-M
N01
1-N1-N
NN =
++++++++
=ss
)()(
dd......sdscc......scscH(s)01
1-K1-M
K01
1-M1-N
MN
sDsC
ss
=++++++++
=
seklinde polinomlar oldugundan.
KA(s)C(s)B(s)D(s)KA(s)D(s)
D(s)C(s)
B(s)A(s)K1
B(s)A(s)K
KG(s)H(s)1KG(s)
X(s)Y(s)
+=
+=
+=
seklinde yazilabilir. Burada
Q(s)P(s)
C(s)D(s)A(s)C(s)G(s)H(s) ==
seklinde gosterilirse. Y(s)/X(s) ifadesinin paydasi
Q(s)P(s)K1+ veya Q(s)+KP(s) seklinde gosterilir.
Paydayi sifir yapandegerler.
0Q(s)P(s)K1 =+ veya Q(s)+KP(s) =0 denklemini saglayan degerlerdir.
tekrar inceleyecek olursak.
Q(s)P(s)G(s)H(s) = ifadesinin sifirlari ve kutuplarina sistemin acik cevrim transfer
fonksiyonunun sifirlari ve kutuplari denir.
0Q(s)P(s)K1 =+ veya Q(s)+KP(s) =0 sartini saglayan s degerlerine de sistemin kapali cevrim kutuplari denir.
s komplex oldugundan yukaridaki denklemler de koplex olarak dusunulmelidir. Kompleks sayilar: 1) a+bi= c+di ise a=c ve b=d olmalidir. 2) a+bi= c+di ise | a+bi |=| c+di |, < (a+bi ) = < ( c+di)+2kπ sartlari saglanmalidir. ( 3700=100 ), ( 4000=400 ), Burada |..|, genlik anlamidadir. < aci anlaminda kullanilmistir.
X(s) G(s)
Y(s) K
H(s) C(s)
E(s)
X(s) G(s)
Y(s) K
H(s) C(s)
E(s)
Ornek 61: z=1+i sayisini complex duzlemde gosterin ve kutupsal formda ifade edin.
Cozum: r= 41.1211 22 ==+
θ= tan‐1
11= tan‐1 1 =450
kutupsal form: z=1.41 ∠ 450 Ornek 51: Asagidaki sayilari complex duzlemde gosterin genlik ve acilarini bulun a) z1=3+4i b) z2=‐3+4i c)1 d)‐1 e)i f)‐i
Cozum: a) r= 543 22 =+ , θ= tan‐1
34= tan‐1 1.3 =53.10
c)|1|=1, <1=00, d)|-1|=1, <-1=1800 e)|0+i|= 110 22 =+ , <i=900 f)|‐i|=1, <‐i=‐900 -------------------------------------------------------- ------
Kapali cevrim esitliklerine donersek.
0Q(s)P(s)K1 =+ ==>
K1
Q(s)P(s)
−=
Buradan
K1
Q(s)P(s)
−= ve πm2K1
Q(s)P(s)
±−=<<
bagintilari elde edilir. Burada K1
Q(s)P(s)
−= ifadesine genlik kosulu,
πm2K1
Q(s)P(s)
±−=<< ifadesine aci kosulu denir. – ifadenin mutlak degeri pozitif tir. negatif reel sayinin acisi 1800
dir. 0180K1=−<
Koklerin yer egrisi bu iki sarta dayali olarak cizilir.
K1
Q(s)P(s)
= , )12(180360180Q(s)P(s) 0 +=±=< km burada k=0,1,2,3,4,.. tamsayidir.
Ornek problem
23ss1
)()()()( 2 ++==
sQsPsHsG olduguna gore. Bu sistem icin genlik ve aci kosulunu uygulayin.
3
4
x
3+4i
‐3
4
x
iy ‐3+4i
a) b)
x 1
1 iy
450
z=1+i
iy
K1
2)1)(s(s1
=++
, ==> (s+1)(s+2)=K, ==> Kss =++ )4( )1( 22
m3601802)1)(s(s
1 0 +=++
< ==> - <(s+1) - <(s+2) =180 (540, 900,1260,...),
s nin komplex oldugunu varsayalim. - <(a+bi+1) - <(a+bi+2) =180 (540, 900,1260,...),
maa
3601802
btanarg1
btanarg 0 +=+
−+
−
Esitligin her iki tarafinin tanjanti alinirsa ve tan(180)=0, oldugu dusunulurse.
02
btanarg1
btanargtan =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+ aa
y tanx tan y tanx tan)tan(
++
=+ yx oldugu dikkate alinirsa
02
btanarg1
btanargtan =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+ aa tan x +tan y=0 ve buradan tan x = ‐tan y
2b
1b
+−=
+ aa a=-1.5 bulunur. Yani eger s komplex ise (oyle varsaydik ) K degistikce s nin reel kismi devamli olarak -1.5 olacaktir. s komplex olmadigi durumda (b=0) a'nin degeri icin bu sart bize bir sey soylemez.
23ss1
)()()()( 2 ++==
sQsPsHsG
Q(s)+KP(s) = s2+3s+1+K
K s2+3s+1+K=0 kokleri
0 -1 -2 1 -1.5+0.86i, -1.5-0.86i, 2 -1.5+1.32i, -1.5-1.32i, 10 -1.5+3.12i, -1.5-3.12i, 100 -1.5+9.98i, -1.5-9.98i, 0.1 -1,11, -1.88 0.2 -1.27, -1.72 0.25 -1.5, -1.5
Aci kosulu grafik olarak da incelenebilir
K1
)()()()( −==
sQsPsHsG ifadesinde aci ko sulu, )12(180
Q(s)P(s)
+=< k seklindedir. Bunu inceleyelim
)12(180))........()(())........()((
)()(
21
21 +=++++++
=< kzspspszszszs
sQsP
m
n ,
a=3+4i, b=‐2+5i, c=a+b = 3+4i ‐2+5i =‐1+9i, <a=53.10, <b=111.80, <c=96
a=3+4i, b=‐2+5i, d=a‐b = 3+4i – (–2+5i) =5‐i, <a=53.10, <b=111.80, <d=‐110, ACI KOSULUNUN UYGULAMASI (Reel eksendeki bir yer geometrik yere ait mi) (s+5) in acisi nedir. s genelde bir komplex sayi
(s+5) in acisi θ5 olacaktir
s reel bir sayi olsa (s+5)in acisi nedir. Cevap basittir. Eger s>‐5 ise (s+5) devamli artidir. Aci sifirdir. (+0.001 rin acisi sifirdir, +10000 nin acisi sifirdir ) Eger s<‐5 ise (s+5) devamli eksidir. Aci 1800 dir.
)12(180))........()(())........()((
)()(
21
21 +=++++++
=< kzspspszszszs
sQsP
m
n kosuluna bakalim. s reel eksende bir nokta olsun.
(s+z1) eger s>‐z1 ise aci sifir, eger s<‐z1 ise aci 1800, (s+z2) eger s>‐z2 ise aci sifir, eger s<‐z2 ise aci 1800, .... (s+p1) eger s>‐p1 ise aci sifir, eger s<‐p1 ise aci 1800, (s+p2) eger s>‐p2 ise aci sifir, eger s<‐p2 ise aci 1800, ....
θ5
s
θa
s
5
θd
a‐b
d=a‐b
θa
a
‐bθa
a b
θb
θb
ab
θc
c=a+bθb
ab
θa
a b
θb
s P noktasinda olsun. <s+z2=180. <s+p1=180, <s+z1=180, <s+p2=0, <s+p3=0, <s+z3=0 Sonuc
)12(180))........()(())........()((
)()(
21
21 +=++++++
=< kzspspszszszs
sQsP
m
n sartini saglayan bir noktanin saginda kalan (kutup sayisi ve sifir
sayisi toplami) tek sayi olmalidir. Solunda kalan kutup ve sifirlarin acisi sifirdir.
s P noktasinda olsun. <s+z2=180. <s+p1=180, <s+z1=180, <s+p2=0, <s+p3=0, <s+z3=0
0000000
000
321
321 180180180180)0)(0)(180()0)(180)(180(
))()(())()((
=−+==++++++
pspspszszszs
s Q noktasinda olsun. <s+z1=180, <s+z2=0. <s+p1=0, <s+p2=0, <s+p3=0, <s+z3=0
0000000000
000
321
321 00018000180)0)(0)(180()0)(0)(180(
))()(())()((
=−−−++==++++++
pspspszszszs
SONUC: Bir noktanin sagindaki kutupsayisi+sifirsayisi tek sayi ise o nokta geometrik yere aittir.
‐z1‐z2 ‐p1 ‐p2 ‐p3
Q
‐z3
‐z1‐z2 ‐p1 ‐p2 ‐p3
P
‐z3
‐z1‐z2 ‐p1 ‐p2 ‐p3
P
‐z3
Komplex kok varsa eslenik olmak zorundair.
=+++
++))()((
))((
311
21
pspspszszs
Bu durumda 0)()( 11 =+<++< psps olacaktir. komplex koklerin reel eksendeki geometrik yere etkisi yoktur.
‐p1
S
1p
‐z1‐z2 ‐p1 ‐p2 ‐p3 ‐z3